Аппроксимация конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Плаксин Антон Романович

• Плаксин Антон Романович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Плаксин Антон Романович

Введение

I Функционально-дифференциальные системы

запаздывающего типа

1. Конфликтно-управляемая система

2. Аппроксимация элемента запаздывания

3. Моделирующая система

4. Теорема о близости

5. Взаимное отслеживание

6. Пример

II Функционально-дифференциальные системы

нейтрального типа в форме Дж. Хейла

7. Конфликтно-управляемая система

8. Моделирующая система

9. Теорема о близости

10. Взаимное отслеживание

11. Пример

III Линейные системы нейтрального типа

12. Конфликтно-управляемая система

13. Аппроксимация измеримого элемента запаздывания

14. Моделирующая система

15. Взаимное отслеживание

16. Пример

IV Дифференциальные игры для систем нейтрального типа

17. Постановка задачи

18. Аппроксимационная дифференциальная игра

19. Предельная цена аппроксимационной игры

20. Цена и седловая точка в исходной дифференциальной игре

21. Пример

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем»

Введение

Диссертация посвящена разработке и обоснованию аппроксимаций функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Развивается подход, основанный на использовании таких аппроксимаций для решения задач конфликтного и гарантирующего управления в динамических системах, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями.

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Исторически, возникновение задач конфликтного управления обусловлено исследованием реальных процессов, в которых управление динамической системой происходит в условиях неконтролируемых помех со стороны окружающей среды или сознательного противодействия некоторого лица (противника). При этом, целью управления зачастую является достижение некоторого качества процесса, которое во многих случаях можно описать при помощи подходящего показателя. Возникает задача о нахождении управления, которое способно обеспечить показателю качества оптимальный гарантированный результат. Такие задачи формализуются в рамках теории дифференциальных игр, становление которой относится к началу 1960-х годов и связано с именами Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеничного, ИЛБаасБ, "^Н.Иеш^ и A.Fгiedman (см., например, [3,29,30,33, 70,72,112-114]). Существенный вклад в развитии этой теории внесли Э.Г.Альбрехт, В.И.Жуковский, А.Ф.Клейменов, А.Н.Красовский, А.В.Кряжимский,

A.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, А.А.Меликян, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольский, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко, Н.Н.Петров, Л.А.Петросян,

B.Г.Пименов, Е.С.Половинкин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Тарасьев,

B.Е.Третьяков, В.И.Ухоботов, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрий, С.В.Чистяков, ЕУ.Баггоп, Т.Баэаг, Ь.Э.Бегкоу^, Р.БегпЬаЫ, А.Б^шеге, А.Бгувоп, Р.Са^аНа§ие1;, Я.Л.ЕШо^ А.На1апау, У.О.Но, К.Л.КаНюп,

C.Ье^тапп, M.Quincampoix, Е.Яохт, Р.Ба^^егге, и многие другие ученые (см., например, работы [4,12,13,15,16,20,22,32-36,39-42,55,58,60-65,76-82,88-90,100-102,104,107,115,118,121,123,126,129,133] и библиографию к ним). В результате этих исследований была достаточно полно сформирована теория дифференциаль-

ных игр для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также была инициирована активно развивающаяся и по сей день теория дифференциальных игр для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями. Представленная диссертация направлена на дальнейшее развитие этого направления и касается динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов.

Исследования функционально-дифференциальных уравнений были инициированы процессами, для полного описания которых не хватало теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, например, часто встречаются процессы, эволюция которых зависит не только от состояния процесса в текущий момент времени, но и от состояний в прошлом (истории). Такие процессы могут быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа или, в другой терминологии, наследственных систем или систем с последействием. К таким процессам относятся, например, процесс деформации упругопластичных материалов, процесс развития биологических сообществ, процесс распространении эпидемии или последействий экологических катастроф. В случае же, если помимо зависимости эволюции от состояний есть также дифференциальная зависимость от динамики процесса в прошлом, то такие процессы могут быть описаны системами функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. Примерами таких процессов служат нелинейные колебания малой амплитуды в электрической сети, торсионные волны, возникающие при вращении бурильной колонны, поведение напряжения в сети при отрицательном сопротивлении. Также указанные типы функционально-дифференциальных уравнений привлекаются для описания и других социально- и эколого-экономических, химико-технологических, теплоэнергетических процессов и т.д. Соответствующие примеры и библиографию можно найти в работах [14,23,53,86,94,103,105,122].

Первые примеры рассмотрения функционально-дифференциальных уравнений, а именно, дифференциальных уравнений с запаздыванием, были у Бернулли, Эйлера, Лапласа, позднее у Вольтера, но целенаправленное исследование различных функционально-дифференциальных уравнений как запаздывающего, так и нейтрального типов началось в 1950-х годах и связано с именами Н.Н.Красовского, А.Д.Мышкиса, К.БеПшап, К.Ь.Соок, Л.К.Ыа1е. Большой вклад в

становление и развитие качественной теории функционально-дифференциальных уравнений внесли Н.В.Азбелев, Р.Ф.Габасов, Е.С.Жуковский, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, Ф.М.Кириллова, В.Б.Колмановский, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, В.И.Максимов, В.В.Малыгина, А.А.Мартынюк, Г.И.Марчук, Ю.А.Митропольский, С.Б.Норкин, В.Р.Носов, Ю.С.Осипов, Б.С.Разумихин, Л.Ф.Рахматуллина, А.Л.Скубачевский, С.Н.Шиманов, Г.Л.Харатишвили, Л.Э.Эльсгольц, Ы.Т.Бапкэ, Т.Л.Бш^оп, C.Coгduпeaпu, М.С.ЭеНЬиг, К.Э.Эпуег, Л.Ыа1апау, Ы.Л.КиэЬпег, T.Yoshizawa и многие другие авторы (см., например, [1,2,5,7,10-12,15,17,19,21,23,25,26,36,37,39,50-52,56,58-60, 74,83-86,91,92,98,99,106,108,110,120,122,124,128,130-132,134]). Эти исследования, в частности, показали, что динамические системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями обладают существенными особенностями и к ним неприменимы напрямую результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, было показано, что при должном осмыслении поведение таких систем можно характеризовать на основе методов и конструкций, во многом аналогичных наработанным в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов были изучены множество задач, в том числе задачи программного и позиционного управления. Для систем запаздывающего типа такие задачи рассматривались, например, в работах [5,11,12,15,18,52,83,92,97,99,108,122], а для систем нейтрального типа - в работах [21,54,84,85,98,120,124,128,130-132,134]. В основном, эти исследования посвящены задачам о стабилизации, управляемости и наблюдаемости таких систем, задачам оптимального управления и синтеза с выходом к соответствующим уравнениям Гамильтона-Якоби-Беллмана. Задачи конфликтного управления и теория дифференциальных игр для систем запаздывающего типа были достаточно полно исследованы в работах [12,15,39,41,42,60,118]. В частности, в работах [41,42] для систем запаздывающего типа была развита теория минимаксных (обобщенных) решений функциональных уравнений типа Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными. Заметим, однако, что теория дифференциальных игр для систем нейтрального типа на данный момент представляется еще не сформировавшейся и достаточно малоизученной областью

математики. Здесь можно отметить работы [6,9,51,58]. Таким образом, рассматриваемые в диссертации вопросы, связанные с задачами конфликтного управления и теорией дифференциальных игр для динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа, в настоящий момент, являются открытыми и представляются актуальными.

Методология и методы исследования. Как уже было отмечено выше, в основе полученных в диссертации результатов лежит использование аппроксимаций систем функционально-дифференциальных уравнений системами обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Такие аппроксимации восходят к работам [27,28,37,73,75], где с их помощью были даны решения некоторых задач об устойчивости и об управлении в системах дифференциальных уравнений с запаздыванием. Обоснование такой аппроксимации для линейных стационарных систем и постоянных запаздываний дано в [27]. В [73] этот результат распространен на нелинейные нестационарные системы, а в [37] — на случай переменных запаздываний. Позднее подобные аппроксимации, их обобщения и приложения к различным задачам развивались в работах [8, 36, 50, 59, 95, 96, 111, 125, 134]. Отметим, что в работах [59, 111, 125] были рассмотрены аппроксимации систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа.

В диссертации развивается подход, представленный в работе [31], где было предложено использовать аппроксимирующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений в качестве моделирующих систем-поводырей [30, 33] для решения задач конфликтного управления динамическими системами, описываемыми функционально-дифференциальными уравнениями с сосредоточенным запаздыванием. В основе такого подхода лежит процедура взаимного отслеживания между движением исходной конфликтно-управляемой системы и движением моделирующей системы. Идейно процедура взаимного отслеживания осуществляется так, что нужная близость движений гарантируется при помощи полезного управления в исходной системе и определенной части управляющих воздействий моделирующей системы. Оставшаяся часть управляющих воздействий моделирующей системы может быть при этом использована для компенсации неконтролируемых помех и обеспечения требуемого качества всего процесса. Таким образом, процедура взаимного отслеживания позволяет опосредовано, через моделирую-

щую систему-поводырь, применить результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению задач конфликтного управления движением более сложных функционально-дифференциальных систем.

Цели и задачи. Диссертация направлена на развитие и обоснование вышеуказанного похода для конфликтно-управляемых динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов, а также, на применение такого подхода для решения дифференциальных игр в системах нейтрального типа.

Краткое содержание работы.

В главе I рассматривается конфликтно-управляемая динамическая система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа. Описание этой системы приведено в разделе 1. Конфликтно-управляемся природа системы выражается в наличии в ней полезного управляющего воздействия и и воздействия неконтролируемой помехи V. Функционально-дифференциальная структура уравнения характеризуется зависимостью его правой части от функциональной переменной, которая описывает историю движения системы некоторой заданной длинны. В дальнейшем, такую функциональную переменную будем также называть элементом запаздывания движения. В постановке задачи предполагается, что начальные условия системы определяются непрерывной функцией. Также предполагается, что для правой части системы выполнены стандартные условия, обеспечивающие существование и единственность решения, и так называемое «условие седловой точки в маленькой игре», известное также в теории дифференциальных игр как условие Айзекса.

Раздел 2 носит вспомогательный характер и может предоставлять самостоятельный интерес для исследователей. Он посвящен аппроксимации элемента запаздывания заданной входной функции решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Отметим, что обоснование такой конечномерной аппроксимации для липшицевой входной функции было дано в [73]. Основываясь на операторном представлении решений аппроксимационной системы, в разделе 2 дается обоснование аппроксимации в случае непрерывной входной функции. Этот результат позволяет применять конечномерную аппроксимацию к системам, решениями которых являются непрерывные функции и, в част-

ности, к рассматриваемой в первой главе системе, описываемой функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа.

Используя такую конечномерную аппроксимацию, на основе конфликтно-управляемой системы из раздела 1, в разделе 3 строится моделирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющими воздействиями р и д. В ней вместо элемента запаздывания движения в правую часть подставляется линейный сплайн, построенный по фазовому вектору системы. Приводятся некоторые вспомогательные утверждения о предкомпактности и об аппроксимацион-ных свойствах решений моделирующей системы, пользуясь которыми в разделе 4 доказывается теорема о близости решений исходной конфликтно-управляемой системы и моделирующей системы при достаточно большой размерности моделирующей системы в случае равенств воздействий и и р, и воздействий V и д. Доказательство теоремы основано на использовании функционала Ляпунова, оценивающего рассогласование движений исходной и моделирующей системы в равномерной метрике. Отметим, что эта теорема может быть использована для сведения задач конфликтного управления системами функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа к задачам конфликтного управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений, но только в случае, если реализация воздействий помехи V заранее известна управляющему лицу, распоряжающемуся воздействиями и, р и д. В случае же, если помеха неизвестна, то аналогичное сведение можно осуществить пользуясь процедурой взаимного отслеживания между движениями исходной функционально-дифференциальной и моделирующей систем. Описанию этой процедуры посвящен раздел 5. Процедура взаимного отслеживания реализуется с использованием управляющих воздействий и и д в исходной и моделирующей системах соответственно, на основе экстремального сдвига в направлении градиента функционала Ляпунова в дискретной по времени цепи обратной связи. Доказывается, что при достаточно большой размерности моделирующей системы, при осуществлении процедуры взаимного отслеживания, для любых допустимых реализаций управляющего воздействия р и воздействия помехи V, движения исходной и моделирующей систем будут близки в равномерной метрике. Показывается, что этот результат устойчив к неточностям измерений и вычислительным погрешностям. Приводится модификация процедуры взаимно-

го отслеживания в случае невыполнения «условия седловой точки в маленькой игре». Численное моделирование процедуры приведено в разделе 6.

В главе II рассматривается конфликтно-управляемая динамическая система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла. Отличие этого уравнения от уравнения запаздывающего типа заключается в появлении в его левой части под знаком производной функционала, зависящего от элемента запаздывания движения. Детальное описание динамической системы и условий на нее приведено в разделе 7. Отметим, что из-за того, что в уравнениях нейтрального типа элемент запаздывания движения необходимо дифференцировать, в качестве начальных условий для таких уравнений выбираются липшицевы функции и следовательно решения рассматриваются тоже в пространстве липшицевых функций.

Разделы 8-11 главы II идейно следуют той же схеме, что и разделы 3-6 главы I. На основе конечномерной аппроксимации строится моделирующая система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями. Доказываются вспомогательные утверждения относительно предкомпактности и аппроксимирующих свойств решений этой системы. Доказывается теорема о том, что при достаточно большой размерности моделирующая система аппроксимирует исходную конфликтно-управляемую систему в случае равенств соответствующих управляющих воздействий в этих системах. Отметим, что в отличие от аналогичной теоремы для систем запаздывающего типа (раздел 4), в этой теореме, принимая во внимание липшицевость решений, удается получить оценку сходимости. На основе подходящего функционала Ляпунова приводится и обосновывается процедура взаимного отслеживания по принципу обратной связи между движениями исходной конфликтно-управляемой системы нейтрального типа и моделирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В разделе 6 представлен пример, иллюстрирующий реализацию такой процедуры.

Глава III посвящена конфликтно-управляемой системе, описываемой линейным функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа. Первой особенностью рассматриваемого уравнения является измеримость матриц-функций, стоящих перед запаздываниями производной движения. Отметим, что согласно этому условию такие уравнения могут не содержаться в классе рас-

сматриваемых в главе II уравнений нейтрального типа в форме Дж. Хейла. Второй особенностью являются то, что начальные условия для движения системы и для производной движения могут задаваться двумя независимыми измеримыми функциями. Зачастую такая постановка называется краевой задачей для систем нейтрального типа (см., например, [1,2]).

Для получения аналогичных главам I, II результатов для таких динамических систем недостаточно обоснования конечномерной аппроксимации элемента запаздывания движения. Необходимо также аппроксимировать его производную, которая, вообще говоря, является лишь измеримой функцией. Поэтому в разделе 13 рассматривается соответствующая конечномерная аппроксимация элемента запаздывания измеримой входной функции. Пользуясь результатами из раздела 2, такую аппроксимацию удается обосновать. При этом сходимость здесь понимается в некотором смысле в интегральной метрике, в отличие от раздела 2, где она понималась в равномерной метрике. Тем не менее, такого характера сходимости оказывается достаточно для доказательства дальнейших утверждений.

Вследствие отсутствия связи между начальными условиями для движения системы и его производной, соответствующая моделирующая система состоит из двух аппроксимационных звеньев. Одно звено отслеживает элемент запаздывания движения, а другое — элемент запаздывания производной движения. Описание этой системы и ее аппроксимационные свойства приведены в разделе 14.

В разделе 15 доказывается теорема о близости между движениями исходной системы и моделирующей системы при реализации процедуры взаимного отслеживания на основе экстремального сдвига в направлении градиента функционала Ляпунова, соответствующего рассматриваемым линейным функционально-дифференциальным системам. При этом доказательство того факта, что из малости такого функционала вдоль движения следует малость самого движения, опирается на вспомогательную лемму, идущую перед указанной теоремой. Эту лемму можно также трактовать как некоторый аналог леммы Гронуолла-Беллмана. Численное моделирование процедуры взаимного отслеживания для рассматриваемых линейных систем приведено в разделе 16.

В главе IV рассматривается дифференциальная игра на конечном промежутке времени, в которой конфликтно-управляемая динамическая система описыва-

ется функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла из главы II. Управляющие воздействия игроков стеснены геометрическими ограничениями. Качество процесса управления определяется показателем, оценивающим историю движения, сложившуюся к терминальному моменту времени. Игра формализуется в классе стратегий управления с поводырем в рамках позиционного подхода [30,33]. Формализация игры приведена в разделе 17.

В разделе 18 строится аппроксимационная дифференциальная игра в классе чистых позиционных стратегий, в которой движение конфликтно-управляемой системы описывается соответствующей моделирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а показатель качества является терминальным. В разделе 19 показано, что цена аппроксимационной игры сходится к некоторой предельной величине. В разделе 20 показывается, что эта предельная величина совпадает с ценой исходной игры, при этом оптимальные стратегии в исходной дифференциальной игре могут быть построены на основе использования в качестве поводырей оптимальных движений аппроксимационной дифференциальной игры. Завершается четвертая глава разделом 21, в котором приведен иллюстрирующий пример численного решения дифференциальной игры.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании задач конфликтного управления и развитии теории дифференциальных игр в динамических системах, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов, а также при разработке численных методов их решений.

Положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Рассмотрена конфликтно-управляемая динамическая система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа. На основе этой системы, используя конечномерную аппроксимацию элемента запаздывания, построена моделирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Дано обоснование устойчивой к возмущениям процедуры взаимного отслеживания по принципу обратной связи между движением исходной

конфликтно-управляемой системы и движением моделирующей системы.

2. Рассмотрены два класса конфликтно-управляемых динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа. Первый класс описывается нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа в форме Дж. Хейла, а второй — линейными функционально-дифференциальными уравнениями при достаточно общих предположениях. Для каждого из рассматриваемых классов построена моделирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений, а также приведена и обоснована процедура взаимного отслеживания между движениями исходной конфликтно-управляемой системы и моделирующей системы.

3. Для конфликтно-управляемой динамической системы, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением нейтрального типа в форме Дж. Хейла, и показателя качества, который оценивает историю движения, реализовавшуюся к терминальному моменту времени, рассмотрена дифференциальная игра в классе стратегий с поводырем. Построена аппрок-симационная дифференциальная игра в классе чистых позиционных стратегий, в которой движение описывается соответствующей моделирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а показатель качества является терминальным. Используя процедуру взаимного отслеживания между движениями исходной конфликтно-управляемой и моделирующей системами, доказано, что цена аппроксимирующей игры в пределе дает цену исходной игры, при этом оптимальные стратегии игроков в исходной игре могут быть построены на основе использования в качестве поводырей оптимальных движений аппроксимационной игры.

Степень достоверности и апробация результатов. Степень достоверности результатов проведенных исследований подтверждена строгостью математических доказательств, приведенных с использованием методов теорий дифференциальных игр и оптимального управления, а также математического и функционального анализа. Результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры вычислительно математики и компьютерных наук Института естественных наук и математики Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина и семинарах отдела динамических систем Института математики и механики имени Н.Н.Красовского УрО РАН, а также представлялись на

научной конференции «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление» (Москва, 2012), на 43-ой и 44-ой Всероссийских школах-конференциях «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2012 и 2013), на 6-ой Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2013), на международной конференции «Динамика систем и процессы управления», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского (Екатеринбург, 2014), на «The 16-th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (CA0'2015)» (Germany, Garmisch-Partenkirchen, 2015), на XII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, 2014), на втором международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби», посвященному 70-летию академика А.И.Субботина (Екатеринбург, 2015) и на «The 20-th World Congress of the International Federation of Automatic Control» (France, Toulouse, 2017).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 14 научных работах [43-49,66-69,116,117,127]. Из них 5 работ ([44-46,48,69]) опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК, и 3 работы ([116,117,127]) — в изданиях, приравненных к изданиям из перечня ВАК. При этом работы [46,48,69] проиндексированы в международной реферативной базе данных Web of Science, а работы [46,48,69,116,117,127] — в базе данных Scopus.

Личный вклад автора. В работах [43-49, 127] научному руководителю Н.Ю. Лукоянову принадлежат постановки задач и общие схемы их исследований, а соискателю А.Р. Плаксину точные формулировки и доказательства результатов. В работе [116] М.И. Гомоюнову принадлежат результаты всех разделов кроме раздела 5, а А.Р. Плаксину принадлежат результаты раздела 5. В работе [117] А.Р. Плаксину принадлежат результаты всех разделов кроме разделов 6 и 7, а М.И. Гомоюнову принадлежат результаты разделов 6 и 7. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плаксин Антон Романович, 2018 год

Литература

1. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, № 5. С. 771-797.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 12. С. 2027-2050.

3. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

4. Альбрехт Э.Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Тр. ИММ УрО РАН, 2000. Т. 6, № 1. С. 27-38.

5. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.

6. Барановская Л.В. Метод разрешающих функций для одного класса задач преследования // ВЕЖПТ, 2015. Т. 2, № 4(74). С. 4-8.

7. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

8. Быков Д.С., Долгий Ю.Ф. Оценка точности аппроксимаций оптимального стабилизирующего управления системы с запаздыванием // Тр. ИММ УрО РАН, 2012. Т. 18, № 2. С. 38-47.

9. Васильев Ф.П. Об условиях существования седловой точки в детерминированных играх для интегро-дифференциальных систем с запаздыванием нейтрального типа // Автомат. и телемех., 1972. № 2. С. 40-50.

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

11. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

12. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Оптимизация гарантии в функционально-дифференциальных системах с последействием по управлению // Прикл. математика и механика, 2012. Т. 76, № 4. С. 515-525.

13. Гомоюнов М.И., Корнев Д.В. К вопросу вычисления цены дифференциальной игры в классе контрстратегий // Тр. ИММ УрО РАН, 2013. Т. 19, № 1. С. 59-68.

14. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974. 328 с.

15. Жаутыков О.А., Жуковский В.И., Жаркынбаев С. Дифференциальные игры нескольких лиц. Алма-Ата: Наука, 1988. 320 с.

16. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова думка, 1994. 241 с.

17. Жуковский Е.С., Осинин В.Ф., Плужникова Е.А. О корректности функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа // Вестник тамбовского университета. серия: естественные и технические науки, 2011. Т. 16, № 4. С. 1078-1081.

18. Зайцев В.А., Ким И.Г., Задача назначения конечного спектра в линейных системах с запаздыванием по состоянию при помощи статической обратной связи по выходу // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2016. Т. 26, № 4. С. 463-473.

19. Зверкин А.М., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // УМН, 1962. Т. 17, № 2(104). С. 77-164.

20. Иванов Г.Е., Половинкин Е.С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения, 1995. Т. 31, № 10. С. 1641-1648.

21. Каменский Г.А., Хвилон Е.А. Необходимое условие оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Автомат. и телемех, 1969. № 3. С. 20-32.

22. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

23. Колмановский В.Б. Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автомат. и телемех., 1984. № 1, С. 5-35.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

25. Комленко Ю.В., Тонков Е.Л. Представление Ляпунова-Флоке для дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Матем., 1995. № 10, С. 40-45.

26. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

27. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика, 1964. Т. 28, № 4. С. 716-724.

28. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи об оптимальном управлении в системе с последействием // Докл. АН СССР, 1966. Т. 167, № 3. С. 540-542.

29. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

30. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 516 с.

31. Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Стохастический поводырь для объекта с последействием в позиционной дифференциальной игре // Тр. ИММ УрО РАН, 2011. Т. 17, № 2. С. 97-104.

32. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // Прикл. математика и механика, 1996. Т. 60, № 6. С. 885-900.

33. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

34. Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР, 1981. Т. 259, № 1. С. 24-27.

35. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН СССР, 1978. Т. 239, № 4. С. 779-782.

36. Кряжимский А.В., Максимов В.И. Аппроксимация линейных дифференциально-разностных игр // Прикл. математика и механика, 1978. Т. 42, № 2. С. 202-209.

37. Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения, 1967. Т. 3. С. 2094-2107.

38. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравнения, 1970. Т. 6, № 10. С. 1800-1809.

39. Куржанский А.Б. Дифференциальные игры сближения в системах с запаздыванием // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7, № 8. С. 1398-1409.

40. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

41. Лукоянов Н.Ю. Об условиях оптимальности гарантированного результата в задачах управления системами с запаздыванием // Тр. ИММ УрО РАН, 2009. Т. 15, № 3. С. 158-169.

42. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во УрФУ, 2011. 243 с.

43. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Конечномерные поводыри функционально-дифференциальных систем // Тезисы докладов научной конференции «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление»», посвященной 90-летию со дня рождения академика Е. Ф. Мищенко. Москва, 2012. С. 90-92.

44. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Конечномерные моделирующие поводыри в системах с запаздыванием // Тр. ИММ УрО РАН, 2013. Т. 19, № 1. С. 182-195.

45. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Об аппроксимации конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки, 2013. Т. 18, № 5(2). С. 2579-2582.

46. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Об аппроксимации нелинейных конфликтно-управляемых систем нейтрального типа // Тр. ИММ УрО РАН, 2014. Т. 20, № 4. С. 204-217.

47. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Конечномерные моделирующие поводыри конфликтно-управляемых систем нейтрального типа // Тезисы международной конференции «Динамика систем и процессы управления», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского. Екатеринбург, 2014. С. 131-132.

48. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Дифференциальные игры для систем нейтрального типа: аппроксимирующая модель // Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 2015, Т. 291, С. 202-214.

49. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. О дифференциальных играх для систем нейтрального типа // Тезисы докладов II Международного семинара, посвященного 70-летию со дня рождения академика А. И. Субботина. Екатеринбург, 2015. С. 107-108.

50. Максимов В.И. Аппроксимация нелинейных дифференциально-разностных игр // Оптим. упр. в динам. системах. Труды Ин-та математики и механики УНЦАН СССР, 1979. № 30. С. 49-65.

51. Максимов В.И. Дифференциальная игра наведения для систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Задачи динам. упр.: Сб. ст.- : УНЦАН СССР, 1981. С. 33-45.

52. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2000. 305 с.

53. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980. 264 с.

54. Метельский А.В., Хартовский В.Е., Урбан О.И. Успокоение решения систем нейтрального типа с многими запаздываниями посредством обратной связи, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2014. № 3, С. 40-51.

55. Мищенко Е.Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. № 5. С. 3-9.

56. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

57. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

58. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии запаздываний // Дифференц. уравнения, 1972. Т. 8, № 2. С. 260-267.

59. Опарин Н.П. Об аппроксимации систем нейтрального типа // Дифференц. уравнения с отклоняющимися аргументами, 1979. Т. 11. С. 52-60.

60. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр систем с последействием // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, № 2. С. 300-311.

61. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикл. математика и механика, 1978. Т. 42, № 6. С. 969-977.

62. Пацко В.С., Турова В.Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 77 с.

63. Петров Н.Н. О существовании значения игры преследования // Докл. АН СССР, 1970. Т. 190, № 6. С. 621-624.

64. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования группы убегающих // Автомат. и телемех., 1996. № 6. С. 48-54.

65. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского госуниверситета, 1977. 222 с.

66. Плаксин А.Р. Конечномерные поводыри в задачах управления системами с запаздыванием // Современные проблемы математики: Тезисы Международной (43 Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург, 2012. С. 163-165.

67. Плаксин А.Р. Об аппроксимации линейных конфликтно-управляемых систем нейтрального типа // Современные проблемы математики: Тезисы Международной (44 Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург, 2013. С. 124-126.

68. Плаксин А.Р. Об аппроксимации конфликтно-управляемых систем нейтрального типа // Тр. XII всероссийского совещания по проблемам управления. Москва, 2014. С. 2078-2088.

69. Плаксин А.Р. Конечномерные поводыри в задачах управления линейными системами нейтрального типа // Дифференц. уравнения, 2015. Т. 51, № 3. С. 402-412.

70. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, 1; 2. // Докл. АН СССР, 1967. Т. 174, № 6. С. 1278-1280; Т. 175, № 4. С. 764-766.

71. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1981. 331 с.

72. Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР, 1969. Т. 184, № 2. С. 285-187.

73. Репин Ю.М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. математика и механика, 1965. Т. 29. № 2. С. 226-235.

74. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Об устойчивости линейного дифференциального уравнения с ограниченным последействием // Изв. вузов. Матем., 2014. № 4. С. 25-41.

75. Салуквадце М.Е. К задаче синтеза оптимального регулятора в линейных системах с запаздыванием, подверженных постоянно действующим возмущениям // Автомат. и телемех., 1962. Т. 23, № 2. С. 1595-1601.

76. Субботин А.И. Обобщенные решения уравенний в частных поизвод-ных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьют. исслед., 2003. 336 с.

77. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

78. Субботина Н.Н. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 11. С. 1890-1896.

79. Тарасьев А.М. Об одной нерегулярной дифференциальной игре // Прикл. математика и механика, 1985. Т. 49, № 4. С. 682-684.

80. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. математика и механика, 1987. Т. 51, № 2. С. 216-222.

81. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. математика и механика, 1977. Т. 41, № 2. С. 358-361.

82. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // Прикл. математика и механика, 1997. Т. 61, № 3. С. 413-421.

83. Харатишвили Г.Л., Тадумадзе Т.А. Нелинейная задача оптимального управления с переменными запаздываниями, нефиксированным начальным моментом и кусочно непрерывной предысторией // Тр. Математического института им. В.А.Стеклова, 1998. Т. 220. С. 236-255.

84. Хартовский В.Е., Павловская А.Т. К проблеме модального управления линейными системами нейтрального типа // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2013. № 4, С. 146-155.

85. Хартовский В.Е., Павловская А.Т. Полная управляемость и управляемость линейных автономных систем нейтрального типа // Автомат. и телемех., 2013. № 5, С. 59-79.

86. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

87. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 225 с.

88. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб., 1976. Т. 99, № 3. С. 394-420.

89. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

90. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика, 1977. Т. 41, № 5. С. 825-832.

91. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 269 с.

92. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. 416 с.

93. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-Valued analysis. Boston: Birkhauser Basel, 2009. 473 p.

94. Balanov A.G., Janson N.B., McClintock P.V.E., Tucker R.W., Wang C.H.T. Bifurcation analysis of a neutral delay differential equation modelling the torsional motion of a driven drill-string // Chaos, Solitons and Fractals, 2003. Vol. 15, № 2. P. 381-394.

95. Banks H.T., Burns J.A. Hereditary control problems: Numerical methods based on averaging approximations // SIAM J. Control Optim. 1978. Vol. 16, № 2. P. 169-208.

96. Banks H.T., Kappel F. Spline approximations for functional differential equations // J. Different. Equat. 1979. Vol. 34, № 3. P. 496-522.

97. Banks H.T., Jakobs M.Q., Latina M.R. The synthesis of optimal controls for linear, time-optimal problems with retarded controls // J. Optim. Theor. Appl., 1971. Vol. 8, №. 5. P. 319-366.

98. Banks H.T., Kent G.A. Control of functional differential equations of retarded and neutral type to target sets in function space // SIAM J. Control, 1972. Vol. 10, № 4. P. 567-593.

99. Banks H.T. Manitius A. Applications of abstract variational theory to hereditary systems: a survey // IEEE Trans. Automat. Control, 1974. Vol. 19, № 5. P. 524-533.

100. Barron E.N. Differential games with maximum cost // Nonlinear Anal., 1990. Vol. 14, № 11. P. 971-989.

101. Basar T., Bernhard P. H-infinity optimal control and related minimax design problems: a dynamic game approach. Boston: Birkhauser, 1995. 428 p.

102. Berkovitz L.D. Characterization of the values of differential games // Appl. Math. Optim., 1988. Vol. 17. P. 177-183.

103. Blakely J.N., Corron N.J. Experimental observation of delay-induced radio frequency chaos in a transmission line oscillator // Chaos, 2004. Vol. 14, № 4. P. 1034-1041.

104. Blaquiere A., Gerard F., Leitmann G. Quantitative and qualitative games. New York etc.: Academic Press, 1969. 172 p.

105. Brayton R.K. Nonlinear oscillations in a distributed network // Quart. J. Appl. Math., 1967. Vol. 24. P. 289-301.

106. Burton T.A. Stability and periodic solutions of ordinary and functional differential equations. New York: Academic Press, 1985. 322 p.

107. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Set-valued numerical analysis for optimal control and differential games // Stochastic and differential games. Boston: Birkhauser, 1999. P. 177-274.

108. Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the infinite time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control, 1975. Vol. 13, № 1 P. 48-88.

109. DeVore R.A., Lorentz G.G. Constructive approximation. Springer-Verlag, 1993. 449 p.

110. Driver R.D. Ordinary and delay differential equations. New York: Springer-Verlag, 1977. 448 p.

111. Fabiano R.H. A semidiscrete approximation scheme for neutral delay-differential equetions // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, 2013. Vol. 10, № 3. P. 712-726.

112. Fleming W.H. The convergence problem for differential games // J. Math. Anal. Appl., 1961. № 3. P. 102-116.

113. Fleming W.H. The convergence problem for differential games, II // Annals of Math. Study, 1964. Vol. 52. P. 195-210.

114. Friedman A. Differential games. New York: Wiley Interscience, 1971. 368 p.

115. Elliot R.J., Kalton N.J. The existence of value for differential games // Journal of Differential Equations, 1972. Vol. 12. P. 504-523.

116. Gomoyunov M.I., Plaksin A.R. On a problem of guarantee optimization in time-delay systems // IFAC PapersOnLine, 2015. Vol. 48, № 25, P. 172-177.

117. Gomoyunov M.I., Plaksin A.R. Finite-dimensional approximations of neutral-type conflict-controlled systems // IFAC PapersOnLine, 2017. Vol. 50, № 1, P. 51095114.

118. Halanay A. Differential games with delay // SIAM J. Control, 1968. Vol. 6. P. 579-593.

119. Hale J.K., Cruz M.A. Existence, uniqueness and continuous dependence for hereditary systems // Ann. Mat. Pura Appl., 1970. Vol. 85, № 1. P. 63-81.

120. Hale J., Lunel S.M. Strong Stabilization of neutral functional-differential equetion // IMA Journal of Mathematical Control and Information, 2002. Vol. 19. P. 5-23.

121. Ho Y.C., Bryson A., Baron S. Differential games and optimal pursuit-evasion strategies // IEEE Trans. Autom. Contr, 1965. Vol. 10, № 4. P. 385-389.

122. Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied Theory of Functional-Differential Equations. Dordrecht: Kluwer Acad. Publish. Group, 1992. 234 p.

123. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Berlin etc.: Birkhauser, 1995. 322 p.

124. Kent G.A. A maximum principle for optimal control problems with neutral functional differential systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 4. P. 565-570.

125. Kunisch K. Approximation schemes for nonlinear neutral optimal control systems // J. Math. Anal. Appl. 1980. Vol. 82. P. 112-143.

126. Kumkov S.S., Patsko V.S. Construction of singular surfaces in linear differential games // Annals of the Intern. Soc. of Dynamic Games: Adv. in Dynamic Games and Applications, 2001. Vol. 6. P. 185-202.

127. Lukoyanov N.Yu., Plaksin A.R. On approximations of time-delay control systems // IFAC PapersOnLine, 2015. Vol. 48, № 25, P. 178-182.

128. Logemann H., Pandolfi L. A note on stability and stabilizability of neutral systems // IEEE Trans. Autom. Contr, 1994. Vol. 39, № 1. P. 138-143.

129. Melikyan A.A. Generalaized characteristics of first order PDEs: applications in optimal control and differential games. Boston: Birkhauser, 1998. 310 p.

130. Michiels W., Vyhlidal T. An eigenvalue based approach for the stabilization of linear time-delay systems of neutral type // Automatica, 2005. Vol. 41. P. 991-998.

131. Mordukhovich B.S, Wang L. Optimal control of neutral functional-differential inclusions // SIAM J. Control Optim, 2004. Vol. 43, №. 1, P. 111-136.

132. Pandolfi L. Stabilization of neutral functional-differential equations // Journal of optimization theory and applications, 1976. Vol. 20, № 2. P. 191-204.

133. Roxin E. Axiomatic approach in differential games // J. Optim. Theor. Appl., 1969. Vol. 3, № 3. P. 153-163.

134. Yanushevsky R.T. Lyapunov's functionals and related optimal problems for differential-difference systems // Compwters Maih. Applic. 1993. Vol. 25, № 10/11, P. 89-101.