Моделирование гидродинамических процессов в мелководных водоемах на оптимальных криволинейных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Васильев, Владислав Сергеевич

• Васильев, Владислав Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васильев, Владислав Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕЛКОВОДНОГО ВОДОЕМА

§1. Вывод уравнений гидродинамической модели

§2. Уравнение баланса аналога полной механической энергии..Л8

§3. Другие гидродинамические модели мелководного водоема----22

§4. Дискретизация гидродинамической модели

§5. Конечно-элементная аппроксимация слагаемых схемы

§6. Постановка граничных условий и решение уравнения для

возвышения уровня

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТОК ИЗ ВЫПУКЛЫХ

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

§7. Вспомогательные соотношения

§8. Семейства функционалов

§9. Квазиньютоновские методы

§10. Градиентные методы наискорейшего спуска и сопряженных

направлений

ГЛАВА III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕТРОВЫХ ТЕЧЕНИИ В АЗОВСКОМ МОРЕ И

ТАГАНРОГСКОМ ЗАЛИВЕ

§11. Построение сетки и диджитайзинг дна

§12. Моделирование ветровых течений

ГЛАВА IV. (ЩЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИИ

§13. Теорема сравнения

§14. Постановка задачи

§15. Локально-двумерная схема

§16. Оценки скорости сходимости

§17. Анализ других локально-двумерных схем

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование гидродинамических процессов в мелководных водоемах на оптимальных криволинейных сетках»

_ 3 -ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации. Большинство внутренних водоемов России и многие прибрежные районы морей являются мелководными водоемами, для которых отношение характерных размеров в горизонтальных направлениях составляет 10* и более. Но именно эти водные экосистемы испытывают наибольшую антропогенную нагрузку, связанную со строительством портов, прокладкой судоходных каналов, а также с различного рода загрязнениями. Многие из этих экосистем являются уникальными и весьма "хрупкими" (такие как Таганрогский залив и Азовское море в целом, северный Каспий и др.).

Поскольку крупномасштабные натурные эксперименты здесь являются не только чрезвычайно дорогостоящими, но в большинстве случаев недопустимы, то единственно возможным средством анализа и прогноза водных экосистем является математическое моделирование СИ.

Среди задач водной экологии первичными являются расчеты гидрофизических параметров. Гидродинамические характеристики водоемов (поля скоростей водного потока, функции возвышения уровня) являются входными данными для расчета распространения загрязняющих веществ и развития всего живого в водной среде, начиная от фитопланктона и заканчивая млекопитающими.

Для выявления общих свойств сложных пространственных течений можно использовать численные методы [23. Но нельзя получить осмысленное решение физической задачи, связанное с нахождением полей параметров течения, если граничные условия не заданы адекватным образом. Уравнения Навье-Стокса и неразрывности представляют собой дифференциальные уравнения, описывающие удивительно широкий класс разнообразных течений, которые при изменении условий на границе могут отличаться друг от друга не только количественно, но и качественно [33.

С другой стороны, наиболее интересные и значительные расчеты проводятся на пределе вычислительных ресурсов и их уточнение путем измельчения сетки часто бывает невозможно £43 -Схемы разностного представления, используемые на границах, когда последние не проходят через узлы обычных прямоугольных сеток в декартовой системе координат, в интерполяции сложны и громоздки. Повышение порядка аппроксимации этих схем связано с большими трудностями и не гарантирует улучшения точности и эффективности решения [5].

Получение решений повышенной точности возможно, когда граница проходит через узлы сетки. В этом случае интерполяция не требуется, и можно осуществить прямой переход к схемам более высокого порядка аппроксимации. Применение таких сеток предпочтительнее, когда решение определяется в основном граничными условиями [53.

В силу сказанного, тема данной работы, посвященной математическому моделированию гидродинамических процессов в мелководных водоемах на оптимальных криволинейных сетках, является актуальной.

Цели и задачи исследования. I. Построение гидродинамической модели, удовлетворяющей основным законам сохранения (массы, импульса, энергии) и учитывающей испарение воды и выпадение осадков, поскольку для объектов математического моделирования -Азовского моря и Таганрогского залива объем испаряющейся жидкости (преимущественно в летние месяцы) сравним с годовым речным стоком, а годовой объем выпадающих осадков уравновешивает водообмен между Азовским и Черным морями.

2. Разработка алгоритмов построения регулярных сеток для областей сложной формы, какими являются акватории реальных водоемов, границы которых предопределены.

3. Дискретизация построенной модели на полученной криволинейной сетке, разработка алгоритма численного решения задачи

расчета ветровых течений при различных входных данных и получение результатов моделирования.

Научная новизна. Усреднение в двумерных моделях горизонтальных компонент вектора скорости по вертикальной координате, предшествующее дифференцированию по пространственным переменным, без соответствующего учета изменения полной глубины, либо с достижением требуемых свойств "простейшими", зачастую искусственными способами, приводит к появлению дополнительных фиктивных источников импульса или энергии и, как следствие, нарушению соответствующих законов сохранения.

При выводе интегрированием по вертикальной координате трехмерных уравнений Навье-Стокса и неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости в однородном поле тяжести во вращающейся системе отсчета получено семейство двумерных гидродинамических моделей мелководного водоема, учитывающих испарение воды и выпадение осадков С6-8], следствием уравнений баланса ишульса которых являются уравнения баланса полной механической энергии, принимающие дивергентную форму в силу уравнений баланса массы (энергетическая нейтральность) и обладающие строгой диссипатив-ностью за счет действия сил внутреннего вязкого трения, в частности, над поверхностью дна, описываемой гармонической функцией.

Многие уравнения математической физики содержат оператор Лапласа, форма которого с точностью до множителя инвариантна относительно конформных преобразований координат, минимизирующих (в случав их существования) значение функционала Дирихле в рассматриваемой области. Этот факт играет значительную роль в методах построения как регулярных, так и нерегулярных сеток. В предшествующих данному исследованию работах [9-163 была продемонстрирована высокая эффективность методов построения сеток для областей сложной формы, основанных на минимизации в расчетной области непосредственно значения функционала качества требуемой сетки, обеспечивающих независимость от выбора началь-

ного приближения. Однако, из-за чрезвычайной сложности точного решения задачи линейного поиска для функционала Дирихле в расчетной области на каждом шаге в методах 1-го порядка [9,10] не использовался функционал Дирихле. В то же время в имеющихся методах 2-го порядка [11-163 элементы матрицы Гессе [17] менялись скачкообразно, что сказывалось на работе алгоритма.

В настоящей работе за счет усовершенствований, устраняющих скачкообразный характер изменения элементов матрицы £ессе, удалось повысить эффективность имеющихся методов 2-го порядка [18,19] и, благодаря замене при точном решении задачи линейного поиска исходного функционала имеющим решение приближением, гладко передающим (до производных 2-го порядка включительно) поведение исходного функционала, удалось разработать эффективные методы 1-го порядка, направленные на получение невырожденного преобразования координат, и, используя неравенства Адамара и Коши, - расширить и обобщить классы используемых функционалов.

Использование при дискретизации по пространственным переменным конечно-элементной аппроксимации на построенной криволинейной сетке для интегралов от декартовых (а не контравариант-ных) компонент вектора скорости жидкости, а по времени - метода расщепления по физическим процессам (метода поправки к давлению) открывает дополнительную возможность - сохраняет дивергентный вид (следовательно, положительную определенность соответствующих операторов) конвективных, вязких и гравитационных слагаемых.

Для оценки решений параболических и эллиптических сеточных уравнений, главным образом, в системах координат, имеющих особенности, доказана теорема сравнения, оценивающая норму решения в равномерной метрике С выражением, содержащим норму С правой части и дискретный аналог интеграла от метрических коэффициентов монотонного сеточного оператора [20,213.

С помощью доказанной теоремы для задачи в координатах, содержащих цилиндрические особенности, на примере уравнения

теплопроводности в тороидальных координатах показано, что оценки скорости сходимости при определенном расщеплении оператора (определенной локально-двумерной схеме (ЛДС)) являются неу-лучшаемыми. При доказательстве не использовалось разделение переменных и построение мажорирующих решений в явном виде (что может быть затруднительно или невозможно).

Практическая значимость. Разработанные методы построения сеток могут быть использованы для любых приложений, требующих отображения заданной области в криволинейную область более удобной формы. Построенные в результате оптимизации функционала Дирихле отображения Г-образной области (море - 50*20, залив -27*10 узлов) и прямоугольников 83*20 и 80*20 узлов на акваторию Азовского моря и Таганрогского залива максимально точно передают очертания береговой линии. По полученным на основе многолетних наблюдений 812 отметкам глубин форма дна оптимальным образом приближена интерполяционно-сглаживающей поверхностью, близкой к гармонической сеточной функции, что для песчано-илистого дна Азовского моря и Таганрогского залива является приемлемым [223. И сетки, и поверхность дна могут служить составной частью дискретных моделей других процессов в Азовском море и Таганрогском заливе. Реализованный алгоритм численного расчета ветровых течений с высокой точностью удовлетворяет закону сохранения массы. Все программы доведены до работоспособного состояния.

Достоверность полученных результатов основана на строгих математических выводах (при отмечаемых ограничениях) всех положений и максимально точном учете имеющихся входных данных, а также на качественном, а в ряде случаев и количественном соответствии результатов моделирования реально наблюдаемым течениям в Азовском море и Таганрогском заливе [233.

Математический аппарат. Полученные результаты основаны на использовании законов классической механики, концепции сплошной среды, уравнений математической физики, в том числе уравнений

Навье-Стокса и неразрывности, дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных, матричной алгебры, тензорного исчисления, вариационного исчисления, методов оптимизации (нелинейного программирования), методов расщепления, метода конечных элементов, численных методов (решвдая систем линейных алгебраических уравнений, определения действительных корней полиномов), теории устойчивости разностных уравнений А.А.Самарского.

Аппробация. Результаты работы докладывались на

- XLIII Всесоюзной научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 1988);

- Школе-семинаре по комплексам программ математической физики (Ростов-на-Дону, 1990);

- IV Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Абрау-Дюрсо, 1992);

- IV Всесоюзном совещании "Проблемы построения сеток для решения задач математической физики" (Сунгуль (Челябинск-70), 1992);

- Областной научно-технической конференции, посвященной Дню радио (Ростов-на-Дону, 1993);

- Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994);

- Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1997);

- Международной конференции "Математические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997),

а также на научных семинарах кафедр вычислительной математики и вычислительного эксперимента, информатики, на конференциях профессорско-преподавательского состава Таганрогского государственного радиотехнического университета и на семинарах лаборатории вычислительного эксперимента вычислительного центра Ростовского государственного университета.

Автор выражает признательность своим научным руководителям

Л.С.Берштейну и А.М.Сухинову, коллективам кафедр вычислительной математики и вычислительного эксперимента и информатики Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Васильев, Владислав Сергеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построено семейство двумерных гидродинамических моделей мелководного водоема, учитывающих испарение жидкости и выпадение осадков.

Полученные модели обладают свойствами энергетической нейтральности и диссипативности за счет действия сил внутреннего вязкого трения.

2. Предложены семейства функционалов, оценивающих качество преобразований координат. Показано, что семейства содержат функционалы, минимумы которых (в случае существования) достигаются на обобщениях эквиареальных, ортогональных, конформных преобразований координат. В последних случаях соответствующий эллиптический дифференциальный оператор 2-го порядка принимает форму, не содержащую смешанных производных, а в случае конформных отображений - и кососимметрической составляющей.

Разработан метод построения невырожденных криволинейных сеток, показавший высокую надежность. С его помощью удалось построить сетки для тестовых и реальных областей, применение к которым известных алгоритмов не давало положительных результатов.

3. Для акваторий Азовского моря и Таганрогского залива построены оптимальные криволинейные сетки. Форма дна приближена интерполяционно-сглаживающей поверхностью, близкой к гармонической функции. Получены поля течений и нагонов при различных направлениях и скоростях ветра.

4. Доказана теорема сравнения, позволяющая получать оценки решений сеточных уравнений эллиптического и параболического типа в криволинейных координатах, содержащих особенности.

Применительно к локально-двумерным схемам и координатам с цилиндрической особенностью на примере уравнения теплопроводности в тороидальных координатах при определенном расщеплении оператора получены неулучшаемые оценки скорости сходимости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васильев, Владислав Сергеевич, 1997 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Самарский A.A. Теория разностных схем. - 3-е изд., испр. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 616 с.

2. Shang J.S., Hankey W.L. Numerical Solution oí the Navier-Stokes for a Tree-Dimensional Corner //AIM Journal, 1977, v. 15, No.11, pp.1575-1582.

3. Wu J.C. Numerical Boundary Conditions for Viscous Plow Problems //AIAA Journal, 1976, v.14, No.8, pp.1042-1049

4. Родионов A.B. Численный метод решения уравнений Эйлера с сохранением аппроксимации на деформируемой сетке //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т.36, ЖЗ, C.II7-I29.

5. Роберте Д.В., Форестер К.К. Метод численного решения параболической задачи о течениях в каналах произвольного поперечного сечения //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т.17, Ж, С.37-46.

6. Сухинов A.M., Васильев B.C. Гидродинамическая модель мелководных протяженных водоемов и ее численная реализация /Алгебра и анализ. Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева.- Казань: Издательство Казанского университета, 1994, 4.II, С.127-128.

7. Сухинов A.M., Васильев B.C. Расчет ветровых течений в Азовском море на основе новой модели "межой воды" методом конечных элементов на оптимальных сетках /"Математическое моделирование эколого-экономических систем". Тезисы докладов на Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии".24-26 аппреля 1997 г.-Кисловодск: Издательство Кисловодского института экономики и права, 1997, С.95-97.

8. Васильев B.C. Двумерные модели гидродинамики мелководного водоема на криволинейных сетках из выпуклых четырехугольников/ "Математические модели физических процессов и их свойства". Тезисы докладов Международной конференции (30 мая - 3 июня 1997 года). - Таганрог: Таганрогский государственный педагогический институт, 1997. - С.94.

9. Каркайлет Р., Кеннон С.Р., Дуликравич Г.С. Оптимизация трехмерных сеток//Аэрокосмическая техника, 1987, Ж, С.99-106.

10. Кеннон С.Р., Дуликравич Дж.С. Построение сеток с помощью оптимизационного метода //Аэрокосмическая техника, 1987, Ж, С.107-112.

11. Иваненко С.А., Чарахчьян А.А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, М, С.503-514.

12. Иваненко С.А. Построение невырожденных сеток //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, ШО, C.I498-I506.

13. Иваненко С.А. Расчет течений в водоемах на криволинейных сетках. - М.: ВЦ АН СССР, 1991, - 68 с.

14. Иваненко С.А. Адаптивные сетки и сетки на поверхностях //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, Т.33, Ш, C.I333-I35I.

15. Иваненко С.А. Адаптивные криволинейные сетки в методе конечных элементов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, Т.35, *9, С.1334-1355.

16. Иваненко С.А. Применение адаптивно-гармонических сеток для численного решения задач с пограничными и внутренними слоями// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, Т.35, ШО, C.I494-I5I7.

17. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1987.-400 е.: ил.

18. Васильев B.C., Фрадкин Б.Г. Численный алгоритм задачи расчета сеток для параллельных ВС со структурной реализацией вычислений /Численные методы механики сплошной среды. Тезисы докладов I? Всероссийской школы молодых ученых. - Красноярск, 1992, С.19-21.

19. Сухинов А.И., Васильев B.C. Применение алгоритмов построения сеток для областей сложной формы /Численные методы механики сплошной среды. Тезисы докладов IV Всероссийской школы молодых ученых. - Красноярск, 1992, С.100-102.

20. Сухинов А.И., Васильев B.C. Локально-двумерные схемы для решения трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах на многопроцессорных системах /XLIII Всесоюзная научная сессия, посвященная Дню радио. Тезисы докладов, - М.: Радио и связь, 1988, С.78.

21. Сухинов А.И., Васильев B.C. Локально-двумерные схемы для аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах //Мзв. вузов. Математика, - 1996, Ш, С.58-67.

22. Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР: В 10-и томах: Т.5 "Азовское море": Справочное издание: Проект "Моря СССР". -СПб.: Гидрометеоиздат, 1991. - 240 с.

23. Сухинов A.M., Васильев B.C. О моделировании ветровых течений в Таганрогском заливе с использованием квазиоптимальных сеток /Областная научно-техническая конференция, посвященная Дню радио. - Ростов-на-Дону, 1993, С.26.

24. Кочнн Н.Е., Кибель М.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х частях: Ч.П: Учеб. пособие: Для университетов: Под ред. И.А.Кибеля. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. - 728 с.

25. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер с англ. - М.: Мир, 1980. - 616 с.

26. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Пер. с англ. - М.: Мир, 1991. - T.I: 504 е., ил., Т.2: 552 е., ил.

27. Миранда Л.Р. Применение вычислительной аэродинамики при проектировании самолетов //Аэрокосмическая техника, 1985, Т.З, JB2, С.3-23.

28. Ломаке Г. Некоторые направления развития вычислительной гидродинамики//Аэрокосмическая техника,1983, T.I, JG3, С.22-36.

29. Кутлер П. Перспективы развития теоретической и прикладной вычислительной аэродинамики //Аэрокосмическая техника, 1985, Т.З, Jtö, С.11-29.

30. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории межой воды: Под ред. д-ра физ.-мат. наук П.С. Линейкина. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. - 300 е., черт.

31. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р. В. Теория межой воды: океанологические задачи и численные методы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1977. - 207 е., илл., карт.

32. Вольцингер Н.Е. Длинные волны на межой воде. - Л.: Гидрометеоиздат, 1985. - 160 е., граф.

33. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский E.H. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. - Л.: Гидрометеоиздат, 1989. - 271 е.: ил.

34. Филатов H.H. Гидродинамика озер.-СПб.: Наука, 1991.- 200 с.

35. Баклановская В.Ф., Чечель И.И. Численный метод решения уравнений Сен-Венана (камерная модель) //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, Т.16, Jfö, C.I2I7-I232.

36. Архипова В.В. Применение консервативных схем для расчета температурного режима водоемов //Матем. моделирование, 1991,

Т.З, М2, С.11-15.

37. Ведерников A.B., Холодов A.C. Численное моделирование некоторых связанных задач гидро-газодинамики //Матем. моделирование, 1993, Т.5, МО, С.57-66.

38. Евсеев Е.Г., Убилава М.Г., Шония В.В. Квазимонотонные разностные схемы для некоторых систем гиперболических уравнений первого порядка//Матем. моделирование, 1991, Т.З, Ш, С.81-88.

39. Махмудов A.A. Численное решение некоторых задач теории межой воды//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987, Т.27, Ш>, С.788-791.

40. Agoshkov V.l., Salerl f. Recent Developments in the Numerical Simulation oi Shallow Water Equations. Ill -Boundary Conditions and Finite Element Approximations in the River Flow Calculations //Матем. моделирование, 1996, T.8, M9, С.3-24.

41. Евсеев Е.Г., Шония В.В. Разностные схемы расщепления вектора потока для уравнений межой воды //Матем. моделирование, 1990, Т.2, Ш, С.119-126.

42. Махмудов A.A. Распространение метода SHASTA на численное решение двумерных нестационарных уравнений межой воды//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987, Т.27, JÊ8, С.1262-1266.

43. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. - М.:Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит.,1986.-288 с.

44. Остапенко В.В. О сквозном расчете прерывных волн в открытых руслах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, Т.33, J65, С.743-752.

45. Гвелесиани Т.Л., Джгамадзе И.О., Джинджихашвили Г.Я., Меладзе Г. В. О некоторых математических моделях для исследования волнообразования в водохранилищах//Матем. моделирование, 1991, Т.З, Ш, С.3-Й.

46. Крукиер Л.А. Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы //Матем. моделирование, 1991, Т.З, Jfô, С.3-20.

47. Ведерников A.B., Холодов A.C. Численное моделирование течений двух- и трехслойной жидкости в рамках модели межой воды //Матем. моделирование, 1990, Т.2, JÉ6, С.9-18.

48. Ваклановская В.Ф., Влатов A.C., Даулетияров К. Ж., Джумагазиева С.Х., Кондрин А.Т., Чвчель И.И. О численном

моделировании длинных поверхностных и внутренних волн в замкнутом медленно вращающемся бассейне //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,1984, Т.24, Ш, С.1066-1078.

49. Доброчеев О.В., Кулешов A.A., Савенкова H.H., Филиппова C.B. Двумерная модель рассеяния тяжелых газов на орографически неоднородной поверхности Земли //Матем. моделирование, 1996, Т.8, №, С.91-105.

50. Рудяк В.Я., Белкин A.A. Уравнения многожидкостной гидродинамики //Матем. моделирование, 1996, Т8, Ш, С.33-37.

51. Шавалиев М.Ш. Сильно неравновесные течения смесей газов с большой разницей в массах молекул//Матем. моделирование, 1996, Т.8, Ж>, С.72-76.

52. Надолин К.А. Об уравнениях конвекции изотермически несжимаемой жидкости //Матем. моделирование, 1997, Т.9, Ш, С.81-84.

53. Архипова Б.В., Солбаков В.В., Шапочкин Д.А. Применение консервативных схем для расчета термохалинных полей в приливном заливе //Матем. моделирование, 1994, Т.6, J§8, С.3-16.

54. Бочев М.А., Надолин К.А., Николаев М.А. Моделирование распространения вещества в двумерном стационарном открытом русловом потоке//Матем. моделирование, 1996, Т.8, Ш, C.II-24.

55. Самарская Е.А., Четверушкин В.Н., Чурбанова Н.Г., Якобовский М.В. Моделирование на параллельных вычислительных системах процессов распространения примесей в горизонтах подземных вод //Матем. моделирование, 1994, Т.6, Л4, С.3-12.

56. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Матус П.П., Чуйко М.М. Математическое моделирование течения жидкости в разветвленных гидравлических системах //Матем. моделирование, 1992, Т.4, Ш, С.43-54.

57. Чуйко М.М., Михайлюк М.А., Захарцева В.Д. Вычислительные методы адаптивного типа на гидравлических сетях //Матем. моделирование, 1995, Т.7, Ж2, С.79-96.

58. Нефедов А. И. Численное моделирование пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью //Матем. моделирование, 1994, Т.6, №, C.I02-II2.

59. Калмыков В.А. Численное моделирование обрушивающихся волн //Матем. моделирование, 1996, Т8, $8, С.37-41.

60. Николаев М.А. Математические модели гидрофизики водоемов //Матем. моделирование, 1997, Т.9, Ш, С.46-52.

61. Хазанов М.В. Задача о поршне при движении жидкости со свободной поверхностью в канале круглого сечения //Дифферент. ур-ния, 1990, Т.26, №6, С.I074-1080.

62. Варзи З.У.А. Консервативная форма уравнений Навье-Стокса в произвольной нестационарной системе координат //Ракетная техника и космонавтика, 1981, Т.19, Л8, С.135-137.

63. Сычев В.В., Сычев Вик.В. О течении вязкой жидкости около вращающегося эллиптического цилиндра //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, Т.35, Л6, C.I00I-I008.

64. Вабищевич П.Н., Есипова Н.Б., Илиев О.П. Численное моделирование естественной конвекции с переменной вязкостью //Матем. моделирование, 1990, Т.2, ЖЗ, С.15-22.

65. Нефедов Б.Н. О новом методе решения уравнений Навье-Стокса и его применении к задаче обтекания сферы /Рациональное численное моделирование в нелинейной механике. - М.: Наука, 1990. - С.69-89.

66. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Коньшин В.Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью //Ж. вычисл. матем. й матем. физ., 1987, Т.27, М, С.594-609.

67. Захаренков М.Н. Особенности разностных схем решения двумерных уравнений Навье-Стокса, связанные с постановкой граничных условий на твердой поверхности //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1990, Т.30, Ш, C.I224-I236.

68. Флорес Дж., Холст Т. Л., Квок Д., Батист Д.М. Новая согласованная схема аппроксимации производных в полном уравнении для потенциала скорости //Аэрокосмическая техника, 1985, Т.З, Ш, С.42-51.

69. Клопфер Д.Д., Макра Д.С. Нелинейный анализ погрешности аппроксимации разностных схем для уравнений Эйлера//Аэрокосми-ческая техника, 1984, Т.2, Ш, С.23-33.

70. Хайндман Р.Г. Общие формы уравнений газовой динамики и погрешности, обусловленные использованием криволинейных координат //Аэрокосмическая техника, 1983, T.I, Ж5, С.47-57.

71. Бим P.M., Уорминг Р.Ф. Неявная факторизованная разностная схема для уравнений Навье-Стокса течения сжимаемого газа //Ракетная техника и космонавтика, 1978, Т.16, Л4, С.145-156.

72. Бывальцев П.М. Быстрый метод расчета пространственных трансзвуковых потенциальных течений в венцах турбомашин //Ж.

вычисл. матем. и матем. физ., 1992, Т.32, Ш7, С.1093-1113.

73. Атта Е.Х., Вадяк Ж. Метод пересекающихся сеток для расчета обтекания многоэлементных компоновок//Аэрокосмическая техника, 1984, Т.2, Ш, С.34-41.

74. Холст Т.Л., Бальхауз В.Ф. Консервативные методы быстрого расчета полного уравнения для потенциала скорости в применении к трансзвуковым течениям //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т.17, №, С.23-33.

75. Холст Т. Л. Неявная консервативная схема для расчета потенциальных трансзвуковых течений на произвольной сетке //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т.17, ЖСО, С.19-28.

76. Абрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса. I //Дифференц. ур-ния, 1992, Т.28, Ш, С.1154-1167.

77. Абрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса. II //Дифференц. ур-ния, 1993, Т.29, М, С.673-688.

78. Лапко С.Л. Итерационные процессы реализации неявных разностных схем для уравнений вязкой несжимаемой жидкости //Дифференц. ур-ния, 1994, Т.30, ШГ, С.1222-1229.

79. Грейвс Р.А. мл., Джонсон Н.Э. Решение уравнений Навье-Стокса методом Стеттера //Ракетная техника и космонавтика,

1978, Т.16, Ш, С.185-187.

80. Головизин В.М., Симачева 0.Г., Сороковникова 0. С. Ме тод расчета конвективных течений стратифицированных жидкостей и газов со свободной верхней границей //Матем. моделирование, 1992, Т.4, Л9, С.101-113.

81. Шенг Дж.С. Неявно-явный метод численного решения уравнений Навье-Стокса //Ракетная техника и космонавтика, 1978, Т. 16, Ш>, С.102-109.

82. Абрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса //Дифференц. ур-ния, 1993, Т.29, Ю, С.1561-1574.

83. Абрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса. II //Дифференц. ур-ния, 1994, Т.30, Ж2, С.2094-2105.

84. Абрашин В.Н., Лэхтиков С.Н. О сочетании методов переменных направлений и конечных элементов при решении задач

математической физики. I //Дифференц. ур-ния, 1995, Т.31, Ш, С.I161—1169.

85. Dodge P.R. Numerical Method for 2D and 3D Viscous Flows //AIM Journal, 19TT, v.15, No.7, pp.961-965.

86. lurphy J.D. An Efficient Solution Procedure for the Incompressible Navier-Stokes Equations //AIAA Journal, 19TT, v.15, No.9, pp.1307-1314.

87. Лапко С.Л. Разностные алгоритмы решения задач тепловой конвекции //Дифференц. ур-ния, 1992, Т.28, JH2, С.2137-2148.

88. Суржиков С.Т. Вычислительная модель излучающего термика в нестационарных динамических переменных //Матем. моделирование,

1995, Т.7, Ш. С.3-24.

89. Рябенький B.C., Торгашов В.А. Безытерационный способ решения неявной разностной схемы для уравнений Навье-Стокса в переменных: завихренность и функция тока //Матем. моделирование, 1996, Т.8, Ш0, С.100-112.

90. Куропатенко В.Ф., Буряков О.В., Муетафин В.К., Брезгина Л.П., Додонова М.В. Методика расчета нестационарных течений в многослойных неравновесных смесях//Матем. моделирование, 1992, Т.4, J&9, С.82-100.

91. Беляев К.П., Соловьев В.Н. О численных расчетах уравнений термогидродинамики, моделирующих океанические течения в районе субполярного фронта Северной Атлантики //Матем. моделирование,

1996, Т.8, Ml, С.87-95.

92. Ласкарис Т.З. Расчет методом конечных элементов трехмерного потенциального течения в лопаточных машинах //Ракетная техника и космонавтика, 1978, Т.16, W, С.98-105.

93. Экер А., Экей Х.У. Использование метода конечных элементов для интегрирования стационарных трансзвуковых уравнений Эйлера //Аэрокосмичеекая техника, 1984, Т.2, JHf C.3-II.

94. Lucchi G.W. Finite Element Approach to the Viscous Incompressible Plow around a Circular Cylinder //AIAA Journal, 1977, v.15, No.6, pp.887-889.

95. Кульпина И.Э,, Перминов C.M., Писковский B.O., Соколов А.Г. Численное моделирование процесса обтекания автомобиля //Матем. моделирование, 1994, Т.6, М, С.54-68.

96. Прокофьев В. А. Прямой метод для быстрого решения эллиптических уравнений на сетках большой размерности //Матем.

моделирование, 1994, Т.6, Ж2, С.57-64.

97. Knight D.D. Numerical Simulation of Realistic High-Speed Inlets Using the Navier-Stokes Equations //AIM Journal, 1977, Y.15, No.11, pp.1583-1589.

98. Суржиков С.Т. Вычислительная модель излучающего термика в переменных "скорость-давление" //Матем. моделирование, 1995, Т.7, Ш, С.3-31.

99. Штумиллер Дж.Х. Численный расчет устойчивости параллельных течений //Ракетная техника и космонавтика, 1978, Т.16, Ш, С.123-131.

100. Даниленко А.Ю. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона многосеточным методом в трехмерном случае//!, вычисл. матем. и матем. физ., 1991, Т.31, ЖО, С.1526-1535.

101. Гхиа К.Н., Хэнки В.Л. мл., Ходж Дж.К. Решение уравнений Навье-Стокса в обычных переменных //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т. 17, Ш, С.89-92.

102. Квак Д., Чэнг Дж.Л.К., Шэнкс С.П., Чакраварти С.Р. Метод решения уравнений Навье - Стокса для трехмерных течений несжимаемой жидкости с использованием простейших переменных //Аэрокосмическая техника, 1987, Ш, С.144-153.

103. Никифоров Д.А. Об использовании метода компактных разностей на разнесенных сетках //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, Ж2, С.1890-1895.

104. Толстых А.И. Компактные аппроксимации третьего порядка в алгоритмах для несжимаемой жидкости //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989, Т.29, ЖО, C.I5I4-I529.

105. Рхи С.М., Чоу У.Л. Численный расчет обтекания профиля с отрывом у задней кромки //Аэрокосмическая техника, 1984, Т.2, Ш, С.33-43.

106. Шенг Дж.С. Обзор численных методов решения уравнений Навье-Стокса для течений сжимаемого газа //Аэрокосмическая техника, 1986, $й, С.65-92.

107. Влохин A.M., Биркин А.Д. Глобальная разрешимость задачи о сверхзвуковом обтекании конуса (к обоснованию метода установления) //Матем. моделирование, 1996, Т.8, М, С.89-104.

108. Крутицкий П.А. Нестационарные планетарные волны в полуограниченных каналах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987, Т.27, Ж2, С.1824-1833.

109. Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в бассейне произвольной формы //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1986, Т.26, С.734-755.

НО. Хафез М., Саут Дж., Мэрмен Э. Применение методов искусственной сжимаемости для численного решения полного уравнения потенциала в трансзвуковом диапазоне скоростей //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т.17, Ш, С.50-58.

111. Хабаси В.Г., Хафез М.М. Расчет трансзвуковых течений методом конечных элементов //Аэрокосмическая техника, 1983, T.I, $5, С.58-68.

112. Кривцов В.М. Об одной схеме приближенной факторизации для расчета течений газа в каналах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, Ж1, С.1680-1692.

113. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 608 с.

114. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 416 с.

115. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие: Для вузов. - 3-е изд., доп. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. - 424 с.

116. Корецкий В.В., Любимов Д.А. Модифицированный метод приближенной факторизации для расчета потенциальных пространственных течений в каналах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1990, Т.30, ЖО, C.I553-I570.

117. Апанович Ю.П., Люмкис Е.Д. Разностные схемы для уравнений Навье-Стокса на сетке из ячеек Дирихле //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, ЛЗ, С.390-399.

118. Сухинов A.M., Васильев B.C. Математическое моделирование переноса зарядов в приборах с зарядовой связью //Дифференц. ур-ния, 1992, Т.28, J62, С.346-354.

119. Маханов С.С., Семенов А.Ю. Устойчивый неотрицательный численный метод для расчетов течений жидкости в открытом русле //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, Л1, C.I04-II6.

120. Маханов С.С., Семенов А.Ю. Двумерный неотрицательный алгоритм расчета течений жидкости в открытых руслах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т.36, Ж, С.97-105.

121. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н.,

Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики: Под ред. С.К.Годунова. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва "Наука", 1976. - 400 е., ил., табл.

122. Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д., Яненко H.H. О методе подвижных координат в газовой динамике /Проблемы математической физики и вычислительной математики. - М.: "Наука", 1975. - C7I07-II5.

123. Томпсон Дж.Ф. Методы расчета сеток в вычислительной аэродинамике //Аэрокосмическая техника, 1985, Т.З, Ш, C.I4I-I7I.

124. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т.36, Ж, С. 3-41.

125. Барбер Т.Дж., Мюллер Г.Л., Рамсей С.М., Мермэн М.М. Трехмерное течение невязкого газа в смесительных устройствах. Часть I. Численный расчет с использованием конечно-разностных сеток //Аэрокосмическая техника, 1987, Ж, С. 129-137.

126. Кларк Д.К., Сейлас М.Д., Хассан Х.А. Расчет обтекания многоэлементных профилей с использованием уравнений Эйлера и прямоугольных сеток //Аэрокосмическая техника, 1987, Ж, С. 28-34.

127. Абрашин В.Н., Якубеня А.Н. Экономичные схемы с явным выделением фронта для многомерных задач со свободными границами //Дифференц. ур-ния, 1990, Т.26, Ш, C.I055-I066.

128. Браун Дж.Дж. Расчет потенциальных течений с помощью вложенных сеток //Аэрокосмическая техника, 1984, Т.2, $9, С.35-42.

129. Вабищевич П.Н. Численное решение задач с особенностями на локально сгущающихся сетках //Матем. моделирование, 1995, Т.7, Ж, С.61-68.

130. Вабищевич П.Н., Шишкин Г.И. Разностные схемы на локально сгущающихся сетках //Дифференц. ур-ния, 1995, Т.31, Ш7, С.1179-1183.

131. Кэллиндерис Я.Дж., Бэрон Дж.Р. Применение адаптивных методов для решения уравнений Навье-Стокса //Аэрокосмическая техника, 1989, ЖО, С. 122-132.

132. Пурвис Дж.В., Буркхальтер Дж.Э. Определение критического числа Маха обтекания конфигураций, характерных для подвесок самолетов //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т.17, Ж1, С.23-32.

133. Вабищевич П.Н., Чудаков В.В., Чурбанов А.Г. Численное

моделирование свободноконвективных течений в сложных областях //Матем. моделирование, 1996, Т.8, Ж, C.I03-II8.

134. Рогов Б. В. , Соколова И. А. Уравнения для течения вязких газов в изогнутых плоских каналах переменного сечения //Матем. моделирование, 1995, Т.7, Ж1, С.39-54.

135. Грейвс Р. А. мл. , Гамильтон II X. I. Простой алгоритм построения ортогональной системы координат для вязких течений //Ракетная техника и космонавтика, 1981, Т.19, ЖЗ, С.9-И.

136. Сакович B.C. Генерация расчетных сеток при помощи неявных функций //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992, Т.32, W7, С.1025-1034.

137. Эриксон Л.Э. Построение с помощью трансфинитной интерполяции сеток, связанных с телом, представляющем собой комбинацию крыло-фюзеляж//Аэрокосмическая техника, 1983, T.I, Ж>, G.3-12.

138. Эрикссон Л.-Е., Смит P.E., Вих М.Р., Фарр Н. Построение сетки для расчета невязкого обтекания самолета с крылом с передним наплывом//Аэрокосмическая техника, 1989, $6, С.23-31.

139. Ives C.D. A Modern Look at Conformai Mapping Including Multiply Connected Regions //AIAA Journal, 1976, v.4, No.8, pp.1006-1011.

140. Ives C.D., Liutermoza J.F. Analysis of Transonic Cascade Flow Using Conformai Mapping and Relaxation Te cliniques //AIAA Journal, 197T, v. 15, No.5, pp.'647-652.

141. Caughey D.A., Jameson A. Accelerated Iterative Calculation of Transonic Nacelle Plowflelds //AIAA Journal, 1977, v. 15, No.10, pp.1474-1480.

142. Хабаси В.Г., Дюкк Э.Г., Кенни Д.П. Применение метода конечных элементов для расчета течения через решетку компрессора //Ракетная техника и космонавтика, 1979, Т.17, Ш, С.28-34.

143. Холси Н.Д. Исследование потенциального обтекания разрезных профилей с помощью конформных отображений //Ракетная техника и космонавтика, 1979, T.I7, Ж2, G.3-I2.

144. Хэлси Н.Д. Использование конформных отображений при построении сеток для расчета обтекания трехмерных аэродинамических компоновок сложной формы //Аэрокосмическая техника, 1988, Ж1, C.II-I8.

145. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.Б., Янекко H.H. Применение одного класса квазиконформных отображений для построе-

ния разностных сеток в областях с криволинейными границами//!, вычисл. матем. и матем. физ., 1975, Т.15, Л6, C.I499-I5II.

146. Шмилович А., Кофи Д.А. Построение сетки для расчета течения около компоновки крыло-фюзеляж-хвостовое оперение //Аэрокосмическая техника, 1986, М, С. 198-206.

147. Щепров A.B. Об одном способе адаптации сеток //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1990, Т.30, MI, С.1749-1752.

148. Савельев А.Д. Расчеты течений вязкого газа на основе компактных схем третьего порядка //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, Т.35, МО, С.1538-1551.

149. Головизин В.М., Симачева О.Г. Об одном методе построения расчетных сеток в областях с криволинейными границами //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, Т.23, Jfö, C.I245-I249.

150. Накахаси К., Дейуэрт Дж.С. Новый метод построения трехмерных адаптирующихся сеток //Аэрокосмическая техника, 1987, М, С.90-98.

151. Накахаси К., Дейуэрт Дж.С. Автоматический метод построения адаптирующихся сеток и его применение в задачах обтекания профиля //Аэрокосмическая техника, 1987, М2, С. 10-18.

152. Годунов С.К., Прокопов Г.П. О решении дифференциальных уравнений с использованием криволинейных разностных сеток //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968, Т.8, М, С.28-46.

153. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, Т.12, Jfß, С.429-440.

154. Висбал М., Найт Д. Построение ортогональных и почти ортогональных сеток с заданным распределением узлов вблизи границы //Ракетная техника и космонавтика, 1982, Т.20, Ж,

С.4-6.

155. Стегер Дж.Л. Неявный конечно-разностный метод расчета двумерного обтекания тел с произвольной геометрией //Ракетная техника и космонавтика, 1978, Т.16, $7, С.51-60.

156. Томас П.Д., Миддлкопф Дж.Ф. Прямое управление распределением узловых точек в сетках, порождаемых решениями эллиптических уравнений //Ракетная техника и космонавтика, 1980, Т.18, №, С.55-61.

157. Крейс P.M., Тэймз Ф.К., Хассан I.A. Построение адаптирующихся сеток с помощью вариационного метода Брэкбилла-

Зальцмена //Аэрокосмическая техника, 1987, Ж, 0.83-90.

158. Ушакова О.В. Алгоритм построения двумерных оптимальных адаптивных сеток //Матем. моделирование, 1997, Т. 9, $2, С.88-90.

159. Беликов В.В. Об одном методе построения расчетных сеток//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1986, Т.26, Л8, С.1262-1266.

160. Лисейкин В.Д. О конструировании регулярных сеток на 71-мерных поверхностях //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991, Т.31, Ж1, С.1670-1683.

161. Нефедьев В.О. Генератор сетки ортогональных криволинейных координат на произвольной поверхности //Матем. моделирование, 1990, Т.2, *В, G.150-154.

162. Вабищевич П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989, Т.29, Ж, С.902-914.

163. Визерилл Н.П., Форси K.P. Построение сетки и расчет обтекания самолетной компоновки//Аэрокосмическая техника, 1986,

M, С. 127-134.

164. Рай М.М. Использование составных сеток с перекрывающимися или стыкующимися фрагментами для расчета течений в лопаточных машинах с помощью системы уравнений Навье-Стокса //Аэрокосмическая техника, 1988, ЖО, С.3-15.

165. Сережникова Т.М. Об одном алгоритме построения разрезов и четырехугольных сеток в областях на плоскости //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т.36, Ж, C.I5I-I54.

166. Дарьин H.A., Мажукин В.И., Самарский A.A. Конечно-разностный метод решения уравнений газовой динамики с использованием адаптивных сеток, динамически связанных с решением//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, Ш, C.I2I0-I225.

167. Копченов В.И., Никифоров Д.А. Неявная итерационная схема для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, Jê8-9, C.I335-I343.

168. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Метод динамической адаптации в задачах газовой динамики //Матем. моделирование, 1995, Т.7, Ж2, С.48-78.

169. Ганьжа Д.Х., Музафаров И.Ф., Утюжников C.B. Применение подвижных адаптивных сеток в алгоритмах с компактными аппроксимациями //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, Т.35,

m, C.II84-I194.

170. Каменецкий В.Ф., Семенов А.Ю. Самосогласованное выделение разрывов при сквозных расчетах газодинамических течений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, ЖО, С.1489-1502.

171. Никсон Д. Применение метода интегрального уравнения к расчету нестационарных трансзвуковых течений //Ракетная техника и космонавтика, 1978, Т.16, $9, C.I4I-I50.

172. Волков В.А., Гидаспов В.Ю., Козелько А.Н., Пирумов У.Г. Маршевый полисеточный алгоритм расчета сверхзвуковых стационарных течений газа на естественно адаптированных сетках //Матем. моделирование, 1996, Т.8, J®6, C.I2I-I27.

173. Гильманов А.Н., Кулачкова H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках //Матем. моделирование, 1995, Т.7, $3, С.97-106.

174. Дарьин H.A., Мажукин В.И. Об одном подходе к построению адаптивных сеток для нестационарных задач//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, Ш, С.454-460.

175. Дуайер Х.А., Ки Р.Дж., Сандерс Б.Р. Метод построения адаптивных сеток для задач гидродинамики и теории теплопередачи // Ракетная техника и космонавтика, 1980, Т.18, ШО, С.70-80.

176. Дуайер Х.А. Адаптация сеток для задач гидродинамики //Аэрокосмическая техника, 1985, Т.З, Ш, С.172-182.

177. Мажукин В.М., Такоева Л.3D. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах //Матем. моделирование, 1990, Т.2, ЖЗ, С.101-118.

178. Мажукин В.И., Самарский A.A., Орландо Кастельянос, Шапранов A.B. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами //Матем. моделирование, 1993, Т.5, М, С * «

179. Толстых A.M. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и о применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, Т .18, ЖЕ, С.139-153.

180. Ковеня В.М., Яненко H.H. Разностная схема на подвижных сетках для решения уравнений вязкого газа//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, T.I9, Ж, С.174-188.

181. Дегтярев Л.М., Иванова Т.е. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии //Дифференц.

ур-ния, 1393, Т729, Ж, С.1179-1192.

182. Полевиков B.K. О применении адаптивных сеток при расчете свободной поверхности в задачах статики магнитной жидкости //Дифференц. ур-ния, 1994, Т.30, #12, C.2I46-2I52.

183. Похижо В.М., Тишкин В.Ф. Однородный алгоритм расчета разрывных решений на адаптивных сетках //Матем. моделирование, 1994, Т.6, #11, С.25-40.

184. Медведский P.M., Сигунов Ю.А. О решении одномерных нелинейных задач теплопроводности на изотермической сетке //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1989, Т.29, #11, С.1742-1746.

185. Дарьин H.A. Групповой анализ уравнений газовой динамики в произвольной системе координат //Матем. моделирование, 1993, Т.5, №, С.29-40.

186. Абрашин В.Н., Муха В.А. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики //Дифференц. ур-ния, 1992, Т.28, ШО, C.I786-I799.

187. Матус П.П. О разностных схемах на составных сетках для гиперболических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, #6, С.870-885.

188. Матус ПЛ., Михайлюк М.А. Разностные схемы с переменными весами для систем гиперболических уравнений //Матем. моделирование, 1993, Т.5, #12, G.35-60.

189. Матус П.П. Об одном классе разностных схем для нестационарных задач математической физики//Дифференц. ур-ния, 1990, Т.26, W, C.I24I-I254.

190. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений второго порядка в подобластях //Дифференц. ур-ния, 1993, Т.29, #4, С.700-710.

191. Головизин В.М., Коршунов В.К., Самарский A.A. Двумерные разностные схемы магнитной гидродинамики на треугольных лагранжевых сетках //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, Т.22, #4, С.926-942.

192. Болдарев A.C., Гасилов В.А., Ольховская О.Г. К решению гиперболических уравнений на неструктурированных сетках //Матем. моделирование, 1996, Т.8, #3, С.51-79.

193. Михайлова Н.В., Тишкин В.Ф., Тюрина H.H., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на сетке переменной структуры //Ж. вычисл. матем. и

матем. физ., 1986, Т.26, J®9, C.I392-I406.

194. Демин A.B., Коробицын В.А., Мазуренко A.M., Хе A.M. О расчете на двумерных лагранжевых сетках течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, Ж1, С.1719-1729.

195. Вялый М.Н., Гордеев Э.Н., Тарасов С.П. Об устойчивости диаграммы Вороного //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996, Т.36, ЖЗ, С.147-158.

196. Алейников С.М., Седаев A.A. Алгоритм генерации сетки в методе граничных элементов для плоских областей //Матем. моделирование, 1995, Т.7, Jf7, С.81-93.

197. Альес М.Ю., Копысов С.П., Новиков А.К. Построение и адаптация конечно-элементной сетки при решении эллиптической задачи второго порядка //Матем. моделирование, 1997, Т.9, Ш, С.43-45.

198. Арделян М.В., Саблин М.Н. Метод численного решения однофазной задачи Стефана на адаптивной сетке переменной структуры //Дифференц. ур-ния, 1993, Т.29, Ш7, С.1130-1136.

199. Войнович П.А., Шаров Д.М. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. I. Построение квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации//Матем. моделирование, 1993, Т.5, '№, С.86-100.

200. Войнович П.А., Шаров Д.М. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. 2. Нестационарная локальная адаптация сетки //Матем. моделирование, 1993, Т.5, Ш, C.I0I-II2.

201. Неледова A.B., Тишкин В.Ф., Филатов А.Ю. Нерегулярные адаптивные сетки для решения задач математической физики//Матем. моделирование, 1997, Т.9, Ш, С.13-20.

202. Паутов В.Н., Франк A.M. Алгоритм построения сетки Дирихле для нестационарных задач на основе локальных перестроек //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1988, Т.28, JHI, С.1730-1734.

203. Сакович B.C. Решение уравнений Эйлера на неструктурированных сетках при помощи многосеточного метода //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т.34, Ш2, C.IS67-I883.

204. Щербаков Ю.Н., Якунин Ф.Н. Метод построения нерегулярных треугольных адаптивных конечно-элементных сеток и его приложения //Матем. моделирование, 1992, Т.4, M, C.I09-II8.

205. Касперович С.А., Резников Г.Д. Программный комплекс для анализа математических моделей нерегулярных упаковок //Матем. моделирование, 1993, Т.5, J8, С.63-70.

206. Башуров В.В., Бурученко O.K. Моделирование задач высокоскоростного проникания в лагранжевых координатах //Матем. моделирование, 1992, Т.4, №9, С.37-42.

207. Фрязинов М.В. Аппроксимация двумерных эллиптических и параболических уравнений на паре согласованных сеток //Матем. моделирование, 1994, Т.6, Л4, С.53-64.

208. Брандт А. Расчеты многосеточным адаптивным методом в гидродинамике //Ракетная техника и космонавтика, 1980, Т. 18, MIO, С.18-29.

209. Чайма Р.В. Расчет вязкого квазитрехмерного течения в турбомашине явным многосеточным методом //Аэрокосмическая техника, 1988, Ш), С.37-47.

210. Джеймсон А., Мэвриплис Д. Метод конечных объемов для интегрирования двумерных уравнений Эйлера на сетках с треугольными ячейками//Аэрокосмическая техника, 1987, Ж, С.56-65.

211. Мэвриплис Д. Дж. Решение двумерных уравнений Эйлера многосеточным методом на неупорядоченных триангулярных сетках //Аэрокосмическая техника, 1989, 16, С.31-41.

212. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - 9-е изд. - М.: Наука, 1965. - 428 с.

213. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - 4-е изд. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552 с.

214. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. - М. : Мир, 1989. - 655 с.

215. Сидоров А.Ф. Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных сеток //Тр. МИ АН СССР, M.: 1966, Т.24, С Л47-151.

216. Ворович И.И., Еронфман A.M., Воловик С.П., Макаров Э.В. Проблема Азовского моря //Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки, 1977, Ш, с.3-7.

217. Сурков Ф.А., Бронфман A.M., Черкус Е.А., Ильичев В.Г., Матышина В.П. Моделирование абиотических факторов экосистемы Азовского моря //Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки, 1977, Ш, с.21-49.

218. Бронфман A.M., Козлитина C.B., Кучай Л.А. Основные статистические параметры и циклические вариации материкового

стока в Азовское море //Труды Всесоюзного научно-исследова-тельскбго института морского рыбного хозяйства и океанографии (ВНИРО), 1976, T.CXVIII, С.8-18.

219. Сухинов A.M. Локально-двумерные схемы для решения многомерных параболических уравнений на вычислительных системах матричного типа //Изв. вузов. Математика, 1984, Ж1, С.45-53.

220. Сухинов A.M. Об аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности локально-двумерными схемами в цилиндрических и сферических координатах//Мзв.вузов.Математика,1987,J8,С.66-74.

221. Николаев A.M., Сухинов A.M. Аддитивные схемы для моделирования трехмерных уравнений теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах//Дифференц. ур-ния, 1987, Т.23, Ж2, G.2122-2132.

222. Самарский A.A. Уравнения математической физики. - 3-е изд. - М.: Наука, 1966. - 724 с.