Меры на пространствах функций и начально-краевые задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тарасенко, Павел Юрьевич

• Тарасенко, Павел Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тарасенко, Павел Юрьевич

Введение

1 Предел мер, порождаемых броуновским движением со сносом к поверхности

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Броуновское движение со сносом к поверхности.

1.3 Броуновское движение на многообразии.

1.4 Приближение траектории к поверхности под действием сноса

1.5 Производная проекции на многообразие.

1.6 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов

1.7 Сходимость броуновских движений со сносом к броуновскому движению на поверхности.

1.8 Представление решения задачи Коши на поверхности пределом решений задач Коши в

2 Предел мер, порождаемых броуновским движением со сносом к области

2.1 Диффузия с отражением на границе области.

2.2 Сходимость броуновских движений со сносом к броуноввскому движению с отражением.

2.3 Представление решения краевой задачи с граничным условием Неймана с помощью функциональных интегралов

2.4 Представление решения задачи Коши-Неймана в области пределом решений задач Коши в

3 Предел мер, порождаемых уравнением теплопроводности с магнитным полем

3.1 Уравнение теплопроводности с магнитным полем и формула Фейнмана-Каца-Ито.

3.2 Абсолютная непрерывность распределения стохастического интеграла относительно меры Лебега.

3.3 Представление решения задачи Коши-Дирихле с помощью функциональных интегралов.

3.4 Представление решения задачи Коши-Дирихле в области пределом решений задач Коши в Ша.

3.5 Представление решения задачи Коши с начальным условием в области пределом решений задач Коши в

3.6 Мера v.

3.7 Связь с поверхностными мерами Смолянова-Вайцзеккера . . 62 Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Меры на пространствах функций и начально-краевые задачи»

Применение методов функционального анализа и теории вероятностей при изучении дифференциальных уравнений зачастую основано на представлении решений этих уравнений как среднего значения некоторого функционала на траекториях подходящего диффузионного процесса. Среднее значение функционала на траекториях случайного процесса может быть записано как интеграл соответствующего функционала на пространстве функций относительно меры в этом пространстве индуцированной данным процессом. Поэтому такие представления решений называются представления в виде функциональных интегралов.

При этом с каждым дифференциальным уравнением в частных производных эллиптического типа С можно связать семейство вероятностных мер в пространстве непрерывных функций на полупрямой. Это семейство мер определяет марковский процесс, соответствующий оператору £,. Если известны некоторые свойства оператора С, то можно сделать определенные выводы о марковском процессе. И наоборот, изучая марковский процесс, можно получить информацию относительно дифференциального оператора.

Рассмотрим способы задания мер на функциональных пространствах.

Пусть дано измеримое пространство (X, то есть множество X с (7-алгеброй его подмножеств Меру на этом пространстве можно задать несколькими способами. Самый простой способ — это определить ее с помощью функции плотности относительно некоторой стандартной меры на (7-алгебре 33. Например, пусть X = R вещественная прямая с борелевской сг-алгеброй. Тогда, в качестве стандартной меры часто естественно взять лебеговскую меру; то есть меру на прямой инвариантную относительно сдвигов (мера с таким свойством единственна с точностью до умножения на постоянный множитель).

Однако на пространстве С[О, Т] непрерывных функций, с которым мы будем иметь дело в дальнейшем, определить нетривиальную меру не так просто. Это связано с тем, что на этом пространстве нет фиксированной стандартной меры, как в случае меры Лебега в R. При этом меры, которая была бы инвариантна относительно сдвигов на С[0,Т] (как впрочем и на любом бесконечномерном пространстве) не существует вообще.

Другой способ определения меры использует отображение из пространства, с заданной на нем мерой. Пусть дано некоторое измеримое пространство {Y,33') с мерой на нем Р'(А), А е 38'. Предположим, что дано измеримое отображение / : (Y, 33') —> (X, то есть отображение, для которого f~1{B) G 3$' для В G 33. Тогда это отображение индуцирует меру Р(В) = P'(f~1(B)) на сг-алгебре 33 в X. Этот способ уже подходит для задания меры на С[0,Т].

Третий способ задания меры — это применение предельного перехода. Более конкретно, можно построить последовательность мер цп в С[0,Т], которые описываются достаточно простым способом, а затем рассмотреть предел /1п при п —> оо. Например, удобно применить предел в смысле слабой сходимости мер.

Наконец, напомним еще один способ построения мер на С[0,Г] — применение теоремы Колмогорова о продолжении меры. Согласно этому методу, мера определяется на некоторой коллекции достаточно простых множеств и затем продолжается на минимальную сг-алгебру, содержащую исходную коллекцию множеств. Действуя таким образом, необходимо показать, что такое продолжение будет корректно и даст меру, которая будет ег-аддитивной на минимальной cr-алгебре. Более того, если мы хотим получить меру на заранее заданной <т-алгебре, то кроме этого мы должны проверить, что сг-алгебра содержится в минимальной сг-алгебре, порожденной простыми множествами.

В диссертации в основном используется второй способ задания мер — изучаются меры на пространстве непрерывных траекторий, индуцированные случайными процессами. Семейства случайных процессов зависят от бесконечно растущего параметра А и исследуется слабая сходимость порождаемых мер. При этом развивается подход к построению поверхностных мер, разработанный в серии работ О. Г. Смолянова и X. фон Вайцзек-кера с их сотрудниками (/15/, /16/, /39/, /41/), основанный на вложении риманова многообразия в евклидово пространство.

Параллельно с изучением мер исследуются уравнения в частных производных, связанные с этими мерами, и доказываются утверждения о сходимости решений таких задач. Отметим, что теория поверхностных мер Смолянова-Вайцзеккера успешно применялась ранее для исследования функциональных интегралов и их применения к изучению дифференциальных и псевдодифференциальных операторов, например в работах /22/, /33/.

Пусть М — гладкое компактное риманово многообразие без границы, вложенное в евклидово пространство. Броуновским движением на многообразии называется марковский процесс, переходная полугруппа которого задается генератором м> где Ам — оператор Лапласа-Бельтрами на М. В Главе 1 приводится конструкция, позволяющая представить меру на пространстве траекторий со значениями в М, порождаемую броуновским движением на М, при помощи слабого предела мер на пространстве траекторий в объемлющем пространстве M.d. Конструкция использует последовательность диффузионных процессов в M.d, являющихся броуновскими движениями с бесконечно возрастающим по модулю сносом, направленным в сторону многообразия. Далее, с помощью формул о представлении решений дифференциальных уравнений в виде функциональных интегралов делается вывод о сходимости решений задач Коши определенного вида в к решению задачи Коши уравнения теплопроводности на данном многообразии.

Пусть D — область в Rd с гладкой границей. Случайным процессом с отражением на границе области 3D называется процесс, удовлетворяющий так называемому стохастическому дифференциальному уравнению Скорохода. В Главе 2 изучается семейство броуновских движений аналогичное рассматриваемому в первой главе, но со сносом, направленным в сторону области D. Оказывается, что при неограниченно возрастающим коэффициенте сноса пределом таких процессов является броуновское движение с отражением на границе области. Из представления решений дифференциальных уравнений как интеграла по траекториям по порождаемой мере делается вывод о том, что решение задачи Коши-Неймана для уравнения теплопроводности в этой области является пределом решений задач Коши определенного вида.

Поведение частицы в магнитном поле В (х) задается уравнением где а(х) — векторный потенциал магнитного поля В(х) = V х а(х), а V(x) — скалярный потенциал. Уравнение такого вида называется уравнением теплопроводности с магнитным полем. В Главе 3 исследуется предельное поведение решений задач Коши этого уравнения в Rd при бесконечно возрастающем магнитном потенциале а(х) вне заданной области. С помощью формулы Фейнмана-Каца-Ито, дающей представление решения задачи Коши этого уравнения в виде функционального интеграла доказано, что в зависимости от ограничений накладываемых на а(х) пределом решений может являться решение задачи Коши-Дирихле в этой области либо решение задачи Коши с начальным условием, ограниченным на эту область. Изучена связь данного результата с теорией поверхностных мер Смолянова-Вайцзеккера.

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач, постоянное внимание и многолетнюю поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тарасенко, Павел Юрьевич, 2010 год

1. В.И. Богачев, Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, РХД, М., 2008.

2. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физмат-лит, М., 2003.

3. С. Ватанабэ, Н. Икэда, Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы, Наука, М., 1986.

4. А.Д. Вентцель, Курс теории случайных процессов, Наука, М., 1975.

5. И.И. Гихман, А.В Скороход, Теория случайных процессов, 3, Наука, М., 1975.

6. Ю.А. Давыдов, "О сильной сходимости распределений функционалов от случайных процессов", Теория вероятностей и ее применения; 25:4 (1980), 782-799.

7. Ю.А. Давыдов, М.А. Лифшиц, Н.В. Смородина, Локальные свойства распределений стохастических функционалов, Наука, М., 1995.

8. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Физматлит, М., 2004.

9. Б. Оксендаль, Стохастические дифференциальные уравнения, Мир, 2003.10J С. П. Пономарев, "Погружения и прообразы множеств меры ноль", Сибирский математический журнал, 28:1 (1987), 153-163.

10. Н.А. Сидорова, Поверхностные меры на пространстве траекторий в многообразии; порожденные броуновским движением в объемлющем евклидовом пространстве, Дисс. канд. физ.-мат. наук, МГУ, 2005.

11. Н.А. Сидорова, "Предельное поведение поверхностных мер на пространствах траекторий", Математические Заметки,, 76:2 (2004), 307-311.

12. О.Г. Смолянов, X. фон Вайцзеккер, О. Виттих, "Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры", Доклады Академии Наук, 371:4 (2000), 442-447.

13. О.Г. Смолянов, X. фон Вайцзеккер, О. Виттих, Н.А. Сидорова, "Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузиями", Доклады Академии Наук, 377:4 (2001), 441— 446.

14. О.Г. Смолянов, X. фон Вайцзеккер, О. Виттих, Н.А. Сидорова, "Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях", Доклады Академии Наук, 383:4 (2002), 458-463.

15. О.Г. Смолянов, X. фон Вайцзеккер, О. Виттих, "Поверхностные меры и начально-краевые задачи, порождаемые диффузиями со сносом", Доклады Академии Наук, 415:6 (2007), 737-741.

16. Р. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Мир, М., 1968.

17. М.И. Фрейдлин, "Диффузионные процессы с отражением и задача с косой производной на многообразии с краем", Теория вероят?юстей и ее применения, 8:1 (1963), 80-88.

18. Т. Abatzoglou, "Unique Best Approximation from a C2-Manifold in Hilbert Space", Pacific Journal of Mathematics, 87:2 (1980), 233-244.

19. A. Bobrowski, Functional Analysis for Probability and StochasticProcesses: An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

20. K. Burdzy, Zhen-Qing Chen, "Discrete approximations to reflected Brownian motion", Annals of Probability, 36:2 (2008), 698-727.

21. Ya. A. Butko, "Representations of the Solution of the Cauchy-Dirichlet Problem for the Heat Equation in a Domain of a Compact Riemannian Manifold by Functional Integrals", Russian Journal of Mathematical Physics, 11:2 (2004), 1-9.

22. B. Driver, A Primer on Riemannian Geometry and Stochastic Analysis on Path Spaces, University of California, San Diego, 2003.

23. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society , 1998.

24. M.I. Freidlin, Functional integration and partial differential equations, Princeton University Press, 1985.

25. A. Friedman, Stochastic differential equations and applications, Academic Press, 1975.

26. R. Hempel, I. Herbst, "Strong magnetic fields, Dirichlet boundaries, and spectral gaps", Communications in Mathematical Physics, 169:2 (1995), 237-259.

27. P. Hsu, "Probabilistic approach to the Neumann problem", Communications on pure and applied mathematics, 38:4 (1985), 445-472.

28. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer, 1998.

29. P.L. Lions, A.S. Sznitman, "Stochastic differential equations with reflecting boundary conditions", Communications on pure and applied mathematics, 37 (1984), 511-537.

30. P. Malliavin, "Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators" , Proceedings of the International Symposium on Stochastic Differential Equations, Kyoto, 1976, 195-263.

31. D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics, Springer-Verlag, 2006.

32. О. O. Obrezkov, "The Proof of the Feynman-Kac Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian Manifold", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability, and Related Topics, 6:2 (2003), 311-320.

33. P. Protter, Stochastic integration and differential equations, Springer, 2004.

34. L.C.G. Rogers, D. Williams, Diffusions, markov processes, and martingales, 2, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

35. Y. Saisho, "Stochastic Differential Equations for Multi-dimensional Domain with Reflecting Boundary", Probability Theory and Related Fields, 74 (1987), 455-477.

36. Y. Saisho, H. Tanaka, "On the Symmetry of a Reflecting Brownian Motion Defined by Skorohod's Equation for a Multi-Dimensional Domains", Tokyo Journal of Mathematics, 10:2 (1987), 419-435.

37. N.A. Sidorova, "The Smolyanov surface measure on trajectories in a Riemannian manifold", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 7:3 (2004), 461-472.

38. N.A. Sidorova, O.G. Smolyanov, H. v. Weizsacker, O. Wittich, "The Surface Limit of Brownian Motion in Tubular Neighbourhoods of an Embedded Riemannian Manifold", Journal of Functional Analysis, 206 (2004), 391-413.

39. B. Simon, Functional integration and quantum physics, Academic Press, 1979.

40. O.G. Smolyanov, H. v. Weizsacker, O. Wittich, "Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise Conditioned Standard Brownian Motions", Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, 29 (2000), 589-602.

41. O.G. Smolyanov, H. v. Weizsacker, O. Wittich, "Chernoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds", Potential Analysis, 26 (2007), 1-29.

42. H. Tanaka, "Stochastic differential equations with reflecting boundary condition in convex regions", Hiroshima Mathematical Journal, 9 (1979), 163-177.

43. I. V. Telyatnikov, "Smolyanov-Weizsaacker surface measures generated by diffusions on the set of trajectories in Riemannian manifolds", Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 11:1 (2008), 21-31.

44. H. v. Weizsacker, G. Winkler, Stochastic Integrals, Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig (Wiesbaden), 1990.