Метод формирования тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Булычев, Евгений Сергеевич

• Булычев, Евгений Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Булычев, Евгений Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ И ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХНОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1.1. Требуемые характеристики для тестирующего сигнала используемого в задаче идентификации винера-вольтерр а.

1.2. Предварительное преобразование последовательности.

1.3. Классификация существующих методов.

1.3.1. Создание псевдослучайных последовательностей и их модификации.

Выводы.

1.3.2. Формирование стучайных сигналов с использованием внешних источников шума.

Выводы.

1.3.3. Методы формирования последовательностей с заданными характеристиками.

Выводы.

2. МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ МОМЕНТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

2.1. Начальные условия.

2 2. Формирование квадратичного полинома относительно произвольного члена последовательности.

2.2.1. Преобразование моментной функции для одномерной последовательности.

2.2.2. Преобразование моментной функции для многомерного шума.

2.2.3. Преобразование моментной функции для случайного поля.4S

Выводы.

3. МЕТОД БЫСТРОГО ПОИСКА ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПОЛИНОМОВ

3.1. Необходимость альтернативных методов быстрого поиска моментных функций.

3.2. Симметричность моментной функции произвольного порядка.

Выводы.

3.3. Нахождение дискретных значений моментных функций для изменяемой последовательности. выводы.

3.4. Оптимальное формирование значений моментных функций, преобразованных в полиномы.

Выводы.

4. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ФОРМИРОВАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

4 1. Необходимые функции для полинома произвольного порядка.

4 2. Особенности формирования случайного поля.

4.2.1, Выпрямление белого поля произвольного порядка в одномерную последовательность.

Выводы.

4 22. Моментная функция произвольного порядка для поля представленного в виде одномерной последовательности.

Выводы.

4.3. Использованные численные методы получения екстремумов полинома произвольного порядка

Выводы.

4 4. Модификации метода формирования случайной последовательности.

4 4.1. Формирование последовательностей с заданными значениями спектральной плотности.

4.4.2. Формирование последовательности с заданной постоянной спектральной плотностью.

Выводы.

4 5 Алгоритмическая реализация метода преобразования последовательности.

Выводы.

5. ТЕСТИРОВАНИЕ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

5 1. Примеры формирования случайных сигналов различного типа.

5 1.1. Одномерная последовательность

5 1.2 Трехмерный шум.

5.1.3. Двумерное поле.

5.1.4. Одномерная последовательность с заданной спектральной плотностью.

5 2 Белошумовая идентификация с использованием сформированных случайных сигналов.

5 3. Сравнение быстродействия разработанных алгоритмов и методов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод формирования тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем»

Предлагаемая диссертационная работа посвящена проблеме формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения идентификации нелинейных динамических систем (в частности с распределенными параметрами). Существует значительное количество методов идентификации нелинейных объектов, которые применимы при моделировании различных классов задач.

Основные проблемы, возникающие при проведении идентификации сложных систем, связаны с ограниченностью существующих методов с одной стороны классом возможных идентифицируемых объектов, с другой - сложностью моделируемого объекта, то есть возможностью определения его структуры, его размерность, степень нелинейности, количество входов и выходов, и т.п. Более того, при анализе реальных физических моделей очень часто невозможно определить с достаточной точностью вышеперечисленные характеристики. Следовательно, при выборе метода для идентификации системы необходимо учитывать ограничения используемого метода, а так же требования и ограничения моделируемой системы.

Одним из наиболее эффективных теоретико-экспериментальных подходов к решению задачи идентификации и математического представления нелинейных динамических объектов является аппарат функциональных разложений Винера-Вольтерра. Этот подход позволяет получить формализованное описание выходного сигнала - нелинейной системы (при поступлении на ее вход сигнала типа белого шума) в виде ряда:

1=0 где У if) — оценка реального выходного сигнала нелинейной системы, h,} - набор ядер Винера, однозначно описывающий рассматриваемую систему.

Применение этого метода, несомненно, зависит от значений ядер Винера-Вольтерра, которые должны быть вычислены с достаточной точностью. В общем виде ядро Винера И -го порядка нелинейной системы может быть вычислено с помощью формулы м о у i=l hn(a1,.,anA) = 1 n\N" где N - значение спектральной характеристики тестового белого шума.

Поиск ядер Винера-Вольтерра может быть осуществлен при помощи различных подходов. Наиболее эффективным является метод ортогонализации ряда Вольтерра для белого Гауссовского шума. В этом случае используется корреляционный метод прямого наблюдения многомерных ядер Винера-Вольтерра. В результате общее выражение ортогонального функционала П -ой степени имеет следующий вид п

00 СО у) nlN

G\hn,x{t)]=\.\hn{Tl,.,T^x{t-T,)dTl-YJ-^ о о '=i т=\ уп — im)\lm\ 00 xG, о о п п где 2 - наименьшее целое, то есть 2 п/ 2; п- четное (и-1)/2; п-нечетное

Получаемое функциональное разложение ортогонально и модель становится более универсальной для получаемого набора ядер

Очевидно, что точность получаемых ядер Винера, а, следовательно, и точность математической модели зависит от качества используемых тестовых шумов. Более того, сама возможность их получения полностью зависит от характеристик используемых сигналов (случайных процессов, одномерных и многомерных, случайных полей). Поскольку при идентификации моделируемого объекта используется корреляционный метод, то наибольшее внимание, при использовании тестирующих сигналов, уделяется его моментным функциям. При этом, для вычисления ядер И -го порядка, необходимо, чтобы используемый случайных процесс имел требуемые моментные функции порядка не менее чем 2я .

При проведении идентификации системы приходится ограничиваться некоторым набором вычисляемых ядер. При этом необходимо учитывать следующие факторы:

1) порядок нелинейности моделируемого объекта

2) глубина памяти вычисляемых ядер (возможно для каждого ядра в отдельности)

3) возможное ограничение по времени идентификации

4) тип моделируемой системы a) одномерные, с сосредоточенными параметрами b) многомерные, с сосредоточенными параметрами c) с распределенными параметрами.

Перечисленные требования, возникающие при идентификации объекта, однозначно влияют на требования, предъявляемые к тестирующему сигналу:

1) минимальный заданный порядок моментных функций, соответствующих белому Гауссовскому шуму с заданной точностью

2) глубина памяти моментных функций

3) длина случайного процесса

4) тип случайного процесса a) одномерный b) многомерный c) случайное поле

Среди используемых в настоящий момент методов формирования случайных последовательностей выделяют три вида: формирование псевдослучайных последовательностей, получение случайных последовательностей с использованием внешних источников шума и специальные методы формирования случайных последовательностей с заданными статистическими характеристиками. Формирование псевдослучайных последовательностей, как правило, основано на рекуррентном соотношении. Такие последовательности имеют некоторый период повторяемости, после которого получаемые числа начинают дублировать уже сформированные. Методы формирования псевдослучайных чисел делятся на: линейные, инверсные и комбинированные. Среди рассмотренных методов наибольшее внимание следует уделять комбинированным методам формирования псевдослучайных последовательностей, поскольку получаемая последовательность имеет нормальный закон распределения и наиболее близка к требуемому критерию, по сравнению с другими псевдослучайными последовател ьностями.

Рассмотрено три генератора с использованием внешних источников шума. Каждый основан на своем внешнем источнике (звуковой усилитель, радиопомехи, тепловой шум). Такие последовательности обладают рядом известных преимуществ: случайность, неповторяемость, нормальный закон распределения и т.д. Однако статистические характеристики таких последовательностей нельзя предсказать, и сами последовательности невоспроизводимы.

Методы формирования случайных сигналов с заданными характеристиками часто основаны на генераторах псевдослучайных последовательностей или их модификациях и направлены на создания сигналов с заданным законом распределения или спектральной плотностью. Среди рассмотренных можно выделить метод обратного преобразования Фурье с рандомизацией параметров.

Исследование рассмотренных методов показывает невозможность применения случайных сигналов, полученных с их помощью, для поставленной задачи и доказывает необходимость создания нового метода формирования случайных сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями.

Целью диссертационной работы является создание метода формирования тестирующих сигналов с характеристиками, необходимыми для их дальнейшего применения в решении задачи белошумовой идентификации, с использованием аппарата функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Основные задачи исследования'

1. Проведение сравнительного анализа существующих методов формирования случайных сигналов.

2. Формулировка задачи разработки методов и алгоритмической реализации формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения белошумовой идентификации.

3. Разработка методов формирования тестирующих сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями.

4. Оптимизация процедур, связанных с вычислением моментных функций и необходимостью создания тестирующих сигналов большой длины.

5. Разработка методов и алгоритмов оптимизации процедуры формирования случайных полей в рамках представления многомерного поля.

6. Создание программного обеспечения для получения тестирующих сигналов, необходимых для белошумовой идентификации методом ядер Винера.

7. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения и анализ получаемых случайных сигналов.

8. Решение практических задач по формированию необходимых тестирующих воздействий и проведения белошумовой идентификации реально существующих систем.

Научная новизна исследования

1. Разработан метод получения шумов с требуемыми моментными функциями с учетом заданного критерия качества для задачи белошумовой идентификации с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

2. Создан алгоритм быстрого вычисления значений моментных функций произвольного порядка при изменении динамического нестационарного процесса.

3. Разработана методика формирования тестирующих сигналов с заданной спектральной плотностью.

Практическая ценность На основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных средств формирования тестирующих сигналов с заданными моментными функциями, который может быть использован при создании тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Реализация результатов работы Разработанные методики создания тестирующих сигналов использованы для идентификации системы распределения нефтепродуктов на ООО «МЕГА ОИЛ М».

Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».

Основные аспекты диссертации подробно освещены в 5 печатных работах.

Результаты проведенных исследований подробно изложены в последующих пяти главах. В первой главе дается обзор существующих методов формирования случайных и псевдослучайных сигналов. Для каждого предлагаемого метода выделяется один из наиболее распространенных и проводится несколько реализаций случайных последовательностей. В результате каждая последовательность рассматривается в сравнительной таблице на предмет соответствия принятому критерию качества. Так же, проведен пример идентификации стандартной математической модели при помощи сформированных случайных и псевдослучайных последовательностей.

Во второй главе выявляется полиномиальная зависимость для принятого критерия качества шума относительно произвольного члена начальной случайной последовательности. Приводится три метода формирования случайных сигналов (одномерных, многомерных и случайных многомерных полей).

Третья глава предлагает использовать ускоренный метод поиска необходимых значений для моментной функции произвольного порядка в режиме изменения чисел начальной последовательности, для оптимизации метода преобразования случайных последовательностей.

В четвертой главе приведено несколько алгоритмов, позволяющих оптимизировать процесс изменения случайного сигнала. В частности, представление случайного поля в виде одномерной последовательности и модифицирование всех функций необходимых для реализации предлагаемого метода. Здесь же приводятся два модифицированных метода для формирования случайной одномерной последовательности с заданной спектральной плотностью.

В пятой главе рассмотрено несколько примеров формирования случайных сигналов различного вида.

В заключении подводится итог всей проделанной работе, отмечаются положительные стороны и недостатки, даются рекомендации по дальнейшему развитию данного направления.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Булычев, Евгений Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основное внимание в данной диссертационной работе было уделено вопросам построения методов формирования случайных сигналов с заданными моментными функциями различных порядков соответствующими белому шуму. Очевидно, что для построения случайных сигналов необходимо рассматривать и другие статистические характеристики. Безусловно, в работе невозможно охватить всю область создания случайных сигналов с учетом различных статистических характеристик, поэтому были поставлены и решены лишь следующие задачи:

- проведение сравнительного анализа существующих методов формирования случайных сигналов;

- формулировка задачи разработки методов и алгоритмической реализации формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения белошумовой идентификации;

- разработка методов формирования тестирующих сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями;

- оптимизация процедур, связанных с вычислением моментных функций и необходимостью создания тестирующих сигналов большой длины;

- разработка методов и алгоритмов оптимизации процедуры формирования случайных полей в рамках представления многомерного поля;

- создание программного обеспечения для получения тестирующих сигналов, необходимых для белошумовой идентификации методом ядер Винера;

- тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения и анализ получаемых случайных сигналов;

- решение практических задач по формированию необходимых тестирующих воздействий и проведения белошумовой идентификации реально существующих систем.

Созданное программное обеспечение позволяет формировать произвольные типы сигналов (одномерные, многомерные, случайные поля) с заданными моментными функциями и требуемыми параметрами (длина, размерность, память, максимальный порядок исследуемых моментных функций).

К сожалению, за рамками рассмотрения остался целый ряд важных статистических характеристик, таких, например, как плотность распределения, дисперсия, ковариационные функции и т д.

В заключение хочется подчеркнуть важность развития методов и средств формирования случайных сигналов с заданными случайными характеристиками.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Булычев, Евгений Сергеевич, 2004 год

1. Атанас М , Флаб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

2. Ахо А , Хопкорф Дж, Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М,: Мир 1979.

3. Аязан Г. К, Авдеев В. Н., Корнюшко В. Ф. Метод интегральных нелинейных объектов с использованием псевдослучайных сигналов. В кн.: Идентификация и оценка параметров нелинейных систем. IV симпозиум ИФАК. М. ИПУ, 1976.

4. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1962.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

6. Бендат Дж, Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1979.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, тт. 1,2. М: Наука, 1966.

8. Булычев Е С. Методы быстрого создания белых Гауссовских сигналов. // Математическое моделирование и управление в сложных системах. Сб. научных трудов под редакцией д.т.н., профессора Музыкина С.Н. М.: МГАПИ, 2000,- С.5-10.

9. Булычев Е.С. Формирование многомерного "белого" шума. // Материалы V всероссийской научной конференции "Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем" Чебоксары: ЧГУ, 2003.- С.213-217.

10. Бутковский А. Г. Жарактеристики систем с распределенными параметрами. М: Наука 1979.

11. Вавилов А. Н. Имитационное моделирование производственных систем. М.: Машиностроение; Берлин: Техника, 1983.

12. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. М.: Мир, 1964.

13. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978.

14. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном или машине. М.: Сов. Радио, 1968.

15. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М.: ИЛ, 1961.

16. Вольтера В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

17. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1973.

18. Гихман И. И, Скороход А. В. Теория случайных процессов, т. 1, т. 2 М.: Наука, 1983.

19. Гнеденко Б И. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1967.

20. Данциг Г. Линейное программирование. М.: Прогресс, 1966.

21. Дезоер Ч., Ввдьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983.

22. Дейч А. М. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.

23. Дженкинс Г., Ватте Д Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1, вып. 2 М.: Мир. 1972.

24. Дуб Д Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

25. Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.

26. Заде Л , Дезоер Ч. Теория нелинейных систем. М.: Наука, 1970.

27. Иванов А.И. Одномерная идентификация ядер Вольтерра по экспериментальным данным. Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт.

28. Иго К., Маккин Г. Диффузные поцессы и их траектории. М.: Мир, 1968,

29. Кабанов Д. А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. М.:Мир, 1971.

30. Калман Р. В., Фалб П, Арбиб М. Отчерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

31. Кантарович Л. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М : Физматгиз, 1962.

32. Каста Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

33. Кахан Н. П. Случайные функциональные ряды. М. Сов. Радио, 1979.

34. Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1976.

35. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

37. Краммер Г. Математические методы статистики. М.: ИЛ, 1948.

38. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

39. Ли Ю, Шетцен М. Оптеделение ядер Винера-Хопфа методом взаимной корреляции. В кн.: Техническая кибернетика за рубежом, под ред. Солодовникова В. С. М.: Машиностроение, 1968.

40. Лоев М. Теория вероятностей. М: ИЛ, 1962.

41. Мармарелис П, Мармарелис В. Анализ физиологических систем. Метод белого шума. М.: Мир, 1981.

42. Мельников А.О. Разработка программно-математических средств и исследование пространственно-временной динамики систем методом бело-шумовой идентификации: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.: МГАПИ.

43. Мессрович М., Такахара Я. Теория систем. М.: Мир, 1980.

44. Милн В. Э. Численный анализ. М.: ИЛ, 1955.

45. Музыкин С.Н, Родионова Ю.М. Моделирование динамических систем. Ярославль: 1984.

46. Музыкин С.Н, Родионова Ю.М. Моделирование нелинейных систем с использованием белошумовой идентификации. М.: -ОАО "Можайский полиграфический комбинат", 1999.

47. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Функциональные разложения Вииера-Вольтерра в задачах проектирования. Ярославль: 1992.

48. Никольский С. М. Математический анализ, тт. 1,2. М.: Высшая школа, 1973.

49. Норенков И. П. Введение в автоматизированное управление технологических систем. М.: Высшая школа, 1980.

50. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений, М.: ИЛ, 1963.

51. Петренко А. И, Семенов О. И. Основы построения систем автоматизированного проектирования. Киев: Высшая школа, 1984.

52. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

53. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Советское радио, 1971.

54. Понтряшн Л. С., Болтинский В. Г., Гамкрелидзэ Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.60.