Математическое моделирование взаимодействия трех световых волн на основе системы комбинированных нелинейных уравнений Шредингера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Борханифар Абдолла

• Борханифар Абдолла
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Борханифар Абдолла

Введение.

Глава 1. Постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов, распространяющихся в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика.

§1.1. Постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии.

§1.2. Постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов во втором приближении теории дисперсии.

§1.3. Инварианты распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика.

§1.4. Краткие выводы.

Глава 2. Консервативные разностные схемы для системы трех комбинированных уравнений Шредингера.

§2.1. Разностные схемы для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии.

§2.2. Разностные схемы для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов во втором приближении теории дисперсии.

§2.3. Исследование консервативности построенных схем.

§2.4. Краткие выводы.

Глава 3. Компьютерное моделирование распространения трех фемтосекунд-ных импульсов на основе системы комбинированных уравнений Шрединге-ра.

§3.1. Компьютерное моделирование взаимодействия трех фемтосекунд-ных импульсов в первом приближении теории дисперсии.

§3.2. Компьютерное моделирование взаимодействия трех фемтосекунд-ных импульсов на основе системы трех комбинированных уравнений Шре-дингера.

§3.3. Краткие выводы. Основные результаты. Список литературы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимодействия трех световых волн на основе системы комбинированных нелинейных уравнений Шредингера»

В последние годы фемтосекундные световые импульсы широко применяются в различных областях науки и техники, и область их применения всё расширяется [1-45]. Однако, имеется лишь ограниченное число длин волн, на которых сейчас генерируют лазеры данные импульсы. Наиболее реальный способ получение световых фемтосекундных импульсов на другой длине волны является преобразование частоты. Поэтому рассматриваемая в диссертации проблема является актуальной.

Следует подчеркнуть, что для описания распространения (и взаимодействия) фемтосекундных импульсов используется, так называемое, комбинированное нелинейное уравнение Шредингера [7,22,26,46,47], которое отличается от нелинейного уравнения Шредингера наличием производной от нелинейного отклика среды. В результате этого математическая модель приобретает новые качества, обусловленные зависимостью скорости волны от её интенсивности. Как следствие этого, могут формироваться оптические ударные волны [26], расчет которых предъявляет новые требования к численным методам по сравнению с известными методами для нелинейного уравнение Шредингера. Поэтому построение эффективных разностных схем для комбинированного нелинейного уравнение Шредингера также представляет собой актуальную проблему.

Заметим, что эффективные численные методы разработаны для многих задач физики [48-54]. Применительно к нелинейному уравнению Шредингера разразличные разностные схемы предложены и обоснованы, в частности, в работах [55-64]. Относительно комбинированного нелинейного уравнения Шредингера следует сказать, что до недавнего времени вопросы построения консервативных разностных схем практически не обсуждались в литературе. Это было обусловлено отсутствием для него в литературе инвариантов. Указанный пробел удалось восполнить в последние годы на основе предложенного в [65] подхода. Для различных задач фемто секундной нелинейной оптики инварианты получены в [66-68]. В результате этого в [69] построена консервативная разностная схема для кубично нелинейной среды с учетом производной по времени от нелинейного отклика. Применительно к анализируемой в диссертации проблеме построение разностных схем выполнено в [70-75].

Цель работы заключалась в построении консервативных разностных схем для задачи распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне, описываемого системой нелинейных комбинированных уравнений Шредингера.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Показаны преимущества развиваемого подхода к математическому моделированию распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика сред перед известными в литературе подходами.

2. Построены консервативные разностные схемы для анализируемой задачи. б

3. Обнаружено насыщение эффективности преобразования энергии исходных волн в энергию волны суммарной частоты с ростом трассы распространения в условиях сильного влияния дисперсии нелинейного отклика среды.

Практическая ценность.

1. Построенные консервативные разностные схемы могут найти применение для широкого круга задач трехчастотного взаимодействия фемтосекунд-ных импульсов в оптическом волокне, описываемых системой нелинейных комбинированных уравнений Шредингера.

2. Обнаруженное при компьютерном моделировании насыщение эффективности преобразования световой энергии двух волн в энергию волны суммарной частоты позволит оптимизировать соответствующие устройства.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается краткое содержание работы.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена постановкам задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов, распространяющихся в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика.

В первом и втором параграфах первой главы рассматривается постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом и втором приближении теории дисперсии. Такая задача, как известно, в общем случае описывается системой уравнений Максвелла совместно с нелинейным уравнением относительно поляризации среды. При этом распространение фемтосе-кундного импульса в оптическом волокне во втором приближении теории дисперсии описывается системой безразмерных комбинированных нелинейных уравнений Шредингера, характерной особенностью которых является наличие производной по времени от нелинейного отклика среды. С целью устранения в исходных уравнениях производной по времени от нелинейного слагаемого вводятся новые функции по определенному правилу, позволяющие выделить линейный дифференциальный оператор.

Заметим, что в первом приближении теории дисперсии распространение фемтосекундных импульсов описывается системой уравнений переноса с нелинейной зависимостью скорости их распространения от интенсивности световой волны, что приводит к формированию оптических ударных волн.

В третьем параграфе первой главы рассматриваются инварианты распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика. В этом параграфе доказано существование 6 известных в литературе инвариантов. Они необходимы для контроля результатов компьютерного моделирования, так как позволяют построить консервативные разностные схемы.

Вторая глава посвящена построению консервативных разностных схем для системы трех комбинированных уравнений Шредингера, описывающих распространение фемтосекундных импульсов в оптическом волокне.

В первом параграфе этой главы построены разностные схемы для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии. С целью построения эффективного численного метода для рассматриваемых задач предложены три разностные схемы, которые обладают свойством консервативности и вторым порядком аппроксимации по времени и пространственной координате относительно заданной точки на достаточно гладком решении исходной дифференциальной задачи. Эти схемы построены для трех различных систем дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс. Две из них известны в литературы, а третья модель предложена в наших работах.

Второй параграф второй главы посвящен построению разностных схем для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов во втором приближении теории дисперсии с учетом производной по времени от нелинейного отклика среды. Здесь записана консервативная разностная схема для уравнений, записанных на основе приведенного преобразования исходных комплексных амплитуд к новым функциям. Так как схема нелинейная, то используется итерационный процесс. В качестве начального приближения (значения сеточных функций на верхнем слое на нулевой итерации) берутся значения сеточных функций с предыдущего слоя по продольной координате. Итерационный процесс прекращается, если выполнены некоторые условия.

Записанная схема обладает вторым порядком аппроксимации по времени и пространственной координате относительно выбранной внутренней точки. Однако, правое краевое условие для введенных функции аппроксимируется с первым порядком по времени. Тем не менее, именно эта аппроксимация позволяет реализовать консервативность схемы.

Заметим, что в этом же параграфе приводится консервативная разностная схема для исходной системы уравнений относительно комплексной амплитуды.

В последнем параграфе этой главы доказана консервативность построенных разностных схем. Показано, что они сохраняют приведенные в главе 1 инварианты.

Третья глава содержит результаты компьютерного моделирования распространения трех фемтосекундных импульсов на основе системы комбинированных уравнений Шредингера. Цель компьютерного моделирования заключается в сравнении эффективности изложенных выше подходов математического моделирования для рассматриваемого класса задач. Расчеты проводятся для гауссовых начальных распределений комплексных амплитуд на входе в нелинейную среду для первой и второй волн и нулевого значения волны на суммарной частоте.

Заметим, что для практики представляет интерес форма импульса взаимодействующих волн в заданном сечении среды, которая характеризуется квадратом модуля соответствующей комплексной амплитуды, и эффективность преобразования энергии световых волн на частотах сох,сог в энергию волны суммарной частоты соъ. Эффективность характеризуется отношением энергии волны на частоте <у3 к сумме энергий волн на входе в нелинейную среду.

В первом параграфе третьей главы проведено сравнение развиваемого для данного класса задач подхода с ранее известными в литературе подходами. В результате показано, что развиваемый нами подход позволяет рассчитывать режимы распространения трех фемтосекундных импульсов для более широкого набора параметров по сравнению с другими методами. Выяснено, что основной причиной, ограничивающей область применимости схем, является формирование оптических ударных волн. В результате этого математическая модель, учитывающая лишь первое приближение теории дисперсии, применима на ограниченной трассе распространения световых импульсов.

Во втором параграфе приводятся результаты компьютерного моделирование в рамках второго приближения теории дисперсии. Основным результатом этого параграфа является вывод о насыщении эффективности преобразования энергии с ростом влияния дисперсии нелинейного отклика среды. В третьем параграфе сформулированы краткое выводы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах [70-75] и докладывались на международных конференциях:

- Международная конференция "Mathematical Modeling and Analysis

MMA2003" (Lituania, Trokai, 2003 r.)

- 34"' Conference "Mathematics and its Applications" (Iran, Shahrood, 2003 r.)

- Международная конференция "Mathematics and its Applications ICMA 2004"

Kuwait, 2004 r.)

- Международная конференция "NAAX04"( Bulgaria, Rousse, 2004 r.)

- Conference "Iranian researchers conference in Europe" (United Kingdom, Manchester, 2004 r.)

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постоянную поддержку и ценные рекомендации и коллективу кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова за творческую обстановку.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Борханифар Абдолла

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построены консервативные разностные схемы для задачи распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне, описываемого системой нелинейных комбинированных уравнений Шредин-гера. На основе компьютерного моделирования продемонстрировано преимущество предлагаемого подхода к решению данного класса задач.

2. Показано, что при увеличении влияния дисперсии нелинейного отклика эффективность преобразования энергии в волну суммарной частоты насыщается и не изменяется с ростом длины среды.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Борханифар Абдолла, 2004 год

1. Шеи И.Р. Принципы нелинейной оптики./ Пер. с англ. Под ред. С.А. Ахма-нова. М.: Наука. 1989. 560 с.

2. Коротеев Н.И., Шумай И.Л. Физика мощного лазерного излучения. М.: Наука. 1991.310 с.

3. Келих С. Молекулярная нелинейная оптика. М.: Наука. 1981. 671 с.

4. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: Наука. 1988. 231 с.

5. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. 1990. 383 с.

6. Ахманов С.А. Сверхсильные световые поля в нелинейной оптике, физике плазмы и технике рентгеновских источников.// Итоги науки и техники. Современные проблемы лазерной физики. М.: Изд-во ВИНИТИ. 1991. Т. 4. С. 5-18.

7. Ахманов С.А, Выслоух В.А, Чиркин А.С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука. 1988. 310 с.

8. Беленов Э. М., Назаркин А.В. О некоторых решениях уравнений нелинейной оптики без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз.// ЖЭТФ. 1990. Т.51. N5. С. 252-255.

9. Беленов Э. М., Назаркин А.В, Крюков П. Г, Прокопвич И. П. Динамика распространения мощных фемтосекундных импульсов в комбинационно-активных средах.// ЖЭТФ. 1994. Т. 105. N1. С. 28-42.

10. Рауе J. The chronocyclic representation of ultra short light pulses.// Quantum electronics. 1992. V. 28. N10. P. 263-2273.

11. Agate В., Stormont В., Kemp A. J., Brown C. et al. Simplified cavity designs for efficient and compact femtosecond.// Optics communications. 2002. (205). P.07-213.

12. Cormack I.G., Sibbet W. Rapid measurement of ultra short-pulse amplitude and phase from a two-photon absorption sonogram trace.// JOSA. 2001. V. 18. N9. P. 377-1382.

13. Маймистов А.И. Распространение УКИ поляризованного излучения в резонансной среде.// Квантовая электроника. 1997. Т.24. N11. С. 963-968.

14. Маймистов А.И. Распространение оптического УКИ в области нулевой дисперсии групповых скоростей второго порядка.// Квантовая электроника. 1994. Т.21. N8. С. 743-747.

15. David Н., Martin С. Electro optic generation and detection of femtosecond electrical transients.// Quantum electronics. 1988. V. 24. N2. P. 184-197.

16. Simin Feng., Herbert G. Spatiotemporal evolution of focused single-cycle electromagnetic pulses.// American physical society. V. 59. N4. P. 4630-4649.

17. Беленов Э. М., Назаркин А.В, Ущаповский В.А. Динамика распространения и взаимодействия сгустков электромагнитного поля в двухуровневых средах.// ЖЭТФ. 1991. Т.100. N3. С. 762-775.

18. Беленов Э. М., Назаркин А.В., Крюков П. Г., Ораевский А.Н., Усков А.В. Когерентное усиление импульсов нерезонансной двухуровневой средой.// ЖЭТФ. 1988. Т.47. N5. С. 442-444.

19. Маймистов А.И. О распространении ультракоротких световых импульсов в нелинейной среде.// Оптика и спектроскопия. 1994. Т.76. N4. С. 636-460.

20. Маймистов А.И. Распространение ультракороткого светового импульса в условиях двухфотонного квазирезонанса.// Оптика и спектроскопия. 1995. Т.78. N3. С. 488-492.

21. Маймистов А.И. Распространение ультракоротких поляризованных световых импульсов в нелинейной среде.// Оптика и спектроскопия. 1995. Т.78. N3. С. 483-487.

22. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового в диэлектрических средах.// ЖЭТФ. 1997. Т. 111. N2. С. 404-418.

23. Yelin D., Meshulach D., Silberberg Y. Adaptive femtosecond pulse compression.//JOSA. 1997. V.22.No.23.P. 1793-1795.

24. Fork R.L., Brito Cruz C.H., Becker P.C., Shank С. V. Compression of optical pulses to six femtoseconds by using cubic phase compensation.// JOSA. 1987.V.12. N7. P. 483-485.

25. Chernikov S.V., Dianov E. M., Richardson D. J., Payne D. N. Soliton pulse compression in dispersion-decreasing fiber.// JOSA. 1993.V.18. N7. P. 476478.

26. Золотовский И.О., Семенцов Д.И. Ударные волны огибающей в нелинейных системах с межмодовым взаимодействием.// ЖТФ. 2001. Т.27. N14. С. 1-5.

27. Fedorov М. V., Gordienko V. М., Shuvalov V. V., Taranukliin V. D. Ultrafast Phenomena and interaction of superstrong laser field with matter: Nonlinear optics and high-field physics.//Proceedings of SPIE. 1998. V.3735. P. 74-82.

28. Andreev A.V., Kozlov A.B. Femtosecond pulse propagation in medium of two-level atoms.// Proceedings of SPIE. 1998. V.3735. P. 74-82.

29. Andreev A.V. Nonreduced Maxwell-Bloch equation and a chirped soliton.// Physics Letters. 1993. V.179. N1. P. 23-26.

30. Sazonov S.C., Trifonov E. V. Solution for Maxwell-bloch equation without using the approximation of a slowly varying envelope: circularly-polarized video pulses.// J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1994. V.27. P. L7-L12.

31. Lee W. Casperson. Few-cycle pulses in two-level media.// Physical Reviev A. 1998. V.57.N1.P. 609-621.

32. Лысак T.M., Трофимов В.А. О возможности генерации аттосекундных импульсов при ГВГ высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов.// Письмо в ЖТФ. 2004. Т.ЗО. N13. С. 83-88.

33. Лысак Т.М., Трофимов В.А. Эффективная генерация второй гармоники фемтосекундного импульса вдали от фазового синхронизма.// Оптика и спектроскопия. 2002. Т.92. N2. С. 323-326.

34. Лысак Т.М., Трофимов В.А. О возможности генерации аттосекундных импульсов при ГВГ высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов.// Оптика и спектроскопия. 2003. Т.95. N3. С. 489-494.

35. Лысак Т.М., Трофимов В.А. ГВГ фемтосекундных импульсов в условиях ненулевой амплитуды волна на удвоенной частоте.// Оптика и спектроскопия. 2002. Т.93. N5. С. 861-874.

36. Лысак Т.М., Трофимов В.А. О возможности солитоноподобного режима двухволнового распространения фемтосекундных импульсов в условия ГВГ.// Оптика и спектроскопия. 2003. Т.94. N4. С. 632-638.

37. Trofimov V.A., Lysak Т.М. High effective summary wave generation of femtosecond pulse in view of its self-action.// ECLI M. Italy. 2002. P. 20.

38. Marcinkevicius A., Tommasini R., Tsakiris G.D. et al. Frequency doubling of multi-terawatt femtosecond pulses.// App. Phys. B. 2004. V.79. P. 547-554.

39. Krylov V., Rebane A., Kalinstser A.G. Second-harmonic generation of amplified femtosecond Ti: sapphire laser pulses.// OPTICS LETTERS. 1995. V.20. N2. P. 198-200.

40. Zhang G., Huang G. Second-harmonic generation from regeneratively amplified femtosecond laser pulses in BBO and LBO crystals.// J. Opt. Soc. 1998. V.15.N1.P. 200-208.

41. Zheng Z., Weiner A. M. Femtosecond second-harmonic generation in periodically poled lithium niobate wave guides with simultaneous strong pump depletion and group-velocity walk-off.// J. Opt. Soc. 2002. V.l. N4. P. 839-847.

42. Brenier A., Tu C., Zhu Z. Self-frequency tripling from two cascaded second-order nonlinearities in GdA13 (ВОЗ)4.: Nd3+.// Applied physics letters. 2004. V.84.N1.P. 16-18.

43. Скрипов Д.К., Трофимов В. А. Формирование высокочастотного субимпульса при распространении фемтосекундного импульса в среде с насыщающимся потенциалом. // Оптика и спектроскопия 2003. Т. 95. N. 2 С. 347-359.

44. Скрипов Д.К., Трофимов В. А. Гистерезисная зависимость некоторых спектральных компонент фемтосекундного импульса от его амплитуды при его прохождении нелинейного слоя. // ЖТФ. Т. 73, вып.З. С.69-74.

45. Громов Е.М., Таланов В.И. Высшие приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородных и неоднородных средах.// Изв. РАН. Сер. физическая. 1996. T.60.N12. С. 16-28.

46. Трофимов В.А. К вопросу об инвариантах нелинейного распространения фемтосекундных импульсов.// Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1992. Т.35. N6-7. С. 618-621.

47. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 242 с.

48. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 589 с.

49. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука. 1982. 616 с.

50. Самарский А.А, Гулин.А.В. Численные методы математической физики. М.: Наука. 1989.315 с.

51. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Наука. 1994. 528 с.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математически. М.: Наука, 1980. 534 с.

53. Годунов С.К. Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука. 1977. 439 с.

54. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во москго ун-та. 1987. 154 с.

55. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: физ-матлит. 2001. 607 с.

56. Абалиев М.А., Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М. и др. Решение на ЭВМ задачи о встречном нелинейном взаимодействии трех оптических волн.//

57. Вычислительные методы и программирование". М.: Изд-во Московского университета. 1979. С. 148-157.

58. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Численные методы для задач теплового самовоздействия оптического излучения.// Математическое моделирование. 1989. Т.1. N10. С. 130-141.

59. Потапов М.М., Разгулин А.В. Разностные методы в задачах оптимального управления стационарным самовоздействием световых пучков.// ЖВМ и МФ. 1990. T.30.N8. С. 1157-1169.

60. Борисов А.В. О сходимости разностных схем для решения уравнения типа Шредингера.// В сб.: Современные проблемы матем. моделирования. М.: изд-во МГУ. 1984. С. 80-96.

61. Иванаускас Ф.Ф. Сходимость и устойчивость разностных схем для нелинейных уравнений шредингеровского типа.// Литовский матем. сб. 1991. T.31.N4. С. 606-621.

62. Волков В.М., Дриц В.В. Консервативные разностные методы решения квазиоптических задач.// Вестник АН БССР. Серия физико-математических наук. 1988. N1. С. 7-15.

63. Трофимов В. А., Терешин Е. Б., Федотов М. В. "Консервативная разностная схема для задачи двухволнового взаимодействия фемтосекундных импульсов в фотонном кристалле" // ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. N. 10. С. 1550.

64. Кандидов В.П., Шленов С.А. Законы распределения светового поля, распространяющегося в среде с кубичной нелинейностью.// Изв. АН СССР. Серия физическая. 1986. Т.50. N6. С. 1191-1196.

65. Трофимов В. А. О новом подходе к моделированию нелинейного распространения сверхкоротких лазерных импульсов.// ЖВМ и МФ. 1998. Т.38. N5. С. 835-839.

66. Трофимов В. А. Инварианты нелинейного распространения фемтосекундных импульсов.// Изв. вузов. Радиофизика. 1999. T.XLII. N4. С. 369372.

67. Трофимов В. А. Нелинейное волновое уравнение лазерной оптики фемтосекундных импульсов.// Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. N7. С. 1002-1004.

68. Варенцова С.А., Трофимов В.А. Инварианты нелинейного взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с учетом дисперсии третьего порядка.// ЖВМ и МФ. 2002. Т.42. N5. С. 709-717.

69. Варенцова С. А., Волков А .Г., Трофимов В. А. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного лазерного импульса в кубично нелинейной среде.// ЖВМ и МФ. 2003. Т43. N11. С. 1709-1721.

70. Trofimov V.A., Borhanifar A. Conservative difference schemes for three wave's interaction of femtosecond pulses in optical fiber.// Mathematical Modeling and Analysis. Trokai, Lituania. 2003. P. 76.

71. Trofimov V.A, Borhanifar A. Conservative difference scheme for three-wave interaction of femtosecond pulse in optical fiber.// Mathematics and its applications. Kuwait, Kuwait, 2004. P. 295-298.

72. Trofimov V.A, Borhanifar A. Comparison of difference scheme for three-wave interaction of femtosecond pulse in optical fiber.// Iranian mathematics conference. Shahrood. 2003. P. 84.

73. Trofimov V.A, Borhanifar A. Conservative difference scheme for three femtosecond pulse propagation in optical fiber in view of a dispersion of nonlinear response .// Iranian researchers conference in Europe. Manchester-United Kingdom. 2004. P.374.f