О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Люлько, Ярослав Александрович

• Люлько, Ярослав Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Люлько, Ярослав Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Стохастические представления функционалов от бер-нуллиевского случайного блуждания

§ 1.1. Представление максимума на конечном отрезке

§ 1.2. Представление максимума случайного блуждания до момента

выхода на фиксированный уровень

§ 1.3. Представление максимума случайного блуждания до момента

последнего нуля на фиксированном отрезке

§ 1.4. Многократные стохастические представления

Глава 2. Распределение некоторых функционалов от случайных блужданий и процессов броуновского типа 41 §2.1. Распределение времени пребывания однородной марковской

цепи со счетным множеством состояний

§2.2. Распределение времени пребывания скошенного случайного

блуждания

§ 2.3. Предельный переход к локальному времени скошенного броуновского движения

§2.4. Распределение максимума скошенного броуновского движения и скошенного случайного блуждания на некоторых случайных отрезках времени

Глава 3. «Максимальные» неравенства для процессов броуновского типа

§ 3.1. Точные неравенства для максимума скошенного броуновского

движения

§ 3.2. Обоснование выбора функции цены и оптимального момента

остановки

§ 3.3. Доказательство оптимальности выбранных функции цены и

момента остановки

§ 3.4. Об одной задаче оптимальной остановки для скошенного броуновского движения со сносом

Основные обозначения

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О функционалах от случайных блужданий и процессов броуновского типа»

Введение

1. Настоящая диссертация посвящена исследованию функционалов от случайных процессов в дискретном и непрерывном времени с точки зрения нахождения их распределений, предельных свойств распределений, стохастических представлений, а также получению «максимальных» неравенств и решению связанных с ними задач оптимальной остановки.

Практически каждая задача или результат современного стохастического анализа так или иначе связаны с функционалами от случайных процессов - даже знаменитая формула Ито для дважды непрерывно дифференцируемых функций

df(t,Xt) = %{t,Xt)dt + ^(t,Xt)dXt + lÇl(t,Xt)(dXt)2

оперирует с функционалом f(t,Xt) от случайного процесса (Xt)t^Q. При изучении любого случайного процесса классическими задачами для функционалов от его траекторий являются нахождение распределения максимума на фиксированном и случайном отрезках времени; момента первого достижения некоторого уровня; момента первого выхода из заданного множества; момента, обратному к размаху, а также исследование локальных времен случайных процессов. Основные известные результаты о функционалах от случайных процессов изложены в монографиях Revuz и Yor [74], Karatzas и Shreve [56], А. H. Ширяева [8], [18], [35], [36], Rogers и Williams [75], Blumenthal и Getoor [42], Дынкина [14], Гихмана и Скорохода [9].

Зачастую для выявления специальных свойств стохастических процессов и получения новых результатов обращаются к базовым процессам и исследуют функционалы уже от этих процессов более простой структуры. Таким базовым процессом в дискретном времени является сумма независимых случайных величин - случайное блуждание S = (Sk)k^о> и в непрерывном времени - броуновское движение (винеровский процесс) W = (Wt)t^o-

Примером специальной задачи может служить задача исследования дискретных стохастических интегралов, которые включают себя и интегральные функционалы от случайных блужданий. Высокий интерес к подобным функционалам связан с их использованием в моделях рынка акций в финансовой математике, а также рядом задач, возникающих в современной теории временных рядов. В процессе решения подобных задач являются полезными различные варианты предельных теорем, позволяющие получать свойства стохастических интегралов от более сложных процессов, в частности, от фрактального броуновского движения с парамет-

ром Харста Н € (0,1). Данный гауссовский процесс, введенный в работах А. Н. Колмогорова [17] и Б. Мандельбротта, Й. Ван Несса [64], в общем случае не является ни марковским процессом, ни семимартингалом. Однако, с помощью рассмотрения дискретных интегралов от случайных блужданий, в работах [27], [44], [79] выводятся общие условия сходимости к интегралам Ито от стандартного броуновского движения (Н = 1/2), а в работе [67] - к интегралам по фрактальному броуновскому движению с параметром Харста И > 1/2. Таким образом, изучение некоторых свойств интегралов по фрактальному броуновскому движению сводится к исследованию дискретных стохастических интегралов по случайному блужданию, которые устроены значительно проще. Отметим также, что многие результаты, относящиеся к функционалам от стандартного броуновского движения, приведены в справочнике А. Н. Бородина, П. Салминена [7] и монографии А.Н. Ширяева [33], а также в работах [5], [6], [19], [24].

В настоящей работе рассматриваются функционалы «максимального» типа (главы 1 - 3) и функционалы типа локального времени (глава 2). При этом в главе 1 строятся стохастические представления от бернуллиевско-го случайного блуждания в виде дискретных стохастических интегралов, в § 2.4 главы 2 находятся распределения функционалов на некоторых случайных отрезках времени, а в главе 3 выводятся «максимальные» неравенства для скошенного броуновского движения £ [0,1] в непрерыв-

ном времени. В §§2.1, 2.2 главы 2 найдено распределение времени пребывания однородной марковской цепи со счетным множеством состояний, и полученные результаты применяются к скошенному случайному блуж-

данию {3%)к>о- В §2.3 главы 2 с помощью перехода к пределу получено распределение локального времени скошенного броуновского движения в непрерывном времени.

2. При решении конкретных задач теории стохастических процессов используются различные представления исследуемого случайного процесса X = или функционала от него. Выбор того или иного представле-

ния зависит как от свойств процесса (Х^^о, так и от специфики решаемой задачи. Так, если X - семимартингал, то существует триплет предсказуемых характеристик Т = (В, С, и) такой, что справедливо каноническое представление (см., например, [40, Гл. 3])

Хг = Х0 + ВЬ{К) + Хсг + [ [ 1г(х)(1([1 - у) + Г [ {х - к(х))(1/1,

Уо JR ¿0 ¿Ж

где Н(х) - функция урезания, В {К) - предсказуемый процесс ограниченной вариации, С - квадратическая вариация процесса Xе, ц - мера скачков процесса X, г/ - компенсатор меры //.

Если же X является субмартингалом с траекториями типа сас!^, то имеет место разложение Дуба-Мейера (см. [8])

Хг = Х0 + Аь + Ми

где А = ~ возрастающий процесс (компенсатор), а М = (М^^о ~

равномерно интегрируемый мартингал.

Если случайная величина £ является безгранично делимой, то ее характеристическая функция допускает представление Колмогорова-Леви-Хинчина (см. [74])

Еехр{^} = ехр{«0+ (е* - 1 - Ц^ЛХ^)} ,

где (3 € Е, а2 ^ 0, и А - некоторая мера на борелевской сигма-алгебре (Е,£(Е))сА({0}) = 0.

В настоящей работе мы рассматриваем так называемые стохастические интегральные представления (однократные представления) и пред-

оглавления хаоса (многократные представления) функционалов от случайных процессов в дискретном времени. Полученные нами однократные представления функционалов от случайного блуждания являются дискретными аналогами представлений для функционалов от стандартного броуновского движения о» полученных в работах [38], [10]. Одним из результатов данных работ является представление максимума М£ = тахо<в<т В3, которое также было получено другим методом в монографии [75]. Справедлива теорема ([38]):

Теорема. Для М^ = тахо^^г Д> имеет место стохастическое интегральное представление

Т

м£ = ем£ + [ -вг)ави (1.1)

Уо

где = =

Ф(х) = -4= Г е-У2/Чу.

V 27Г J-oo

В случае непрерывного времени существование однократных представлений для класса квадратично интегрируемых .Т^-измеримых функционалов, где ~ естественная фильтрация броуновского движения, гарантирует

Теорема (Ито-Кларка). Пусть случайная величина X = Х(ш) является Тт - измеримой и ЕХ2 < оо. Тогда найдется квадратично интегрируемый случайный процесс / = (/(£,а>))*е[о,:г], измеримый по паре переменных (¿, ш) и согласованный с фильтрацией шакой, что

1*

Х{и) = ЕХ + [ /(¿,ы)сШг Р-п.н. (1.2)

Уо

Хотя данная теорема принципиально и решает вопрос о существовании представлений типа (1.2) для квадратично интегрируемых функционалов, нахождение подынтегрального процесса (/(¿, с^))ге[о,т] в каждом конкретном случае является далеко не самой тривиальной задачей. Одним из мето-

дов является формула Кларка (см. [46], а также [57], [75]), согласно которой

№,и>) = Е(ОХ&Т\\Ъ)(ш), (1.3)

где ИХ - производная Маллявена функционала X. Предложенный П. Мал-лявеном в работе [63] метод исследования переходных вероятностей диффузионных процессов нашел применение для гораздо более широкого класса задач анализа, геометрии, теории случайных процессов. В частности, метод оказался полезен для исследования свойств интегральных функционалов от случайных процессов. Исчислению Маллявена посвящены книги В.И. Богачева [3], Б. Ыиа1аН [68], а таже монография N. РпуаиИ; [71].

Несмотря на всеобщность формулы (1.3), в каждом конкретном случае произвести вычисление производной Маллявена и найти явный вид процесса достаточно трудно. Поэтому в настоящей работе мы демонстрируем другой подход, основанный на использовании мартингала Ле-ви и разложения Дуба-Мейера процессов в дискретном времени. Одним из основных результатов первой главы является представление максимума Мх = тахо<к<ы Бк симметричного бернуллиевского случайного блуждания (8к)к>о- Доказана

Теорема 1.2. Для М^ = тахоо^лг справедливо следующее стохастическое представление:

N

Мы = + а(м - к> М*-1 - &-1)(1.4) к=1

где Авк = — Бк-1 и

к

а(к,т) = \Р(Мк = т) + Р(Мк > т) = 2'к'1С^12 + £ 2

1=т+1

В §1.1 делается предельный переход от дискретного стохастического представления (1.4) к непрерывному представлению (1.1).

Многократные стохастические представления в непрерывном времени строятся на основе многомерных интегралов Ито от детерминированных функций / е Ь2([0,Т]п). Само понятие многомерного стохастического ин-

теграла по броуновскому движению впервые было введено Н.Винером в [78], а позднее обобщено К.Ито в работе [55]. Идея построения этих интегралов та же, что и в случае одномерных интегралов Ито: сначала интеграл определяется для класса ступенчатых функций специального вида (см. [59]), а затем предельным переходом в L2(Q) он определяется и для функций / G L2([0,T]n). В итоге получается многомерный стохастический интеграл

Ш)= [ f(ti,...,tn)dBtl.--dBtn J[0,T]n

со следующими свойствами:

/Ч /ч

1) 1п{}) = /„(/), где f(tu...,tn) = -симметризация функции / £ L2([0, Т]п) (£п обозначает совокупность всех подстановок на множестве {1,..., п});

2) Е [In(f)] = 0 для / G L2([0,T]n);

3) Е[/2(/)] = п\ \\T\\l2 для / 6 L2([0,T]n);

4) если п ф m и /,£ G L2{[0,T)% то Е [/„(/) Jmfo)] = 0. Обозначим через Ь2уш([0, Т]п) класс таких симметричных функций / €

L2([0, Т]п), что для любой подстановки а £ Еп выполнено равенство

• • • > ^<т(п)) = /(¿ъ • • • j tri)- Справедлива следующая теорема (см. [59]), являющаяся многомерным аналогом теоремы Ито-Кларка:

Теорема (Винера-Ито). Пусть функционал F = F{u) является измеримым и EF2 < оо. Тогда для него существует, и притом единственное, многократное стохастическое представление

+00

F = EF + J2 Wn), где fn £ Ls2ym([0,Tf),

п= 1

называемое представлением хаоса.

Однако так же, как и в случае однократных представлений, возникает вопрос о нахождении явного вида функций /п. Ответ дается с помощью понятия вариационной производной 6 •

st-

fnih, • • • i in) = гЕ

п\

6п

6t\ • • • Str

где Р — ^^-измеримый квадратично интегрируемый функционал, для которого ищется представление хаоса (подробнее см. в [59], [71]).

В главе 1 строятся многократные представления для функционалов от случайного блуждания. В § 1.4 главы 1 находится многократное представление случайной величины /(£1 ,...,£п), где / : 1П I - произвольная функция, и с помощью этого представления получаются многократные представления функционалов ^дг и Рт_а. При этом существенно используются полученные в §§1.1, 1.2 однократные представления.

Примером применения стохастических интегральных представлений может служить следующая задача финансовой математики. Пусть в = 0(ш) - тот момент времени, когда стандартное броуновское движение (В^^о достигает максимума на отрезке [0,Т], то есть В в = тах0^т В^ Требуется найти предсказуемый (марковский) момент г*, на котором достигается инфимум

Под марковским моментом понимается такой случайный момент г*, что для любого Ь ^ 0 событие {а;: т*(ш) ^ ¿} £ .

С точки зрения финансового анализа, данная задача рассматривается в рамках модели, в которой цены на акции в течение определенного промежутка времени (день, месяц, ...) моделируются стандартным броуновским движением. Требуется выбрать такой предсказуемый момент времени г*, продажа в который имеющихся акций будет наиболее выгодна (в средне-квадратическом смысле). Важно отметить, что сам момент времени в является "внутренним" моментом броуновского движения, то есть зависит от значений на всем промежутке времени [О, Т]. Поэтому, наблюдая движение цен в течение дня, мы можем лишь предсказать в, строя различные оценки. Заметим также, что в силу установленного в работе [29] соотношения Е(Вт — Во)2 = Е|т — 6\ + 1/2, справедливого для любого марковского момента т ^ Т, получаем, что задача (1.5) эквивалентна задаче отыскания

(1.5)

Я*= Ы Е|т — 0\.

Для решения задачи (1.5) применим стохастическое представление (1.1)

Т к

и разложение Вв = ЕВо + /0 М^ — В^с1В1. С учетом тождеств Вальда (если Ет < оо, то ЕВт = О, ЕВ2 = Ет) и мартингального свойства интеграла Ито, имеем

Е(Вв - Вт)2 = ЕВ2в + ЕВ2Т - 2Е[ВвВт] = Т + Ет - 2Е[Вт{ЕВв +

[ -Вг)<1Вг)] = Т-2ЕВеЕВт + Е [ М-2 [ <Ш4х

7о и о иъ

х [ -в1)ав1 =Т+ е[ (1-2

Уо ] 3о

Таким образом, мы показали, что исходная задача (1.5) эквивалентна стандартной (подробнее см. §3.2) задаче поиска величины

II. = т| Е Г ( 1 - 2Ф(*, М? - Вг))&. (1.6)

Данная задача уже может быть решена при помощи развитой теории задач оптимальной остановки для марковских процессов. В работе [53] получена следующая теорема:

Теорема. Решение задачи (1.6) дается формулой

т* = шф 6 [О,Г] : М? -Вь = ^\ZT-i}, (1.7)

где константа находится из уравнения

4Ф(^) - -3 = 0.

Здесь (р = 1р(х) - плотность стандартного нормального распределения. При этом г* = 1.12..., К = 2Ф(г*) - 1 = 0.73...

Полученная формула (1.7) позволяет строить реальные стратегии торговли на бирже в предположении, что цены акций ведут себя как стандартное броуновское движение.

3. Первая часть главы 2 (§§2.1 - 2.3) посвящена вопросу о распределении вероятностей случайной величины МТЬ(а), которая есть число посещений состояния а однородной марковской цепью 2 = о до момента

тъ первого попадания цепи в состояние Ъ. Одним из основных результатов данной главы является нахождение распределения ЫТь (а) в общем виде. Имеет место

Теорема 2.1. Если а е Е иЪ 6 Е (6 ф а) таковы, что Ра(та < Ть) < то распределение времени Nn(a) относительно меры Рх задается формулами

'рх(ЛГТб(а) = 0) = 1-рх, Рх(Мч(а) = к)= рх(1 - ра)(Зка~\ к = 1,2,...,

где рх = Р х(та <п), х е Е\ {а}. В частности, ЕхЛ^(а) = (Зх/( 1 - /?а).

Фактически, эта теорема является следствием того, что отрезки марковской цепи между последовательными попаданиями в состояние а £ Е не зависят друг от друга. В качестве примера применения полученной теоремы в § 2.2 рассматривается скошенное случайное блуждание = Доопределение. Скошенным случайным блужданием с параметром а 6 [О, 1] будем называть однородную марковскую цепь 5а = ¿>0 =

с множеством состояний Z и переходной функцией

а, если г = 0, ] = 1,

1 — а, если ¿ = 0, ] = —1,

1/2, если I ф 0, [¿ — ^'1 = 1,

0 в остальных случаях.

Заметим, что в соответствии с терминологией, данной в книге Ф. Спице-ра [28], тот или иной процесс в дискретном времени относится к семейству случайных блужданий, если его переходная функция р^ зависит только от разности г —у. Поэтому, строго говоря, процесс не является слу-

чайным блужданием из-за его поведения в нуле. Однако, в силу схожести структуры и свойств (так, при а = 1/2 процесс (З^До является симметричным бернуллиевским случайным блужданием), мы решили оставить связь со случайным блужданием в названии процесса 5а. Отметим также,

что теория случайных блужданий подробно изложена в книгах [28], [73] и монографии [1].

В рассматриваемой главе для скошенного случайного блуждания все параметры распределения случайной величины N^(0) найдены в явном виде. В частности, получены обобщения ранее известных результатов. Так, в случае симметричного бернуллиевского случайного блуждания известно (см., например, [32, гл. I, § 10, задача 11]), что ЕАГТо(а) = 1 и не зависит от уровня а > 0. Из теоремы 2.1 и утверждения 2.2 непосредственно следует, что для скошенного случайного блуждания при любом Ь < 0 математическое ожидание ЕА^Гь(а) равно 2а|Ь|/(1 — а), т. е. также не зависит от уровня а > 0. При этом распределение времени А^.ь(а) в этом случае все

же зависит от а: = =

р(А^(а) = к) = :«>'»■ (1 - 17а-^ , к = 1,2,...

V ть\ ) ) 2((1 — а)а + а|6|)2 \ 2((1 - а)а + а\Ъ\);

Скошенное случайное блуждание интересно тем, что оно аппроксимирует скошенное броуновское движение.

Определение. Процесс Ха = заданный на вероятностном

пространстве (ГI¡Т, Р), называется скошенным броуновским движением с параметром а е [0,1], если он удовлетворяет следующему стохастическому уравнению:

X? = Х$ + Вг + (2а - 1)Ь?(Ха), (1.8)

где В = (В^о — стандартное броуновское движение на Р), а

о с Ь°0(Ха) = 0 — локальное время в нуле процесса Ха.

Скошенное броуновское движение впервые было рассмотрено в книге К. Ито и Г. Маккина [16], а затем подробно изучено в работах [54] и [77]. Так, в работе [54] показано, что уравнение (1.8) с начальным условием Хд имеет единственное сильное решение, являющееся непрерывным се-мимартингалом, удовлетворяющим строго марковскому свойству. Скошенное броуновское движение с параметром а = 1/2 по закону совпадает со

стандартным броуновским движением (Bi)t^о, а с параметром а = 1-е модулем стандартного броуновского движения (\Bt\)t^o- Данный процесс применяется при решении разнообразных прикладных задач в геофизике [61], экологии [43], астрофизике [80], финансовой математике [47], а также для численного моделирования диффузионных процессов специального типа [60].

Всюду далее будем обозначать через Wa = единственное силь-

ное решение уравнения (1.8) с начальным условием Wff = 0. Основные вероятностные свойства скошенного броуновского движения наиболее полно отражены в работе [60].

В §2.3 с помощью результатов работ [44], [54] делается предельный переход и устанавливается закон распределения локального времени L^b(Wa) скошенного броуновского движения в точке а до момента перво-

го достижения уровня Ь. Доказано, что распределение Lfb(Wa) является показательным (с массой в нуле). В частности, при b < 0 < а справедливо

Р (Lan(W<*) = 0) = ца,

где ц = (а + ск(1 — а)-1|Ь|)-1. Заметим, что, как и в дискретном случае, ЕЦЬ(W°) = 2а|Ь|/(1 - а).

Известная теорема Леви утверждает, что броуновское движение В = (Bt)t>0 обладает следующим свойством:

Law(sup В — В, sup В) = Law(|£|, L(B)),

где L(B) = (Lt(B))t^о ~ локальное время в нуле. В работах [23] и [50] устанавливается дискретный аналог теоремы Леви для случайного блуждания S = (Sk)k>о- В [50] основным инструментом доказательства является дискретная версия формулы Ито, а доказательство в работе [23] основывается на совпадении переходных функций марковских процессов, фигурирующих в теореме. Показано, что

Law(maxS - S, max 5) = LawflS - 1/2| - 1/2, L(S)),

где Ln(S) = ELi^O^-i - 1/2) W - 1/2) < 0} - количество пересечений случайным блужданием уровня 1/2. Процесс (Ln(S))n^o играет для случайного блуждания ту же роль, что и локальное время в нуле для броуновского движения. Поэтому авторы работ [23], [50] называют процесс L(S) аналогом локального времени в дискретном случае.

Однако, локальное время (L^(X))t^o непрерывного семимартингала X — {Xs)s^o в точке а €Е R определяется из формулы Танака (см. [74])

|Xt -а\ = \Х0-а\+ [ sign(X, - a) dXs + Lat(X), t ^ 0. (1.9)

J о

Если переписать (1.9) для симметричного случайного блуждания (см., например, [32, гл. I, §9, задача 3]), то получим

к

- «I = |5о " а\ + ~ a)(Si ~ Si~i) + Nk-i{a>). (1.10)

i=1

Поэтому с этой точки зрения можно считать, что число пересечений Nk(0) уровня 0 служит дискретным аналогом локального времени броуновского движения в нуле. В §2.3 на примере скошенного броуновского движения показано, что этот подход является более естественным при предельном переходе к локальному времени диффузионных процессов.

Стоит отметить, что существует общая теория локального времени диффузионных процессов со временем жизни основанная на теоремах Рэя-Найта (см. [74, гл. 11], а также работы Ray [72] и Knight [58]). С помощью этой теории, например, в [7, гл. V] найдено распределение локального времени стандартного броуновского движения с линейным сносом до момента первого достижения уровня Ъ. В настоящей работе продемонстрирован другой подход, основанный на аппроксимации диффузионных процессов марковскими цепями с дальнейшим предельным переходом, основанным на обобщенном принципе инвариантности.

4. Во второй части главы 2 (§2.4) и главе 3 мы вновь обращаемся

к функционалам «максимального» типа. В § 2.4 мы ищем распределения функционалов F(6, Ха) = supieA X", где Xf = Sf в случае дискретного

времени и X" = И7"" в случае непрерывного времени, а в - экспоненциально распределенная случайная величина, не зависящая от процесса Ха. Границами отрезка Д служат моменты времени из множества {0, де, 0, с1д}, где gt = эир^й < ¿ : X? = 0} - последний нуль на полуинтервале [0, а сЦ = вир^ > £ : X= 0} - первый нуль после ¿.

В главе 3 мы рассматриваем задачи, связанные с оптимальной остановкой случайных процессов. Для стандартного броуновского движения хорошо известно следующее соотношение:

справедливое для любого фиксированного момента времени Т > 0. Далее естественно задаться вопросом о том, что будет, если Т заменить на (случайный) момент остановки т.

На протяжении дальнейшей работы под марковским моментом т относительно фильтрации мы будем понимать такой случайный момент, что для любого £ ^ 0 событие {т ^ ¿} £

Определение. Марковский момент т мы будем называть моментом остановки, если Р(т < оо) = 1.

Ясно, что в силу произвольности т найти явное выражение для Е(тах^т | Д|) фактически невозможно. Поэтому вместо равенств типа (1.11) пытаются получить оценки сверху, справедливые для всех т. Естественно предположить, что мажорирующей величиной вместо у/Т станет д/Ёт. Таким образом, мы приходим к задаче получения «максимальных» неравенств вида

Е(тах ^ Су/В1,

где С - неизвестная константа.

В настоящей работе вместо стандартного броуновского движения мы рассматриваем скошенное броуновское движение \¥а = с пара-

метром а£ [0,1]. В качестве фильтрации ¥ = (^)^о берется естественная фильтрация = = б ^ £), t ^ 0. Впервые в работе [49], а

позднее совершенно другим методом в [13], были установлены следующие

«максимальные» неравенства:

E(max Bt) sC л/Ёт, E(max \Bt\) ^ л/2Ёт, (1.12)

справедливые для любого марковского момента г € Ш, где

Ш = {г — марковский момент относительно {Tt)t>о : Ет < оо}.

Основным результатом третьей главы являются неравенства, доказанные в следующей теореме:

Теорема 3.1. Для любого марковского момента т G 9Я и для любого а £ (0,1) имеет место неравенство

Е (max Wta) ^ Ма\/Вг, (1.13)

yKi^r J

где Ма = а(1 + Аа)/( 1 — а), а Аа - единственное решение уравнения

1 — 2а

АаеА°+1 =

а2

удовлетворяющее условию Аа > —1.

При этом неравенство (1.13) является "точным" в том смысле, что для любого Т > О существует марковский момент т с Ет = Т такой, что

Е ( max Wta) = Мау/Ёг. 1 )

Из (1.13) видно, что М1/2 = 1, М\ — у/2. Также нетрудно проверить, что Мо = 0. Доказательство теоремы основано на методе, предложенном в работе [13]. Для нахождения величины Ма мы рассматриваем следующую задачу оптимальной остановки:

К(с) = вир Е(тах V/? - ст) (1.14)

теяя

при всех значениях с > 0. В §3.1 показано, как, зная функцию К (с), получить «максимальное» неравенство требуемого вида и найти Ма. В § 3.4 решена задача (1.14) в предположении, что базовым процессом вместо

выступит скошенное броуновское движение со сносом (W^+ßt)^,

ßeR.

Заметим, что для одномерных диффузионных процессов X = (Xt)t^o, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению

dXt = b{Xt)dt + a(Xt)dBt (1.15)

с непрерывными коэффициентами b = Ъ(х) и а = и(х), в [70, гл. IV] приведен метод решения задачи нахождения supr Е(шах^г Xt — er), основанный на ее сведении к задаче со свободной границей. Однако, в нашем случае скошенное броуновское движение Wa = (W^)t^o удовлетворяет уравнению (1.8), которое при а ф 1/2 не является уравнением типа (1.15) (по поводу связи скошенного броуновского движения со стохастическими дифференциальными уравнениями с разрывным коэффициентом диффузии а{х) см. [39]). Заметим также, что М.Житлухин, пользуясь методом из статьи [13], в работе [81] получил оценку

E(max Wta - min Wta) ^ л/КаЕт

для разности максимума и минимума скошенного броуновского движения (Wfbo, обобщив тем самым известный ранее результат для стандартного броуновского движения (Bt)t^o-

5. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, основных обозначений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 102 страницы. Список литературы включает 81 наименование, в том числе 4 работы автора по теме диссертации.

В Главе 1 исследуются вопросы нахождения стохастических представлений функционалов «максимального» типа от бернуллиевского случайного блуждания. Функционалы рассматриваются на трех отрезках времени: до фиксированного момента времени (§1.1), до момента первого попадания случайного блуждания на заданный уровень (§ 1.2) и до момента последнего нуля случайного блуждания на фиксированном отрезке времени (§1.3). Исследуются как однократные (§§1.1-1.3), так и многократные (§ 1.4) стохастические представления, являющиеся дискретными аналогами

стохастических интегралов Ито в непрерывном времени. С использованием функциональной центральной предельной теоремы в § 1.1 показана сходимость представления для максимума случайного блуждания на фиксированном отрезке времени к представлению для максимума стандартного броуновского движения.

Глава 2 посвящена нахождению распределений двух различных типов функционалов. В первой части главы исследовано время пребывания однородной марковской цепи со счетным множеством состояний на разных уровнях до момента достижения некоторого фиксированного состояния. С помощью строго марковского свойства в §2.1 находится распределение времени пребывания в общем случае. В качестве примера марковской цепи в § 2.2 рассмотрено скошенное случайное блуждание. Из полученного распределения времени пребывания скошенного случайного блуждания с помощью предельного перехода в § 2.3 выводится распределение времени пребывания скошенного броуновского движения. Тем самым демонстрируется метод получения распределения функционалов в непрерывном времени с помощью исследования распределения их дискретных аналогов. Во второй части главы (§ 2.4) исследованы функционалы «максимального» типа в дискретном и непрерывном времени на различных участках траектории рассматриваемого процесса.

Глава 3 посвящена оценке максимума математического ожидания скошенного броуновского движения до марковского момента т с конечным математическим ожиданием. Полученные неравенства являются естественным обобщением классических «максимальных» неравенств для стандартного броуновского движения и его модуля. В § 3.1 дается постановка задачи в стандартной (марковской) форме, формулируются основные результаты и показывается, как получить «максимальные» неравенства, зная решение соответствующей задачи оптимальной остановки. В §3.2 приводятся необходимые сведения из общей теории задач оптимальной остановки в марковской постановке, и далее с помощью техники сведения задачи оптимальной остановки к задаче со свободной границей выводятся и решаются дифференциальные уравнения для функции цены и для границы множества остановки. В § 3.3 с использованием формулы Ито для семимартинга-

лов показано, что найденные граница и функция цены являются искомыми. В § 3.4 рассматривается обобщение задачи из § 3.2: вместо скошенного броуновского движения берется скошенное движение с линейным сносом /хеЕ. Показывается, что и в этом случае функцию цены и уравнение для границы можно найти в явном виде.

6. Публикации и доклады. Результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора (без соавторов): [20], [21], [22], [62].

Автор выступал на следующих научных конференциях с докладами о результатах, относящихся к теме диссертации:

1. Международная конференция "Stochastic Optimization and Optimal Stopping", Москва, 24-28 сентября 2012 г.

Тема доклада: Sharp inequalities for maximum of skew Brownian motion.

2. Международная конференция "Markov and Semi-Markov Processes and Related Fields 2011", Порто Kappac, Греция, 20-23 сентября 2011 г. Тема доклада: On some distribution properties of local time of skew Brownian motion.

3. Международный симпозиум "Workshop on Stochastic Methods in Financial MarketsЛюбляна, Словения, 22 августа-2 сентября 2011 г.

Тема доклада: On the distribution properties of skew Brownian motion's local time.

4. Международная научная студеческая конференция, Новосибирск, 1620 апреля 2011 г.

Тема доклада: О некоторых свойствах локального времени скошенного броуновского движения и его дискретного аналога.

5. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (в рамках Большого семинара кафедры теории вероятностей МГУ), Москва, 9-13 апреля 2011 г.

Тема доклада: О преобразовании Лапласа некоторых функционалов «максимального» типа от скошенного броуновского движения и случайного блуждания.

6. "Summer School in Stochastic FinanceУльм, Германия, 20-24 сентября 2010 г.

Тема доклада: Stochastic representations of max-type functionals from random walk.

7. Благодарность. Автор признателен своему научному руководителю академику РАН, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за внимание к работе, важные рекомендации и ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Люлько, Ярослав Александрович, 2013 год

Список литературы

[1] Афанасьев В. И. Случайные блуждания и ветвящиеся процессы. — Лекционные курсы НОЦ, в. 6, М.: МИАН, 2007.

6

9

[10

[П

Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.

Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявена. — М.: Ижевск, 2008.

Боровков A.A. Теория вероятностей. — М.: Книжный дом "Либро-ком", 2009.

Бородин А. Н. Броуновское локальное время. // УМН, 1989, том 44, вып. 2, с. 7-48.

Бородин А.Н., Ибрагимов И. А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий. // Тр. МИАН СССР, 1994, том 195, с. 3-285.

Бородин А. Н., Салминен А. Справочник по броуновскому движению.

— СПб.: Лань, 2000.

Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.: Физматлит, 2003.

Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1,11,III.

— М.: Наука, 1971, 1973, 1975.

Граверсен С. Э., Ширяев А. И., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных представлениях функционалов от броуновского движения. II. // Теория вероятн. и ее примен., 2006, том 51, вып. 1, с. 64-77.

Григелионис Б. И., Ширяев А. Я. О задачах Стефана и оптимальных правилах остановки марковских процессов. // Теория вероятн. и ее примен., 1966, том 11, вып. 4, с. 612—631.

[12] Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. — М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

[13] Дубине Л. Е., Шепп Л. А., Ширяев А. Н. Оптимальные правила остановки и максимальные неравенства для процессов Бесселя. // Теория вероятн. и ее примен., 1993, том 38, вып. 2, с. 288—330.

[14] Дынкин Е. Б. Марковские процессы. — М.: Физматгиз, 1963.

[15] Жаков Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Том 2 — М.: Физматлит, 1994.

[16] Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — М.: Мир, 1965.

[17] Колмогоров А. Н. Математика и механика. Избранные труды. Том 1. — М.: Наука, 1985.

[18] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. — М.: Наука, 1974.

[19] Лобанов С. Н. Вероятностные характеристики падений броуновского движения со сносом. // Теория вероятн. и ее примен., 2005, том 50, в. 3, с. 570- 579.

[20] Люлько Я. А. Стохастические представления функционалов «максимального» типа от случайного блуждания. // Теория вероятн. и ее примен., 2009, том 54, вып. 3, с. 580-589.

[21] Люлько Я. А. О распределении времени, проводимого марковской цепью на разных уровнях до момента достижения фиксированного состояния. // Теория вероятн. и ее примен., 2011, том 56, вып. 1, с. 167— 176.

[22] Люлько Я. А. Точные неравенства для максимума скошенного броуновского движения. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ., 2012, №. 4, с. 26- 31.

[23] Мищенко А. С. Дискретный процесс Бесселя и его свойства. // Теория вероятн. и ее примен., 2005, том 50, в. 4, с. 797— 806.

t

[24] Муравлев A.A. О моментах остановки, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом. // УМН, 2008, том 63, в. 6, с. 171- 172.

[25] Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. // Теория вероятн. и ее примен., 1956, том 1, в. 2, с. 177- 238.

[26] Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. — М.: Физматлит, 2005.

[27] Скороход A.B., Слободенюк Н. П. Предельные теоремы для случайных блужданий. — Киев: Наукова Думка, 1970.

[28] Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. — М.: Мир, 1969.

[29] Урусов М. А. Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки. // Теория вероятн. и ее примен., 2004, том 49, вып. 1, с. 184—190.

[30] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Т.1. — М.: Книжный дом "Либроком", 2010.

[31] Ширяев А. Н. Вероятность-2. — М.: МЦНМО, 2007.

[32] Ширяев А. Н. Задачи по теории вероятностей. — М.: МЦНМО, 2006.

[33] Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением. — Современные проблемы математики, в. 8, М.: МИАН, 2007.

[34] Ширяев А.Н. О нестандартных проблемах стохастической оптимизации: редукция к задачам в марковском представлении и их решение. // Современные проблемы математики и маханики. Том 4, 2009, М: Изд-во МГУ, с. 8-39.

[35] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1: Факты, Модели. — М.: Фазис, 2004.

[36] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2: Теория. — М.: Фазис, 2004.

[37] Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. — М.: Наука, 1976.

[38] Ширяев А. Н., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных представлениях функционалов от броуновского движения. I. // Теория вероятн. и ее примен., 2003, том 48, вып. 2, с. 375—385.

[39] Barlow М. Т. Skew Brownian motion and a one dimensional stochastic differential equation. // Stochastics, 1988, v. 25, No 1, p. 1—2.

[40] Barndorff-Nielsen О. E., Shiryaev A. N. Change of time and change of measure. — Singapore: World Scientific Publishing, 2010.

[41] Benes V. E., Shepp L. A., Witsenhauser H. S. Some solvable stochastic control problems. // Stochastics, 1980, v. 4, No 1, p. 39-83.

[42] Blumenthal R. M., Getoor R. K. Markov processes and potential theory. — New York and London: Academic Press, 1968.

[43] Cantrell R., Cosner C. Diffusion models for population dynamics incorporating individual behavior at boundaries: Applications to refuge design. // Theoretical Population Biology, 1999, v. 55, No 2, p. 189-207.

[44] Cherny A., Shiryaev A., Yor M. Limit behaviour of the "Horizontal-Vertical" random walk and some extensions of the Donsker-Prokhorov invariance principle. // Теория вероятн. и ее примен., 2002, том 47, вып. 3, с. 498-517.

[45] Chow Y., Robbins Н., Siegmund D. Great Expectations: The theory of optimal stopping. — Boston: Houghton-Mifflin Сотр., 1971.

[46] Clark I. M. C. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals. // Ann. Math. Statist., 1970, v. 41, No 4, p. 12821295.

[47] Corns T. R. A., Satchell S. E. Skew Brownian motion and pricing European options'. // The European Journal of Finance, 2007, v. 13, No 6, p. 523-544.

[48] Donsker M. An invariance principle for certain probability limit theorems. // Memoirs of the American Mathematical Society, 1951, v. 6, p. 1—12.

[49] Dubins L., Schwarz G. A sharp inequality for sub-martingales and stopping times. // Asterisque, 1988, v. 157-158, p. 129-145.

[50] Fujita T. A random walk analogue of Levy's theorem. // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 2008, v. 45, No 2, p. 223-233.

[51] Fujita Т., Yor M. On the remarkable distributions of maxima of some fragments of the standard reflecting Random walk and Brownian motion. // Prob. and mathem. Stat., 2007, v. 27, No 1, p. 89-104.

[52] Graversen S., Peskir G. Optimal stopping and maximal inequalities for geometric Brownian motion. // Journal of Applied Probab., 1998, v. 35, No 4, p. 856-872.

[53] Graversen S. E., Peskir G., Shiryaev A. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum. // Теория вероятн. и ее примен., 2000, том 45, вып. 1, с. 125—136.

[54] Harrison J. М., Shepp L. A. On skew Brownian motion. // Ann. Probab., 1981, v. 9, No 2, p. 309-313.

[55] Ito K. Multiple Wiener integral. // Journ. Math. Soc. Japan, 1951, v. 3, No 1, p. 157-169.

[56] Karatzas I., Shreve S. Brownian motion and stochastic calculus. — Berlin, Heidelberg and New York: Springer, 1988.

[57] Karatzas I., Shreve S. Methods of mathematical finance. — New York: Springer, 1998.

[58] Knight F. B. Random walks and a sojourn density process of Brownian motion. // Trans. Amer. Math. Soc., 1963, No 109, p. 56-86.

[59] Kuo H.-H. Introduction to Stochastic Integration. — New York: Springer, 2006.

[60] Lejay A. On the construction of the skew Brownian motion. // Probab. Surv., 2006, No 3, p. 413-466.

[61] Lejay A. Simulating a diffusion on a graph application to reservoir engeneering. // Monte Carlo Methods Appl., 2003, v. 9, No 3, p. 241-256.

[62] Lyulko Ya.A. Stochastic representations of max-type functional of random walk. // Abstracts of Russian-Japanese Symposium on "A Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models", Theory Probab. Appl., 2011, v. 55, issue 3.

[63] Malliavin P. Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators. // Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto, Tokyo: Wiley, 1978, p. 195-263.

[64] Mandelbrot B. B., Van Ness J. W. Fractional Brownian motion, fractional noises and applications. // SIAM Review, 1968, v. 10, p. 422-437.

[65] McKean H. P., Jr. A free boundary problem for the heat equation arising from a problem in mathematical economics. // Industr. Manag. Rev., 1965, v. 6, p. 32-39.

[66] Mikhalevich V. S. Bayesian choice between two hypotheses for the mean value of a normal process. // Visnik Kiev. Univ., 1958, v. 1, No 1 p. 101— 104.

[67] Mishura Yu. S., Rode S. H. Weak convergence of integral functionals of random walks weakly convergent to fractional Brownian motion. // Ukrainian Math. J., 2007, v. 59, No 8 p. 1040-1046.

[68] Nualart D. The Malliavin calculus and related topics, 2nd ed. — Springer, 2006.

[69] Peskir G. A change-of-variable formula with local time on curves. //J. Theoret. Probab., 2005, v. 18, No 3, p. 499-535.

[70] Peskir G., Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems. — Birkhauser: Basel, 2006.

[71] Privault N. Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings: With Normal Martingales. — Springer, 2009 (Lecture Notes in Math., v. 1982).

[72] Ray D. B. Sojourn times of a diffusion process. III. // Illinois J. Math., 1963, v. 7, p. 615-630.

[73] Revesz P. Random walk in random and non-random environments. — Singapore: World Scientific Publishing, 1990.

[74] Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. 3-rd ed.

— Berlin: Springer, 1999.

[75] Rogers L., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales. II.

— New York: Wiley and Sons, 1987.

[76] Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industr. Manag. Rev., 1965, v. 6, p. 13-31.

[77] Walsh J. B. A diffusion with a discontinuous local time. // Temps Locaux, Asterisque, 1978, 52-53, p. 37-45.

[78] Wiener N. The homogeneous chaos. // Amer. Journ. Math., 1938, vol. 60, p. 897-936.

[79] Yoshihara K.-I. A weak convergence theorem for functionals of sums of martingale differences. // Yokohama Math. J., 1978, v. 26, p. 101-107.

[80] Zhang M. Calculation of diffusive shock acceleration of charged particles by skew Brownian motion. // Astrophys. Journal, 2000, v. 541, p. 428435.

[81] Zhitlukhin M. V. A maximal inequality for skew Brownian motion. // Statist. Decisions, 2009, v. 27, p. 261-280.