Квазиклассическое квантование системы из N частиц с помощью метода комплексного ростка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Рууге, Артур Эннович

• Рууге, Артур Эннович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рууге, Артур Эннович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Литературный обзор б §1. Квазиклассический предельный переход и изотропные

подмногообразия б

§2. Комплексный росток в точке

§3. Комплексный росток над изотропным многообразием

§4. Метод комплексного ростка в задаче N частиц 20 §5. Некоторые факты из теории псевдодифференциальных

операторов

§6. Задачи диссертации

Глава 2. Уравнение Вигнера 29 §1. Уравнение Вигнера в I? 29 §2. Уравнение Вигнера в Ь2 для системы из N тождественных бозонов 32 §3. Гомологическое уравнение 39 §4. Связь между системами в вариациях

Глава 3. Классические квазичастицы 52 §1. Классические квазичастицы в одномерном случае 52 §2. Уравнения для квазичастиц в общем случае 59 §3. Уравнения на изоэнергетической поверхности, описывающие квазичастицы 61 §4. Симметрический вид уравнений для классических квазичастиц

Глава 4. Квазиклассические фермионы

§1. Постановка проблемы

§2. Основное антисимметрическое состояние

§3. Структура основного антисимметрического состояния 85 §4. Обобщение для нестационарного случая и для серий,

соответствующих изотропным торам 97 §5. Вариационный принцип для квазиклассических ферми-

онов

ВЫВОДЫ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазиклассическое квантование системы из N частиц с помощью метода комплексного ростка»

ВВЕДЕНИЕ

Квазиклассическое квантование, изначально возникшее как математическая реализация принципа соответствия между квантовой и классической механикой, представляет в настоящее время самостоятельную интесивно развивающуюся концепцию. С одной стороны, квазиклассическое квантование может рассматриваться как мощный метод построения формальных асимптотических решений весьма широкого класса уравнений теоретической физики - уравнений типа уравнения Шредингера (стационарного или нестационарного), гамильтонианом которых является некоторый h - псевдодифференциальный оператор, где h —» 0 - малый параметр задачи. Подобные уравнения связаны, прежде всего, с большим числом прикладных задач кватовой механики, чем и обусловлена соответствующая терминология. Малым параметром в этих случаях является отношение постоянной Планка h к характерному значению некоторой классической динамической величины, имеющей размерность действия. С другой стороны, квазиклассические методы позволяют не только строить приближенные решения, но и имеют фундаментальное значение сами по себе, поскольку позволяют лучше понять "природу" квантовых уравнений исходя из алгебраических и геометрических свойств отвечающих им классических уравнений. Под квазиклассическим квантованием в широком смысле этого термина, понимается сопоставление классическим геометрическим объектам - подмногообразиям фазового пространства - формальных асимптотических решений квантовых уравнений, а также выяснение условий, которым должны удовлетворять эти геометрические объекты и гамильтонов фазовый поток классической динамической системы для того, чтобы указанные решения можно было построить.

Одним из возможных подходов к построению квазиклассических (h —> 0)

Typeset by Дм^-ТеХ

асимптотик является метод комплексного ростка. Его важным свойством является тот факт, что он допускает бесконечномерное обобщение и может быть применен к исследованию системы из N тождественных частиц, описываемой уравнением

г^1 = НФ(1), Ф(0еГ5(Х2(М")), (0.1)

где Г5(Х2 (!.")) - симметричное пространство Фока, оператор Н (гамильтониан) имеет вид

Н = I йхф+{х)Т{р,х)^р-(х) + £I

(0.2)

где 6 Кп, р = —¿/гУз, г} = -гкЧ^, К > 0, Т(р,х) и У(р,Х]Г],£) - достаточно гладкие действительные функции, проквантованные по Вейлю, 1р+(х) и (х) - операторы рождения и уничтожения, е —> 0 - малый параметр. Примерами уравнения (0.1) служат N - частичные уравнения Вигнера и Лиувилля для квадратного корня из плотности, а также уравнение Шредингера для системы тождественных бозонов. В Шредингеровском представлении, в котором вакуумному вектору пространства Фока соответствует функционал

Ф0 [£(•)] =ехр(-^д2(Ж)), (0.3)

а операторы рождения - уничтожения имеют вид

уравнение (0.1) принимает вид уравнения Шредингера с бесконечным числом степеней свободы и к нему применим метод комплексного ростка, рассматриваемый по параметру е. Асимптотические решения выражаются с помощью решений классических уравнений - системы уравнений Гамильтона и соответствующей ей системы уравнений в вариациях. В рамках такого подхода удается, в частности, получить геометрическую интерпретацию результатов Боголюбова по теории сверхтекучести на языке Гамильтонова формализма классической механики, а также получить новые, математически строгие, результаты из этой области.

Возможна ситуация, когда помимо параметра е в задаче имеется еще один малый параметр - параметр к (постоянная Планка). Гамильтониан (0.2) зависит, таким образом, от двух малых параметров, е и к, по каждому из которых можно применить метод комплексного ростка. В связи с этим возникает задача исследования асимптотики решений системы Гамильтона и системы в вариациях, отвечающих предельному переходу по одному из параметров, по оставшемуся второму параметру.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Рууге, Артур Эннович

выводы.

1. Получены формулы, сопоставляющие паре решений уравнения Хартри, отвечающего предельному переходу е —► 0 в уравнении Шредингера для системы из N попарно взаимодействующих бозонов с малым параметром е при взаимодействии, решения е - гамильтоновых характеристик уравнения Вигнера в L2. Получены также формулы, связывающие решения соответствующих систем уравнений в вариациях.

2. Получено уравнение, которое можно рассматривать как квантовое обобщение гомологического уравнения на изоэнергетической поверхности, ассоциированного с уравнением Лиувилля для N частиц.

3. Найдена индефинитная метрика, отвечающая классическим уравнениям для квазичастиц в эргодическом случае. Показано, что соответствующая система интегро - дифференциальных уравнений, описывающая классические квазичастицы, может при определенных условиях рассматриваться как задача на собственные значения некоторого симметрического относительно данной метрики оператора.

4. Сформулирован вариационный принцип для системы из большого числа квазиклассических фермионов, являющийся обобщением другого вариационного принципа, использующего пробные волновые функции, имеющие структуру произведения N(N—1)/2 волновых функций пар частиц.

5. Выявлена структура основного антисимметрического состояния квазиклассических асимптотических серий гамильтониана системы из N фермионов, полученных с помощью квантования по методу комплексного ростка стационарных точек и условно периодических траекторий, показывающая их связь с более простыми гамильтонианами, отвечающими исходному, соответствующими различным сочетаниям частиц.

Typeset by

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рууге, Артур Эннович, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы // УМН. — 1967. — Т.22. — вып.5.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука. — 1989.

3. Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функц. анализ и его прил. — 1972.

— Т.6. — вып.2. — С.12-20

4. Бабич В.М. Многомерный метод ВКБ и лучевой метод. — в кн.: Совр. пробл. матем. Фундам. напр. М. ВИНИТИ. — 1988. —Т.34. — С.93-134.

5. Белое В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Ма-слова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. и мат. физ.

— 1990. — Т.92. — вып. 2. — С.215-254

6. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Канонический оператор Маслова на изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложения к спектральным задачам // Докл. АН СССР. — 1988. — Т.298. — N.5.

— С.1037-1042

7. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. — М.:Наука. — 1986.

8. Боголюбов H.H. К теории сверхтекучести // Изв. АН СССР. Сер.физ.

— 1947. — Т.Н. — вып.1. — С. 77-90

9. Боголюбов H.H., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости. — Изд-во АН СССР. — 1958.

10. Буслаев B.C. Квантование и метод ВКБ // Тр. МИАН. — 1970. — Т.110. — С.5-28

11. Буслаев B.C. Производящий интеграл и канонический оператор Маслова в методе ВКБ // Функц. анлиз и его прил. — 1969. — Т.З. —

Typeset by TßX

вып. 3. — С.17-31

12. Воробьев Ю.М. Комплексный росток Маслова, порожденный линейной связностью // Матем. заметки. — 1990. — Т.48. — вып. 6. — С.29-37

13. Воробьев Ю.М. О квантовании изотропных торов в некоторых неинте-грируемых случаях // УМН. — 1990. — Т.45. — вып.4. — С.127

14. Воробьев Ю.М., Итсков В.А. Квазимоды, отвечающие почти периодическому движению устойчивого типа // Матем. заметки. — 1994. — Т.5. — вып.5. — С.36-42

15. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. — М.:Мир.

— 1981.

16. Доброхотов С.Ю., Виктор Мартинес Оливе, Шафаревич А.И. Замкнутые траектории и двумерные торы в квантовой задаче Кеплера с переменной анизотропией // Докл. РАН. — 1997. — Т.355. — вып.З. — С.299-302

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. — М.:Эдиториал УРСС. — 1998.

18. Карасев М.В. Новые глобальные асимптотики и аномалии в задаче квантования адиабатического инварианта // Функц. анализ и его прил.

— 1990. — Т.24. — вып. 2. — С.104-114

19. Карасе в М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. — М.:Наука. — 1991.

20. Карасев М.В., Маслов В.П. Псевдодифференциальные операторы и канонический оператор в общих симплектических многообразиях // Изв. АН СССР. — 1983. — Т.47. — вып.5. — 999-1029

21. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Изд. УдГУ. — 1995.

22. Кучеренко В.В., Маслов В.П. Спектр системы N фермионов при N —> оо // ДАН. — 1995. — Т.344. — вып.2. — С.158-161

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.: Физматлит.

— 1963.

24. Лере Ж. Лагранжев анализ и квантовая механика. — М.:Мир. — 1981.

25. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.:Наука. — 1977.

26. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука. — 1973.

27. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ. — 1965.

28. Маслов В.П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука. — 1987.

29. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана. — М.: Наука. — 1976.

30. Маслов В.П. Об интегральном уравнении вида и{х) = F(x) + fG(x,£)

/u+/2(£)d£ // Функц. анализ и его прил. — 1994. — Т.28. — вып.1. — С.41-50

31. Маслов В.П. Об одном новом вариационном принципе для фермионов // Матем. заметки. — 1997. — Т.62. — вып.4. — С.633-634

32. Маслов В.П. Об интегральном уравнении вида и(х) = F(x) + fG(x,£)

j j и(п-2)/2^ в случаях п = 2 и 3 // Матем. заметки. — 1994. — Т.55. — вып.З. — С.96-108

33. Маслов В.П. Квазиклассическая асимптотика собственных функций уравнения Шрёдингера- Хартри. Новый вид классического самосогласованного поля // Теор. и мат. физ. — 1994. — Т.99. — вып.1. — С.141-154

34. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Совр. пробл. матем. Вып. II. — М.: ВИНИТИ. — 1978. — С.153-234

35. Маслов В.П. Аналитическое продолжение асимптотических формул и аксиоматика термодинамики и квазитермодинамики // Функц. анализ и его прил. — 1994. — Т.28. — вып.4. — С.28-41

36. Маслов В.П. Асимптотика решения N - частичных уравнений Колмогорова - Феллера и асимптотика решения уравнения Больцмана в области больших уклонений // Матем. заметки. — 1995. — Т.58. — вып.5. — С.694-709

37. Маслов В.П., Мищенко A.C. Квазиклассическая асимптотика квазичастиц // Матем. сборник. — 1998. — Т.189. — вып.6. — С.85-116

38. Маслов В.П., Рууге А.Э. О некоторых тождествах для интегродиффе-ренциальных уравнений, описывающих квазичастицы на изоэнергети-ческой поверхности // Матем. заметки. — 1996. — Т.60. — вып.5. —

. С.692-707

39. Маслов В.П., Рууге А.Э. Об одном симметрическом уравнении для квантового хаоса//Матем. заметки. -1997. —Т.62. —вып.6. —С.940-941

40. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.:Наука. — 1976.

41. Маслов В.П., Чеботарев A.M. О случайных полях, отвечающих цепочкам Боголюбова, Власова, Больцмана // Теор. и мат. физ. — 1983. — Т.54. — С. 78-88

42. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. I. Асимптотики типа волновых пакетов // Теор. и матем. физ.

— 1995. — Т.104. — вып.2. — С.310-329

43. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Метод комплексного ростка в пространстве Фока. II. Асимптотики, отвечающие изотропным многообразиям // Теор. и матем. физ. — 1995. — Т.104. — вып.З. — С.479-506

44. Маслов В.П., Шведов О.Ю. Квантование в окрестности классических решений в задаче N частиц и сверхтекучесть // Теор. и мат. физ. -— 1994. — Т.98. — вып. 2. — С.266-288

45. Милнор Дж. Теория Морса. — М.:Мир. — 1965.

46. Похожаев С.И. Об уравнениях Маслова // Дифф. уравнения. — 1995.

— Т.31. — вып.2. — С.338-349

47. Рууге А.Э. О структуре основного антисимметрического состояния квазиклассической серии оператора Шредингера // Препринт физ. ф-та МГУ им. М.В.Ломоносова. — 1999. — N4.

48. Рууге А.Э. Вариационный принцип для квазиклассических фермионов // Матем. заметки. — 1999. — Т.66. — вып.1

49. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. — М.:Мир. — 1985.

50. Топологические методы в теории гамильтоновых систем / под ред. А.В. Болсинова, А.Т. Фоменко, А.И. Шафаревича. —Изд. "Факториал". —

1998.

51. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. — М.:Факториал. — 1995.

52. Федорюк М.В. Метод перевала. — М.:Наука. — 1977.

53. Фоменко А.Т. Симплектическая гаометрия. Методы и приложения. — М. Изд-во МГУ. — 1988.

54. Швебер С. Введение в релятивисткую квантовую теорию поля. — М.:ИЛ.

— 1963.

55. Bagrov, V.G., Belov, V.V., Ternov, I.M. Quasiclassical trajectory-coherent states of a non-relativistic particle in an arbitrary electromagnetic field // Theor. Math. Phys. — 1982. — V.50. — No.3. — P.256-261

56. Bagrov, V.G., Belov, V.V., Trifonov, A.Y. Quantization of closed orbits in Dirac theory by Maslov complex germ method //J. Phys. A-Math Gen.

— 1994. — V.27. — No.3. — P.1021-1043

57. Berry, M.V. The adiabatic limit and the semiclassical limit //J. Phys. A-Math Gen. — 1984. — V.17. — No. 6. — P.1225-1233

58. Berry, M. V. Quantal phase-factors accompanying adiabatic changes // Proc. Roy. Soc. bond. A. Mat. — 1982. — V.392. — No. 1802. — P.45-47

59. Berry, M.V. Classical adiabatic angles and quantal adiabatic phase //J. Phys. A-Math Gen. — 1984. — V.18. — No. 1. — P.15-27

60. Dubnov, V.L., Maslov, V.P., Nazaikinskii, V.E. The complex lagrangian germ and the canonical operator // Russ. J. Math. Phys. — 1995. — V.3.

— No.2. — P.141-190

61. Gutzwiller, M.C. Chaos in classical and quantum mechanics. — SpringerVerlag. — 1992.

62. Hagedorn, G.A. Semi-classical quantum mechanics // Ann. Phys. — 1981.

— V.135. — No. 1. — P. 58-70

63. Hess H. On a geometric quantization scheme generalizing those of Kostant-Souriau and Czyz // Lect. Notes Phys. — 1981. — V.139. — P.l-35

64. Johnson, R.A., Sell, G.R. Smoothness of spectral subbundles and reducibil-

ity of quasiperiodic linear differential systems //J- Diff. Eq. — 1981. — V.41. — P.262-288

65. Maslov, V.P. Quasi-particles associated with lagrangian manifolds corresponding to classical self-consistent fields. III. // Russ. J. Math. Phys. — 1995. — V.3. — No. 2. — P.271-276

66. Maslov, V.P. Quasi-Particles associated with lagrangian manifolds and (in the ergodic case) with constant energy manifolds corresponding to semiclas-sical self-consistent fields. V. // Russ. J. of Math. Phys. — 1996. - V.3.

— No. 4. — P.529-534

67. Maslov, V.P. Quasi-particles associated with isoenergetic manifolds corresponding to classical self-consistent fields. VIII. // Russ. J. Math. Phys.

— V.4. — No. 4 — P.539-546

68. Maslov, V.P., Shvedov, 0. Yu. Asymptotic solutions to the Wigner equation for systems of large number of particles // Russ. J. Math. Phys. — V.3.

— No. 1. — P. 65-80

69. Ralston, J.V. On the construction of quasimodes associated with stable periodic orbits // Commun. Math.Phys. — 1976. — V.51. — P.219-242

70. Voros A. Wentzel-Kramers-Brillouin method in the Bargmann representation //Phys. Rev. A. — 1989. —V. 40. — No. 12. — P.6814-6825

71. Witten E. Supersymmetry and Morse'theory // J. Diff. Geom. — 1982. ■— V. 17. — P. 661-692

Выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю академику Виктору Павловичу Маслову за поддержку и внимание к моей работе.