Об исследовании некоторых задач моделирования и оптимизации с помощью позиционно-управляемых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Дигас, Борис Вадимович

• Дигас, Борис Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дигас, Борис Вадимович

Введение

Глава 1. Моделирование переменных входов в параболических уравнениях.

§ 1.1. Постановка задачи. Метод решения.

§ 1.2. Регуляризирующий алгоритм моделирования.

§ 1.3. Пример.

Глава 2. Моделирование интенсивности точечных источников в гиперболических уравнениях.

§ 2.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения.

§ 2.2. Алгоритм моделирования интенсивности источников

§ 2.3. Результаты вычислительного эксперимента.

Глава 3. Об одном алгоритме невыпуклой оптимизации

§ 3.1. Постановка задачи и алгоритм решения.

§ 3.2. Возмущенная задача и регуляризирующий алгоритм

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об исследовании некоторых задач моделирования и оптимизации с помощью позиционно-управляемых систем»

В диссертации рассматриваются некоторые приложения одного из основополагающих принципов теории оптимального управления — принципа экстремального сдвига Н. Н. Красовского [26-28] — к задачам реконструкции и оптимизации. Для решения поставленных задач конструируются ре-гуляризирующие итерационные алгоритмы, основанные на методах позиционного управления.

Первая глава диссертации посвящена задаче моделирования неизвестных входных воздействий в динамических системах, описываемых параболическими уравнениями. Во второй главе рассматривается задача моделирования интенсивности точечных источников в гиперболических системах. В исследованиях различных динамических процессов и явлений, возникают задачи восстановления неизвестных характеристик изучаемых объектов по доступной, зачастую неполной информации. Подобные задачи вкладываются в класс обратных задач динамики управляемых систем, состоящих в нахождении неизвестного входа системы по измерениям ее выхода. Система может описываться тем или иным уравнением. Это уравнение, задающее динамику системы, как правило, предполагается известным. Входом являются факторы, однозначно определяющие движение системы, например, управление, подаваемое на систему. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, часто такой информацией является некоторый сигнал о текущей траектории системы.

Первые публикации об исследованиях в области обратных задач динамики относятся к середине 1960-х годов. Так, в работах Р. Брокетта, М. Меса-ровича [81], Л. Силвермана [107] и других авторов [106,109] были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости управлений. Вопросам динамического восстановления входных воздействий посвящены монографии [48,56,61,84,103], вышедшие в 1990-е годы.

Если доступная информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики, как правило, становятся некорректными. В таких случаях проблема построения их приближенных решений заключается в построении соответствующих регуляризирующих алгоритмов. Существенный вклад в развитие теории некорректных и обратных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агошков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсении и др. [1-3,5,7,9,12,16,16,18,19,21,29,39-42,50,51,53,54,68,73,74,77,91]. Исследования этих авторов касаются, как правило, программной постановки задачи: регуляризирующие алгоритмы обрабатывают всю историю измерений выхода (имеют апостериорный характер). В работах Ю. С. Оси-пова и А. В. Кряжимского [34,36,57,103] был развит подход к построении позиционных алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем. В этих работах, в частности, исследовалась задача устойчивого восстановления минимального по норме управления при неточном измерении полного вектора состояния аффинной по управлению системы. Алгоритмы, изложенные в [34,36,57,103], основаны на сочетании некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитых Н. Н. Красовским и его школой [26-28], и методов теории некорректных задач [12,19, 75]. Процесс динамического восстановления входа трактовался как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. Разрешающий алгоритм, ориентированный на практическую реализацию, строился в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывал поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Метод, предложенный в [34,36,57,103], получил развитие в работах [6,13, 22-25,30,31,35,38,45-49,56,58-62,66,67,85-87,89,95-97,99-102] -для уравнений математической физики.

Опишем общие для всех алгоритмов принципы выбора вспомогательной управляемой модели. Во-первых, конструируется некоторый оценочный функционал, из малости значений которого на движении модели следует близость модельного управления к искомому входу в смысле подходящей метрики. Во-вторых, управление в модели выбирается так, чтобы стабилизировать упомянутый функционал. Отметим, что первые две главы настоящей работы выполнены в рамках указанного подхода к постановке и решению обратных задач динамики.

В третьей главе диссертации рассматривается задача нахождения оптимального параметра совместности для системы нелинейных неравенств. Постановки такого рода возникают в различных прикладных задачах, таких как оптимизация сети страховых компаний, оптимизация портфелей инновационных проектов и др. Как известно, методы оптимизации находят широкое применение в задачах экономики [17]. (Подобно алгоритмам, предложенным в первых двух главах, алгоритмы из третьей главы опираются на идеологию принципа экстремального прицеливания.) При рассматриваемых в диссертации ограничениях данная оптимизационная задача, является, вообще говоря, невыпуклой. Стандартные методы, например, градиентного типа [10,20], не всегда употребимы для решения невыпуклых задач оптимизации. Имеется также ряд общих подходов, применимых для решения широкого класса оптимизационных задач: методы штрафных и барьерных функций [76,88], гомотопические методы [110], методы стохастической оптимизации [55]. Подходы этого класса, обладая значительной общностью, сопряжены, однако, с проблемой их конструктивной реализации при решении конкретных задач. Невыпуклость задачи обычно создает специфические трудности на пути обоснования конструктивных алгоритмов решения. В связи с этим развиваются специализированные подходы, ориентированные на решение конкретных типов задач невыпуклой оптимизации. Предлагаются подходы к итерационному решению оптимизационных задач, невыпуклость которых определяется присутствием в них разностей выпуклых функций [70]. Развиваются методы оптимизации, основанные на игровых моделях [4]. Для некоторых классов задач, в определенном смысле близким к выпуклым, известны итерационные алгоритмы решения, использующие операции с функцией Лагранжа [78]. В частности, широко применяются алгоритмы оптимизации, основанные на привлечении так называемых расширенных лагранжианов, позволяющих распространить на невыпуклые задачи теорию двойственности [52]. Исследование обобщенных лагранжианов позволяет существенно расширить класс задач, которые допускают седловую точку и, следовательно, могут быть разрешены с привлечением алгоритмов, действующих с помощью решения дуальной задачи. Начиная с работы Рокафеллара [105], относящейся к распространению понятий субградиента и субдифференциала на функции, не обладающие свойством выпуклости или вогнутости, эти понятия активно привлекаются для решения некоторых специальных классов задач невыпуклой оптимизации.

Как и задачи из первой и второй глав, изучаемая в третьей главе оптимизационная задача также является некорректной, поскольку предусматривает неточность информации о входных данных. Построение методов регуляризации оптимизационных задач — нахождения их устойчивых приближенных решений на основании возмущенных данных — составляет обширный раздел теории некорректных задач [75]. Материал третьей главы идейно примыкает к работам [32,33,37,64,65,82,87,88,90], развивающим методы решения обратных задач динамики и задач оптимизации. В частности, в [82] разработана техника выпуклой оптимизации, в основе которой лежит модификация так называемого метода «агрегирования ограничений», предложенного в работе [37], и развитого в исследованиях [31,85,87,89]. В [90] рассматривалась задача об оптимальной совместности однопараметрических семейств линейных уравнений. Был построен основанный на принципе экстремального сдвига итерационный метод решения указанной задачи. В работе [33] этот метод апробирован на задаче оптимального быстродействия линейной управляемой системы с выпуклыми фазовыми ограничениями, приведен соответствующий регуляризирую-щий алгоритм. Задачи оптимизации скалярного параметра совместности для класса уравнений в нормированном пространстве изучались в работах [64,65]. Таким образом, вышеупомянутые исследования касались задач выпуклой оптимизации при ограничениях в форме линейных равенств и неравенств, а также невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме равенств.

В третьей главе настоящей диссертации рассмотрена задача невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме неравенств. Ее суть заключается в нахождении наименьшего значения скалярного параметра, при котором зависящая от этого параметра система невыпуклых неравенств имеет решение в пределах заданного множества. Само это решение также подлежит нахождению. В случае, когда оно не единственно, достаточно найти любое из решений. Сконструирован итерационный алгоритм, решающий рассматриваемую задачу, а также регуляризирующий вариант алгоритма для случая неточной информации о системе.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Система нумерации параграфов, утверждений,

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дигас, Борис Вадимович, 2007 год

1. Агошков В. И. Обощенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука, 1988.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

4. Антипин A.C., Васильев Ф.П. Методы регуляризации для решения задач равновесного программирования с сдвоенными ограничениями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. т. 45. № 1. С. 2337.

5. Арсенин В. Я., Гончарский А. В. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестню. МГУ. Сер. Вычисл. математика и кибернетика. 1981. № 3. С. 13-17.

6. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2, с. 56-61.

7. Бухгейм А. JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977.

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981.

10. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

11. Васильева Е.В. Нижние оценки скорости сходимости алгоритмов динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами // Мат. заметки. 2004. Т. 76. вып. 5. С. 675-678.

12. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

13. Вдовин А.Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. Сб. науч. тр. «Задачи позиционного моделирования». Свердловск. 1986. С. 3-11.

14. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

16. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. В кн.: Механика и научно-техн. прогресс. Т. 1. Общ. и прикл. механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

17. Еремин И. И., Мазуров Вл. Д., Скарин В. Д., Хачай М. Ю. Математические методы в экономике. Екатеринбург: Изд-во "У-Фактория", 2000. 280 с.

18. Жевнин А. А., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. № 4. С. 29-35.

19. Иванов В. К., Васин В. В., Танаиа В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

20. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998.

21. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы для определения коэффициентов в гиперболических уравнениях. Новосибирск: Наука,1988.

22. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.1989. № 6. С. 35-41.

23. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. высш. учеб. заведений. 1998. № И (438). С. 109-120.

24. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. МП. С. 21-24.

25. Короткий А.И., Цепелев И.А. Верхняя и нижняя оценки точности в задаче динамического определения операторов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. Т. 4. С. 227-238.

26. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

27. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

28. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

29. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

30. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

31. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119-125.

32. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Экстремальные задачи с отделимыми графиками // Кибернетика и систем, анализ. 2002. No. 2. С. 32-55.

33. Кряжимский A.B., Пащенко C.B. К решению линейной задачи быстродействия со смешанными ограничениями // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. Соврем, математика и ее прил. 2002. Т. 90. С. 232260.

34. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 29-41.

35. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

36. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат. // Сб. науч. тр. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С. 33-47.

37. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых систем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. Москва, 1988. Т. 185. С. 126-146.

38. Куржаиский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

39. Куржанский А. В., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем // ДАН. 1998. Т. 1. № 2. С. 31-36.

40. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

41. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, СО, 1980.

42. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

43. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

44. Максимов В.И., Динамическое оценивание параметров в нелинейных распределенных системах // Тр. 4-й Междунар. научно-техн. конф. «Проблемы комплексной автоматизации», секция 1. Киев. 1990. С. 5458.

45. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2059-2067,

46. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 597-603.

47. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

48. Максимов В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат //В кн. «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения». М.: ВИНИТИ, 2002. С. 137-171.

49. Марчук Г. И. Методы вычисл. математики. Новосибирск: Наука, 1973.

50. Марчук Г. И., Агошков В.И., Шутяев В.П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

51. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.

52. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

53. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

54. Нурминский Е.А. Численные методы решения стохастических и минимаксных задач. Киев: Наукова думка, 1979.

55. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

56. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннот. докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

57. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

58. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамических системах. Свердловск, 1984. С. 47-68.

59. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

60. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препр. МММ УрО АН СССР. 1991. 104 С.

61. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

62. Осипов Ю. С., Охезин С. П., К теории дифференциальных игр в параболических системах // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. № 6. С. 12671270.

63. Ровенская Е.А. К решению задачи об оптимальном параметре совместности для одного класса уравнений в банаховом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. т. 44. № 12. С. 21502166.

64. Розенберг В. JI. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

65. Розенберг В. JI. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

66. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

67. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

68. Стрекаловский A.C. Элементы задач невыпуклой оптимизации. Новосибирск: Наука, 2003.

69. Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

70. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

71. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. // Бюл. МГУ. Секция А. Сер. математика и механика. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 125.

72. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

73. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

74. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной оптимизации. М.: Мир, 1972.

75. Черноусько Ф. JL Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

76. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.

77. Arnautu V., Approximation of optimal distributed control problems governed by variational inequalities // Numerische Mathematik. 1982. Vol. 38. P. 393-416.

78. Banks H. Т., Wade J. G. Weak Tau approximations for distributed parameter systems in inverse problems // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1991. Vol. 12. No.l&2. P. 1-31

79. Brockett Ft. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. No. 1-3. P. 548-563.

80. Ermoliev Yu. M., Kryazhimskii A. V., Ruszczyriski A. Constraint aggregation principle in convex optimization / / Mathematical Programming. 1997. Series B, 76. P. 353-372.

81. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces // Differential equations. I. 1969. T. 5. P. 72-105, II. 1969. T. 6. P. 50-70.

82. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

83. Kryazhimskii A. V. Optimization of the ensured result for the dynamical systems // Proceedings of the Internat. Congress of Mathematics. Berkley. 1986. P. 1171-1179.

84. Kryazhimskii A. V. Convex optimization via feedbacks // SI AM J. Control Optimization, 1999. Vol. 37. P. 278-302.

85. Kryazhimsky A.V. Optimization problems with convex epigraphs. Application to optimal control. // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2001. Vol. 11. No. 4. pp. 101-129.

86. Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I., Osipov Yu. S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-96-97. 1996.

87. Kryazhimskii A.V., Paschenko S.V. On the problem of optimal compatibility. J. Inv. Ill-Posed Problems. 2001. Vol. 9. No. 3. pp. 283300.

88. Kurzhanskii A. B., Khapalov A. Yu. On the state estimation problem for distributed systems. Analysis and Optimization of systems // Lecture Notes in Control and Informational Sci. Springer-Verlag. 1986. Vol. 83.

89. Lasiecka I., Triggiani R. A cosine operator approach to modeling ¿2(0, T; ¿2(r))-boundary input hyperbolic equation // Appl. Math, and Optim. 1981. Vol. 8, P. 35-93.

90. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity of hyperbolic equations under L2(0,T;L2(r))-Dirichlet boundary terms // Appl. Math, and Optim. 1983. Vol. 10, P. 275-286.

91. Lasiecka I., Triggiani R. Riccati equations for hyperbolic partial differential equations with £2(0, T; L2(r))-Dirichlet boundary terms // SIAM J. Control Optim. 1986. Vol. 24, P. 884-925.

92. Maksimov V.I., Approximation of an inverse problem for variational inequalities // Differential and Integral Equations. 1995. V. 8. No. 8. P. 1264-1273.

93. Maksimov V. I. On the reconstruction of a control through results of observations // Proceedings of the Third European Control Conference. Rome, Italy. 1995. P. 3766-3771.

94. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization", Tokyo, Japan, 1987. Springer, 1988.

95. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium on Functional Differential Equations, Kyoto, Japan, 30 August-2 September 1990. P. 309-317.

96. Osipov Yu. S. On the reconstruction of a parameter for hyperbolic system. IIASA Working Paper. Laxenburg, Austria. WP-91-54. 1991. 32 P.

97. Osipov Yu. S.,. Korotkii A. I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems. Ill-posed Problems in Natural Sciences. VSP—TVP. Tokyo, Japan-Moscow, Russia. 1992. P. 108-117.

98. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

99. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. Vol. 4. No. 4. P. 267-282.

100. Rockafellar R. T. The theory of subgradients and its applications to problems of optimization: Convex and nonconvex functions. HeldermannVerlag, Berlin, 1981.

101. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141-149.

102. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 270-276.

103. Swartz B.K., Varga R.S., Error bounds for spline and L-spline interpolation // J. Approx. Theory. 1972. No. 6. P. 6-49.

104. Willsky A. S. On the invertibility of linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1974. Vol. AC-19. P. 272-274.

105. Zangwill W.I., Garcia C.B. Pathways to Solutions, Fixed Points and Equilibria. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1981.

106. Букчин Б.Г., Дигас Б.В., Максимов В.И. К проблеме реконструкции интенсивности точечных источников по результатам сенсорных наблюдений // Тр. ИММ УрО РАН. 1996. Т. 4. С. 201-216.

107. Дигас Б.В., Максимов В.И. О динамической реконструкции управлений в параболических системах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1998. Т. 38, вып. 3. С. 398-412.

108. Digas, B.V., Ermoliev, Yu.M., Kryazhimskii, A.V., Guaranteed Optimization in Insurance of Catastrophic Risks. IIASA Interim Report IR-98-082, Laxenburg, Austria, 1998. 12 pp.

109. Дигас Б.В., Об одной экстремальной задаче в гильбертовом пространстве // Тез. междунар. науч. конф. «Дифференциальные и интегральные уравнения», Челябинск, 22-26 июня 1999 г. С. 40.

110. Кряжимский А.В., Дигас Б.В. Оптимизация страхования катастрофических рисков: гарантированный подход // Сб. «Информационные технологии в экономике: теория, модели и методы». Екатеринбург: Изд-во УрГЭУ, 2000. С. 98-105.

111. Дигас Б.В. Об одной модификации алгоритма оптимального страхования катастрофических рисков // Тр. XXXIII Молодежной школы-конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 28 января — 1 февраля 2002 г. С. 229-233.

112. Baranov S., В. Digas, Т. Ermolieva, V. Rozenberg, Earthquake risk management: a scenario generator. IIASA Interim Report IR-02-025, Laxenburg, Austria, April 2002. 22 pp.

113. Дигас Б.В. Об одном алгоритме решения обратной задачи для системы гиперболического типа // Тез. докл. Междунар. семинара «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона Якоби» (CGS'05). Екатеринбург. 2005. С. 55-56.

114. Дигас Б.В. Об одной задаче невыпуклой оптимизации в условиях неточности данных. Тез. докл. 13-й Всероссийской конф. «Математическое программирование и приложения», г. Екатеринбург, 26 февраля — 2 марта 2007 г. С. 237.

115. Digas B.V., On an algorithm of non-convex optimization under inaccurate information // Тр. Второй Междунар. конф. «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), 20-22 июня 2007 г., Москва. С. 60-63.