Новый метод постановки условий излучения для решения задач распространения линейных волн в неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Петров, Павел Сергеевич

• Петров, Павел Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петров, Павел Сергеевич

Введение

Глава 1. Обзор современных методов постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера.

1.1. Условия излучения для волнового уравнения.

1.2. Условия излучения для уравнения Шредингера.

1.3. Выводы к первой главе.

Глава 2. Нестационарный аналог параболического уравнения типа Тапперта и его использование в качестве условия излучения для волнового уравнения.

2.1. Новый подход к получению операторной асимптотики Тапперта

2.2. Вывод нестационарного аналога уравнения типа Тапперта

2.3. Уравнение Тапперта как условие искусственной границы и корректность смешанной задачи.

2.4. Численная схема для решения смешанной задачи для волнового уравнения в области с вертикальными открытыми границами.

2.5. Численные эксперименты.

2.6. Дополнение: некоммутативная аппроксимация Паде и высшие приближения использованной асимптотики.

2.7. Выводы ко второй главе

Глава 3. Амплитудная форма условий излучения для нестационарного уравнения Шредингера.

3.1. Амплитудная иерархия для уравнения Шредингера и уравнение Гамильтона-Якоби

3.2. Условия искусственной границы первого и второго порядка

3.3. Алгоритм решения задачи с открытыми границами для уравнения Шредингсра. Численная схема.

3.4. Модельные расчеты: распространение гауссовых пучков

3.5. Выводы к третьей главе.

Глава 4. Применение условий излучения к решению двух физических задач.

4.1. Задача о рассеянии звука на тонкоструктурных неоднородно-стях профиля скорости звука.

4.2. Оценка потерь на высвечивание акустической энергии из звукового канала в мелком море методом параболического уравнения с условиями излучения

4.3. Выводы к четвертой главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новый метод постановки условий излучения для решения задач распространения линейных волн в неоднородных средах»

Во многих задачах теории волн область, в которой исследуется их распространение, не имеет физических границ. В то же время для исследователя интерес представляет, как правило, волновое ноле внутри некоторой конечной части неограниченной области. Поэтому естественно и удобно переходить к рассмотрению этой части неограниченной области с помощью постановки искусственных границ, через которые волны излучаются во внешнюю среду. Такие искусственные границы называются излучающими (также употребляется термины: поглощающая граница, неотражающая граница, прозрачная граница). Условие, которому должна удовлетворять волновая функция на такой границе, называется условием излучающей границы или просто условием излучения. Это название мы и будем в основном использовать на всем протяжении работы, заменяя его на указанные синонимы, чтобы избегать повторений. По нашему мнению, оно лучше всего отражает физическое свойство, присущее искусственной границе такого типа. К тому же оно отражает обобщающий характер условий излучения по отношению к классическим условиям излучения на бесконечности (условиям Зоммерфельда).

Условия излучающей границы могут быть использованы для решения многих задач квантовой механики [79], акустики [39, 78], геофизики [61], метеорологии [65, 70], электродинамики [72], теории упругости [38] и других областей физики, где важную роль играют волновые уравнения. Так, например, в задачах геофизики и акустики волноводы, как правило, неограничены в горизонтальных направлениях и стратифицированы по вертикали. Естественно ограничиться частью такого волновода, поставив вертикальные искусственные границы, излучающие волны во внешнюю среду. Условие излучения на таких границах должно учитывать имеющуюся стратификацию. В ряде случаев их использование способно существенно упростить решение задач, в которых интерес представляет главным образом рассеяние воли на локализованных неоднородностях. В задачах квантовой механики условия излучения позволяют решать уравнение Шредингера в конечной области, не исключая при этом из рассмотрения свободные состояния и взаимодействие с ними. Таким образом, появляется мощный вычислительный инструмент, позволяющий, рассматривая лишь конечную область, учитывать наличие у системы непрерывного спектра. Это полезно в тех случаях, когда исследователя интересуют односторонние переходы из свободных состояний в связанные и не интересуют обратные переходы. Именно такой характер имеют, например, задачи типа ионизации и диссоциации. Волноводы открытого типа встречаются также в оптике и радиофизике. При исследовании определенного участка достаточно большого волновода имеет смысл рассматривать его отдельно, выделрт его с помощью излучающих границ. Поглощающие слои, но сути аналогичные условиям излучения, прочно вошли в аппарат вычислительной электродинамики (см. книгу [72]). Из других областей применения условий излучения можно отметить, например, метеорологию, где их корректная постановка имеет большое значение для разработки систем прогнозирования атмосферных явлений, определяющих погоду (см. работы [65, 70] и библиографию в них). Условия излучения необходимы при компьютерном моделировании волновых процессов, которое является в настоящее время важным и мощным инструментом для физика-теоретика.

Условия излучающей границы разрабатывались многими авторами, эта область исследований привлекает в последнее время интерес со стороны специалистов в области численного моделирования, вычислительной физики и т.д. Для многих ситуаций способы постановки таких условий хорошо разработаны. В частности, проблему постановки условий излучения для волнового уравнения в ситуации, когда скорость звука постоянна вдоль искусственной границы, можно считать полностью решенной (см. недавние работы [54, 55]).

Однако, некоторые важные аспекты методов постановки условий излучения до сих пор не были развиты. Например, не было предложено метода, который бы позволил учесть стратификацию среды вдоль излучающей границы для задач описываемых волновым уравнением. Стратификация такого типа является важной особенностью многих физических задач. Поэтому было бы желательно обобщить подход, развитый в [54] и предшествующих работах на случай слоисто-неоднородной среды. Частично эта проблема решена в главе 2. Также предложен метод, который, по-видимому, способен дать и полное решение. Существующие способы постановки излучающих границ для уравнения Шредингера (или параболического уравнения) также во многом несовершенны. Для уравнений этого типа хорошо развиты методы позволяющие получить нелокальные граничные условия [33], обеспечивающие практически полное излучение падающих на них волн. Такие условия излучения имеют существенный недостаток: они гораздо сложнее исходных уравненй. В связи с этим, желательно получить такие условия искусственной границы для уравнения Шредингера, которые бы давали низкий коэффициент отражения падающих волн и при этом имели достаточно простую форму. В диссертации предложен новый метод постановки условий излучения для одного достаточно широкого класса задач, описываемых уравнением Шредингера, обладающий этими свойствами.

Для разработки новых методов постановки условий излучения в нашей диссертации мы используем два различных метода. В случае волнового уравнения мы используем факторизацию волнового оператора с целью выделения на границе волн, распространяющихся из области во внешнюю среду. Наиболее важным шагом является последующий выбор метода аппроксимации получающихся при факторизации псевдодифференциальных операторов. С целью учета стратификации среды мы используем операторную асимптотику, получаемую с помощью методов некоммутативного анализа. Это позволяет нам получить уравнение однонаправленного распространения волн в слоистой среде, которое мы и предлагаем использовать в качестве условия излучения для волнового уравнения. При разработке условий излучения для уравнения Шрсдингера мы используем метод многомасштабных разложений. Такой способ получения условий искусственной границы был впервые предложен М.Ю.Трофимовым [29, 30]. Мы, однако, используем полученные уравнения уже в амплитудном виде, не переходя к волновой функции, как это сделано в упомянутых работах. Метод многих масштабов позволяет осуществить выделение волн, распространяющихся на границе из области во внешнюю среду засчет фазовой функции, определяющей геометрию волновых фронтов. Оказывается, что условия излучения в амплитудной форме в ряде случаев более удобны и обеспечивают более высокую точность вычислений.

Условия излучения на границе конечной области являются мощным инструментом для исследования распространения волн в различных физических задачах. При этом, однако, пригодные для практического использования методы их постановки были разработаны лишь относительно недавно. По этой причине количество работ, где они используются, пока еще очень мало. В диссертации представлено два примера использования условий излучения при исследовании распространения акустических волн (глава 4). В первой части четвертой главы они применены для исследования задачи о рассеянии волн на тонкой структуре. Выделение с их помощью небольшого участка волновода позволяет получить подробную картину рассеяния импульсного сигнала с помощью нестационарного волнового уравнения. Мы используем здесь полученные во второй главе условия, которые позволяют нам учесть слоистую стратификацию среды. Во второй части четвертой главы условие излучения применено к анализу высвечивания энергии из волновода при рассеянии на пеоднородностях. Потери энергии в рамках нашей модели происходят засчет контакта волн с поглощающим дном, которое мы моделируем условием излучающей границы для узкоугольного параболического уравнения, эквивалентного уравнению Шредингера.

Результаты настоящей работы опубликованы в двух статьях [69], [28], одной монографии [23], а также в пяти сборниках материалов конференций [22, 24-27].

Я глубоко признателен своему научному руководителю М.Ю.Трофимову за тот объем знаний и навыков, который он передал мне за время моего обучения в аспирантуре, за открытые мне новые горизонты и направление моих исследований. Также я хотел бы поблагодарить здесь сотрудников лаборатории 3/2 Тихоокеанского океанологического института за ту радость, которую мне неизменно доставляла работа в этом замечательном коллективе. В особенности я признателен заведующему лабораторией К.В.Кошелю и заведующему отделом С.В.Пранцу за всестороннюю поддержку и внимание к моим проблемам, а также А.И.Гудименко, А.Д.Захареико, С.Б.Козицкому, Д.В.Макаров}'',

A.О.Максимову, В.В.Паку и И.О.Ярощуку за полезные и содержательные обсуждения различных вопросов и переданный мне их бесценный опыт. Неоценима также поддержка руководства нашего института и лично его директора

B.А.Акуличева аспирантам и, в частности, мне, за которую я очень признателен. Кроме того, в некоторых вопросах было бы весьма затруднительно разобраться без участия и бескорыстной помощи людей, которые нашли возможность дать мне консультацию в переписке. Я глубоко признателен за это В.М.Гордиенко, В.С.Гостеву, Т.Хагстрему и Э.Соммесу.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Петров, Павел Сергеевич

4.3. Выводы к четвертой главе

В четвертой главе диссертации метод исследования распространения волн в неограниченных воловодах с использованием условий излучения применен к решению двух физических задач. Первая из них состоит в исследовании рассеяния волн на тонкой структуре в слоистом волноводе. Условия излучения позволяют произвести это исследование в рамках наиболее полного описания с помощью нестационарного волнового уравнения. Это позволяет отследить не только пространственные, но и временные изменения структуры поля, вызванные влиянием тонкой структуры. Картина поля, полученная

Рис. 4.18. Зависимость коэффициента потерь различных видов К (Дб/км) от частоты звука v (Гц): поглощение звука в соленой воде (пунктирная линия) и высвечивание (сплошная линия)

Рис. 4.19. Зависимость матричных элементов Мц взаимодействия мод от частоты звука v

Гц) таким образом, дает наиболее полное и наглядное представление о физике явления. Ключевым моментом исследования является исключение волн, покидающих интересующий нас участок волновода. Это позволяет выделить в чистом виде волны, рассеянные на тонкой структуре. Для этого необходимо воспользоваться условиями излучения на границах рассматриваемого участка. При этом на вертикальных границах, где имеет место выраженное изменение параметров среды, необходимо ставить условия, учитывающие это изменение — т.е., например, условия излучения, полученные во второй главе работы. Этот случай является типичной физической ситуацией, когда они могут быть использованы при решении реальных задач теории волн.

Во второй части четвертой главы произведено исследование высвечивания акустической энергии из подводного звукового канала, возмущенного внутренними волнами на примере одного района Охотского моря. Основное ограничивающее предположение состоит в рассмотрении линейных внутренних волн, спектр которых соответствует модифицированной модели Гаррета-Манка для мелкого моря. Полученные результаты представляют определенный интерес по следующим причинам. Во-первых, несмотря на то, что существовала аналогичная оценка для высвечивания в глубоком океане (полученная на основе анализа уравнения переноса и существенно использующая лучевое приближение), соответствующий результат важно сопоставить с оценкой того же параметра дргуим методом (в нашем случае — лишенным недостатков лучевого описания). Во-вторых, определенный интерес представляет оценка в на основе конкретных данных по гидрологии данного района Мирового Океана. В-третьх, важно отметить, что результаты численного моделирования показывают, что зависимость потерь акустической энергии на высвечивание от частоты излучаемого звука может иметь ие такой вид, который предполагался ранее. Ограничивающим фактором для роста высвечивания с уменьшением частоты для ь> < 100Гц может стать смещение максимума интенсивности звуковой энергии ниже оси канала, в результате чего уменьшается перекрытие между акустическими модами и возмущением, которое локализовано существенно выше оси канала. В связи с этим влияние возмущения ослабляется и высвечивание резко уменьшается при снижении частоты ниже 50 Гц. Это заключение находит свое подтверждение при анализе матричных элементов теории возмущений оператора Шредингера. Таким образом, зависимость потерь, вызываемых рассеянием звука на внутренних волнах обнаруживает максимум на частоте 100 Гц, в окрестности которого соответствующее затухание достигает значения Ю-3 Дб/км. При увеличении частоты высвечивание постепенно убывает, обнаруживая стабилизацию на высоких частотах, что соответствует переходу к лучевому пределу. При этом потери имеют величину порядка 5 - Ю-5 Дб/км. Такое снижение в терминах теории возмущений также может быть объяснено уменьшением матричных элементов взаимодействия акустических мод на высоких частотах.

Представленная диссертационная работа, содержит три основных результата, два из которых состоят в развитии новых методов постановки условий излучения для волнового и параболического уравнений, а третий представляет собой исследование одной задачи из акустики океана волновыми методами с использованием излучающих границ, чего ранее сделано не было. Суммируя выводы глав диссертации, мы делаем следующее заключение

1. Получен нестационарный аналог параболического приближения к волновому уравнению для слоистой среды, учитывающий зависимость от времени (нестационарное уравнение Тапперта). Это уравнение приближенно описывает однонаправленное распространение волн и учитывает изменение свойств среды в направлении, поперечном оси волновода. Предложено использовать это уравнение на границе области в качестве условия излучения. Проведенное исследование свойств этого условия показало, что оно обладает рядом преимуществ по сравнению с известными условиями излучающей границы. Наиболее важным из этих преимуществ является учет изменения свойств среды вдоль этой границы. На основе полученного условия реализована численная схема и разработан комплекс программ, позволяющих решать физические задачи, описываемые волновым уравнением в неограниченных волноводах. Предложен новый метод вывода операторной асимптотики Тапперта, основанный на методах некоммутативного анализа и позволяющий получить высшие приближения этой асимптотики.

2. Получены условия излучающей границы нового типа для параболического уравнения с быстроосциллирующими начальными данными, па их основе реализована эффективная численная схема, позволяющая решать параболическое уравнение в неограниченной области. Схема отличается простотой, однако обеспечивает меньшие коэффициенты отражения от границы, чем при использовании других условий излучения, в том числе аналитически точных условий Баскакова-Попова.

3. Проведено исследование высвечивания акустической энергии из подводного звукового канала под влиянием линейных внутренних волн для случая мелкого моря (на примере одного из районов Охотского моря с использованием экспериментальных гидрологических данных). Получена зависимость коэффициента потерь акустической энергии на 1 километр трассы от частоты в диапазоне частот 50-400 Гц. Показано, что максимальное значение этой величины достигается на частоте 100 Гц, в окрестности которой коэффициент потерь имеет порядок Ю-3 Дб/км. Наличие максимума объяснено в терминах межмодового взаимодействия. Установлено, что при v < 50Гц быстрое убывание с частотой коэффициента потерь на высвечивание обусловлено увеличением заглубления максимума интенсивности акустической энергии, и, как следствие, уменьшением перекрытия моды с возмущением.

На защиту выносятся:

• нестационарное уравнение, приближенно описывающее однонаправленное распространение волн в слоистой среде и метод решения волнового уравнения в открытом волноводе со слоистой стратификацией на основе использования полученного уравнения в качестве условия излучения;

• метод решения уравнения Шредингера в области с открытой границей на основе использования условия излучения в амплитудной форме;

• Полученная зависимость от частоты коэффициента высвечивания акустической энергии под влиянием линейных внутренних волн для одной модели подводного звукового канала в мелком море, основанной на конкретных гидрологических данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петров, Павел Сергеевич, 2010 год

1. Аксенов С. П. Асимптотическое краевое условие Дирихле для нижней границы жидкого слоя переменной толщины, лежащего на жидком полупространстве // Акустический журнал. 1985. Т. 30, № 4. С. 512-514.

2. Алексеев Г. В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 224 с.

3. Бреховских JI. М., Андреева И. Б. Акустика океана // http: / / www.akin.ru/spravka/socean.htm.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1988. 358 с.

5. Гилл А. Динамика атмосферы и океана, том 2. Москва: Наука, 1986. 415 с.

6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1979. 428 с.

7. Годунов С. К., Гордиенко В. М. Смешанная задача для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара С.Л.Соболева. 1977. С. 5-32.

8. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Москва: Наука, 1977.

9. Гордиенко В. М. Симметризация смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка с двумя пространственными переменными // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22. С. 84-104.

10. Гостев В. С., Копыл Е. А., Лысанов Ю. П., Швачко Р. Ф. Компьютерноемоделирование распространения звука в океане с фрактальными иеодпо-родностями // Акустический журнал. 2007. Т. 53, № 1. С. 80-86.

11. Гостев В. С., Попов О. Е., Швачко Р. Ф. Компьютерное моделирование звуковых полей в океане с тонкоструктурными неоднородностями // Акустический журнал. 2003. Т. 49, № 6. С. 778-785.

12. Гостев В. С., Швачко Р. Ф. Акустические эффекты в океане с тонкоструктурной стратификацией (натурные эксперименты, компьютерное моделирование) // XI школа-семинар акад. Л.М. Бреховских "Акустика океана". Москва: ГЕОС, 2006. С. 215-220.

13. Гостев В. С., Швачко Р. Ф. Компьютерное моделирование натурного эксперимента по рассеянию звука тонкоструктурными неоднородностями // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 2. С. 262-267.

14. Завадский В. Ю. Метод конечных разностей в волновых задачах акустики. Москва: Наука, 1982. 298 с.

15. Завадский В. Ю. Моделирование волновых процессов. Москва: Наука, 1991. 225 с.

16. Завадский В. Ю., Крупин В. Д. Применение численных методов для расчета звуковых полей в волноводах // Акустический журнал. 1975. Т. 21, № 3. С. 484-485.

17. Ландау JI. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика (перелятивистская теория). Москва: Изд-во физико-математической литературы, 1963. 715 с.

18. Маслов В. П. Операторные методы. Москва: Наука, 1973. 544 с.

19. Миропольский Ю. 3. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Москва: Гидрометеоиздат, 1981. 303 с.

20. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа. Москва: Техносфера, 2002. 336 с.

21. Петров П. С. Реализация метода многих масштабов в случае некоммути-рующих переменных // XXXII дальневосточная математическая школа-семипар имени академика Е.В.Золотова, тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 33-34.

22. Петров П. С., Макаров Д. В. Анализ высвечивания акустической энергии из волновода методом параболического уравнения с условием излучения. Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2010. 32 с.

23. Петров П. С., Трофимов М. Ю. Нестационарная форма уравнения Тапперта в непрерывной и дискретной форме и его использование // Сборник тезисов, международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер". Москва: 2009. С. 163-165.

24. Петров П. С., Трофимов М. Ю. Об использовании нестационарного уравнения Тапперта в качестве условия прозрачной границы / / Фундамен-тальня и прикладная математика. 2009. Т. 15, № 2. С. 191-206.

25. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. С. 89-94.

26. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. С. 89-94.

27. Флатте С. Распространение звука во флуктуирующем океане. Москва: Мир, 1982. 336 с.

28. Alonso-Mallo I., Reguera N. Discrete absorbing boundary conditions for Schrodinger-type equations. Construction and error analysis / / SI AM J. Nu-mer. Anal. 2003. Vol. 41. Pp. 1824-1850.

29. Antoine X., Arnold A., Besse C. et al. A review of transparent and artificial boundary conditions technique for linear and nonlinear Schrodinger equation // Comm. Сотр. Phys. 2008. Vol. 4. P. 729.

30. Arnold A., Ehrhardt M., Sofronov I. Discrete transparent boundary conditions for the schrodinger equation: fast calculation, approximation, and stability // Comm. Math. Sci. 2003. Vol. 1. Pp. 501-556.

31. Asvadurov S., Druskin V., Guddati M., Knizhnerman L. On optimal finite-difference approximation of PML // SIAM J. Numer. Anal. 2003. Vol. 41. Pp. 287-305.

32. Baskakov V. A., Popov A. V. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation // Wave Motion. 1991. Vol. 14. Pp. 123-128.

33. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Computational Physics. 1994. Vol. 114. Pp. 185-200.

34. Burns D. R. Acoustic and elastic scattering from seamounts in three dimen-sions-A numerical modeling study // Journal of Acoustic Society of America. 1992. Vol. 92. Pp. 2784-2791.

35. Cao J., He S. An exact absorbing boundary condition and its application to three-dimensional scattering from thin dispersive structures // Journal of Acoustic Society of America. 1996. Vol. 99. Pp. 1854-1861.

36. Collino F. Perfectly Matched Absorbing Layers for the Paraxial Equations // INRIA Rapport de recherche no 2964. 1996.

37. Colosi J., Brown M. Efficient numerical simulation of stochastic internal-wave-induced sound-speed perturbation fields // Journal of Acoustic Society of America. 1998. Vol. 103. Pp. 2232-2235.

38. Deng H. L. Acoustic-wave propagation in thin-layered media with steep reflectors // Geophysics. 1994. Vol. 59. Pp. 1593-1604.

39. Ehrhardt M. Discrete artificial boundary conditions, Ph.D. thesis // http://www.math.tu-berlin.de/ ehrhardt/papers/diss.ps.gz.

40. Engquist В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Mathematics of Computation. 1977. Vol. 31. Pp. 629-651.

41. Fevens Т., Jiang H. Absorbing boundary conditions for the Schrodinger equation // SIAM J. Sci. Comput. 1999. Vol. 21. Pp. 255-282.

42. Friedrichs К. O. Symmetric positive linear differential equations // Communications on pure and applied mathematics. 1958. Vol. 11. Pp. 333-418.

43. Givoli D., Neta B. High-order non-reflecting boundary scheme for time-dependent waves // Journal of Computational Physics. 2003. Vol. 186. Pp. 24-46.

44. Gordienko V. M. Un probleme mixte pair l'eqution vectorielle des ondes: Cas de dissipation de l'energie; Cas mal poses // C.r. Acad. Sci. 1979. T. 288. C. 547-550.

45. Guddati M. N., Lim K.-W. Continued fraction absorbing boundary conditions for convex polygonal domains // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006. Vol. 66. Pp. 949-977.

46. Guddati M. N., Tassoulas J. L. Continued-fraction absorbing boundary conditions for the wave equation // Journal of Computational Acoustics. 2000. Vol. 8. Pp. 139-156.

47. Hagstrom Т., Castro M., Givoli D., Tzemach D. Local high-order absorbing conditions for time-dependent waves in guides // Journal of Computational Acoustics. 2007. Vol. 15. Pp. 1-22.

48. Hagstrom Т., Mar-Or A., Givoli D. High-order local absorbing conditions forthe wave equation: extensions and improvements // Journal of Computational Physics. 2008. Vol. 227. Pp. 3322-3357.

49. Hagstrom Т., Warburton T. Radiation boundary conditions for time-dependent waves based on complete plane wave expansions // http://faculty.srnu.edu/thagstrom/HWcomplete.pdf.

50. Hagstrom Т., Warburton T. A new auxiliary variable formulation of high-order local radiation boundary conditions: corner compatibility conditions and extensions to first-order systems // Wave Motion. 2004. Vol. 39. Pp. 327-338.

51. Hagstrom Т., Warburton Т., Givoli D. Radiation boundary conditions for time-dependent waves based on complete plane wave expansions // Journal of Computational and Applied Mathematics, принято к печати.

52. Higdon R. L. Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equation // Mathematics of Computation. 1986. Vol. 47. Pp. 437-459.

53. Higdon R. L. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation // Mathematics of Computation. 1987. Vol. 49. Pp. 65-90.

54. Jin S., Liu H., Osher S., Tsai R. Computing multi-valued physical observables for the high frequency limit of symmetric hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. 2005. Vol. 210. Pp. 497-518.

55. Jin S., Liu H., Osher S., Tsai R. Computing multivalued physical observables for the semiclassical limit of the Schrodinger equation // Journal of Computational Physics. 2005. Vol. 205. Pp. 222-241.

56. Johnson S. G. Notes on perfectly matched layers (PMLs) // http://rnath.mit.edu/ stevenj/18.369/pml.pdf.

57. Komatitsch D., J.Tromp. A perfectly matched layer absorbing boundary condition for the second-order seismic wave equation // Geophys. Journal International. 2003. Vol. 154. P. 146-153.

58. Kreiss H.-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Communications on pure and applied mathematics. 1970. Vol. 23. Pp. 277-298.

59. Lindman E. L. Frce-spaceboundary conditions for the time dependent wave equation // Journal of Computational Physics. 1975. Vol. 18. Pp. 66-78.

60. Liu H., Osher S., Tsai R. Multi-valued solution and level set methods in computational high frequency wave propagation // Commun. Comput. Phys. 2006. Vol. 1. Pp. 765-804.

61. Miller M. J., Thorpe A. J. Radiation Conditions for the Lateral Boundaries of Limited-Area Numerical Models // Q. J. Roy. Meteor. Soc. 1981. Vol. 107. Pp. 615-628.

62. Osher S., Shu C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes // ICASE Report. 1987. Vol. 87-33.

63. Osher S., Shu C.-W. High order essentially non-oscillatory schemes for hamil-ton-jacobi equations // ICASE Report. 1990. no. 90-13.

64. Perfectly matched layer // Wikipedia, the free encyclopedia, http://en.wilcipedia.org/wiki/Perfectlymatchedlayer.

65. Petrov P. S., Trofimov M. Y. A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its application as an artificial boundary condition forthe wave equation in a waveguide // Europhysics Letters. 2009. Vol. 85. Pp. 34001-p1-3400l-p6.

66. Raymond W. H., Kuo H. L. A radiation boundary condition for multidimensional flows // Q. J. Roy. Meteor. Soc. 1984. Vol. 110. P. 535-551.

67. Smith W. D. A nonreflecting plane boundary for wave propagation problems // Journal of Computational Physics. 1974. Vol. 15. Pp. 492-503.

68. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. London: Artech House Publishers, 2005.

69. Tappert F. D. The parabolic approximation method // In: Wave Propagation and Underwater Acoustics. Ed. J. B. Keller, J. S. Papadakis. Lecture Notes in Physics. V. 70. Berlin: Springer-Verlag. 1977. P. 66.

70. Xu Z., Han H., Wu X. Adaptive absorbing boundary conditions for Sclirodinger-type equations: Application to nonlinear and multi-dimensional problems // Journal of Computational Physics. 2007. Vol. 225. Pp. 1577-1589.

71. Yang Т. C., Yoo K. Internal wave spectrum in shallow water: measurement and comparison with the Garrett-Munk model // IEEE journal of ocean engineering. 1999. Vol. 24. Pp. 333-345.

72. Zeng Y. Q., Liu Q. H. A staggered-grid finite-difference method with perfectly matched layers for poroelastic wave equations // Journal of Acoustic Society of America. 2001. Vol. 109. Pp. 2571-2580.

73. Zisowsky A., Arnold A., Ehrhardt M., Koprucki T. Discrete Transparent Boundary Conditions for transient kp-Schrodinger Equations with Application to Quantum-Heterostructures // ZAMM. 2005. Vol. 85, no. 11. Pp. 793-805.