Асимптотики однопетлевого эффективного действия квантовых полей с эллипсоидальным законом дисперсии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Шипуля, Михаил Алексеевич

• Шипуля, Михаил Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шипуля, Михаил Алексеевич

Введение

1. Асимптотики однопетлевого эффективного действия

1.1. Введение.

1.2. Эффективное действие при конечной температуре.

1.3. Разложение для осциллирующей части.

1.4. Казимировский вклад.

1.5. Разложение квазиклассического вклада по полюсам.

1.6. Условия применимости.

1.7. Пересуммирования.

1.7.1. Суммирование по полюсам.

1.7.2. Суммирование по д в одномерном случае.

1.7.3. Вклад от полюсов, близких к вещественной оси.

1.8. Квазиклассический вклад.

1.8.1. Нерелятивистский предел

1.8.2. Высокотемпературная асимптотика.

1.9. Выводы.

2. Асимптотики эффективного уравнения движения

2.1. Введение.

2.2. Эффективное уравнение движения.

2.3. Физические решения

2.4. Планарные физические решения.

2.4.1. Линейное движение.

2.4.2. Планарное движение.

2.5. Уравнение второго порядка.

2.6. Асимптотики.

2.7. Уравнение Ландау-Лифшица.

2.8. Стабильность асимптотик

2.9. Возможная интерпретация.

2.10. Выводы.

3. Асимптотики спектральных серий

3.1. Введение.

3.2. Спектральная задача.

3.3. Поляризационное уравнение.

3.4. Уравнение типа Хартри.

3.5. Уравнение типа Хилла.

3.5.1. Операторы симметрии

3.5.2. Система Гамильтона-Эренфеста.

3.6. Явный вид решения.

3.7. Выводы.

4. Примеры вычисления асимптотик

4.1. Безмассовые частицы.

4.1.1. Нулевой химический потенциал.

4.1.2. Ненулевой химический потенциал.

4.2. Массивные заряженные частицы.

4.2.1. Электроны в поле накопителя.

4.2.2. Электроны в металлической пластине

4.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики однопетлевого эффективного действия квантовых полей с эллипсоидальным законом дисперсии»

На сегодняшний день существует лишь ограниченный круг задач квантовой теории поля, для которых известен точный ответ в явном виде. Основная масса вычислений, связанных с исследованием квантовых систем, проводится, так или иначе, с применением разнообразных асимптотических методов. Все эти методы связаны с различного рода приближениями, которые возможно применить при определенных предположениях относительно исследуемой системы. При этом, как правило, оказывается, что ответ, полученный при одних значениях параметров, перестает удовлетворительно аппроксимировать решение в другой области. В результате этого применение какого-то одного из конкретных методов вычислений не позволяет исследовать систему в другом режиме и требует развития существующих асимптотических методов.

Именно такая ситуация и наблюдается сейчас в литературе относительно квантовой теории поля при конечной температуре: большинство вычислений проводятся в рамках теории возмущений, связанной с квазиклассическим приближением. Этот метод, по сути, является ВКБ-асимптотикой. Он оказывается очень эффективным при исследовании систем с самодействием и нелинейным взаимодействием. С помощью этого метода в том случае, когда точное решение задачи найти не представляется возможным, удается выделить основной вклад и, в дальнейшем, проводить вычисления по теории возмущений, основываясь на малом отклонении от главных "квазиклассических" значений физических величин. При исследовании систем с конечным числом степеней свободы в качестве малого параметра для теории возмущений можно выбрать отклонение траектории частиц от их классических значений. Как известно, квазиклассические волновые функции сосредоточены вблизи классической траектории частиц и, кроме того, минимизируют принцип неопределенности Гейзенберга. Благодаря этим свойствам квазиклассических асимптотик в диссертационной работе удалось с любой требуемой точностью аппроксимировать решение системы зацепляющихся нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Гросса-Питаевского (ГП). Данное уравнение описывает динамику полей системы двухкомпонент-ного бозе-эйнштейновского конденсата (БЭК), состоящего из атомов одного сорта, находящихся в различных квантовых состояниях во внешнем удерживающем поле. Его решение в рамках квазиклассического приближения сводится к решению квазиклассически-ассоциированного линейного уравнения Шрёдингера, что существенно упрощает построение дальнейшей теории возмущения.

Однако, при всех своих преимуществах, ВКБ-асимптотика, к сожалению, также имеет и ряд слабых сторон. Метод "теплового ядра" развит, в основном, для систем с релятивистским законом дисперсии и предполагает степенное поведение асимптотического ряда для вычисляемых физических величин, а, следовательно, не может учитывать возможные экспоненциально подавленные вклады. В физике конденсированного состояния вещества классический пример таких вкладов - осцилляции физических величин, таких как, например, химический потенциал или магнитная восприимчивость электронов проводимости в металлах. В данном случае ВКБ-метод не может учитывать экспоненциально подавленные вклады по следующей причине: как известно, спектр дискретно изменяется при изменении квантовых чисел, характеризующих состояние квантовых систем. Квазиклассическая асимптотика предполагает, что данное изменение настолько незначительно, что при вычислении средних значений по найденным квантовым состояниям дискретное суммирование по всем существующим конфигурациям возможно заменить на непрерывное интегрирование. В результате этого данный метод, применительно к квантовой теории поля при конечной температуре, не способен учитывать существенно квантовые эффекты, экспоненциально подавленные уже в низкотемпературном больцмановском пределе. Исходя из этого, представляется важным развитие методов исследования асимптотик физических величин за пределами квазиклассического приближения.

Исходя из этого, для данной работы были сформулированы следующие цели:

1. Развитие асимптотических методов вычисления эффективного действия квантовых полей с учетом однопетлевых поправок при конечной температуре.

2. Развитие методов исследования эффективной динамики квантовых систем с самодействием и нелинейным взаимодействием, подчиненных нетривиальным граничным условиям.

Для достижения этих целей в работе рассматриваются следующие задачи:

1. Вычисление ведущих квазиклассических вкладов, а также существенно квантовых, экспоненциально подавленных, поправок в эффективное действие квантовых полей с эллипсоидальным законом дисперсии. Нахождение их асимптотик при высоких и низких температурах.

2. Нахождение асимптотического решения нелинейных уравнений, возникающих в квантовой теории поля, а именно: эффективного уравнения движения заряженных Ферми-частиц во внешнем поле, а также квантовомеханического уравнения, описывающего конденсацию Бозе-частиц, находящихся во внешнем удерживающем поле.

На этом пути были получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый метод нахождения быстросходящегося асимптотического представления однопетлевого ^-потенциала квантовых полей с эллипсоидальным законом дисперсии. Рассмотрены различные способы пересуммирования полученного разложения при различных значениях параметра асимптотики. Разработанный метод применен к следующим физическим моделям:

• безмассовые частицы в "ящике";

• массивные заряженные частицы внутри конечного объема.

Для данных моделей получены быстросходящиеся асимптотики однопетлевого П -потенциала.

2. Проведено исследование планарных физических решений уравнения Лоренца-Дирака в постоянном электромагнитном поле. Показано, что в постоянных однородных полях с нулевыми инвариантами заряженная частица выходит в универсальный режим при больших собственных временах. Для планарных физических решений уравнения Лоренца-Дирака установлено, что отношения компонент импульса, стремящиеся к постоянным значениям, определяются только значением внешнего поля. Показано, что этот эффект возникает благодаря наличию реакции излучения и отсутствует для уравнений Лоренца в полях такой конфигурации.

В результате работы были впервые получены:

1. Явное выражение для быстросходящихся асимптотик однопетлевого -потенциала квантовых полей с эллипсоидальным законом дисперсии, а именно, найдены явные выражения для вкладов трех различных типов:

• квазиклассический вклад, для которого найдены выражения для высокотемпературной и низкотемпературной асимптотик;

• вклад от разреза закона дисперсии квантовых полей, установлена его связь с казимировским вкладом и вакуумной энергией;

• осциллирующий с изменением термодинамических параметров вклад в логарифм статистической суммы, который может быть представлен в виде разложения Чоула-Селберга (^-функции Эпштейна.

2. Явное выражение для асимптотики физического решения уравнения Лоренца-Дирака при большом собственном времени, а также соотношения для компонент момента импульса, стремящиеся к постоянному значению, и зависящие только от внешнего поля.

3. Явное выражение для квазиклассических спектральных серий нелокального двух-компонентного уравнения Гросса-Питаевского.

4. Явные выражения, описывающие осцилляции химического потенциала электронов проводимости в ленте графена и тонкой металлической пластине, возникающие в результате изменения размеров системы.

Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с известными опубликованными работами.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы. Каждый раздел содержит в себе введение в предлагаемую тему, включающее обзор литературы, подразделы, раскрывающие основную часть и выводы по полученным результатам. Материал изложен на 123 страницах, включает 15

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шипуля, Михаил Алексеевич

4.3. Выводы

В данном разделе развитый общий формализм был применен к двум общим моделям:

1. Безмассовые частицы "в ящике". Для данной модели рассмотрены два различных случая: а. Релятивистские бозоны, заключенные внутри конечного кубического объема. Получены выражения для физических величин, являющиеся обобщением известных ранее. Данную модель при размерности системы й — 1, также можно рассматривать в качестве приближенного описания "вырожденного" до одномерного случая бозе-конденсата, спектр которого в стационарном состоянии был найден в третьем разделе диссертационной работы. б. Электроны вблизи дираковских точек в кристалле графена. Эта модель соответствует ультрарелятивистскому спектру фермионов с ненулевым химическим потенциалом. Получены выражения, описывающие осцилляции физических величин, с изменением геометрических размеров кристалла графена.

2. Заряженные частицы в тонкой пленке. Здесь также рассмотрены два случая: а. Релятивистские электроны во внешнем поле накопителя в виде тонкого кольца. Данная модель рассмотрена в связи с результатами второго раздела диссертационной работы. В отличии от классического решения данной задачи, были рассмотрены более жесткие граничные условия, которые определяют положение электронов внутри некой экспериментальной установки. В соответствии с этими условиями, электроны внутри накопителя представляются в виде газа релятивистских частиц, заключенных в конечном объеме в форме плоского и достаточно узкого кольца. Получены выражения для квазиклассических вкладов в физические величины, характеризующие данную систему. Данные выражения напрямую зависят от малого параметра А, характеризующего геометрию системы. б. Нерелятивистские электроны проводимости в тонкой металлической пластине. Данная модель является классическим предметом изучения теории Ферми-жидкости электронов проводимости в металлах и была изучена во многих работах. Как уже было упомянуто, цель исследования в данном случае состояла в том, чтобы получить быстро сходящееся разложение, более точное, чем квазиклассический ответ общей теории осцилляций.

В данном разделе с экспоненциальной точностью получены замкнутые выражения для ^-потенциала и среднего количества электронов проводимости. Также рассмотрена зависимость химического потенциала от толщины металлической пленки. Было получено выражение для периода и амплитуды этих осцилляций.

При рассмотрении электронов проводимости в тонкой пленке и графене были сделаны некоторые приближения. Прежде всего, в работе не учитывается взаимодействие между электронами проводимости и остовными электронами, также как и не учитывается взаимодействие электронов проводимости друг с другом. Существуют, также обобщения, включающие данное взаимодействие [131, 142] и при конечной температуре [132]. Решетчатая структура системы учитывается только формой закона дисперсии, что является стандартным приближением. Во-вторых, при описании осцилляций химического потенциала электронов в графене при изменении размеров системы предполагается, что следующие по порядку вклады от деформации решетки являются незначительными. То есть, считается, что данные возмущения являются незначительными по отношению к тем осциллирующим вкладам в ^-потенциал, которые рассматриваются в данной работе. Более того, без ограничения общности их можно просто добавить к полученному в данной работе значению химического потенциала. Аналогичное предположение о структуре решетки касается и модели электронов проводимости в тонкой пленке. Здесь это предположение является стандартным, так как небольшие изменения формы кристаллической решетки приводят к небольшим отклонениям от исходного нерелятивистского закона дисперсии. Наконец, в работе не учитываются эффекты, связанные с неидеальностью кристалла.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шипуля, Михаил Алексеевич, 2011 год

1. Kazinski Р. О., Shipulya М. A. One-loop omega-potential of quantum fields with ellipsoid constant-energy surface dispersion law // Ann. Phys. (NY) 2011. - Vol. 326. - P. 26582693.

2. Kazinski P. O., Shipulya M. A. Asymptotics of physical solutions to the Lorentz-Dirac equation for planar motion in constant electromagnetic fields // Phys. Rev. E. 2011. -Vol. 83. - P. 066606 12pp.]

3. Kazinski P. O., Shipulya M. A. Asymptotic expansion of the one-loop Q-potential of quantum fields with a quadratic dispersion law // Russ. Phys. J. 2011. - Vol. 54. -P. 536-547.

4. Kirnos I. V., Litvinets F. N., Trifonov A. Yu., Shipulya M. A. Semiclassical spectral series of the two-component Hartry-type operator // Russ. Phys. J. 2007. - Vol. 50. - P. 497-502.

5. Казинский П. О., Шипуля М. А. Неэкстенсивные поправки в однопетлевой О-потенциал квантовых полей с квадратичным законом дисперсии // Нелинейные поля в теории гравитации и космологии: труды российского семинара. Казань, Яльчик, 2010. - С. 185-191.

6. Vassilevich D. V. Heat kernel expansion: user's manual // Phys. Rep. 2003. - Vol. 388.- P. 279.

7. Dowker J. S., Kennedy G. Finite temperature and boundary effects in static space-times //J. Phys. A: Math. Gen. 1978. - Vol. 11. - P. 895.

8. Kirsten K. Grand thermodynamic potential in a static spacetime with boundary // Class. Quantum Grav. 1991. -Vol. 8. - P. 2239.

9. Gilkey P. В., Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem- Publish or Perish, Wilmington, DE, 1984. 516 P.

10. Landau L. Diamagnetismus der Metalle // Z. Phys. 1930. - Vol. 64. - P. 629.

11. Shoenberg D. Magnetic Oscillations in Metals Cambridge University Press, Cambridge, 1984. - 570 P.

12. Shubnikov L. W., de Haas J. W. Note on the dependence of the susceptibility of diamag-netic metal on the field // Leiden Commun. 1930. - Vol. 207a.

13. Кулик И. О. О размерных осцилляционных эффектах в металлах при произвольном законе дисперсии // Письма в ЖЭТФ. 1967. - Т. 6. - С. 652-655.

14. Lifshits I. M., Kaganov M. I. Some problems of the electron theory of metals: I. Classical and quantum mechanics of electrons in metals // Usp. Fiz. Nauk. 1959. Vol. 69. - P. 419.

15. Лифшиц E. M. Каганов M. И. Термодинамика электронов в металлах // УФН. -1962. Т. 78. -С. 411.

16. Лифшиц Е. М. Каганов М. И. Кинетические свойства электронов проводимости в металлах // УФН. 1965. - Т. 87. - С. 389.

17. Lifshits I. М., Kaganov М. I., Azbel М. Y. Electron Theory of Metals New York, Consultants Bureau, 1973. - 326 P.

18. Недорезов С. С. Граничные эффекты термодинамики Ферми-газов // Изв. ВУЗов, Физ. 1965. -Т. 3. - С. И.

19. Недорезов С. С. О поверхностных эффектах термодинамики электронов проводимости // ЖЭТФ. 1966. - Т. 51. - С. 868.

20. Недорезов С. С. Об осцилляциях электронных термодинамических характеристик пленки металла в области больших давлений // ЖЭТФ. 1966. - Т. 51. - С. 1575.

21. Азбель М. Я. К вопросу о восстановлении формы Ферми-поверхности в металлах // Письма в ЖЭТФ. 1957. - Т. 34. - С. 754-755.

22. Onsager L. Interpretation of the de Haas-Van Alphen Effect // Phil. Mag. 1952. - Vol. 43. - P. 1006.

23. Лифшиц И. M., Косевич A. M. К теории магнитной восприимчивости тонких слоев металлов при низких температурах // ДАН СССР. 1953. - Т. 92. - С. 795.

24. Лифшиц Е. М. Косевич А. М. К теории эффекта де Гааза ван Альфена для частиц с произвольным законом дисперсии // ДАН СССР. - 1954. - Т. 96. - С. 963.

25. Лифшиц Е. М. Косевич А. М. К теории магнитной восприимчивости металлов при низких температурах // ЖЭТФ. 1955. - Т. 29. - С. 730.

26. Лифшиц Е. М. Косевич А. М. Эффект де-Гааза ван-Альфена в тонких слоях металлов // ЖЭТФ. - 1955. - Т. 29. - С. 743-747.

27. Kapusta J. I., Gale С. Finite-Temperature Field Theory. N.Y.: Cambridge University Press, 2006. - 428 P.

28. Ватсон Г. H. Теория бесселевых функций, т. 1. М.: Издательство иностранной литературы, 1949. - 799 С.

29. Epstein P. Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen // Math. Ann. 1903. - Vol. 56. - P. 615.

30. Chowla s., Selberg A. On Epsteins zeta-function // Proc. Natl Acad. Sci. USA. 1949. -Vol. 35. - P. 371.

31. Ambj0rn J., Wolfram S. Properties of the vacuum. I. Mechanical and thermodynamic // Ann. Phys. 1983. - Vol. 147 - P. 1.

32. Kirsten K. Spectral Functions in Mathematics and Physics CRC Press, Boca Raton, FL, 2002. - 382 P.

33. Hertzberg M. P., Jaffe R. L., Kardar M., Scardicchio A. Casimir forces in a piston geometry at zero and finite temperatures /■/ Phys. Rev. D. 2007. - Vol. 76. - P. 045016.

34. Lim S. C., Teo L. P. Finite temperature Casimir energy in closed rectangular cavities: a rig- orous derivation based on a zeta function technique //J. Phys. A: Math. Theor. -2007. Vol. 40. - P. 11645.

35. Elizalde E., Odintsov S. D., Saharian A. A. Repulsive Casimir effect from extra dimensions and Robin boundary conditions: From branes to pistons // Phys. Rev. D. 2009. - Vol. 79. - P. 065023.

36. Edery A. Multidimensional cut-off technique, odd-dimensional Epstein zeta functions and Casimir energy of massless scalar fields //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - Vol. 39. - P. 685.

37. Edery A. Casimir piston for massless scalar fields in three dimensions // Phys. Rev. D. -2007. Vol. 75. - P. 105012.

38. Edery A., Marachevsky V. N. Compact dimensions and the Casimir effect: the Proca connection // JHEP. 2008. - Vol. 12. - P. 035.

39. Berndt В. C. Identities involving the coefficients of a class of Dirichlet series // Trans. Am. Math. Soc. 1971. - Vol. 160. - P. 157.

40. Kanemitsu S., Tanigawa Y., Tsukada H., Yoshimoto M. On Bessel series expressions for some lattice sums: II // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37. - P. 719.

41. Elizalde E. Zeta function methods and quantum fluctuations //J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - Vol. 41. - P. 304040.

42. Saharian A. A. The generalized Abei-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect //arXiv:0708.1187

43. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений — Москва: Физматиз, 1963. 1108 С.

44. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика, ч. 1. М.: Физматлит, 2002. -616 С.

45. Федорюк М. В. Метод перевала Москва: Наука, 1977. - 366 С.

46. Haber Н. Е., Weldon Н. A. On the relativistic Bose-Einstein integrals //J. Math. Phys.- 1981. Vol. 23. - P. 1852.

47. Haber H. E., Weldon H. A. Finite-temperature symmetry breaking and Bose-Einstein condensation // Phys. Rev. D. 1982. - Vol. 25. - P. 502.

48. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions Vol. 1 New York: McGraw-Hill, 1953. - 292 P.

49. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Том 3. Москва: Наука, 1983. - 748 С.

50. Collins J., Perez A., Sudarsky D., Urrutia L., Vucetich H. Lorentz Invariance and Quantum Gravity: An Additional Fine-Tuning Problem? // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 191301.

51. Kostelecky V. A., Tasson J. D. Matter-gravity couplings and Lorentz violation // Phys. Rev. D. 2011. - Vol. 83. - P. 016013.

52. Dirac P. A. M. Classical theory of radiating electrons // Proc. Roy. Soc. London A. -1938. Vol. 167. - P. 148.

53. Teitelboim C. Splitting of the Maxwell tensor: Radiation reaction without advanced fields // Phys. Rev. D. 1970. - Vol. 1. - P. 1572.

54. Teitelboim C. Splitting of the Maxwell tensor. II. Sources // Phys. Rev. D 1971. - Vol. 3. - P. 297.

55. Teitelboim C. Radiation reaction as a retarded self-interaction // Phys. Rev. D. 1971.- Vol. 4. P. 345.

56. Lechner K., Marchetti P. A. Variational principle and energy-momentum tensor for relativistic electrodynamics of point charges // Ann. Phys. (NY) 2007. - Vol. 322. - P. 1162.

57. Lechner K. Radiation reaction and 4-momentum conservation for point-like dyons //J. Phys. A. 2006. - Vol. 39. - P. 11647.

58. Krivitskii V., Tsytovich V. Average radiation-reaction force in quantum electrodynamics // Sov. Phys. Usp. 1931. - Vol. 34. - P. 250.

59. Kazinski P.O. Fluctuations as stochastic deformation // Phys. Rev. E. 2008. - Vol. 77. -P. 041119.

60. Plass G.N. Classical electrodynamic equations of motion with radiative reaction / / Rev. Mod. Phys. 1961. - Vol. 33. - P. 37.

61. Rohrlich F. Classical Charged Particles Addison-Wesley, Reading, MA, 1965. - P. 104.

62. Sokolov A. A., Ternov I. M. Radiation from Relativistic Electrons -New York: American Institute of Physics, 1986. 320 P.

63. Denef F., Raeymaekers J., Studer U.M., Troost W. Classical tunneling as a consequence of radiation reaction forces // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 56. - P. 3624.

64. Sen Gupta N. D. On the motion of a charged particle in a uniform electricfield with radiation reaction // Int. J. Theor. Phys. 1971. - Vol. 4. - P. 179.

65. Shen C. S. Radiation and acceleration of a relativistic charged particle in an electromagnetic field // Phys. Rev. D. 1978. - Vol. 17. - P. 434.

66. Klepikov N. P. Radiation damping forces and radiation from charged particles //Sov. Phys. Usp. 1985. - Vol. 28. - P. 506.

67. Bagrov V. G., Bisnovatyi-Kogan G. S., Bordovitsyn V. A., Borisov A. V., Dorofeev O. F., Epp V. Ya., Gushchina V. S., Zhukovsky V. Ch. Synchrotron Radiation Theory and Its Development Singapore: World Scientific, 1999. - 450 P.

68. Frenkel J. Die Elektrodynamik des rotierenden Elektrons // Z. Physik. 1926. - Vol. 37,- P. 243.

69. Wong S. K. Field and particle equations for the classical Yang-Mills field and particles with isotopic spin // Nuovo Cimento. 1970. - Vol. 65, - P. 689.

70. DeWitt B. S., Brehme R. W. Radiation damping in a gravitational field // Ann. Phys. -1960. Vol. 9. - P. 220.

71. Kosyakov B. P. Exact solutions of classical electrodynamics and the Yang-Mills-Wong theory in evendimensional spacetime // Teor. Mat. Fiz. 1999. - Vol. 119. - P. 119.

72. Kazinski P. O., Lyakhovich S. L., Sharapov A. A. Radiation reaction and renormalization in classical electrodynamics of a point particle in any dimension // Phys. Rev. D. 2002.- Vol. 66. P. 025017.

73. Kazinski P. O., Sharapov A. A. Radiation reaction for a massless charged particle // Class. Quant. Grav. 2003. - Vol. 20. - P. 2715.

74. Lorentz H.A. Theory of Electrons Leipzig: B.G. Teubner, 1909. - 230 P.

75. Bhabha H. J. On the expansibility of solutions in powers of interaction constant // Phys. Rev. 1946. - Vol. 70. - P. 759.

76. Spohn H. Dynamics of Charged Particles and Their Radiation Field Cambridge: CUP, 2004. - 360 P.

77. Barut А. О. Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles New York: Dover, 1964. - 235 P.

78. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля Москва: Физматлит, 1962. - 422 С.

79. Hardy G. Н. Divergent Series Oxford: Clarendon Press, 1949. - 396 P.

80. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения Москва: Наука, 1986. - 760 С.

81. Plyushchay М. S. Relativistic particle with torsion and charged particle in a constant electromagnetic field: Identity of evolution // Mod. Phys. Lett. A. 1995. - Vol. 10. -P. 1463.

82. Plyushchay M. S. Massive relativistic point particle with rigidity // Int. J. Mod. Phys. A. 1989. - Vol. 4. - P. 3851.

83. Plyushchay M. S. Majorana equation and exotics: higher derivative models, anyons and noncommutative geometry // Electron. J. Theor. Phys. 2006. - Vol. 3. - P. 17.

84. Endres D. J. The physical solution to the Lorentz-Dirac equation for planar motion in a constant magnetic field // Nonlinearity. 1993. - Vol. 6. - P. 953.

85. Di Piazza A. Exact Solution of the Landau-Lifshitz Equation in a Plane Wave // Lett. Math. Phys. 2008. - Vol. 83. - P. 305.

86. Herrera J.C. Relativistic Motion in a Uniform Magnetic Field // Phys. Rev. D. 1973. -Vol. 7. - P. 1567.

87. Bagrov V. G., Gitman D. M. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations Dordrecht, Kluwer Acad. Pub., 1990. - 327 P.

88. Fradkin E. S., Gitman D. M., Shvartsman Sh. M. Quantum Electrodynamics with Unstable Vacuum Berlin, Springer, 1991. - 241 P.

89. Jaen X., Llosa J., Molina A. A reduction of order two for infinite-order Lagrangians // Phys Rev. D. 1986. - Vol. 34. - P. 2302.

90. Woodard R. P. Avoiding dark energy with 1/R modifications of gravity // Lect. Notes Phys. -2007. Vol. 720. - P. 403.

91. Morozov A. Hamiltonian formalism in the presence of higher derivatives // Theor. Math. Phys. 2008. - Vol. 157. - P. 1542.

92. Gitman D. M., Lyakhovich S. L., Tyutin I. V. Hamilton formulation of a theory with high derivatives // Russ. Phys. J. 1983. - Vol. 26. - P. 730.

93. Buchbinder I. L., Lyahovich S. L. Canonical quantisation and local measure of R2 gravity // Class. Quantum Grav. 1987. - Vol. 4. - P. 1487.

94. Питавеский JI. П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию // УФН. 1998. - Т. 168. - С. 641-653.

95. Nishiyama М., Morita М., Morikava М., ВЕС as dark energy and dark matter //arXiv:astro-ph/0403571vl

96. Perez H., Perez A., Mosquerra H., ВЕС of charge particles and self-magnitization //arxiv:astro-ph/0402312v2 ■■■

97. Matthews M.R., Anderson B.P., Haljan P.C., Hall D.S., Wieman C.E., Cornell E.A. Vortices in ВЕС // Phys.Rev.Lett. 1999. - V.83. - 2498. - P.l-4.

98. Fernandez J.P., William J. The two-demensional ВЕС // J. Low Temp. Phys. 2002. -Vol. 128. - P. 233.

99. Leggett A.J. ВЕС in the alkalai gases: some fundamental concepts // Rev. of Mod. Phys.- 2001. V.73. - P. 307-356.

100. Mudrich M., Singer K., Grimm R., Mosk A., Weidemuller M. Sympathetic cooling with two atomic species in a optical Trap // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.88. - 253001.

101. Modungo G., Modungo M., Riboli F., Roati G., Ingusico M. Two atomic species superfluid // Phys.Rev. Lett. 2002. - V.89. - 190404. - P.l-4.

102. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях Москва: Наука, 1977, - С. 284.

103. Борисов А. В., Трифонов А. Ю., Шаповалов А. В. Квазиклассические решения уравнения Гросса-Питаевского, локализованные в окрестности окружности / / КиМ- 2009. Т. 1. - N. 4 - С. 359.

104. Lisok A. L., Trifonov A. Yu., Shapovalov А. V. The evolution operator of the Hartreetype equation with a quadratic potential //J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37. -P. 4535.

105. Pauli W. Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons // Zeit. Phys. 1927. - Vol. 43. - P. 601.

106. Bagrov V. G., Gitman D. M., Baldiotti M. C., Levin A. D. Spin equation and its solutions // Ann. Phys. (Leipzig) -2005. -Vol. 14 P.764.

107. Klimchitskaya G. L., Mohideen U., and Mostepanenko V. M. The Casimir force between real materials: Experiment and theory // Rev. Mod. Phys. 2009. - Vol. 81. - P. 1827.

108. Katsnelson M. I., Novoselov K. S. Graphene: new bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics // Solid State Commun. 2007. - Vol. 143. - P. 3.

109. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Katsnelson M. I., Grigorieva I. V., Dubonos S. V., Firsov A. A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene // Nature. 2005. - Vol. 438. - P. 197.

110. Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., Novoselov K. S., Geim A. K. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 2009. - Vol. 81. - P. 109.

111. Fuchs J. N., Piechon F., Goerbig M. O., Montambaux G. Topological Berry phase and semiclassical quantization of cyclotron orbits for two dimensional electrons in coupled band models // Eur. Phys. J. B. 2010. - Vol. 77 - P. 351.

112. Fulling S. A., Kaplan L., Kirsten K., Liu Z. H., Milton K. A. Vacuum stress and closed paths in rectangles, pistons and pistols //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. - Vol. 42. -P. 155402.

113. Marachevsky V. N. Casimir interaction: pistons and cavity //J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - Vol. 41. - P. 164007.

114. Lim S. C., Teo L. P. Topological symmetry breaking of self-interacting fractional KleinGordon field theories on toroidal spacetime //J. Phys. A: Math. Theor. 2008. - Vol. 41. - P. 145403.

115. Lim S. C., Teo L. P. Repulsive Casimir force at zero and finite temperature // New J. Phys. 2009. - Vol. 11. - P. 013055.

116. Lim S. C., Teo L. P. Finite-temperature Casimir effect in piston geometry and its classical limit // Eur. Phys. J. C. 2009. - Vol. 60. - P. 323.

117. Lim S. C., Teo L. P. Repulsive Casimir force from fractional Neumann boundary conditions // Phys. Lett. B. 2009. - Vol. 679. - P. 130.

118. Lim S. C., Teo L. P. Finite-temperature Casimir pistons for an electromagnetic field with mixed boundary conditions and its classical limit //J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42. - P. 105403;

119. Lim S. C., Teo L. P. Casimir piston of real materials and its application to multilayer models // Phys. Rev. A. -2010. Vol. 81. - P. 032502.

120. Caruso F., Neto N. P., Svaiter B. F., Svaiter N. F. Attractive or repulsive nature of Casimir force in D-dimensional Minkowski space-time // Phys. Rev. D. 1991. - Vol. 43. - P. 1300.

121. Li X.-Z., Cheng H.-B., Li J.-M., Zhai X.-H. Attractive or repulsive nature of the Casimir force for rectangular cavity // Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 56. - P. 2155.

122. Jauregui R., Villarreal C-, Hacyan S. Finite temperature corrections to the Casimir effect in rectangular cavities with perfectly conducting walls // Ann. Phys. (NY) 2006. - Vol. 321. - P. 2156.

123. Maghrebi M. F., Rahi S. J., Emig T., Graham N., Jaffe R. L., Kardar M. Casimir force between sharp-shaped conductors // Proc.Nat.Acad.Sci. 2011. - Vol. 108. - P. 6867.

124. Geyer B., Klimchitskaya G. L., Mostepanenko V. M. Thermal Casimir effect in ideal metal rectangular boxes // Eur. Phys. J. C. 2008. - Vol. 57. - P.823.

125. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. Kon. Nederland. Akad. Wetensch. 1948. - Vol. B 51. - P. 793.

126. Casimir H. B. G., Polder D. The Influence of Retardation on the London-van der Waals Forces // Phys. Rev. 1948. - Vol. 73. - P. 360.

127. Proctor J. E., Gregoryanz E., Novoselov K. S., Lotya M., Coleman J. N., Halsall M. P. Graphene under hydrostatic pressure // Phys. Rev. B. 2009. - Vol. 80 - P. 073408.

128. Son Y.-W., Cohen M. L., Louie S. G. Energy gaps in graphene nanoribbons // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97 - P. 216803.

129. Gui G., Li J., Zhong J. Band structure engineering of graphene by strain: First-principles calculations // Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 78 - P. 075435.

130. Brey L., Fertig H. A. Electronic states of graphene nanoribbons studied with the Dirac equation // Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73. - P. 235411.

131. Carmier P., Ullmo D. Berry phase in graphene: Semiclassical perspective // Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 77 - P. 245413.

132. Sharapov S. G., Gusynin V. P., Beck H. Magnetic oscillations in planar systems with the Dirac-like spectrum of quasiparticle excitations // Phys. Rev. B. 2004. - Vol. 69 - P. 075104.

133. Bordag M., Fialkovsky I. V., Gitman D. M., Vassilevich D. V. Casimir interaction between a perfect conductor and graphene described by the Dirac model // Phys. Rev. B. 2009. - Vol. 80. - P. 245406.

134. Nakada K., Fujita M., Dresselhaus G., Dresselhaus M. S. Edge state in graphene ribbons: Nanometer size effect and edge shape dependence // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54. -P. 17954.

135. Peierls R. Theorie des Diamagnetismus von Leitungselektronen // Z. Phys. 1933. -Vol. 80. - P. 763.

136. Peierls R. Theorie des Diamagnetismus von Leitungselektronen. II. Starke Magnetfelder // Z. Phys. 1933. - Vol. 81. - P. 186.

137. Румер И. Б. К теории магнетизма электронного газа // ЖЭТФ. 1948. - Т. 18. - С. 1081.

138. Зильберман Г. Е. Магнитные свойства металлов при низких температурах // ЖЭТФ. 1951. - Т. 21. - С. 1209.

139. Gvozdikov V. M., Jansen A. G. M., Pesin D. A., Vagner I. D., Wyder P. Quantum magnetic oscillations of the chemical potential in superlattices and layered conductors // Phys. Rev. B. 2003. - Vol. 68. - P. 155107.

140. Wood D. The Computation of Poly logarithms, Technical Report 15-92, Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory, http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110

141. Федорюк M. В. Асимптотика. Ряды и интегралы. М.: Наука, 1987. - 544 С.

142. Vshivtsev A. S., Klimenko К. G., Magnitskii В. V. Landau oscillations in (2+1)-dimensional quan- turn electrodynamics // JETHP. 1995. - Vol. 107. - P. 307.

143. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования Москва: Наука, 1986. - 320 С.

144. Березин Ф. А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом пространстве // УФН. -1980. Т. 132. - 497 С.

145. Kazinski P.O., Sharapov A.A. Radiation back-reaction and renormalization in classical field theory with singular sources // Teor. Mat. Fiz. 2005. - Vol. 143. - P. 375.