Асимптотические решения уравнений квантовой динамики электрона в нанопленках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Некрасов, Роман Владимирович

• Некрасов, Роман Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Некрасов, Роман Владимирович

Введение

1 Редукция квантовомеханических уравнений заданных в тонких структурах к эффективным уравнениям заданным на предельных низкоразмерных структурах

1.1 Операторно значное разделение переменных.

1.2 Уравнение Паули-Рашбы заданное в тонкой искривленной пленке находящейся во внешнем однородном магнитном поле 13 1.2.1 Оператор И. в криволинейных координатах.

1.2.2 Редукция к уравнению на двумерной поверхности

1.3 Спектральная задача для гамильтониана Паули-Рашбы

1.4 Уравнение Хартри заданное в тонкой искривленной трубке

1.4.1 Постановка задачи в криволинейных координатах

1.4.2 Редукция к пространственно одномерному уравнению

1.4.3 Случай параболического потенциала конфайнмента

2 Квазиклассические решения задачи Коши редуцированных уравнений

2.1 Задача Коши с локализованными начальными данными

2.2 Квазиклассические сосредоточенные решения уравнения

Хартри

2.2.1 Волновые пакеты в периодических структурах: не расплывание пакетов и сверхлокализация.

3 Квазиклассический спектр и собственные состояния

3.1 Интегрируемый случай. Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические решения уравнений квантовой динамики электрона в нанопленках»

Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - на-нотрубки и нанопленки. В одних направлениях эти структуры имеют атомные масштабы, в других — могут быть достаточно протяженными и состоять из сотен, тысяч и более атомов (таким же свойством обладают длинные белковые молекулы).

Нас интересует поведение одного электрона (как квантовой частицы, или квазичастицы) в одочастичном приближении, что определяет некоторые электрические свойства наноструктур. В рассматриваемых нами моделях (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкой трубки и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей волновая функция Ф(г. £) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок").

Поведение электрона определяется оператором Шредингера, члены которого в свою очередь определяется потенциалами сил. Мы рассмотрим два типа потенциалов:

1) Как и в [18, 24], мы полагаем, что (трехмерная) квантовая динамика электрона в наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается т.н. гамильтонианом Паули-Рашбы [36]:

- Р2 eh ~

Hpr = — + vint(г) + «<«t(r) - В) + Hso, (1)

V. где г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — г'/iV — (e/c)A(r), fi,m,e - физические постоянные (постоянная Планка и эффективная масса, заряд электрона), v;nt(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, Vcxt(r) и A(r) = (—Bx-2j"2, Bxi/2,0) - потенциалы внешних электрического и магнитного полей, В = rot А - однородное магнитное поле, (т = {cri,cr2,<7;i} - матрицы Паули, Hso = а(ст, [Vuint, Р]) - оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла. Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [20]. Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.

2) Мы также рассмотрим другую модель, когда потенциалы внешних полей равны нулю, но присутствует нелинейный потнециал. В нелинейной теории известно много моделей, где используются уравнения типа Хартри (с нелокальным нелинейным взаимодействием) в трехмерном евклидовом пространстве:

Пнаг=-~A + vint(r)+ / С(г,г')|Ф(г',t)\2dr': ret3, (2) rn JR 3 здесь нелинейный потенциал fR3 G(r, г')|Ф(г')|2<й-' зависит от волновой функции Ф(г, £) на которую должен действововать оператор 'Ннаг (уже как линейный оператор). Этот потенциал учитывает возможные деформации трубки под действием электрона, или возможное самодействие электронов (является эффективным потенциалом самосогласованного поля в одночастичном приближении). Для Возе-Эйнштейновского конденсата, такой же член дает обобщение уравнения Гросса-Питаевского на случай нелокального нелинейного взаимодействия. Если поперечные размеры волновода периодически меняются вдоль его оси, то в грубом приближении, их можно так же использовать в задачах моделирования распространения внутримолекулярных возбуждений вдоль длинных молекулярных цепочек (ср. с [42]). формулировка задачи

В представляемой работе изучаются задача Коши и спектральная задача для Уравнений Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы заданных в областях имеющих вид тонкой пленки, а также задача Коши для Уравнения Хартри с нелокальным нелинейным членом в областях имеющих вид тонкой трубки в пространстве (рис.1).

Квантовые состояния электрона в трехмерном пространстве (в том числе стационарные) Ф(г,t) удовлетворяют нестационарному уравнению i№t = Ш>. , (3)

В качестве граничных условий для этих уравнений рассматривается либо условие Дирихле Ф|гп = 0 ("жесткие стенки"), либо роль граничного условия выполняет быстро растущий в поперечном к пленке или трубке направлении потенциал (потенциал конфайнмента) Vint —► +оо ("мягкие стенки"). Начальные условия (в случае задачи Коши) имеют вид узколокализованных волновых пакетов и будут описаны ниже.

Решение поставленных задач проводится в два этапа. Сначала, при помощи одного из вариантов теории адиабатического приближения, "метода операторного разделения неременных", проводится редукция изначально трехмерных уравнений заданных в тонких областях к уравнениям заданным на предельных поверхностях (в случае пленок) и и на предельных кривых (в случае трубок). Затем к выведенным редуцированным уравнениям применяется квазиклассическое приближение.

Редукция

В рассматриваемых задачах имеются различные масштабы в продольном и поперечном направлениях, мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками. Pix малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины cl с большой точностью можно считать прямым цилиндром и ровным слоем. Из физических соображения ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами L1' на оси трубки или па поверхности пленки для волновой функцией ф": гГгфЧ = Luipu. (4)

Здесь и - номер подзоны размерного квантования. Конечно, такая точная редукция может быть проведена точно только для очень малого числа моделей, и обычно редукция проводится в приближенном, или более точно, асимптотическом смысле. Как правило нолное асимптотическое разложение довольно сложно и имеет скорее академический интерес, для физических приложений достаточно построить главный член разложения, и иногда несколько поправок к нему. С "асимптотической точки зрения" редукция связана с наличием малого параметра ß = cl/l и может быть реализована в рамках адиабатического приближения, которое мы применяем в виде "операторного разделения переменных" ("обобщенного адиабатического принципа") [13],[4],[2], см. также [33],[12]. Такой подход, представляет собой объединение классического приближения Борна-Оппенгеймера [5], [6], теории уравнений с онераторнозначны-ми символами [27] и операторные методы [46], а также "подстановку "Пайерлса" в физике твердого тела [34],[23].

Первым шагом редукции является введение удобных координат - продольных х и поперечных у, таких что матрица метрики принимает простой блочно-диагональный вид. Приведем явный вид редуцированных уравнений. Обозначим через е± и хо собственные значения и собственные функции вспомогательной задачи на "поперечные моды":

-^ДуХо + v-mt(x, у)хо = е±(ж)хо, 1М1з/ = 1, Arg^o = 0, (5) и через Q = —(щ — ж2)2/8 - геометрический потенциал Маслова, зависящий от главных кривизн Х2 в точках на предельной поверхности. Обозначим также через Ап нормальную составляющую вектроного потенциала в точках на предельной поверхности: Ап = Ап(х) = (А(х),п(х)); через wc циклотронную частоту: wc = Фо = 2nhc/e - квант магнитного потока. При выполнении достаточно общих условий, сформулированных в утверждениях 1-3 главы 1, редуцированные уравнения имеют вид

- нестационарное редуцированное уравнение для гамильтониана Паули-Рашбы: дф± 1 (~2 /*2дм + vext(x) + + ft2G(x)) (6) где "2Ам = + 2«"^н^ -

- стационарное редуцированное уравнение для гамильтониана Паули-Рашбы:

-i/i2 Дм + Vertía:) + е±(х) + = Еф{х), (7)

- редуцированное уравнение для уравнения Хартри: niWt + + L °о{х' Х'ШХ>'£' V) = 0- (8)

Если найдены их решения с длинами волн h> ц, то по ним можно построить по крайней мере формальные асимптотические решения исходных уравнений. Для главной части этих асимптотических решений формула "восстановления" имеет соответственно вид

Ф = \ Хо{х,у) + ехР(щАп/Фо)exp(—iwctегз/2) j ,

9)

Ф+(ж, у) = í Хо(х,у) + А»:XI ) ехр(гуАп/Фо) Í ¡Л , Е+ = +\hwe + ^Е ф-(ж, у) = \ хо(х, у) + (ixi J ехр(гуАп/Ф0) ГУ £~ = -\hwe + ¿E

10)

Н)

Вид всех уравнений координатно инвариантен, предельная поверхность для уравнений (8),(7) может быть произвольной римановой поверхностью с метрическим тензором д^. Такую поверхность обозначаем Г.

Поправочный" оператор XI определен в главе 1 диссертации. Хотя он вносит вклад в асимптотику О(ц), его учет позволяет установить факт разумной малости невязки, полученной при подстановке (9), (10),(11) в исходное уравнение.

Квазиклассические асимптотики решений для редуцированных уравнений.

Редуцированные уравнения (6)-(8) имеют вид дифференциальных уравнений (в третьем случае интегро-диффиринцального) с малым параметром ¡и, стоящим перед каждым дифференцированием. Существует много конструкций, восходящих к методу ВКБ, осцилляторному приближению и пространственно-временому лучевому методу, для коротковолновых асимптотик в задачах с такими уравнениями [30],[43],[16],.

Во второй главе при помощи методов канонического оператора, комплексного ростка Маслова строятся квазиклассические решения задач Коши для редуцированного уравнения (6) с начальными условиями в виде узколокализованных пакетов; а также для уравнения (8) при помощи обобщенного в [40] на случай нелинейного уравнения типа Хартри метода комплексного ростка.

Имеет место следующий простой, но малоизвестный факт1. Узколо-кализованные функции вида г'п = /(х/ц),/ £ С™(Г) могут быть представлены при помощи конструкции канонического оператора: на лагранжевом многообразии (плоскости) Ац = {р — а, х = 0, | а е М2}, где / - преобразование Фурье функции /. Это в свою очередь означает, что если начальные условия имеют вид (12), то и решение может быть приближенно представлено при помощи конструкции канонического оператора.

Такие конструкции дают наглядный механизм делокализации решений задачи Коши с начальными условиями вида (12) на временах по

1С. Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А. И. Шафаревич, Представления быетроубы-вающих функций каноническим оператором Маслова, Матем. заметки, том 82, N 5, 792—796 (2007).

0 = ^[/И X

12) рядка единицы (в обезразмеренных единицах описанных в первой главе). Для следующих случаев эти конструкции были упрощены до явных формул (примеры 1-4, глава 2):

Пусть предельная поверхность является плоскостью с координатами XI, Х2 в пространстве в однородном магнитном поле (исходная пленка - плоский слой), тогда функция к* = 1х

2зт(и;£/2) { ) х/(|(®1 сЬё(иЛ/2) - х2), |(х2 аё(оЛ/2) + Х1)) является асимптотическим решением уравнения (6) с начальными условиями вида (12). Здесь циклотронная частота и> = соответствует нормальной составляющей магнитного поля (Вп = (В. п)). Пусть предельная поверхность является сферой, тогда функция п л 1 ^х^0 /\п , г. 71 + 2тгк , 6 + 27Гк . ф(в,ф,Ь) = - у/\в + 2тгк\е* *>•< /(---соз ф,---зш ф) к—~оо удовлетворяет уравнению (6) и начальным условиям вида (12), сосредоточенным в полюсе 0 = 0 (используются сферические координаты в, ф), с точностью до невязки по норме в Г) не превышающей 0(р2).

Квазиклассическим асимптотическим решением с локализованным начальным условием другого рода является решение построенное методом комплексного ростка. В этом случае начальное условие имеет вид гауссовой экспоненты, положим с центром в точке х — 0: ф\ы = Аек (13) здесь квадратичная форма В0 имеет положительно определенную мнимую часть: 1тВ° > О, А - нормировочная константа. Такая функция отличается от функций вида (12) своей степенью локализации (в этом случае функция ф имеет вид /(-—)). Тогда решение уже не делокали-зуется на временах порядка единицы, а лишь медленно расплывается, сохраняя локализацию.

В этом случае решение имеет следующий вид: ; у/ШЩ

Здесь

1) Х(£), Р(£) - решения классической гамильтоновой системы дН(х,р) дН (ж, р)

Х ~ % ' Рг ~ Вх* ' (15) где Н = (р — А)2/2 + усх1(ж) + (:г) ~ старший символ гамильтониана уравнения (6). В качестве начальных условий выбирается = П=о = 0;

2) -£?(£), С(£) - решения системы в вариациях, отвечающей траектории в = -нрх(Р(г),х(1))в - нхх(р^),х(г))с, ви=0 = в0, , . с = н^р^.х^в + нрх(Р(г),х^)с, с|<=0 = е. где Е - единичная 2 х 2-матрица.

Функция (14) являются асимптотическим тос! 0(ц3^2) решением задачи Коши для уравнения (6) с начальными условиями вида (12).

Решения с начальными условиями в виде гауссовой экспоненты изучены так же для нелинейного уравнения типа Хартри (8) (впервые такое решение найдено в [40]). В этом случае вместо гамильтоновой системы (15) используется так называемая система Гамильтона-Эренфеста:

ВС

Х = Р, Р = -е'±(Х) - -^-(Х, X), Р|4=0 = Р0, = Х0 (17) и вместо системы в вариациях (16) следующая линейная система

В2 С

С = В, В — -е1(Х(1))С - В|4=0 = В0, С\ыо = 1,

18) отличающаяся от системы (16) слагаемым X(£), Х{Ь))С. Тогда уравнение (8) имеет следующее формально асимптотическое тос! 0(/13^2) решение: ф(х, Ь, ¡л) Л у/С® ехр

I1

19) где

8М = {%-е±(Х) - Оо(Х,Х) x=х(т),р=р(т)

Решения такого типа исследованы для случая, когда е±(х) - периодическая функция с периодом а, ядро С?о трансляционно инвариантно и симметрично х') = С?о(|ж — х'\). Тогда вспомогательная задача (18) становится периодической задачей Штурма-Лиувилля со спектральным параметром ус = ^г- Поведение решения кардинально зависит от того, принадлежит ли спектральный параметр ус зоне, лакуне, либо лежит на границе, что продемонстрировано на рисунках 2.1-2.4

На первом рисунке мы имеем типичную ситуацию для линейного уравнения квантовой механики - медленное раснлывание волного пакета при распространении, что как раз соответствует случаю ус = 0.

На втором рисунке параметр ус попадает в зону и мы имеем баллистический транспорт - пакет не расплывается.

На третьем рисунке параметр х - отрицателен и мы имеем экспоненциально быстрое раснлывание пакета.

На четвертом рисунке представлен самый интересный случай положительной лакуны - пакет в основном экспоненциально расплывается, но периодически но времени и в пространстве вновь локализуется, причем степень локализации экспоненциально возрастает (таким образом возникает т.н. "сверхлокализация").

В третьей главе при помощи канонического оператора и комплексного ростка Маслова построены квазиклассические асимптотические решения спектральной задачи (7) для некоторых пленок специального вида. В начале главы приводятся общие формулы канонического оператора и комплексногно ростка Маслова. Затем рассматриваются 2 примера.

В первом примере редуцированное уравнение (7) задано на поверхности сферы 5в13в однородном магнитном поле:

-^/¿2ДлГ</' - Еф,

9л а2 д ,д и? д2 . д 1 2 2 л

ГДм =-д ™ соб0— + —Та ~ ~лш СО£5 в> созвав дв соя2 в иф аф 4

В отсутствии магнитного поля ы = 0, это есть классическая задача на собственные функции и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Ответ выражается в сферических функциях, а спектр Еп = //2п(п + 1)/2. При наличии поля численно задача исследовалась в [47] ,[48].

Для построения квазиклассического приближения сначала исследуется классическая система движения точечной заряженнной частицы на поверхности сферы в однородном магнитном поле. Соответствующий гамильтониан в сферических (конфигурационных 0,ф и сопряженных импульсных рв,рф) координатах фазового пространства T*S имеет вид

N Рв 1 ( Р<Ь WCOsd\2

-1 + 5 (5*, + —) •

Гамильтонова система интегрируема, вторым интегралом является рф. Фазовое пространство расслаивается на инвариантные изотропные подмногообразия, являющиеся линиями уровня Н = const = Е, рф = const = М. Множество связных компонент слоения фазового пространства образует многолистную поверхность (рисунок 3.1). Листы отвечают непрерывным семействам лиувиллевых торов. Границы листов отвечают критическим инвариантным подмногообразиям гамильтновой системы — сингулярным множествам (сепаратрисам), и вырождениям на торы меньшей размерности (окружности и точки).

Прообразы листов этой поверхности соответствуют максимальным областям в фазовом пространстве, где можно ввести переменные действие-угол. И правила квантования Бора-Зоммерфельда единообразно записываются на каждом листе как

Ix = fim, h = + 1/2), m,l£ Z. (20)

Соответствующие этим торам энергии образуют квазиклассические спектральные серии, которые приближают серии собственных значений оператора /х2Д м ■

Во втором примере, редуцированное спектральное уравнение задано на поверхности тора с магнитным полем направленным вдоль оси тора. В этом примере сначала проведено точное разделение переменных, а затем построено квазиклассическое приближение уже для одномерной системы. Используемый квазиклассический подход позволяет качественно понять структуру спектра и вид собственных функций.

Благодарности

Результаты диссертации были получены в рамках проектов грантов БРС-РАН, РФФИ 05-01-00968а, РФФИ 05-01-22002-НЦНИ. Также работа была поддержана стипендией "лучшие аспиранты РАН".

Автор благодарит за дискуссии А. И. Шафаревича. Автор также благодарит Т.И. Круглову и С.Я. Секерж-Зеньковича за моральную поддержку.

Особую благодарность автор выражает научному руководителю и наставнику С.Ю. Доброхотову за неоценимую помощь и внимание.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Некрасов, Роман Владимирович, 2008 год

1. M. Gutzwiller, Chaos in classical and quantum mechanics, Springer, 1990

2. M. Born, J. R. Oppenheimer, Ann. Phys., 84, 457, (1927).

3. M. Born, K. Huang, Dynamical Theory of Crystall Lattices, Oxford, Clarendon Press, 1954.

4. B.C. Буслаев, M.B. Буслаева, Сингулярности функции Грина нестационарного уравнения Шредингера, Функц. анал. и его прил. т. 32, 1998, № 2, 80-83

5. А.И. Ведерников, А.В. Чаплик, ЖЭТФ, 117, 2, (2000), 449-451.

6. V.P. Maslov, Perturbation Theory and Asymptotic Methods, Moscow, Izd. MGU, (1965).

7. S. Yu. Dobrokhotov, RJMP, 1999, Vol 6, N3 , 282-313.

8. Н. Aoki, Н. Suezawa, Phys. Rev. А46, 3, R1163 (1992).

9. Ju H. Kim,I. D. Vagner, B. Sundaram, Phys. Rev. В 46, 9501 9504 (1992).

10. P. В. Некрасов, "Квазиклассические спектральные серии оператора Шрё-дингера на поверхностях в магнитном поле", Математические заметки, т. 80 (2006), N 1, стр. 69-76.

11. И. Брюнинг, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, Квантование периодических движений на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле, Матем. заметки, 2007, 81:1, 32-42

12. Й. Брюнинг, С. Ю. Доброхотов, Р. В. Некрасов, А. И. Шафаревич, Распространение гауссовых волновых пакетов в квантовых тонких периодических волноводах с нелокальной нелинейностью, ТМФ, 2008, 155:2, 215-235

13. J. Bruening, S.Yu. Dobrokhotov, R.V. Nekrasov, T.Ya. Tudorovskiy, Quantum Dynamics in a Thin Film, I. Propagation of Localized Perturbations, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.15, №1, 2008.