Метод вариационных сплайнов для сингулярных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мартыненко, Юлия Вячеславовна

• Мартыненко, Юлия Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартыненко, Юлия Вячеславовна

Введение

1 Сингулярные дифференциальные уравнения и методы их решения

1.1 Уравнения в нормальной форме и методы их решения

1.1.1 Разностные методы.

1.1.2 Проекционные методы.

1.1.3 Метод сплайн-коллокации.

1.1.4 Жесткие задачи

1.2 Неявные и дифференциально-алгебраические уравнения

1.2.1 Особенности НОДУ.

1.2.2 Основные методы решения НОДУ.

1.3 Метод параметризации

2 Метод вариационных сплайнов

2.1 Общая схема метода.

2.2 Вариационный сплайн.

2.3 Сходимость.

2.4 Основная вычислительная схема.

2.5 Вычисление пошаговой частичной невязки и ее производных

2.6 Производные по параметрам для линейного уравнения

2.7 Метод вариационных сплайнов для уравнения, разрешенного относительно производной.

2.7.1 Сходимость.

2.7.2 Устойчивость.

3 Алгоритмические вопросы метода ВС

3.1 Алгоритмы построения вариационного сплайна.

3.2 Оценка сложности метода ВС.

3.3 Сравнение метода ВС и метода параметризации.

4 Вычислительный эксперимент

4.1 Жесткие задачи

4.2 Линейные дифференциально-алгебраические уравнения

4.3 Нелинейные ДАУ.

А Описание комплекса программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод вариационных сплайнов для сингулярных дифференциальных уравнений»

Диссертация посвящена разработке численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений в неявной форме (НОДУ)

F(x,x,t) = 0, xeRn, (1) несводимых к нормальной форме Коши x = f{x,t). (2)

Эта проблема стала активно разрабатываться как в СССР, так и за рубежом в последние три десятилетия. Прикладные задачи, моделируемые в классе НОДУ, возникают в различных областях науки, техники, экономики, в частности в электродинамике и механике (кинематические уравнения) [45, 49, 63].

Неразрешенность уравнения (1) относительно производной х может вызываться как сложностью соответствующих преобразований, так и вырожденностью матрицы Якоби dF (x,x,t) , д± ' {6) В последнем случае система (1) называется сингулярной. Постановка начальной задачи для такого уравнения требует учета структуры вырождения.

В литературе для систем вида (1) используются различные термины: дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ), неструктурированные ДАУ, алгебро-дифференциальные уравнения, сингулярные ДУ и др. Далее будем называть уравнение (1) НОДУ в общем случае и сингулярным в случае вырождения матрицы Якоби (3).

Линейное дифференциально-алгебраическое уравнение имеет вид

A(t)x(t) + B{t)x(t) = f(t), (4) и его матрица Якоби (3) равна А (£). Она не зависит от решения х (£).

Наиболее важным классом НОДУ, который часто встречается в приложениях, являются так называемые структурированные ДАУ, или просто ДАУ. В этом случае динамическая система представляется двумя группами функций х (t) £ Rn пи (£) £ Rm, связанными системой дифференциальных и конечных уравнений х = f (x,u,t), (5) g{x,u,t)= 0, (6) где / : Rn+m+l —» Rn: д : др+m+i j^jn -ракие системы сочетают в себе особенности нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с особенностями обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь начальные или граничные условия должны быть согласованы с (6).

Неструктурированное ДАУ (1) может быть преобразовано к форме (5), (6) введением функции и (t), обозначающей производную решения х (*) = и (£).

При этом исходная система (1) принимает вид (5), (6) с конечным уравнением F(u,x,t) = 0. Такое преобразование позволяет выбирать различные варианты численных схем метода параметризации, описанные далее.

Трудности в построении теории и применении численных методов к решению начальной или граничной задачи для (1) или (5), (6) появляются, когда матрица Якоби (3) или матрица Якоби конечной подсистемы (б) dg{x,u,t)

Зи [ } вырождается на решении {.т(£)} или {х (t) ,u(i)} соответственно.

Известно, что сингулярные дифференциальные уравнения имеют ряд особенностей по сравнению с регулярными дифференциальными уравнениями [5, 47]. В частности, их решения (если они существуют) не обязательно непрерывно зависят от начальных данных, а множество решений может иметь бесконечную размерность. Примеры таких систем приведены в п. 1.2.1. Соответственно, в общем сингулярном случае, теория и численные методы решения должны разрабатываться в рамках теории некорректных задач [41, 54]. Такие методы обычно основываются на. использовании дополнительной эвристической информации о решении и на переходе от исходной проблемы к некоторой вариационной задаче.

Во многих случаях система. (1) может быть преобразована к нормальной форме Коши (2) с помощью конечного числа дифференцирований по независимой переменной и алгебраических преобразований. Минимальное число таких дифференцирований называется индексом дифференцирования [45].

В приложениях встречаются системы индекса 5 и выше [51]. Более того, известны задачи, которые нельзя привести к нормальной форме(т.е. они не имеют конечного индекса дифференцирования), например уравнение Шрёдингера с вырожденным кусочно-непрерывным потенциалом [64]. Простейший пример - уравнение tx (L) + Ъ (t) я (t) = / (t) , рассматриваемое на. отрезке, содержащем точку t = 0. Легко видеть, что оно имеет переменное вырождение и не может быть приведено к нормальной форме посредством дифференцирований по независимой переменной. Другие примеры приведены в п. 1.2.1.

Современное состояние проблемы численного решения неявных дифференциальных уравнений (1) достаточно полно отражено в монографиях Э.Хайрера и Г.Ваннера [45], P. Kunkel и V. Mehrmann [63], в докторских диссертациях М.В.Булатова [8], Г.Ю.Куликова [30], В.Ф.Чистякова [47], защищенных в 2002 году, а также в работах [11, б, 49]. Увеличившееся в последнее время количество работ [2, 7, 9], посвященных данной проблеме, говорит об ее актуальности. Кроме того, остается актуальным совершенствование методов численною решения "жестких" задач для уравнений в нормальной форме (2).

Первые результаты, полученные при изучении НОДУ, относятся к линейным уравнениям (4) с постоянными коэффициентами. В работе Н.Н. Лузина [31] 1940 г. доказан критерий совместности линейной системы с постоянными матричиымп коэффициентами Aj и приведено общее правило нахождения решения этой системы Большое влияние на развитие теории и методов решения линейных сингулярных систем (4) оказало применение Ф.Р. Гантмахером теории пучков матриц [13].

Систематическое изучение (1) и построение численных методов их решения началось в 1970-х гг. Большой вклад в исследование линейных систем (4) внесли работы Ю.Е. Боярннцева и его учеников [4, 5, 6, 7]. Ими рассматривались взаимосвязи кронекеровой структуры пучка матриц XA(t)-\-B(t) со структурой общего решения н свойствами численных методов. В работах М.В. Булатова и В.Ф. Чистякова [8, 9] предлагается понижать индекс исходной системы (4) с помощью "левого регуляризирующего оператора", определенного через полуобратные матрицы. Таким образом, для систем (4) развиты общие методы определения и понижения индекса, основанные на сложной алгебраической технике, итерационном построении иолуобрат-ных матриц и ранговых критериях, которые трудно проверять в условиях приближенных данных. Для сингулярных задач с переменным вырождением главной части A(t), несводимых к нормальной форме (2). эти методы, как правило, неприменимы

Также следует отметить работы зарубежных ученых [50, 51, 52, 53], посвященные различным аспектам теории НОДУ (1) и методам их решения. В частности, в [52] определяется понятие индекса дифференцирования, а в работе [51] представлен специальный вариант метода наименьших квадратов для неструктурированной системы высокого индекса, основанный на разрешении «массива производных» относительно всех производных решения. Этот метод требует выполнения определенных ранговых условий, проверка которых является достаточно сложной задачей.

Для сингулярных уравнений с невысоким индексом дифференцирования (до 3) существуют эффективные специализированные методы [45, 67]. Некоторые из них реализованы в известной системе тестов [68]. Отметим также метод продолжения решения по параметру [49], в котором требуется дифференцирование по независимой переменной.

Однако дифференцирование исходного уравнения в общем случае приводит к уравнению с более широким множеством решений, и такое расширение может привести к постороннему решению (см. п. 1.2.1).

Ввиду возможной сложности нахождения индекса дифференцирования и различных способов его уменьшения, очевидна ограниченность перечисленных выше подходов. Операция дифференцирования функций, определяющих реальную модель и заданных приближенно, является некорректной [3, 41]. Она может существенно увеличить ошибку задания функций. Некорректна также задача вычисления полуобратных матриц [6]. Соответственно, нормализация сингулярных НОДУ высокого индекса является плохо обусловленной вычислительной задачей, н .мера ее обусловленности растет с ростом индекса системы, а порядок аппроксимации решения нормализованной задачи снижается. Кроме того, указанные методы нельзя применять к уравнениям с неременным вырождением матрицы Якоби (3), как у приведенного выше элементарного примера. Такие уравнения не сводятся к нормальной форме, а значит, не имеют конечного индекса.

Таким образом, проблема развития численных методов для сингулярных дифференциальных уравнений, преодолевающих указанные выше затруднения, является актуальной.

Для линейных уравнений (4) существует метод нормальной сплайн-коллокации, разработанный В.К. Горбуновым [15] и далее развитый его учениками в работах [22, 23, 24, 40], который может использоваться для решения задач с переменным вырождением матрицы A (t).

Ранее, в работе [14] В.К. Горбунов предложил метод параметризации (МП) для решения задач оптимального управления. Этот метод основан на конечномерной параметризации управляющих переменных, представляемых в виде обобщенного сплайна, с подвижными узлами. При этом исходная задача сводится к решению конечномерной задачи нелинейного программирования меньшей размерности по сравнению с широко используемой конечно-разностной аппроксимацией задач оптимального управления. Для применения численных методов оптимизации требуется вычисление первых и вторых производных по параметрам. Эта задача решается на основе использования сопряженных переменных и матричных импульсов.

Метод параметризации был развит и применен в диссертации И.В. Лу-тошкина [32] для различных вырожденных задач оптимального управления [17, 56]. При этом были охвачены задачи классического вариационного исчисления, порождаемые НОДУ произвольной структуры. Минимизируемым функционалом здесь является интегральная квадратичная невязка части или всех уравнений решаемой системы. Производные искомых функций считаются управлениями. Такая схема позволила использовать эффективную технику сопряженных систем для вычисления первых и вторых производных функционала параметризованной вариационной задачи. Этот подход позволяет не вычислять индекс дифференцирования и решать системы любых индексов, а также системы с переменным вырождением, обычно не имеющие конечного индекса. В случае возможной неединственности решений здесь естественно доопределять вариационную задачу с использованием дополнительных условий на искомое решение [54].

В данной диссертации разрабатывается метод вариационных сплайнов, который представляет собой спецификацию метода параметризации для НОДУ. Специфика вариационной задачи, порождаемой такими уравнениями, позволяет не вводить управляющие переменные, а представлять искомое решение непосредственно в виде сплайна с подвижными узлами. Параметры сплайна определяются из условия минимизации невязки решаемой системы. Такой сплайн назван вариационным в отличие от интерполяционных и коллокационных сплайнов, параметры которых определяются решением соответствующих систем уравнений [26. 36]. Производные функционала невязки по параметрам находятся непосредственным дифференцированием без использования сопряженных систем, как в исходном варианте метода параметризации.

Диссертация состоит из 4 глав. В первой главе рассматривается современное состояние проблем, связанных с численным решением НОДУ. Во второй главе излагается метод вариационных сплайнов. Приводится общая вычислительная схема метода и формулы вычисления производных функционала невязки по параметрам. Для уравнения в нормальной форме (2) исследуются проблемы оценки точности и устойчивости, что является актуальным для "жестких" задач. Третья глава посвящена практическим и теоретическим аспектам, связанным с предлагаемым методом. Четвертая глава содержит результаты решения задач.

Таким образом, в диссертации предлагается новый вариант метода параметризации для решения нелинейных НОДУ (1) с произвольным вырождением, отличающийся от исходного более простым способом вычисления производных функционала невязки уравнения по параметрам. Новый вариант назван методом вариационных сплайнов.

На. защиту выносятся:

• Новая, экономичная вычислительная схема метода параметризации для решения ОДУ, в том числе дифференциально-алгебраических и неявных, не имеющих конечного индекса дифференцирования. В отличие от исходной схемы здесь не используются сопряженные системы.

• Оценка точности новой схемы МП и исследование ее устойчивости для уравнения в нормальной форме.

• Сравнительный анализ новой и исходной схем МП.

• Комплекс программ, реализующий новый вариант МП.

Выносимые на защиту результаты опубликованы в работах [18, 19, 20, 21, 33, 34, 35, 58, 59, 60], в том числе в журнале "Обозрение прикладной и промышленной математики" [21], входящем в список изданий, рекомендованных ВАК.

Исследование выполнено в рамках проекта, поддержанного Российским Фондом Фундаментальных Исследований, проект № 07-01-90000.

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах Сред-неволжского математического общества, ряде российских и зарубежных конференций, в том числе:

1. XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, Байкал, 2-8 шоля 2005 г.);

2. VI международная конференция "Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 19-21 октября, 2005 г.);

3. IX Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 1-8 мая, 2008 г.);

4. The Fourth International Conference "Inverse problems: Modelling and Simulations" (Fethiye-Turkey, May 26-30, 2008 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартыненко, Юлия Вячеславовна, 2008 год

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. - М.: Мир, 1973.

2. Балакина. Е.А., Кузнецов Е.Б. Решение систем дифференциально- алгебраических уравнений высоких индексов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. С. 199-206.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.К., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Мир, 1988.

4. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.

5. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

6. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.

7. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. Новосибирск: Наука, 2000.

8. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс. . д.ф.-м.н. Иркутск, 2002.

9. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений j j Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 4. С.459-4Т0.

10. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986.

11. Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ред. Бояринцев Ю.Е. Новосибирск: Наука, 1982.

12. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М: Наука, 1971.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1988.

14. Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19. № 2. С.292-303.

15. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 2. С.212-224.

16. Горбунов В.К. Регуляризация нелинейных некорректных задач с параметризованными данными // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / Под ред. В.А.Треногина и А.Ф.Филиппова. М.: Физматлит, 2003. С.418-447.

17. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Развитие и опыт применения метода параметризации в вырожденных задачах динамической оптимизации // Известия РАН: теория и системы управления. 2004. № 5 С. 67-84.

18. Горбунов В.К., Лутошкин И.В, Мартыненко Ю.В. Метод параметризации для сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: СВМО. 2006. Т.8. Вып.1. С.36-50.

19. Горбунов В.К., Мартыненко Ю.В. Метод вариационных сплайнов для неявных дифференциальных уравнений // Вестник Самарского государственного технич. ун-та. Сер. Математическая. 2007. №2(6). С.16-28.

20. Горбунов В.К., Мартыненко Ю.В. Метод вариационных сплайнов для сингулярных дифференциальных уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15. Вып. 3. С. 461-462.

21. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Учёные записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики" Вып. 3. Ульяновск, 1997. С. 125-132.

22. Горбунов В.К. Петрищев В.В. Развитие метода нормальной сплайн-коллокации для линейных дифференциальных уравнений. // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 8. С.1161-1170.

23. Горбунов В.К., Свиридов В.Ю. Метод нормальных сплайнов для численного обращения преобразования Лапласа в вещественной форме // Труды СВМО, Саранск, Т. 10. № 1. 2008. С. 46-54.

24. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир. 1983.

25. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

26. Крылов В.И , Бобков В.И., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. М.: Наука, 1976.

27. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решения дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента // Ж. вычисл. матем. и матсм. фпз. 1997. Т.37. № 6. С.711-722.

28. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для систем дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 1. С.68-84.

29. Куликов Г.Ю. Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Дисс. . д.ф.-м.н. Ульяновск, 2002.

30. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1940. №5. С.4-66.

31. Лутошкин И.В. Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах. Дисс. . к.ф.-м.н. Ульяновск, 2000.

32. Мартыненко Ю.В. Метод вариационных сплайнов для дифференциальных уравнений в нормальной форме // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: СВМО. 2007. Т.9. Вып.2. С.110-120.

33. Мартыненко Ю.В. Программный комплекс для решения дифференциально-алгебраических уравнений Текст] / Ю.В. Мартыненко // Инновации в науке н образовании (Телеграф отраслевого фонда алгоритмов и программ). N° 9(44). - С. 50.36