Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор наук Сипин Александр Степанович

• Сипин Александр Степанович
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Сипин Александр Степанович

2.2 Задача Коши

2.2.1 Несмещенные оценки решения задачи Коши

2.2.2 Определение постоянных с и С

2.2.3 Оценка функционалов

2.2.4 Задача Коши для уравнений с дифференцируемыми коэффициентами

2.3 Первая краевая задача в ограниченной области

2.3.1 Блуждание по цилиндрам для уравнения с постоянными коэффициентами

2.3.2 Блуждание по сфероидам для уравнения с постоянными коэффициентами

2.3.3 Блуждание по цилиндрам для уравнения с переменными коэффициентами

2.3.4 Блуждание по шароидам для уравнения с переменным коэффициентом при неизвестной функции

2.3.5 Алгоритмы, связанные с дискретизацией времени

2.4 Одна нелинейная краевая задача

3 Статистические алгоритмы решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка

3.1 Необходимые сведения об эллиптических уравнениях

3.1.1 Фундаментальное решение и функции Леви для

эллиптического оператора

3.2 Первая краевая задача для эллиптического оператора

3.2.1 Блуждание по эллипсоидам

3.3 Краевые задачи для оператора Лапласа

3.3.1 Блуждания по полусферам

3.3.2 Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа

3.3.3 Вычисление электростатических емкостей

3.3.4 Задача Неймана для уравнения Пуассона

3.4 О сочетание схемы Неймана-Улама и метода стохастической

аппроксимации

3.4.1 Выделение главной части оператора для уравнений теории

потенциала

Л Алгоритмы моделирования некоторых распределений

Л.1 Моделирование изотропного вектора в Ка

Л.1.1 Изотропный вектор в пространстве

Л.1.2 Изотропный вектор в полупространстве

Л.1.3 Неравномерное распределение на эллипсоиде

Л.2 Гамма и бета распределение

Л.3 Краевые задачи для параболического уравнения

Л.3.1 Моделирование геометрического распределения

Л.4 Первая краевая задача для эллиптического уравнения

Л.4.1 Моделирование величины р в блуждании по сферам

Л.4.2 Моделирование блуждания по эллипсоидам

Л.4.3 Моделирование величины для внешней задачи Дирихле

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных»

Введение

В данной работе рассматриваются методы Монте-Карло (алгоритмы статистического моделирования) решения краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в частных производных второго порядка, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Задачи рассматриваются в классической постановке. В отличие от разностных методов, алгоритмы статистического моделирования решений краевых задач удобны, когда требуется определить решение в отдельно взятых точках его области определения или линейный функционал от него.

Обычно, методом Монте-Карло (в широком смысле) называется любая процедура статистического моделирования, то есть процедура, реализация которой требует применения псевдослучайных чисел [9-11]. Первые практически важные применения статистического моделирования связаны с Манхеттенским проектом [75]. Само название, по-видимому, дано Н.Митрополисом [71].

Методом Монте-Карло (в узком смысле) называется хорошо известная процедура статистического оценивания некоторого вещественного параметра а выборочным средним £ = (£1 +£2 + .. .+£п)/п по выборке объема п, состоящей из независимых реализаций £1,£2,... , £п некоторой случайной величины £, имеющей конечное математическое ожидание Е£. Случайную величину £ называют статистической оценкой параметра или просто оценкой. Оценка £ называется несмещеной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру. В силу закона больших чисел выборочное среднее £ стремится с вероятностью

единица к математическому ожиданию E£ при стремлении объема выборки к бесконечности, что позволяет использовать £ в качестве приближенного значения E£.

Если случайная величина £ имеет второй момент, то величина £ является асимптотически нормальной и можно построить доверительный интервал для E£. При уровне доверия равном 0,997 асимптотический доверительный интервал имеет вид (£ — 3S/\/n ; £ + 3S/\/n), а величина S2 является выборочной дисперсией. Таким образом, величина абсолютной погрешности £ как приближенного значения параметра определяется суммой модуля смещения |£ — E£ | и статистической погрешности 3S/^/n. Величину смещения редко удается оценить сверху, поэтому желательно конструировать несмещенные оценки.

Методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных основаны на представлении этих решений в виде интегралов по вероятностным мерам в функциональных пространствах. Одно из самых известных представлений связано с континуальными интегралами. Решение задачи представляется в виде математического ожидания функционала от траектории марковского случайного процесса [7]. Для получения статистических оценок используются приближения случайного процесса, найденные путем решения стохастического дифференциального уравнения разностными методами. Наиболее развитый метод такого типа носит название многосеточный метод Монте-Карло (Multilevel Monte Carlo Method, [67,69]). Получаемые при этом оценки являются смещенными. В настоящее время такие методы интенсивно развиваются, так как позволяют решать краевые задачи для уравнений с переменными коэффициентами, встречающиеся в финансовой математике.

Хорошо разработаны статистические методы, связанные с решением систем линейных уравнений, полученных в результате дискретизации дифференциального уравнения [68,70]. Методом Монте-Карло в этом случае решается система линейных уравнений для сеточной функции, приближающей точное

решение в узлах сетки. В случае параболического уравнения обычно используется неявная разностная схема, либо устойчивая явная схема. Статистические оценки строятся на траекториях блуждания по сетке. Они являются несмещенными для сеточной функции.

Бессеточные методы связаны с построением статистических оценок на траекториях цепей Маркова с дискретным временем и непрерывным фазовым пространством, поэтому такие методы естественно также называть методами случайных блужданий. Решение краевой задачи записывается при этом как функционал (линейный и ограниченный) от решения некоторого интегрального уравнения второго рода.

Процедуру построения несмещенных оценок для решения интегральных уравнений принято называть схемой Неймана-Улама. Первоначально она разрабатывалась для уравнения переноса излучения [30], а затем была распространена на интегральные уравнения второго рода [11]. По своей сути, она является процедурой последовательного несмещенного оценивания интеграла в интегральном уравнении по квадратурной формуле с одним случайным узлом, распределение которого определяется плотностью вероятностей перехода цепи Маркова. Схема Неймана-Улама также тесно связана с вероятностной теорией потенциала [31,64], что позволяет эффективно использовать теорию мартингалов для исследования случайных блужданий и несмещенных оценок решений краевых задач на траекториях этих блужданий.

Если интегральное уравнение получено из теоремы о среднем значении, то соответствующее блуждание происходит внутри области. Первым и наиболее известным алгоритмом такого типа является алгоритм блуждания по сферам [72], решающий задачу Дирихле для уравнения Пуассона в ограниченной области. Алгоритм прост в реализации и достаточно эффективен. Он основан на интегральном представлении решения уравнения Пуассона в центре шара с помощью функции Грина.

Если интегральное уравнение получается на основе уравнений теории потенциала, то говорят об алгоритмах случайного блуждания по границе. По-видимому, впервые такой алгоритм был применен для решения задачи Неймана в выпуклой области [48]. Несмещенные статистические оценки для решения задачи были построены на траекториях блуждания по границе области, каждая следующая точка которого видна из предыдущей в случайном направлении, определяемом изотропным вектором в полупространстве. Плотность (по отношению к мере Лебега на поверхности) вероятности перехода за один шаг в таком блуждании является ядром Гаусса (для телесного угла), что естественным образом связывает процесс блуждания с уравнениями теории потенциала.

Бессеточные алгоритмы построены для многих практически важных краевых задач [3,12,15,17,26,33-37,43,44,65].

Основными целями данной диссертационной работы являются:

- теоретические исследования случайных процессов и статистических оценок, используемых при построении и реализации бессеточных методов решения краевых задач;

- разработка новых алгоритмов статистического моделирования для решения задачи Коши для параболического уравнения;

- разработка новых алгоритмов статистического моделирования для решения первой краевой задачи для уравнений параболического и эллиптического типа;

- исследование процесса блуждания по полусферам и его применение к решению краевых задач для уравнения Пуассона;

- применение метода стохастической аппроксимации в схеме Неймана-Улама для решения интегральных уравнений;

- создание процедур моделирования распределений, необходимых для реализации алгоритмов.

В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с применением схемы Неймана-Улама к решению интегральных уравнений эквивалентных крае-

вым задачам. Спектральный радиус оператора таких интегральных уравнений равен единице, поэтому традиционная процедура статистического моделирования для таких уравнений требует корректировки. Исследование статистических оценок и марковских цепей, на которых оценки строятся, проводится методами теории мартингалов. Необходимые сведения из этой теории содержит первый параграф. Во втором параграфе содержатся некоторые результаты из вероятностной теории потенциала. В третьем параграфе исследуются интегральные уравнения с субстохастическим ядром. Формулируются и доказываются теоремы о поведении траекторий однородной цепи Маркова, определяемой этим ядром. В четвертом параграфе рассматриваются процедуры построения несмещенных оценок решений интегральных уравнений с субстохастическим ядром. Оценки строятся на траекториях цепи Маркова, определяемой этим ядром. Доказываются теоремы о конечности дисперсии таких оценок, исследуется трудоемкость алгоритмов. В пятом параграфе изучается последовательная процедура статистического оценивания решений интегральных уравнений с произвольным конечным ядром. Показано, что в случае ограниченного ядра, для основных статистических оценок суммы ряда Неймана она совпадает со схемой Неймана-Улама. Доказаны теоремы об ограниченности дисперсии статистических оценок.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [12,15,56,65,74].

Во второй главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения задачи Коши и первой краевой задачи для параболического уравнения второго порядка, в основном, с переменными коэффициентами. Интегральные уравнения для решений краевых задач получаются методом замороженных коэффициентов. К этим уравнениям применяется либо стандартная процедура оценивания, либо процедура из параграфа 1.5 и ее аналоги. В параграфе 2.1 с помощью формул Грина получены не содержащие производных интегральные представления для решения параболического уравнения в ци-

линдре, шароиде (области, ограниченной поверхностью уровня фундаментального решения) и во всем пространстве. С помощью полученных представлений решается задача Коши. Рассмотрена как прямая, так и сопряженная схема Неймана-Улама. Доказаны теоремы об ограниченности дисперсии построенных статистических оценок. В параграфе 2.3 получены малосмещенные оценки с конечной дисперсией для первой краевой задачи внутри ограниченной области. На траекториях блуждания по цилиндрам оценки построены как для уравнений с постоянными коэффициентами, так и для уравнений с переменными коэффициентами. На траекториях блуждания по шароидам оценки построены для уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения с переменным коэффициентом при неизвестной функции. Рассмотрен также метод построения статистических оценок, основанный на сведении начально-краевой задачи к системе эллиптических краевых задач путём дискретизации времени. В параграфе 2.4 на траекториях ветвящегося блуждания по границе выпуклой области построены несмещенные статистические оценки решения уравнения теплопроводности с нелинейным граничным условием Стефана-Больцмана.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [12,15,52-55,57,65,73].

В третьей главе рассматриваются алгоритмы статистического моделирования для решения краевых задач для эллиптических уравнениний второго порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами в пространстве Яп, где п > 2. Для первой краевой задачи исследуются, в основном, блуждания внутри области, а для второй краевой задачи — блуждания по границе области. Как и во второй главе, задачи рассматриваются в классической постановке, то есть граница области и функции, входящие в уравнение, предполагаются достаточно гладкими и ограниченными. В параграфе 3.1 с помощью функции Леви специального вида построено интегральное представление решения эллиптического уравнения в эллипсоиде. Интегральный оператор в этом представлении имеет субстохастическое ядро, что позволяет применить резуль-

таты главы 1 для построения статистических оценок решения первой краевой задачи в ограниченной области. Соответствующая процедура реализована в параграфе 3.2. В параграфе 3.3 рассматриваются краевые задача для оператора Лапласа. Определяются различные варианты блуждания по полусферам на траекториях которого строятся несмещенные и малосмещенные статистические оценки решения уравнения Пуассона. Исследованы: задача Дирихле в области, ограниченной многогранником; задача с граничным условием третьего рода, когда на выпуклой части границы задано условие Неймана, а на оставшейся части условие Дирихле; задача с разрывом нормальной производной решения на плоской границе, разделяющей область на части. Здесь же рассмотрины алгоритмы блуждания по сферам и полусферам для решения внешней задачи Дирихле. Постоенные процедуры применены к решению задачи о вычислении взаимных электростатических емкостей проводников. Заключительная часть параграфа посвящена задачам в выпуклой области. Методом Монте-Карло решаются интегральные уравнения теории потенциала для неизвестной функции на границе области. Предложена и реализована процедура выделения главной части интегрального оператора, аналогичная методу выделения главной части в методе Монте-Карло для вычисления интегралов. В параграфе 3.4 процедура выделения главной части оператора реализуется для операторов Фредгольма и Гильберта-Шмидта методом стохастической аппроксимации. Полученные результаты применяются для решения уравнений теории потенциала.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [12-15,19,47-51,65].

В приложение вынесены, в виду их важности, процедуры моделирования как стандартных распределений, так и распределений, полученных при построении новых бессеточных алгоритмов решения краевых задач.

Настоящая работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Вологодский государственный университет», г.Вологда (ФГБОУ ВПО «Во-

ГУ»), Изложенные в ней результаты были представлены и докладывались на следующих конференциях: V всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1976; VI всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1979; Межреспубликанская школа-семинар "Методы Монте-Карло и их приложения"(Казахстан, Алма-Ата, сентябрь 1987); школа-семинар "Актуальные проблемы теории статистического моделирования и ее приложения"(Узбекистан, Ташкент, сентябрь 1989); Fifth Workshop on Simulation, St, Petersburg ,2005; Международная конференция "Тихонов и современная математика" (секция "Вычислительная математика и информатика"), Москва, 2006; Пятая международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания Обнинск, 2011; Seven Workshop on Simulation, Rimini, Italy, 2013; Ninth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods Annecy-le-Vieux, France, 2013

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета,

Выражаю глубокую благодарность моему Учителю, заведующему кафедрой статистического моделирования Санкт-Петербургского государственного университета профессору Сергею Михайловичу Ермакову за постоянное внимание к работе и плодотворное научное сотрудничество, Выражаю признательность заведующему кафедрой прикладной математики Вологодского государственного университета профессору Александру Израилевичу Зейфману за поддержку и создание творческой атмосферы,

Глава 1

Применение схемы Неймана-Улама к решению краевых задач

Бессеточные стохастические методы решения краевых задач для уравнений в частных производных чаще всего основаны на интегральном представ-лениии решения краевой задачи. Это интегральное представление обычно рассматривается как интегральное уравнение, к которому применяется процедура статистического моделирования, известная как схема Неймана-Улама [11]. В данной главе мы определим ее для интегральных уравнений с субстохастическим ядром и, следуя [12], рассмотрим стандартную схему для случая, когда сходится ряд Неймана для "мажорантного уравнения".

1.1 Справочные сведения из теории мартингалов

При исследовании случайных процессов и статистических оценок в данной работе используется теория мартингалов. Приведем необходимые определения и результаты из теории мартингалов, следуя [2, 31]

Пусть (Р, Р) - вероятностное пространство. Возрастающая последовательность {&}?=0 ^-подалгебр $ называется потоком или фильтрацией. Действительная последовательность случайных величин согласована с по-

током если при всех % величина Хг измерима относительно а-алгебры

Процесс {Х^}°=0 называется мартингалом (соответственно супермартингалом, субмартингалом) относительно потока {$ }ТО=0, если при всех % величина Хг имеет конечное математическое ожидание (Е|Хг| < то) и Е(Хг+1 = Хг почти наверное (соответственно ^ Хг, ^ Хг).

Отображение т : ^ ^ N и {то} называется марковским моментом относительно потока {&}ТО=0, если {ш : т(ш) ^ %} € для любого % € N. Моментом остановки называется марковский момент т, для которого т(ш) < то почти наверное.

Марковский момент т называется ограниченным, если т ^ к почти наверное для некоторого натурального к. Система множеств

$Т = {А € $ : А П {т < %} € для любого % € N

является а-алгеброй и называемой а-алгеброй событий, наблюдаемых до случайного момента т (включительно).

Теорема 1.1.1 (о свободном выборе или об остановке; Дуб; [2] Теорема 2, стр.116)

Пусть последовательность случайных величин {Хг}°=0 такова, что

Е |Хг|

< то при всех %, и согласована с потоком {$}то=0. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) {Х,}£

0 — мартингал (субмартингал) относительно потока {F¿}то=о,

2) Е(ХТ) = (^)ХТЛа для любого ограниченного марковского момента т и любого марковского момента а,

3) ЕХТ = (^)ЕХа для любых ограниченных марковских моментов т и а таких, что т ^ а почти наверное.

Последовательность случайных величин называется равномерно

интегрируемой, если

lim sup I XidP = 0 (1.1.1)

C^TO i J

{\Xi\>c}

Из этого свойства сразу следует, что для таких последовательностей

supE|Xi| < оо. (1.1.2)

i

Для равномерной интегрируемости последовательности {Xi}°=0 достаточно выполнения условия:

sup EX2 < оо. (1.1.3)

i

Последовательности, удовлетворяющие условию (1.1.3) будем называть квадратично интегрируемыми.

Сформулируем некоторые теоремы о сходимости мартингалов.

Теорема 1.1.2 ([31], Теорема 17, стр.112)

1. Пусть {Xi}TO=0 - супермартингал относительно потока {Fi}TO=0. Пусть X- = max(0, —Xi) и выполнено условие (*)supi EX- < то.

Тогда случайные величины Xi сходятся с вероятностью единица к интегрируемой случайной величине

2. Если все Xi неотрицательны, то E(XTO|Fi) ^ Xi и EXTO ^ lim EXi. Знак равенства в последнем неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда последовательность {Xi}°=0 равномерно интегрируема.

3. Предположим, что последовательность случайных величин {Xi}°=0 - равномерно интегрируемый супермартингал. Тогда выполняется условие (*), Xi сходится к по норме в F, P) и E(XTO|Fi) ^ Xi при всех i.

4. Предположим, что последовательность случайных величин {Xi}°=0 равномерно интегрируемый мартингал. Тогда E(XTO|Fi) = Xi при всех i.

Пусть Fto - минимальная а-алгебра, содержащая все F«. Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1.3 ([31], Теорема 18, стр.113)

1. Последовательность , согласованная с потоком {Fi}i=0 является равномерно интегрируемым мартингалом тогда и только тогда, когда для некоторой интегрируемой случайной величины Y при всех i почти наверное выполнены равенства E(Y|F«) = Xj.

2. Существует единственная (с точностью до эквивалентности) случайная величина Y0, обладающая этим свойством. При этом Xj сходится к Y0 с вероятностью единица и по норме в пространстве F, P).

Из теоремы о преобразовании свободного выбора и теорем о сходимости мартингалов вытекает важная теорема.

Теорема 1.1.4 ([31], Теорема 29,

стр.121) Пусть последовательность {Xj}°=o, согласованная с потоком {Fi}^=0 является равномерно интегрируемым мартингалом, т - момент остановки и = lim Xj почти наверное . Тогда с вероятностью 1 справедливо равенство E(XTO|FT) = XT.

1.2 Элементы теории потенциала и ряд Неймана

Пусть (ф, А)- некоторое измеримое пространство. Вещественная, определенная на ф х А функция к(х,А) называется ядром, если при всех А € А функция к(-,А) является А - измеримой, и при всех х € ф функция множества к (х, •) является зарядом (конечной счетно аддитивной функцией множества). Положительную, отрицательную и полную вариацию заряда к(х, •) будем обозначать к+(х, -),к-(х, •), |к|(х, •), соответственно. Ядро называется неотрицательным, если к(х, •)- счетно-аддитивная мера при всех х € ф. Неотрицательное ядро называется субстохастическим, если при всех х € ф выполнено

неравенство к(х,() ^ 1, и стохастическим, если при всех х € ( выполнено равенство к(х,() = 1.

Пусть V - заряд на А. Интеграл от А - измеримой функции Н определяется равенством

I (ф) = 1 Н(уК(ф) Н(уК(^), (1.2.1)

д д д

при этом оба интеграла в правой части равенства (1.2.1) должны быть конечны.

Из определения заряда и теоремы Б.Леви о предельном переходе в интеграле Лебега для монотонной последовательности функций [16] следует лемма.

Лемма 1.2.1 Если А-измеримая функция Н при всех х € ( интегрируема на ( по заряду к(х, •), то функция определяемая равенством

^(х) = ^ Н(у)к(х,^у), х € д

А-измерима.

Рассмотрим линейное интегральное уравнение

и(х) = + Е(х),х Е ( (122)

д

где Е - измеримая функция. Если функция Е интегрируема по заряду к(х, •) при всех х € ( и для нее определены все степени интегрального оператора К с ядром к, то при любом натуральном п для решения уравнения (1.2.2) имеет справедливо равенство

п

и(х) = К¿Е(х) + Кп+1м(х), х € (. (1.2.3)

¿=0

Ряд

то

^К¿Е(х), х € ( (1.2.4)

¿=0

называется рядом Неймана для уравнения (1.2.2). Если он сходится при всех x € Q, то на решении уравнения определен оператор

KTOu(x) = lim Ku(x) (1.2.5)

г^то

и справедливо равенство

то

u(x) = ^ KF(x) + KTOu(x), x € Q. (1.2.6)

¿=0

Для неотрицательной функции F на решении уравнения (1.2.2) справедливо неравенство

Ku(x) < u(x), x € Q, (1.2.7)

из которого следует, что последовательность функций ^ = K¿u - неубывающая. Следовательно, сходимость ряда Неймана равносильна, в данном случае, ограниченности последовательности ^¿(x) снизу. Таким образом справедлива лемма.

Лемма 1.2.2 Пусть уравнение (1.2 .1)с неотрицательной правой частью F имеет решение u(x) . Тогда ряд Неймана для F сходится тогда и только тогда, когда последовательность K¿u i = 1, 2,... ограничена снизу.

Статистические оценки суммы ряда Неймана обычно строят в предположении сходимости ряда Неймана для мажорантного уравнения

u(x) = / u(y >|fciwF <x)|'x € Q, (1*8)

Q

что гарантирует абсолютную сходимость ряда (1.2.4), так как |KiF| < K |F|. Здесь K - интегральный оператор с ядром |k|. В вероятностной теории потенциала [31,63] сумму ряда Неймана называют потенциалом и обозначают GF. В силу теоремы Б.Леви потенциал G|F| является неотрицательным решением

мажорантного уравнения. Очевидно, что K^G|F| = 0. Функция v = u — G|F | удовлетворяет однородному уравнению

v(x) = Jv(y)|k|(x,dy) g Q. (1.2.9)

Q

Функции удовлетворяющие однородному интегральному уравнению называют инвариантными, а функции удовлетворяющие неравенству (1.2.7) - эксцессив-ными для ядра k. Из предыдущих рассуждений вытекает справедливость следующей теоремы, принадлежащей Риссу [31].

Теорема 1.2.1 Пусть функция F и ядро k неотрицательны, тогда ряд Неймана для уравнения (1.2.2) сходится в том и только том случае, когда существует неотрицательное решение уравнения. При этом всякое решение уравнения единственным способом раскладывается в сумму потенциала и инвариантной функции.

Доказательство. Если ряд Неймана сходится, то его сумма является неотрицательным решением уравнения. Достаточность следует из леммы 1.2.2.

Пусть решение u имеет два разложения: u = GF + v = GFi + vi. Тогда KTOv = KTOv1, так как KTOGF = 0 и KTOGF1 = 0. Значит, v = v1, так как обе эти функции инвариантные. Тогда функция u1 = GF = GF1 является решением уравнения (1.2.2) как с правой частью F, так и с правой частью F1, то есть F = F1. ■

Часто уравнение (1.2.2) расматривается в каком-либо нормированном пространстве функций, например, в пространстве непрерывных функций C(Q) или в пространстве ограниченных функций M(Q), если Q - компактное множество в евклидовом пространстве Rn. Очевидным достаточным условием сходимости ряда Неймана для мажорантного уравнения в этом случае является неравенство р(К) < 1 для спектрального радиуса оператора K. Часто вместо самого решения требуется несмещенно оценить интеграл от него по некоторому

заряду V. Понятно, что имея статистическую оценку решения уравнения (1.2.2) легко построить и оценку интеграла от него. Однако, в этом случае не требуется сходимость ряда Неймана всюду. Достаточно сходимости IV| почти всюду, которая есть при сходимости ряда, например, в ^(ф, IV|).

1.3 Субстохастические ядра. Свойства траекторий цепи Маркова

В данном параграфе, следуя работе [74], изучаются алгоритмы метода Монте-Карло для интегральных уравнений с субстохастическим ядром Р(ж,^у). Уравнение (1.2.2)рассматривается в пространстве М(ф) ограниченных борелевских функций на некотором компакте ф в евклидовом пространстве Яп и имеет вид

Несмещенные оценки решения уравнения (1.3.1) обычно строят на траекториях цепи Маркова {хг}^=0 , определяемой переходной вероятностью Р(х, ¿у). Процесс обрывается в некоторый случайный марковский момент т. при переходе в поглощающее состояние А, лежащее вне ф (при этом и(А) = 0).

Изучим некоторые свойства последовательности {жг}^=0 , стартующей из точки х0 = х. Определим момент обрыва цепи т1 как момент первого попадания цепи в состояние А, то есть т1 = т£{п|хп = А}. Пусть {А}°=0 — последовательность а-алгебр, порожденная цепью до момента времени г, х — индикатор события {т1 > г}. Пусть и(х) —ограниченная эксцессивная функция, удовлетворяющая уравнению (1.3.1). Определим стандартную последовательность несмещенных оценок

(1.3.1)

Я

г-1

П = ^ Р(Х+ Хг^г), ¿=0

(1.3.2)

которая, очевидно, является мартингалом относительно потока {А;}<0. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.3.1 (О свойствах стандартной последовательности оценок)

1. Стандартная последовательность несмещенных оценок, построенная по ограниченному эксцессивному решению уравнения (1.3.1) с субстохастическим ядром является равномерно интегрируемым мартингалом.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сипин Александр Степанович, 2016 год

Литература

1. Бочек И. А. О вычислении коэффициентов Ритца и Галеркина методом Монте-Карло / И. А. Бочек // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. -1967. - Т. 7, № 1. - С. 172-177.

2. Булинский А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский , А. Н. Ширяев - Москва: Физматлит, 2005.

3. Бурмистров А. В. Вычисление производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло / А. В. Бурмистров, Г. А. Михайлов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2003. - Т. 43, № 10. - С. 1517-1529.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров - Москва: Наука, 1971.

5. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гюнтер - Москва: Гостехиздат, 1953.

6. Голяндина Н. Э. Некоторые функциональные неравенства и исследование скорости сходимости марковских цепей к границе / Н.Э. Голяндина // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1991.- Т. 31, № 7.- С. 1029-1041.

7. Дынкин Е.Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин - Москва: Физматгиз, 1963.

8. Дынкин Е. Б. Теоремы и задачи о процессах Маркова / Е. Б. Дынкин, А. А. Юшкевич - Москва: Наука, 1967.

9. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков -Москва: Наука, 1975.

10. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике / С. М. Ермаков - Санкт-Петербург: СПбГУ, 2008.

11. Ермаков С. М. Статистическое моделирование / С.М. Ермаков, Г. А. Михайлов - Москва: Наука, 1982.

12. Ермаков С. М. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики / С. М. Ермаков, В. В. Некруткин, А. С. Сипин -Москва: Наука, 1984.

13. Ермаков С. М. Новая схема метода Монте-Карло для решения задач математической физики / С. М. Ермаков, А. С. Сипин // Доклады АН СССР. -1985. - Т. 285, № 3.

14. Ермаков С. М. Процесс блуждания по полусферам и его применение к решению краевых задач / С.М. Ермаков, А. С. Сипин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. - 2009. - Сер. 1, Вып. 3. - С. 9-18.

15. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и параметрическая разделимость алгоритмов / С. М. Ермаков, А. С. Сипин - Санкт-Петербург: СПбГУ, 2014.

16. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / Колмогоров А. Н., Фомин С. В. - Москва: Наука, 1968.

17. Кронберг А. А. Об алгоритмах статистического моделирования решения краевых задач эллиптического типа / А. А. Кронберг // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1984.- Т. 24, № 10. - С. 1531-1537.

18. Кронберг А. А. Об асимптотике математического ожидания числа шагов ^-сферического процесса / А. А. Кронберг // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1980.- Т. 20, № 2. - С. 528-531.

19. Кузнецов А. Н. Универсальный алгоритм расчета электростатических емкостей системы проводников методом Монте-Карло / А. Н. Кузнецов, А. С. Си-пин // Матем. моделирование. - 2009. - Т. 21, № 3. - С. 41-52.

20. Кузнецов А.Н. Статистические оценки для степеней оператора Грина / А.Н. Кузнецов, А. С. Сипин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - № 2. - С. 114-123.

21. Кузнецов А. Н. Оценки методом Монте-Карло итераций оператора Грина и собственных чисел первой краевой задачи для оператора Лапласа / А. Н. Кузнецов, И. А. Рытенкова, А. С. Сипин // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - № 4. - С.82-92.

22. Кузнецов А. Н. Решение некоторых задач математической физики методами Монте-Карло. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Вологда —2012.

23. Кузнецов А. Н.Расчёт взаимных электростатических ёмкостей системы проводников, разделённых диэлектриками, методом блуждания по полусферам / А.Н. Кузнецов // Матем. моделирование. - 2015. - Т. 27, № 3. -С. 86-95.

24. Курбанмурадов О. А. Оценка математического ожидания числа шагов £-сферического процесса / О. А. Курбанмурадов //Методы Монте-Карло в вычисл. математике и мат. физике. Ч.2 - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. - С.137-144.

25. Курбанмурадов О. А. Асимптотика среднего числа блужданий до попадания в ^-окрестность границы для одного класса однородных цепей Маркова. / О. А. Курбанмурадов //Системное моделирование в информатике. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 13-22.

26. Курбанмурадов О. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе / О. А. Курбанмурадов, К. К. Сабельфельд, Н. А. Симонов - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.

27. Купцов Л. П. Свойства среднего и принцип максимума для параболических уравнений второго порядка / Л.П.Купцов // Доклады АН СССР. - 1978. -Т. 242, № 3. - С. 56-59.

28. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева - Москва: Наука, 1967.

29. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц - 2-е, перераб. изд. - Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - Т. VIII. Электродинамика сплошных сред.

30. Марчук Г. И. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике / Г. И. Марчук, Г. А. Михайлов, М. А. Назаралиев и др.- Новосибирск: Наука, 1976.

31. Меер П. А. Вероятность и потенциалы / П. А. Меер - Москва: Мир, 1973.

32. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда - Москва: ИЛ, 1957.

33. Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения уравнения Гельм-гольца / Г. А. Михайлов // Доклады Академии наук.- 1992.-Т. 326, № 6.-С. 943-947.

34. Михайлов Г. А. Решение краевых задач второго и третьего рода методом Монте-Карло / Г. А. Михайлов, Р. Н. Макаров // Сиб. матем. журн.-1997.- Т. 38, № 3.- С. 603-614.

35. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло / Г. А. Михайлов- Новосибирск: СО РАН, 2000.

36. Михайлов Г. А. Новый метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения / Г. А. Михайлов, А. В. Бурмистров // Сиб.матем. журн. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 1098-1105.

37. Михайлов Г. А. Решение стационарного уравнения диффузии методом Монте-Карло с вычислением производных / Г. А. Михайлов, А. В. Бурмистров // Доклады Академии наук. - 2000. - Т. 372, № 6. - С. 736-739.

38. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных / С. Г. Михлин - Москва: Высшая школа, 1977.

39. Мишустин Б. А. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом статистических испытаний / Б. А. Мишустин // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1967. - Т. 7, № 5. - С. 1179-1188.

40. Невельсон М. Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание / М. Б. Невельсон, Р. З. Хасьминский - Москва: Наука, 1972.

41. Некруткин В. В. О скорости сходимости к границе некоторых вариантов сферического процесса / В. В. Некруткин, Н.Э. Пригаро(Голяндина) // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1986.- Т. 26, № 4. - С. 626—631.

42. Расулов А. С. Решение одного нелинейного уравнения методом Монте-Карло / А. С. Расулов , А. С. Сипин // Методы Монте-Карло в вычисл. математике и мат. физике. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. - С. 149155.

43. Сабельфельд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах / К. К. Сабель-фельд - Новосибирск: Наука, 1989.

44. Симонов Н. А. Стохастические итерационные методы решения уравнений параболического типа / Н. А.Симонов // Сиб. матем. журн. - 1997. - Т. 38, № 5 - С. 1146-1162.

45. Симонов Н.А. Методы Монте-Карло для решения эллиптических уравнений с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную / Н. А.Симонов // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 410, № 2, С. 164167.

46. Симонов Н.А. Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения смешанной краевой задачи и задачи Неймана / Н. А.Симонов // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2007. - Т. 10, № 2, С. 209-220.

47. Сипин А. С. Решение задачи Дирихле для уравнения -Au + a(x)u = f (x) методом Монте-Карло / А. С. Сипин // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., мех., астр. - 1976. - Вып. 1. - С. 60-63.

48. Сипин А. С. О решении задачи Неймана методом Монте-Карло / А. С. Сипин // Методы Монте-Карло в вычисл. математике и мат. физике. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. - С. 129-135.

49. Сипин А. С. Решение двух краевых задач Дирихле методом Монте-Карло / А. С. Сипин // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1979. - Т. 19, № 2. - С. 388-401.

50. Сипин А. С. Решение первой краевой задачи для уравнения эллиптического типа методом Монте-Карло / А. С. Сипин // Методы Монте-Карло в вычислит. математике и мат. физике. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. -С. 113-119.

51. Сипин А. С. Процессы блуждания внутри области и их применение к решению краевых задач / А. С. Сипин // А.Н. Тихонов и современная математика. Труды международной конференции. - Москва, 2006. - С. 113-114.

52. Сипин А. С. Блуждание по цилиндрам для параболических уравнений / А. С. Сипин // Математические модели. Теория и приложения. - Санкт-Петербург: ВВМ НИИХ СПбГУ, 2010. - C. 83-103.

53. Сипин А. С. Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка / А. С. Сипин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. - 2011. - Вып. 3. - С. 65-74.

54. Сипин А. С. Статистические алгоритмы решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка. Сопряженная схема / А. С. Сипин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. - 2012. - Вып. 1. - С. 7-67.

55. Сипин А. С. Блуждание по цилиндрам для уравнения теплопроводности / А. С. Сипин, И. И. Богданов // Математические модели. Теория и приложения. - Санкт-Петербург: ВВМ НИИХ СПбГУ, 2012. - C. 25-36.

56. Сипин А. С. Об особенностях применения схемы Неймана-Улама к решению краевых задач / А. С. Сипин // Математические модели. Теория и приложения. - Санкт-Петербург: ВВМ НИИХ СПбГУ, 2012. - C. 37-47.

57. Сипин А. С. Применение схемы Неймана—Улама к решению первой краевой задачи для параболического уравнения / А. С. Сипин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1. - 2014. - Вып. 1. - С. 33-44.

58. Смайт В. Электростатика и электродинамика. Перевод со второго американского издания / В. Смайт - Москва: ИЛ, 1954.

59. Тихонов А. Н. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениям к некоторым задачам математической физики / А. Н. Тихонов // Бюлл. МГУ. Секция А. Сер. матем. и мех. - 1938. - Т. 1, вып. 8. - С. 1-25.

60. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов , А. А. Самарский - Москва: Наука, 1977.

61. Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей: Учебное пособие / А. Н. Ширяев - Москва: МЦНМО, 2006.

62. Шуренков В. М. Эргодические процессы Маркова / В. М. Шуренков -Москва: Наука, 1989.

63. Doob J. L. Discrete potential theory and boundaries / J. L. Doob // J.Math.Mech. - 1959. - Vol.8,3. - Pp. 433-458.

64. Doob J. L. Classical potential theory and its probabilistic counterpart / J. L. Doob - Berlin: Springer, 2001.

65. Ermakov S. M. Random Processes for Classical Equations of Mathematical Physics / S.M. Ermakov, V. V. Nekrutkin, A. S. Sipin - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.

66. Iverson R. B., Le Coz L. Y. A floating random-walk algorithm for extracting electrical capacitance / R. B. Iverson, L.Y. Le Coz // Mathematics and Computers in Simulation. - 2001. - Vol.55. - Pp. 59-66.

67. Giles M.B. Multi-Level Monte Carlo Path Simulation / M.B. Giles // Operations Research. - 2008. - Vol.56, no. 3. - Pp. 607-617.

68. Haji-Sheikh A. The floating random walk and its application to Monte Carlo solutions of heat equations / A. Haji-Sheikh, E. M. Sparrow // SIAM J. Appl. Math.- 1966.- Vol. 14, no. 2.- Pp. 570-589.

69. Heinrich S. Multilevel Monte Carlo Methods / S. Heinrich // Lecture Notes in Computer Science -2001.-Vol. 2179.-Pp. 58-67.

70. Kushner H. J. Probabilistic methods for finite difference approximation to degenerate elliptic and parabolic equations with Neumann and Dirichlet boundary conditions / H. J. Kushner // J. Math.Anal. and Appl.- 1976.- Vol. 58. - Pp. 644-668.

71. Metropolis N. The Monte Carlo method / N. Metropolis, S. Ulam // J.Amer. Statist. Assoc.- 1949.- Vol. 44.- Pp. 335-341.

72. Müller M. E. Some continuous Monte Carlo methods for the Dirichlet problem / M. E. Müller // Ann. Math. Statistics. - 1956. - Vol. 27, no. 3. - Pp. 569-589.

73. Sipin A.S. Monter Carlo method for Stefan-Boltzmann problem / A. S. Sipin // Proc. of the 5th St. Petersburg Workshop on simulation, St. Petersburg, June 26-July 2, 2005- / Eds.: S. M. Ermakov, V. B. Melas. and A.N.Pepelyshev -St. Petersburg: VVM com. Ltd., 2005 - Pp. 633-638.

74. Sipin A. Monte Carlo method for partial differential equations / A.S. Sipin // Topics in Statistical Simulation Research from the 7th International Workshop on Statistical Simulation. -/ Eds.: Melas, V.B., Mignani, S., Monari, P., Salmaso, L. — Springer Proceedings in Mathematics and Statistics - 2014.— Vol. 114. - Pp. 475-483.

75. Ulam S. Statistical methods in neutron diffusion / S. Ulam, J. von Neumann, R. D. Richtmyer.-Los Alamos National Laboratory, 1947.- Report. LAMS-551.

76. Wagner W. Unbaised Monte Carlo estimators for functionals of weak solutions of stochastic differential equations / W. Wagner // Preprint P-MATH-30/87. -Berlin: Karl-Weierstrass-institut fur Matematik.

77. Wagner W. Unbiased Monte Carlo evaluation of certain functional integrals / W. Wagner // J. Comput. Phys. - 1987. - Vol. 71. - Pp. 21-33.

78. Wagner W. Unbiased Monte Carlo estimators for functionals of weak solutions of stochastic diffretial equations / W. Wagner // Stochastics and Stochastic Reports. - 1989. - Vol. 28, no. 1. Pp. 1-20.

79. Wagner W. Unbiased Multi-step Estimators for the Monte Carlo Evaluation of Certain Functional Integrals / W. Wagner // J. Comput. Phys. - 1988. -Vol. 79. - Pp. 336-352.

80. Wagner W. Monte Carlo evaluation of functionals of solutions of stochastic differential equations. Variance reduction and numerical examples / W. Wagner // Stochastic analysis and applications. - 1988. - Vol. 6, no. 4. - Pp. 447-468.