Управляемые и численные модели систем с последействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Пименов, Владимир Германович

• Пименов, Владимир Германович
• доктор физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пименов, Владимир Германович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В СИСТЕМАХ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ В УПРАВЛЕНИИ И ФАЗОВЫХ КООРДИНАТАХ

1.1. Задача управления системой ФДУ.

1.2. О существовании обобщенных оптимальных управлений в системах с одним сосредоточенным запаздыванием в управлении.,.

1.3. Оптимальные обобщенные управления в системах ФДУ,

1.4. Системы с несколькими постоянньрми запаздываниями в управлении.

1.5. Интегродифференциальные системы.

Глава 2. НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОЗИЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ

С ЭФФЕКТОМ ПОС; 1ЕДЕЙСТВИЯ В УПРАВЛЕНИИ

2.1. Задачи позищюнного управления в классе обобщенных управлений с последействием.

2.2. Задача сближения-уклонения в классе обычных управлений с последействием.

2.3. Дифференциальная игра с фиксированным временем окончания для систем с последействием в управлении

Глава 3. О ВЫБОРЕ ПРЕДЫСТОРИИ УПРАВЛЕНИЯ И О МОДЕЛИРОВАНИИ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1. Постановка задачи.

3.2. Условия существование решения и необходимые условия минимума.

3.3. Примеры.

3.4. Полуградиентный метод минимизации.

3.5. Условия существования полуградиента и градиента

3.6. Моделирование управления с запаздыванием.

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТИПА РУНГЕ-КУТТЫ,

МНОГОШАГОВЫЕ И ДРУГИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ.

4.1. Основные обозначения и предположения.

4.2. Численный метод Эйлера с кусочно-постоянной интерполяцией

4.3. Способы интерполяции и экстраполяции предыстории дискретной модели.

4.4. Явные методы типа Рунге-Кутты.

4.5. Порядок невязки ЯРК-методов.

4.6. Многошаговые методы.

4.7. Многошаговые методы, не требующие разгона.

4.8. Методы Нордсика.

4.9. Методы, использующие вычисление старших производных

4.10. Другие методы, основанные на разделении фазовой составляющей ФДУ.

Глава 5. ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1. Введение.

5.2. Дискретная модель и порядок сходимости.

5.3. Методика классификации численных моделей ФДУ

5.4. Необходимые и достаточные условия сходилАости с порядком р.

5.5. Асимптотическое разложение глобальной погрешности

Глава 6. АЛГОРИТМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ЩАГОМ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙ.

6.1. ЯРК-ме-уоды с переменным шагом.

6.2. Способы интерполяции и экстраполяции расширенной предыстории дискретной модели.

6.3. Выбор длины шага.

6.4. Учет аппроксимации функционалов правой части ФДУ

6.5. Тестовые задачи.

6.6. Реализация обратной связи в задаче ЛКР с запаздыванием в управлении.

6.7. Стабилизация систем с запаздыванием в управлении методом удаляющегося горизонта.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управляемые и численные модели систем с последействием»

Изучение разнообразных явлений окружающего мира позволяет заключить, что будущее течение многих процессов оказывается зависящим не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи дифференциальных уравнений с запаздываниями различных видов, называемыми также уравнениями с последействием или функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ).

Исследования качественных свойств систем с последействием в настоящее время интенсивно проводится в различных направлениях, одним из которых является теория оптимального управления такими системами. Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с запаздыванием, в том числе и в развитие теории оптимального управления системами с запаздываниями, внесли Н.В. Азбелев, A.B. Арутюнов, Р. Габасов, Ф.М. Кирилова, В.Б. Кол-мановский, H.H. Красовский, A.B. Кряжимский, А.Б. Куржанский, Г.И. Марчук, М.Д. Марданов, А.Д. Мып1кис, СБ. Норкин, В.Р. Носов, Ю.С. Осипов, Л.С. Понтрягин, Ю.М. Репин, Т.А. Тадумадзе, В.Е. Третьяков, Г.Л. Харатишвили, С.Н. Шиманов, Л.Е. Эльсгольц, С.И.Т. Baker, Н.Т. Banks, R. Bellman, K.L. Cooke, С. Corduheanu, R.D. Driver, A. Halanay, J.K. Hale, V. Lakshmikatham, V. Volterra и многие другие математики. Полученные при этом результаты находят значительные приложения в моделировании процессов автоматического регулирования, управления и устойчивости движений, механики, различных технологических процессов, биологии, медицины, химии, экономики и в других отраслях знаний. Среди многочисленной научной литературы отметим монографии [1, 6,13, 53, 57, 77,124,137,138,164,173,182, 208 . В настоящее время в качественной теории дифференциальных уравнений с запаздыванием и в теории оптимального управления системами с запаздыванием получены фундаментальные результаты, что позволяет сделать вывод о сформировавшемся в целом разделе научных исследований.

Значительно меньше развита теория оптимального управления системами с запаздываниями в управляющих параметрах. При изучении такого рода систем, кроме линейного случая [151], основное внимание в исследованиях уделялось вопросам получения необходимых условий оптимальности управления [20, 22, 123 .

В данной диссертации для систем с запаздыванием в управлении исследуются:

1) вопросы существования оптимального управления в классе обобщенных управлений-мер;

2) вопросы позиционного управления системами в условиях конфликта или неопределенности в классах обобщенных и обычных управлений;

3) вопросы выбора предыстории оптимального управления до начала процесса управления;

4) вопросы восстановления управления по информации о фазовых координатах.

Обобщенные управления трактуются с помощью подхода, предложенного для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в работах [17, 23], однако наличие запаздывания в управлении потребовало внести значительные изменения в понятие управлений-мер. Этот подход позволяет, во-первых, получать теоремы существования оптимального управления без дополнительных условий типа выпуклости правой части уравнения, во-вторых, в задаче с фазовыми ограничениями улучшать результат в так называемых анормальных ситуациях, в-третьих, упрощать полученле необходимых условий оптимальности в силу выпуклости множества обобщенных управлений.

При изучений задач позиционного управления автор использовал ставшую классической схему экстремального прицеливания H.H. Кра-совского и A.M. Субботина, изложенную для ОДУ в монографиях 61, 62, 64, 113], и развитую для уравнений с запаздыванием в координатах в работах Ю.С. Осипова [63, 80, 81, 82]. Для систем с запаздыванием в управлении подобные задачи в классе обычных управлений были изучены ранее в работах [84, 85]. Расширение класса управлений позволяет существенно упростить разрешающие задачи конструкции и замкнуть множество позиций, из которых разрещима поставленная задача сближения.

Следует отметить, что исследование систем с цоследействием сопряжено со значительными трудностями, вследствие которых, например, точное аналитическое решение задач удается получить лишь в исключительных случаях. При этом наряду с обычными для дифференциальных уравнений трудностями рассмотрение систем с последействием сопряжено и с рядом специфических проблем, обусловленных прежде всего бесконечномерность фазового пространства этих систем. В связи с этим особенно актуальной является проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительными средствами. Недостаточная разработанность современного программного обеспечения в этой области является значительным препятствием для широкого применения запаздывания в прикладных моделях.

Среди многообразия исследований в области численных методов решения ФДУ отметим следующие направления.

1. Численные схемы, основанные на методе шагов [137]. Если ФДУ имеет постоянное запаздывание т > О, то при подстановке известной начальной функции вместо х{1 — т) на отрезке времени [¿0, Ц -|- г] получаем ОДУ, которое можно решить каким-либо методом. При этом величина запаздывания т всегда должна быть кратна шагу численного метода. Затем, используя полученную функцию в качестве начальной, можно получить решение на [ЬА + + 2т] и т.д. Достоинство метода -предельная простота. Однако, метод шагов, как правило, не применим к другим типам ФДУ, например, с переменным запаздыванием. Кроме того, этот метод не применим для использования процедур с автоматическим выбором шага, без которых не обходятся современные пакеты прикладных программ.

2. Большое число работ посвящено численным методам, использующим специфику конкретного типа ФДУ, см. обзоры [125, 153, 147]., Особенно много исследований для уравнений с постоянным или переменным сосредоточенным запаздыванием и для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра. На эти типы уравнений перенесены практически все известные для обыкновенных дифференциальных уравнений методы, однако использование их в пакетах общего назначения затруднительно, в силу того, что в методах, как правило, используется специфика уравнения.

3. Идея непрерывных методов [236, 120] состоит в том, что численная модель задает не только значение в узлах, но и во всех промежуточных точках. Эти методы обладают большой степенью общности по отношению к различным типам ФДУ. Главный недостаток при этом -гораздо больший объем вычислений. Большинство эффективных методов решения ОДУ (в том числе и применяемых в различных пакетах прикладных программ) не являются непрерывными.

4. Многие типы ФДУ можно свести к интегральным уравнениям 125] и затем применять известные методы решения интегральных уравнений. В отличие от ОДУ интегральные уравнения решаются непозиционными методами, т.е. в позиционных методах в момент времени / можно определить часть траектории до этого момента, а в интегральных уравнениях решение определяется целиком. Этот факт является препятствием для использования методов в задачах позиционного управления системами ФДУ.

5. Системы с запаздыванием можно приближенно заменить системой ОДУ большой размерности. Этот метод, основанный на идеях

58, 108], применяется [149, 150] в задачах управления, но только для задач с постоянным запаздыванием небольшой размерности, и дает небольшую точность.

6. Функциональный подход [57, 124], столь эффективный в теоретическом плане, в плане численных методов не дает эффективных алгоритмов, т.к. возникает проблема счета производных функционала правой части системы.

Предлагаемый в диссертации подход к конструированию численных методов основан на следующих основных идеях: а) разделение конечномерной и бесконечномерной составляющих в фазовой структуре ФДУ, построение по конечномерной составляющей полных аналогов известных для ОДУ дискретных алгоритмов; б) интерполяции с заданными свойствами - введение промежуточного элемента между изначально непрерывной (бесконечномерной) системой ФДУ и априори дискретной численной моделью, в качестве интерполяционных процедур предложена интерполяция вырожденными сплайнами и экстраполяция продолжением; в) использовании специальной техники, позволяющей получать конструктивные формулы тейлоровского разложения функционалов правой части системы ФДУ (Б га техника названа ьгладким анализом 46]).

Такой подход позволяет строить численные методы, являюп1,иеся полными аналогами известных для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) методов и на их основе создать программное обеспечение для решения широкого класса задач моделирования систем с запаздыванием, в том числе и для решения задач управления такими системами.

Кроме того, в диссертации предпринята попытка объединить все известные автору численные методы решения ФДУ и ОДУ в одну общую схему, дав необходимые и достаточные условия порядка сходимости. Наличие такой схемы позволяет с единой позиции оценивать достоинства и недостатки многоэтапных и многошаговых методов, разрушать барьеры, связанные с повышенной точностью, изучать вопросы устойчивости и асимптотического представления глобальной погрешности. Для ОДУ такая схема была предложена в работе [233], см. также [120 .

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам.

В первой главе изучаются системы с функциональным последействием в фазовых координатах и управляющих параметрах

0.1) где t Е [¿01 6*] - независимая переменная (время); х - фазовый вектор; и - вектор управления, стесненный ограничениями и е Р, Р - компакт; Х1{-) = {xt{s) — х{1 ^ й), —р < 5 < 0} - отрезок функции предыстории фазового вектора к моменту времени 1\ = {щ{з) — п^ -Ь з), —г <

5 <0} - отрезок функции предыстории управления к моменту времени

В разделе 1.1 делаются основные предположения о системе (0.1). Ставится задача о минимизации функционала до{1, х{-)), определенного вдоль траекторий системы (0.1), при наличии фазовых ограничений, за счет выбора управления и{-) из множества и{^о, в], Р) - множества измеримых на [¿0,0] функций со значениями в Р.

В разделе 1.2 на примере системы с одним сосредоточенным запаздыванием в управлении х(1) = !{Ь,х{1),и{1),и{1 - т)) (0.2) изучаются вопросы существования решения оптимизационной задачи с функционалом качества вида в

J{x{-),u{-)) = J x(t),u(t))dt + а(х(0)), с{и{-)) = J{x{-),u{-)) min, п(-) е U{[to,e],P). (0.3)

Преполагается, что (р и а непрерывные функции.

Как и в случае систем без запаздывания, задача минимизации функционала (0.3) на траекториях системы (0.2) без дополнительных предположений выпуклости функции / по управлению не имеет, вообще говоря, решения в классе обычных управлений в силу некомнакт-ности множества U{[tQ,9], Р) в топологии, обеспечивающей непрерывность функционала с{и{-)). В системах без запаздывания в управлении существование решения в таких задачах достигается заменой обычных управлений u{t) на обобщённые v{t) - слабо измеримые по t G [tQ,B функции со значениями во множестве грт{Р) - во множестве вероятностных мер Радона на Р [17, 23]. Класс таких функций обозначим и([%,в],грт{Р)).

В отличие от систем без запаздывания в управлении, расширение задачи (0.2) - (0.3) и в этом классе имеет решение лишь при весьма жестких ограничениях, например, f{t,x{t),u[t),u{t — т)) = fi{t,x{t),u[t)) -Ь f2{t,x{t),u[t — т)). В противном случае наблюдаются новые эффекты отсутствия решения задачи оптимального управления в классе функций из U([tQ, в]трт(Р)), что показывает приведенный в этом разделе пример.

Далее в разделе доказывается существование решения аналога задачи (0.2) - (0.3), но в другом, более широком классе обобщенных управлений.

Рассмотрим грт{Р хР) - множество вероятностных мер Радона, сосредоточенных на декартовом произведении Р х Р. Проекциями меры р е грт(Р X Р) назовём меры vAA G грт(Р) и ту'' 6 грт{Р), определенные на сг-алгебре Е борелевских множеств В из следующим образом: iaa'(b) = ii(B х Р), Г7'*(В) = р{Р х В).

Пусть U{\tQ,9],rpm{P,x Р]) - множество слабо измеримых по t G ¿0)л1 функций \i{t), значениями которых являются меры из грт{Р х Р). Тогда всякая /i(-) G t/(^o, Лр^(р х Р)) индуцирует пару функций vA'(') е U{[to,e],rpm{P)) и ?;''(•) е U{[to,Ö],rpm{P)), значения которых при всех ¿ Е Щ являются соответствующими проекциями значений функции /х(А).

Из множества и{^(),9],грт{Р х Р)) выделим подмножество и{[1о,9],грт{Р X Р)У функций [обобщенных управлений), сопряжённых по запаздыванию: г/''и — т) = г]А{1) при почти всех 1 £ [Ц -\- т,9 (0.4)

Для сосредоточенных мер (обычных управлений) {и{-),у(-)} Е 11(110,9 Р X Р) условия сопряжения по запаздыванию принимают вид и{г-г)=у{г), ге[1о-{-г,9\

Основным результатом этого раздела является доказательство аналога аппроксимационной леммы [17, с. 58], [23, с.306], показывающей, что всякое обобщенное управление с условием согласования по запаздыванию может быть аппроксимировано последовательностью обычных управлений.

В разделе 1.3 для общей задачи управления системой (0.1) предлагается способ расширения класса управления так, что решение задачи управления в этом классе заведомо существует и аппроксимируется минимизирующей последовательностью обычных управлений. При этом само множество обобщенных управлений определяется неконструктивно и, поэтому, встает вопрос об эффективном описании обобщенных управлений для разных классов систем.

В разделе 1.4 этот вопрос изучается для систем с несколькими постоянными сосредоточенными запаздываниями в управлении

НЛ) = /{г,Хг{'),и(г-Т1),и(г - тз), • • •,и(1 - тА)). (0.5)

Для Слабо измеримых по ¿ функций со значениями в грт(РЛ) вводится аналог условия сопряжения (0.4), показывается, что множество функций с таким условием (слабо) замкнуто. Доказывается аналог аппрок-симационой леммы, из которого следует, что функции из множества обобщенных управлений удовлетворяют условию сопряжения. Приводятся необходимые условия оптимальности для обобщенного управления. ' в разделе 1.5 исследуются интегродифференциальные системы вида / /о(<, «((•), 5, И,(з))7)(<]!«), (0.6) г где Т){(1з) неатомическая мера Лебега. Пусть Ф - множество слабо измеримых на [—т, 0] функций 1'(з) со значениями в грт{Р). Согласно обгцей концепции раздела 1.3, определяется множество М — [/([¿0, В], грт{Ф)) - слабо измеримых на [Ао, 0] функций д(А) со значениями в грт(Ф). Пусть Ms его подмножество функций, сосредоточенных на элементах из Ф. В этом множестве выделяется множество функций-сверток

5 - {М-) е Мб: з) = р{14- 5), и(-) е Щ.

Здесь Ф = и([1{) — т, В],гр'т{Р)) - множество слабо измеримых на [¿0 — т, 9] функций, со значениями в грт(Р), т.е. обобщенных управлений в смысле [23], [17], используемых для систем без запаздывания.

Показывается, что множество обобщенных управлений совпадает с 5, таким образом, для введения обобщенных управлений можно ограничиться функциями из Ф, т.е. обобщенными управлениями в смысле [23], [17]. Этрм системы (0.6) принципиально отличаются от систем вида (0.5), где такое сведение невозможно, см. пример в разделе 1.2.

Во второй глАве изучаются задачи позиционного управления системой с запаздыванием в управлении ( 0 = хЦ), и(г), и(« - т)) + /2(4, х(1), ъ{1)), (0.7)

В условиях конфликта или неопределенности.

Ранее для такой системы в работах [84, 85] изучены задачи сближения и уклонения фазового вектора х{0 системы и цредыстории управления - функцри = {щ(з) = и^ + s), —т <5 <0} - с некоторым целевым множеством к моменту в. При этом целевое множество выбирается в функциональном пространстве позиций системы (0.7) - троек {1,х,щ{-)}. Решения этих задач получены в виде экстремальных стратегий к стабильным множествам (или к последовательности вложенных стабильных множеств). Наличие запаздывания в управлении создает дополнительные трудности в формализации 1|онятий движений,. максимального стабильного множества и наделяет систему новыми эффектами [85]. Это связано, в основном, с некомнактностью множества управлений и, как следствие, с некомпактностью движений системы (0.7). Расширение понятия управления, согласно схеме главы 1, позволяет вводить не только аппроксимационные движения, но и предельные движения системы (0.7), избежать процедуры прицеливания на последовательность стабильных множеств.

В разделе 2.1 производится формализация обобщенной позиции системы (0.7) как тройки {1, х, ААД-)}' где предыстория обобщенного управления трактуется согласно конструкциям главы 1, а также формализуются понятия обобщенной стратегии, аппроксимационного обобщенного и предельного обобщенного движений системы (0.7). Приводится постановка задач сближения и уклонения обобщенного движения системы с целевым множеством М внутри множества ограничений Ла в пространстве обобщенных позиций.

С помощью модификации понятий стабильности множеств в пространстве позиций и экстремальных к этим множествам стратегий указываются достаточные условия разрешимости поставленных задач. Приводится ряд утверждений, которые образуют доказательство теоремы об альтернативе - возможности для заданной начальной позиции либо разрешить задачу сближения с М внутри ]У, либо разрешить задачу уклонения от М вплоть до выхода из N.

В разделе 2.2 изучаются задачи позиционного управления системой (0.7) в классе обычных позиций {^ х, По схеме предыдущего раздела вводится понятие позиции, стратегии, аппроксимационного движения, производится формализация задач сближения и уклонения. Указываются условия разрешимости поставленных задач с помощью понятий стабильных множеств и экстремальным к ним стратегий. В отличие от конструкций предыдущего раздела, существенно используется процедура прицеливания на последовательность вложенных стабильных множеств. Приводятся условия, при которых задачи позиционного управления системой (0.7) в классах обычных и обобщенных стратегий эквивалентны.

Вторая часть этого раздела посвящена описанию процедур построения множества Ж"°а(М, Л'а) (множества позиционного поглощения) - максимального множества позиций, из которых, как из начальных разрешима задача сближения с М внутри Л''. Для построения этого множества используется метод программных итераций [127, 113], однако, используемые здесь определения стабильности ((7, и)—стабильность) и множества программного поглощения Су-поглощения) позволяют формально обойтись в программных конструкциях без привлечения обобщенных управлений-мер.

В разделе 2.3 для системы (0.7) изучается типичная задача [64] позиционного управления - дифференциальная игра с фиксированным временем окончания. Плата игры определяется функционалом на конечном состоянии системы. Доказывается наличие ситуации равновесия в этой игре. Предлагается итерационный процесс нахождения цены игры с помощью программных конструкций. Рассматривается пример системы с функциональной платой, в котором цена игры определяется после первой итерации программного максимина.

В дифференциальных управляемых системах качество процесса зависит не только от управления, выбираемого в каждый момент (и, возможно, помехи), но и от начального состояния системы. В случае, если система имеет эффект запаздывания в управляющих параметрах, то состояние системы содержит в каждый момент наряду с фазовым вектором системы также функцию-предысторию управления, сложившуюся к этому моменту. Встает задача о том, Лчтобы выбирать начальную предысторию управления так, чтобы улучшить качество процесса. Эта задача изучается в г.таве 3.

В разделе 3.1 производится постановка задачи о выборе предыстории управления для нелинейной управляемой системы вида (0.1).

В разделе 3.2 указываются условия существования решения этой задачи в классах обычных управлений и обобщенных управлений-мер, приводятся необходимые условия минимума.

В качестве примеров в разделе 3.3 рассматриваются линейные задачи. Один из примеров представляет собой задачу минимизации терминального функционала, заданного выпуклой функцией. С помощью аппарата выпуклого анализа выводятся условия оптимальности. Второй пример представляет собой задачу выбора оптимальной предыстории управления в задаче о линейно-квадратичном регуляторе с запаздыванием. В этом случае необходимые условия оптимальности выводятся в силу условия дифферецируемости по Фреше минимизируемого функционала и сводятся к решению интегрэ-льного уравнения

Фредгольма второго рода.

В других примерах рассматриваемый минимизируемый функционал, определенный на предысториях, оказывается недифференциру-емым даже при сколь угодно гладких функциях, задающих систему и исходный функционал качества, поэтому обычные методы минимизации [18] неприменимы. В разделе 3.4 предлагается численный алгоритм поиска минимума, основанный на обобщении градиентного метода (полуградиентный метод). В разделе 3.5 указываются условия применимости этого метода для исследуемой задачи.

В последнем разделе этой главы для систем с запаздыванием в управлении исследована задача о позиционном восстановлении неизвестного управления по поступающей информации о фазовых состояниях системы. В качестве метода решения задачи рассматривается модификация метода динамического моделирования Ю.С. Осипова и A.B. Кряжимского [66, 83]. Алгоритм строится на базе модели, отслеживающей реальное движение, а управление в модели дает искомое среднеквадратичное приближение реального управления. В процедуре существенно используется информация о начальной предыстории управления. Дается приложение решения этой задачи в теории дифференциальных игр с запаздыванием в управление.

В главе 4 конструируются и изучаются численные методы решения ФДУ с постоянным шагом.

В разделе 4.1 производится постановка начальной задачи для системы х = f(t,x{t),xt{-)), (0.8) Xt{-) = {x{t + s), —г < s < 0} ) с начальными условиями x(to) = XQ, xt, (-) = {y^{s), -r < s < P }. (0.9)

Здесь / : [¿0, ¿0 + A] X X (5[—т, 0) A КА; в > О - величина временного интервала, г > О - величина интервала запаздывания, Н!а - /-мерное евклидово пространство; Q[-r, 0) - пространство /-мерных кусочно-непрерывных на [—г, 0) функций у(-) с разрывами первого рода и непрерывными справа в точках разрыва.

Особенность этой системы ФДУ состоит в том, Ато конечномерная фазовая составляющая отделена от бесконечномерной, в отличие от обычно рассматриваемых ФДУ.

Делаются предположения о правой части системы (0.8) (непрерывность по сдвигу и липшицевость по второму и третьему аргументам), которые гарантируют суш,ествование и единственность решения задачи (0.8) - (0.9).

В разделе 4.2 особенности численного решения задачи (0.8) - (0.9) и и с» и иллюстрируются на простейшей численной модели - методе Эйлера с кусочно-постоянной интерполяцией.

Пусть Ш 1оЛ- пА, п = 0,1,.,Ал, А = в/Ы, т/А = т. Введем дискретную численную модель системы (0.8), обозначив приближение точного решения х{1п) = Хп в точке Ш через Пп Е В}*

В отличие от обыкновеиньЛк дифференциальных уравнений, в системе (0.8) функционал правой части / определён на функциях-предысториях, поэтому задание дискретной предыстории недостаточно для построения адекватной системе (0.8) численной модели. Для того чтобы определить функционал / на приближенном решении, необходима интерполяция. Простейший способ - кусочно-постоянная интерполяция: щ,1е [ЛьЛг-ы), г = 0,1,.,п,

Методом Эйлера назовем пошаговую модель

Щ = хо] ип+1 = Пп + А/(л„, м„, п = О , - 1, где = {и{1п + «), —т <5 <0} - предыстория модели, определенная интерполяцией.

Доказывается что метод Эйлера сходится, т.е. та,Х1<,п<м ЦЛп — а;(Лп)|| —) О при Л'' —> со, и имеет порядок сходимости 1, т.е. найдется постоянная С такая, что Цмп —ж(л„)|| < С А для всех п = 1, N. Доказательство показывает, что порядок сходимости определяется двумя факторами: качеством интерполяции и качеством дискретной модели. Дальнейшее улучшение свойств сходимости возможно, во-первых, за счет усложнения интерполяции, во-вторых, за счет усложнения пошаговой модели.

В разделе 4.3 изучаются методы интерполяции дискретной преды-сториии модели и методы ее экстраполяции.

Дискретной предысторией модели в момент Ш цазовем множество п = {щ Е Я\ п — т <г < п -.

Оператором интерполирования / дискретной предыстории модели назовем отображение / : {щ}п -> и(-) е Q[tn — т,1п .

Будем говорить, что оператор / имеет порядок погрешности р на точном решении, если суш,ествуют константы С1, С2 такие, что для всех п = 0 , 1 , N и t Е Нп~ т 1Л выполняется хШ — ии) < Сх т а х + С2АР. а А V / — г>0,п-т<г<п

Рассматривается способ интерполяции функциями, кусочно составленными из многочленов р-ш степени, где р - произвольное натуральное число. (Такие функции называются вырожденными сплайнами.) Доказывается теорема о том, что если точное решение х{1) р 1 раз непрерывно дифференцируемо на отрезке [¿0 — г, ¿0 + а], тогда оператор интерполяции вырожденными сплайнами р-го порядка имеет погрешность интерполяции р-Ы. Указываются другие способы интерполяции.

Во многих рассматриваемых методах (типа Рунге-Кутты, неявных многошаговых и других) необходимо в момент Ы знать предысторию модели щл+аА{-) при а > О, т.е произвести экстраполяцию модели на отрезок [Ьп, Ш + а А .

Для любого а > О оператором экстраполирования Е предыстории модели назовем отображение Е : {иг}п и{-) € 0[1п,ш + аД'.

Будем говорить, что экстраполяция предыстории модели имеет порядок погрешности р на точном решении, если суп1,ествуют константы Сз, С4 такие, что для всех а > О и всех п = 0,1, Т У — 1 и а € Ьп+аА выполняется

Х(1) - иН)\\ < Сз шах и/] Хп + С,{Ау. п—т<1<п

Описывается один из способов задания оператора экстраполяции - экстраполяция продолжением интерполяционного многочлена р-ой степени. Доказывается, что в условиях предыдущей теоремы такая экстраполяция имеет порядок погрешности р-\-1.

Операторы интерполяции и экстраполяции можно объединить в один оператор 1Е, для которого также вводится понятие порядка погрешности.

В разделе 4.4 конструируются методы типа Рунге-Кутты и изучается порядок их сходимости.

Назовем /с-этапным явным методом тина Рунге-Кутты - ЯРК (с интерполяцией / и экстраполяцией Е) численную модель вида к г=1 г-1

Здесь предыстория модели определяется соотнопгениями

Ул{1 + 5 - ¿о) при Л + 5 < ¿0, щ{8) = « 1\{щ]п) при Т <1-{- 8 <1п,

Е{{щ}п) при < л + -5 < + аА, а = та,х{|аг|, 1 < г < А;}.

Невязкой (погрешностью аппроксимации) ЯРК-метода назовем функцию л г=\

Будем говорить, что невязка имеет порядок р, если найдется постоянная С такая, что ||лл(Лп)|| < С'АЛ для всех п 0 , 1 , Л Г — 1.

Будем говорить, что метсЛд имеет порядок сходимости р, если найдется постоянная С такая, что ЦЛп—а:(Лп)|1 л ciSP для всех п = 1 , N .

Доказывается основное утверждение о том, что если ЯРК-метод имеет невязку порядка р1 > О, интерполяция предыстории модели имеет порядок р2 > О, экстраполяция предыстории модели имеет порядок рз > О, то метод сходится, причем порядок сходимости ЯРК-метода р не меньше минимума из рь р2, рз

В разделе 4.5 предлагается методика определения порядка невязки и построения методов высокого порядка. Для ОДУ основным инструментом этого служит разложение Тейлора точного решения и правой части системы. Для ФДУ методика сохраняется, однако для вычисления производных функционала / правой части системы (0.8) используется техника 1-гладкого анализа [46]. Эта техника позволяет сделать вывод о том, что если некоторый ЯРК-метод имеет для ОДУ порядок невязки р, то ЯРК-метод с теми же коэффициентами для ФДУ имеет также порядок невязки р. Этот вывод позволяет использовать для ФДУ все разнообразие численных методов, созданных для ОДУ.

В разделе 4.6 изучаются многошаговые методы вида к к г=1 г=0 где /* = /{и, щ, щ, {-)), и(-) = 1Ё({щ}п).

Порядок сходимости многошаговых методов определяется порядком невязки, порядком оператора интерполяции-экстраполяции 1Е и порядком аппроксимации стартовых значений модели щ, г = О,. ., 1"с — 1 (качеством разгона), а также свойством О — устойчивости, которое определяется аналогично случаю ОДУ

В следующем разделе изучается класс многошаговых методов, не требующих разгона, который возникает в связи со спецификой ФДУ.

В разделе 4.8 конструируется аналог метода Нордсика - одного из самых экономичных. Этот метод эквивалентен многошаговому, но, в отличие от многошагового, в нем легко можно изменять величину шага. Коэффициенты вектора Нордсика приближают производные точного решения системы, но сами производцые считаются только один раз для получения стартовых значений, что особенно актуально в случае ФДУ

В разделе 4.9 показано как технику г—гладкого анализа можно применять для построения методов, использующих вычисление старших производных решения.

В разделе 4.10 дается обзор других методов численного решения ФДУ, основанных на принципе разделения конечномерной и бесконечномерной составляющей фазового вектора.

Глава 5 посвящена формализации и изучению свойств сходимости общих линейных методов численного решения ФДУ с постоянным шагом. Для обыкновенных дифференциальных уравнений имеется ряд работ, в которых методы типа Рунге-Кутты, многошаговые и другие методы объединяются в общие схемы. Наиболее общей, видимо, следует считать схему [233], см. также [120], в которую вкладываются все известные автору методы. В данной главе схема работы [233] модифицируется на случай системы ФДУ. Главным момертом в модификации является введение промежуточного пространсфва - звена между дискретной схемой и функциональной моделью, которая адекватно отражает свойства исходной системы ФДУ, этот элемент схемы назван интерполяцией. Кроме того, традиционное условие липшицевости функции, определяющей продвижение дискретной модели на шаг, заменяется на более слабое условие, названное квазилипшицевостью.

В разделе 5.1 рассматривается начальная задача для ФДУ вида х = /{г,щ{-)), ¿£[«,/3], (0.10) х(Ь):=ф{г), 1е[а-т,а]. (0.11)

Здесь г > О - величина запаздывания, х Е -фазовый вектор, жД-) = {х{1 + з), а ~ т < 1 -\- 8 < 1} -предыстория фазового вектора к моменту и Делаются основные предположения о системе (0.10).

В разделе 5.2 приводятся конструкции общей схемы. Ее основные элементы следующие.

Пусть А > О, такое, что т/А = т - целое, ¿0 € [а, /3]. Сеткой назовем конечный набор чисел Ед = {^ = tQ {А Е [а — т, ¡3], г--т , М ] - .

Дискретной моделью назовем всякую сеточную функцию 11: и Е Ед -> м(Аг) = € А/г, гдс А/А - линейныс нормировацные пространства.

Для п > О предысторией дискретной модели к моменту а„ назовем множество \ и {щ Е иЛ г = п т , п } .

Стартовыми значениями модели назовем {«г}-гп

Оператором интерполяции дискретной предыстории модели назовем функцию /: 1{{иг}п-т) л Ущ щ с Кг ~ линсйные нормированные пространства.

Формулой продвижения модели на шаг (численным методом) назовем алгоритм ЗпПп + АФ(Ап, 1({щ}1/, А), (0.12) где Зп - линейный оператор .

Функцией точных значений назовем отображе1|[ие 2{и,А) = е г = —т,М, которое является следствием задания точного решения х{и) исходцой системы ФДУ в узлах сетки. Будем говорить, что метод сходится с порядком р, если существует константа С такая, что < САЛ для всех п =- —т, N.

Назовем метод (0.12) устойчивым, если произведение операторов 3{, ¡' = 71,71 — 1, .к равномерно ограничено для всех п > О, О < к < п.

Погрешностью аппроксимации (невязкой) метода назовем сеточную функцию

4+1 = гп+1 - Зпгп - АФ(Ап, Н{гг}-т)л А): п = о , - 1.

Будем говорить, что метод имеет порядок погрешности аппроксимации р, если суш,ествует константа С такая, что || дп Н< САЛ,ЛЛ для всех п = 1,.,АА.

Вводится также понятие квазилипшицевости функции с порядком р и понятие порядка стартовых значений.

Доказывается основное утверждение о достаточных условиях сходимости и порядке сходимости. Пусть метод (0.12) устойчив, функция Ф удовлетворяет условию квазилипшицевости с порядком р1 > О, оператор интерполирования / удовлетворяет условию квазилипшицевости с порядком р2 > О, стартовые значения имеют порядок О, погрешность аппроксимации имеет порядок р4 > О, тогда метод сходится, причем порядок сходимости не меньше минимума из

В разделе 5.3 путем выбора сетки, пространств дискретных моделей и интерполяционных пространств, стартовых значений, оператора интерполяции и формулы продвижения на шаг проводится вложение в предложенную выше схему важнейших методов. Рассмотрены ЯРК-методы, многошаговые методы, непрерывные методы [236 .

В разделе 5.4 приводятся необходимые и достаточные условия сходимости с порядком р в терминах понятия согласованности метода с порядком р. В этом и следующем разделах предполагается, что пространство дискретных моделей конечномерно.

В разделе 5.5 изучается асимптотическое разложение глобальной погрешности по величине шага дискретизации. Как известно, (см. 233, 120, 184]) в случае обыкновенных дифференциальных уравнений главный член разложения глобальной погрешности удовлетворяет некоторой линейной системе дифференциальных уравнений, сопряженной к исходной. В случае ФДУ главный член разложения глобальной погрешности также удовлетворяет некоторой линейной системе, но уже функционально-дифференциальных уравнений. Асимптотическое разложение глобальной погрешности является теоретической основой для конструирования широкого класса экстраполяционных методов [120] и для организации процедур автоматического выбора шага. В первой части раздела рассматриваются одношаговые методы, во второй части результаты обобп],аются на произвольные сильноустойчивые методы.

В главах 4 и 5 рассматривались численные методы решения ФДУ с постоянным шагом дискретизации. Однако, современные программные средства численного решения ОДУ используют процедуры с автоматическим выбором шага в зависимости от поведения решения системы. В главе 6 некоторые модификации приведенных в двух предыдущих главах алгоритмов, позволяют перенести большую часть резульи т-ч и татов и на случай переменного шага. В качестве примера такой модификации в разделе 6.1 приводится описание (с доказытельством соответствующих теорем сходимости) явных методов типа Рунге-Кутты. Вводятся понятие невязки и её порядка, порядка сходимости метода. Аналогично случаю постоянного шага доказывается утверждение о том, что ЯРК-метод с переменным шагом имеет порядок сходимости равный минимуму из порядка аппроксимации (невязки) и порядка оператора интерполяции-экстраполяции 1Е. В оценках утверждения этой теоремы существенно входит константа, ограничивающая отношение величины максимального шага ди9кретизации временного отрезка к минимальному.

В разделе 6.2 исследуется порядок оператора интерполяции расширенной предыстории дискретной модели вырожденными сплайнами р—степени. При неравномерной временной сетке в отрезок \Ьп — т, А„], длиной равный величине запаздывания, укладывается не обязательно целое число шагов. Поэтому, чтобы не потерять точности интерполяции, нужно привлечь для построения самого левого из многочленов в конструкции сплайна узлы из предыдущего отрезка [1п — 2т, 1п — т]. Доказывается, что при такой модификации оператор интерполяции расширенной предыстории дискретной модели вырожденными сплайнами р—степени имеет порядок р-Ы при условии достаточной гладкости точного решения. Оператор экстраполяции расширенной предыстории дискретной модели продолжением вырожденного сплайна р—степени также имеет порядок р -1-1, откуда следует существование оператора интерполяции-экстраполяции 1Е с требуемыми в теореме о порядке сходимости предыдущего раздела свойствами.

Раздел 6.3 посвящен описанию процедур автоматического выбора шага. Излагается правило Рунге практической оценки погрешности применительно к рассматриваемым методам. На основе оценки локальной погрешности в зависимости от величины шага приводятся алгоритмы автоматического уменьшения или увеличения шага в зависимости от заданной погрешности. Рассматривается два варианта: оценка погрешности одного метода с двумя разными шагами и оценка погрешности двух вложенных методов (методов с почти одинаковыми матрицами Бутчера). Такие процедуры являются неотъемлемой частью современных численных методов решения ОДУ и ФДУ, применяемых в пакетах прикладных программ. Эти алгоритмы послужили основой для создания соответствующего программного обеспечения в виде пакета программ Time-Delay System Toolbox [213, 214], предназначенного для численного решения широкого класса систем с постоянным, переменным и распределенным запаздыванием и для моделирования некоторых задач управления такими системами.

В разделе 6.4 приводятся оценки глобальной погрешности, проведенные с учетом того, что функционал правой части ФДУ вычисляется неточно. Такая ситуация возникает, например,, если ФДУ содержит распределенное запаздывание в виде интегралов от предыстории. Эти оценки показывают, насколько точно должен вычисляться функционал правой части ФДУ, чтобы не уменьшить порядок сходимости метода. Так в программах пакета [214], где используется метод Рунге-Кутты-Фельберга 4(5) порядков с интерполяцией и экстраполяцией вырожденными сплайнами четвертого порядка, для подсчета интегралов в системах с распределенным запаздыванием используется составной метод Симпсона, имеющий четвертый порядок точности.

В разделе 6.5 рассматриваются несколько простых примеров систем, относящимся к различным типам ФДУ. Во всех этих примерах аналитически выписываются точные решение, поэтому численные методы можно тестировать, сравнивая приближенные и точные решения, и по величине погрешности (а также по затратам времени и памяти) делать выводы об эффективности различных численных методов, способов интерполяции и экстраполяции предыстории и способов выбора шага. В тестировании принимали участие ученики автора: О.В. Онегова (ЯРК-методы и методы с переменным шагом), Н.В. Громова (методы типа Нордсика),, Н.Л. Воробьева (многошаговые методы), Е.В. Фалалеева (экстраполяционные методы), О.Б. Квон (неявные методы), Е.А. Токменинов (тейлоровские методы).

В разделе 6.6 в качестве примера приводится реализация обратной связи в линейно-квадратичной задаче с сосредоточенным запаздыванием в управлении. Обратная связь представляет в этой задаче интегральное уравнение типа Вольтерра и сводится к системе ФДУ с сосредоточенным и распределенным запаздыванием, которую можно численно моделировать.

В разделе 6.7 для линейных автономных систем с запаздыванием в управлении решается задача о стабилизации методом удаляющегося горизонта [215]. Этот метод состоит в том, что для решения задачи стабилизации решается вспомогательная задача управления на конечном промежутке времени (назначается видимый горизонт). В некоторых ситуациях полученное оптимальное управление не зависит от времени, и передвигая горизонт, можно получить стабилизирующее управление. В качестве минимизируемого критерия рассмотрена сумма интеграла от квадрата управления и квадратичного терминального слагаемого. В этом случае, как показано в предыдущем разделе, для решения линейно-квадратичной задачи существуют точные формулы. Полученная линейная обратная связь и дает, при определенных условиях, решение задачи стабилизации.

В качестве иллюстрации материала разделов 6.6 и 6.7 приводится решение модельных задач управления и стабилизации трехстепенного гироскопа в кардановом подвесе - гирорамы с запаздыванием в канале управления.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пименов, Владимир Германович, 2001 год

1. Азбелев Н.В. Максимов В.П. Рахматуллгта Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М. Наука. 1991. 280 с.

2. Айзеке Р. Дифференцисшьные игры. М. Мир. 1967. 480 с.

3. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М. Высшая школа. 1989. 264 с. »

4. Андреева Е.А., Колма,новский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М. Наука. 1992. 336 с.

5. Арутюнов A.B. ВозА(ущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптима.льности // Итоги науки и техники. Мат анализ. 1983. Т. 27. С. 147 235.

6. Арутюнов A.B., Марданов М.Дою. К теории оптимальных процессов с запаздываниями // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. N 8. С. 1291 1298.

7. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. М. МГУ. 1990. 336 с.

8. Бахвалоб Н.С. А1исленные методы. М. Наука. 1973. 632 с.

9. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. Мир. 1967. 548 с.

10. Прикладные проб.лемы математического моделирования в иммунологии // ЖВМ. 2000. Т. 40. N 12. С. 1905 1920.

11. Брайсон А., Хо Ю-гии. Прикладная теория оптимального управления. М. Мир. 1972. 544 с.

12. Брыкалов С.А. Непрерывная обратная связь в задачах конфликтного управления // Доклады РАН. 2001. Т. 376. N 4. С. 442 444.

13. Во.рга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М. 1977. 624 с,

14. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М. Наука. 1981. 400 с.

15. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М. Наука. 1988. 549 с.

16. Вежбицкий А. Принцип максимума для процессов с нетривиальным запаздыванием управления // Автоматика и телемеханика. 1970. N 10. С. 13 20.

17. Вольтерра Б. Математическая теория борьбы за существование. М. Наука. 1976. 286 с.

18. Габасов Р., Кирилова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск. 1974. 272 с.

19. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. Тбилиси. 1975. 253 с.

20. Гребенщиков Б.Г, Онегова О.В. Асимптотические методы в исследованиях свойств устойчивости систем с линейным запаздывсх-нием // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной конференции. Челябинск. ЧГУ. 22 26 июня 1999. С. 36.

21. Долгий Ю. Ф. Асимптотика собственных чисел оператора монодро-нии для периодических дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 1994. N 11.

22. Долгий Ю.Ф., Ким A.B. Метод функционалов Ляпунова для систем с последействием // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. N 8. С. 1313 1318.

23. Драхлина Н.Ш. Об одной модификации метода Рунге-Кутта // Краевые задачи. Пермь. ПНИ. 1983. С. 125 130.

24. Жуковский В.П., Салуквадзе М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. Тбилиси. Мецниереба. 1998. 464 с.

25. Завалищин СТ., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: Модели и приложения. М. Наука. 1991. 256 с.

26. Зверкина Т. С Приближенное решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. I. С. 76 93.

27. Зверкина Т. С. Модифицированная формула Адамса для интегрирования уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1965. Т. III. С. 221 232.

28. Зверкина Т. С. К вопросу о численном интегрировании систем с запаздыванием // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1967. Т. IV. С. 164 172.

29. Зверкина Т. С. Конечноразностные методы интегрирования дифференциальных уравнений с запаздыванием // Труды семинара но теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1967. Т. V. С. 85 89.

30. Зверкина Т. С. К вопросу о выборе метода интегрирования уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравненрп4 с отклоняющимся аргументом. 1969. Т. VII. С. 75 ~ 81.

31. Зверкина Т. С. Численное интегрирование уравнений с рас11])едс-ленным запаздыванием // Тр. семинара по теории диффсренп,. уравнений с отклоняющимся аргументом. 1975. Т. 9. С. 82 ~ 86.

32. Иванов В.К. Васин В.В. Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М. Наука. 1978. 206 с.

33. Ильин A.M. Согласованр1е асимптотических разлол<ений решений краевых задач. М. Наука. 1989. 336 с.

34. Ишлинский А.Ю. Механика специальных гироскопических систем. М. Наука. 1963. 482 с.

35. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М. Наука. 1974. 480 с.

36. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. Наука. 1977. 744 с.

37. Квон О. Б. Тестирование явных и неявных методов типа Рунге-Кутты для систем с запаздыванием // УрГУ, Екатеринбург. Рук. деп. в ВИНИТИ. 24.03.2000. N 193-ВОО. 32 с.

38. Keo7i О.Б., Пименов В.Г. Неявные методы типа Рунге-Кутты для фукнционально-дифференциальных уравнений // Изв. УрГУ. 1998. N 10. С. 69 79.

39. Ким A.B. г-гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1996. 236 с.

40. Ким A.B., Ложников А.Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с захшздыванием по состоянию. Точные peiue-ния уравнения Риккати // Автоматика и телемеханика. 2000. N 7. С. 15 31.

41. Ким A.B., Пименов В.Г. О применении i-гладкого ана,ли-за к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 104 126.

42. Ким A.B. Пименов В.Г. Общая схема численного решения ФДУ и пакет TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной конференции. Челябинск. ЧГУ 22 26 июня 1999. С. 63.

43. Клейменов А.Ф. Неантоганистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург. УИФ. "Наука", 1993. 232 с.

44. Колмановский В.В., Майзепберг Т.Л. Оптимальное оценивание систем и задача управления системами с запаздыванием // Прикл. мат. и мех. 41. В.З. 1977. С. 446 456.

45. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых сисгем с последействием. М. Наука. 1981. 448 с.

46. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука. 1972. 496 с.

47. Короткий А.И. Восстановление управлений в условиях непоШЮй информации о динамике системы // Прикл. мат. и мех. 1998. Т.62. N 4. С. 566 575.

48. Красовский A.A. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. М. Наука. 1973. 560 с.

49. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. Гостехиздат. 1959. 211 с.

50. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструированрш регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. механ. 1964. Т. 28. N 4. С. 716-724.

51. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи об оптимальном управлении в системе с последействием // Докл. АН СССР. 19G6. Т. 167. N 3. С. 540 542,

52. Красовский H.H. Теория управления движеьшем. М. Наука. 1968. 476 с.

53. Красовский H.H. PIrpoBbie задачи о встрече движений. М. Наука. 1970. 420 с.

54. Красовский H.H. Управление динамической системой. М. Наука. 1985. 520 с.

55. Красовский H.H., Осипов Ю.С Линейные дифференциальнно-разностные игры // Доклады АН СССР. 1971. Т. 197. N 4. С. 777 780.

56. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М. Наука. 1974. 456 с.

57. Кряжимский A.B.K теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР. 1978. Т.239. N 4. С. 779 782.

58. Кряжимский A.B. Осипов Ю.С. О позиционном моделировании в динамических системах // Известия АН СССР. Тех. кибернетика. 1983. N 2. С. 51 60.

59. Куржанский A.B. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Диффер. уравн. 1967. Т. 3. N 12. С. 2094 2107.

60. Куржанский А.Б. Управление и наб.людение в условиях неопределённости. М. Наука. 1977. 392 с.

61. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. N 4. С. 436 441

62. Максимов В. И. О существовании седловой точки в дифференциально-разностной игре сблил<;ения-уклонения // Прикл. мат. и мех. 1978. Т. 42. N 1. С. 15 22.

63. Марданов М.Дж. //Докл. АН СССР. 1987. Т. 293. N 3. С. 538 -542.

64. Марданов М.Дж. Необходимые условия оптимальности в системах с запаздываниями и фазовыми ограничениями //Мат. заметки. 1987. Т. 42. N 5. С. 691 702.

65. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М. Наука. 1980. 264 с.

66. Меликян A.A. Цена игры в линейной дифференциальной игре сближения //Докл. АН СССР 1977. Т. 237. N 3. С. 521 524.

67. Милъштейн Г. И. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск. УрГУ. 1988. 224 с.

68. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М. Наука. 1988. 360 с.

69. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М Паука. 1972. 352 с.

70. Новиков Е.А. Явные методы для лАестких систем. Новосибирск. Наука. 1997. 198 с.

71. Нурминский Е.А. Численные методы решения детерминированных и стохастических минимаксных задач. Киев. 1979. 160 с.

72. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // Доклады АН СССР. 1971. Т. 196. N 4. с. 779 782.

73. Осипов Ю.С. Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Доклады АН СССР. 1971. Т. 197. N 5. С. 1022 1025.

74. Осипов Ю. С. Дифференциальная игра для систем с последействием // Прикл. матем. и механ. 1971. Т.35. N 1.

75. Осипов Ю.С, Кр.яжимский А.В. О динамическом решении операторных уравнений // Доклады АН СССР. 1983. Т. 269. N 3. С. 552 556.

76. Осипов Ю.С, Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикл. матем. и механ. 1978. Т.42. N 6. С. 963 ~ 977.

77. Осипов Ю. С, Пименов В.Г. О позиционном управленрн! при гюсле-действии в управляющих силах // Прикл. матем. и механ. 1981. Т.45. N 2. С. 223 229.

78. Петросян Л. О. Дифференциальные игры преследованрш. Л. ЛГУ. 1977. 224 с.

79. Петросян Л.О., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л. ЛГУ. 1982. 252 с.

80. Пименов В. Г. Линейные дифференциальные игры в системе с последействием при неполной информированности // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 1979. С. 128 137.

81. Пименов В. Г. Задача о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Труды 3-ей конф. "Дифференциальные уравнения и применения". Руссе. Болгария. 10 июня 6 июля 1985. Руссе. 1987. Т. 1. С. 321 - 324.

82. Пименов В. Г. К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск, 1987. С. 107 121.

83. Пименов В. Г. Задача о моделировании управления с запаздыванием // Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемых систем. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1988. С. 83 95.

84. Пименов В. Г. Алгоритм выбора начального состояния в системе с последействием в управлении // 3-я Уральская региональная конференция " Функционально-дифференциальные уравнения и их приложение". Тезисы докладов. Пермь. 1988. С. 188.

85. Пименов В.Г. О выборе начального состояния в системе с последействием в управлении // Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск, 1989. С. 71 89.

86. Пименов В. Г. Обобщенные оптимальные управления в системах с запаздываниями по управлению // 7-я Всесоюзная конференция "Управление в механических системах". Тезисы док.ладов. Свердловск. 1990. С. 84 85.

87. Пименов В.Г. О существовании обобщенных оптимальных управлений в системах с запаздыванием в управлении // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. N 8. С. 2174 2176.

88. Пименов В. Г. Некоторые применения метода динамической регуляризации в задачах численного репгения дифференциальных уравнений // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докладов. Саранск. 1994. С. 90.

89. Пименов В.Г. Обобщенные управления, согласованные по последействию // 3-ий международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления, оптимизации и их приложения". Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1995, часть 2. С. 92 96.

90. Пим.енов В. Г. Концепция обобщенных управлений для дифференциально-функциональных систем // Диффереиц. уравнения. 1995. Т. 31. N 6. С. 980 989.

91. Пименов В.Г. Функционально-дифференциальные уравненртя: численные методы. Екатеринбург. Из-во Урал, ун-та. 1998. 80 с.

92. Пименов В. Г. Общая схема численных методов решения ФДУ и асимптотическое разлолсение погрешности // Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 168 -169.

93. Пим,енов В.Г. Общие линейные методы численного решения дифференциально-функгщональных уравнений // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. N 1. С. 105 114.

94. Пименов В. Г. Задачи позиционного управления в классе обобщенных управлений с последействием // Изв. УрГУ. 2001. N 18. С. 139 160.

95. Пименов В.Г., Стихина Т.К. Итерационная процедура построения стабильных М1юл<еств в системах с последействием в управлении // Задачи управления и моделирования в дщнамических системах. Свердловск, 1984. С. 69 76.

96. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. Наука. 1976. 392 с.

97. Пшеничный Б.П. Необходимые условия экстремума. М. Наука. 1969. 152 с.

98. Репин Ю.М. О приближенной замене системы с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. матем. ме-хан. 1965. Т. 29. N 2. С. 226 235.

99. Ривкин С.С. Теория гироскопических устройств. Л. 1962. Ч.1., 1964. 4.2. 548 с.

100. Рокафеллар Р. Выпуклый аиазиз. М. Мир. 1973. 472 с.

101. Самарский A.A., Гулип A.B. Численные методы. М. Наука. 1989. 432 с.

102. Солодов A.B., Солодова Е.А. Системы с перемеиршхм запаздыванием. М. Наука. 1980. 384 с.

103. Субботин А.И., Чепцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М. Наука. 1981. 288 с.

104. Тадумадзе Т.А. О существовании решения в оптимальных за;л,а-чах, описываемых нелинейными дифферетщиально-функциональ-ными уравнениями // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. N 4. С. 597 604.

105. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М. Наука. 1979. 285 с.

106. Третьяков В.Е. Программный синтез в стохастической дифференциальной игре // Доклады АН СССР. 1983. Т. 270. N 2.

107. Ушаков В.Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Известия АН СССР. Тех. кибернетика. 1980. N 4. с. 32 45.

108. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М. Наука. 1978. 488 с.

109. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах оптимального регулирования // Вест МГУ. Сер. 1. 1959. N 2. С. 25 32.

110. Хайрер Э., Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М. Мир. 1990. 512 с.

111. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Т. 2. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М. Мир. 1999. 684 с.

112. Харатишвили Г.Л. Оптимальные процессы с запаздыванием. Тбртлиси. Мецниереба. 1966. 84 с.

113. Харатишвили ГЛ., Тадумадзе Т.А. Нелинейные оптимальные системы управления с переменным запаздыванием //Мат. сб. 1978. Т. 107. N 4. С. 613 -- 633.

114. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984. 421 с.

115. Холл Д., Уат,т Д. Современные численные методы рехнения обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир. 1979.312 с.

116. Цикунов A.M. Управ.пение объектами с последействием. Фрунзе. Илим. 1985. 108 с.

117. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения //Докл. АН СССР. 1976. Т. 226. N 1. С. 73 76.

118. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сб,г1иженр1я в заданный момент времени //Матем. сб. 1976. Т. 99. N 3. С. 394 420.

119. Ченцов А.Г. Конечно-ад 1щтивные меры и релаксация экстремальных задач. Екатеринбзфг УИФ. Наука. 1993. 232 с.

120. Черноусъко Ф.Л., Ме.пикяп A.A. Игровые задачи управ,/1ения и поиска. М. Наука. 1981. 272 с.

121. Швец A.B. Влияние переменного запаздывания на устойчивасть колебаний маятника с вибрирующим подвесом. // Укр. Мат. Жур. 1985. Т.37. N 1. С. 127 129.

122. Шиманов CIL Уравнения с запаздывающим аргументом. // История отечественной математикрг Т.4. Кн. 1. Киев. Наукова думка. 1970. С. 438 488.

123. Шориков А.Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург. Из-во Урал, ун-та. 1997. 244 с.

124. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир. 1978.

125. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М., 1979. 400 с.

126. Эльсгольц Л.Э. Приближенные методы интегрирования дифференциально-разностных уравнений // У МП. N 4. (56). 1953. С. 91 93.

127. Эльсгольц Л.Э., Норкин СБ. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. Паука. 1971. 296 с.

128. Янушевский Р. Т. Управление объектами с запаздыванием. М. Наука. 1978. 416 с.

129. Arndt Н. Numerical solution of retarded Initial value problems: Local and global error and stepsize control // Numer. Math. 1984. V. 43. P. 343 360.

130. Ascher U., Petzold L.R. The numerical solution of delay-differential-algebraic equations of retarded and neutral type / / SI AM. J. Numer. Anal. 1995. V. 32. P. 1635 1657.

131. Baker С Т.Н., Boclmrov G.A., Filiz A., Ford N.J., Paul C.A.H., Rihan F.A., Tang A., Thomas R.M., Тгап H. and Wille D.R. Numerical modelling by retarded functional differential есщаПопз // MCCM tech. rep. N 335, University of Manchester. 1998. 35 p.

132. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Paul C.A.H., Rihan F.A. Modehng and analysis of time-lags in sell proliferations // MCCM tech. rep. N 313, University of Manchester. 1997. 16 p.

133. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Rihan F.A. A report one use of delay differential equations in numerical modeling in the bioscience// MCCM tech. rep. N 343, University of Manchester. 1999. 39 p.

134. Baker C.T.H., Buckwar E. Introduction to the numerical analysis of stochastic delay differential equations // MCCM tech. rep. N 345, University of Manchester. 1999. 24 p.

135. Baker C. T.H., Butcher J. C. and Paul C. A.H. Experience of STRIDE applied to delay differential equations // MCCM tech. rep. N 208, University of Manchester. 1995. 19 p.

136. Baker C.T.H., Makroglou A. and Short E. Stability region for Volterra integro-differeritial equations // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V. 16. P. 890 910.

137. Baker C.T.H., Paid C.A.H. and Wille D.R. Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations // Advances in Compnt. Math. 1995. V. 3. P. 171 196.

138. Baker C.T.H., Paul C.A.H. and Wille D.R. A bibliography on the numerical solution of delay differential equations // MCCM tech. rep. N 269, University of Manchester. 1995. 52 p.

139. Banks H.T. and Burns J.A. Hereditary control problems: Numerical methods based on averaging approximations // SIAM J. Control Optim. 1978. V. 16. P. 169 208.

140. Banks H. T. Burns J.A. and Clif E.M. Parameter estimation and identification with systems with delay // SIAM J. Control Optim. 1981. V. 19. P. 791 828.

141. Banks H.T., Jacobs M.Q. Latina M.R. The synthesis of optimal controls for linear problems with retarded controls // J. Optimisât. Theory and Appl. 1971. V. 8. N 5. P. 319 366.

142. Banks H. T. and Kappel F. Spline approximation for functional differential equations// J. Diff. Equat. 1979. V. 34. P. 496 522.

143. Bellen A. One-step collocation for delay differential equations // J. Comput. Appl. Math. 1984. V. 10. P. 275 283.

144. Bellen A. Constrained mesh methods for functional differential equations // International Series of Numerical Mathematics, Verlag, Basel. 1985. P. 52 70.

145. Bellen A. Constructivity of continuous Runge-Kutta methods for delay differential equations // Appl. Num. Math. 1997. V. 24. P. 213 232.

146. Bellen A. and Zennaro M. Numerical solution of Delay differential equations by uniform correction to an implicit Runge-Kutta methods // Num. Math. 1985. V. 47. N 2. R 301 316.

147. Bellman R., Cooke K.L. On the computational solution of a class of functional differential equations / /J Math. Anal, and its Appl. 1965. V. 12. P. 495 - 500.

148. Bickart T.A. P-stable and Pa,/3]-stable integration/interpolation methods in the solution of retarded differential equations // BIT. 1982. V. 22. P. 464 476.

149. Bock H.C., Schloder J. The numerical solution of retarded differential equations with state dependent time lags // Z. Angew. A4atli. Mecli. 1981. V. 61. P. 269 271.

150. Bocharov G.A., Marchuk G.I. Romanyukha A.A. Numerical solution by LMMs of stiff delay differential systems modelling an immune response // Numer. Math. 199G. V. 73. P. 131 146.

151. Bogacki P., Shampine L.F. A 3(2) pair of Runge-Kutta formulas // Appl. Math. Letters. 1989. V. 2. P. 1 9.

152. Brunner H. Implicit Runge-Kutta methods of optimal order for Volterra integro-differential equations // Math. Comp. 1984. V. 42. P. 95 109.

153. Brunner H., Lambert J.D. Stabihty of numerical methods for Volterra integro-differential equations // Computing. 1974. V. 12. P. 75 89.

154. Burton T.A. Stability and periodic solutions of ordinary and functional differential equations. Academic Press. New York. 1985.

155. Chukwu E.N. Stability and Time-optimal control of Llereditary Systems. Academic Press. Boston. San Diego. 1992. 510 p.

156. Coleman T.E., Garbow B.S. and More J.J. Software for estimating sparse Jacobian matrices // ACM Trans. A4ath. Software. 1989. Vol. 11. P. 329 345.

157. Corwin S.P., Sarafyan D. and Thompson S. DKLAG6: A code based on continuously imbedded sixth-older Runge-Kutta methods for the solution of state-dependent functional differential equations // Appl. Num. Math. 1997. V. 24. P. 319-330.

158. Cryer C. W. Numerical methods for functional differential equations // In Delay and functional differential equations and their application. Schmitt K. ed. 1972. Acad. Press. New YorK. P. 17 101.

159. Cryer C W. Highly stable numerical methods for delay differential equation // SIAM J. Numer. Anal. 1974. V. 11. P. 787 797.

160. Cryer C, Tavernmi L. The numerical solution of Volterra fvmctional differential equations by Euler's method // SIAM J. Numer. Anal. 1972. V.9. P. 105 129.

161. Dahlquist G. Numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand. 1956. V. 4. P. 33 50.

162. Driver R.D. Existence theory for delay-differential systems // Contrib. to diff. eqvuat. 1963. V. 1. N 3. P. 317 336,

163. Driver R.D. Ordinary and Delay Differential Equations. SpringerVerlag. New York. 1977.

164. Dugard L. and Verriest E.I. Stability and Control of Time-delay Systems. Springer-Verlag. New York. 1998. 318 p.

165. Enright W.N. and Ilayashi H. Convergence analysis of the solution of retarded and neutral delay differential equations by continuous numerical methods // SIAM J. Num. Anal. 1995. V. 35. P. 572 -585.

166. Enright W.N. and Ilayashi H. A delay differential equation solver based on a continuous Runge-Kutta method with defect control // Num. Algorithms. 1997. V. 16. P. 349 364.

167. Epstein I.R. Delay effects and differential delay equations in chemical kinetics // Internat. Reviews in physical Chemistry. 1992. V. 11. P. 135 160.

168. Feldstem A., Iserles A. and Levin D. Embedding of delay equations into an infinite-dimensional ODE system / / J . Difi". Equal. 1995. V. 117. P. 127 150.

169. Feldstein A., Sopka R. Numerical methods for nonlinear Volterra integrodifferential equations / / S I AM J.ANumer. Anal. 1973. V. 11. P. 826 846.

170. Fox L., Mayers D.F., Ockendon J.R., Taylor A.B. On a functional diiTerential equation // J. Inst. Math, and its Appl. 1971. V. 8. P. 271 307.

171. Goodman R., Feldstein A. Round off error for retarded ordinary differential equation: a priori bounds and estimates // Num. Math. 1973. V. 21. P. 355 372.

172. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. The Netherlands. Kluwer Academic Pub. Dordrecht. 1992. 512 p.

173. Gorecki M., Fuksa S., Grahowski P. and Korytowski A. Analysis and Synthesis of Time-delay systems. PWN. Warszawa. 1989. 324 p.

174. Hairer E., Luhich Gh. Asymptotic Expansion of the Global Error of Fixed-Stepsize Methods // Ninner. Math. 1984. V. 45, N 3. P. 345 -360.

175. Halanay A. Differential equations: stability, oscillations, time-lags. Acad. Press. New York. 1966.

176. Hale J.K., Lunel S.M. V. Introduction to functional differential equations. Springer Verlag. New York - Heidelberg - Berlin. 1993. 280 p.

177. Iserles A. Numerical analysis of delay differential equations with variable delay // Ann. Numer. Math. 1994. V. 1. P. 133 152.

178. Iserles A., Norsett S.P. On the theory of parallel Runge-Kutta methods // IMA J. Numer. Anal. 1990. V. 10. P. 463 488.

179. Jackiewicz Z. Asymptotic stabihty analysis of A—methods for functional differential equations // Numer. Math. 1984. V. 43. P. 389 396.

180. Jackiewicz Z. One-step methods of any order for neutral functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1984. V. 21. P. 486 -511.

181. Jackiewicz Z., Lo E. The algorithm SNDDELM for the numerical solution of systems of neutral delay differential equations // Appendix in: Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. Academic Press. Boston. 1993.

182. Jankowski T. On the existence of solutions and one-step method for FDE with parameters // Czechoslovak Mathematical Journal. 1994. V. 44. P. 193 208.

183. Kalman R.E. Contribution to the Theory of Optimal Control // Bullet. Soc. Math. Mech. 1960. V. 5. P. 102 119.

184. Kemper G.A. Linear niultistep methods for a class of functional differential equations // Num. Math. 1972. V. 19. P. 361 372.

185. Kemper G.A. Spline function approximation for solutions of functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1975. V. 12. P. 73 88.

186. Kim A.B. Functional differential equations. Application of z-sniooth calculus. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands. 1998. 165 p.

187. Kim A. v., Han S.H, Kwon W.H., Pim.enov V.G. Explicit numerical methods and LQR control algorithms for time-delay systems //Proceeding of tfie International Conference on Electrical Engineering (luly 20-25, 1998). Kyungja. Korea. P. 413 416.

188. Kim A. v., Kwon O.D., Pimenov V.G. Functional differential equations: qualitative theory and numerical metliods based on i-sniooth calculus // SI AM Conference on Dynamical Systems. Snowbird. USA. May 23-27. 1999. P. 43.

189. Kim A. v., Kwon W.H., Pimenov V.G. Numerical methods and a software package for delay differential ecpiations // The Third International Conference on Dynamical Systems and Applications. Atlanta. USA. May 26-29. 1999. P. 101 102.

190. Kim A. v., Pimenov V.G. Multistep numerical methods for functional differential equations //Mathematics and Computers in Simulation. 1998. V.45. P. 377 384.

191. Kim A. v., Pimenov V.G. Numerical Methods for Delay Differential Equations// Lecture Notes Series N 44. Seoul National University. Seoul. Korea. 1999. 96 p.

192. Kirschner D., Lenhart S., Serhin S. Optimal control of tlie chemotherapy of HIV// Journal of Mathematical Biology. 1997. V. 35(7). N 8. P. 775 792.

193. Kolesov Yu.S. Some problems of mathematical ecology // Diff. Eq. and Appl. 1981. V. 21. P. 27 35.

194. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Applied theory of functional differential equations. Dordrecht Boston - London. Kluwer Academic Pub. 1992. 236 p.

195. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. Nev York London. Acad. Press. 1986. 218 p.

196. Krasovskii A.N., Krasovskti N.N. Control under lack of information. Birkhauser. Boston. USA. 1995. 322 p.

197. Kwon O.B., Kim A.V., Pimenov V.G. Numerical modeling of control time-delay systems // Proceeding of the IFAC Workshoj) "Nonsmooth and discontinuous problems of control and optimization" (Tune 17-20, 1998). Chelyabinsk. Russia. P. 137-139.

198. Kwon W.H., Kim A.V., Pimenov V.G., Han S.H., Lozhnikov A.B., Onegova 0. V. Time-Delay System Toolbox and its Applications // Proc. of Korean Automatic Control Conference. Pusan, October 1998. P 147 150.

199. Kwon W.H., Kim A.V., Pimenov V.G., Lozhnikov A.B., Han S.H., Onegova O.V. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). Beta Version. Seoul National University. Seoul, Korea. 1998. 114 p.

200. Kwon W.H. and Pearson A.E. Feedback stabilizatiion of lihear systems with delay systems with delayed control //IEEE Tras. Automat. Contr. 1980. V.25 (2). P. 266 269.

201. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics //Mathematics in Science and Engineering. 191. Academic Press. Boston. 1993.

202. Linz P. Linear multistep methods for Volterra integro-differential equations // J. Ass. Comput. Mach. 1969. V. 16. P. 265 301.

203. Liu Y. Stability analysis of A-methods for neutral functional-differential equations // Num. Math. 1995. V. 70. P. 473 485.

204. Maarten de Gee. Linear multistep methods for functional differential equations // Math, of Comp. 1987. V. 48. P. 633 649.

205. Malek-Zavarer M. and Yamshidi M. Time-delay systems. Analysis, optimization and applications. Noth-Holland. Amsterdam. 1987.504 p.

206. NfAjes K. W. Automatic Integration of functional clifferenlJal equations // ACM Trans. Math. Soft. 1975. P. 357 368.

207. Neves K.W., Thompson S. Software for the numerical solution of functional differential equations with state-dependent delay // App. Numer. Math. 1992. V. 9. P. 385 401.

208. Nordsieck A. On numerical integration of ordinary differential equations // Math. Conip. 1975. V. 16. P. 22 49.

209. Oberle H.J. and. Pesch H.J. Numerical treatment of delay differential equations by Hermit interpolation // Numer. Math. 1981. V. 37. P. 235 255.

210. Oppelstrup J. The RKFHB4 methods for delay differential equations // Lect. Notes in Math. 1978. Springer-Verlag, Berlin. V. 631. P. 133 146.

211. Osipov Yu.S., Kryahimskii A.V. Inverse problem of ordinary differential equations: dynamical solutions. London. Gordon and Breach. 1995.

212. Paul C.A.H. Test Set of functional differential equations / / M C C M tech. rep. N 243, University of Manchester. 1994. 41 p.

213. Paul C.A.H. A User Guide to ARCHI// MCCM tech. rep. N 283, University of Manchester. 1995. 20 p.

214. Paul C.A.H., Baker C.T.H. Explicit Runge-Kutta methods for numerical solution of singular delay differential equations / / MCCM tech. rep. N 212, University of Manchester. 1992. 39 p.

215. Pimenov V. Asymptotic behavior of global error of general numerical methods for functional differential equations // SACTA (Stability and Control: Theory and Applications). 2000. V. 3 N 2. P. 117 124.

216. Shampme L.F. Conservation Laws and Numerical Solution of ODEs // Comp. and Math, with Appl. 1999. V. 38. P. 61 72.

217. Sham,pine L.F, Reichelt M.W. The MATLAB ODE Suite // SI AM Journal on Scientific Computing. 1997. V. 18. P 21 41.

218. Skeel R.D. Analysis of Fixed-Stepsize Methods // SIAM J. Numer. Anal. 1976. V. 13. P. 664 683.

219. Skeel R.D., Jackson L.W. Consistency of Nordsiek Methods//SIAM J. Numer. Anal. 1977. V. 14. N 5. P. 910 924.

220. Skeel R.D., Jackson IJ. W. The stability of variable-stepsize Nordsiek methods // SIAM J. Numer. Anal. 1983. V. 20. P. 840 853.

221. Tavernim L. One-step methods for the numerical solution of Volterra functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1971. V. 8. P. 786 795.

222. Tavernim L. Linear multistep methods for the numerical solutions of Volterra functional differential equations // J. Applic. Anal. 1973. V. 1. P. 169 185.

223. Weiner R., Strehmel K. A type insensitive code for delay differential equations basing on adaptive and explicit Runge-Kutta interpolation methods // Computing. 1988. V. 40. P. 255 265.

224. Wille D.R., Baker C.T.H. DEL SOL A numerical code for the solution of systems of delay differential equations // Appl. Num. Math. 1992. V. 9. P. 223 - 234.

225. Zennaro M. Natural continuous extensions of Runge-Kutta methods // Math, of Computation. 1986. V. 46. P. 119 133.

226. Zennaro M. Asymptotic stabihty analysis of Runge-Kutta methods for nonlinear systems of delay differential equations// Numer. Math. 1997. N 4, P. 549 563.