Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в двумернонеоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Пересветов, Владимир Викторович

• Пересветов, Владимир Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пересветов, Владимир Викторович

Оглавление

Введение

1 2.5-Б ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

1.1 Описание параметров модели

1.2 Уравнения электромагнитного поля

1.2.1 Уравнения Максвелла для первичного и вторичного полей

1.2.2 Уравнения электромагнитного поля в пространствах (кх,у,г) и (к х) я)

1.3 Электромагнитное поле в частных случаях источника и структуры среды

1.3.1 Уравнения поля для частных значений кх

1.3.2 2-Б задача моделирования с плоским источником

1.3.3 Электромагнитное поле в слоистой среде

1.4 Единственность решения задач в ограниченных и неограниченных областях

1.4.1 Краевые условия и единственность решения задач в пространстве (кх,у,г)

1.4.2 Задачи в пространстве (кх,ку,г)

1.4.3 Единственность решения задачи в бесконечной полосе

2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

2.1 Численное решение 2.5-D задач в ограниченной области пространства

2.1.1 Дискретное преобразование Фурье

2.1.2 Обобщенное решение в ограниченной области

2.1.3 Приближенное решение задачи методом Бубнова-Галеркина

2.2 Алгоритмы приближенного решения 2-D задач методом конечных элементов при кх = 0

2.2.1 Приближенное решение в ограниченной области

2.2.2 Алгоритмы для прямоугольных конечных элементов

2.2.3 Алгоритмы для треугольных конечных элементов

2.2.4 Сочетание прямоугольных и треугольных конечных элементов

2.3 Результаты численного решения 2.5-D задач

2.3.1 Сходимость на последовательности сеток

2.3.2 Сходимость метода SOR в пространстве (кх, у, z)

2.3.3 Модель прямоугольной неоднородности в трехслойной среде

2.3.4 Сравнение результатов численных расчетов с данными физического моделирования

2.4 Результаты моделирования магнитотеллурических полей

2.4.1 Модель трех сегментов на проводящем основании

2.4.2 Модель низменности цилиндрической формы

2.4.3 Модель возвышенности в форме трапеции

3 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ

ОБЛАСТИ

3.1 Алгоритм численного решения в пространстве (kx,y,z)

3.2 Сходимость альтернирующего метода Шварца

3.2.1 Слоистая среда

3.2.2 Однородная среда

3.2.3 Сочетание краевых условий различного типа

3.3 Сходимость метода декомпозиции без перекрытия

3.4 Результаты численных экспериментов

3.4.1 Численное решение 2.5-Б задачи моделирования поля для прямоугольной неоднородности в полупространстве

3.4.2 Моделирование электромагнитного поля для двух

2-Б неоднородностей в пятислойной среде

Заключение

Список литературы

/

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в двумернонеоднородных средах»

Введение

В работе рассматриваются вопросы математического моделирования пространственных и плоских электромагнитных полей гармонических источников в двумерно- неоднородных (2-Б) средах.

Математическое моделирование является необходимым этапом при проведении геофизических исследований и геологоразведочных работ, так как позволяет экономить значительные материальные ресурсы и уменьшать ущерб наносимый природной среде. В настоящей работе рассматриваются электромагнитные методы зондирования: дипольный и маг-нитотеллурический. Указанные методы различаются типом используемого источника электромагнитного поля. В дипольных методах параметры искуственного источника- электрического или магнитного диполя могут варьироваться в широких пределах. Кроме того, эффективное решение задачи для диполя важно тем, что произвольный источник может быть представлен совокупностью диполей. Магнитотеллурическое поле имеет естественное происхождение, поэтому нерегуляно, его спектральный состав недостаточно широк и неравномерен. Однако, в области низких частот, необходимых для глубинных исследований, магнитотел-лурический метод удобен для применения, так как не требует мощного искусственного источника поля.

Геологическое строение Земли имеет трехмерное (3-Б) распределение физических параметров среды. Однако, часто встречаются случаи, когда это строение близко к плоскослоистой среде или 2-Т) среде. 2-Б среда- вытянутое (в настоящем рассмотрении- вдоль оси х) цилиндри-

ческое тело, расположенное, в общем случае, в плоскослоистой среде. 2-Б неоднородность может быть образована изменением глубины раздела слоев (складки и разрывные нарушения со смещением: горст, грабен).

В настоящей работе рассматриваются вопросы моделирования в 2-Б средах. Замена 3-Б модели среды 2-Б моделью не обязательно влечет за собой увеличение погрешности математического моделирования. Расчеты с 2-Б моделью требуют меньших вычислительных ресурсов. Это позволяет увеличить точность приближенного решения для упрощенной 2-Б модели (путем увеличения числа узлов сетки и т.д.) и, в конечном итоге, получить лучшие результаты, чем в случае расчетов для 3-Б модели среды.

Применение 2-Б моделей в дипольном методе более оправдано, чем в случае магнитотеллурического метода. Излучающий диполь является точечным источником, он создает электромагнитное поле, которое быстро спадает во всех направлениях. Поэтому для вытянутого 3-Б тела краевые эффекты на концах тела оказывают незначительное влияние на поле, особенно в точках, которые находятся вблизи центра тела.

Задача для диполя в 2-Б среде называется в литературе 2.5-Б задачей, так как дипольный источник создает З-Б поле, а среда задана 2-Б моделью. Задача моделирования магнитотеллурического поля с моделью источника в виде плоской волны в 2-Б средах является 2-Б задачей.

Электромагнитное поле в плоскослоистой среде с 2-Б цилиндрической неоднородностью (или 3-Б телом) можно представить в виде суммы первичного и вторичного полей. Первичное поле является полем заданных источников в плоскослоистой среде. Вторичное поле (иногда используется другой термин - аномальное поле) обусловлено влиянием неоднородности. Раздельное нахождение первичного и вторичного полей позволяет строить универсальные и достаточно точные алгоритмы расчета полного поля. Раздельное нахождение полей широко применяется в

моделировании (см. [88], [105], [106] и др.).

В настоящей работе рассматриваются вопросы моделирования только вторичного поля. Задача расчета первичного поля в слоистой среде является самостоятельной задачей. Применение метода интегральных преобразований позволяет находить компоненты электромагнитного поля дипольного источника в плоскослоистой среде с высокой точностью. При проведении численных экспериментов для моделей 2-Б неоднородности в полупространстве и трехслойной среде была использована программа расчета электромагнитного поля дипольного источника произвольной ориентации в плоскослоистой среде, авторство которой принадлежит Смагину С.И. и Мазалову В.Н. Алгоритмы этой программы развиты в работах [20], [21], [51], [52] и основаны на переносе пути интегрирования в комплексную плоскость. При этом у подинтегральных функций появляются экспоненциальные множители с отрицательными действительными частями, которые обеспечивают отсутствие осциляций и быстрое их убывание на бесконечности, независимо от количества слоев и положения источника.

Для моделирования электромагнитных полей в 2-Б и 3-Б средах используются, в основном, следующие методы: конечных элементов (МКЭ), конечных разностей (МКР), интегральных уравнений (МИУ), аналитический и гибридный метод. Гибридный метод основан на совместном использовании двух методов: МКЭ или МКР в области содержащей неоднородность и МИУ, аналитического или спектрального для решении внешней краевой задачи. Исключительно аналитический способ решения рассматриваемых задач (см. [56] и др.) возможен только для некоторых простейших случаев на плоскости. Они используются, как правило, для контроля точности численных расчетов. Метод МКР начал использоваться раньше других. Формулировка задачи математического моделирования, постановка граничных условий, вопросы решения

системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и другие рассматривались в связи с решением задач геоэлектрики МКР. Поэтому при обсуждении данных вопросов будут даны ссылки на работы, в которых применяется МКР. В настоящей работе применяется МКЭ (раздел 2) и гибридный метод (раздел 3).

В последнее время в математическом моделировании физических полей в сложных средах нашел широкое распространение МКЭ. МКЭ по сравнению с МКР хорошо аппроксимирует области со сложными границами, автоматически обеспечивает выполнение условий сопряжения для компонент поля на границах разрыва среды, позволяет выбирать вид базисных функций для наиболее точной аппроксимации искомого решения на отдельных участках области моделирования. Теория МКЭ излагается в [15], [22], [27], [53], [54] и др. Начиная с работы [76] МКЭ начал использоваться для решения задач геоэлектрики.

Моделирование электромагнитных полей в З-Б средах МКЭ представлено в работах [5], [83], [95], [98]. Подход, основанный на минимизации функционала определяющего энергию электромагнитного поля, используется в [5], [95]. В этих работах исходная задача сводится к поиску стационарной точки функционала, который в случае электрического поля записывается в виде:

/ {2ц)~1[(гоЬ Е)2 + к2Е2 - ЯшщГЦЩ (В.1)

V

где /л - магнитная проницаемость, ш - круговая частота, к - волновое число, ,|ст- плотность сторонних токов. Вычисление приближенного значения функционала в прямоугольной подобласти трехмерной сетки с помощью кубатурных формул дает возможность получить коэффициенты матрицы СЛАУ. В [5] приводятся вид коэффициентов и результаты сходимости решения для 13 и 21- точечных шаблонов, полученных при различных видах кубатурных формул. В работе [98] используется другой

подход: уравнение

rot rot Е + fc2E = О

решается методом Бубнова- Галеркина. Для приближенного решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка используется МКЭ. Представлены результаты расчетов для прямоугольной призмы.

В последнее время появились методы моделирования рассчитанные на многопроцессорные ЭВМ. В [113] матрица для 3-Б магнитного поля разлагается на две субматрицы, которые решаются параллельно с использованием итерационого метода.

В работах [5], [85], [97], [99], [105], [106] МКЭ применяется для моделирования электромагнитного поля в 2-Б средах. Используется как вариационная формулировка задачи, так и метод Бубнова- Галеркина. Решение для 2-Б задач в вариационной формулировке [108] находится из экстремума функционала, записываемого аналогично (В.1), где Е = 1ХЕХ, 1Х— единичный вектор. В [106] метод Бубнова- Галеркина применяется для решения уравнения для вторичного поля:

где Е3Х - х-компоненты первичного и вторичного поля, а' = а + iwe , а - проводимость, Дет'- аномальная комплексная проводимость, е- диэлектрическая проницаемость. Приведено уравнение только для случая Е- поляризации. Моделирование вторичного поля позволяет повысить точность расчетов на низких частотах (особенно важно для магнитной моды при расчетах со стандартной точностью представления вещественных чисел). В этой работе применяется прямоугольная неравномерная сетка, каждая ячейка которой делится, в свою очередь, двумя диагоналями на четыре треугольника. Данный способ триангуляции области моделирования позволил в [105] получить хорошие результаты для маг-

д_ ду

нитотеллурического поля в случае топографических неоднородностей с наклонными границами.

Задачи геоэлектрики необходимо решать в неограниченной области. Электромагнитное поле на бесконечности должно удовлетворять условиям излучения [18], [29]. Это требование достаточно для получения однозначного решения уравнений Максвелла. В случаях, когда граница внешней области имеет бесконечно удаленные точки, необходимо задавать парциальные условия излучения [50]. При решении многих задач используется принцип предельного поглощения [16], [50], [55], [59].

Проблема краевых условий для МКР и МКЭ является одной из наиболее важных. Во многих работах граница области моделирования берется досточно удаленной, что позволяет использовать в качестве краевых условий значения первичного поля, если моделируется полное поле [13], или нулевые значения, если моделируется вторичное поле [106]. Однако, это приводит к увеличению числа узлов сетки и, следовательно, к усложнению решения задачи. В однородном окружающем пространстве могут быть использованы граничные условия дифференциального типа, полученные в [46], [47]. Особенно остро проблема краевых условий стоит в непроводящей атмосфере, так как вторичное поле здесь затухает в наименьшей степени. Асимптотические краевые условия Дирихле для 2-Б среды в случае Е- поляризации получены в [71]. В более поздней работе [109] теми же авторами получены краевые условия дифференциального типа, содержащие производные первого порядка. В работах [13], [14], [116] формулируются обобщенные асимптотические краевые условия дифференциального типа, содержащие производные произвольного порядка, которые позволяют сократить размеры области моделирования до десятых долей эффективной длины волны. В то же время, в рамках итерационного подхода к решению СЛАУ, скорость сходимости при использовании таких краевых условий невысока. Предложенные в [71]

краевые условия используются в настоящей работе для моделирования магнитотеллурического поля (см. раздел 1.3.2).

При моделировании динамических и акустических полей в океане также требуется решать задачи в неограниченной области. В [2], [62], [80] задача в неограниченной области сводится к эквивалентной задаче в ограниченной области введением искуственной границы, на которой ставится точное нелокальное граничное условие, моделирующее условие излучения Зоммерфельда. Полученная краевая задача решается МКЭ или МКР, в результате необходимо решать плохо обусловленную систему уравнений. Эффективный прямой метод решения такой системы для области типа протяженного волновода развивается в [2], [62].

Матрицы решаемых систем имеют ленточный вид с большим числом закономерно расположенных внутри ленты нулевых элементов. При использовании регулярной схемы дискретизации области моделирования лента системы приобретает структуру с малым числом ненулевых диагоналей. В общем случае матрицы не симметричны, имеют диагональное преобладание.

Большинство авторов отдает предпочтение прямым методам решения систем в случае 2-D задач геоэлектрики как более эффективным, надежным и технологичным [6]. Итерационные методы решения систем, активно применявшиеся в ранних алгоритмах, имеют ряд достоинств: меньшие требования к объему оперативной памяти, возможность снижения вычислительных затрат путем улучшения начального приближения, возможность корректирования системы уравнений в процессе решения. В работе [6] при моделировании МКР сравнивались три метода: итерационный метод верхней релаксации (SOR), метод исключения Гаусса и метод блочной прогонки. Установлено, что прямые методы не уступают, а в задачах моделирования сложных геоэлектрических разрезов с числом узлов 3 — 5 • 103 превосходят метод SOR по быстродействию и позво-

ляют получить точное решение с большей надежностью. Для данного класса задач применялись также и другие итерационные методы: переменных направлений [10], с использованием алгоритмов сверхрелаксации [7], циклической редукции [69].

Получили развитие также методы, синтезирующие достоинства прямых и итерационных методов. Один из них основан на экономичном неполном треугольном разложении матрицы системы, ее трансформации к "квазиединичному" виду и решению полученной системы итерационными методами, в частности, сопряженных градиентов [7].

Итерационные методы эффективны при решении 3-D задач, в которых проявляются положительные качества итерационных методов- возможность хранения в процессе решения только ненулевых элементов матрицы и устойчивость к ошибкам округления. Для решения 2-D задач итерационные методы перспективны в сочетании с методом декомпозиции области моделирования.

В последнее время активно разрабатываются методы решения задач математической физики для ЭВМ с новыми типами архитектуры процессора. В [66] разработана параллельная схема решения эллиптических краевых задач МКЭ. Используется метод Галеркина для решения уравнений с несамосопряженным оператором. СЛАУ с несимметричной матрицей решается методом бисопряженных градиентов. Модификация метода SOR для решения эллиптических уравнений на векторных процессорах описана в [79]. Сходимость этого метода выше, чем у обычного.

Для многих краевых задач эффективным методом решения является метод декомпозиции. Метод декомпозиции основан на сведении исходной краевой задачи к краевым задачам в подобластях со специальным условием на линии (поверхности) разреза. В [1] рассматриваются два подхода: формулировка алгоритмов в терминах исходных "непрерывных" задач и формулировка для аппроксимаций исходных задач по МКЭ. Изложение

алгоритмов ведется применительно к некоторым задачам гидродинамики. Работа в значительной мере носит обзорный характер.

Метод декомпозиции типа Нейман- Дирихле с внутренними итерациями Ричардсона рассматривается в [8]. В [3] представлен метод декомпозиции решения СЛАУ, возникающей при решении МКЭ в 3-Б области. На неперекрывающихся подобластях решаются задачи Дирихле и Неймана. В [24], [32] рассматриваются задачи в подобластях со смешанными граничными условиями. Исследуется и обосновывается в [26] допускающий полное распараллеливание метод решения краевых задач с разделением на подобласти без перекрытия для уравнения Аи+ц2и = / , где А -положительный эллиптический оператор второго порядка, (I- большой параметр. Рассматривается случай цилиндрической области с липши-цевым сечением, на боковой поверхности задаются смешанные условия. Метод сходится со скоростью геометрической прогрессии. В [90] условия Дирихле определяются в результате релаксационной процедуры, указывается выбор релаксационных параметров, гарантирующих сходимость. В [82] также вводится релаксационная процедура для ускорения сходимости. Метод декомпозиции рассматривается в [86] для р и Ь-р версий МКЭ с криволинейными сегментами для эллиптического уравнения второго порядка. Вариант многосеточного метода декомпозиции дан в [19]. Применение многосеточного алгоритма Р.П.Федоренко и других в сочетании с методом декомпозиции изучается в [49]. Основные методы декомпозиции, используемые в связи с аппроксимацией спектральными методами, анализируются в [96].

Одним из методов декомпозиции области моделирования с перекрытием подобластей является альтернирующий метод Шварца. Данный метод разработан Шварцем и назван им "альтернирующим" в шестидесятых годах прошлого столетия для решения уравнения Лапласа в плоских областях [101]. Метод позволяет получить решение задачи Дирихле

для дифференциального уравнения эллиптического типа в области, являющейся объединением конечного числа областей, для которых решение задачи Дирихле уже известно [17]. В настоящее время имеются различные варианты метода Шварца, как в "непрерывной" формулировке, так и сеточные.

В [89] исследуется сходимость решения уравнения Пуассона в области, образованной пересечением двух сфер или двух дисков. Для решения уравнения Пуассона в прямоугольнике с нулевыми граничными условиями в [70] используются ортогональные кусочно- эрмитовые бикубические сплайны. Решение находится методом Шварца, для этого вся область делится на перекрывающиеся прямоугольники. Для анализа сходимости метода Шварца используется метод Фурье. В [25] итерационный процесс метода Шварца строится в пространстве Соболева для решения эллиптической краевой задачи второго порядка. Предлагается симметризи-руемый вариант метода Шварца.

Сходимость метода Шварца для произвольного числа подобластей рассматривается в [44], решения в подобластях циклически перебираются. В [42] сеточный аналог метода Шварца используется для решения эллиптических уравнений. При этом вся область разделяется на три пересекающихся подобласти, таким образом, что средняя подобласть содержит узкую область, где сильно меняется коэффициент к(х, у) при старшей производной. Проведены модельные расчеты для уравнения Пуассона с использованием МКР. Задача Дирихле в случае единичного квадрата, разрезаемого вертикальными разрезами на несколько многоугольников рассматривается в [84]. Анализируется сходимость метода Шварца с использованием спектрального метода. В [100] сравниваются скорости сходимости двух методов Шварца с внутренними итерациями типа Якоби или Гаусса- Зейделя на прямоугольнике с разрезами в одном направлении. Метод Шварца для случая более двух областей использу-

ется для минимизации билинейного функционала в [65]. Показывается, что для ряда задач наблюдается сходимость со скоростью геометрической прогрессии.

Для области сложной формы решение в [41] находится итерациями на последовательности вложенных сеток. В [73] оценивается погрешность и скорость сходимости метода Шварца для уравнения Пуассона в L- области, образованной двумя пересекающимися прямоугольниками, в которых решение ищется на сетках. В [114] также рассматривается решение уравнения Пуассона в L- области, только в прямоугольниках используется метод сплайн- коллокации. Исследуется скорость сходимости.

Имеются публикации посвященные разработке вариантов метода Шварца с использованием метода SOR в подобластях. В [91] описаны две параллельные процедуры метода Шварца, применяющие SOR метод для решения в перекрывающихся прямоугольниках. В [78] решение задач в подобластях предлагается осуществлять при помощи блочного метода SOR, параметр релаксации определяется численно.

Для сеточного аналога метода Шварца в [48] рассматривается вариант с чебышевским ускорением, даны оценки скорости сходимости. В методе Шварца Нейман- Неймана типа для 3-D эллиптических краевых задач в [77] рассматривания варианты включающие глобальные компоненты низкого ранга, получены границы для числа обусловленности итерационного оператора. Итерационный метод, аналогичный классическому методу Шварца в областях с налеганием, рассматривается в [4]. Исследуется скорость сходимости асинхронного варианта метода Шварца, рассматриваются схемы итерационного уточнения условия Дирихле на внутренней границе подобласти по дисбалансу потоков. В [58] метод Шварца используется при решении сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических уравнений. Для смешанного МКЭ в [74] исследуется сходимость метода Шварца при решении эллиптических задач

второго порядка.

В [17], [72] используется спектральные методы для решения методом Шварца эллиптических граничных задач в областях со сложной геометрией. В [115] рассматривается как вариант метода Шварца, так и случай непересекающихся областей. Спектральные методы (специальный случай метода коллокаций при разложении на многочлены Лежандра и Чебышева) сочетаются для решения 1-Б и 2-Б эллиптических краевых задач. В методе Шварца [67], [68] приближенное решение в одной части ищется МКЭ, в другой- спектральным методом. Основное внимание уделяется условиям согласования на границе этих двух подобластей. Рассматривается однородная задача Дирихле в прямоугольнике для уравнения Пуассона.

Повысить точность приближенного решения задач геоэлектрики можно не только путем повышения разрешения модели в рамках одного конкретного метода (размерности сеток, количества гармоник), но и применяя алгоритмы, которые сочетают лучшие свойства различных методов. Гибридные методы можно разделить на прямые и итерационные. В прямых гибридных методах решается совместная матрица СЛАУ. В итерационных гибридных методах неизвестные значения на границе области многократно уточняются. В одной из ранних работ [112] гибридный подход реализован с помощью аппарата функций Грина, который позволил исключить из рассмотрения области нормального разреза выше и ниже неоднородности. Гибридный метод используется в работе [87], где в области дискретизации для МКЭ формулируется вариационный интеграл, выводится система линейных уравнений. Затем, с помощью интегральных соотношений выводится вторая группа уравнений для рассеянного электромагнитного поля. Матрица комбинированной группы уравнений полная и ассиметричная. В [81] предложено усовершенствовать данную методику прямым совместным решением интегрального уравне-

ния и уравнения, используемого в МКЭ, которое выражает связь между значениями напряженности электрического поля на граничных и внутренних узлах сетки. В гибридной схеме [103] область неоднородности моделируется МКР, а поле во внешней области представляется линейной комбинацией решений задач для одномерных сред.

В работах [5], [61] предложено использовать метод Шварца применительно к 2-Б и 3-Б задачам геоэлектрики. Внешняя краевая задача решается с помощью интегральных преобразований. В случае 2-Б задачи используется однократное преобразование Фурье, а в случае 3-Б задачи- двукратное преобразование Фурье. Последовательное согласование условий внутренней и внешней краевых задач приводит к решению задачи во всем пространстве благодаря наличию общих пересекающихся областей. Данный метод может быть отнесен к группе гибридных методов, так как сочетает сеточный и спектрально- аналитический методы. В [61] приводится численный пример для случая Е- поляризации, для решения внутренней задачи используется МКР.

Решению задачи распространения электромагнитного поля гармонического дипольного источника в 2-Б проводящих структурах (2.5-Б задача) посвящены работы [88], [102], [104] и др. Преобразование Фурье в направлении простирания 2-Б неоднородности позволяет свести исходную пространственную задачу к набору 2-Б задач со спектральным параметром кх.

Задача на плоскости со спектральным параметром сформулирована в работе [102] в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно двух продольных компонент электрического и магнитного поля, которая решалась МКР. В [88] решение находилось МКЭ и основано на вариационном принципе, сформулированном для интеграла энергии электромагнитного поля. Решается уравнение вида (В.1) относительно трех неизвестных спектральных компонент электрического вектора вторично-

го поля. Так как ошибки, связанные, главным образом, с вычислением производных электрического поля были велики, то вторичное магнитное поле находилось интегрированием произведения тока АсгЕ на функцию Грина со спектральным параметром [88]. Система двух дифференциальных уравнений относительно двух продольных спектральных компонент вторичного поля поля в квазистационарном приближении решалась в [104] итерационным методом. Члены, содержащие разные продольные компоненты вторичного поля, переносились в противоположные части уравнения. На каждом шаге решалось уравнение вида (В.2) с новой правой частью. При численном решении применялся МКЭ в вариационной формулировке. Краевые условия задавались с помощью бесконечных КЭ. В [63] вместо приближенного обратного преобразования Фурье предлагается аналитически вычислять интеграл Фурье с использованием разложения Ланцоша.

В [43] решается 2.5-D задача МИУ для идеально проводящего цилиндра в слоистой среде. Проводится анализ вторичного поля для горизонтального электрического диполя на поверхности земли. В [9] рассматривается МИУ для решения 2.5-D задачи расчета поля произвольных источников в слоистой среде с произвольной 2-D неоднородностью. Исследуется система интегродифференциальных уравнений Фредгольма II рода относительно компонент электрического поля в пространстве (кх, г/, z).

Текст диссертации состоит из введения, трех основных разделов и заключения.

В разделе 1 рассматривается постановка 2.5-D задач. Параметры среды, геометрические характеристики модели и другие общие сведения даны в разделе 1.1. В разделе 1.2 для спектральной области решения (kx,y, z) получены в векторной форме записи система двух дифференциальных уравнений относительно продольных компонент вторичного поля и условия сопряжения на границах раздела сред. Векторная форма за-

писи позволяет компактно записать формулы, удобна для последующей алгоритмизации. Рассмотрен общий случай, когда проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют 2-Б распределение.

В разделе 1.3 показано, что метод решения может быть существенно упрощен для некоторых значений спектрального параметра кх . Сформулирована краевая задача относительно полного поля в случае плоского источника, к9 = 0. Описаны алгоритмы расчета компонент электромагнитного поля в плоскослоистой среде.

В разделе 1.4 рассматриваются вопросы единственности решения задач. Краевые условия, условия на бесконечности в случае неограниченного пространства связаны с единственностью решений этих задач. В разделе 1.4.1 при доказательстве теоремы единственности внутренней задачи в пространстве (кх,у, г) получены результаты, необходимые для последующего изложения. Находятся возможные типы краевых условий в пространстве (кх,у, г). На границе области получены выражения, имеющие вид спектрального аналога вектора Пойтинга. В разделе 1.4.2 исследуется единственность решения задач в пространстве (кХ) ку, г). В разделе 1.4.3 доказывается теорема единственности решения задачи в бесконечной (по координате г) полосе, содержащей плоскослоистую среду и 2-ТУ неоднородности. Формулируются парциальные условия излучения.

В разделе 2 рассматривается применение метода конечных элементов в численном решении 2.5-Б и 2-В задач. Выбор метода численного решения в пространстве (кхьу,г) определяется параметрами модели. Если окружающая среда создает значительные потери для распространения вторичного электромагнитного поля и 2-Б неоднородность имеет сложную структуру, например, состоит из нескольких тел, то приемлемым методом может быть МКЭ в ограниченной, но достаточно большой области.

Применение МКЭ в формулировке метода Бубнова- Галеркина изло-

жено в разделе 2.1. Здесь же формулируется обобщенное решение в ограниченной области, исследуются свойства билинейной и линейной форм (ограниченность и положительная определенность). Изложена методика применения КЭ с использованием билинейных базисных функций.

В разделе 2.2 излагается решение 2-Б задачи с использованием МКЭ. Уравнения для электромагнитного поля в пространстве (кх, у, г) при кх = 0 распадаются на два независимых уравнения второго порядка. Численное решение 2-ТУ задачи с источником в виде плоской вертикально падающей волны используется для моделирования магнитотеллурических полей. В [106] для моделирования МКЭ вторичных магнитотеллурических полей применяются треугольные элементы, образованные рассечением каждого прямоугольника сетки двумя диагоналями. Это позволяет применить операцию конденсирования (исключение центрального узла, который образовался от пересечения диагоналей) и алгоритмически просто аппроксимировать наклонные границы. Процедура конденсирования также называется в литературе методом суперэлементов, общие сведения о методе можно найти в [27]. Однако, при этом значительно возрастает объем вычислений, необходимых для расчета коэффициентов матрицы СЛАУ. В предлагаемом в разделе 2.2 методе используется триангуляция такого же типа, но только вдоль наклонных границ раздела сред, на однородных участках модели применяются прямоугольные КЭ. Это дает возможность получить время расчета практически такое же, как и при использовании только прямоугольных КЭ во всей области моделирования, но сохранить нужную точность решения задачи.

В разделе 2.3 представлены численные результаты решения 2.5-0 задач МКЭ для трех моделей. Для модели с простой геометрией (2-Б неоднородность в однородной среде) проводятся численные эксперименты по исследованию сходимости. Приведены результаты численного исследования сходимости решения на последовательности сеток (Ь- метод),

сходимости итерационного процесса решения СЛАУ в зависимости от кх. Зависимость спектральных компонент вторичного поля от кх иллюстрируется в расчетах с моделью 2-Б неоднородности в трехслойной среде. На горизонтальном и вертикальном профилях показаны компоненты полного поля, нормированные на первичное поле. Для третьей

модели (2-Б неоднородность в полупространстве) результаты моделирования представляет особый интерес, так как лля этой модели имеются

опубликованные данные масштабного физического моделирования и результаты моделирования МКЭ в вариационной формулировке [88].

В разделе 2.4 представлены результаты численного моделирования магнитотеллурического поля. Результаты, полученные на треугольных КЭ, прямоугольных КЭ, а также на их сочетании, сопоставляются с результатами полученными другими вариантами МКЭ, а также аналитическим методом и МКР. Результаты моделирования представлены для ряда 2-Т) геоэлектрических структур, в том числе топографических не-однородностей: возвышенности в форме трапеции и низменности цилиндрической формы.

В разделе 3 представлено решение 2.Ъ-Т> задачи с использованием гибридного метода. Предлагаемый гибридный метод отличается от МКЭ (раздел 2) методом численного решения задачи в пространстве (кх, у, г). Если условия задачи таковы, что окружающее плоскослоистое пространство не создает больших потерь для поля, содержит тонкие высокопрово-дящие слои или 2-Б включения имеют незначительный размер по высоте, то для решения задачи вместо МКЭ следует использовать разработанный гибридный метод.

В разделе 3.1 излагается алгоритм численного решения гибридным методом в пространстве (кх, у, г). Данный метод основан на декомпозиции области моделирования. В подобластях, содержащех 2-Т) неоднородности, решение находится МКЭ, а в остальных- с использованием

преобразования Фурье. Итерационный процесс согласования решений в подобластях приводит к решению задачи.

В разделе 3.2 рассматривается сходимость метода Шварца в "непрерывной" формулировке краевой задачи. Показано, что сходимость существенно зависит от параметров среды, геометрии модели и спектрального параметра кх . Получены аналитические выражения, описывающие процесс сходимости к точному решению для слоистой и однородной среды с заданным краевым условием. Для случая свободного пространства рас-считанны параметры сходимости. Это позволяет определить условия, в которых наблюдается сходимость (или расходимость) итерационного процесса, а также найти скорость этой сходимости. Рассмотрены краевые условия Дирихле, Неймана и третьего рода.

В разделе 3.3 представлен вариант метода декомпозиции без перекрытия (налегания) подобластей. Рассматриваются варианты задания краевых условий.

Численные результаты, полученные для модели 2-Б неоднородности в полупространстве методом Шварца и методом декомпозиции без перекрытия, сравниваются в разделе 3.4 с результатами полученными МКЭ в ограниченной области с меняющимся по г - координате размером области моделирования. Для данной модели имеются опубликованные данные масштабного физического моделирования [88] и математического моделирования [88]. Проведены расчеты методом Шварца для двух тонких 2-Б неоднородностей, расположенных в пятислойной среде на значительном расстоянии друг от друга. Представлены результаты в графической форме линий равного уровня в трех ваимно перпендикулярных плоскостях. Показаны результаты расчетов для дипольных источников электрического и магнитного типов различной ориентации, расположенных на поверхности земли.

Всюду используется система единиц СИ.

Результаты работы докладывались на всесоюзной конференции Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики (Новосибирск 1990), Российско- Японских семинарах Integral Equations in Problems of Mathematical Physics (Хабаровск 1992) и Differential Equations in Applied Mathematics (Хабаровск 1994), международной конференции по вычислительной математике (Bangkok 1997), конгрессе ИНПРИМ-98 (Новосибирск 1998), международной конференции Обратные задачи математической физики (Новосибирск 1998), Дальневосточной математической школе- семинаре в 1998г., конференции ХГПУ (Хабаровск 1998), семинаре НИИ КТ ХГТУ (Хабаровск 1998), семинаре ХГТУ (Хабаровск 1998), конференциях молодых ученых и специалистов ВЦ ДВО РАН, семинаре ВЦ ДВО РАН.

Основные положения диссертации опубликованы в работах [33]- [40],

[94].

1 2.5-Б ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

В настоящем разделе рассматриваются вопросы математического моделирования З-Б электромагнитного поля в 2-Б средах. Разделы 1.1- 1.3 содержат необходимые сведения для всего последующего изложения.

В разделе 1.1 описываются параметры модели. В разделе 1.2 получены системы двух дифференциальных уравнений относительно продольных компонент вторичного поля и условия сопряжения на границах раздела сред для спектральной области решения в пространствах (кх,у,г) и (кх, ку, г) в векторной форме записи. В разделе 1.3 рассматриваются алгоритмы решения задач в частных случаях спектрального параметра кх , типа источника и структуры среды. В разделе 1.4 исследуется единственность решений задач, сформулированных в разделе 1.2.

1.1 Описание параметров модели

Рассмотрим задачу в Д3 отыскания электромагнитного поля гармонического источника в неоднородной изотропной линейной среде (см. рис. 1.1).

Параметры среды распределены в Л3 следующим образом:

Ре А,,

(1-1)

С7?, , Р<ЕД3\Дь

где Р = (х,у,г), а - электрическая проводимость ( <7 = 1/р, р- удельное электрическое сопротивление); е , ¡1 - диэлектрическая и магнитная проницаемости; а > 0, е > 0, ¡1 > 0 (в специально оговоренных случаях

0 е»

Jcт тот

е

»г

х У

е*

За

а*

а*

1

Рис. 1.1. 2-Б включение в плоскослоистой среде.

<7 = 0 при я < 0); с*, е®, //* - кусочно непрерывные функции переменных у и г) сгр, £р, /хр- кусочно постоянные функции переменной г с разрывами при г — г* , & = 0,1,..., ЛГ0 — 2, Ло - число слоев; Д) -цилиндрическая область, Д) = {(^,2/, г) € Я3 : (з/, г) £ 5о, — оо < х < +оо}, 5о - плоская односвязная или конечносвязная область с кусочно-гладкой границей.

Источниками электромагнитного поля являются сторонние электрический и магнитный токи с плотностями 3°т, , зависящие, в общем случае, от трех координат: Л^) 6 ^ , ^ = {(ж, у, г) 6 Л3 : (у,г) £ 5о,—оо < х < +оо} , П 5о = 0. С практической точки зрения, наибольший интерес представляют электромагнитные поля точечных источников- электрического или магнитного диполей.

1.2 Уравнения электромагнитного поля

В разделе 1.2.1 формулируются в В? задачи для полного, первичного и вторичного полей. В разделе 1.2.2 представлены системы двух уравнений относительно продольных компонент поля, условия сопряжения на

границе раздела сред и выражения для поперечных компонент поля в пространствах (кх, у, г) и (кх, ку, г).

1.2.1 Уравнения Максвелла для первичного и вторичного

Векторы напряженности электрического Е и магнитного Н полей удовлетворяют уравнениям Максвелла в комплексной форме:

где Е = (Ех, Еу, Ея), Н = (#ж, #у, Нг), ЕхМ,НхМ - комплекснознач-ные компоненты векторов поля; е = е + ъа /ш - комплексная диэлектрическая проницаемость, зависимость от времени принята в виде ехр(—%шЬ); 5& -поверхность раздела сред с различными значениями материальных параметров.

На границах раздела сред тангенциальные составляющие поля удовлетворяют условиям сопряжения [29]:

где п -вектор нормали к поверхности Бь, квадратные скобки обозначают величину скачка при переходе через .

При решении задач в неограниченных областях необходимы условия на бесконечности. В случаях, когда граница внешней области имеет бесконечно удаленные точки, условия на бесконечности типа условия излучения Зоммерфельда [55] не всегда определяют класс функций, в котором исходная задача разрешима единственным образом. В рассматриваемых нами слоистых средах с цилиндрическими включениями, когда границы раздела сред уходят в бесконечность, следует использовать условия излучения специального вида, которые учитывают специфику задачи. Условия излучения рассматриваются в разделе 1.4.

полей

гоШ = -1шёЕ + 3°т, гоЬ Е = гшц Н - Р £

(1.2)

[п х Е] = 0, [п х Н] = 0, Ре 5*,

(1.3)

Задача 1.1а. В R3 найти Е, Н, удовлетворяющие уравнениям (1.2), условиям сопряжения (1.3) и условию излучения на бесконечности.

Полное поле представимо следующим образом:

Е = ЕР + Е5, Н = НР + Н% (1.4)

где W, Нр - первичное поле заданных источников JgT, J^ в плоскослоистой среде; ES,HS - вторичное поле.

Первичное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла с парамерами среды плоскослоистого окружения:

' rotW = -to/e'EP + Jf, rotW = iw^W-J^, z£zk,

где ёр = ep + i(jp/ш, Zk- границы слоев. Условия сопряжения для первичного поля записываются в виде:

[пхЕр] = 0, [п х Нр] = 0, ^ = zk. (1.6)

Сформулируем задачу для первичного поля.

Задача 1.1b. В R3 найти Е^НР, удовлетворяющие уравнениям (1.5), условиям сопряжения (1.6) и условию излучения на бесконечности.

Решение задачи 1.1b отыскания первичного поля в 1-D слоистой среде является более простой по сравнению с задачей 1.1а, ее решение считается известным и в настоящей работе не рассматривается.

Вычитая уравнения (1.5) из (1.2) получаем уравнения для вторичного поля:

rotW = +

rot Es = шцП3 - Гт, P ф Sb,

где

j; = _ ¿P) EP? J^ = _ HP (L8)

- источники вторичного поля. Подставляя (1.4) в (1.3) и учитывая (1.6) получаем условия сопряжения для вторичного поля:

[п х Е*] = 0, [п х В3] = 0, Ре (1.9)

Сформулируем задачу для вторичного поля.

Задача 1.1. В Я? найти Еа, Н5, удовлетворяющие уравнениям (1.7), условиям сопряжения (1.9) и условию излучения на бесконечности.

Если решения задачи 1.1Ь и задачи 1.1 единственны, то решение задачи 1.1а, согласно (1.4), будет также единственно. Единственность решения задачи 1.1Ь сформулированной для фундаментального решения с использованием интегральных преобразований (косинус- преобразование Фурье) показана в [11]. Единственность решения задачи 1.1 исследуется в разделе 1.4. Предполагается, что решения всех рассматриваемых в данной работе задач существуют.

В настоящей работе приближенные решения задач находятся с использованием МКЭ, что предполагает их решение в ограниченной области. Вторичное поле убывает с удалением от 2-В неоднородности. Сформулируем две задачи для вторичного поля: в параллелепипеде ^ ив бесконечной цилиндрической области Дз , где

03 = {{х,у,г)еН?: (у, г) <Е 53) \х\ < Ьх} , ¿?2 = {(</,*)€ Я2: \у\<

53 = {(у, г) е Я2 : \у\ < Ьу, -оо < г < +оо} - бесконечная полоса.

Задача 1.2. В 1>2 найти Е5,Н6, удовлетворяющие уравнениям (1.7), условиям сопряжения (1.9) и однородным краевым условиям на границе ¿Шг.

Задача 1.3. В £)з найти Ев,Н5, удовлетворяющие уравнениям (1.7), условиям сопряжения (1.9), однородным краевым условиям при х = ±Ьх,у = и условию излучения при —> оо .

Единственность решений задач 1.2-1.3, условия излучения задачи 1.3 рассматриваются в разделе 1.4.3. Приближенные решения задач 1.2-1.3 рассматриваются в разделах 2 и 3 соответственно.

1.2.2 Уравнения электромагнитного поля в пространствах

у, г) и (кх,ку,г)

Компоненты электромагнитного поля Е5,Н3 непрерывны в х направлении (это следует из того, что в данном направлении параметры среды не меняются). Рассматриваем случай, когда сторонние источники имеют конечную мощность Е 1/2 (Д5), тогда Ев,Н" € 1*2 (#3) •

Из (1.8) видно, что источники вторичного поля локализованы в области Дэ и имеют 3-Б структуру. С другой стороны, параметры среды заданы 2-Б моделью и не зависят от координаты х . Применим к системе (1.7) преобразование Фурье

В результате получаем систему уравнений в пространстве (кх, у, г):

(1.10)

(1.11)

- ъкхЩ = -{шё Ц + >ч гкхЩ - = —гшё Щ + «7*

- ъкхЁ% = гш11 Щ - >ту гкЛ - 1Ё1 = Щ - >тг

Х-^у

'5

у ' иеу1

(1.17)

(1.15)

(1.16)

(1.14)

(1.13)

(1.12)

Из уравнений (1.13), (1.17) можно получить выражения для Ё*, Щ , завиЛ Л

сящие от первых производных продольных компонент Е*, Щ , а из уравнений (1.14), (1.16) - для Щ . Подставляя эти выражения в уравнения (1.12), (1.15) получаем систему двух дифференциальных уравнений вто-

А /ч

poro порядка относительно Ех, Щ :

д I дн:\ д ( дщ\ д ( дЕ'Л д ( дЁ'Л ylhT) ~ ду Г аГ; d¡

X

dy\dy) dz \ dz I dy \ dz

- + -Щ- + —Эг---ЩГ + ~дГ~' (1Д9)

где

V и 1кх

к\ — к2 — к2, к2 = —гш, у = —ги>£, и — —шц.

Для полного поля такая система была получена в [102]. Аналогичные уравнения для магнитооднородной среды опубликованы в [11]. В векторной форме записи система уравнений (1.18)- (1.19) имеет вид:

(1.20)

где

Ь а = V • (XV а) + V' • (рКУ а) + В а, (1.21)

(1.22)

а =(аьа2)т = (^,Я|)Т, Г=(/ъ/2)Т;

( Р

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Пересветов, Владимир Викторович

Заключение

Рассмотренные методы решения 2.5-Б и 2-Т> задач связаны между собой и дополняют друг друга. Если затухание электромагнитного поля в окружающей среде велико, целесообразно использовать метод конечных элементов в ограниченной области (см. раздел 2). В случае слабого затухания, а также, когда вертикальные размеры двумерных неодно-родностей малы, следует использовать метод декомпозиции области без перекрытия или альтернирующий метод Шварца (см. раздел 3). Алгоритмы приближенного решения МКЭ 2-Б задачи с плоским источником (см. разделы 1.3.2, 2.2) используются для. моделирования магнитотеллу-рического поля.

Многие рассмотренные численные примеры позволяют провести сравнение результатов моделирования с результатами, которые получены другими методами: аналитическим (см. разделы 2.4.1, 2.4.2), МКР (см. разделы 2.4.1, 2.4.3), МКЭ с различным типом КЭ (см. разделы 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3), физического масштабного моделирования (см. разделы 2.3.4, 3.4.1). Кроме этого, в разделе 3.4.1 результаты моделирования полученные методом Шварца и методом декомпозиции без перекрытия сравниваются с результатами, полученными МКЭ в области с меняющимся размером.

Кроме идеализированных моделей среды, которые удобны для численного исследования процесса приближения к точному решению (сходимость решения проверяется в разделах 2.3.1, 2.3.2, 3.4.1; точность расчетов сравнивается с аналитическим решением разделах 2.4.1, 2.4.2), использовались также модели, представляющие интерес для практики. Это расчеты для 2-В прямоугольного включения в полупространстве (см. разделы 2.3.4, 3.4.1), 2-ГЗ прямоугольного включения в трехслойной среде (см. раздел 2.3.3), двух тонких 2-Б неоднородностей, расположенных в пятисложной среде на значительном расстоянии друг от друга (см. раздел 3.4.2) и модели топографической неоднородности с наклонными границами трапециевидной формы (см. раздел 2.4.3).

Основными результатами диссертации являются следующие.

1. Проведено исследование системы двух дифференциальных уравнений второго порядка со спектральным параметром относительно продольных компонент вторичного поля, исследована единственность решения задач в неограниченных областях.

2. Разработаны алгоритмы приближенного решения 2.5-В задачи с использованием метода конечных элементов. При решении задачи на плоскости для системы двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно продольных спектральных, компонент вторичного поля применяется метод Бубнова- Галеркина.

3. Разработаны алгоритмы численного решения 2.5-Б задачи с использованием метода декомпозиции области моделирования, в котором применяется метод конечных элементов в сочетании со спектральным методом в слоистых с средах, и полупространствах.

4. Проведено математическое моделирование электромагнитных полей для моделей имеющих, практическое значение в геофизических исследованиях.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. С. И. Смагину за внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пересветов, Владимир Викторович, 1998 год

Список литературы

[1] Агошков В.И. Методы разделения области в задачах математической физики. // Вычислительные процессы и системы. М.:Наука. 1991, N 8. С. 3-51.

[2] Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Эффективный численный метод определения волновых полей в неограниченных областях. // Докл. АН. 1996, т. 350, N 5. С. 595-599.

[3] Астраханцев Г.П. Метод декомпозиции решения эллиптических задач в трехмерной области. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1996. т.36, N 10. С.87-96.

[4] Вабищевич U.E. Итерационные методы декомпозиции областей с налеганием для эллиптических краевых задач. // Дифференц. уравнения. 1990, т.26, N 7. С.1197-1207.

[5] Ванъян Л.П., Дебабов Ф.С., Юдин М.Н. Интерпретация данных магнитотеллу-рических зондирований неоднородных сред. М.: Недра, 1984. -197с.

[6] Варенцов И.М., Голубев Н.Г. Прямые и итерационные методы решения линейных систем в двумерных зада,чах моделирования электромагнитных полей. // Математические методы в геоэлектрике. М.: ИЗМИР АН, 1981. С. 27-42.

[7] Варенцов И.М. Применение комбинированного метода для решения разностных систем в задачах моделирования двумерных электромагнитных полей. // Электромагнитные зондирования Земли. М.: ИЗМИР АН, 1985. С. 29-49.

[8] Василевский Ю.В. Метод декомпозиции области с приближенным решением подзадач. // Численные методы и программное обеспечение. М. 1990. С. 23-29.

[9] Давыдычева С.Н. Интегральное уравнение в квазитрехмерной задаче расчета электромагнитного поля в проводящих неоднородных средах. // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М. 1990. С. 186-192.

[10] Дмитриев В.И., Барашков И.С., Мерщикова H.A. Математическое моделирование магнитотеллурических полей в неоднородных средах. М.: МГУ, 1985. -88с.

[И] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: МГУ, 1987.-167с.

[12] Дробница В. В. Электромагнитное поле плоской волны в средах с криволинейными границами (Б- поляризация). // Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1972. -32с.

[13] Жданов М.С., Варенцов И.М., Голубев Н.Г. Спичак В.В. Проблемы совершенствования конечно- разностных методов моделирования электромагнитных аномалий. // Математические методы в геоэлектрике. М.: ИЗМИР АН, 1981. С. 5-26.

[14] Жданов М.С., Спичак В.В. Математическое моделирование электромагнитных полей в трехмерно- неоднородных средах. М.: Наука, 1992. -188с.

[15] Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986. -318с.

[16] Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высш. Школа, 1991.-224с.

[17] Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. JI.: Физматгиз, 1962. -708с.

[18] Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. -311с.

[19] Коньшин И.Н. Оптимизация многосеточных методов декомпозиции области. // Численные методы и программное обеспечение. М. 1990. С. 73-94.

[20] Мазалов В.Н., Смагин С.И. Электромагнитное поле точечного источника в горизонтально- слоистой среде. // Сообщения по прикладной математике: модели и уравнения. М.: ВЦ АН СССР. 1980. С.25-30.

[21] Мазалов В.Н., Смагин С.И. Численное решение трехмерной задачи дифракции электромагнитных волн на включении в слоистой среде. Препринт. // Владивосток: ДВО АН СССР. 1991. -59с.

[22] Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно- сеточные методы. М.: Наука. 1981,-416с.

[23] Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. -584с.

[24] Матвеева Э.И., Пальцев Б.В. О разделении области при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1973. т.13, N б. С.1441-1452.

[25] Мацокин A.M., Непомнящих C.B. Метод альтернирования Шварца в подпространстве. // Известия Вузов. Математика. 1985, N 10. С.61-66.

[26] Меллер H.A., Пальцев Б.В., Чечелъ И.И. О быстро сходящемся итерационном методе с разделением на подобласти решения краевых задач для эллиптического с параметром уравнения второго порядка. //Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1996. т.36, N 10. С.26-45.

[27] Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук. Думка. 1989, -269с.

[28] Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука. 1991, -336с.

[29] Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. -544с.

[30] Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981. -304с.

[31] Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир. 1977. -384с.

[32] Осмоловский В.Г., Ривкинд В.Я. О методе разделении области для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. //Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1981. т.21, N 1. С.35-39.

[33] Пересветов В.В. Математическое моделирование методом конечных элементов магнитотеллурических полей в двумерных средах с криволинейными границами. Препринт. // Владивосток: ДВО АН СССР, 1990, -33с.

[34] Пересветов В.В. Применение метода конечных элементов для численного моделирования магнитотеллурических полей в двумерно- неоднородных средах с учетом рельефа земной поверхности. // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1990, С.122.

[35] Пересветов В.В. Математическое моделирование электромагнитного поля ди-польного гармонического источника в двумерно- неоднородной среде. // Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 1996. Деп. ВИНИТИ, N 3131-В96. -38 с.

[36] Пересветов B.B. Численное моделирование электромагнитных полей с использованием метода Шварца. // Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 1996. Деп. ВИНИТИ, N 3641-В96. -24с.

[37] Пересветов В.В. Применение метода декомпозиции в численном решении 2.5-D задачи моделирования электромагнитных полей. // Материалы конференции ХГПУ. Хабаровск. 1998, С.40-44.

[38] Пересветов В.В., Смагин С.И. О численном решении 2.5-D задач моделирования электромагнитных полей. // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, часть IL- Новосибирск: йзд-во Института математики, 1998, С.22-23.

[39] Пересветов В.В., Смагин С.И. О моделировании трехмерных электромагнитных полей в двумерно- неоднородных средах. // Международная конференция "Обратные задачи математической физики". Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1998, С.53-54.

[40] Пересветов В.В. Численное решение 2.5-D задач моделирования электромагнитных полей с использованием метода декомпозиции. // Дальневосточная математическая школа- семинар. Сборник тезисов. Владивосток: ИПМ ДВО РАИ, 1998, С.66.

[41] Петренко И.И., Пуртов С.ВФедосеев А.И. Решение больших задач МКЭ многосеточным методом в областях сложной формы. // Вычисл. мех. деформ. тверд, тела. 1990, N 1. С.75-108.

[42] Польский B.C. Об одном методе решения эллиптических разностных уравнений. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1981. т.21, N 1. С.29-34.

[43] Приходько JI.JI. Численное исследование аномального квазитрехмерного электромагнитного поля над проводящим цилиндром в слоистой среде. // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М. 1990. С. 153-162.

[44] Рачков A.B. О сходимости метода Шварца для произвольного числа подобластей. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1995. т.35, N 2. С.260-270.

[45] Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы.- М.: Наука, 1989, -432с.

[46] Самохин A.B., Цветков C.B. Об использовании приближенного граничного условия для решения задач возбуждения и дифракции волн в неоднородных средах методом сеток. // Изв. Вузов. Радиофизика. 1977, т. 20, N 7. С.1063.

[47] Самохин А.Б., Цветков С. В. Метод ограничения области в трехмерных задачах дифракции. // Распространение и дифракция волн в неоднородных средах. М.: МФТИ, 1989, С.30-35.

[48] Сандер С. А, Чебышевское ускорение альтернирующего процесса Шварца. //Ж. выч. мат. и мат. физ. 1990. т.ЗО, N 3. С.430-437.

[49] Сандер С.А. Многосеточный алгоритм декомпозиции. // Моделир. в мех. 1991. т.5(22), N 1. С.102-112.

[50] Свешников А.Г. Принцип излучения. // Докл. АН СССР. 1950, т.73, N 5. С.917-920.

[51] Смагин С. И. Об одном численном алгоритме расчета полей в слоистых средах. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1986. т.26, N 8. С.1234-1242.

[52] Смагин С. И. Интегральные уравнения задач дифракции. // Владивосток: Даль-наука. 1995. -203с.

[53] Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.

[54] Ст,ренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977. -352с.

[55] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972,-736с.

[56] Уэйт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм. М.: Недра, 1987. -235с.

[57] Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.-288с.

[58] Шишкин Г.И., Целищева И.В. Параллельные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических уравнений. // Математич. моделир. 1996. т.8, N 3. С.111-127.

[59] Эйдус Д.М. Принцип предельной амплитуды. // Успехи мат. наук. 1969. т.24, в.З. С.91-156.

[60] Электроразведка: Справочник геофизика. Книга первая. М.: Недра. 1989. -438с.

[61] Юдин М.Н. Альтернирующий метод численного решения прямых задач геоэлектрики. // Математические методы в геоэлектрике. М.: ИЗМИР АН, 1981. С. 4752.

[62] Alekseev G.V., Komarov E.G. Efficient numerical method of determination of wave fields in unbounded domains. //J. Inv. 111. Posed Problems. 1996, No.4.

[63] Allers A., Sezginer A., Druskin V.L. Solution of 2.5- dimensional problems using the Lanczos decomposition. // Radio Sci. 1994. v.29, No.4. P.955-963.

[64] Alumbaugh David L., Newman Gregory A. Fast frequency- domain electromagnetic modeling of 3-D eath using finite differences. // SEG Int. Expo, and 64th Aunn. Meet., Los Angeles. Oct.23-28, 1994: Expand. Abstr. Tulsa (Ocla). 1994. P.369-370.

[65] Badea Lori. On the Schwarz alternating method with more then two subdomains for nonlinear monotone problems. // SIAM J. Numer. Anal. 1991. v.28, No.l. P.179-204.

[66] Barragy E., Carey Graham F. A parallel element- by- element solution scheme. // Int. J. Number. Meth. Eng. 1988. v.26, No.ll. P.2367-2382.

[67] Bernardi Christine. Coupling spectral methods with finite element approximation for partial differential equations. // IMACS Ann. Comput. and Appl. Math. 1989, v.l, No.1-4, Pt.2. p.543-547.

[68] Bernardi Christine, Debit Naima, Maday Yvon. Coupling finite element and spectral methods: first results. 11 Math. Comput. 1990, v.54, No.189, p.21-39.

[69] Bezvoda V., Segeth K. An application of fast algorithms to numerical electromagnetic modeling. // Geophys. Ppospect. 1987. v.35, No.3. P.312-322.

[70] Bialecki Bernard, Scott Dillery D. Fourier analysis of Schwarz alternating methods for piecewise Hermite bicubic orthogonal spline collocation. // BIT (Dan). 1993. v.33, No.4. P.634-646.

[71] Brevitt- Taylor C.R., Weaver J. T. On the finite difference solution of two- dimensional induction problems. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1976. v.47. P.375-396.

[72] Canuto C., Funaro D. The Schwarz algorithm for spectral methods. // SIAM J. sci. and statist. Comput. 1988. v.25, No.l. P.24-40.

[73] Cad Zhiqiang, Guo Benju. Error estimates for a Schwarz alternating procedure on L-shaped region. // Appl. Math, and Comput. 1988. v.28, No.l. P.39-46.

[74] Chen Zhangxin, Ewing Richard E., Lazarov Raytcho. Domain decomposition algorithms for mixed methods for second- order elliptic problems. // Math. Comput. 1996, v.65, No.214, p.467-490.

[75] Choutean M., Bouchard К. Two- dimensional terrain correction in magnetotelluric surveys. // Geophysics. 1988. v.53, No.6. P.854-862.

[76] Coggon J.H. Electromagnetic and electrical modeling by the finite element method. // Geophysics. 1971. v.36, P.131-155.

[77] Dryja Maksyrriilian, Widlund Olof B. Schwarz method of Neumann- Neumann type of three- dimensional elliptic finite- element problems. // Commun. Pure and Appl. Math. 1995. v.48, No.2 P.121-155.

[78] Ehrlich bonis W. The numerical Schwarz alternating procedure and SOR. // SIAM J. sci. and statist. Comput. 1986. v.7, No.3. P.989-993.

[79] Gentzsch W. A fully vectorizable SOR variant. // Parallel Comput. 1987. v.4, No.3. P.349-353.

[80] Goldstein C.I. // Math. Сотр. 1982. v.39. P. 309- 324.

[81] Gupta P.K., Bennot L.A., Raiche A.P. Hybrid calculations of the three-dimensional electromagnetic response of burled conductors. // Geophysics. 1987. v. 52, No. 3. P. 301-306.

[82] Han Weimin. A note on a relaxation Schwarz alternating method. //J. Comput. and Appl. Math. 1991. v.34, No.l. P.125-130.

[83] Hohman G.W. Three- dimensional EM modelling. // Geophys. Surveys. 1983. v. 6, P. 27-54.

[84] Kang Li-Shan. Parallel algorithms and domain decomposition. // Lect. Notes Math. 1987. v.1297. P.61-75.

[85] Kisak E., Silvester P. A finite element method program package for magnetotelluric modelling. // Comput. Phys. Commun. 1975. v.10. P.421-433.

[86] Komeev V.G., Ivanov S.A. Preconditioning in the domain decomposition methods for the p- version with the hierarchical bases. // Математич. моделир. 1996. т.8, N 9. С.63-73. - Англ. яз.

[87] Lee К.Н., Pridmore D.F., Morrison H.F. A hybrid three- dimensional electromagnetic modelling scheme. // Geophysics. 1981. v. 46, No. 5. P. 796-805.

[88] Lee K.H., Morrison H.F. A numerical solution for the electromagnetic scattering by a two- dimensional inhomogeneity. // Geophysics. 1985. v. 50, No. 3. P. 466-472.

[89] Liu Yu-Hui, Kang Li-Shan, Evans D.J. The convergence rate of the Schwarz alternating procedure using (VII): for the sums of two disks and two spheres. // Int. J. Comput. Math. 1989. v.27, No.l. P.55-65.

[90] Marini L.D., Quarteroni A. A relaxation procedure for domain decomposition methods using finite elements. // Numer. Math. 1989. v.55, No.5. P.575-598.

[91] Meier U. Two parallel SOR variants of the Schwarz alternating procedure. // Parallel Comput. 1986. v.3, No.3. P.205-215.

[92] Ngoc P. V. Magnetotelluric survey of the Mount Meager region of the Sguamish Valley (British Columbia): Geomagnetic Serriece of Canada, Eath Physics Branch of the Deph of Energy, Mines and Resources Canada. OF Rep. 80-8-E. 1980.

[93] Pascoe L.J., Jones F.W. Boundary conditions and calculation of surface values for the general two- dimensional electromagnetic induction problem. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1972. v.27. P. 179-193.

[94] Peresvetov V.V., Smagin S.I. Hybrid technique for modelling of electromagnetic fields to dipole source in two- dimensional structure. // International conference on computational mathematics, December 8- 10. Thailand, Bangkok. 1997.

[95] Pridmore D.F., Hohmann G.W., Ward S.H., Sill W.R. An investigation of finite-element modelling for electrical and electromagnetic data in three dimensions. // Geophysics. 1981. v. 46, No. 7. P.1009-1024.

[96] Quarteroni A. Domain decomposition techniques using spectral methods. // Calcolo. 1987. v.24, No 2. P.144-177.

[97] Reddy I.K., Rankin D. Magnetotelluric response of two- dimensional slopping contact by finite element method. // Pure appl. Geophys. 1973. v.105. P.847-857.

[98] Reddy I.K., Rankin D., Phillips R.J. Three- dimensional modelling in magnetotelluric and magnetic variational sounding. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1977. v.51., No.2. P.313-325.

[99] Rodi W.L. Theinique for improving the accuracy of finite element solutions for magnetotelluric data. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1976. v.44. P.484-506.

[100] Rodrigue G., Kang Li-Shan, Liu Yu-Hui. Convergence and comparison analysis of some numerical Schwarz methods. // Numer. Math. 1989. v.56, No.2-3. P.123-138.

[101] Schwars H.A. Uber einige Abbildungsaufgaben, Ges. Math. Abh. II. 1869. P. 65-83.

[102] Stoyer C.H., Greenfield Roy J. Numerical solutions of the response of a two-dimensional earth to an oscillating magnetic dipole source. // Geophysics. 1976. v. 41, No. 3. P. 519-530.

[103] Tarlowski C.Z., Raiche A.P., Nahighian M. The use of summary representation for electromagnetic modeling. // Geophysics. 1984. v. 49, No. 9. P. 1506-1516.

[104] Unsworth M.J., Travis B.J., Chave A.D. Electromagnetic induction by a finite electric dipole source over a 2-D earth. // Geophysics. 1993. v. 58, No. 2. P. 198-214.

[105] Wannamaker Ph.E., Stodt J.A., Rijo L. Two- dimensional topographic responses in magnetotellurics modeled using finite elements. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1986. v.51. P.2131-2144.

[106] Wannamaker Ph.E., Stodt J.A., Rijo L. A stable finite element solution for two-dimensional magnetotelluric modelling. // Geophys. J. Roy. Astron. Soc. 1987, v.88, No.l, p.277-296.

[107] Ward S.H. Electromagnetic theory for geophysical applications, in Mining geophysics,II. // Soc. Explor. Geophys. 1967. P.13-196.

[108] Ward S.H., Peeples W.J., Ryu J. Analysis of geoelectromagnetic data. // Meth. Comp. Phys., 1973, v.13, p.163-238.

[109] Weaver J.T., Brevitt- Taylor C.R. Improved boundary conditions to the numerical solution of E- polarization problems in geomagnetic induction. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1978. v.54. P.309-317.

[110] Weaver J.T., Le Quang B.V., Fisher G. A comparison of analytic and numerical results for a two- dimensional control model in electromagnetic induction- I. B-polarization calculations. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1985. v.82. P.263-277.

[111] Weaver J.T., Le Quang B.V., Fisher G. A comparison of analytic and numerical results for a two- dimensional control model in electromagnetic induction- II. E-polarization calculations. // Geophys. J. R. astr. Soc. 1986. v.87. P.917-948.

[112] Weidelt P. Electromagnetic induction in three- dimensional structures. //J. Geophys. 1975. v.42, N 1. P.85-109.

[113] Xie Ganquan, Lee K.H., Li Jianh.ua. A new parallel 3-D numerical modeling of the electromagnetic fields. // SEG'95: Expand. Abstr. SEG Int. Expo, and 65th Aunn. Meet., Houston. Tex. Oct.8-13, Tulsa (Ocla). 1995. P.821-823.

[114] Yanik E.G. A Schwarz alternating procedure using spline collocation methods. // Int. J. Number. Meth. Eng. 1989. v.28, No.3. P.621-627.

[115] Zanolli P. Domain decomposition algorithms for spectral methods. // Calcolo. 1987. v.24, No 3-4. P.201-240.

[116] Zhdanov M.S., Golubev N.G., Spichak V.V., Varentsov V.M. The investigation of effective methods for electromagnetic modelling. // Geophys. J. R,. astr. Soc. 1982. v.68. P.589-607.