Метод декомпозиции области для эллиптической краевой задачи с внутренним вырождением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Таюпов, Шамиль Ильдусович

• Таюпов, Шамиль Ильдусович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Таюпов, Шамиль Ильдусович

Обозначения

Введение

1 Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка с вырождением

1 Вспомогательные результаты.

2 Гладкость решения задачи Дирихле.

3 Гладкость решения задачи Неймана.

4 Оценки погрешности интерполяции в весовых нормах Соболева

5 Схемы МКЭ для вырождающихся задач

6 Схемы с численным интегрированием для задачи с вырождением

7 Оценки погрешности схемы с численным интегрированием

8 Пространства Щ(—1,1).

9 Уравнение с внутренним вырождением коэффициентов

2 Вырождающиеся уравнения 2-го порядка в частных производных

1 Неоднородные краевые задачи с вырождением на границе

2 Функция продолжения.

3 Уравнение с внутренним вырождением коэффициентов

4 Метод конечных элементов для задачи с внутренним вырождением

3 Метод декомпозиции области

1 Алгоритмы метода декомпозиции области.

2 Свойства операторов Стеклова-Пуанкаре.

3 Сходимость метода декомпозиции области

4 Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод декомпозиции области для эллиптической краевой задачи с внутренним вырождением»

Метод конечных элементов (МКЭ) является эффективным методом решения краевых задач для уравнений математической физики. Теория метода хорошо развита для задач с регулярными входными данными, т.е. с достаточно гладкими правой частью, коэффициентами и границей области. Для таких задач известны априорные оценки решений в нормах пространств Соболева, которые позволяют строить оптимальные конечно-элементные схемы. В настоящее время опубликовано большое число статей и монографий по теории МКЭ. Отметим лишь некоторые из них, оказавшие значительное влияние на развитие метода, его применение в промышленных расчетах, в технике и научных исследованиях: это монографии Ж.Обэна [36], Г.Стренга и Дж.Фикса [41], Ф.Сьярле [43], В.Г.Корнеева [18], Л.Сегерлинда [39], Г.И.Марчука и В.А.Агошкова [27], Э.Митчела и Р.Уэйта [29], Д.Норри и Ж. де Фриза [35], О.Зенкевича [14], О.Зенкевича и К.Моргана [15] и других. Большое количество работ посвящено многосеточным методам, которые позволяют находить решение возникающей в МКЭ системы из N неизвестных за 0(N) арифметических операций. Эти успехи также нашли отражение в многочисленных монографиях, например, В.Хакбуша [79], К.Джонсона [83], В.В.Шайдурова [64], Ф.Брези и М.Фортина [71], К.Bathe [67], В.Бангерта и Р.Раннахера [66], Д.В.Хаттона [81] и многих других.

Практический интерес представляют краевые задачи с особенностями во входных данных, для которых, как показывают теоретический анализ и результаты численных экспериментов, применение стандартных методов, не учитывающих сингулярного поведения решения в окрестности особых точек, является неэффективным. Поэтому актуальной задачей является построение методов решения таких задач. Данная работа посвящена численному решению уравнений с вырождающимся дифференциальным эллиптическим оператором. Подобные задачи встречаются при решении многих важных вопросов математической физики. Значительную роль такие уравнения играют для газовой динамики. Классическим примером вырождающегося уравнения является уравнение с оператором Трикоми (см., напр. [62]), описывающее течение газа на околозвуковых скоростях.

Систематическое изучение вырождающихся уравнений было начато в статьях М.В.Келдыша [17], М.И. Вишика [5]-[8], С.Г.Михлина [30], [31] и продолжено работами М.И.Вишика и Л.А.Люстерника [10], М.И. Вишика и В.В.Грушина [9], В.П.Глушко [11], О.А.Олейник [37], С.М.Никольским и его учениками [34], [33], [21]-[25], [3].

Одной из первых работ, посвященных сеточным методам решения вырождающихся краевых задач, была статья Ю.А.Гусмана и Л.А.Оганесяна [12], в которой рассматривалась конечно-разностная схема первого порядка точности для уравнения с оператором типа Трикоми, вырождающегося на части границы Г = [0, а] х {0} прямоугольной области Q = (0,а) х (0,6). На Г рассматривались однородные краевые условия двух типов — Дирихле и Неймана. Заметим, что поведение решения в окрестности точек вырождения существенным образом зависит от типа граничного условия. А именно, в задаче с условием Дирихле решение имеет неограниченный градиент, в то время, как задача Неймана на один порядок более гладкое и для него можно использовать стандартные разностные схемы или схемы МКЭ с кусочно-линейными конечными элементами. Вариационно-разностная схема, предложенная в работе [12] использует специальную замену переменных, с помощью которой достигается оптимальная скорость сходимости на правых частях класса L,2(£l). Недостатком этой схемы является то, что она существенно использует прямоугольность области и диагональность матрицы коэффициентов дифференциального оператора.

Такое же уравнение рассмаривалось в работе В.В.Катрахова и А.А.Кат-раховой [16], где на линии вырождения Г рассматривались отдельно два граничных условия — однородное условие Дирихле для степени вырождения коэффициентов а < 0 и однородное условие Неймана при 0 < а < 2. Для аппроксимации этой краевой задачи строилась сетка, сгущающаяся по нормали к Г, и на каждом прямоугольнике решение приближалось функциями вида со + с\х + С2у1~а + с^хух7а.

P.Moing [88] для уравнения д2и д ( ди\ „. . . хщ - )+и=fix) ва =(0'1) х (0с однородным граничным условием Неймана на Г получил оценки скорости сходимости схем МКЭ с треугольными конечными элементами в энергетической и /^-нормах.

М.Хатри [80] для уравнения в единичном квадрате 0 = (0,1) х (0,1)

--к (^ё) - kik (х2я{х)£)=/(ж)'и=°на ш vг' с однородным условием Неймана на Г = [0,1] х {0}, исследовал схемы МКЭ с прямоугольными и треугольными конечными элементами и доказал оценку погрешности 0(h) в энергетической норме.

В плоской области Q = {х 6 R2 : 0 < Х\ < д(хъ), Х2 € (1, b)} Д.Марини и П.Пиетра [85] исследовали смешанный метод конечных элементов для задачи с сингулярными коэффициентами

1 / —div— v и — —> и — 0 па <9Q, х\ х\ и получили почти оптимальные оценки точности метода.

Большое количество работ посвящено исследованию проекционно-сеточ-ных схем для двухточечной краевой задачи с вырождением:

-D(xaa(x)Du{x)) + aQ{x)u{x) = f{x) в (0,1), г/(0) = и(1) = О,

P.Jamet [82] показал, что конечно-разностный метод для этой задачи на равномерной сетке имеет погрешность 0{h}~a) в норме Loo- Используя L-сплайны в методе Ритца-Галеркина, П.Сьярле, Ф.Наттерер и Р.Варга [74] получили сходимость 0(h2~a) в норме Ь^. В статьях Г.Реддина [90], Г.Реддина и Л.Шумакера [91] анализировались методы коллокации. Метод, основанный на разложении решения в окрестности нуля по степеням хп~а исследовались Б.Густаффсоном [78]. В работе Р.Шрейбера [93] рассматривался метод Галеркина с кусочно-полиномиальными базисными функциями с весом х~а.

В статье М.Р.Тимербаева [55] для двумерной задачи в области — (0,1) х (0,1) ik {x>i{x)S) ~ i (<а2(ж)£)+ Чх)и{х)=т>и|зп=0 рассматривался МКЭ с мультипликативным выделеним особенности, в котором использовались кусочно-полиномиальные базисные функции, умноженные на сингулярную весовую функцию, определяемую степенью вырождения коэффициентов уравнения. Было доказано, что предложенный метод является оптимальным. В работах [59], [40] данный подход был применен для аппроксимации двухточечной задачи четвертого порядка.

Отметим, что в указанных работах рассматривались уравнения, вырождающиеся на границе, с однородными краевыми условиями. В диссертации исследуются дифференциальные уравнения с коэффициентами, вырождающимися степенным образом внутри области. А именно, мы будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка на интервале (—1,1)

-D(\x\aa{x)Du{x)) + \x\ab(x)u{x) = f(x) и уравнение в частных производных в двумерной области Q = (—1,1) х (0,1)

-i - £ (W*<«>£) =

Сложность этой задачи состоит в том, что, в отличие от вырождения на границе, значение решения в точках вырождения неизвестно и непосредственно применить эффективный метод мультипликативного выделения особенности в этой задаче нельзя. Поэтому нами был использован метод декомпозиции области, позволивший свести задачу с внутренним вырождением к двум задачам с вырождением на границе с неоднородными краевыми условиями, исследованию которых посвящена значительная часть диссертации. Отметим, что ранее задачи с неоднородными условиями в точках вырождения не рассматривались. В диссертации строится специальный оператор продолжения, с помощью которого неоднородные краевые условиями сводятся к однородным. В отличие от задач с гладкими коэффициентами, построение оператора продолжения для задачи с вырождением не является тривиальной задачей и применение для этой цели таких же операторов, как и в регулярной задаче, может ухудшить дифференциальные свойства правой части.

Метод декомпозиции области (другое название — метод разделения области [1] или метод композиции [20]) применяется с 1958г. (см.,напр., [2], [92]). Идея этого метода заключается в следующем: область, в которой рассматривается дифференциальное уравнение разбивается на подобласти, задается начальное приближение. Далее уравнение решается одним из сеточных методов в каждой подобласти со специальными условиями на общих границах (интерфейсах), которые включают в себя значения решения на предыдущей итерации. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Различные варианты условий "склейки" на интерфейсах приводят к различным алгоритмам метода декомпозиции. Так в работах Л.Д.Марини и А.Квартерони [86], [87], P.E.Bjostad и O.B.Widlund [68], Д.Фуноро, А.Квартерони и П.Занолли [76] рассматривался алгоритм Дирихле-Нейман. Метод Нейман-Нейман рассматривался в статьях В.И.Агошковаи В.И.Лебедева [1], J.F.Bourgat, R.Glo-winski, P.Tallec и M.Vidrascu [69], метод Робина — в работе П.Лионса [84]. Такое разбиение на задачи в подобластях позволяет естественным образом использовать распараллеливание процесса вычисления. Кроме того, поскольку число операций необходимых для нахождения решения, как правило, имеет нелинейную зависимость от шага сетки в выбранном методе, то такое разбиение на подзадачи может ускорить в несколько раз общее время решения.

Различные вопросы, связанные с теорией метода декомпозиции области такие, как независимость числа итераций от шага сетки h, от геометрических соотношений в L-, Т— и С—подобных областях и пр., рассматривались в статьях [72], [73], [70], [75] и [77]. Отметим также монографию А.Квартерони и А.Валли [89].

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Первая глава посвящена исследованию двухточечных граничных задач с вырождением на границе и внутри области. Получены теоремы гладкости решений этих задач, описаны схемы МКЭ с выводом оценок скорости сходимости приближенного решения к точному.

В параграфе 1.1 приводятся вспомогательные результаты: теорема вложения пространств Соболева с весом (теорема 1.1), вводится интегральный оператор Харди, доказывается его непрерывность (теорема 1.3).

В параграфе 1.2 рассматривается задача с неоднородными граничным условием Дирихле в точке вырождения. Доказывается теорема гладкости решения однородной задачи.

Теорема 1.5 Пусть a-s-3/2 < 7 < 1/2, а е W4+1(Q) и xb G W^Q). Тогда оператор А в левой части дифференциального уравнения (1.6) является изоморфизмом пространства П Щ{0) на При этом для решения задачи (1.6) выполняется граничное условие x2~aDu(x)\x==0 = 0.

Далее строится специальная функция продолжения, с помощью которой неоднородная задача сводится к однородной, и доказывается теорема гладкости для неоднородной задачи (теорема 1.7). Эти результаты используются в дальнейшем при получении оценок скорости сходимости приближенных методов.

В параграфе 1.3 для задачи с неоднородным условием Неймана в точке вырождения доказывается теорема гладкости 1.10. Ключевым результатом здесь является то, что решение задачи может быть записано в виде и(х) = рф(х) + и0(р(х) + х2~ай(х): где р = xaa(x)Du(x) |ж=о, ^о — ^(0), ф(х) и <р(х) — известные функции, а й(х) — гладкая функция. Этот результат будет использован при построении аппроксимирующего пространства в методе конечных элементов для этой задачи.

Параграф 1.4 посвящен получению оценок погрешности интерполяции в весовых пространствах Соболева. Основной результат этого параграфа содержит теорема:

Теорема 1.11 Если а <1/2 и т + 0 — а > 0, то для любой функции и Е #™+1(Г2) справедливы оценки

Ds{u-<Kku)\\L2Aek) < c^r^Ml^^ll^) (* = 1,2,.,п),

РЧи-П^)!!^ < c2he\\Dm+1u\\b2Any где s — 0,1 и 0 = min(т + 1 — s,m + l + ft — a — s).

В параграфе 1.5 приводятся схемы МКЭ для задач с граничными условиями Дирихле и Неймана. Для правой части / € и конечных элементов степени т доказывается следующая оценка скорости сходимости приближенного решения Uh к точному и в энергетической норме (теоремы 1.12 и 1.13): и - uh\\a < ch9, где 0 — min(m, m -Ь 7 — а/2).

В параграфах 1.6 и 1.7 на примере однородной задачи Дирихле строится схема с численным интегрированием, формулируются условия на точность квадратурных формул, при которых схема однозначно разрешима (теорема 1.14) и погрешности вычисления интегралов не влияют на порядок сходимости схемы (теорема 1.15).

В параграфе 1.8 вводятся пространства Соболева 1,1) с весовой функцией, имеющей особенность внутри области.

В параграфе 1.9 рассматривается однородная задача Дирихле с вырождением внутри области. Устанавливается гладкость решения (теорема 1.9). Здесь же строится схема МКЭ с аддитивным и мультипликативным выделением особенности и доказывается оценка погрешности схемы (теорема 1.17) в энергетической норме:

I\и - uh\\a < che.

Вторая глава диссертации посвящена вырождающимся уравнениям 2-го порядка в частных производных.

В параграфе 2.1 приводятся известные [60] теоремы гладкости решения неоднородных граничных задач Дирихле и Неймана с вырождением.

В параграфе 2.2 для неоднородных граничных задач строятся функции продолжения граничных значений в область.

В параграфе 2.3 рассматривается однородная задача Дирихле с внутренним вырождением в прямоугольной области Q — (—1,1) х (0,1): и\дп. = 0.

С помощью леммы 2.1 эта задача переписывается эквивалентным образом в виде задачи в подобластях Oi = (—1, 0) х (0,1) и Q2 = (0,1) х (0,1).

-i (w^fe) - к (^^ё)=>(*>• *е пь

15 щ(х) = u2(x), г€Г = П Ш2, м iQ^l. / \ adu2\

ФОМ ^к==о- = a{x)x1 — |Xl=o+, x°ai{x)S) - (а2(х)ё)=/(ж)-x 6

В параграфе 2.4 для этой задачи строится конечноэлементная аппроксимация.

Третья глава посвящена методу декомпозиции области для задачи с внутренним вырождением.

В параграфе 3.1 даны формулировки двух вариантов алгоритма метода декомпозиции — Дирихле-Нейман и Нейман-Нейман. Приводится формулировка этих алгоритмов в каноническом виде. Для одномерного уравнения доказывается сходимость методов.

В параграфе 3.2 доказываются некоторые важные свойства операторов Стеклова-Пуанкаре, действующих в пространстве следов А, и их дискретных аналогов. А именно устанавливается справедливость утверждений:

Теорема 3.3 Операторы Si и S2 являются симметричными, непрерывными и положительно определенными на А и имеет место двусторонняя оценка с независимыми постоянными к\ и к2

K^Sirj^x < (S2rj,rj)x < K2(SiT), rf)x V77 e A, которая означает, что операторы Si и S2 являются спектрально эквивалентными.

Теорема 3.4 Операторы Sith и S2jh являются самосопряженными, непрерывными и положительно определенными равномерно по h в Ад и имеет место двусторонняя оценка с независящими от h постоянными ki и h(Si,hr)h,Vh)x < (S2,hr}h,Vh)x < k2(SilhTih,m)x ^Vh G Ah.

В параграфе 3.3 на основе этих свойств устанавливается сходимость метода декомпозиции в двумерной области.

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Построен оператор продолжения граничных значений в область, позволяющий свести задачу с неоднородными краевыми условиями к однородным.

2. Получены оценки решений двухточечных краевых задач с вырождением на границе и внутри области в нормах весовых пространств Соболева.

3. Получены оценки точности схем МКЭ с мультипликативным выделением особенности для двухточечной краевой задачи с вырождением. Исследовано влияние численного интегрирования на погрешность таких схем.

4. Доказана сходимость метода декомпозиции области для краевой задачи с внутренним вырождением.

Результаты диссертации докладывались на шестом и седьмом Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 1-4 октября 2005г., 21-24 сентября 2007г.), на шестой Всероссийской молодежной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (26 июня - 1 июля 2006г.), на четвертой-шестой Всероссийских конференциях с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 29-31 мая 2007г., 29-31 мая 2008 г., 1-4 июня 2009г.), на всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007 (Новосибирск, 18-20 июня 2007г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (Москва, 30 марта - 2 апреля 2009г.), на шестнадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 25-31 мая 2009г.), на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44] — [54].

Автор искренне благодарен доктору физико-математических наук, доценту М.Р.Тимербаеву за предложенную тему и руководство работой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Таюпов, Шамиль Ильдусович, 2009 год

1. Агошков В.И., Лебедев В.И. Операторы Пуанкаре - Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы.- Т. 2 - М.: Наука, 1985, С.173-227.

2. Алексидзе М.А. О целесообразности применения альтернирующего метода Шварца на электронных цифровых машинах // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120, С.231-234.

3. Байделдинов Б.Л. Об аналоге первой краевой задачи для эллиптических уравнений с вырождением. Метод билинейных форм // Тр. МИ АН. 1984. - Т. 170. - С.3-11.

4. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука. 1987. - 634 с.

5. Вишик М.И. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. - Т.93, N1. - С.9-12.

6. Вишик М.И. О краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1953. - Т.93, N2. - С.225-228.

7. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Успехи мат.наук. 1954. - Т. 9, N1. -С.138-143.

8. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. 1954. - Т.35., N5. - С. 187246.

9. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе // Матем.сб. 1969. - Т.80. - С.455-491.

10. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пграничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН. 1957. - Т. 12, N5. - С.3-122.

11. Глушко В.П. Первая краевая задаа для уравнений эллиптического типа, вырождающихся на многообразиях // ДАН СССР. 1962. - Т. 143, N3. - С.492-495.

12. Гусман Ю.А., Оганесян Л.А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1965. - Т.5, N 2. - С.351-357.

13. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конечных элементов. Учебное пособие. Казань: Казанский гос. ун-т. - 2004. -239 с.

14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. - 1975. - 256 с.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. - 1986. - 318 с.

16. Катрахов В.В., Катрахова А.А. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся эллиптических задач // ДАН СССР. 1984. -Т.279, N4. - С.799-802.

17. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. - Т.77, N2. -с.181-183.

18. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности. JL: изд-во Ленинград, ун-та. - 1977. - 206 с.

19. Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН им. Стеклова. 1984. - т. 170, ч.Ю. - С.161-190.

20. Лебедев В.И. Методы композиции. М.: ОВМ АН СССР, 1986.

21. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // ДАН СССР. 1981. - Т.257, N1. -С.42-45.

22. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // ДАН СССР. 1981. - Т.257, N2. - С.278-282.

23. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Тр.Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. -1981. Т. 157. - С.90-118.

24. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением // ДАН СССР. 1981. - Т.259, N1. -С.28-30.

25. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью / / Тр.Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1983. - Т. 161. - С. 157-183.

26. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир.-1971.-371 с.

27. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: наука. 1981. - 416с.

28. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989.- 608 с.

29. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. - 1981. - 315 с.

30. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям // Докл. АН СССР. 1953.- Т.91, N4. С.723-726.

31. Михлин С.Г. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. 1954. - Т.94, N2. - С.183-186.

32. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, изд.2-ое, перераб. 1977. - 456 с.

33. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр.Мат. ин-та им.B.А.Стеклова. 1979. - Т.150. - С.212-238.

34. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // ДАН СССР. 1964. - Т.159, N3. - С.512-515.

35. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. - 1981. - 237 с.

36. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических задач. М.: Мир. - 1977. - 383 с.

37. Олейник О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений // ДАН СССР. 1965. - Т. 163, N3.C.557-580.

38. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. Пространства Соболева. Казань: изд-во КГУ, 2002. 120 с.

39. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. -1979. - 267 с.

40. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. - 1977. - 349 с.

41. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука. 1966. 292 с.

42. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

43. Тимербаев М.Р., Таюпов Ш.И. Метод декомпозиции области для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы шестого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань. 2005г. - С.214-216.

44. Таюпов Ш.И. О методе конечных элементов для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // Материалы седьмого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 2007. - С.276-279.

45. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Ученые записки Казанского государственного университета. 2006. N 4. - С.63-75.

46. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для системы эллиптических уравнений с вырождающимися коэффициентами на интервале // Изв. Вузов. Математика. -2009. N 7. - С.22-34.

47. Таюпов Ш.И. Схемы МКЭ с численным интегрированием для вырождающейся задачи. // В сб. трудов 5-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи ", Самара, 29-31 мая 2008 г. С.167-169.

48. Таюпов Ш.И. Схема МКЭ для эллиптической задачи с внутренним вырождением коэффициентов // В сб. трудов 6-й Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 1-4 июня 2009 г. С.213-216.

49. Ляшко А.Д., Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ для двухточечной краевой задачи с вырождением. // Труды международной конференции 11 Современные проблемы математики и механики", Москва, 30-31 марта 2009 г. С.ЗЗЗ.

50. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифф. уравнения. 2000. - Т.36, - N 7. - С.1086-1093

51. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизатроп-ным вырождением на части границы // Изв. вузов. Математика. -2003. N 1. - С.60-73.

52. Тимербаев М.Р. О непрерывности интегральных операторов в пространствах вектор-функций // В сб. "Исследования по прикладной математике и информатике", вып.23, изд-во Казанск.матем.общ-ва, 2001. С.118-121.

53. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения анизатропно вырождающегося уравнения с граничными условиями Неймана в точках вырождения // Изв. вузов. Математика. 2005. - N 7. - С.63-76.

54. Тимербаев М.Р. О схемах МКЭ для 2-точечной граничной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением // Исслед. по прикл. мат. и инф. 2004. - Вып.25. - С.78-85.

55. Тимербаев М.Р. Оптимальные проекционно-сеточные методы для краевых эллиптических задач с особенностями на границе. Дис. д-ра физ.-мат. наук. Казань, 2007. - 247 с.

56. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир. - 1980. - 664 с.

57. Трикоми Ф. О линейных уравениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

58. Харди Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ. - 1948. -456 с.

59. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. - 1989. - 289 с.

60. Adams R.A. Sobolev spaces. New York, San Francisco, London: Academic press, 1975. - 270 c.

61. Bangerth W., Rannacher R., Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations. Birkhauser. - 2003. - 125 p.

62. Bathe K. Finite Element Procedures. Prentice Hall. - 1996. - 1050 p.

63. Bjostad P.E., Widlund O.B. Iterative methods for the solution of elliptic problems on regions partitioned into substructures // SI AM J. Numer. Anal. 1986. - V.23. - P.1097-1120.

64. Bourgat, J.-F., Glowinski, R., Le Tallec, P. and Vidrascu, M. Variational formulation and algorithm for trace operator in domain decomposition calculations. In Domain Decompositions Methods, T.F. Chan et al. eds., SIAM, Philadelphia, 1989. pp. 3-16.

65. Bramble J.H., Pasciak J.E., Schatz A.H. The construction of preconditioners for elliptic problems by substructures // Math. Сотр., 1986. N 46. - P.361-369.

66. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Element Methods. Springer. -1991. - 362 p.

67. Chan T.F. Analysis of domain decomposition preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1987. - V24. - P.382-390.

68. Chan T.F., Hou T.Y., Lions P.L. Geometry related convergence results for domain decomposition algorithms// SIAM J. Numer. Anal. 1991. - V.28. - P.378-391.

69. Ciarlet P.G., Natterer F., Varga R.S. Numerical methods of higher-order accuracy for singular two-pint boundary value problem // Numer.Math. -1982. V.39. - P.341-350

70. Dryja M. A capacitance matrix method for Dirichlet problem on polygon regions // Numer. Math. 1982. - V.39. - P.51-64

71. Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P. An iterative procedure with interface relaxation for domain decomposition methods // SIAM J. Numer. Anal. -1988. V.25. - P.1213-1236.

72. Golub G.H., Mayers D. The use preconditioning over irregular regions //in Computing Methods in Applied Sciences and Engineering, VI, R. Glowinski and J.L.Lions, eds., North-Holland, Amsterdam, 1098, P1987.

73. Gustafsson B. A numerical method for solving singular boundary value problem // Numer.Math. 1973. - v.21. - P.328-349.

74. Hachbush W. Multi-grid Methods and Applications. Springer. - 1985.

75. Hatri M. Estimation d'erroe optimale par la methode des elements finis pour un probleme aux limities degenere // Comptus rendus de I'Acad. bulgare Sc. 1984. - v.37, N5. - P.573-576.

76. Hutton D.V. Fundamentals of Finite Method Analysis. McGraw-Hill. -2004. - 505 p.

77. Jamet P. On the convergence of finite-difference approximation to one-dimensianal singular boundary value problem // Numer.Math. 1970. -v.14. - P.355-378.

78. Johnson C. Numerical solutions for partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press. - 1987. - 282 p.

79. Lions P.-L. On the Schwarz alternating method II: a variant for non-overlapping subdomains //In Third International Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differencial Equations, T.F. Chan et al. eds. SIAM, Philadelphia, P.202-231.

80. Marini D., Pietra P. Mixed finite element approximation of degenerate elliptic problem // Numer. Math. 1995. - V.71 - P.225-236.

81. Marini L.D. and Quarteroni A. A relaxation procedure for domain decomposition methods using finite elements // Numer.Math. 1989. -V.55. - P.575-598.

82. Moing P. Resolution par une methode d'elements finis du probleme de Dirichle pour un operateur elliptique degenere // C.R.Acad. Sci. Paris, ser.I. 1981. - v.292, N3. - p.217-220.

83. Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon press, 1999. - 363 c.

84. Reddien G.W. Projection methods and singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1973. - v.21. - P. 193-205.

85. Reddien G.W., Schumaker L.L. On a collacation method for singular two-point boundary value problems // Numer.Math. 1976. - v.25. - P.427-432.

86. Saltzer Ch. An abridged block method for the solution of the Dirichlet problem for the Laplace difference equation // J. Math, and Phys. 1953. V. 32, P. 63-67.

87. Schreiber R. Finite element methods of high-order accuracy for singular two-point boundary value problems with nonsmooth solutions / / SI AM J.Numer. Anal. 1980. - V.17. - P.547-56G