Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Лутошкин, Игорь Викторович

• Лутошкин, Игорь Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лутошкин, Игорь Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Задачи оптимального управления, имеющие особое управление.

1.2. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями

1.3. Дифференциально-алгебраические системы уравнений

2. МЕТОД ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

2.1. Постановка задачи и ее параметризация.

2.2. Сходимость метода параметризации.

2.2.1. Условия сходимости.

2.2.2. Расширение4 терминальных ограничений

2.2.3. Теорема аппроксимации

2.3. Первые производные параметризованных функционалов

2.4. Вторые производные.

2.5. Задачи с оптимизируемыми параметрами.

3. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

3.1. Используемые методы и алгоритмы.

3.2. Задача с особым управлением.

3.3. Задача оптимального планирования с фазовым ограничением

3.4. Задача со смешанным критерием качества.

3.5. Сингулярные задачи дифференциальных уравнений

3.5.1. Краевая задача с малым параметром при старшей производной.

3.5.2. Дифференциально-алгебраическая система

3.5.3. Интегро-дифференциальная система.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах»

Диссертация посвящена проблеме численного решения задач оптимального управления (ОУ) и нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ). Эти классы задач являются одними из основных в математическом моделировании динамических процессов в различных областях техники, технологии, естествознания и экономики. Имеется достаточно широкий набор численных методов для различных типов задач, однако усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием, приводит к вычислительным задачам, для которых известные методы становятся малоэффективными или неприменимыми. Это так называемые вырожденные или нерегулярные задачи оптимального управления и дифференциальных уравнений. Они представляют специальный класс некорректно поставленных вычислительных задач. Данная работа нацелена на развитие методов решения именно таких задач.

Остановимся подробнее на проблеме вырождения вычислительных задач для дифференциальных уравнений. При стремлении учесть как можно больше связей в исследуемом объекте в системе формальных соотношений появляется алгебраическая избыточность, приводящая к вырождению Якобиевых матриц в алгебраических подсистемах, а также невозможность приведения сложных систем уравнений к каноническим (нормальным) формам, что требуют стандартные методы решения. Кроме того, известны приемы сведения некоторых типов задач оптимального управления с ограничениями-неравенствами и с ограничениями на управляющию функцию к вариационным задачам классического типа (см., например [3. 51, 59]). Первый прием - это преобразование Валентайна, сводящее задачу ОУ с ограничениями-неравенствами к задаче О У с ограничениями только типа равенства. Второй прием Фрайеса де Вебека [3] - замена исходного управления и на некоторую функцию f{v), область значений которой совпадает с областью значений допустимого управления, а область определения аргумента совпадает со всем пространством, (например, если есть ограничение \и(Ь)\ < 1, то, делая замену ?/,(£) = 8ш(г>(£)), получаем, что ограничение на новое управление и(1) в постановке задачи снимается).

Формально более простая задача вариационного исчисления, получаемая в результате применения этих приемов, является вырожденной. Это присходит, когда по крайней мере одна из компонент и достигает границы1. Необходимое условие первого порядка - уравнение Эйлера - становится неинформативным. Оно выполняется в виде тривиального тождества, и методы, основанные на первых вариациях функционала, становятся неэффективными. Однако в [3, стр.20] утверждается, что возмущение первого порядка переменной г;, вызывает ненулевое возмущение и во втором порядке. В этом случае, вторая вариация функционала является ненулевой, что делает перспективным эффективное применение методов со вторыми производными.

Явление вырождения условий экстремума в оптимальном управле В [59] явление вырожденности полученной вариационной задачи описывается термином "прилипание" нии получило название "особых управлений". Такие задачи известны в ракетодинамике, космической навигации, электротехнике [35, 36]. Они существенно сложнее для исследования и численного решения ([4, 12, 35, 36, 59]).

Другой сложный класс - это задачи с промежуточными фазовыми ограничениями (например, [37, 38, 39, 58, 59]). Такие задачи зачастую возникают при моделировании процессов стабилизации, демпфирования [39, 59], экономических процессов [о, 57. 66]. Задачи с промежуточными фазовыми ограничениями могут сводиться к задачам без промежуточных ограничений, но с вырождением условий оптимальности первого порядка [19].

Из класса задач для дифференциальных уравнений выделим здесь дифференциально-алгебраические системы уравнений (например, [6, 7, 9, 41, 65]) и уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной (например, [31, 32, 65]). Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной (сингулярно возмущенные уравнения) проявляются во многих задачах моделирования процессов в аэродинамике, балистике, химической кинетике, молекулярной и ядерной физике [62, 65].

Таким образом, нерегулярные задачи математического моделирования становятся типичным явлением и их усложнение требует постоянного развития соответствующей теории и численных методов.

Современное состояние проблемы численного решения задач оптимального управления, а также нелинейных и сингулярных (линейных или нелинейных) дифференциальных и интегральных уравнений характеризуется многообразием и сложностью подходов, часто ориентированных на достаточно узкий класс задач. До настоящего времени наиболее развит универсальный метод сеток (конечных разностей и квадратур), базирующийся на идее Эйлера об аппроксимации искомой функции сеточной и, таким образом, сводящий исходную функциональную задачи к задаче нелинейного программирования (НП). В него вложены огромные интеллектуальные ресурсы, что позволило и еще позволит решать немало важных прикладных проблем. Однако в последние десятилетия начали развиваться гораздо более эффективные вычислительные методы, основанные на нередко сложном аналитическом аппарате. В качестве примера можно привести проекционные методы и метод обобщенных сплайнов. Эти и другие численно-аналитические методы при их квалифицированном применении позволяют эффективно учесть специфику сложной задачи, получить лучшую аппроксимацию решения при сравнительных вычислительных ресурсах и решать вырожденные задачи, недоступные методу сеток. Кроме того, разрабатываются методы, использующие особенности класса, которому принадлежит данная задача. Таким образом, возникает целый ряд различных методов.

Остановимся на особенностях основных классов решения задач оптимального управления. К первому, простейшему классу, относится метод конечно-разностных аппроксимаций (отражен, например, в монографиях Э.Полака [54], Д.Табака и Б.Куо [56]). В общем случае данный метод определяется следующими шагами: дифференциальная система заменяется конечно-разностной, ограничения задачи переходят в ограничения на значения сеточных функций, интегралы заменяются соответствующими суммами. К полученной конечномерной задаче нелинейного программирования можно применять соответствующие численные методы НП. В зависимости от специфики задачи оптимального управления, разработаны различные алгоритмы. В качестве примера можно привести алгоритм "киевский веник", метод "блуждающей трубки", метод локальных вариаций, метод "бегущей волны", некоторые схемы решения задачи Майера [51, 63].

К достоинствам подхода, основанного на конечно-разностных аппроксимациях, стоит отнести универсальность его применения практически к любым задачам оптимального управления. Недостатки данного подхода также очевидны: этот метод приводит, как правило, к задачам большой размерности и сложной структуры; в нем плохо учитывается специфика задач ОУ, именно, динамическая связь дискретизированных фазовых переменных; происходит резкое усложнение задачи с увеличением интервала, на котором решается задача ОУ.

Второй класс, как по уровню развития, так и хронологически, составляют методы, основанные на условиях экстремума, главным образом принципа максимума Л.С.Понтрягина. Эти методы достаточно полно изложены в монографии Н.Н.Моисеева [51]. Они сводят исходную экстремальную задачу к нелинейной краевой задаче относительно фазовых и сопряженных переменных с условием максимума, позволяющим выразить параметры управления через эти переменные. Среди численных методов, принадлежащих данному классу, стоит выделить следующие методы: сведение задачи оптимального управления к задаче отыскания корней трансцендентной функции, методы переноса граничных условий краевой задачи, метод последовательных приближений Крылова-Чсрноусько [40, 63] и его модификация [49].

Данные методы относительно просты для программирования и позволяют использование стандартных программ. Однако задача получения параметров управления через фазовые и сопряженные переменные в нетривиальных случаях очень сложна. Следующим недостатком данных методов является то, что полученное решение чаще всего является только претендентом на оптимальное. Поэтому, чтобы убедиться, что полученное решение - искомое, следует проводить дополнительные исследования. Далее, если на оптимальной траектории встречаются участки с особым управлением [12], то методы, основанные на принципе максимума Л.С.Понтрягина, становятся неработоспособными в окрестности оптимального решения. так как условие оптимальности (принцип максимума) вырождается. Для задач оптимального управления с промежуточными фазовыми ограничениям!! необходимые условия формулируются настолько сложно [34, 55], что применение методов данного класса становится практически невозможным.

Отметим здесь также синтетический подход Ю.Г.Евтушенко [30]. сочетающий априорную разностную дискретизацию исходной задачи как в первом классе методов, но на основе схем высокого порядка Рунге-Кутты, и вычисление производных функционалов задачи ОУ с дискретным временем с использованием сопряженных переменных (для каждого функционала своей). Этот подход наследует высокую размерность и сложность аппроксимирующих задач. Сопряженные уравнения здесь требуют согласования с избранной разностной схемой для исходного уравнения, хотя уравнения для сопряженных переменных всегда линейные.

Наконец, третий класс решения задач оптимального управления объединяет методы, в которых минимизация функционала исходной задачи выполняется градиентными методами в некотором функциональном пространстве на основе вычисления соответствующих градиентов минимизируемого функционала и функционалов, определяющих ограничения задачи. Отметим, что градиенты функционалов вычисляются с помощью сопряженных переменных, причем для каждого функционала решается своя сопряженная задача Коши. Этот класс методов прямого типа (не использующих на итерациях условий экстремума) представлен в монографиях Р.П.Федоренко [59] и Ф.П.Васильева [10]. Метод параметризации, разрабатываемый в диссертации, наиболее близок к методам этого типа, поэтому остановимся на них подробнее.

Наиболее развитыми численными методами данного класса являются различные варианты метода проекции градиента (метод условного градиента, метод минимальной поправки, gradient-restoration algorithm и другие модификации метода, определяемые спецификой задачи) и метод последовательной линеаризации, заключающийся в линейном представлении исходных функционалов в окрестности текущего итерационного приближения относительно управляющей функции, а затем решении линейной задачи оптимального управления [59]. Оба эти метода наряду с достоинствами (формально достаточно простые схемы решения; не используют напрямую условие принципа максимума, что в вырожденных задачах существенно) обладают и рядом недостатков.

К основному недостатку метода проекции градиента стоит отнести следующий: построение проекции фиксированного управления на ограничивающее множество зачастую является задачей по сложности равносильной исходной. В случае метода последовательной линеаризации можно выделить такие недостатки как сложность построения области, которой должно принадлежать линейное приращение управления, определяемое на каждой итерации; величина приращения (с одной стороны она должно быть небольшой, так как должно быть справедливо линейное приближение, с другой стороны достаточной, чтобы процесс сходимости не был слишком медленным). Кроме того, трудность этих методов заключается в сложности достаточно точной аппроксимации функциональных производных при численной реализации. Однако развитие численных методов данного класса предполагает быть перспективным.

Для систем с малым параметром при старшей производной (в частности, "тихоновских") наиболее развиты методы теории пограничного слоя с "экспоненциальной подгонкой" и "направленных разностей" (например, [31, 32, 65]). Большое внимание уделяется в последние годы дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям, не разрешаемым относительно производных. Наиболее изученный здесь класс - дифференциально-алгебраические системы [6, 7, 41, 65]. Линейные системы с переменными коэффициентами, как и нелинейные системы, в случае особенностей решаются, как правило, сложными специализированными разностными методами [6, 41, 65]. Простейший подход к ним основан на сочетании неявных разностных схем с методом Ньютона. Развитие этого направления для нелинейных интегро-дифференциальных алгебраических систем до настоящего времени ограничено регулярным случаем, когда Якобиан алгебраической подсистемы невырожден относительно части разрешенных в дифференциальной подсистеме переменных.

Таким образом, в настоящее время численные методы решения задач оптимального управления и дифференциальных уравнений эффективны в основном для регулярных случаев. Методы, основанные на полной дискретизации исходной задачи, плохо сходятся в нетривиальных случаях. В методах, базирующихся на принципе максимума, в случае особых управлений вырождаются условия, образующие основу метода. В градиентных методах, в вырожденных задачах, условия экстремума первого порядка становятся плохо обу-словлеными вблизи оптимального решения. Следовательно, в вырожденных случаях кажется перспективным использование методов, основанных на условиях второго порядка.

Предлагаемая диссертация посвящена развитию и практической реализации нового численного метода решения задач оптимального управления, предложенного в работах В.К. Горбунова [14, 15] и названного методом параметризации. Этот метод заключается в произвольном разбиении временного промежутка и представлении искомой функции управления на каждом из промежутков в виде конечно параметризованной функции, например, константы или полинома.

Вообще, искомое управление можно считать обобщенным сплайном (кусочно-аналитической функцией). Таким образом, функционалы исходной задачи становятся функциями конечного числа параметров, включая переменные узлы разбиения (сетка параметризации), и исходная функциональная задача сводится к конечномерной задаче нелинейного программирования. Для частных производных функционалов по параметрам управления были получены формулы, сводящие их вычисления к задачам Коши для сопряженных переменных. В [15] также была заложена основа вычисления вторых производных. Здесь с помощью "матричных импульсов", известных в качественной теории особых управлений [12], были получены формулы для вторых производных по узлам сетки параметризации. Этим был открыт новый подход к эффективному решению задач ОУ путем использования методов нелинейного программирования, основанных на первых или вторых производных. Отметим, что проблема численного интегрирования исходной и сопряженных систем в методе параметризации разделена с оптимизацией управления, что позволяет решать задачу более гибко, чем при конечно-разностной аппроксимации исходной задачи, как в [54, 30], и во многих случаях иметь аппроксимирующую задачу нелинейного программирования небольшой размерности [44].

В данной работе метод параметризации В.К. Горбунова развивается с целью повышения его эффективности, в особенности при решении вырожденных (нерегулярных) задач оптимального управления и дифференциальных уравнений. Это достигается благодаря завершению проблемы построения вторых производных и использованию некоторых новых приемов при алгоритмизации вырожденных задач. Кроме того, получено теоретическое обоснование сходимости метода при сгущении узлов искомого сплайна.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 68 наименований. В первой главе содержится обзорный материал по тематике, определяющей некоторые классы вырожденных вариационных задач. Кроме того, приведены схемы решения вырожденных задач, предложенные научным руководителем, исследуемые и реализованные автором. В частности, рассмотрены такие классы вырожденных задач как: задачи оптимального управления с особыми управлениями, задачи оптимального управления с промежуточными фазовыми ограничениями, дифференциально-алгебраические системы уравнений. Рассмотрены традиционные подходы к решению вырожденных задач: для задач с особыми управлениями - условие Келли, условие Коппа-Мойера, а также обобщение этих условий; для задач с промежуточными фазовыми ограничениями - стандартный метод штрафных функций и метод дискретизации фазовых ограничений. Наряду с традиционными методами подхода к решению этих задач используются новые подходы [19, 22]. Для задачи с промежуточными фазовыми ограничениями рассмотрен метод сведения к задаче без промежуточных ограничений путем расширения фазового пространства [16, 19]. Исследуются свойства принципа максимума полученной задачи. Для дифференциально-алгебраической системы с ограничениями на концы траекторий рассматривается вариационная постановка задачи и исследуется принцип максимума для полученной за

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Лутошкин, Игорь Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 98 компактного ограничения на управление.

3) Алгоритмизация метода параметризации, ориентированного на решение вырожденных задач оптимального управления и сингулярных задач дифференциальных уравнений.

4) Вычислительный эксперимент, выявляющий практическую эффективность реализованного метода в проблемных задачах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лутошкин, Игорь Викторович, 2000 год

1. Алексеев В.M., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. - М.: Наука, 1984.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. пер. с франц., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 208 С.

4. Антоник В.Г., Срочко В.А. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N4. С. 564-572.

5. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

6. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференииальные системы и оптимальное управление. //Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семинар. 1998 г. Иркутск. С.60-63.

7. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов A.A., Чистяков А.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, Сиб.отд., 1989. 223С.

8. Будак Б.М., Беркович Е.М., Соловьева Е.П. О сходимости разностных аппроксимаций для задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т.9. N3. С. 522-547.

9. Булатов М.В., Чистяков А.Ф. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов.// Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семинар. 1998 г. Иркутск. С.72-75.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

11. Воскресенский Е.В., Черников П.Г. Управляемость численным процессом // Труды Средневолжского математического общества. Т.2. N1. 1999. С.3-17.

12. Рабасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

13. Рилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

14. Горбунов В.К. О сведении задач оптимального управления к конечномерным // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т.18. N5. С. 1083-1095.

15. Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. N2. С. 292-303.

16. Горбунов В.К. Снятие фазовых ограничений в задачах оптимального управления. Рукопись 1979.

17. Горбунов В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач. Фрунзе: "Илим", 1984. 134С.

18. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. Т.28. N2. С. 212-224.

19. Горбунов В.К. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями и особые управления // Дифференциальные уравнения и их приложения: тезисы докладов 1-й междун. научно-практ. конф. С-Пб. 1996. С.58-.

20. Горбунов В.К. Введение в теорию экстремума: Учебное пособие. Ульяновск: Изд-во УлГУ. 1999. 143С.

21. Горбунов В.К. Релаксационно-штрафной метод решения экстремальных задач// Шестая конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи", тезисы докл. конф. Москва. МГУ. 2000. С.22.

22. Горбунов В.К. Вариационные методы регуляризации вырожденных дифференциальных уравнений и неравенств // Труды Сред-неволжского математического общества. 2000. Т.З. N1. (в печати).

23. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления// Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 3 Ульяновск, 1997. С.17-24.

24. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями и особые управления. // Математическое программирование и приложения: тезисы докладов Х-ой Всероссийской конф. Екатеринбург. 1997. С.70-71.

25. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Вторые производные параметризованной задачи оптимального управления. // Методы оптимизации и их приложения: труды 11-ой Байкальской международной школы-семинар. 1998 г. Иркутск. Т.4. С.90-93.

26. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Метод параметризации задач оптимального управления со вторыми производными // Математическое моделирование. Т.10. N12. 1998.

27. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Сходимость метода параметризации задач оптимального управления с компактным множеством управлений. // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 1(6) Ульяновск. 1999. С.76-83.

28. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 3 Ульяновск. 1997. С.125-132.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т.5. N3. С. 395-453.

30. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

31. Задорин А.И. Численное решение краевой задачи для системы уравнений с малым параметром. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N8. С.1255-1265.

32. Задорин А.И., Игнатьев В.Н. Численное решение квазилинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. -Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т.31. N1. С.157-161.

33. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Наука, Прогресс, 1975.

34. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

35. Келли Г. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации. Ракетная техника и космонавтика. 1964. N8. С.26-29.

36. Копп Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей. Ракетная техника и космонавтика. 1965. N8. С.84-91.

37. Костина Е.А., Костюкова О.И. Исследование одной задачи оптимального управления со смешанным критерием качества //

38. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т.37. N2. С. 153-161.

39. Костюкова О.И. Оптимизация линейных динамических систем с фазовыми ограничениями. Ин-т математики, АН БССР. 1989. Препринт N23. Минск.

40. Костюкова О.И., Прищепова C.B. Конечный алгоритм решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями в дискретные моменты времени // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N2. С.189-206.

41. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решений задач оптимального управления. -//Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т.2. N6. С.1132-1138.

42. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т.38. N1. С.68-84.

43. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

44. Лутошкин И.В. Вырожденные задачи оптимального управления. // Тезисы докладов студентов и аспирантов на VI научно-практической конф. Ульяновск. 1997. С.8-10.

45. Лутошкин И.В. Численное решение задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями// Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Выпуск 5 Ульяновск. 1998. С. 85-91.

46. Лутошкин И.В. Метод параметризации задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов: труды междун. научной конф. Ульяновск. 1998. С.26-27.

47. Лутошкин И.В. Вариационные методы решения дифференциально-алгебраических систем. // Математическое моделирование и краевые задачи: труды девятой межвузовской конференции. Самара. 1999. С.82-84.

48. Лутошкин И.В. Метод параметризации в сингулярных задачах дифференциальных уравнений // Труды Средневолжского математического общества. Т.2. N1. 1999. С.98-99.

49. Лутошкин И.В. Решение вырожденных задач оптимального управления и дифференциальных уравнений методом параметризации // Труды Средневолжского математического общества. Т.З. N1. 2000. (в печати).

50. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1971. 424 С.

51. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

52. Олейников В.А., Зотов Н.С., Пришвин A.M. Основы оптимального pi экстремального управления. Учебн. пос. для ст. вузов. М.: Высшая школа, 1969.

53. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

54. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

55. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. Гл. ред. физико-математической литературы, М.: Наука, 1975. 280 С.

56. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

57. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты. //

58. Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования N 6. Научн. изд. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.•59. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука. 1978.

59. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.

60. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

61. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990.

62. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

63. Чистяков А.Ф. Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью. Рукопись. Иркутск, 2000.

64. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М.: Эдиториал УРСС, 1999. 224 С.

65. Blok М. Dynamic Models of the Firm. Berlin: Springer, 1996.

66. Hal R. Varian Computational Economics and Finance Modeling and Analysis with Mathematica. Springer. 1996. New-York.