Метод нормальных сплайнов для решения сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Свиридов, Вячеслав Юрьевич

• Свиридов, Вячеслав Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Свиридов, Вячеслав Юрьевич

Введение

1 Сингулярные задачи дифференциальных и интегральных уравнений и методы их решений

1.1 Регулярные задачи и основные методы их решения.

1.2 Жесткие задачи дифференциальных уравнений.

1.3 Сингулярные задачи на [0, оо)

1.4 Дифференциально-алгебраические системы уравнений

1.4.1 Линейные задачи.

1.4.2 Нелинейные задачи.

1.5 Численное обращение преобразования Лапласа.

2 Метод нормальных сплайнов. Теоретические аспекты

2.1 Пространства Соболева [а, Ь].

2.2 Общая схема метода.

2.2.1 Задача о нормальном сплайне. Теоремы сходимости

2.2.2 Структура нормального сплайна.

2.3 Каноническое представление линейных непрерывных функционалов в Н1(а, Ь).

2.3.1 Воспроизводящее ядро оператора канонического преобразования

2.3.2 Воспроизводящие ядра пространств Н1[0,1].

2.3.3 Воспроизводящие ядра пространств Н1 [0, оо).

2.3.4 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка на полубесконечном промежутке.

2.3.5 Интегральные функционалы преобразования Лапласа

3 Метод нормальных сплайнов. Алгоритмические аспекты

3.1 Компактная схема канонического преобразования интегральных функционалов

3.2 Построение неравномерных адаптивных сеток.

3.3 Последовательный сплайн в задачах Коши.

3.4 Нелинейные вырожденные дифференциальные уравнения

4 Интегральные уравнения первого рода с погрешностью в правой части

4.1 Схема метода для регуляризирующей задачи.

4.2 Аппроксимация производных таблично заданной функции

4.3 Обращение преобразования Лапласа.

5 Вычислительный эксперимент

5.1 Жесткие линейные задачи.

5.2 Линейные уравнения второго порядка.

5.3 Тестовая задача HIRES.

5.4 Нелинейные ДАС.

5.5 Обращение преобразования Лапласа некоторых тестовых функций.

5.6 Аппроксимация производных некоторых физических характеристик

А Описание комплекса программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод нормальных сплайнов для решения сингулярных интегральных и дифференциальных уравнений»

Дифференциальные и интегральные уравнения являются основой математического моделирования процессов в различных областях техники и естествознания. К настоящему времени существует глубокая качественная теория таких уравнений [41, 55] и богатый арсенал численных методов приближенного решения начальных и краевых задач для регулярных уравнений [6, 60, 69]. К таковым относятся дифференциальные уравнения в нормальной форме Коши, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения второго рода.

Усложнение проблем, охватываемых математическим моделированием в последние десятилетия, привело к усложнению используемого математического аппарата. В различных областях появились модели процессов, представляемых различными классами нерегулярных уравнений, для которых существующие методы решения оказались неэффективными или неприменимыми. Это механические системы с голономными связями, электрические цепи и др. [70, 73].

В данной работе в основном рассматриваются системы линейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) вида г

A{t)x'(t) + B{t)x(t) + J K(t, s)x(s)ds = f(t), (1) о где x,f,g G Rn, A(t), B(t), K(t,s) - квадратные n x n матрицы, верхний предел может быть бесконечным (Т = оо), а также квазилинейные дифференциальные уравнения

A(t)x'(t) = f(x,t). (2)

Отметим, что уравнение (1) включает в себя при A(t) = B(t) = 0 интегральные уравнения первого рода.

Известно, что сложность дифференциальных и интегральных уравнений определяется свойствами их "главных частей". В общем случае это матрица A(t), и если в (1) A(t) отсутствует (A(t) = 0), то главной частью является матрица B(t). Случай невырожденной (в алгебраическом смысле) главной части является регулярным. Здесь существует обратная матрица A-1(t) (или В-1(i)) и соответствующее дифференциальное или интегро-дифференциальное уравнение сводится к нормальной форме Ко-ши (разрешенной относительно производных x'(t)), и если A(t) = 0, то (1) является интегральным уравнением второго рода.

Уравнения (1) и (2) с вырожденной главной частью или уравнения с Т = оо называются сингулярными. Под вырожденными задачами понимаются системы с произвольным вырождением матрицы A(t) на всем промежутке интегрирования. В случае, когда матрица A(t) имеет нулевые строки, система (2) представляется в виде подсистемы дифференциальных уравнений и подсистемы конечных связей, называемых обычно алгебраическими уравнениями. Такие системы называют дифференциально-алгебраическими (ДАС).

Вырожденность в прикладных задачах может возникать при описании какого-то сложного явления. При использовании множества данных одни условия могут оказаться следствиями других. Однако, в сложных моделях иногда не удается выявить эти следствия, что ведет к вырождению задачи. Иногда при решении задач вырожденность вводят сознательно. Описывая параметры какой-либо системы, исследователи пользуются, как правило, экспериментальными данными. Избыточность этих данных используется для устранения погрешностей измерений, а наличие избыточности приводит к функциональной зависимости и вырождению.

Отдельный класс задач составляют жесткие системы уравнений [57, 70]. Характерным для всех жестких систем является поведение, при котором часть компонент изменяется медленно, а другая часть претерпевает либо быстрые начальные изменения, либо значительные изменения на некотором участке наблюдения (пограничном слое).

Другой достаточно сложной задачей является задача решения интегрального уравнения первого рода ъ

J K(t, s)x(s)ds = f(t) a в условиях приближенно заданной правой части /. Данная задача является некорректно поставленной [67] и классические методы для ее решения, как правило, неприменимы. В этом случае задача требует регуляризации. К этому классу относится, в частности, задача обращения преобразования Лапласа оо

F(p) = J e-pix{t)dt о в условиях приближенного задания изображения F(p).

Существует множество методов численного решения линейных интегральных и дифференциальных уравнений. Однако, большинство методов предназначены для решения регулярных (корректно поставленных задач) [6, 19, 60, 69].

Современное состояние проблемы численного решения сингулярных дифференциальных и интегральных уравнений достаточно полно отражено в монографии Э.Хайрера и Г.Ваннера [70], в докторских диссертациях М.В.Булатова [16], Г.Ю.Куликова [50], В.Ф.Чистякова[72], защищенных в 2002 году, а также в работах [12, 13, 15, 34, 36, 57, 73, 70, 76]. Увеличившиеся в последнее время количество работ [5, 14, 15, 49, 58], посвященных данной проблеме, говорит об ее актуальности.

Сложность решения сингулярных дифференциальных уравнений определяется принципиальной возможностью их сведения к нормальной форме Коши путем дифференцирования и конечных преобразований. Наименьшее число таких дифференцирований называется "индексом дифференцирования" (differentiation index) системы. В наиболее сложных случаях система может не иметь конечного индекса, т.е. не сводиться к нормальной форме. Простейший пример - уравнение tx'(t)-\-x(t) = f(t) на промежутке, содержащем t = 0. Действительно, при любом количестве к дифференцирований этого уравнения будет оставаться терм tx^k\t).

В зарубежной и отечественной литературе представлены в основном адаптированные классические разностные и эквивалентные им коллокаци-онные методы решения ДАС невысоких индексов (до 3-х) [70]. Большинство подходов к структурированным задачам высоких индексов основано на понижении индекса системы путем её дифференцирования и конечных преобразований. При этом в литературе общие методы определения и понижения индекса известны лишь для линейных ДАС (Ю.Е. Бояринцев и его школа: В. Чистяков, М. Булатов и др.). Они основаны на сложной алгебраической технике и ранговых критериях, которые трудно проверять в условиях приближенных данных. Также отметим метод продолжения решения по параметру (В. Шалашилин, Е. Кузнецов и др.) [73], который в сложных случаях также ограничен трудно проверяемыми алгебраическими условиями.

Для неструктурированных нелинейных систем высоких индексов в зарубежной литературе (S.Campbell) [74] предлагается переходить к продолженным системам и применять к ним метод наименьших квадратов для разрешения относительно производных искомых функций. Применение этого метода в сложных случаях затруднительно из-за отсутствия универсальных способов определения индекса и численной неустойчивости операции дифференцирования.

Для сингулярных задач с переменным вырождением главной части, несводимых к нормальной форме, упомянутые численные методы, как правило, не применимы. Соответствующие задачи являются существенно некорректными и требуют неклассической (тихоновской) регуляризации, т.е. переформулировки исходной задачи на основе дополнительной информации о решении и, возможно, о погрешности исходных данных.

В работах Горбунова В.К. [24, 25, 26] в середине 80-х годов был построен вариационный метод нормальной сплайн-коллокации (нормальных сплайнов, далее НС) для линейных интегральных уравнений первого рода, а также для начальных и краевых задач линейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений.

Новизна этого вариационного метода в том, что он направлен на подавление невязки решаемой системы и, в отличие от традиционных разностных и проекционных методов, он применим в универсальной схеме к системам ОДУ и ИДУ с произвольным вырождением главной части. Также он не накладывает специальных условий на выбор коллокационных узлов, кроме их сгущения. Другим преимуществом метода НС является то, что он легко адаптируется для решения регуляризующих задач в случае некорректности исходной задачи (неединственности и/или неустойчивости решения). В этом случае задача должна быть регуляризована, т.е. доопределена до корректной аппроксимирующей задачи на основе дополнительной информации об искомом решении.

Метод НС относится к численным методам проекционного класса. Он заключается в выборе подходящего гильбертово-соболевского пространства W^Ja, 6], переходе от функциональных уравнений к конечной коллокаци-онной системе и минимизации нормы на множестве решений конечной системы. Элемент минимальной нормы называется нормальным сплайном. В отличие от традиционных проекционных методов, в частности, известного метода сплайн-коллокации [35], в методе НС координатная система не вводится априорно, а строится автоматически. Она определяется нормой выбранного пространства, а также коэффициентами уравнения.

Выбор подходящего пространства означает, что значения координатных компонент решения в точках коллокационной сетки можно считать в данном пространстве линейными непрерывными функционалами. Эти функционалы в соответствии с теоремой Ф. Рисса [68] могут быть приведены к каноническому виду. Такое преобразование выполняется с помощью воспроизводящего ядра интегрального преобразования функций в соответствующем функциональном пространстве [4]. Таким образом, ключевой проблемой метода является, построение универсального для выбранного пространства воспроизводящего ядра.

В работах [24, 25, 26, 27] были рассмотрены задачи ИУ и ИДУ в пространствах W^a, 6) и И7!(а, 6), в частности, на неограниченных промежутках [0, оо) и (—оо, оо). Далее метод НС развивался под руководством В.К. Горбунова В.В. Петрищевым. Им был получен общий вид воспроизводящего ядра пространств функций на конечном промежутке Wl[a,b], позволяющий решать задачи в пространствах с произвольным показателем дифференцирования I [31], а также ряд алгоритмов, ускоряющих процесс решения методом НС для некоторых классов задач, в частности, им была предложена компактная схема численной реализации канонического преобразования интегрального функционала в пространстве b] для интегральных уравнений [56].

Диссертация посвящена дальнейшему развитию метода НС. В первой главе изложено современное состояние относительно численных методов решения рассматриваемых классов задач.

Вторая, третья, четвертая и пятая главы посвящены изложению метода НС и содержат, наряду с полученными ранее В.К. Горбуновым и В.В. Петрищевым, следующие новые результаты.

• Получено воспроизводящее ядро для пространства И^О, оо), что позволяет решать краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на полубесконечном интервале методом НС без редукции промежутка интегрирования.

• Получены канонические образы интегральных функционалов, позволяющие применять метод НС для решения задачи обращения преобразования Лапласа, в том числе в случае приближенно заданного изображения.

• Для линейных интегро-дифференциальных уравнений предлагается развитие компактной схемы численной реализации канонического преобразования интегральных функционалов для пространства W^Ja,

• Получены формулы дифференцирования квадратичной нормы невязки по узлам сетки и достаточные условия их применимости.

Кроме того, предложена схема последовательного построения сплайна на малых промежутках с малым числом узлов и схема метода НС для нелинейных задач на основе линеаризации Ньютона-Канторовича.

Все полученные теоретические и алгоритмические результаты реализованы в разработанном комплексе программ для решения:

• линейных интегро-дифференциальных уравнений (NSLinearlDE);

• нелинейных дифференциальных уравнений (NSNonLinearDE);

• дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе на полубесконечном промежутке (NSLinearDE2);

• задачи численного обращения преобразования Лапласа с приближенно заданным образом (NSInvLaplace);

• задач восстановления 1-й и 2-й производных приближенно заданной функции (NSDerivatives).

Выносимые на защиту результаты опубликованы в работах [32, 62, 63, 78, 81]. Ф

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Свиридов, Вячеслав Юрьевич, 2005 год

1. Абрамов А.А. О граничных условиях в особой точке для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. № 1. С.275-278.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1973.

3. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 7. С.1030-1044.

4. Ароншайн Н. Теория воспроизводящих ядер // Сб."Математика". 1963. Т.7. Вып.2. С.67-130.

5. Балакина Е.А., Кузнецов Е.Б. Решение систем дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. № 2 С.199-206.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.К., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Мир, 1988.

7. Белман Р., Кал аба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

8. Берман JI.C. Емкостные методы исследования полупроводников. М.: Наука, 1972.

9. Берман JI.С., Лебедев А. А. Емкостная спектроскопия глубоких центров в полупроводниках. Л.: Наука, 1981.

10. Биргер Е.С. Об оценке погрешности замены условия ограниченности решения линейного дифференциального уравнения на бесконечном интервале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 3. С.674-678.

11. Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ред. Бояринцев Ю.Е. Новосибирск: Наука, 1982.

12. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

13. Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.

14. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. Новосибирск: Наука, 2000.

15. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. № 4. С.459-470.

16. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс. д.ф.-м.н. Иркутск, 2002.

17. Булярский С.В., Грушко Н.С. Генерационно-рекомбинационные процессы в активных элементах. М.: изд-во Московского ун-та, 1995.

18. Василенко В.А. Сплайн-функции: Теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983.

19. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986.

20. Вершинин В.В., Павлов Н.Н. Сплайны в выпуклом множестве и проблема численного дифференцирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 4. С.621-625.

21. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

22. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

23. Горбунов В.К. Метод параметризации задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т.19. № 2. С.292-303.

24. Горбунов В.К. Методы редукции неустойчивых вычислительных задач. Фрунзе: Илим, 1984.

25. Горбунов В.К. Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью в правой части // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25, № 2. С. 210-223.

26. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29. № 2. С.212-224.

27. Горбунов В.К. Экстремальные задачи обработки результатов измерений. Фрунзе: Илим, 1990.

28. Горбунов В.К., Кохановский И.И. Итеративная регуляризация на основе сингулярного анализа // Вестник Моск. ун-та. Сер.15. (ВМК). 1995. № 1. С.17-20.

29. Горбунов В.К., Лутошкин И.В. Развитие и опыт применения метода параметризации в вырожденных задачах динамической оптимизации // Известия РАН: теория и системы управления. 2004. № 5 С. 67-84.

30. Горбунов В.К., Петрищев В.В. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений // Учёные записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механи-ки"Вып. 3. Ульяновск, 1997. С. 125-132.

31. Горбунов В.К. Петрищев В.В. Развитие метода нормальной сплайн-коллокации для линейных дифференциальных уравнений. // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 8. С.1161-1170.

32. Горбунов В.К., Свиридов В.Ю. Метод нормальных сплайнов для численного обращения преобразования Лапласа // Труды СВМО, Саранск, Т.б. № 1. 2004. С. 105-112.

33. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

34. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

35. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980.

36. Задорин А.И. Численное решение уравнения с малым параметром на бесконечном интервале // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 10. С.1671-1682.

37. Иванов Н.М., Музыченко В.П. Экономичный вариант численного обратного преобразования Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. № 4. С.992-994.

38. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

39. Канторович JI.В. Об одном новом методе приближенного решения уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1934. Т.2. № 8-9. С. 532-536.

40. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

41. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

42. Конюхова Н.Б. К решению краевых задач на бесконечном интервале для некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особеностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т.10. № 5. С.1151-1163.

43. Конюхова Н.Б. Об итеративном решении нелинейных краевых задач, выделяющих малые решения некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особеностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. № 5 С.1221-1231.

44. Кохановский И.И. Нормальные сплайны в вычислительной томографии // Автометрия. 1995. К0- 2. С.84-89.

45. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974.

46. Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Решения дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т.37. № 6 С.711-722.

47. Куликов Г.Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т.ЗЗ. № 4 С. 522-540.

48. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для систем дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Ругне-Кутты с нетривиальным предиктором // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1998.Т.38. № 1. С.68-84.

49. Куликов Г.Ю. Об использовании итерационных методов ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №.8. С.1180-1189.

50. Куликов Г.Ю. Численные методы с контролем глобальной ошибки для решения дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1. Дисс. . д.ф.-м.н. Ульяновск, 2002.

51. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975.

52. Лутошкин И.В. Метод параметризации и его использование в вырожденных задачах. Дисс. кан. физ.- мат.наук, (Ульяновск, УлГУ, 2000).

53. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

54. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления неограниченных операторов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. ДО 3. С.545-556.

55. Понтрягин Л.С. Обыкновенный дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.

56. Петрищев В.В. Экономичная схема вычисления канонических образов интегральных функционалов метода нормальных сплайнов // Уч. Записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 2(7). 1999. С.37-43.

57. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

58. Рафатов И.Р., Скляр С.Н. Разностные схемы для сингулярно возмущенных краевых задач, возникающих при решении эллиптических уравнений со свойством сферической симметрии Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. № 9 С. 1383-1393.

59. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

60. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

61. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной М.: Наука, 1979.

62. Свиридов В.Ю. Каноническое преобразование интегральных функционалов метода нормальных сплайнов в пространстве 0,1] // Ученые записки УлГУ. Сер. Фунд проблемы математики и механики. Выпуск 1(10). Ульяновск, 2001. С.95-103.

63. Свиридов В.Ю. Оптимизация сеток нормальных сплайнов для интегро-дифференциальных уравнений // Труды СВМО, Саранск, Т.3-4. 2002. С.236-245.

64. Соболев C.J1. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

65. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.:Наука, 1976.

66. Тарасов Р.П. Вычисление функций в алгебре треугольных теплицевых матриц и численное обращение преобразования Лапласа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т.30. № 12 С. 1827-1833.

67. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

68. Треиогин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

69. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1999.

70. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.

71. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.

72. Чистяков В.Ф. Системы интегро-дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной главной частью. Дисс. . д.ф.-м.н. Иркутск, 2002.

73. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

74. Campbell S. Numerical methods for unstructured higher index DAEs// Annals of Numerical Mathematics. 1994. № 1. P. 265-277.

75. Gear C.W. Differential-algebraic equations index transformations // SIAM.J.Sci.Stat. Comput. 1988. V. 9. № 1. P. 39-47.

76. Gear C.W., Petzold L.R. ODE methods for the solution of differential/algebraic systems // SIAM. J.Numer. Anal. 1984. V. 21. № 4. P.716-728.

77. Gorbunov V.K. Regularization of degenerate equations and inequalities under explicit data parameterization // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. V.9. № 6. P. 575-594.

78. Gorbunov V.K., Gorobetz A.S., Sviridov V.Yu. The normal spline method in singular linear ODEs of second order // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Новосибирск. 2004. С.164-170.

79. Gorbunov V.K., Kohanovsky I.I., Makedonsky K.S. Normal splines in reconstruction of multi-dimensional dependencies // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Новосибирск. 2004. С.170-176.

80. Gorbunov V, Lutoshkin I. The parameterization method in singular differential-algebraic equations // Computational Science- ICCS 2003 / P. Slot et al. (Eds.). LNCS 2658. Springer, 2003. P. 483-491.

81. Gorbunov V.K., Petrischev V.V., Sviridov V.Yu. Development of the normal spline method for linear integro-differential equations. P.Slot et al. (Eds.): ICCS 2003, LNCS 2658, Springer-Verlag, Berlin, 2003. P. 492-499.

82. Jiang Y.-L, Wing O. A note on convergence condition of waveform relaxation algorithm for nonlinear differential-algebraic equations // Applied Numerical Mathematics. 2001. V.36. P.281-297.

83. J.J.B. de Swart and W.M. Lioen. Collecting real-life problems to test solvers for implicit differential equations // CWI Quarterly. № 11. Vol.1. 1998. P. 83-100.

84. Marz R. On correctness and numerical treatment of boundary values problems in differential-algebraic equations // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1986. Т. 26. № 1. С.50-64.