Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лепчинский, Михаил Германович

• Лепчинский, Михаил Германович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лепчинский, Михаил Германович

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Функциональные пространства.

1.1.1 Пространства Соболева.

1.1.2 Теоремы вложения.

1.1.3 Пространства Бесова.

-V 1.2 Эллиптические краевые задачи.

1.2.1 Разрешимость основных эллиптических краевых задач.

1.2.2 Нелинейные эллиптические краевые задачи

2 Теоремы существования решений для краевых эллиптических задач

2.1 Основной аппарат вариационного метода. Реализация вариационного подхода для нелинейных эллиптических задач.

2.2 Теоремы существования и регулярности решений для уравнений с разрывными нелинейностями.

2.3 Доказательство основных результатов.

2.3.1 Доказательство теоремы 2.2.1.

2.3.2 Доказательство теоремы 2.2.2.

2.3.3 Доказательство теоремы 2.2.3.

2.3.4 Доказательство предложения 2.2.1.

3 Правильные решения и устойчивость множеств решений краевых эллиптических задач с разрывными нели-нейностями

3.1 Правильные решения краевых эллиптических задач с разрывными нелинейностями.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Формулировка основных результатов о правильных решениях.

3.1.3 Доказательство предложения 3.1.1.

3.1.4 Доказательство предложения 3.1.2.

3.1.5 Доказательство теоремы 3.1.1.

3.1.6 Доказательство теоремы 3.1.2.

3.2 Устойчивость множеств решений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями.

3.2.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

§

3.2.2 Доказательство теоремы 3.2.1.

3.2.3 Доказательство следствий из теоремы 3.2.

4 Краевые эллиптические задачи с параметрами

4.1 Нелинейные краевые эллиптические задачи на собственные значения.

4.1.1 Постановка задачи и основные результаты

4.1.2 Доказательство результатов.

4.2 Нелинейные краевые эллиптические задачи с распределённым параметром.

4.2.1 Постановка задачи и основные результаты

4.2.2 Доказательство основных результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями»

Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.

Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.

Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе [9].

Долгое время в физике считалось, что все процессы в природе происходят непрерывно. Однако в начале 20 века были открыты факты, опровергнувшие такие допущения. В числе подобных фактов, стоят например явления сверхтекучести и сверхпроводимости, когда при достижении определенных низких температур скачком происходит полное исчезновение вязкости и электрического сопротивления соответственно.

Можно даже привести гораздо более простой пример процесса с некотролируемыми скочкообразными изменениями параметров. Рассмотрим тело покоящееся на плоской поверхности. Прицепим к нему нить и начнем тянуть за неё это тело. При постепенном наращивании прикладываемой силы тело поначалу будет находиться в полном покое, но при достижении определенного порогового значения произойдет резкий рывок тела и после этого оно уже плавно покатиться по поверхности. В описанной ситуации идеализированной моделью зависимости скорости от силы будет функция, имеющая разрыв.

В данной работе изучаются краевые эллиптические задачи, содержащие нелинейные слагаемые, разрывно зависящие от фазовой переменной.

Пусть П - ограниченная область в Е" (п > 2) с границей класса

- равномерно эллиптический формально сопряженный дифференциальный оператор с коэффициентами а^ б С1,а(П), а^(х) = на

С2,а, а € (0,1), п

П, с е С°>а{П).

Рассматривается нелинейная краевая задача

Ьи(х) + до(х,и(х)) = 0, х € П Ви\вп = /,

0.1) (0.2) где (0.2) - одно из следующих основных краевых условий:

• Дирихле, если Ви = и; du п

• Неймана, если Ви = —— = ^ CLij(x)ux. cos(п, Xj), где cos(n, Xj)

OTijj . . 1

- направляющие косинусы внешней нормали п к границе dfl;

• третье краевое условие, если Ви = 4- а(х)и(х), где функопь ция а € С1,а(Г) неотрицательна на dQ и не равна тождественно нулю.

Будет предполагать, что нелинейность до(х, и) удовлетворяет условию (*):

1) функция до : О, х R —> R борелева (mod 0) [10], что означает существования множества I С Ü х Ш, проекция которого на ft имеет меру нуль, и борелевой на П х R функции, совпадающей с до(х, и) на (Q х R) \ I ;

2) для почти всех х £ Ü сечение до{х, •) имеет на М разрывы только первого рода и для произвольного и € R верно включение до(х,и) е [д-{х,и),д+{х,и)}, д-(х,и) = liminf д0(х, s), д+(х,и) = s—>и lim suppö(z,s); s—>u

3) существует постоянная Ь > 0 и функция а Е Lq(Q), q > 2, такие, что для почти всех х £ Q верно неравенство до{х, и)\<Ъ • Мг + а(х) Уи е R, 0 < г. (0.3)

Предполагается, что функция f(s), определенная на границе д£1, лежит в пространстве Бесова если мы рассматриваем краевую задачу Дирихле; если мы рассматриваем краевую задачу Неймана или третью краевую задачу.

Обобщенным решением задачи (0.1)-(0.2) будем называть функцию и е Wq(Çl), удовлетворяющую граничному условию (0.2) и для почти всех içQ включению

-Lu(x) е [0(ж,и(ж)),0+(я,и(ж))].

Сильным решением задачи (0.1)-(0.2) называется обобщенное решение, удовлетворяющая для почти всех х G Q уравнению (0.1). Сильное решение и задачи (0.1)-(0.2) называют полуправильным, если для почти всех х £ S1 значение и(х) является точкой непрерывности до(х, •).

К задачам, допускающим постановку в таком виде, относится известная модель отрывных течений несжимаемой жидкости, предложенная М.А. Гольдштиком [4]. В работах [42] и [43] рассматривалась задача Дирихле с нулевым граничным условием и с положительной разрывной нелинейностью, к которой сводилась задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. В работе [40] Frankel L.E. и Berger M.S. описали математическую модель вихревых колец в идеальной жидкости, также имеющую вид (0.1)-(0.2).

В работе [38] были рассмотрены некоторые естественные задачи со свободными границами: задача с препятствием, задача о просачивании вод с поверхности, задача Стефана. Иссследование этих задач может быть сведено к поиску неподвижных точек многозначных отображений. Исследуются задачи с разрывными нелинейностями вида Lu(x) = гр(х,и(х)) в Ü, где L — эллиптический или параболический дифференциальный оператор, ÇI — ограниченная область вГ с достаточно гладкой границей (для параболических уравнений краевая задача рассматривается в цилиндре), нелинейность ф(х,у) определена на О, х R и может быть разрывна по у.

Вариационный метод исследования задачи (0.1)-(0.2) с разрывными нелинейностями был использован Павленко В.Н. в работах [18], [17], [19], [21], [24], [30], [25]. В [17] и [19] доказываются утверждения о разрешимости уравнения Тх = 0 в случае, когда Т - квазипотенциальный оператор, при этом заранее не предполагается, что оператор Т монотонен. Полученные теоремы использованы для установления предложений о существовании полуправильных решений задачи Дирихле для уравнения (0.1).

Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования обобщенных, сильных, полуправильных, корректных и правильных решений краевой задачи (0.1)-(0.2).

В первой главе даны приведены необходимые для дальнейшего изложения предварительные сведения о функциональных пространствах Соболева и Бесова, теоремы вложения для пространств Соболева, теоремы о разрешимости основных типов краевых задач эллиптического типа, приведена постановка нелинейной эллиптической задачи и связанные с ней понятия и определения.

Вторая глава диссертации посвящена теоремам существования полуправильных решений для резонансных эллиптических задач с разрывной нелинейностью. Под такими задачами мы понимаем следующее:

• Ах = 0 является собственным значением оператора Ь, соответствующим граничному условию (0.2);

• параметр г из условия (*3) удовлетворяет неравенству 0 < г < 1 (в этом случае мы будем говорить, что нелинейность до имеет подлинейный рост).

Далее через N(1,) будем обозначать ядро оператора Ь, т.е. множество решений однородной краевой задачи

Lu(x) = О, х е Ü (0.4)

Bu\dn = 0. (0.5)

Систематическое изучение резонансных краевых задач началось с основополагающей работы Ландесмана и Лазера [41], где предполагалось, что нелинейность go(x,u) = g(u) непрерывна на R , существуют lim g(u) = g± и g- < g(u) < g+ для любых u € M, а размерность

U—»±00 ядра N{L) равна единице. При таких допущениях было доказано, что решение задачи (0.1)-(0.2) с нулевым граничным условием (/ = 0) существует тогда и только тогда, когда верно неравенство

7+ J ф(х)<1х+д- J if)(x)dx < 0 < f Г (0-6) д+ / ijj(x)dx + д~ i){x)dx 1р>0 ip<0 где ф — базисная функция N(L).

В дальнейшем было придумано множество подобных условий, которые теперь носят названия условия типа Ландесмана-Лазера.

Например, в [32] указан следующий критерий существования решения. Пусть нелинейность д(х, и) ограничена, д+(х) = lim inf s),

S—»+00 д~(х) = lim sup ^(ж, s).

S—»— 00

Тогда выполнение следующего неравенства для любой ненулевой функции ф(х) из ядра N(L)

О < J g+(x)${x)dx + J д~{х)ф(х)йх (0.7) ф> 0 ф< о гарантирует существование решения краевой задачи (0.1)-(0.2). В главе 2 мы покажем, что соотношение является следствием условия из предложения 2.2.1 при г = 0. Это означает, что мы в данной работе требуем выполнения более слабых ограничений на нелинейность, которые гарантируют существование решений.

В работе [37] К.С. Chang, базируясь на понятии обобщенного градиента Кларка для локально липшецевых функций и обобщих для них условие Palais-Smale (P.S. условие) и деформационную лемму, развил вариационный подход применительно к краевым задачам для уравнения эллиптического типа с разрывными нелинейностями. В частности, он доказал теорему о существовании u (Е Г) W™,Q{0), удовлетворяющей включению

-Аи(х) е \g-(x,u),g+(x,u)] для почти всех х € П, где А — формально самосопряженный, равномерно эллиптический, линейный дифференциальный оператор порядка 2т с достаточно гладкими коэффициентами, функция go(x,s) суперпозиционно измеримая и ограниченная на Q х 1, и для неё выполнено условие dx / go(x, s)ds = ±оо,

Jo

N(A) — множество решений Аи(х) = 0, удовлетворяющих нулевым граничным условиям Дирихле.

Основным результатом второй главы является теорема о существовании полуправильного решения для задачи (0.1)-(0.2) с неограниченной нелинейностью, имеющей подлинейный рост. Условие, которое мы предлагаем в качестве обобщения условий типа Ландесмана-Лазера для неограниченных нелинейностей имеет вид

I г гФ(х) lim dx g0{x, s)ds = +oo, (0.8)

IMI-ooMx)£N(L)\\ф\\2г Ja J0 где параметр г — скорость роста нелинейности до из условия (*3). Заметим, что при г = 0 получиться условие, предложенное Chang, lim

JV(i4),||u||-»oo Ja

Jü которое является наиболее общим из рассматриваемого класса условий типа Ландесмана-Лазера.

Также во второй главе рассмотрены неоднородные задачи и приведены достаточные легко проверяемые условия для проверки соотношения (0.8).

Третья глава посвящена вопросам устойчивости решений (0.1)-(0.2). Ранее мы ввели понятия обобщенного, сильного и полуправильного решения, которые были призваны охарактеризовать решения краевой задачи по формальным признакам. Устойчивость решения отражает уже совсем другое качество решения, которое, вместе с полуправильностью, является определяющим для физических приложений.

В работе [7] исследовались интегральные уравнения вполне непрерывен из L^a, b) в С (а, Ь); функция f(x,t) суперпозици-онно измерима и удовлетворяет условию lim SUp ЛМ = о. (0.10)

N-*00 a<t<b X

Для такого интегрального уравнения было сформулировано понятие полуправильного решения, приведенное выше и доказана следующая теорема.

Теорема 0.0.1 Пусть ядро G(x, s) почти всюду положительно, а функция f(t,x) удовлетворяет соотношению (0.10) и не убывает по переменной х. Тогда уравнение (0.9) имеет по крайней мере одно полуправильное решение.

0.9) где функция G(x, t) измерима, а оператор

Там же, было дано определение усиленно корректного решения.

Решение х*(£) уравнения (0.9) называется усиленно коректным, если \/е > 0 > 0, что в ¿-окрестности решения лежит по крайней мере одно полуправильное решение любого удовлетворяющего условиям теоремы 0.0.1 уравнения и хаусдорфово расстояние от графика функции х) до графика функции /(£, я) не превышает 6.

В этой работе Красносельский и Покровский впервые сформулировали понятие правильного решения, как полуправильного и усиленно корректного решения. Они дали следующий критерий правильности решения.

Теорема 0.0.2 Пусть выполнены условия теоремы 0.0.1 и з) > 7 > 0. Пусть решение х*(£) (получающееся некоторым итерационным процессом, который мы тут не будем описывать) изолировано. Тогда это решение правильное.

Теорему 0.0.2 можно рассматривать как аналог доказанной в главе 3 теоремы 3.1.2, а сравнению результатов посвящено предложение 3.1.2, где доказывается, что малое уклонение нелинейности в метрике Хаусдорфа влечет малое отклонение в интегральной метрике (см. формулу (3.6)), которая используется в настоящей работе.

В работе [8] тех же авторов они немного изменили терминологию, назвав полуправильные решения правильными. Теперь уже рассматядро которого при почти всех £ удовлетворяет неравенству |С7(*, в)-<?!(*, 6 ривалась краевая задача

Au + f(x,u) = 0, xeft (0.11) ti|en = 0. (0.12)

Для нелинейности f(x,u) предполагалось выполнение одностороннего условия Липшица, т.е. u-v)(f(x,u)-f(x,v)) > -v(r)(u-v)2 (0.13) при |w|, \v\ < г, х G Q, г G R+.

Теорема существования полуправильного решения для такой задачи формулировалась в предположении ограниченности нелинейности. Далее авторы дают другое по сравнению с [7] определение корректного решения. Теперь корректным решением (0.11)-(0.12) называется такое решение щ, что для любого е > 0 существует 5 > 0, что каждая краевая задача

Au + g(x, u) — 0, х G П (0.14)

Mien = 0 (0.15) имеет по крайней мере одно полуправильное решение в е-окрестности Loo(ty решения щ, если хаусдорфово расстояние между графиками нелинейностей / и g над Q х (—J-1) меньше ô и если g(x,u) удовлетворяет одностороннему условию Липшица с той же 1м{г), что и /. Авторы указали следующую теорему существования правильных решений.

Теорема 0.0.3 Пусть f суперпозиционно измерима, ограничена и удовлетворяет одностороннему условию Липшица, и задача (0.11)-(0.12) имеет не более счетного числа классических решений. Тогда эта задача имеет по крайней мере одно корректное решение.

Обратим внимание на прямую аналогию этой теоремы со следствием 3.1.2, доказанным в главе 3, где уже не предполагается ограниченность нелинейности и выполнение для неё одностороннего условия Липшица.

Отметим также работу Покровского A.B. [31], где рассматривались абстрактные уравнения с монотонными операторами и возможные приложение к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В работе [9] авторы явно указывают, что нелинейные звенья с однозначными или многозначными характеристиками обычно возникают как идеализация звеньев, непрерывные характеристики которых содержат участки быстрого роста по переменной щ при этом удобно считать, что непрерывные характеристики содержат малый параметр е > 0, а идеализация возникает как предел при е —> 0. В подобных ситуациях важен анализ близости множеств F(e) решений уравнений с допредельными нелинейностями и множества F(0) обобщенных решений уравнения с идеализированными разрывными характеристиками.

В данной постановке вопрос решался в работе [30], где рассматривалась нерезонансная задача с положительно определенным эллиптическим оператором, а нелинейность предполагалась ограниченной, и все её разрывы были расположены на конечном числе поверхностей, отделенных друг от друга на некоторое положительное расстояние. При этом аппроксимирующие нелинейности строились следующим образом. Фиксировалась малая окрестность каждой из поверхностей разрыва исходной нелинейности, и приближенная нелинейность полагались равной исходной вне этой окрестности. Внутри же окрестностей разрыв некоторым образом "сглаживался".

Результат работы [30] об устойчивости решений полностью перекрывается теоремой 3.2.1 данной диссертации. Более того мы расширили класс исходных нелинейностей и допустимых для них апроксима-ций, введя интегральные метрики, которые позволяют приближенным нелинейностям отклоняться на большую величину от исходной нелинейности, но только на множестве небольшой меры.

Также следует отметить, что в рамках следствия 3.2.1 формулируется новое условие, обеспечивающее коэрцитивность вариационного функционала, и это условие обобщает требования, накладываемые на нелинейность с докритическим ростом в работах других авторов (см. замечание 3.2.2).

Предположения, в рамках которых сформулированы теоремы главы 3 включают нелинейности с докритическим ростом, т.е. такие, в которых параметр г из условия (*) удовлетворяет неравенству г <-

ТЬ ■ш если п = 2, то на г не накладывается каких либо ограничений).

Данная оценка для скорости роста нелинейности появляется и в ряде других подходов и связана прежде всего с операторной постановкой исходной краевой задачи.

В четвертой главе диссертации рассмотрен два класса полулинейных краевых эллиптических задач с параметрами: задачи со спектральным параметром и задачи с распределенным параметром.

В общей операторной постановке нелинейные задачи со спектральным параметром были поставлены в [6]. В данной работе мы рассматриваем следующую задачу

В таком виде можно оформить упомянутую выше задачу Гольд-штика.

Задача (0.1б)-(0.17) рассматривались H.J. Kuiper в [42] и [43], I. Massabo в [44] и [45], I. Massabo и С.А. Stuart в [46].

Цель исследования в таких задачах — нахождения таких А > О, при которых краевая задача имеет решение (нетривиальное решение), а также выяснение различных свойств множеств решений.

Из всего ряда работ в данном направлении мы выделим работы [27], [28] и [29], результаты которых развиваются и расширяются в п + 2

Lu(x) = \go(x,u(x)), х Ви\ш = 0.

0.16) (0.17) диссертации.

Теоремы 4.1.1 и 4.1.2 являются обобщением результатов [27] и [28] на случай нелинейностей с подлинейным ростом для резонансных и нерезонансных задач, и посвящены существованию луча (Ао, Н-оо) положительных собственных значений задачи (0.16)-(0.17), где под собственным значением понимается такое А, при котором задача (0.16)-(0.17) имеет нетривиальное решение. Наличие тривиального решение этой задачи обуславливается априорным предположением

Одним из основных условий в упомянутых теоремах, так как и в соответствующих теоремах из [27] и [28], является условие существования такой функции щ(х), что верно неравенство

Мы доказываем предложение 4.1.1, содержащее необходимое и достаточное условие для существования подобной функции щ(х). Более того, в отличие от упомянутых работ мы даем оценку для величины Ао-Дополнительно к общему случаю мы доказываем теорему о существовании луча положительных собственных значений в ситуации, когда существуют конечные пределы до(х, 0) = 0 для п.в. х е Ит д0(х, а—>±оо а задача

Ьи(х) = до(х,и(х)), х еО. Ви\ш = О

0.18) (0.19) имеет нетривиальное корректное решение, где

Далее, используя результаты главы 3 мы доказываем теорему об устойчивости множества собственных функций задачи (0.16)-(0.17) по отношению к возмущению дифференциального оператора, спектрального параметра и нелинейности. Этот результат обобщает соответствующую теорему из [29], т.к., во-первых, мы рассматриваем неограниченные нелинейности, а, во-вторых, в упомянутой работе принцип выбора аппроксимирующих нелинейностей заимствован из [30] (этот принцип был описан выше).

Вторая часть четвертой главы посвящена полулинейным краевым эллиптическим задачам с распределенным параметром:

В данной постановке возмущениям вместо нелинейности до подвергается распределенный параметр Wo(x), который можно интерпретировать как управление.

Историография исследования устойчивости решений этой задачи приведена в работе D. Bors и S. Walczak [36], однако во всех упомянутых там статьях фигурируют непрерывные нелинейности. Так как самые новые результаты для проблемы устойчивости решений задач с распределенным параметром получены авторами в работах [35] и [36], то мы проведем сравнение именно с ними.

Чтобы использовать результаты главы 3 для задач с распределённым параметром мы ввели класс полукаратеодориевых функций и доказали ряд свойств, связанных с этими функциями (утверждения 4.2.1 и 4.2.2). В отличие от работ D. Bors и S. Walczak, где предполагалась непрерывность нелинейности go(x,u,w) по совокупности переменных (u, w) при фиксированном х, мы допускаем разрывы по фазовой переменной.

Второй отличительной особенностью результатов является использование более сильной топологии при описании сходимости решений,

Lu(x) + go(x,u(x),Wo(x)) = 0, х ей

Ви\дп = 0.

0.20) (0.21) что, однако, потребовало ужесточение требования на рост нелинейности по отношению к распределенному параметру (см. условие (* * 2)).

И последнее, что следует отметить — это то, что для доказательства теоремы 4.2.2 об устойчивости множеств решений мы не предполагаем коэрцитивности вариационного функционала.

Основные результаты диссертации опубликованы в [48]—[56]. В совместных работах научному руководителю В.Н. Павленко принадлежит постановка задач, диссертанту - получение конкретных результатов.

Основные результаты докладывались конференции ИНПРИМ-2000 в Новосибирске (2000г.), на Воронежских математических школах (2003г 2005г.), на XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ (2004г.), на Международной конференции "Nonlinear partial differential equations" в Алуште (2003г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики математического факультета Челябинского государственного университета.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору В.Н. Павленко, за постановку задачи и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лепчинский, Михаил Германович, 2006 год

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JL Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы // М.: Ин. лит., 1962. - 205с.

2. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов // М.:Наука, 1972. 416с.

3. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. - 464с.

4. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1962. - т. 147. -М. - с.1310-1313

5. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа // М.:Физматлит. 2004. - 572с.

6. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений // Гостехиздат, 1956. 392с.

7. Красносельский М.А., Покровский A.B. Правильные решения уравнений с разрывными нелинейностями // ДАН СССР. 1976. - Т.226. - т. - с.506-509

8. Красносельский М.А., Покровский A.B. Уравнениях с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. - Т.248. - №5. - С.1056-1059

9. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом // М.: Наука, 1983. 272с.

10. Красносельский М.А., Покровский A.B. Об эллиптических уравнениях с разрывными нелинейностями // Доклады РАН, 1995. -т.342. т. - с.731-734

11. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. // М.: Наука, 1964. 540с.

12. Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. Неоднородные граничные задачи и их приложения. // М.: Мир, 1971. 371с.

13. Маршал А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. // М.:Мир, 1983. 574с.

14. Мадженес Э. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных. // Успехи мат. наук, 21. вып.2 - 1966. -с.169-218

15. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. // М.:Наука, 1983. 424с.

16. Павленко В.Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференциальные уравнения. 1988. - т.24,№8. - с. 1397-1402

17. Павленко В.Н. О разрешимости некоторых нелинейных уравнений с разрывными операторами // Докл. АН СССР. 1972. -т.204. - №6. - с.1320-1323

18. Павленко В.Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1991. - т.43. - №2. - с.230-235

19. Павленко В.Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. сер.З. Математика. Механика. - 1991. - №1. - с.29-37

20. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. сер.З. Математика. Механика. - 1994. - №1(2). - с.87-95

21. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными параболическими системами с разрывными нелинейностями // Укр. математ. журнал. -1994. т.46,№6. - с.790-798

22. Павленко В.Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями // -1995. Автореферат диссертации на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. - г.Екатеринбург

23. Павленко В.Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами. Учебное пособие // Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1997. - 75с.

24. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями. // Вестник Челябинского ун-та. Математика. Механика. -1999. №2(5). - с.56-67

25. Павленко В.Н., Винокур В.В. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Известия ВУЗов. Математика. - 2001. - №5. - с.45-58

26. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 2001. - т.42. - №4. - с.911-919

27. Павленко В.Н., Потапов Д.К. О существовании полуоси положительных собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Вест. Чел. гос. унив. сер.З. Математика. Механика. Информатика. - 2002. - №1(16). - с.114-119

28. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью. // Известия ВУЗов. Математика. 2005. - №4. - с.49-55

29. Павленко В.Н., Искаков P.C. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа // Укр. матем. журн. 1999. - Т.51. - №2. - с.224-233

30. Покровский A.B. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1984. - Т.274. - №5. -С.1037-1040

31. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. т.37. - М., 1990

32. Соболев C.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. // М.:Наука, 1988

33. Шрагин И.В. Условия измеримости суперпозиций. // ДАН СССР. 1971. - т. 197, №. - с.295-298

34. Bors D., Walczak S. Nonlinear elliptic systems with variable boundary data. // Nonlinear Analysis, 52 (2003), p.1347-1364

35. Bors D., Walczak S. Stability of nonlinear elliptic systems with distributed parameters and variable boundary data. // J. of Computational and Applied Math., 164-165 (2004), p.117-130

36. Chang K.C. Variational Methods for non-differentiable functionals and their applications to partial differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1981. - v.80. - JVH. - p.102-129

37. Chang K.C. Free boundary problems and the set-valued mappings //J. Differential Eq. 1983. - v.49. - №. - p.102-129

38. Clark D.C. A variant of the Lusternik-Schnirelman theory // Indiana Univ. Math. J. 1972. - v.22. - p.65-74

39. Frankel L.E., Berger M.S. A global theory of steady vortex rings in an ideal fluid // Acta Math. 1974. v.132. - p.14-51.

40. Landesman E., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance //J. Math, and Mech. 1970. - v.19. - №. - p.609-623

41. Kuiper H.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1971. - Ser.2. - v.20. -№2-3. - p.113-138.

42. Kuiper H.J. Eigenvalue problems for noncontinuous operators associated with quasilinear elliptic equation // Arch. Rational Mech. Anal. 1974. - v.53. - №. -p.178-186.

43. Massabo I. Positive eigenvalues for elliptic equations with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. 1978. -V.15-B. - №. - p.814-827

44. Massabo I. Elliptic boundary value problems at resonance with discontinuous nonlinearities // Boll. Unione Math. Ital. ser.5. -1978. - V.17-B. - №. - p. 1302-1320

45. Massabo I., Stuart C.A. Elliuptic eigenvalue problems with discontinuous nonlinearities //J. Math and Appl. 1978. - v.66. - ДО2. - p.261-281

46. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalues problems // Indiana Univ. Math. J. 1974. - v.23. -№8. - p.729-754.

47. Лепчинский М.Г. Задача M. А. Лаврентьева об обтекании траншеи. // ИМПРИМ-2000, Fourth Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Book of abstracts. Novosibirsk. - 2000

48. Лепчинский М.Г., Павленко B.H. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Материалы Воронежской весенней математической школы. 2003. - Воронеж. - с. 76

49. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Вестник Челябинского универси-тета. Математика, механика, информатика, №1(7). Челябинск, 2003г. с.89-98

50. Leptchinski М., Pavlenko N. Approximation of discontinuous nonlinearities for elliptic boundary value problems at resonance. // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. -Donetsk. 2003

51. Лепчинский М.Г. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной правой частью. // Конкурс грантов молодыхученых Чел. обл. Сборник рефератов. Челябинск. - 2003. - с. 10

52. Лепчинский М.Г. Правильные решения краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // XXVI Конференция молодых ученых мехмата МГУ. Тезисы докладов. Москва.- 2004. с. 74

53. Лепчинский М.Г., Павленко В.Н. Аппроксимация резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Сибирский математический журнал. т.46 №1. - Новосибирск.- 2005. с. 139-148

54. Лепчинский М.Г. Правильные решения резонансных краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью. // Материалы Воронежской весенней математической школы. Воронеж. - 2005. - с. 142-143

55. М. Г. Лепчинский, В. Н. Павленко. Правильные решения эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями. // Алгебра и Анализ. 2005. - т.17, номер 3. - с.124-138