Квазиклассическое приближение для нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Левченко, Евгений Анатольевич

• Левченко, Евгений Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Левченко, Евгений Анатольевич

Содержание

Введение 4 Глава 1. Оператор эволюции и операторы симметрии уравнения ФКПП с квадратичным

гамильтонианом

1 Класс траекторно-сосредоточенных функции

2 Объединенная система и квазиклассическое приближение

3 Система ЭЭ для многомерного нелокального уравнения ФКПП

4 Структура решения нелокального уравнения ФКПП в классе траекторно-сосредоточенных функций

5 Оператор эволюции уравнения ФКПП с квадратичным оператором

6 Квазиклассические асимптотики нелокального уравнения ФКПП с точностью

7 Невязка квазиклассических асимптотик нелокального уравнения ФКПП в одномерном случае

Глава 2. Квазиклассические симметрии и операторы симметрии уравнения ФКПП

8 Симметрии объединенной системы

9 Нелокальное одномерное уравнение ФКПП с постоянной функцией влияния

10 Л невские симметрии

11 Общая схема вычисления операторов симметрии

12 Фундаментальный сплетающий оператор уравнения ФКПП

13 Операторы симметрии и генерация решений для одномерного уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния

Глава 3. Асимптотические решения уравнения ФКПП на больших временах

14 Многообразие локализации

15 Эволюция многообразия локализации

16 Решения системы ЭЭ без конвективного слагаемого

17 Точное решение системы ЭЭ

18 Асимптотические решения системы ЭЭ на больших временах

19 Уравнение на КСП с диффузионным слагаемым

20 Краевая задача для одномерного уравнения ФКПП 81 Глава 4. Двухкомпонентное уравнение ФКПП

21 Система ЭЭ для многокомпонентного уравнения ФКПП

22 Многокомпонентное ассоциированное уравнение ФКПП

23 Пример решения двухкомпонентного уравнения ФКПП

Заключение

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиклассическое приближение для нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова»

Введение

Нелинейные математические модели являются одним из основных инструментов анализа сложных систем и процессов. Значительное число моделей, используемых для изучения нелокальных взаимодействий в физических, химических и биологических системах, описываются нелинейными нелокальными интегро-дифференциальными уравнениями (ИДУ).

Среди ИДУ, нашедших широкое применение в физике, особое место занимают кинетические уравнения. Подробный обзор кинетических явлений и их моделей в физике плазмы, в динамике разреженного газа и других физических системах можно найти в [1,2].

В теории бозе-эйнштейновского конденсата используется уравнение Гросса - Питаевско-го (УГП) [3]. Нелокальные УГП описывают эволюцию когерентных квантовых ансамблей динольных квантовых газов с дальнодействующим диполь-дииольным взаимодействием, которое приводит к появлению новых свойств квантовой материи (см., например, [4] и ссылки в ней).

Уравнение Фоккера - Планка с нелокальной нелинейностью применяется в стохастической теории (см., например, [5]), для описания явлений в нелинейной гидродинамике, астрофизике, физике плазмы, атомной физике и т.д.

Нелокальные уравнения типа реакция-диффузия (РД) используются для описания структур, упорядоченных в пространстве и времени. Структуры подобного типа появляются в результате самоорганизации и играют роль во многих важных явлениях в биологии, медицине, эпидемиологии и экологии (см., например, [6-8]).

Эволюция микробных популяций одного вида с эффектами дальнодействия между индивидами моделируется нелокальными обобщениями классического уравнения Фишсра-Колмо-горова-Петровского-Пискунова (ФКПП) [9,10] для поиуляционной плотности и(х,€):

щ(х, Ь) = ОАи(х, £) + аи{х, £) - Ьи2(х, £). (0.1)

Здесь О - постоянный коэффициент диффузии, процесс производства популяции происходит с постоянным темпом роста а и квадратичными по плотности конкурентными потерями с коэффициентом Ь.

Нелинейное уравнение ФКПП возникает, в частности, при описании эволюции амплитуд физических процессов в квантовой хромодинамике в области высоких энергий. Но наиболее наглядную интерпретацию уравнение ФКПП имеет в биофизике, где оно применяется для описания популяциопной динамики, образования структур, популяционных волн и стационарных состояний в колониях микроорганизмов. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделим биофизической интерпретации уравнения ФКПП.

В диссертационной работе рассмотрено нелокальное обобщенное многомерное уравнение ФКПП вида

щ = DAu - (v, u[Vs{x, t) + x J Ws{x, y, t)u(y, t)dy\^ +

r"

+a(x, t)u — xu J b1{x,y)u{y,t)dy, (0.2)

s71

где u(x, t) является гладкой функцией, принадлежащей пространству Шварца S по про—*

странственной переменной f бГв каждый момент времени £; (а, Ь) обозначает евклидово скалярное произведение векторов a,b S Rn, |а|2 = (а, а). Здесь слагаемое локальных конкурентных потерь в уравнении (0.1) заменено на слагаемое, описывающее нелокальные потери, которые контролируются функцией влияния Ь-у(х,у) с параметром 7.

Внешние факторы могут вызвать конвективные процессы, которые вносят вклад в динамику популяций [11]. Векторы-градиенты V^ = VzV(x,t) и = VxW{x, у, t) в уравнении (0.2) описывают локальные и нелокальные средние конвективные скорости, соответственно. В популяциях бактерий нелокальное конвективное слагаемое описывает поток бактерий, которые двигаются под действием силы, произведенной другими бактериями [12]. Уравнение ФКПП с локальной конвекцией рассматривалось в [11], с нелокальной - в работах [12,13]. Одномерное уравнение ФКПП с локальной и нелокальной конвекцией рассмотрено в [14]. Уравнение (0.2) вида

Ut = DV2a + а(х, t)u — bu J u(y, t)f&(x, y)dy (0.3)

n

решалось численно для функции влияния /ст(ж, у) гауссового и урезанного типов с периодическими граничными условиями в двумерном случае и с условием нулевого потока на границах в одномерном случае [15]. Пространственные структуры были получены и проанализированы для заданных отношений ширины функции влияния и размера области, в которой структура локализована.

Устойчивость одномерных стационарных решений рассмотрена в [16] с помощью дисперсионного соотношения между волновым числом любого из состояний структуры и скоростью ее роста.

В [11] исследовано нелокальное конвективное уравнение Фишера

= + аи(х, t) - bu J Ux - y)u(y, t)dy (0.4)

n

с функциями влияния гауссового и урезанного типов (в английской литературе используется термин "cut-off function") и конвекцией, вызванной постоянным или пространственно неоднородным полем скоростей. Для уравнения (0.4) численно исследовано влияние конвекции

на образование структур и с использованием дисперсионного соотношения, полученного с помощью теории возмущений, оценены предельные значения параметров, при которых происходит образование структур.

В [17] рассмотрено уравнение ФКПП с нелокальным ростом

^^ = а I да{х - х')и(х', 1)с1х' - Ьи / /0(х - х')и(х\ 1)<Ы, (0.5)

п п

где а. и (3 - характеристические параметры длины интегральных ядер. В пространстве (а, (3) найдена область изменения параметров, в которой происходит образование структур.

В [18] нелокальное одномерное уравнение ФКПП использовалось для изучения образования структур в проблеме экологического вторжения, где пространственная переменная х рассматривается как физиологический признак.

Из анализа указанных выше работ видно, что только некоторые свойства образования структур, описываемых нелокальным уравнением ФКПП, такие как необходимые условия их возникновения и устойчивости, исследовались аналитически. Общий вид структуры может быть получен лишь с помощью моделирования одномерного уравнения ФКПП. Анализ топ же модели в многомерном случае в зависимости от параметров значительно усложняется.

Изучение нелокального уравнения ФКПП в аналитической форме для описания бегущих волн и стационарных состояний проведено в [19-23].

Нелокальное нелинейное уравнение ФКПП представляет собой интегро-диффренциалыюе уравнение с частными производными. Возможности аналитического решения многомерных нелинейных уравнений существенно ограничены, как следствие наиболее распространенным методом исследования нелокального уравнения ФКПП являются численные методы. Поэтому развитие аналитических методов решения нелокального уравнения ФКПП является актуальной задачей как с точки зрения современной математической физики, так и для объяснения тех физических и биологических явлений, которые этим уравнением описываются.

В данной работе формализм квазиклассических асимптотик [24, 25] применяется для построения асимптотических решений модифицированного обобщенного уравнения ФКПП (0.2), в котором введены нелокальные потери и дрейф. На основе идеологии комплексного метода ВКБ-Маслова [24-26] сформулирована общая конструкция квазиклассически сосредоточенных решений. Существенную роль при построении решений играет полученная в диссертации система уравнений Эйнштейна-Эренфеста (система уравнений на моменты искомой функции).

Сделаем некоторые замечания относительно области применения построенных решений. Квазиклассическое приближение применимо в условиях, когда диффузию можно считать

медленной. Данное приближение соответствует реальным условиям и не является серьезным ограничением. Другим ограничением, принятым в работе, является условие убывания построенных асимптотических решений на бесконечности. Это условие можно понимать в следующем смысле. Предположим, что в малую окрестность области, заполненной лимитирующим субстратом, локально вносится небольшое количество бактериальной культуры, дальнейший рост которой определяется популяционными механизмами, отраженными в модели, сопровождается расширением области, занимаемой популяцией, и формированием структуры. Убывание решения на бесконечности означает, что эти решения описывают рост популяции на стадии, когда ее естественные границы не достигли границ области, заполненной субстратом. Тем самым, квазиклассичсские асимптотики такого типа, построенные в диссертационной работе, не учитывают граничные эффекты.

Уникальность применения метода квазиклассических асимптотик к исследованию уравнения ФКПП состоит в том, что именно в этом подходе возникают уравнения (так называемые «классические» динамические уравнения), описывающие основные характеристики популяций, а именно положение локального максимума распределения (локального центра) и высших моментов, описывающих область локализации популяции.

Подстановка асимптотического решения в уравнение дает невязку, норму которой (например, в ¿2) можно использовать в качестве критерия точности приближенного решения. Соответствие точных и асимптотических решений детально изучалось для линейных уравнений квантовой механики [27]. В частности, были получены оценки времени разрушения заданной точности асимптотического решения [28]. Для нелинейных уравнений исследование соответствия точных и асимптотических решений является принципиальной проблемой. Суть этой проблемы состоит в получении априорных оценок решений соответствующего нелинейного уравнения, равномерных по малому асимптотическому параметру. В отличие от линейных уравнений, получение таких оценок существенно зависит от вида исследуемого нелинейного уравнения. Отметим, что из соображений, приведенных в [27], оценка разности между точным и построенным формальным асимптотическим решениями может быть получена с использованием методов, развитых в работах [26,27].

Свойства симметрии дифференциального уравнения (ДУ) ассоциируются с преобразованиями, оставляющими инвариантным множество решении уравнения. Такие преобразования будем называть операторами симметрии (ОС). Симметрия уравнения выявляет характерные его особенности, позволяющие находить решения уравнения. Например, если известно какое-либо частное решение, то, действуя на него последовательно оператором симметрии, получим семейство новых решений. Процедура генерации решений является лишь иллюстрацией воз-

можностей операторов симметрии уравнений, но не исчерпывает их. Проблема заключается в том, как найти в явном виде операторы симметрии или иные симметрийные конструкции.

В основополагающих работах конца XIX века С. Ли ввел понятие непрерывной группы (группы Ли) точечных преобразований, оставляющих инвариантным дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных). Группу инвариантности уравнения называют также группой симметрии, или группой, допускаемой уравнением. Нахождение такой однопараметрической группы сводится к решению линейной системы определяющих уравнений для инфинитезимального оператора (генератора) группы Ли. Построенная по генератору группа Ли конечных преобразований может применяться к любому решению уравнения, допускающему группу, и, таким образом, генерировать параметрические семейства новых решений уравнения из известного решения [29-31].

Другим словами, группу Ли точечных преобразований инвариантности дифференциального уравнения можно рассматривать как однопараметрическую группу Ли операторов симметрии уравнения. Подробное описание применения групп Ли к обыкновенным ДУ можно найти, например, в [32-34]. Для ДУ с частными производными (ДУЧП) применение методов теории групп Ли опирается па процедуру продолжения действия группы Ли на частные производные высших порядков. Инфинптезимальный оператор продолженной группы Ли имеет специальную структуру и является базовым объектом исследования свойств симметрии ДУЧП. Инфинптезимальный оператор продолженной группы Ли, допускаемой ДУЧП, определяется линейным уравнением в частных производных на коэффициенты оператора, которые задают так называемые симметрии уравнения. Множество симметрий обладает алгебраическими свойствами, которые используются для анализа свойств уравнений и нахождения семейств их решений [32-35]. Исследовано Применение теоретико-групповых методов для уравнений гидродинамики [30,37], механики сплошной среды [38] и т.д.

Построение группы Ли преобразований по ее генератору возможно лишь в случае точечных преобразований независимых и зависимых переменных уравнения, а также в особом случае контактных преобразований, когда генератор зависит также от производных первого порядка. Если симметрии уравнения зависят от производных высших порядков (высшие симметрии), то построить конечную группу Ли преобразований, а следовательно, и группу Ли операторов симметрии в общем виде ие удается. Кроме вычисления высших симметрий существуют и другие направления применения методов теории групп Ли, например, нахождение нелокальных симметрий, законов сохранения и др. [32-34].

Группы симметрии для ИДУ могут быть вычислены с номощыо прямых или косвенных методов [39]. Алгоритмы методов косвенного расчета основаны на замене исходного

нелокального ИДУ системой дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Полученная система анализируется стандартными методами классического группового анализа Ли уравнений в частных производных [32,40-42]. Нелокальные уравнения могут быть сведены к системе УЧП с помощью метода моментов, метода покрытия и др. (см., например, [39]). Метод моментов был использован для вычисления симметрии точечной группы Ли для уравнения Власова-Максвелла в теории плазмы [43] и для кинетических уравнений Бенни, уравнений типов Власова и Вольцмана [44]. Метод покрытия был разработан в [45] и применен для кинетического уравнения коагуляции.

Прямые методы вычисления симметрии были разработаны и применены для уравнения Вольцмана, уравнения движения вязкоупругих сред, уравнений Бенни и Власова-Максвелла (см. [1,39,46,47) и ссылки в них).

Исследования в области теории одно- и многопараметрических приближенных групп преобразований были инициированы Байковым [48], Фущичем [49] и др. Приближенные симметрии включают в себя малый параметр и могут быть рассчитаны для уравнений в частных производных при наличии или отсутствии малого параметра. Приближенные симметрии были найдены для уравнения Буссииеска [50], нелинейного волнового уравнения и других типов уравнений [48].

Достижения в области нелокальных методов открывают новые перспективы развития симметрийного анализа. В [51] использован нелокальный анзатц, чтобы свести нелинейное уравнение в частных производных к уравнению с меньшим числом независимых переменных. Было показано, что нелокальные анзатцы относятся к условным (неклассическим) симмет-риям УЧП [52-54]. Ибрагимов, Газизов, Ахатов изучали квазилокальные симметрии для нелинейного уравнения диффузии [55]. Использование нелокальных методов симметрийного анализа для исследования дифференциальных уравнений развивается в настоящее время Блуманом [56,57], Поповичем [58,59], Бойко [60], Ждановым [61] и другими.

Вопрос о нахождении в явном виде ОС нелинейных уравнений прямыми методами, не связанными с группами Ли, мало изучен. В общей постановке такая задача не имеет конструктивного решения ввиду значительных математических трудностей.

Обратим внимание, что во всех приведенных выше работах приближенные симметрии и решения рассматриваемых уравнений регулярно зависели от малого параметра.

Однако один и тот же оператор, как известно, обладает различными свойствами в различных классах функций (например, оператор дифференцирования ограничен в С2 и не ограничен в Ь2). Как следствие, приближенные симметрии и способ их вычисления зависят от класса функций, в котором строится решение уравнения.

Метод квазиклассических асимптотик позволяет строить решения, сингулярно зависящие от малого параметра, поэтому естественно рассмотреть задачу о построении операторов симметрии и симметрий, которые переводят одни приближенные решения, сингулярно зависящие от малого параметра, в другие. В этом случае естественно ожидать, ч ю сами операторы симметрии и симметрии будут сингулярно зависеть от малого параметра.

В линейном случае такая задача рассматривалась в [62]. В нелинейном случае квазиклассические операторы симметрии были найдены для уравнения Гросса-Питаевского в [63] и для уравнения Фоккера-Планка в [64] с помощью построенного в явном виде оператора эволюции.

Классы функций, сингулярно зависящих от малого асимптотического параметра, используются для построения решений дифференциальных уравнений в частных производных в квазиклассическом подходе в контексте метода канонического оператора Маслова [24,25,65], метода комплексного ростка [26, 67-69] (см. также [66]) или обобщенного адиабатического метода [70-74].

Поэтому одной из задач диссертационной работы является разработка методики, которая позволит применить методы классического группового анализа к ИДУ с использованием квазиклассического подхода. В диссертации рассмотрен специальный класс уравнений: нелинейные уравнения, близкие к линейным. Примером таких уравнений является нелокальное уравнение ФКПП с оператором, квадратичным по независимым переменным и производным [75].

Для таких уравнений в рамках квазиклассического подхода исходное ИДУ сводится к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, симметрия может быть исследована с использованием стандартного группового анализа [32,40-42].

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, трёх приложений, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.

В первой главе описывается метод построения асимптотических решений задачи Коши для многомерного нелокального уравнения ФКПП вида

Здесь £ € К1, х = (х\,..., хп)т, у = (уь ..., уп)т, х,у 6 К" — независимые переменные; угловые скобки {.,.) обозначают евклидово скалярное произведение векторов пространства

[- Од1 + //[и]0х, Щи(х, £) = 0,

(0.6)

(0.7)

М"; йх = (1x1 ■ ■ -йхп\ функция и(х, £) принадлежат пространству Шварца Б по переменным х 6 К™ и равномерна по I > 0; вещественный параметр £> есть постоянный коэффициент диффузии; 7г = = д/дх. Функции а(х,£), Ь(х. у, £), У(ж, ¿), И''(ж, у, £) являются бесконечно гладкими и растущими при |у| —> со не быстрее, чем полином. Векторы-градиенты — \/хУ(х,Ь) и — \/х\¥(х, у, ¿) в уравнении (0.6) описывают локальные и нелокальные средние конвективные скорости, соответственно, а{х, I) - темп автокатализа в системе (рост функции и(х, £) со временем), величина Ь(х,у, £) - функция влияния, и(х, £) имеет смысл популяционной плотности. Решение задачи Коши строится в классе траекторно-сосредоточеиных функций.

Для уравнения (0.6) в классе траекторно-сосредоточенных функций построена динамическая система Эйнштейна-Эренфеста (ЭЭ), описывающая эволюцию моментов функции и(х,Ь), типа (к,М) при к — 0. Здесь к - размерность многообразия, на котором сосредоточено решение, М - наибольший порядок учитываемых моментов. Система типа (0,1) на функции т = т(£) и х = ж(£) имеет вид

т — а(х, 1)гп — >сЬ(х, х, £)т2, X = У£(х, £) + X, £)т.

Для уравнения ФКПП с квадратичным оператором

(0.8)

[-Пд1 + Н(Я,х;ти@,хиМ)]и(:г, £) = 0, (0.9)

.г;ти(£), £„(£)) = - <7?, К^х) - хти{Ь){Я, [К2{Ь)х+

+/Г3(0ЗД)]> + £>а(*) - 0*<ти(О(<А?1 (*).£,(*)) + ко(Ь)), (0.10)

т„(£) = [ и{х,Ь)йх, хи{€) = —^-г хи(х,1)(1х (0.11)

./ J

К" К"

найден в явном виде точный оператор эволюции. Здесь К\(Ь), Кз(Ь) - произвольные

матричные функции размера п х п; к,\ (/) - произвольная вектор-функция; «(£) и А'о(/:) -произвольные функции. Все указанные функции гладко зависят от £. Для одномерного уравнения ФКПП вида (0.6) при

кх1 ( (х — у)2\

*) = —. Щх, У, *) = ехр ( - ^ 0 ,

а{х,Ь) = а, Ь(х, у, £) = Ь0 ехр ^ - —у- (°-12)

где к, гоо, а, Ьо, 7ь 72 _ вещественные параметры, проведена оценка точности построенных квазиклассических решений. В качестве критерия оценки точности была выбрана невязка квазиклассических асимптотик в классе Ь2. Показано, что существуют значения параметров

системы, при которых норма невязки ограничена и точность асимптотического решения сохраняется на всем временном интервале, и значения параметров, при которых невязка стремится к нулю, а асимптотическое решение стремится к точному.

Во второй главе разработаны методы вычисления квазиклассических симметрий и операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным. Для нахождения квазиклассических симметрий классический групповой анализ применен к объединенной конечной системе дифференциальных уравнений, состоящей из исходного уравнения в частных производных и системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей эволюцию моментов искомой функции. Найденные симметрии подчинены дополнительным интегральным соотношениям, которые следуют из определений моментов.

Определим линейный оператор V{t, С', С) следующими условиями:

ветственно; I единичный оператор. Оператор "£>(£, С', С) будем называть фундаментальным сплетающим оператором. Найден сплетающий оператор двух ассоциированных линейных уравнений ФКПП с квадратичным оператором. Разработан метод вычисления квазиклассических операторов симметрии для класса нелинейных уравнений, близких к линейным, с использованием сплетающего оператора ассоциированных линейных уравнений.

Разработанные методы применены для нахождения лиевских симметрий, сплетающего оператора и операторов симметрии одномерного нелокального уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния Ь(х, у, = 6 вида

Для уравнения (0.14) получены следующие генераторы группы симметрии точечных преобразований:

L(t, C')V(t, С', С) = V{t, С', С)L{t, С) V{t, C',C)|i=0 = i,

(0.13)

где L(t., С') и L(t, С) - линейные операторы с различными наборами параметров С' и С, еоот-

(0.14)

Хх

а ip dt 2 дх

(0.15)

где

ip{mu) = a — bm

1 , ти 1 . тъ T = t--m---, z=— In ■

a a — bmu ' a a — bmu '

a R(t, z, x) - произвольное решение уравнения

Rz = DRXX + ipR.

Фундаментальный сплетающий оператор V{t, С', С) для двух ассоциированных линейных уравнений ФКПП вида

[ - dt + Ddl + а - bm(t, С)] v(x, t, С) = 0, (0.16)

соответствующих уравнению (0.14), с различными наборами констант С' и С имеет вид

а счетный набор нелинейных операторов симметрии An(t) уравнения (0.14), действующих на произвольное решение u(x,t) с начальным условием ía(x,í)|í=o = определяется соотно-

шением

rn(t П'\ m (Ci П\ . .

(0.18)

c=c[u], с'=с[¥.„]

где <рп(х) = (а^+^(0))"^(ж), а^(£) - операторы симметрии уравнения (0.16), линейные по операторам 1)дх и х, такие что

[а<->(0,а<+>(«)] = 1.

В третьей главе описывается метод нахождения асимптотических решений уравнения ФКПП на больших временах. Эти решения описывают квазистационарные структуры.

Исследуются структуры, описываемые уравнением (0.6) с функцией влияния, не зависящей от времени (Ь(х, у, I) = Ь7(,х, у)), и локализованные на односвязном многообразии

Л* = x е

f=I(í,s),s6GclM (0.19)

размерности к, причем к < п, где п - число независимых переменных в уравнении. Здесь вещественные переменные s, s G G С параметризуют многообразие , вещественный вектор X(t, s) гладко зависит от t € R1 и параметров s. Многообразие несет в себе информацию об эволюции области локализации структуры.

Решение u{x,t) уравнения (0.6) порождает на многообразии распределение p(t,s), которое можно рассматривать как квазиклассически сосредоточенную плотность (КСП) при D —> 0 в пространстве Rfc. КСП определяется более простыми уравнениями по сравнению с исходным уравнением (0.6) и несет наиболее важную информацию о структуре.

Эволюция таких структур может быть исследована с помощью системы уравнений, описывающей динамику области локализации структуры и КСП па ней:

p{t,s) = f>{t,s)[a(X(t,s),t) - Kjby(X(t,s),X(t,s'))p(t,syis'], (0.20)

g

X(t, s) = V£(X(t, s),t) + *fWs(X(t, s), X(t, s'), t)p(t, s')ds'. (0.21)

g

Систему (0.20), (0.21) называем системой ЭЭ типа (к, 1).

С точки зрения квазиклассического формализма рассматривается специальный случай формирования двумерной структуры. Для этого исследуется двумерное уравнение (0.6) в классе функций, сосредоточенных в окрестности 1D кривой (окружности) в 2D пространстве (R2). В отсутствие дрейфа найдено точное решение данной системы для постоянного начального условия. Для нахождения асимптотического решения системы применена теория возмущений и построены асимптотики на больших временах Т (Т —> ос). Проведено численное моделирование исходной системы и показано, что результаты аналитического расчета и численного моделирования хорошо согласованы.

Разработанный метод применен для анализа структур, локализованных на неполномерном многообразии при наличии диффузии, и для решения одномерного уравнения ФКПП с периодическими граничными условиями.

В четвертой главе рассмотрено двухкомпонентное обобщение одномерного уравнения ФКПП вида

д u(x,t) jjd2u(x,t) д

Vx{x,t)u{x,t)

+

дЬ дх2 дх

+А(х, 1)и(х, £) - хВ{х, 1)и{х, Ь) у (Ь{х, у, *), и{у, 1))йу, (0.22)

— 00

Для уравнения (0.22) получена динамическая система Эйнштейна-Эренфеста. типа (0, М), найдены в явном виде функция Грина и приближенный с точностью 0(£)3,/2) оператор эволюции. Для частного случая уравнения (0.22) найдено численное решение.

В приложении А получены оценки операторов, справедливые в классе траекторно-сосредоточенных функций.

В приложения Б и В вынесен ряд технических моментов, связанных с вычислением квазиклассически сосредоточенной плотности.

В заключении излагаются основные результаты диссертации.

15

ГЛАВА 1

Оператор эволюции и операторы симметрии уравнения ФКПП с квадратичным гамильтонианом

1 Класс траекторно-сосредоточенных функции

Данная глава посвящена построению квазиклассически сосредоточенных решений многомерного нелокального уравнения ФКПП вида

[-Щ+ #[«](£, ОМ®, 0 =°> (1-1)

Н[и](х, I) = (#, - I) + х ! у, 1)и{у, £)г/у]

-\-Daix, £) — Он / Ь(х, у, 1)и(у, £)с/у, Jlstn

и(жД)|4=0 = 7(®)- (1-2)

Здесь £ € Е1; х = (х\,..., хп)т] у — (уь • • •, у„)т; х, у € К." — независимые переменные; угловые скобки {.,.) обозначают евклидово скалярное произведение векторов пространства Мп; с1х = (1х\ • • ■ (1хп; функция и(х, £) принадлежат пространству Шварца 5 по переменным х € К" и равномерна по £ > 0; вещественный параметр £) есть постоянный коэффициент диффузии; 7Г = Идя, = д/дх. Функции а(х, £), Ь(х, у, £), У{х, £), IV[х, у, £) являются бесконечно гладкими и растущими при |у| —> оо не быстрее, чем полином. Далее в диссертации рассматривается нелокальное уравнение ФКПП, поэтому слово «нелокальное» будем опускать.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Левченко, Евгений Анатольевич, 2014 год

Список литературы

1. Grigoriev Y.N. et al. Symmetries of Integra-Differential Equations: With Applications in Mechanics and Plasma Physics, Lect. Notes Phys. — Dordrecht: Springer, 2010. — 806 p.

2. Kovalev V.F., Krivenko S.V., Pustovalov V.V. Symmetry group of Vlasov-Maxwell equations in plasma theory // Nonlinear Math. Phys. - 1996. - Vol. 3, № 1-2. - P. 175-180.

3. Dalfovo F., Giorgini S., Pitaevskii L., Stringary S. Theory of Bose-Einstein condensation in traped gases // Rev. Mod. Phys. - 1999. - Vol. 71, № 3. - P. 463-512.

4. Lahaye Т., Metz J., Frohlich B. et al. d-Wave collapse and explosion of a dipolar Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. - 2008. - Vol. 101. - 080401 (4pp).

5. Frank T.D. Nonlinear Fokker-Planck Equations. - Berlin: Springer, 2004.

6. Lee С. Т., Hoopes M. F., Diehl J. et al. Non-local Concepts and Models in Biology // J. Theor. Biol. - 2001. - Vol. 210. - P. 201-219.

7. Takeuchi Y., Iwasa Y., Sato K. Mathematics for Life Science and Medicine. Series: Biological and Medical Physics, Biomedical Engineering. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2007. - 228 p.

8. Murray J.D. Mathematical Biology. I. An Introduction, third edition. - Verlag, New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 2001.

9. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Annual Eugenics. - 1937. - Vol.7.

- P. 355-369.

10. Колмогоров A.H., Петровский Н.Г., Пискунов H.C. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Сер. А. Математика и Механика. - 1937. - Т. 1, № 6. - С. 1-26.

11. da Cunha J.A.R., Penna A.L.A., Vainstein M.H., Morgado R., Oliveira F.A. Self-organization analysis for a nonlocal convective Fisher equation // Phys. Lett. A. - 2009. - Vol. 373. - P. 661-667.

12. Clerc M.G., Tirapegui E., Trejo M. Pattern formation and localized structures in reaction-diffusion systems with non-Ficldan transport // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol.97. - 176102.

13. Shin-Ichiro Ei. The effect of nonlocal convection on reaction-diffusion equations // Hiroshima Math. J. - 1987. - Vol. 17, № 2. - P. 281-307.

14. Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Одномерное уравнение Фишера-Колмогорова с нелокальной нелинейностью в квазиклассическом приближении // Изв. вузов. Физика. - 2009.

- Т. 52, № 9. - С. 14-23.

15. Fuentes М. A., Kuperman М. N., Kenkre V.M. Nonlocal interaction effects on pattern formation in population dynamics // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 91. - P. 158104.

16. Fuentes M. A., Kuperman M. N., Kenkre V.M. Analytical Considerations in the Study of Spatial Patterns Arising from Nonlocal Interaction Effects // Л. Phys. Chem. B. - 2004. -Vol. 108. - P. 10505-10508.

17. da Cunha J.A.R., Penna A.L.A., Oliveira F.A. Pattern formation and coexistence domains for a nonlocal population dynamics // Phys. Rev. E . - 2011. - Vol. 83. - 015201(R).

18. Genieys S., Perthame B. Dynamics of nonlocal Fisher concentration points: a nonlinear analysis of Turing patterns // Mathematical Modeling in Natural Phenomenon. - 2007. -Vol. 2, № 4. - 135-151.

19. Berestycki H., Nadin G., Perthame В., Ryzhilc L. The non-local Fisher-KPP equation: travelling waves and steady states // Nonlinearity. - 2009. - Vol.22. - P. 2813.

20. Ming Mei, Yong Wang. Remark on stability of traveling waves for nonlocal Fisher-KPP equations // Intern. J. of Numerical Analysis and Modeling, Series B. - 2011, - Vol. 2, No. 4.

- P. 379-401.

21. Volpert V., Petrovskii S. Reaction-diffusion waves in biology // Phys. of Life Rev. - 2009. -Vol. 6. - P. 267-310.

22. Volpert V., Apreutesei N., Bessonov N., Vougalter V. Spatial structures and generalized travelling waves for an integro-differential equation // Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B. - 2010. - Vol. 13, No. 3. - P. 537-557

23. Billingham J. Dynamics of a strongly nonlocal reaction-diffusion population model // Nonlinearity. - 2004. - Vol. 17. - P. 313-346.

24. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1976. - 296 с.

25. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965.

- 549 с.

26. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.

27. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения. II. Операторные унитарно-нелинейные уравнения // Совр. пробл. матем. -1979. - Т. 13. - М.: ВИНИТИ. - С. 145-267.

28. Багров В.Г., Белов В.В. О времени разрушения заданной точности квазиклассических траекторно-когерентных состояний // Теор. матем. физ. - 1988. - Т. 74, № 2. - С. 316-319.

29. Голод А. И., Чупахин А. П. Инвариантные решения динамики политропного газа, построенные по трехмерным алгебрам симметрии // Сиб. электрон, матем. изв. - 2008. -Т. 5. - С. 229-250.

30. Головин С. В., Казакова М. 10. Симметрии и точные решения уравнений динамической конвекции моря // Уфимск. матем. журн. - 2012. - Т.4,№ 4. - С. 79-90.

31. Михайлов А.В., Шабат А.В., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // УМН. - 1987. - Т. 42, № 4.

- С. 3-53.

32. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. -400 с.

33. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. - New-York: Springer, 1986.

34. Bluman G.W., Cheviakov A.F., Anco S. Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations. Applied mathematical sciences; Vol. 168. - New York: Springer, 2010.

- 398 p.

35. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 294. — С. 535-538.

36. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. — Новосибирск: Наука, 1994.

37. Андреев В. К., Бублик В. В., Бытев В. В. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. - Новосибирск: Наука, 2003. - 352 с.

38. Хабиров С.В., Чиркунов С.В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошных сред. - Новосибирск: Из-во НГТУ. - 2012. - 659 с.

39. Ibragimov N.II., Kovalev V.F., Pustovalov V.V. Symmetries of integro-differential equations: a survey of methods illustrated by the Benney equation // Nonlinear Dynam. - 2002. - Vol. 28. - P. 135-165.

40. Ibragimov N. H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics, Mathematics and its Applications (Soviet Series). - Dordrecht: D. Reidel Publishing, 1985.

41. Olver P. Applications of Lie Groups to Differential Equations. - New York: Springer, 1987.

42. Bluman G. W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations, Vol. 81 of Applied Mathematical Sciences. - New York: Springer, 1989.

43. Таранов В.Б. О симметрии одномерных высокочастотных движений бесстолкновитель-ной плазмы // ЖТФ. - 1982. - № 46. - С. 1271-1277.

44. Бунимович А.И., Краснослободцев А.В. Инвариантно-групповые решения кинетических уравнений // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1982. - №4. - С. 135-140.

45. Chetverikov V.N., Kudryavtsev A.G. Modeling integro-differential equations and a method for computing their symmetries and conservation laws // American Mathematical Society Translations. - 1995. - Vol. 167. - P. 1-22.

46. Zawistowski Z.J. Symmetries of integro-differential equations // Proc. Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - Vol. 43, № 1. - P. 263-270.

47. Meleshko S.V. Methods for Constructing Exact Solutions of Partial Differential Equations: Mathematical and Analytical Techniques with Applications to Engineering. - New York, London: Springer, 2005.

48. Байков В.А., Газизов P.K., Ибрагимов H.X. Методы возмущений в групповом анализе // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. нов. достиж. - 1989. - Т.34. - М.: ВИНИТИ. - С. 85-147.

49. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I. Symmetry Analysis and Exact Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics. - Dordrecht: Kluwer, 1993.

50. Baikov V.A., Kordyukova S.A. Approximate symmetries of the Boussinesq equation // Quaestiones Mathematicae. - 2002. - Vol. 25. - P. 1-14.

51. Fushchych W.I., Serov N.I., Amerov Т.К. Non-local ansatzes and solutions of nonlinear system of heat equations // Ukr. Math. J. - 1993. - Vol. 45. - P. 293-302.

52. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation // Л. Math. Mech. - 1969. - Vol. 18. - P. 1025-1042.

53. Olver P.J., Rosenau P. Group-invariant solutions of differential equations // SIAM J. Appl. Math. - 1987. - Vol. 47, №2. - P. 263-278.

54. Fushchych W.I., Tsyfra I.M. On a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken symmetry // J. Phys. A: Math. Gen. - 1987. - Vol.20, №2. - P. L45-L48.

55. Ахатов И.Ш., Газизов P.K., Ибрагимов H.X. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения». - - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 34. - С. 3-83.

56. Bluman G.W., Kumei S., Reid G.J. New classes of symmetries for partial differential equations // J. Math. Phys. - 1988. - Vol. 29. - 806811.

57. Bluman G.W., Cheviakov A.F. Framework for potential systems and nonlocal symmetries: Algorithmic approach // J. Math. Phys. - 2005. - Vol. 46. - 123506.

58. Popovych R.O., Vaneeva O.O., Ivanova N.M. Potential nonclassical symmetries and solutions of fast diffusion equation // Phys. Lett. A . - 2007. - Vol. 362. - P. 166-173.

59. Kunzinger M., Popovych R.O. Generalized conditional symmetries of evolution equations // J. Math. Anal. Appl. - 2011. - Vol. 379. - P. 444-460.

60. Boyko V.M. Nonlocal symmetry and integrable classes of Abel equation // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2004. - Vol. 50, Part 1. - P. 47-51.

61. Zhdanov R. Nonlocal symmetries of systems of evolution equations // Advances in Math. Physics. - 2011. - Vol. 2011, Article ID 456784. - 14 pages.

62. Slivedov O.Yu. Semiclasical symmetries // Ann. Phys. - 2002. - Vol. 296. - P. 51-89.

63. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Exact solutions and symmetry operators for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with quadratic potentional // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2005. - Vol 1, № 7 - P. 1-14.

64. Shapovalov A.V., Rezaev R.O., Trifonov A.Yu. Symmetry operators for the Fokker-Plank-Kohnogorov equation with nonlocal quadratic nonlinearity // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2007. - Vol. 3, № 5. - 16 pp.

65. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. - М.: Наука, 1988. - 312 с.

66. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах диффракции коротких волн. — М.: Наука, 1972. — 465 с.

67. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.

68. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. ма-гем. физ. — 1992. - Т. 92, № 2. — С. 215-254.

69. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложение к спектральным задачам // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 298, № 5. - С. 1037-1042.

70. Белов В.В., Доброхотов С. Ю., Тудоровский Т. Я. Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках. I. Редукция к пространственно-одномерным уравнениям // Теор. матем. физ. - 2004. - Т. 141, № 2. -С. 267-303.

71. Белов В.В., Доброхотов С.Ю.. Маслов В.П., Тудоровский Т.Я. Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах // Успехи физ. наук. - 2005. - Т. 175, № 9. - С. 1004-1010.

72. Belov V.V., Dobrokhotov S.Y., Tudorovskii T.Ya. Operator separation of variables for adiabatic problems in quantum and wave mechanics //J. Eng. Math. - 2006. - T. 55, J\"a 1-4. - C. 179-233.

73. Briining J., Dobrokhotov S., Sekerzh-Zenkovich S. Tudorovskiy T. Spectral series of the Schrodinger Operator in thin waveguides with periodic structure. I. Adiabatic approximation and seinielassical asymptotics in the 2D case // Rus. J. Math. Phys. - 2006. - Vol. 13, № 4. - P. 380-396.

74. Belov V.V., Dobrokhotov S.Yu., Tudorovskii T.Ya. Quantum and classical dynamics of an electron in thin curved tubes with spin and external electromagnetic fields taken into account // Rus. J. Math. Phys. - 2004. - Vol. 11, № 1. - P. 109-119.

75. Levchenko E.A., Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu. Symmetries of the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation with a nonlocal nonlinearity in a semiclassical approximation // J. of Math. Analysis and Applications. - 2012. - Vol. 395. - P. 716-726.

76. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: I. High order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrodinger type // Ann. of Phys. - 1996. - Vol.246, № 2 . - P. 231-280.

77. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения Шрёдингера // Лекционные заметки по теоретической и математической физике. - Т. 1, Ч. 1. - Казань, 1996. - С. 15-136.

78. Смирнова Е.И., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Формализм квазиклассических асимптотик для двухкомпонентного уравнения типа Хартри. - Изв. высших учебных заведений. Физика. - 2009. - Т. 52, № 10. - С. 59-67.

79. Левченко Е.А., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое приближение для одномерного двухкомпонентного реакционно-диффузионного уравнения с нелокальной нелинейностью // Вест. Адыгейского гос. ун-та. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. - 2010. - Т. 61, № 2. - С. 64-74.

80. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М. Квазиклассические траекторно-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле. - Теор. матем. физ. - 1982. - Т.50, № 3. - С. 390-396.

81. Belov V.V., Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu. The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation // Int. J. Math, and Math. Scien. - 2002. - Vol. 32, No. 6. - P. 325-370.

82. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое траекторпо-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теор. матем. физ. - 2002. -Т. 130, № 3. - С. 460-492.

83. Bellucci S., Trifonov A.Yu. Semiclassically-concentrated solutions for the one-dimensional Fokker-Planck equation with a nonlocal nonlinearity // J. Phys. A. - 2005. - Vol. 38. -L103-L114.

84. Шаповалов A.B., Трифонов А.Ю., Масалова Е.А. Квазиклассические асимптотики нелинейного уравнения Фоккера-Планка для распределений доходностей активов // Компьютерные исследования и моделирование. - 2009. - Т.1, № 1. - С. 41-49.

85. Резаев P.O., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Система Эйнштейна-Эренфеста типа (0, M) и асимптотические решения многомерного нелинейного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Компьютерные исследования и моделирование. - 2010. - Т. 2, № 2. - С. 151-160.

86. Карасев М. В., Маслов В. П. Нелинейная скобка Пуассона. Геометрия и квантование. Ч М.: Наука, 1991. — 368 с.

87. Лямкин В.А., Резаев P.O., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Система Эйнштейна-Эренфеста типа (к, 1) для нелинейного уравнения Фоккера-Планка // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. - 2009.

- № 2. - С. 26-37.

88. Левченко Е.А., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Оценка точности решения нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова // Изв. Высших учебных заведений. Физика. - 2012. - Т. 55, № 12. - С. 47-53.

89. Буданов В. Г. Методы Вейлевского представления фазового пространства и канонические преобразования. I // Теор. матем. физ. - 1984. - Т. 61, № 3. - С. 347-363.

90. Буданов В.Г. Методы Вейлевского представления фазового пространства и канонические преобразования. II // Теор. мат. физ. - 1985. - Т. 64, № 1. - С. 17-31.

91. Левченко Е.А., Трифонов А.Ю., Шаповалов A.B. Операторы симметрии нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова с квадратичным оператором // Изв. Высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т. 56, № 12. - С. 86-95.

92. Додонов В.В., Манько В.И. Инварианты и эволюция нестационарных квантовых систем // Труды ФИАН. - М.: Наука, 1988. - 286 с.

93. Бейтмен Г., Э рдей и А. Высшие трансцендениные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. — 296 с.

94. Budrene Е.О., Polezhaev A.A., Ptitsyn M.О. Mathematical modelling of intercellular regulation causing the formation of spatial structures in bacterial colonies.// J. Theor. Biol.

- 1988. - Vol.135, № 3, P.323-341.

95. Matsushita M., Hirainatsu F., Kobayashi N. et al. Colony formation in bacteria: experiments and modeling // Biofilms. - 2004. - Vol. 1. - P. 305-317.

96. Цыганов М.А., Асланиди Г.В., Шахбазян В.10., Бекташев В.И., Ивашщкий Г.Р. Нестационарная динамика бактериальных популяционных воли // Докл. РАН. - 2001. - Т. 380. - С. 828-833.

97. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

98. Levchenko Е. A., Trifonov A. Y., Shapovalov А. V. Pattern formation in terms of semiclassically limited distribution on lower dimensional manifolds for the nonlocal Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation // J. of Phys. A: Mathematical and Theoretical. - 2014. - Vol. 47. - 025209.

99. Naumkin P.I., Shishmarev I.A. Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves // Bulletin of the Ainer. Math. Soc. - 1994. - Vol. 34, No. 1. - P. 0273-0979(97)00705-2.

100. Шишмарев И.А., Цуцуми M. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга // Матем. сб. - 1999. - Т. 190, № 4. - С. 95-114.

101. Комаров М.В. Периодическая задача для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 1. - С. 66-72.

102. Комаров М.В., Шишмарев И.А. Периодическая задача для уравнения Ландау-Гинзбурга // Матем. заметки. - 2002. - Т. 72, № 2. - С. 227-235.

103. Комаров М.В. Периодическая задача для эволюционного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями // Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47, № 12. - С. 17051723.

104. Litvinets F.N., Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu. Berry phases for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with a quadratic potential //J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - Vol. 39. - P. 1191.

105. Hoffman J.D., Frankel S. Numerical Methods for Engineers and Scientists. 2 edition. - New York, Basel: CRC Press, 2001.

106. Kenkre V.M. Results from variants of the Fisher equation in the study of epidemics and bacteria // Physica A . - 2004. - Vol. 342. - P. 242-248.

107. Левченко E.A., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Асимптотические решения нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова на больших временах // Компьютерные исследования и моделирование. - 2013. - Т. 5, № 4. - С. 543-558.