Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для двухкомпонентного уравнения типа Хартри тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Смирнова, Екатерина Ивановна

• Смирнова, Екатерина Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Смирнова, Екатерина Ивановна

Введение

Глава 1. Задача Коши для уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредо-точенных функций

1 Постановка задачи и обозначения

2 Класс траекторно-сосредоточенных функций

3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста

3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных по Вейлю операторов.

3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка

3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.

4 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера

5 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера

6 Счетный набор решений уравнения типа Хартри (mod 0(/13/2))

Глава 2. Задача Коши для двухкомнонентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций

7 Постановка задачи и обозначения

8 Класс траекторно-сосредоточенных двухкомпонентных функций

9 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста 47 9.1 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.

10 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера

11 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера

12 Решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod 0(ft3/2))

13 Квазиклассически сосредоточенные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри (высшие приближения) (mod

Глава 3. Квазиклассические спектральные серии нелинейного двухкомпонентного оператора Хартри, отвечающие точке покоя классической системы

14 Постановка задачи

15 Конструкция траекторно-когерентных состояний нестационарного уравнения типа Хартри

16 Квантование устойчивых точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста

17 Квазиклассические спектральные серии для двухкомпонентного уравнения типа Хартри во внешнем поле с трансляционно-инвариантным потенциалом самодействия

•Глава 4. Солитоноподобные решения двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе траекторно-сосредоточенных функций

18 Постановка задачи

19 Квазиклассические солитоны двухкомпонентного уравнения типа Хартри в отсутствие внешнего поля

20 Автомодельные солитоны двухкомнонентного уравнения типа Хартри

21 Флоке-решения двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри

22 Квазиэнергетические спектральные серии оператора типа Хартри (mod /I3/2) 84 Заключение 91 Приложение А. Система в вариациях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций для двухкомпонентного уравнения типа Хартри»

Современные математические модели, представляющие значительный интерес в физике, химии и биологии, как правило, основаны на нелинейных уравнениях или системах нелинейных уравнений различных типов. Примерами широко известных нелинейных систем являются двухкомпонентный бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) [1] (см. также [2]), реакционно-диффузионные (РД) системы [3,4] (см. также обзор [5]). Точное интегрирование нелинейных уравнений с переменными коэффициентами удается осуществить сравнительно редко. В каждом таком случае требуется построение уникальных математических конструкций и развитие на их основе соответствующей математической теории.

Метод обратной задачи рассеяния позволяет найти точные аналитические решения для нестационарного одномерного однокомпонентного нелинейного уравнения Шрёдин-гера (НУШ) в отсутствие внешнего поля [6-10]. Данный метод сводит задачу Коши для исходного нелинейного уравнения в классе функций, локализованных в некоторой области пространства, к решению линейного интегрального уравнения. Более глубокое понимание интегрируемости уравнения дает теоретико-полевое представление, в рамках которого НУШ преобразуется к вполне интегрируемым гамильтоновым системам. Процедура интегрируемости представляет собой переход к переменным «действие -угол» [7,8]. В рамках теории солитонов показано, что пространственно локализованное начальное состояние поля при выполнении определенных пороговых условий в процессе эволюции трансформируется к солитонному виду.

При наличии в НУШ малых дополнительных членов, позволяющих описывать динамику солитонов под действием внешних сил и полей, нарушается точное интегрирование. В этом случае решение удаётся построить лишь приближённо методами теории возмущения солитонов в предположении о малости поля [11,12]. В данной теории предполагается, что основной вклад в приближённое решение имеет форму солито-на, параметры которого медленно эволюционируют под влиянием малых возмущений. Теория возмущений позволяет строить высшие приближения, описывающие искажение формы солитона. Возможности теории возмущений ограничены предположением о малости внешних воздействий и, кроме того, тем, что невозмущённое уравнение является точно интегрируемым (1 + 1)-мерным солитонным уравнением, что не позволяет перейти к многомерной динамике. Также следует отметить, что для нелинейных уравнений простые разложения решений в степенной ряд по малому асимптотическому параметру описывают лишь линейное приближение рассматриваемой нелинейной модели и не позволяют учесть существенно нелинейные эффекты. Такие решения применимы в ограниченной области параметров и переменных модели [11]. Математическая теория таких уравнений развита для задачи Коши в [13-24].

Систематическим способом нахождения семейств частных решений уравнений РД-типа является симметрийный анализ дифференциальных уравнений [25-27]. В работах [28,29] проведена классификация (1 + 1)-мерных двухкомпонентных систем РД-типа с симметриями и найдены частные решения, определяемые симметриями. Аналогичное исследование проводилось в [30], где частные решения находились с помощью нели-евских симметрии. Но для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений методы симметрийного анализа [25, 31-35] не дают желаемого результата. Симметрийный анализ позволяет изучать системы, обладающие высокой симметрией, но вычисление симметрии затруднительно при наличии нелокальных слагаемых.

Поэтому развитие адекватных методов построения приближенных решений уравнения типа Хартри с нелокальной нелинейностью является актуальной задачей.

Исследование классов нелинейных уравнений, содержащих произвол в коэффициентах, в многомерном пространстве возможно лишь на основе адекватных приближённых методов. Для эволюционных уравнений таковым оказался метод квазиклассических асимптотик [36-41], который применим к уравнениям с малым параметром при производных. Нетривиальные приближённые решения строятся в специально подобранном классе функций, сингулярно зависящих от асимптотического малого параметра. Определение данного класса функций является ключевым моментом в применении метода квазиклассических асимптотик для конкретного уравнения. Достоинством метода квазиклассических асимптотик является то, что' на его основе в рамках общего подхода удается исследовать различные эволюционные уравнения, существенно различающиеся по своей математической структуре.

Квазиклассическое приближение, отвечающее линейным уравнениям квантовой механики, возникло фактически одновременно с квантовой механикой и имеет два ярко выраженных аспекта: прагматический и философский (см., например, [42-44]).

Прагматический аспект связан с тем, что основные квантовомеханические уравнения содержат «малый» параметр Н при старших производных, например, нестационарное уравнение Шрёдингера г}г—=Ш, Н = Я(р,х,г) = %- + и{х,г), р = ж е М", (0.1) и I/ ¿1111/ отвечающее классической системе с функцией Гамильтона

П(р,х,Ь) = ^ + и(х,г). (0.2)

Существует широкий круг задач, в которых характерный,безразмерный параметр, пропорциональный /I, можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближённых по этому параметру решений квантовомеха-нических уравнений — задача построения квазиклассических асимптотик по Н —> 0.

Философский аспект связан с тем, что одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия. Этот принцип предъявляет к квантовой теории требование, чтобы в пределе /! —> 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую, хотя в аксиоматической формулировке квантовая механика является логически замкнутой теорией и не опирается на классическую. Поскольку совершенно очевидно, что не существует универсального, не зависящего от конкретной физической ситуации, способа получения произвольных классических величин из квантовомеханических, при решении проблемы соответствия необходимо пояснять, в каком смысле, например, заданная квантовая динамика в пределе Н —> 0 переходит в соответствующую классическую [45,46]. Вывод классических уравнений движения для квантовомеханических величин в пределе при К —> 0 является одной из принципиальных проблем соответствия квантовой и классической механик.

В основе подхода к проблеме соответствия квантовой и классической механик лежит представление о классических уравнениях движения как пределе при Н —» 0 уравнений движения для средних значений соответствующих квантовомеханических величин. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими классический аналог, и классическими наблюдаемыми понимается в следующем смысле: квантовые средние по некоторым (специально выбранным - квазиклассически сосредоточенным) нестационарным состояниям должны в пределе при Н —> 0 переходить в фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную на характеристиках уравнения Лиувилля. Впервые такой подход был предложен Эренфестом [46], рассмотревшим в 1927 г. задачу о связи решений эволюционного однокомпонентного уравнения Шрёдингера (0.1) и классического уравнения Ньютона тх = — VII (х).

В физической литературе подход Эренфеста связан с представлением о квантово-механических состояниях ф в форме волновых пакетов, локализованных в окрестности классической траектории. С математической точки зрения локализованность означает, что квантовые средние х(Ь) = (х)у, р(Ь) = по таким состояниям от операторов координат х — (ж1;., хп) и импульсов р = —ШУ в пределе при й —0 являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения

1ш1(г>Ф(4) = £кл(^о), г = (0.3)

Я—>0 где гт(Ь,гь) = ¿о), ^о)) — точка на фазовой траектории гамильтоновой системы

Р = X = Нр, (0.4) стартующей при £ = 0 из произвольной точки го = (ро, Хо) Е К2" фазового пространства.

Условие (0.3) было названо в [47,48] условием траекторной когерентности. Прагматическая сторона этого подхода, по существу, связана с задачей построения волновых пакетов как решений (точных или приближённых по /г —У 0) уравнения Шрёдингера (0.1), удовлетворяющих условию траекторной когерентности (0.3). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном поле [49] и позднее для уравнения Шрёдингера в произвольном электромагнитном поле [47,48] на основе метода комплексного ростка Маслова [41,50,51] (см. также [52-57]). Подробную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорах [42,44,55].

Локализованные асимптотические решения уравнения типа Шрёдингера, удовлетворяющие условию траекторной когерентности (0.3), получили название «квазиклассически сосредоточенных» решений (или состояний). Оказалось, что подобные квазиклассически сосредоточенные состояния существуют для всех основных (линейных) уравнений квантовой механики заряженной частицы во внешнем поле с учётом её спина и изоспина. В работах [58-68] (см., например, [69]) такие состояния были построены для уравнений Клейна-Гордона и Дирака-Паули в произвольном электромагнитном поле и для уравнений Шрёдингера и Дирака во внешнем неабелевом поле с калибровочной группой 517(2). Квазиклассически сосредоточенные состояния являются обобщением хорошо известных (сжатых) когерентных состояний (см., например, [70,71]) на случай (линейных) уравнений квантовой механики в произвольных внешних полях.

На основе квазиклассически сосредоточенных состояний был развит новый ковари-антный подход в квазиклассическом приближении для уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит в том, что в классе квазиклассически сосредоточенных состояний средние значения наблюдаемых, имеющих классический аналог, приближённо (с любой степенью точности 0(hN), ti 0) определяются по решению конечномерной аппроксимации порядка N системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдингера этот базисный набор является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Гейзенберга-Вейля, причем в качестве образующих этой алгебры выбраны зависящие от времени операторы /, Х{ — Xi{t) = Ахг, Pi — pi = Api, i = l,n, / - тождественный оператор). Такая бесконечномерная система для уравнения Шрёдингера была получена в работах [72-75] и названа системой Гамильтона-Эренфеста (см. также [42,44]). В работе [76] было доказано, что она является иуассоновой системой относительно (вырожденной) нелинейной скобки Дирака. Для уравнения типа Паули соответствующая пуассонова бесконечномерная система Гамильтона-Эренфеста была выведена в [77]. Для релятивистских уравнений квантовой теории удалось получить [58,59,62-68] лишь соответствующие конечномерные системы Гамильтона-Эренфеста порядка N (N = 0,1, 2).

Но в любом случае ковариантный подход решает проблему прямого вывода классических уравнений движения (в духе первоначального подхода Эренфеста [46]). А именно, под уравнениями классической механики - под «классикой», отвечающей исходной квантовой теории с заданным матричным гамильтонианом, - понимается конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений - система Гамильтона-Эренфеста порядка N (N ^ 0), замкнутая (с точностью до h —ь 0) относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых этой теории. В рамках такой концепции для заданной (линейной) квантовой теории возникает иерархия «классических» уравнений движения, градуированная порядком N (N ^ 0) соответствующей системы Гамильтона-Эренфеста. Было показано, что градуированное семейство систем Гамильтона-Эренфеста не только решает проблему соответствия, но и с точностью до 0(h,(N+1^2) эквивалентна уравнению Шрёдингера. В частности [44,75,78], из системы Гамильтона-Эренфеста второго порядка удалось получить такие чисто квантовые характеристики системы, как, например, энергетический спектр, отвечающий точке покоя и устойчивым замкнутым фазовым кривым.

Как показывают примеры, предложенная концепция согласована с общепринятым в физической литературе представлением о классических уравнениях движения, соответствующих квантовой теории. В частности, для уравнения Шрёдингера и уравнения Клейна-Гордона «нулевая» классика (N = 0) даёт уравнения Ньютона и Лоренца соответственно [69]. Для уравнения Дирака-Паули во внешнем поле система Гамильтона-Эренфеста порядка N = 0 есть расцепленная система уравнения Лоренца и уравнения Баргмана-Мишеля-Телегди, в котором поля вычислены на траекториях уравнения Лоренца, а в случае N = 2 мы получаем [62] классические уравнения движения спина типа уравнения Френкеля [79]. Для уравнений Шрёдингера и Дирака во внешнем калибровочном поле с группой снмметрий SU(2) соответствующая гамильтонова (N = 2) система Гамильтона-Эренфеста переходит в известные классические уравнения Вон-га для неабелева заряда с изоспином 1/2 [64,65]. Другие примеры вывода известных классических уравнений движения из уравнения Дирака в полях кручения, уравнения Дирака с внешним электромагнитным полем в пространстве Римана-Картана и из уравнения Прока приведены в работах [66-68] (см. также [69]).

Целью настоящей диссертации является развитие асимптотических методов интегрирования двухкомпонентного многомерного нелинейного уравнения типа Хартри и применение этих методов к решению задачи Коши, Флоке и спектральной задачи для двухкомпонентного уравнения тина Хартри.

Известное уравнение самосогласованного поля вида ih^ = #Х[Ф]Ф, (0.5)

П„№=По + х J v(x,y,t)\*(y,t)\2dy,

Е" ^ + х е К", где U(х, t) и V(х, у, t) — заданные гладкие потенциалы внешнего и самосогласованного полей соответственно и х = const, является частным случаем уравнения типа Хартри.

Метод квазиклассически сосредоточенных состояний и ковариантный подход оказались эффективным инструментом исследования нелинейных математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение ковариантного подхода на случай нелинейных квантовых систем заведомо нетривиально, поскольку сама постановка задачи о соответствии «классике» уже является проблематичной, так как не ясно, что понимать под уравнениями классической механики в этом нелинейном случае. Поясним это подробнее на примере уравнения (0.5) и его линейного аналога при >с = 0 -уравнения (0.1). Для уравнения Шрёдингера гамильтониан % имеет, как известно, классический аналог - функцию Гамильтона 7i(p, х, t) (0.2) такую, что "К = %(p,x,t) р = -¿ftV (0.1). Следовательно, формулами (0.4) определена динамическая (гамильто-нова) система, которую принято считать классической системой, отвечающей заданной квантовой теории с гамильтонианом %{f>,x,t). С точки зрения ковариантного подхода система (0.4) есть «нулевая» классика, т. е. конечномерная система Гамильтона-Эренфеста порядка N = 0 в фазовом пространстве размерности 2га. Обоснование этого утверждения дано в цитированных выше работах (см., например, [42]) и опирается на следующие два факта:

I. для уравнения Шрёдингера существуют приближённые асимптотические решения (динамические состояния) Ф(.х, t, ti, zq), которые приближают точные решения с точностью до 0(/г1/'2), h —» 0, и таковы, что они квазиклассически сосредоточены на фазовой траектории Z(t) = (P(t.), X(t)) 6 IR2'1 в следующем смысле (см. (0.3)): lim (p)y(t,h) = P(t), Пт(ж)ф(£, fi) = X(t), x = (xi,., xn), p=—ihV\ (0.6)

Л-+0 0

И. 2п-мерная функция времени Z(t) является решением системы Гамильтона (0.4), причём для произвольной траектории этой системы ZKIl(t, z0), параметризованной начальной точкой (ро, х0) — zq, существуют квазиклассически собредоточенные на этой траектории соответствующие асимптотические решения Ф(ж, £, h, z0) уравнения (0.1), параметризованные z0.

Полученные при реализации принципа соответствия «классические» системы представляют интерес с точки зрения исследования геометрических и топологических характеристик их решений. Для «линейной» квантовой механики {ус = 0 в (0.5)) соответствующая классическая система — это априори гамилътонова система в фазовом пространстве с функцией Гамильтона = И°{р,х): i>= -VxU{x).

У h (0.7) х = р с канонической 2-формой dp A dx. Решение задачи Коши для исходного нелинейного уравнения в квазиклассическом приближении определяется специально построенными геометрическими объектами фазового пространства системы (0.7). В простейшем с точки зрения общей теории [40,41] случае таким объектом является [A°,rf] — нульмерное ланранжево многообразие А® с комплексным ростком Маслова rf, где А^ — точка на фазовой траектории системы (0.7) р = Р{х0,р0, t) — ркл, х = Х{х0,р0, t) = жкл, стартующая при t = 0 из точки {pq,x0).

Двухкомпонентное уравнение типа Хартри запишем в виде

-ihdt + Я*[Ф](*)}Ф = 0, Ф € Ь2{Ж3Х, С2), (0.8) где действие оператора Хартри определяется формулой

Ях[Ф]фФ = (tf (i) + Ф. ' (0.9)

Здесь

H{t) = H°(t)l + ßh(a, Ü(t)), (0.10)

У[Ф](*) = J V+{y,t)[V\t)I+ (a,P{t))}V{y,t)dy, (0.11) к3 где ус - вещественный параметр нелинейности; Ф(ж, t) — {ipl{x,t),Tl>2{x,t))T-, Ф+(ж, t) = {^l*{x,t),^2*{x,t)) - эрмитово сопряженная функция; er;, I = 1,3, - матрицы Паули; H°{t) = H°{z, t), H{t) = H{z,t), V°{t) = V°{z,w,t), и V{t) = V(z,w,t), - псевдодифференциальные операторы от некоммутирующих операторов z и го: z = (—гНд/дх, х), w = (—ihd/dy, у),

Для систем нелинейных уравнений Шрёдингера с унитарной нелинейностью (уравнений типа Хартри) (0.8) проблема «соответствия» в духе подхода Эренфеста сталкивается со следующими трудностями (однокомпонентный случай см. в [78]). Во-первых, оператор "Нх[Ф] не имеет естественного классического аналога в традиционном смысле и поэтому априори не определена какая-либо динамическая система (не зависящая от

Ф) - кандидат на классическую систему, отвечающую задаче (0.8). Во-вторых, открытым остается вопрос о существовании точных или приближённых по ft —> 0 решений этого уравнения типа волновых пакетов, для которых существуют пределы для квантовых средних операторов координат и импульсов. Полученные в диссертации результаты позволяют по новому взглянуть на проблему соответствия. Показано, например, что классические уравнения движения квантовых средних различны в зависимости от классов состояний, на которых осуществляется предельный переход при ft —> 0.

Так, например, для однокомпонентного уравнения (0.8) (когда H(t) = 0, V(t) — 0) с сингулярным потенциалом самодействия V°{x,y) кулоновского типа квазиклассические собственные функции и собственные значения - спектральные серии спектральной задачи или, как принято говорить в математической литературе, квазимоды, сосредоточенные при ft —У 0 вблизи маломерных подмногообразий в М^, были получены [80-83] на основе «сингулярного» варианта ВКБ-метода с помощью эталонных уравнений. Асимптотические спектральные серии оператора типа Хартри с притягивающим потенциалом взаимодействия гауссова вида при отсутствии внешнего поля построены в [84], соли-тоноподобные решения для уравнения типа Хартри и некоторых видов потенциалов взаимодействия построены в [85-88].

Для общего оператора типа Хартри (0.9) с С°°-гладкими символами H°(z, t), H(z, t), V°(z, w, t), V(z, w, t), растущими вместе со своими производными по z и w при \z\ —> 0 и |ги| —» 0 не быстрее, чем полином, удалось в рамках метода квазиклассически сосредоточенных функций [89-93] получить асимптотические состояния [94], удовлетворяющие предельному соотношению (0.3) и позволяющие строить классический предел также для наблюдаемых, не имеющих классического аналога (спин, изоснин). Отметим, что метод квазиклассических траскторно-когерентных функций позволил показать, что в квазиклассическом приближении классические уравнения представляют описание квантовой системы, альтернативное соответствующему квантовому уравнению, с некоторой точностью по квазиклассическому параметру ft.

Подчеркнём, что всюду в работе речь идёт о построении формальных асимптотических решений уравнения типа Хартри с невязкой, норма которой имеет сколь угодно малую оценку по параметру ft, ft —> 0. Обоснование этих асимптотик на конечных временах t € [0,Т], Т = const, представляет собой отдельную нетривиальную математическую задачу. Эта задача связана с получением априорных оценок решения нелинейного уравнения (0.8), равномерных по параметру ft € (0,1), и в данной работе не рассматривается. Отметим, что из эвристических соображений, приведённых в работе [95], оценка разности между точным и построенными формальными асимптотическими решениями, по-видимому, может быть получена с использованием методов, развитых в работах [40,41].

Уравнение (0.8) играет фундаментальную роль в теории бозе-эйнштейновского конденсата [96]. Кроме того, оно используется в нелинейной оптике для описания распространения импульсов [97], в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках [98] и т.д.

Уравнение (0.8) в теории БЭК принято называть связанным нелокальным уравнением Гросса-Питаевского, оно описывает двухкомпонентный неидеальный конденсат в поле магнитной или оптической ловушки. Компоненты вектор-функции ф1(х) и г{>2(х) определяют квантовые состояния компонент конденсата [99,100]. Двухкомпо-нентный конденсат может быть реализован в виде смеси двух систем различных атомов [101,102] либо в виде ансамбля атомов одного вида, находящихся в различных спиновых состояниях [103,104]. Осцилляторный потенциал в операторе (0.9) моделирует внешнее поле ловушки. Внешний потенциал в (0.9) одинаков для обеих компонент конденсата, что имеет место при использовании ловушки, созданной только оптическим лазером [105,106]. Поляризационное слагаемое ¡d(a,H(t)) описывает, например, взаимопревращение компонент конденсата под воздействием внешнего поля, где параметр ц отвечает за интенсивность перехода из одной компоненты конденсата в другую [107]. Взаимодействие между частицами системы учитывается нелокальным членом (среднее поле), характеризующимся оператором V[W](i) вида (0.11). Оператор V°(t) отвечает за нелокальное взаимодействие внутри компонент, a (a, V{t)) - за взаимодействие между различными компонентами. В идеальном бозе-газе при температуре, равной нулю, все частицы находятся в состояниях с нулевыми импульсами, образуя бозе-конденсат. С повышением температуры бозе-конденсат размывается и при некоторой температуре исчезает. В реальной бозе-жидкости к температурному размытию добавляется динамическое, обусловленное межатомным взаимодействием. Таким образом, построение солитоноподобных решений двухкомпонентного уравнения типа Хартри позволяет описывать бозе-конденсат при температуре, близкой к нулю, и отсутствии динамического размытия.

Для уравнений с нелокальной нелинейностью точные методы интегрирования неизвестны, поэтому для исследования моделей обычно нелокальными членами пренебрегают. Однако такое ограничение не всегда корректно. Например, численные исследования динамических процессов в РД-системах показали, что именно нелокальность взаимодействия в системе приводит к формированию диссипативных структур [108,109]. В свою очередь, в [110,111] было показано, что метод квазиклассических асимптотик может быть успешно применён к уравнениям с унитарной нелинейностью типа Хартри. При этом предполагалось, что интегральное ядро в потенциале взаимодействия достаточно гладкое.

Приведём другой пример, усиливающий интерес к квазиклассическому методу. Проблемы, связанные с БЭК в парах щелочных металлов, удерживаемых в магнитно-оптических ловушках, привлекают значительное внимание [112,113](см. также [114,115]). В качестве теоретической основы используются модели полей с ¿-образным межчастичным взаимодействием во внешнем потенциале (V°(z, w,t) — 5(х — у), H(z,t) = 0, V(z,w,t) = 0) [116] и строятся локализованные решения уравнения (0.8). Одним из недостатков расчётов бозе-конденсата является то, что в них используются различные модельные представления для волновой функции, которую описывает чаще всего локальное уравнение Гросса-Питаевского и которая учитывает, как правило, только короткодействующие парные межатомные корреляции.

Также недостатком является то, что уже в пространстве двух измерений локализованные решения БЭК с фокусирующей нелинейностью неустойчивы и в процессе эволюции испытывают коллапс [117], который не наблюдается в эксперименте. Так как большинство моделей, основанных на локальном уравнении Гросса-Питаевского, являются упрощением нелокальной модели [118], представляет интерес более детально ' проанализировать нелокальный оператор У[Ф], возникающий в ходе получения уравнения Гросса-Питаевского. Наличие иелокальности даёт возможность обойти проблему коллапса волновой функции в модели БЭК [119,120].

Важные результаты были получены в спектральной теории таких уравнений [121— 130]. В гладком случае квазимоды, сосредоточенные вблизи точки, были получены впервые в [41,84,111]. Одной из задач, поставленных в диссертации, является задача о построении спектральных серий нелинейного матричного оператора типа Хартри

Ях[ Ф]Ф = Еи Ф, (0.12) отвечающих точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста.

В спектральных задачах квазиклассические собственные функции и собственные значения - спектральные серии, или квазимоды, [40,41,50], - можно сопоставить компактным Ак лишь при условии их инвариантности относительно фазового потока д1н (.Ак — д1нАк). При этом в маломерном случае, т.е. при к < п, инвариантные изотропные подмногообразия должны удовлетворять дополнительному условию типа условия устойчивости. Это условие на геометрическом языке означает существование инвариантного комплексного ростка Маслова г3 над Ак [41,50,131], образованного комплексными траекториями линеаризованной системы в окрестности Ак. В простейшем случае к = 0, когда Л° - устойчивая точка покоя гамильтонова векторного поля алгоритм построения соответствующих спектральных серий методом комплексного ростка (канонический оператор Маслова с комплексной квадратичной фазой [40,41,50]) эквивалентен известному в физике методу осцилляторного приближения в окрестности точки Л°. В случае замкнутой фазовой кривой Л1 [39,132,133] условие орбитальной устойчивости (условие существования комплексного ростка г3 над Л1) эквивалентно тому, что соответствующая система в вариациях допускает базис, состоящий из флоке-решений, косоортогональных касательному вектору к кривой Л1 [41,50].

Основная идея построения соответствующих квазимод заключается в том, чтобы найти асимптотические решения Ф(ж, /I) е 1Сгп задачи Коши (0.9) с начальными условиями, выбранными в классе /Сд, зависящие от времени по гармоническому закону

Г 2 1

Ф(ж, ¿, Я) = ехр — — А£ Ф\(х,Н). Ясно, что тогда пара (Л, Ф>) есть квазимода оператора

Другая задача, поставленная в диссертации, - формулировка условий, при которых квазиклассические локализованные решения можно трактовать как квазиклассические солитонные решения (квазиклассические «солитоны»).

Для линейного однокомпонентного случая н«[Ш) = + и(х) + У(х - у)\ш (0.13) когда в операторе Хартри полагаем ж = 0, поставленная задача переходит в задачу об эволюции в квазиклассическом приближении сжатого когерентного состояния ъ ЛГ0ехр -(Р0,х-х0) ехр -(£ - х0, В0(х - х0)) . (0.14) г

Здесь (ро.жо) — произвольная фиксированная точка фазового пространства К2га; Во — пхп произвольная симметричная матрица с положительной мнимой частью: 1т Во > 0; N0 = (тг/1)-п/4(с1еит В)1,А.

Тогда классическая система, отвечающая оператору Хартри Н^Ф](£) (0.13) и названная в [93,134] системой Гамильтона-Эренфеста, имеет вид z = JVZ + U{x) + V(x - у) + + 2ZVxx(x - У)))

Д2 = JMH{z)A2 - A2M„(z)J, Al = Д2.

0.15) т т,г , . / 0 —Uxx(x(t))\ тг

Здесь J — стандартная симплектическая матрица, J= ; Uxx(x) =

0 J

Щх), Vxx{x - у) = §->У{х -у), к = х||Ф||2.

Общие формулы комплексного метода ВКБ-Маслова дают главный член асимптотики (mod Л3/2) задачи (0.13), (0.14) (при х = 0) в следующем виде:

Ф(ж,£,/г) = iVexp [|:(5кл(4) + (Дсл(0>я - £«.(*)) х

1Г1 х ехр [|(.т-fкл(í))BC-1(í)(f-fкл(í)))](detC(£))-1/2. (0.16) Здесь £кл(£) — классическое действие:

5кл = (Щ^- - С/(хкл(г))) йт, (0.17) а матрицы В(¿), С(£) (определяющие комплексный росток г" € г" = {(го, г),ги =

ВС~1(Ь)г}) суть матричные решения задачи Коши для системы в вариациях (линеаризации системы (0.18) в окрестности ): 7Мн(гКЛ) , „ , , ,

0.18)

В(0) = В0, С(0) = 1„ = ||пхп.

Препятствием к тому, чтобы считать такие солитоноподобные решения квазиклассическими солитонами, является тот факт, что эти волновые пакеты расплываются при Ь—>оо (на временах ¿^^¡Ьг, 0<5<1). За исключением случая, когда 17 (х) - потенциал квадратичного осциллятора, дисперсии координат и импульсов, вычисленные по состояниям Ф (х, К) (0.16), растут при ¿->-оо не медленнее, чем линейная функция по£.

Оказывается [88,91], что эффект фокусировки за счёт интегральной нелинейности при >с ф 0 приводит (по крайней мере, для выпуклых потенциалов самодействия) к существованию локализованных асимптотик уравнения (0.13), (0.14) в форме гауссова пакета, имеющего структуру (0.16), для которого дисперсии координат и импульсов являются ограниченными функциями времени t € [0, +оо). Такие асимптотические решения естественно интерпретировать как квазиклассические солитоны гауссова профиля.

Важно отметить, что в работе [135] для нелинейного уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью типа Хартри в тонком квантовом волноводе, были построены гауссовы волновые пакеты и в случае, когда стенки волновода имеют периодическую структуру, показано, что при положительном значении параметра нелинейности интегральная нелинейность позволяет пакету не расплываться при его распространении. Более того, были обнаружены такие ситуации, когда пакет периодически во времени и пространстве сильно фокусируется.

Примером проявления солитоноподобных свойств, рассмотренных в диссертации, являются квазиэнергетические состояния, впервые введенные Зельдовичем [136,137](см. также [138]), отвечающие матричному Т-периодическому по времени оператору типа Хартри и обладающие свойством

Ъе(х,Ь,Н) = е-^уе&ЪГъ), (0.19) где

Ре(х,г + Т,К) = (ре(х,г,П). (0.20)

Величина £, входящая в (0.19), была названа квазиэнергией и определена по модулю Ьш (и) = 27г/Т), т.е. £' = £ 4- тНш, т € Ъ. Квазиэнергетические состояния играют ключевую роль при описании квантовомеханических систем, находящихся под влиянием сильных периодических внешних воздействий, когда стандартные методы нестационарной теории возмущений оказываются неприемлемыми, и являются частным случаем циклических состояний, введённых Аароновым и Ананданом [139].

Интересным классом квазиклассических солитонов, рассмотренным в диссертации, являются автомодельные солитоны, впервые введенные в работе [95] для уравнения (0.5) в отсутствие внешнего поля и{х,Ь) = 0. Типичный автомодельный солитон - решение уравнения (0.5), отвечающее закону сохранения импульса. Поясним конструкцию такого решения на примере однокомпонентного случая для уравнения (0.5). Пусть (А, Фа (а?)) - собственное значение и соответствующая собственная функция оператора Хартри

Нх[ Ф]ФА = АФА, НФАИ^КЗ) = 1, (0.21)

Тогда формула *) = охр [ 4 (л - М) (] Фд (* *„ - 1«), (0.22) где (ро,%о) € - параметры, определяет автомодельный солитон - точное решение уравнения (0.5).

Если удастся построить приближённый по Н —У 0 спектр и собственные функции спектральной задачи (0.21), удовлетворяющие уравнению не точно, а приближённо по параметру /¿: "Н>с[Ф]Фа = АФа + 0(ка), а > 0, Я —> 0, где невязка 0{1га) оценивается по норме 1*2(М^)), т0 формула (0.22) задаёт асимптотическое автомодельное решение исходного уравнения (0.5) (квазиклассический автомодельный солитон).

Перейдём к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 163 библиографические ссылки. Общий объём диссертации составляет 108 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Смирнова, Екатерина Ивановна

Заключение

В работе получены следующие оригинальные основные результаты:

1. На основе метода комплексного ростка Маслова и ковариантного подхода впервые разработан метод квазиклассических траекторно-сосредоточенных функций (ТСФ) для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри с нелокальной кубичной нелинейностью и эрмитовым матричным гамильтонианом уравнения. Методом квазиклассических ТСФ построено формальное асимптотическое решение задачи Коши для двухкомпонентного уравнения типа.Хартри с любой степенью точности по малому параметру h. В явном виде найден приближенный нелинейный оператор эволюции двухкомпонентного уравнения типа Хартри в классе ТСФ.

2. Получена динамическая система Гамильтона-Эренфеста, описывающая с заданной точностью эволюцию центрированных моментов решения уравнения, которая реализует принцип соответствия для квантовых систем, описываемых нелинейными математическими моделями.

3. С помощью развитого метода для двухкомпонентного нелокального уравнения типа Хартри построены (с точностью до 0(h3/2)) квазиклассические спектральные серии, отвечающие устойчивой в линейном приближении точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста.

4. На основе предложенного метода получены явные выражения для квазиклассического солитоноподобного решения многомерного двухкомпонентного уравнения типа Хартри (mod Я3/2) гауссовского и автомодельного типов во внешних полях.

5. Методом квазиклассических ТСФ получены квазиклассические квазиэнергетические спектральные серии и асимптотика оператора Флоке в классе ТСФ для уравнения типа Хартри с матричным периодическим по времени гамильтонианом. Для квадратичного по координатам и импульсам периодического матричного оператора получены точные решения задачи Флоке для нелинейного уравнения.

В заключение автор благодарит профессора Шаповалова А. В. за дискусии, профессора В. Г. Багрова и профессора Карасева М. В. за внимание к работе.

Особую благодарность я выражаю научному руководителю профессору Белову В. В. за помощь, оказанную во время обучения в аспирантуре и профессору Трифонову А. Ю. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы и неизменную поддержку.

Автор благодарен также Резаеву P.O. за полезные дискуссии во время подготовки диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Смирнова, Екатерина Ивановна, 2010 год

1. Roberts D.C., Ueda M. Stability analysis for n-component Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. A. — 2006. — V. 73. P. 053611.

2. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. - 512 с.

3. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.

4. Цыганов М.А., Бикташев В.Н., Бриндли Дж., Холден А.В., Иваницкий Г.Р. Волны в кросс-диффузионных системах особый класс нелинейных волн // Усп. физ. наук. - 2007. - Т. 177, вып. 3. - С. 275-300.

5. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.

6. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы исследования и решения нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. -469 с.

7. Newell А. С. Solitons in Mathematics and Physics. — Arizona: Soc. Indus. Appl. Math., 1985.

8. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. -484 с.

9. Додц Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694 с.

10. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // Журн. эксперим. теор. физики. 1977. — Т. 73, вып. 2(8) - С. 537-558.

11. Kivshar Y.S., Malomed В.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1990. - V. 8. - P. 763-915.

12. Bove A., Da Prato G., Fano G. An existense proof for the Hartree-Fock time dependent problem with bounded two-body intraction // Comm. Math. Phys. — 1974. — V. 37. P. 183-192.

13. Chadam J.M., Glassey R.T. Global existence of solutions to the Cauchy problem for time-dependent Hartree equation // J. Math. Phys. — 1975. — V. 16. — P. 1122-1130.

14. Glassey R.T. Asymptotic behavior of solutions to certain nonlinear Schrodinger-Hartree equations // Comm. Math. Phys. — 1977. — V. 53, No 1. — P. 9-18.

15. Delgado V. Global solutions of the Cauchy problem for the classical coupled Maxwell-Dirak and other nonlinear Dirac equations in one space dimension // Proc. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 69, No 2. — P. 289-296.

16. Fukuda L., Tsutsumi M. On coupled Klein-Gordon-Schrodinger equations // J. Math. Anal. Appl. — 1978. V. 66, No 2. - P. 358-378.

17. Davies E.B. Some time-dependent Hartree equations // Ann. Inst. H. Poincare. — 1979.- V. A31, No 4. P. 319-337.

18. Ginibre J., Velo G. On a class of non-linear Schrodinger equations with non-local interaction // Math. Z. — 1980. V. 170, No 2. — P. 109-136.

19. Bias Л.-D., Figueira M. Decroissance a 1'infim de la solution d'une equation non lineaire dutype Schrodinger-Hartree // C.R. Acad. Sci. — 1980. — V. AB290, No 19. — P. A889-A892.

20. Choquet-Bruhat Y. Solutions globales des equations de Maxwell-Dirac-Klein-Gordon (masses nulles) // C. R. Acad. Sci. Ser. 1. — 1981. — V. 292, No 2. — P. 153-158.

21. Horst E. On the classical solutions of the initinal value problem for the unmodified non-linear Vlasov equation // Math. Meth. Appl. Sci. — 1981. — V. 3, No 2. — P. 229-248.

22. Strauss W.A. Nonlinear scattering theory at low energy: sequel // J. Funct. Anal. — 1981. — V. 43, No 3. — P. 281-293.

23. Nakamitsu K., Tsutsumi M. The Cauchy problem for the coupled Maxwell-Schrodinger equations // J. Math. Phys. — 1986. — V. 27, No 1. P. 211-216.

24. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 399 с.

25. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.

26. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. - 318 с.

27. Шмидт А.В. Анализ систем реакция-диффузия методом линейных определяющих уравнений // Журн. выч. математики и мат. физики. 2007. - Т. 47, № 2. - С. 256-258.

28. Hizel Е., Turgay N.C. Symmetry group analysis and similarity solutions for nonlinear reaction-diffusion system of Gray-Scott type // Int. Math. Forum, 2. 2007. - No. 58.- P. 2847-2858.

29. Cherniha R. Non-Lie reductions of nonlinear reaction-diffusion systems with variable diffusivities // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2004. - V. 50, No. 1. - P. 62-68.

30. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.I. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. — Berlin: Walter de Gruyter, 1994.

31. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. — Philadelphia, PA: SIAM, 1979.

32. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. — New York: Springer,1986.

33. Fushchich W.I., Nikitin A.G. Symmetries of Maxwell Equations. — Dordrecht: Reidel,1987.

34. Gaeta G. Nonlinear Symmetry and Nonlinear Equations. — Dordrecht: Kluwer, 1994.

35. Маслов В.П., Федорюк M.B. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976.

36. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. — М.: Мир, 1965.- 549 с.

37. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. — М.: Наука, 1988.- 312 с.

38. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах диффракции коротких волн. — М.: Наука, 1972. — С. 465.

39. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.

40. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.

41. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения Шрёдингера // Лекционные заметки по теоретической и математической физике. — Т. 1, Ч. 1. — Казань, 1996. — Т. 15-136.

42. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Асимптотические методы: Учебное пособие. — Томск: Изд-во политехи, ун-та, 2004. 166 с.

43. Born М. Quantenmechanik der Stobvorgänge // Zeitsch. fur Phys. — 1926. — Bd. 38.- S. 803-b27.

44. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // Теор. мат. физика. 1982. - Т. 50, №3. - С. 390-396.

45. Bagrov V.G., Belov V.V., Ternov I.M. Quasiclassical trajectory-coherent states of a particle in arbitrary electromagnetic field // J. Math. Phys. —- 1983. — V. 24, No 12.- P. 2855-2859.

46. Бабич B.M., Данилов Ю.П. Математические вопросы теории распространения волн. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1969. Т. 15. - С. 47-65.

47. Белов В.В., Доброхотов С-Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. матем. физика. — 1988. Т. 92, № 2. - С. 215-254.

48. Белов В.В., Доброхотов -С.Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложение к спектральным задачам // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, № 5. - С. 1037-1042.

49. Нерр К. The classical limit for quantum mechanical correlation on functions // Commun. Math. Phys. 1973. - V. 35. - P. 265-77.

50. Zucchini R. Asymptotic /l1/,2-expansion in classic particle limit of non-relativistic quantum mechanics // Ann. of Phys. (NY). 1985. - V. 159, No 2. - P. 199-219.

51. Hagedorn G.A. 1985 Semiclassical Quantum Mechanics. IV. Large Order Asymptotics and More General States in More then One Dimension // Ann. Inst. Henri Poincare. -1985. V. 45, No 4. - P. 363-74.

52. Littlejohn R.G. The semiclassical evolution of wave packets // Phys. Rep. 1986. - V. 138, No 1-2. - P. 193-291

53. Доброхотов С.Ю., Тирроци Б., Шафаревич А. И. Представление быстроубываю-щих функций каноническим оператором Маслова // Мат. заметки. 2007. - Т. 82, вып. 5. - С. 792-796.

54. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Некоторые приложения теории комплексного ростка к теории уравнений с малым параметром // Совр. пробл. матем.— 1975. —Т.5. С.145-207.

55. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quasiclassical spectral series of the Dirac operators corresponding to quantized two-dimensional Lagrangian tori // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - V. 27, No 15. - P. 5273-5306.

56. Белов В.В., Маслов В.П. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния оператора Дирака с аномальным взаимодействием Паули // Докл. АН СССР. -1989. Т. 305, №3. - С. 574-577.

57. Белов В.В. Квазиклассический предел уравнений движения квантовых средних для нерелятивистских систем с калибровочными полями Томск, 1989. (Препринт / Томский научный центр СО АН СССР; №58.)

58. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quantization of closed orbits in Dirac theory by Maslov's complex germ method // J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. V. 27, No 3. - P. 1021-1043.

59. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: II. High order corrections to the Dirac operators in external electromagnetic field // e-print:quant-ph/9806017. — 1998. — 27 pp.

60. Белов В.В., Маслов В.П. Квазиклассические ТКС в квантовой механике с калибровочными полями // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 311, вып. 4. - С. 849-854.

61. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. «Классические» уравнения движения в квантовой механике с калибровочными полями // Теор. матем. физика. 1992. - Т. 92, №1. -С. 41-60.

62. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics of a charged particle in a curved spacetime // Class. Quantum Grav. — 1991. V. 8. — P. 515-527.67.