Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, доктор физико-математических наук Трофимов, Михаил Юрьевич

• Трофимов, Михаил Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Трофимов, Михаил Юрьевич

Предисловие

Введение

Глава 1. Параболические уравнения для звуковых волн, не использующие модового представления

1.1. Волновые уравнения для звуковых волн.

1.2. Нестационарные параболические уравнения для звуковых волн

1.2.1. Введение.

1.2.2. Вывод параболического уравнения.

1.2.3. Сравнение с известными уравнения в стационарном случае.

1.2.4. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.

1.2.5. Нестационарные параболических уравнений с учетом течений.

1.2.6. Численный пример

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения»

1.3.2. Параболическое уравнение.48

1.3.3. Приведенное уравнение Гельмгольца.50

1.3.4. Условия на границе раздела.51

1.3.5. Асимптотики пограничного слоя и условия на границе раздела в случае п < п+.53

1.3.6. Численные примеры.59

1.3.7. Заключение.64

Глава 2. Модовые параболические уравнения 68 2.1. Стационарные модовые акустические параболические уравнения.70

2.1.1. Введение.70

2.1.2. Вывод уравнений в простейшем случае.72

2.1.3. Сравнение с методом формальной факторизации 79

2.1.4. Сохранение потока энергии.82

2.1.5. Рассмотрение общего случая.'85

2.1.6. Формулы при наличии границ разделов: элементы альтернативного подхода.102

2.1.7. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.105

2.1.8. Численные примеры.107

2.1.9. Заключение.120

2.1.10. Приложение: Б орновское приближение для меж-модового рассеяние на компактных неоднород-ностях морского дна.121

2.2. Узкоугольное модовое акустическое параболическое уравнение с зависимостью от времени .128

2.2.1. Введение.128

2.2.2. Вывод параболического уравнения.129

2.2.3. Заключение.134

2.3. Модовое параболическое уравнение для внутренних волн 135

2.3.1. Введение.135

2.3.2. Основные уравнения и шкалы.136

2.3.3. Параболическое уравнение.139

2.3.4. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.146

2.3.5. Численные эксперименты.147

2.3.6. Заключение.155

2.3.7. Приложение: Вывод формулы (2.155).156

Глава 3. Граничные условия прозрачности 163

3.1. Условия абсорбирующей границы для параболического уравнения.165

3.1.1. Введение.165

3.1.2. Вывод абсорбирующих граничных условий . . 165

3.1.3. Численные эксперименты.171

3.1.4. Заключение.175

3.1.5. Приложение: Условия абсорбирующей границы Баскакова-Попова.176

3.2. Приближенные условия абсорбирующей границы для волнового уравнения .183

3.2.1. Введение.183

3.2.2. Вывод приближенных граничных условий . . . 184

3.2.3. Численные эксперименты.188

3.2.4. Заключение.191

3.3. Нестационарная форма параболического уравнения

Тапперта (range refraction parabolic equation) и его использование как условия абсорбирующей границы для волнового уравнения в волноводе.196

3.3.1. Введение.196

3.3.2. Вывод нестационарной формы range refraction параболического уравнения Тапперта.199

3.3.3. Уравнение (3.49) как условие абсорбирующей границы.202

3.3.4. Заключение.204

Глава 4. Теория возмущений для мод на течении 206 4.1. О вычислении акустических нормальных мод в слоистой среде с низкоскоростным горизонтальным течением 209

4.1.1. Введение.209

4.1.2. Акустические нормальные моды на горизонтальном течении.210

4.1.3. Приближенное решение задачи об акустических модах для низкоскоростного течения.213

4.1.4. Пример.217

4.1.5. Заключение.223

4.2. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом.225

4.2.1. Введение.225 1

4.2.2. Спектральная задача Тейлора-Гольдштейна . . 227

4.2.3. Приближенное решение задачи Тейлора-Гольдштейна для течения со слабым сдвигом.231

4.2.4. Примеры.235

4.2.5. Заключение.245

4.2.6. Приложение: результаты для задачи Тейлора-Гольдштейна с частотой в качестве входного параметра .248

Заключение 249

Литература 252

Предисловие

Математическое моделирование распространения звуковых и внутренних волн в океане важно не только для более глубокого понимания этих процессов, но и для решения различных прикладных задач. В последнее время интересные для практики задачи относятся в основном к океанскому шельфу, мелким морям и заливам, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих особенности таких акваторий.

Типичные задачи подводной акустики состоят в определении звукового поля в некоторой области пространства по данным, измеренным в отдельной точке или на кривой (трассе). Таким образом, соответствующие математические модели должны допускать постановку начально-краевых задач, эволюционных по выделенной пространственной переменной. Такие задачи для типичных волновых уравнений (уравнение Гельмгольца, классическое волновое уравнение) являются, как правило, некорректными. Поэтому на практике большое распространение получили модели однонаправленного распространения, которые получаются лучевым методом (методом ВКБ), а также методом параболического уравнения.

Метод параболического уравнения, широко применяющийся также для решения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, появился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами многочисленных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не полный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин,М. D. Collins, S. Т. McDaniel,

B. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Sieg-mann (подводная акустика и сейсмика), J. Т. Kirby, R. A. Dalrymple,

C. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, свя занных с этим методом, достаточно велико.

Наиболее распространенным методом получения параболических моделей является метод факторизации с последующей рациональной аппроксимацией операторного квадратного корня. Следует отметить, что в этом методе коммутатор операторного квадратного корня с оператором дифференцирования по эволюционной переменной считается пренебрежимо малым и тем самым предполагается лишь слабая зависимость коэффициентов исходного волнового уравнения от эволюционной переменной. Поэтому такой подход применим при рассмотрении только достаточно крупномасштабных задач, в случаях, когда допустимо усреднение по вариациям параметров среды более мелких масштабов.

При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подводной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет горизонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (см., например, [39, 143, 153]). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использованием асимптотических методов, из которых наиболее подходящим представляется метод многих масштабов [64]. Известные ранее примеры применения этого метода [144] содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.

Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по поперечным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бесконечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и малого масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins [112] методом факторизации и применил к некоторым крупномасштабным задачам [113]. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной, причем более бедный модовый состав поля на мелких акваториях усиливает значимость такого подхода. В настоящей работе методом многих масштабов получены узкоугольные и широкоугольные модовые параболические уравнения, систематически учитывающие взаимодействие звука с неоднородностями морского дна.

Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности (абсорбирующие условия) на искусственных границах, ограничивающих расчетную область. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной. К задаче получения таких граничных условий нами предложен новый подход, также основанный на методе многомасштабных разложений.

Задача разработки простых моделей распространения внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с переменной топографией дна важна как сама по себе, так и в связи с существенным влиянием этих волн па звуковое поле. Развитие для этих волн метода параболического уравнения, который, как известно, хорошо работает в задачах распространения поверхностных волн, является актуальной задачей. В настоящей работе получено линейное узкоугольное модовое параболическое уравнения для внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированном море с переменной топографией дна. Следует отметить, что несмотря на значимость нелинейныех эффектов при распространении внутренних волн, переменность коэффициентов превалирует над нелинейностью на сравнительно коротких дистанциях распространения.

Наш интерес к описанным выше задачам возник при выполнении работ [15, 17, 46], где моделирование рефракции звука на внутренних волнах в мелком море производилось в связи с интерпретацией данных натурных экспериментов, и полученные результаты показали необходимость развития соответствующего технического аппарата.

На наш взгляд и работы недавних лет (см. [39, 143] и цитированные там работы) показывают, что имеющиеся возможности моделирования недостаточны для рассмотрения многих задач акустики мелкого моря.

Мы завершим предисловие кратким описанием содержания работы по главам.

В первой главе расположены результаты, относящиеся к параболическим уравнениям, не использующим модовое представление. В разделе 2 этой главы из приведенных в разделе 1 волновых уравнений, описывающих распространение звука в нестационарных средах с течениями, выведено семейство нестационарных параболических уравнений для двумерных и трехмерных волноводов и рассмотрены основные начально-краевые задачи для этих уравнений. В разделе 3 проанализировано, как метод параболического уравнения должен применяться к среде с конечным изменением параметров по вертикальной координате (классический метод параболического уравнения предполагает бесконечно малое изменение).

Вторая глава, основная в работе, содержит вывод модовых параболических уравнений для звуковых и внутренних волн. Обсуждаются также вопросы единственности решения соответствующих начально-краевых задач и приводятся примеры модельных расчетов.

В третьей главе выведены некоторые новые неотражающие граничные условия, важные для применения модовых параболических уравнений. Эти условия учитывают угол падения волны на границу и при дальнейшем развитии могут быть очень полезны на практике. Та же методика применена в этой главе к волновому уравнению, для которого также выведено так называемое нестационарное параболическое уравнение Тапперта, использование которого в качестве граничного условия для решения задач для волнового уравнения в открытых волноводах весьма перспективно.

В четвертой главе проведена предварительная работа для вывода модовых параболических уравнений с учетом течений: построена регулярная теория возмущения для вычисления звуковых и внутри-волновых нормальных мод на течениях.

Я благодарен своим основным соавторам: аспиранту П. С. Петрову, к.ф.-м.н. А. Д. Захаренко, к.ф.-м.н. С. Б. Козицкому, к.т.н. Р. А. Коротченко и д.ф.-м.н. А. Н. Рутенко за плодотворное многолетнее сотрудничество и руководству Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН за поддержку исследований.

Введение

Ценность метода параболического уравнения (наряду с близким лучевым методом) для математического моделирования звуковых и других волновых полей в океане состоит не только в том, что он дает подход к решению вычислительно сложных задач, но также и в том, что он позволяет решать некорректные задачи, которые, как правило, и возникают на практике.

В самом деле, линейные уравнения (только такие мы и рассматриваем в этой работе), описывающие волны различных типов в океане, для стационарных волн имеют обычно эллиптический тип, а для нестационарных — гиперболический, причем эволюционной переменной в последнем случае является время. Корректные задачи для уравнений эллиптического типа требуют задания граничных условий на всей границе какой-либо области, а начально-краевые задачи для уравнений гиперболического типа, кроме того, еще и задания начальных условий на всей области. Такие данные, необременительные для большинства технических приложений, в геофизических задачах обычно просто недоступны. Чаще всего встречается ситуация, когда волновое поле наблюдается на многообразиях меньшей размерности, то есть на отрезке незамкнутой кривой для двумерных задач и аналогичной части поверхности для трехмерных. Краевые и начальнокраевые задачи с такими данными, как правило, некорректны и требуют особого подхода. Теория некорректных задач [51, 75] показывает, что наиболее успешно они решаются при использовании априорной информации о решении. Такой информацией может выражаться в постулировании формы решения (анзаца), в наложении на искомое решение каких-либо связей в форме равенств, неравенств или просто принадлежности компактному подмножеству некоторого функционального пространства, и т. д.

Применительно к рассматриваемым в нашей работе задачам существует один замечательный метод регуляризации, требующий, как представляется, наименьшего произвола — он состоит просто в указании пространственно-временных масштабов изучаемых явлений. В литературе этот метод носит название метода обобщенных многих масштабов [64]. Поскольку метод является весьма наглядным и элементарным, его историю трудно проследить — кажется, что им пользовались уже гидромеханики в начале XX века. Мы изложим его достаточно подробно на простом примере двумерного уравнения Гельмгольца uxx + uyy + k%n2u = 0 , (1) где ко — опорное волновое число, п — показатель преломления.

Предположим, что рассматриваемые волны таковы, что их свойства медленно изменяются в нашем двумерном пространстве, то есть становятся наглядными при "взгляде издалека". Под свойствами здесь понимаются такие, например, характеристики, как амплитуда или интенсивность, сама волна может осциллировать достаточно быстро. "Взгляд издалека" означает, что картину изменений свойств удобно наблюдать, перейдя к координатам

X — ex , Y = 5у, где ей 5 — малые параметры, то есть переменные количества, стремящиеся к нулю. В новых координатах уравнение (1) запишется так: е Vyx + 52Uyy + kln2u = 0 , (2) то есть в форме сингулярно возмущенного уравнения, не имеющего вид дифференциального уравнения при 6 = 5 = 0.

Для удобства (и по существу) эти два малых параметра как-то связываются между собой, для начала мы предположим, что е = S.

Поскольку уравнение (2) всё-таки должно описывать волны, а осцилляции теперь происходят "внутри точки" нового пространства, то необходимо ввести для "внутриточечной" геометрии новые координаты — быстрые переменные — 77, ., которые будут связаны с координатами растянутого пространства некоторыми соотношениями ту = У) , £ = , для простоты мы рассмотрим сначала случай одной быстрой переменной г] = е~19(Х, У). Использование для описания внутреннего пространства одной переменной вполне достаточно для многих случаев, оно означает, что внутреннее пространство достаточно однородно (или, вернее, нам безразлична его неоднородность).

Введенная выше конструкция напоминает то, что известно под названием расслоения (fiber bundle), координаты X, Y описывают базу расслоения, а координата rj — слой. Эти координаты теперь рассматриваются как независимые, постулированное выше соотношение задает лишь закон изменения базиса слоя. Разумеется, приведенные аналогии строгими не являются. Такие же понятия для метода усреднения введены в книге В. И. Анольда [9]. Во всяком случае, поле и теперь есть функция от rj, X, Y как независимых переменных. Дифференцировать такую функцию следует с учетом изменения базиса, то есть производные ди/дХ, ди/дУ следует заменить на продолженные производные по схеме ди ди . . . „ ди ди ди . . , „ ди

Продолженная производная вполне аналогична так называемой ко-вариантной производной на введенном расслоении (см., например, [70, 72]).

Итак, подставим в уравнение (2) продолженные производные, поле и, разложенное по степеням малого параметра и аналогично разложенный квадрат показателя преломления и = uq + eui + . , п2 = Пц + v + . , и будем выделять в отдельные уравнения члены при одинаковых степенях е. При этом будем считать, что показатель преломления от быстрой переменной не зависит (только в этом случае упомянутые выше характеристики поля будут меняться медленно).

При б° мы получаем уравнение вх? + (0у)2) щт + к20п20щ = 0 . (3)

Поскольку в и п2 не зависят от ту, это уравнение можно решать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно г/ с постоянными коэффициентами. В качестве (типичного) частного решения можно взять u = А(Х, Y)eKv , где

X / ~копо вх? + {ву? '

А — постоянная интегрирования, но она может зависеть от X, Y. При б1 мы получаем уравнение

6х)2 + (0у)2) Щгт + fcjngui d ^

ОхЩг,) + OXUQXT, + (ОуЩг,) + ОуЩгг, + klvuQ dXv л ' л ' dY

4)

Опуская вычисления, укажем, что подстановка щ в уравнение (4) дает независимость К от X, Y, так как в противном случае щ будет алгебраически зависеть от ту и наше асимптотическое разложение не будет равномерным (область изменения ту не ограничена). Тогда К = const и константа может быть равна чему угодно, так как изменение этой константы изменяет компенсирующим образом ту через связь в (калибровочная инвариантность). Мы примем К — i и тогда uq = Aexp(iry), а также вх)2 + (ву)2 = klnl. (5)

Уравнение (5) называется уравнением Гамильтона-Якоби или уравнением эйконала.

Теперь, с учетом полученного выражения для uq правая часть уравнения (4) есть д . . „ . д . „ . . .,

ОхА) + ехАх + ^ [ОуА) + 9yAy + к20иА iel7? дХ v - / - - dY

Поскольку, при выполнении уравнения (5) ir] есть решение (3), уравнение (4) будет иметь решения в виде квазиполиномов от ту с нетривиальной алгебраической частью (см. [73]), что нарушит равномерность асимптотического разложения, и потому должно быть г\ о ay (ОхА) + ОхАх + ду (0УА) + вуАу + klvA = 0. (6)

Это уравнение называется уравнением переноса и в совокупности уравнения (5) и (6) составляют нулевое приближение метода ВКБ или лучевого метода [10], поскольку характеристики нелинейного уравнения первого порядка (5) в данном контексте называются лучами. Уравнения (5) и (6) — первого порядка, и для них можно ставить задачи, упомянутые в начале Введения. Вопрос о том, в каком смысле решения этих задач приближают решения каких-то задач для уравнения Гельмгольца, очень сложен и его удовлетворительное решение требует, вероятно, радикально нового подхода. Это связано, в частности, с тем, что решения уравнений разных типов естественно принадлежат функциональным пространствам, весьма различным по своей природе, так что их трудно сравнивать. Большая часть известных работ посвящена получению формальных асимптотик.

Известно что системы лучей могут иметь особенности (например, каустики), в окрестности которых описанные формальные разложения теряют силу. Эквивалентно, уравнение (5) имеет многозначные решения.

Имеются многочисленные работы, предлагающие как новые методы построения решений уравнений переноса при наличии особенностей — метод эталонных уравнений [10], метод канонического оператора Маслова [57], так и методы построения многозначных решений уравнения Гамильтона-Якоби (5) [101, 139].

Вместе с тем имеется и другой подход к разрешению упомянутых трудностей. Он связан с упрощением картины лучей, но одновременно усложняется уравнение переноса. Этот метод имеет название метода параболического уравнения, и его развитию в основном и посвящена настоящая работа.

На основе изложенного выше материала мы имеем возможность совсем кратко и понятно показать, как получаются основные уравнения этого метода. Возьмём в уравнении (2) такое соотношение малых параметров: 5 = е1//2, то есть мы рассмотрим уравнение euYY + kln2u = 0 . (7)

Вводя точно так же фазу в и продолженные производные и так же разлагая параметры и поле, мы найдем при е-1 ву)2 = 0 .

Так как щ не должна алгебраически зависеть от г], поскольку это нарушит равномерность разложения, остается положить 0у = 0, то есть в не зависит от Y. Теперь при е° мы найдем уравнение эйконала в виде

Oxf = klnl

8) из которого следует, что лучи суть прямые, параллельные оси X. Таким образом, никаких особенностей у системы лучей нет. Рассмотрение условия разрешимости уравнения при е1 дает следующее уравнение для амплитуды

Это уравнение и называется параболическим уравнением, хотя оно имеет свойства, совершенно отличные от привычных в математической физике параболических уравнений. Уравнения такого типа появляются в квантовой механике и называются там нестационарными уравнениями Шредингера. Известно, что такие уравнения при простых граничных условиях определяют унитарную динамику в пространстве квадратично суммируемых функций от переменной Y. Таким образом, сравнивать решения таких уравнений с решениями уравнения Гельмгольца, где естественным является соболевское пространство Н1, также затруднительно.

Физически уравнение (9) описывает дифракцию волн, распространяющихся под малыми углами к оси X. Какой именно угол считать малым зависит от заданной точности аппроксимации волнового поля. Как показано в литературе, см. также и настоящую работу, рассмотрение последующих приближений по степеням е дает широкоугольные поправки к (9), то есть при заданной точности угол распространения увеличивается. При этом у нас уравнение для амплитуды последующего порядка имеет такой же вид, как (9), но с правой

2iехЛх + iОххА + Ауу + k\vA = 0 .

9)

частью, зависящей от предыдущих приближений. Такая форма широкоугольных уравнений удобна как при рассмотрении некоторых теоретических вопросов, так и для организации численного счета.

Многочисленные эвристические выводы уравнений типа (9) обычно "проходят мимо" уравнения Гамильтона-Якоби (8), которое в рассмотренном случае тривиально, но в более сложных случаях имеет существенное значение. Впрочем, даже в рассмотренном случае оно позволяет правильно определить фазу в, а тем самым и амплитуду, и избежать вопроса о "правильном выборе опорного волнового числа", которому посвящена многочисленная литература и который возник из-за определения фазы соотношением в(Х) = коХ (см. [74] и недавнюю работу [151]).

Возможно обобщение метода параболического уравнения до метода лучевого параболического уравнения, когда используются шкалы переменных такие же, как в лучевом методе, но вводится дополнительная быстрая переменная £ = e~l/2ip(X,Y). Тогда, действуя как выше, мы получим полное уравнение эйконала (5), а в качестве уравнения переноса — уравнения типа (9), в котором роль дифракционной переменной У будет играть новая переменная £ (см., например, [41, 68, 96]). Такие уравнения очень интересны, но в нашу работу они не вошли, и мы ограничимся этим кратким упоминанием.

Строгое обоснование асимптотических методов исключительно сложно и здесь имеются лишь изолированные результаты, следует упомянуть классическую работу [13], относящуюся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и более современные работы

55, 122], содержащие некоторые результаты о моделях с частными производными.

Таким образом, выбор подходящего параболического шкалирования и введение соответствующих медленных и быстрых переменных уже без дополнительных предположений приводит к нужным уравнениям. Этот подход мы попытаемся последовательно проводить в основных частях работы.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Трофимов, Михаил Юрьевич

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Методом многомасштабных разложений получены параболические приближения произвольного порядка для задач распространения звука в нестационарных волноводах, в том числе при наличии течений. Рассмотрены постановки начально-краевых задач, получены условия устойчивости и единственности решений.

2. Произведен анализ особенностей применения метода параболического уравнения для волноводов, имеющих границы раздела, на которых индекс рефракции терпит разрыв первого рода с конечным скачком. Теоретически показана неправомерность использования в такой задаче метода параболического уравнения с обычно применяемыми условиями на границе раздела. Численными экспериментами подтверждены теоретические выводы.

3. Методом многомасштабных разложений в первом порядке малого параметра получено параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды в общности, достаточной для применения этого уравнения в трехмерных задачах акустики океана. В следующем порядке получено параболическое уравнение для широкоугольной поправки к этой амплитуде. Показано, что эти два уравнения вместе могут рассматриваться как широкоугольное модовое параболическое уравнение. Рассмотрены постановки начально-краевых задач для полученных уравнений, получены условия устойчивости и единственности решений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

4. Методом многомасштабных разложений выведено нестационарное параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды, распространяющейся в неоднородной и нестационарной среде. Получены уравнения характеристик и условия на характеристиках для этого уравнения.

5. Методом многомасштабпых разложений выведено линейное параболическое уравнение для амплитуд нормальных мод внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированной среде над неровным дном. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

6. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для уравнений типа нестационарного уравнения Шре-дингера, основанные на факторизации уравнения Гамильтона-Якоби вместо факторизации оператора уравнения. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

7. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для волнового уравнения, основанные на построении однонаправленных приближений к этому уравнению методом многомасштабных разложений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

8. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для получения приближенного решения спектральной задачи для акустических мод на слабом течении. Проведено сравнения с другими приближенными методами.

9. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для приближенного решения спектральной задачи Тейлора-Голдштейна для мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом. На простых примерах подтверждена эффективность полученных формул.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Трофимов, Михаил Юрьевич, 2009 год

1. Авилов К. В., Мальцев Н. Е. К вычислению звуковых полей в океане методом параболического уравнения // Акуст. журн. 1981. Т. 27, № 3. С. 335-340.

2. Авилов К. В. Псевдодифференциальные параболические уравнения распространения звука в океане, плавно неоднородном по горизонтали, и их численное решение // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 1. С. 5-12.

3. Алексеев Г. В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 360 с.

4. Алексеев Г. В., Комаров Е. Г. Быстрый алгоритм вычисления собственных значений для многослойного поглощающего волновода // Акуст. журн. 1990. Т. 36, № 6. С. 965-972.

5. Алексеев Г. В., Комаров Е. Г. Несамосопряженная сингулярная спектральная задача для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 4. С. 587-597.

6. Алексии Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.:Издательство иностранной литературы, 1963. 359 с.

7. Алувэлъя Д. С., Келлер Док. Б. Точные и асимптотические представления звукового поля в стратифицированном океане //В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 20-75.

8. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. М.: Мир, 1976. 311 с.

9. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.-.Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 304 с.

10. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.:Наука, 1972. 456 с.

11. Барридж. Р., Вайнберг Г. Горизонтальные лучи и вертикальные, моды //В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 76125.

12. Березин А. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том 2. М.Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 640 с.

13. Боголюбов Н. Н., Митропоьский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Собрание научных трудов Н. Н. Боголюбова в 12 томах. Том 3. М.: Наука, 2005. 605 с.

14. Бондарь Л. Ф., Гриценко А. В., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю. Акустико-гидрофизическая трасса в шельфовой зоне Японскогоморя //В кн. "Акустика океана.11 Сб. трудов школы-семинара акад. Л. М. Бреховских. М.-.ГЕОС, 1998. С. 178-182

15. Борисов Н. Г., Гриценко А. В., Козицкий С. В., Никора О. И., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю., Филонов А. Е. Флуктуации гидроакустических сигналов, обусловленные внутренними волнами // Акуст. журн. 1994. Т. 40, № 5. С. 749 755.

16. Борисов С. В., Коротченко Р. А., Рутенко А. Н., Трофимов М. Ю. Пример численного моделирования влияния нелинейных внутренних воли на распространение звука в мелком море // Акуст. журн. 1996. Т. 42, № 5. С. 702-705.

17. Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск:НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2004. 540 с.

18. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 416 с.

19. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 607 с.

20. Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1977. 416 с.

21. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1988. 512 с.

22. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. Новосибирск: Наука, 1993. 368 с.

23. Воронович А. Г. О распространении внутренних волн в неоднородном по горизонтали океане // И АН Физика атмосферы и океана. 1976. Т. 12, № 1. С. 83-92.

24. Воронович А. Г. Распространение внутренних и поверхностных гравитационных волн в приближении геометрической оптики // ИАН Физика атмосферы и океана. 1976. Т. 12, № 8. С. 850857.

25. Годин О. А. О волновом уравнении для звукового поля в жидкости со стратификацией плотности // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 3. С. 579-582.

26. Годин О. А. Оценки фазовых и групповых скоростей акустических нормальных волн в движущейся слоистой среде // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310, № 5. С. 1084-1089.

27. Годин О. А., Михин Д. Ю., Молчанов С. Я. О приближении эффективной скорости звука в акустике движущихся сред // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29, № 2. С. 194-201.

28. Годин О. А. Волноводное распространение звука в горизонтально-неоднородном океане с течениями // В кн.: Океаническая акустика. М.: Наука, 1993. С. 3-8.

29. Годин О. А. О волнах малой амплитуды в неоднородной движущейся среде // ДАН. 1996. Т. 351, № 3. С. 322-325.

30. Годин О. А. О волновых уравнениях однонаправленного распространения звука на фоне потока // ДАН. 1998. Т. 361, № 4. С. 465468.

31. Годин О. А. О параболическом приближении в теории распространения звука в трехмерно-неоднородных средах // ДАН. 2000. Т. 373, № 5. С. 607-610.

32. Голанд В. И. Метод погружения в задаче определения дисперсионных кривых внутренних волн при наличии течения с вертикальным сдвигом скорости // Морской гидрофизический журнал. 1990. № 3. С. 62-65.

33. Гордиенко В. М. Симметризация смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка с двумя пространственными перменными // Сиб. мат. журн. 1981. Т. XXII, № 2. С. 84-104.

34. Григорьева Н. С. Асимптотические методы в задачах о распространении звука в неоднородной движущейся среде. JL: Издательство Ленинградского университета, 1991. 240 с.

35. Додд Р., Эйлбек Док., Гиббон Дою., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

36. Захаренко А. Д. О рассеянии на малых компактных неоднород-ностях в морском звуковом волноводе // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 2. С. 200-203.

37. Захаренко А. Д. Рассеяние звука на малых компактных неод-нородностях в морском волноводе: обратная задача. // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 2. С. 200-204.

38. Кацнельсон Б. Г., Бади М., Линч Дж. Горизонтальная рефракция звука в мелком море и ее экспериментальные наблюдения // Акуст. журн. 2007. Т. 53, № 3. С. 362-376.

39. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных дифференциальных операторов // Усп. мат. наук. 1971. Т. 26, Вып. 4. С. 15-41.

40. Киселев А. П. Модулированные гауссовы пучки // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1983. Т. XXVI. № 8. С. 1014-1020.

41. Кляцкин В. И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986. 256 с.

42. Коддингтпон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.

43. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 416 с.

44. Коротпченко Р. А., Трофимов М. Ю. Численное моделирование рефракции звука на нелинейных внутренних волнах // Доклады VII Дальневос-точной научно-технической конференции по судовой радиоэлектронике (1-3 мая 1994 г.) Владивосток, 1994. С. 109112

45. Коротпченко Р. А., Кузнецов Ю. А., Рутпенко А. Н., Трофимов М. Ю. Акустико-гидрофизические эффекты, порождаемые рыболовным судном с донным тралом // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 2. С. 260 266.

46. Коротпченко Р. А., Трофимов М. Ю. Комплекс программ компьютерного моделирования гидрофизического полигона //В кн. "Информатика в океанологии ТОЙ ДВО РАН, Владивосток, 1996. С. 81-95.

47. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.:Наука, 1980. 304 с.

48. Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 272 с.

49. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. 830 с.

50. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 287 с.

51. Лайтхилл Дою. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981. 598 с.

52. Леонтович М. А., Фок В. А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения // В сб.: Исследования по распространению радиоволн. Вып. II. М: Издательство АН СССР, 1948. С. 13-39.

53. Лионе Ж. Л., Мадэюенес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

54. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 400 с.

55. Маслов В.П. О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации // Усп. мат. наук. 1987. Т. 42, Вып. 3. С. 39-48.

56. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. 292 с.

57. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 384 с.

58. Миропольский Ю. 3. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

59. Миропольский Ю. 3. Распространение внутренних волн в океане с горизонтальными неоднородностями поля плотности // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. Т. 10, № 5. С. 519532.

60. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.: Мир, 1982. 296 с.

61. Назайкинский В. Е., Шаталов В. Е., Стернин Б. Ю. Методы некоммутативного анализа. М.: Техносфера, 2002. 336 с.

62. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 528 с.

63. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.:Мир, 1976. 456 с.

64. Найфэ А. X. Введение в методы возмущений. М.:Мир, 1984. 535 с.

65. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 320 с.

66. Осташев В. Е. Распространение звука в движущихся средах. М.: Наука, 1992. 208 с.

67. Пермитин Г. В., Смирнов А. И. Волновые пакеты в плавно неоднородных диспергирующих средах // ЖЭТФ. 2001. Т. 119, вып. 1. С. 16-26.

68. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.:Мир, 1975. 392 с.

69. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. 664 с.

70. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 616 с.

71. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.:Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 536 с.

72. Степанов В В. Курс дифференциальных уравнений. М.:ОГИЗ. Гостехиздат, 1945. 406 с.

73. Тапперт Ф. Д. Метод параболического уравнения //В кн. Распространение волн и подводная акустика, под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. С. Пападакиса. М.: Мир, 1980. С. 180-226.

74. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 288 с.

75. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 736 с.

76. Трофимов М. Ю. Об уравнениях квазистационарной модовой томографии мелкого моря с учетом взаимодействия мод //В кн. "Информатика в океанологии ТОЙ ДВО РАН, Владивосток, 1996. С. 59-66

77. Трофимов М. Ю. Использование брэгговского рассеяния звука на поверхностных и внутренних волнах для акустического зондирования неоднородностей скорости звука в мелком море //В кн.

78. Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. С. 52-54.

79. Трофимов М. Ю. Модовое параболическое уравнение для расчета трехмерных звуковых полей в мелком море //В кн. "Труды IV Всероссийской акустической конференции "Исследование и освоение Мирового океана 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998. С. 55-57.

80. Трофимов М. Ю. Акустическая модовая томография с учетом взаимодействия мод //В кн. "Морская акустика и гидрофизика" (Труды ДВГТУ, вып. 121, сер. 9 Акустика) Владивосток: изд-во ДВГТУ, 1999. С. 35-47.

81. Трофимов М. Ю. Узкоугольные параболические уравнения адиабатического распространения звука одной моды в горизонтально-неоднородном мелком море // Акуст. журн. 1999. Т. 45,№ 5. С. 647-652.

82. Трофимов М. Ю. Параболические уравнения с зависимостью от времени для двумерных акустических волноводов // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, № 17. С. 94-98.

83. Трофимов М. Ю. Вычисление собственных значений и функций акустических нормальных мод в слоистой среде с горизонтальным течением // Акуст. журн. 2000. Т. 46, № 2. С. 274-278.

84. Трофимов М. Ю. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 2. С. 294-301.

85. Трофимов М. Ю. Широкоугольные модовые параболические уравнения // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 6. С. 274-278.

86. Трофимов М. Ю., Коротпченко Р. А. Характеристики нормальных мод в упругом волноводе при малых скоростях сдвиговых волн // В кн. "Акустика океана."Доклады X Школы-семинара акад. Л. М. Бреховских. М.:ГЕОС, 2004. С. 173-176.

87. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 9. С. 89-94.

88. Трофимов М. Ю. О новом подходе к асимптотическим абсорбирующим граничным условиям для волнового уравнения // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33, вып. 3. С. 21-26.

89. Трофимов М. Ю., Козицкий'С. Б., Захаренко А. Д. Модовые параболические уравнения в акустике океана // Дальневосточныеморя России. М.: Наука, 2007. Кн. 4: Океанологические исследования. С. 385-395.

90. Уилкинсон Дэю., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976, 390 с.

91. Флегпчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

92. Хартпман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

93. Abawi, А. Т., Kuperman, W. A., Collins, М, D. The coupled mode parabolic equation // J. Acoust. Soc. Amer. 1997. V. 102, N. 1. P. 233-238.

94. Ainslie M. A., Packman M. N., Harrison С. H. Fast and explicit Wentzel-Kramers-Brillouin mode sum for bottom-interacting field, including leaky modes // J. Acoust. Soc. Am. 1998. V. 103, N. 4. P. 1804-1812.

95. Ali G., Hunter J. К., Diffractive nonlinear geometrical optics for variational wave equations and Einstein equations // Comm. Pure Appl. Math. 2007. V. LX. P. 1523-1557.

96. Antoine, X., Arnold, А., В esse, C., Ehrhardt, M. and Schadle, A. A review of transparent and artificial boundary conditions technique for linear and nonlinear Schrodinger equation // Comm. Сотр. Phys. 2008. V. 4. P. 729.

97. Arnold, A. and Erhardt, M. Discrete transparent boundary conditions for wide ahgle parabolic equations in underwater acoustics // J. Сотр. Phys. 1998. V. 145. P. 611-638.

98. Banks W. H. H.} Drazin P. G., Zaturska M. B. On the normal modes of parallel flow of inviscid stratified fluid // J. Fluid. Mech. 1976. V. 75. Part 1. P. 149-171.

99. Baskakov, V. A., Popov A. V. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation // Wave Motion 1991. V. 14. P. 123-128.

100. Benamou, J.-D. Direct solution of multi-valued phase-space solutions for Hamilton-Jacobi tquations // Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. P. 1443-1499. См. также INRIA report N. 4628, (2002).

101. Bender, С. M. and Orszag S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, 1978. xiv+593 p.

102. Berenger J-P. A perfectly matched layer for the absorbtion of electromagnetic waves // J. Comput. Phys. 1994. V. 114. P. 185200.

103. Chan, T. F., Shen, L. A stable explicit scheme for the ocean acoustic wave equation // Сотр. &; Maths, with Appl. 1985. V. 11, N. 9. P. 929-936.

104. Chan, T. F., Lee, D. and Shen, L. Stable explicit schemes for equations of the Schrodinger type // SIAM J. Numer. Anal. 1986. V. 23, N. 2. P. 274-281.

105. Chen Y., Liu P. L.-F. The Kadomtsev-Petviashvili equation for interfacial waves // J. Fluid Mech. 1995. V. 288. P. 383-408.

106. Collino F. Perfectly matched absorbing layers for the paraxial equations // J. Comput. Phys. 1887. V. 131. P. 164-180.

107. Collins M. D. Applications and time-domain solution of higher-order parabolic equations in underwater acoustics // J. Acoust. Soc. Amer. 1989. V. 86, N. 3. P. 1097-11-2.

108. Collins M. D. The problem of energy conservation in one-way models // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. V. 89, N. 3. P. 1058-1067.

109. Collins M. D. A higher-order energy-conserving parabolic equation for range-dependent ocean depth, sound speed, and density // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. V. 89, N. 3. P. 1068-1075.

110. Collins M. D. A split-step Pade solution for the parabolic equation method // J. Acoust. Soc. Am. 1993. Vol. 93, N. 4. P. 1736-1742.

111. Collins M. D. The adiabatic mode parabolic equation // J. Acoust. Soc. Amer. 1993. V. 94, N. 4. P. 2269-2278.

112. Collins M.D., McDonald B.E., Heaney K.D., Kuperman W.A. Three-dimensional effects in global acoustics // J. Acoust. Soc. Amer. 1995. V. 97, N. 3. P. 1567-1575.

113. Continuation methods. Edited by H. Wacker. Academic Press, New York et al., 1978. ix+336 pp.

114. Dalrymple, R. A, Kirby, J. Т. Models for very wide-angle water waves and wave diffraction // J. Fluid Mech. 1988. V. 192. P. 33-50.

115. Engquist, B. and Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Сотр. 1977. V. 31, N. 139. P. 639-651.

116. Givoli, D. and Neta, B. High-order non-reflecting boundary scheme for time-dependent waves // J. Comput. Phys. 2003. V. 186. P. 24-46.

117. Green R. R. The rational approximation of the wave equation with bottom unteraction // J. Acoust. Soc. Amer. 1984. V. 76, N. 6. P. 1764-1773.

118. Ha-Duong Т., Joly P. On the stability analysis of boundary conditions for the wave equation by energy methods. Part 1: The homogeneous case // INRIA, Rapports de Recherche. 1990. N. 1306.

119. Hagedorn G. A. A particle limit for the wave equation with a variable wave speed // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. XXXVII. P. 91-100.

120. Hagstrom Т. Radiation boundary conditions for the numerical simulation of waves // Acta Numer. 1999. V. 8. P. 47-106.

121. Hagstrom T. New results on absorbing layers and radiation boundary conditions // In: Topics in Computational Wave Propagation, ed. M. Ainsworth, Springer-Verlag, Berlin, 2003. P. 143.

122. Higdon R. L. Initial-boundary value problems for linear hyperbolic systems // SIAM Rev. 1986. V. 28, N. 2. P. 177-217.

123. Higdon R. L. Numerical absorbing boudary conditions for the wave equation // Math. Comput. 1987. V. 49. P. 65-90.

124. Joly P. Etude mathematique de l'approximation parabolique de l'equation des ondes en milieu stratifie // INRIA, Rapports de Recherche. 1984. N. 299.

125. Keller J. В., van Mow C. Internal wave propagation in an inhomofeneous fluid of non-uniform depth // J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 365-374.

126. Kirby J. Т., Dalrymple R. A. A parabolic equation for the combined refraction-diffraction of Stokes waves by mildly varying topography // J. Fluid Mech. 1983. V. 136. P. 453-466.

127. Kirby J. T. Open boundary condition in parabolic equation method // Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering. 1986. V. 112, No. 3. P. 460-465.

128. Kirby J. Т., Tsung-Muh Chen. Surface waves on vertically sheared flows: approximate dispersion relations // J. Geophys. Res. 1989. V. 94, N. CI. P. 1013-1027.

129. Kreiss H-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Comm. Pure Appl. Math. 1970. V. XXIII. P. 277-298.

130. Kuska J.-P. Absorbing boundary conditions for the Schrodinger equation on finite intervals // Physical Review B. 1992. Vol. 46. P. 5000-5003.

131. LeBlond P. H., Mysak L. A. Waves in the ocean. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam et al., 1978. 602 pp.

132. Liu P. L. F., Mei С. C. Water motion on a beach in the presence of a breakwater. 1 // J. Geoph. Res. 1976. V. 81. P. 3079-3094.

133. Liu P. L.-F, Yoon S. В Nonlinear refraction-diffraction of waves in shallow water // J. Fluid Mech. 1985. V. 153. P. 185-201.

134. Liu H., Osher S., Tsai R. Multi-valued solution and level set methods in computational high frequency wave propagation // Comm. Сотр. Phys. 2006. V. 1, N. 5. P. 765-804.

135. Llewellin Smith, S. G., Young W. R. Conversion of the barotropic tide. // J. Phys. Oceanogr. 2002. V. 32. P. 1554-1566.

136. Mei С. C. The applied dynamics of ocean surface waves. John Wiley к Sons, New York et al, 1983.

137. Nghuem-Ohu L., Tappert F. Parabolic equation modeling of the effects of ocean currents on sound tranmission and reciprocity in the time domain // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78, N. 2. P. 642-648.

138. Ona R. and Finette S. Acoustic propagation through anisotropic internal wave fields: Transmission loss, cross-range coherence, and horizontal refraction // J. Acoust. Soc. Amer. 2002. V. Ill, N. 2. P. 769-784.

139. Orchard B. J., Siegmann W. L., and Jacobson M. J. Three-dimensional time-domain paraxial approximations for ocean acoustic wave propagation // J. Acoust. Soc. Amer. 1992. V. 91, N. 2. P. 788801.

140. Papadakis J. S., Taroudakis M. I. and Papadakis P. J. A new method for a realistic treatment of the sea bottom in the parabolic approximation 11 J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 92. P. 2030-2038.

141. Pierce A., D. Wave equation for sound in fluids with unsteady inhomogeneous flow // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 67, N. 6. P. 22922297.

142. Radder A. C. On the parabolic equation method for water-wave propagation // J. Fluid Mech. 1979. V. 95. P. 159-176.

143. Robertson J S., Siegmann W. L., Jacobson M. J. Current and current shear effects in the parabolic approximation for underwater sound channel // J. Acoust. Soc. Am. 1985. V. 77, N. 5. P. 1768-1780.

144. Robertson J S.; Siegmann W. L., Jacobson M. J. A treatment of three-dimensional underwater acoustic propagation through a steady shear flow // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 86, N. 4. P. 1484-1489.

145. Rypina I /., Udovichenkov I. A., Brown M. G. A transformation of the environments eliminates parabolic equation phase errors // J. Acoust. Soc. Am. 2006. V. 120, N. 3. P. 1296-1304.

146. Shang E. C. Ocean acoustic tomography based on adiabatic mode theory I j J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 85. P. 1531-1537.

147. Shang Е. С., Voronovich A. G., Wang У. У., Naugolnykh К., Ostrovsky L. New schemes of ocean acoustic tomography // J. Comput. Acoustics. 2000. V. 8, N. 3. P. 459-471.

148. Shang E. C., Wang У. У., Gao Т. F. On the adiabaticity of acoustic propagation through nongradual structures // J. Comput. Acoustics. 2001. V. 9, N. 2. P. 359-366.

149. Shibata T. Absorbing boundary conditions for the finite-difference time-domain calculation of the one-dimensional Schrodinger equation 11 Physical Review B. 1991. V. 43. N. 8. P. 6760-6763.

150. Siegmann W. L., Kriegsmann G. A., and Lee D. A wide-angle three-dimensional parabolic wave equation // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78, N. 2. P. 659-664.

151. Smyth N. F., Holloway P. E. Hydraulic jump and undular bore formation on a shelf break // J. Phys. Oceanogr. 1988. V. 18. P. 947-963.

152. Trefethen L. N. Pseudospectra of linear operators // SIAM Rev. 1997. V. 39, N. 3. P. 383-406.

153. Trofimov M. Yu. Modal acoustic tomography with mode interaction // Proceedings of the 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996. P. 2.31-2.34

154. Trofimov M. Yu. Time dependent adiabatic mode parabolic equation // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing

155. Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II. P. 773777,

156. Trofimov M. Yu. On the interface and boundary conditions in the parabolic equation method // Europhysics letters. 2007. V. 77. P. 64005-64011.

157. Trofimov M. Yu. A new approach to the absorbing boundary conditions for the Schrodinger type equations // arXiv:math-ph/0611031.

158. Trofimov M. Yu. An adiabatic mode time-dependent parabolic equation j I arXiv:physics/0909.0204.

159. Trofimov M. Yu. Non-stationary parabolic equations for the quasi-monochromatic sound propagation in media with a non-stationary background flow // arXiv:physics/0909.0205.

160. Trofimov M. Yu., Kozitskiy S. В., Zakharenko A. D On the parabolic equation method in internal wave propagation // Ocean Modelling. 2007. V. 17, N. 4. P. 327-337. arXiv:physics/0609189.

161. Tsynkov S. V. Numerical solution of problems on unbounded domains. A review // Appl. Numer. Math. 1998. V. 27. P. 465-532.

162. Voronovich A. G., Shang E. C. A note on horizontal-refraction-modal tomography // J. Acoust. Soc. Amer. 1905. V. 98, N. 5. P. 2708-2816.

163. Wetton В.Т.К., Fawcett J.A. Scattering from small three-dimensional irregularities in the ocean floor // J. Acoust. Soc. Amer. 1989. V. 85, N. 4. P. 1482-1488.

164. Zakharenko A. D. Scattering of internal waves from small sea bottom inhomogeneities // Proceedings of The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Vol. II. P. 773-777, arXiv:physics/0701221.