Метод управляемых моделей в задаче реконструкции структуры динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузьмина, Нина Александровна

• Кузьмина, Нина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузьмина, Нина Александровна

Введение.

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ВХОДНЫХ

ВОЗДЕЙСТВИЙ И НЕИЗМЕРЯЕМЫХ КООРДИНАТ ФАЗОВОГО

СОСТОЯНИЯ.

§1.1. Метод управляемых моделей в задаче реконструкции неизвестных характеристик нелинейных систем с запаздыванием.

§ 1.2. Реконструкция входа при измерении всех координат.

§ 1.3. Реконструкция входов и части фазовых координат при измерении другой части координат.

§ 1.4. Результаты вычислительного эксперимента.

ГЛАВА 2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

§2.1. Восстановление структуры линейной нестационарной системы.

§ 2.2. Восстановление структуры и части фазовых координат линейной стационарной системы.

§ 2.3. Результаты вычислительного эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод управляемых моделей в задаче реконструкции структуры динамических систем»

Актуальность темы. Диссертация посвящена приложениям одного из основополагающих методов теории гарантированного управления — метода управляемых моделей — к задачам восстановления структуры динамических систем, описываемых уравнениями с последействием. В созданной H.H. Красовским и его последователями теории гарантированного управления указанный метод играет исключительно важную роль. Метод управляемых с помощью экстремального сдвига моделей, представляющий собой принцип мгновенного управления с учетом обратной связи, лежит в основе позиционных решений антагонистических дифференциальных игр, определяет структуру оптимальных гарантирующих законов управления, составляет базу регуляризованной процедуры управления с поводырем. Идея экстремального сдвига оказалась эффективной и при решении задач, находящихся за пределами теории управления. В числе таких задач — задачи устойчивого обращения управляемых систем, в первую очередь - динамического обращения. Теория динамического обращения концентрируется вокруг метода оперативного восстановления ненаблюдаемых входов, в основе которого лежит экстремальный сдвиг, соединенный с техникой регуляризации.

Задачи реконструкции структуры изучаемых объектов по доступной информации возникают во многих теоретических и прикладных исследованиях. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в определении структуры, например, неизвестного входа системы, по результатам измерений ее выхода. При этом само уравнение, задающее динамику системы, может быть как известным, так и подлежащим определению. Таким уравнением может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т.д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, начальное состояние и т.д.

Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы.

Если доступная информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих алгоритмов. Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, А.Б. Куржанский, М.М. Лаврентьев, В .Г. Романов, Ф.Л. Черноусько, В.В. Васин, В.И. Агошков, Ф.П. Васильев, В.Я. Арсенин и др.

Алгоритмы регуляризации в указанных работах обрабатывают всю историю изменения входа, т.е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работе A.B. Кряжимского и Ю.С. Осипова [27]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В исследовании [73] развита общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе описанных в указанных исследованиях алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления [19—21] с моделью и методов теории некорректных задач [15, 33, 56, 57]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Данный подход успешно применялся к решению динамических обратных задач для различных классов систем В.И. Максимовым,

А.И. Коротким, В.Л. Розенбергом, И.А. Цепелевым, М.С. Близоруковой и другими авторами.

Первая глава диссертации продолжает исследования указанных выше авторов. В ней исследуются задачи динамического восстановления входных воздействий и неизмеряемых координат фазового вектора для некоторых классов динамических систем, осложненных эффектом последействия. При этом рассматриваются нелинейные по фазовым переменным системы.

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи восстановления структуры линейных систем с запаздыванием. В отличие от главы 1, для решения этих задач применяются итерационные алгоритмы, обрабатывающие всю историю входа. Эти алгоритмы основаны на конструкциях работы [30], получивших развитие в исследованиях [68,24,25]. При создании представленных в главе 2 алгоритмов, как и в первой главе, также используются вспомогательные управляемые модели, описываемые уравнениями без запаздывания, фазовые пространства которых, однако, бесконечномерны. Законы управления этими системами также основаны на подходящих модификациях метода экстремального сдвига. Следует отметить, что в контексте задач обращения динамических систем представленные в главе 2 итерационные алгоритмы осуществляют последовательный направленный пересчет управлений (являющихся функциями времени) как элементов функционального пространства. Родственность итерационных и динамических методов во многом обусловлена тем фактом, что итерационный метод, формируя каждое новое приближение на базе информации о текущем приближении, на деле реализует принцип обратной связи для вспомогательной системы, в которой номер итерационного шага играет роль момента времени, а текущее приближение — роль текущего фазового состояния.

Цель работы. Построение и обоснование сходимости новых регуляризирующих алгоритмов для решения задач реконструкции структурных характеристик динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработка и апробация устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений итерационных алгоритмов решения указанных задач.

Методы исследования. В основе методов исследования лежит известный в теории позиционного управления принцип вспомогательных, управляемых с помощью законов обратной связи, моделей. В работе систематически используются элементы теории дифференциальных уравнений, математической теории управления, функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы дополняют теорию обратных задач динамики управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработанные в диссертации динамические, а также итерационные алгоритмы реконструкции структурных характеристик управляемых систем ориентированы на компьютерную реализацию и предназначены для работы в условиях неполной и меняющейся информации. Они устойчивы к информационным помехам и погрешностям вычислений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Для управляемой системы, описываемой нелинейным векторным дифференциальным уравнением с последействием, указан динамический алгоритм восстановления входного воздействия, основанный на методе экстремального сдвига, локально регуляризованного с помощью сглаживающего функционала. Установлены оценки сверху скорости сходимости алгоритма.

2. Решена задача динамического восстановления пары "управление-траектория" (при измерении части координат фазового вектора) для нелинейной системы, описываемой уравнением с последействием, в случае отсутствия ограничений на управление.

3. Построено семейство итерационных алгоритмов восстановления структуры линейной системы с запаздыванием по результатам неточных 6 измерений всех фазовых координат. Алгоритмы основаны на методе вспомогательных позиционно-управляемых моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве.

4. Сконструировано семейство итерационных алгоритмов восстановления структуры линейной нестационарной системы с запаздыванием, а также ненаблюдаемых координат фазовой траектории по результатам неточных измерений другой части фазовых координат.

Результаты диссертационной работы являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В каждой главе система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер параграфа, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 115 страниц машинописного текста.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузьмина, Нина Александровна, 2011 год

1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

3. Арсенин В. Я., Гончарский A.B. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестн. МГУ. Сер. Вычисл. математика и кибернетика. 1981. № 3. С. 13-17.

4. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998, №2, с. 56-61.

5. Барбашин Е.А. Введение в иеорию устойчивости. М.Наука, 1967.

6. Бухгейм А. JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

7. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981.

8. Васильева Е.В. Максимов В.И. О динамической реконструкции управлений в дифференциальном уравнении с памятью. // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. N. 6. С. 813-821.

9. Васин В. В., Агеев А. JT. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

10. Вдовин A.IO. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. В кн.: Задачи позиционного моделирования. Свердловск. 1986. С.3-11.

11. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

13. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемыхсистем. В кн.: Механика и научно-техн. прогресс. Т. 1. Общ. и прикл. механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

14. Жевнин A.A., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. №4. С. 29-35.

15. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

16. Кадиев А. М. Об обратной задаче динамического восстановления в системе с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007, вып. 2, с. 100-105.

17. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. высш. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109-120.

18. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 21-24.

19. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

20. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

21. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

22. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

23. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

24. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119-125.

25. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Экстремальные задачи с отделимыми графиками // Кибернетика и систем, анализ. 2002. No. 2. С. 32-55.

26. Кряжимский A.B., Пащенко C.B. К решению линейной задачи быстродействия со смешанными ограничениями // ВИНИТИ. Итоги иауки и техники. Сер. Соврем, математика и ее прил. 2002. Т. 90. С. 232-260.

27. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. №2. С. 29-41.

28. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

29. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат. // Сб. науч. тр. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С. 33-47.

30. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

31. Куржанский А. Б., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем//ДАН. 1998. Т. 1.№2. С. 31-36.

32. Лаврентьев M. М. О некоторых некорректных задачах математическойфизики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

33. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, СО, 1980.

34. Максимов В. И. Метод функций Ляпунова в задачах реконструкции входов систем с последействием // Современная математика и ее приложения. Т. 26 (2005). С. 78-95.

35. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

36. Максимов В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат // В кн. «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения». М.: ВИНИТИ, 2002. С. 137-171.

37. Максимов В.И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах. // Прикладная математика и механика. 2001. Т.65. N 3. С.35-42.

38. Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев В. П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

39. Марчук Г. И. Методы вычисл. математики. Новосибирск: Наука, 1973.

40. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.

41. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

42. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

43. Овсеевич А. И., Трущенков В. Л., Черноусько Ф. Л. Управления непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика, 1984, №4.

44. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

45. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннот. докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

46. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

47. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

48. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт Института математики и механики УрО АН СССР. 1991. 104 С.

49. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Обратные задачи динамики для парабо лических систем // Дифференц. уравн. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

50. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки. 1974. С. 755-765.

51. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента при младшей производной в параболическом уравнении // Дифференц. уравн. 1987. Т. 23. № 1. С. 136-143.

52. Ровенская Е.А. К решению задачи об оптимальном параметре совместности для одного класса уравнений в банаховом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. т. 44. № 12. С. 2150-2166.

53. Розенберг В. Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

54. Розенберг В. Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с112неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

55. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

56. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

57. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

58. Черноусько Ф. J1. Гарантированные оценки неопределенных величин при помощи эллипсоидов // ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 1. с. 198-207.

59. Черноусько Ф. J1. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

60. Banks Н. Т., Wade J. G. Weak Tau approximations for distributed parameter systems in inverse problems // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1991. Vol. 12. No.l&2. P. 1-31

61. Brockett R. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. No. 1-3. P. 548-563.

62. Ermoliev Yu. M., Kryazhimskii A. V., Ruszczynski A. Constraint aggregation principle in convex optimization // Mathematical Programming. 1997. Series B, 76. P. 353-372.

63. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

64. Kadiyev A. M. and Maksimov V. I. Dynamical Discrepancy Method in an Input Reconstruction Problem for a Delay System // Functional Differential Equations. Vol. 14, 2007. No. 3-4. PP. 1-19.

65. Kappel F., Maksimov V. I. Robust dynamic input reconstruction for delay systems// Int. J. Appl. Math, and Сотр. Sci., 2000. Vol. 10. No. 2. P. 283-307.

66. Kryazhimskii A. V. Convex optimization via feedbacks // SIAM J. Control Optimization, 1999. Vol. 37. P. 278-302.

67. Kryazhimsky A.V. Optimization problems with convex epigraphs. Application to optimal control. // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2001. Vol. 11. No. 4. pp. 101-129.

68. Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I., Osipov Yu. S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-96-97. 1996.

69. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization", Tokyo, Japan, 1987. Springer, 1988.

70. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium on Functional Differential Equations, Kyoto, Japan, 30 August—2 September 1990. P. 309-317.

71. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

72. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141-149.

73. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 270-276.

74. В.И. Максимов, H.A. Федина. Метод управляемых моделей в задаче реконструкции нелинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, № 1, с. 36-40.

75. Н. А. Кузьмина, В. И. Максимов. О реконструкции управлений при изменении части координат нелинейной динамической системы с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения, 2010, т. 46, № 8, с.1141177-1190.

76. В.И. Максимов, Н.А. Федина. Задачи динамического обращения в системах с последействием// Известия института математики и информатики. Ижевск, 2006, вып. 3 (37), с. 93-94.

77. Федина Н., Максимов В. О моделировании управлений в системах с последействием // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Математика, механика, информатика». Челябинск, 2006, с. 139.

78. Н.А. Федина. Об одном алгоритме восстановления входов в системе с запаздыванием Н Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». 2008, с. 255-259.

79. В.И.Максимов, Н.А. Федина. О восстановлении матриц линейной системы с несколькими запаздываниями. // Сб. науч. тр. «Математическое моделирование и информационные технологии». Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2008. С. 75-81.

80. Н.А. Федина. К проблеме динамического восстановления входов в системе с запаздыванием. Тез. Всерос. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г., с. 230.

81. Blizorukova М., Fedina N., Maksimov V. On reconstruction of structure of a linear system with time delay // Opuscula Mathematica, 2006, vol. 2, no. 2, pp. 57-67.

82. H. А. Кузьмина. Об одной задаче реконструкции для системы с запаздыванием. Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 3-6 июня 2010, Часть 2, с. 153—156.

83. М. S. Blizorukova, N. A. Kuzmina, V. I. Maksimov. On reconstruction of unknown coordinates and matrices of a linear delay system // Functional Differential Equations, 2011, Vol. 18, no. 1-2, pp. 73-88.