Математическое моделирование нестационарного встречного взаимодействия световых пучков в средах с кубичной нелинейностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Никитенко, Константин Юрьевич

• Никитенко, Константин Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитенко, Константин Юрьевич

Содержание

Введение,

Глава 1. Математическое моделирование встречного четырехволнового взаимодействия (ЧВВ) (координаты (г, х, 1;)),

1.1. Постановка задачи встречного нестационарного неколлинеарного ЧВВ,

1.2. Инварианты встречного неколлинеарного ЧВВ,

1.3. Разностные схемы для задачи встречного нестационарного неколлинеарного четырехволнового взаимодействия,

1.4. Анализ устойчивости неколлинеарного взаимодействия двух встречных волн (координаты (г, х)),

1.4.1. Условия реализации неустойчивости взаимодействия двух встречных не-коллинеарных волн с равными амплитудами,

1.4.2. Влияние неравенства амплитуд взаимодействующих волн на процесс развития неустойчивости,

1.5. Численные эксперименты нестационарного ОВФ при встречном ЧВВ,

1.6. Краткие выводы,

Глава 2. Математическое моделирование оптической бистабильности (ОБ), реализуемой при встречном взаимодействии волн,

2.1. Постановка задачи оптической бистабильности при встречном взаимодействии четырех и двух встречных волн,

2.2. Численное моделирование оптической бистабильности при неколлинеарном взаимодействии четырех и двух волн (координаты (х, ъ, 1)),

2.2.1. Влияние неколлинеарности взаимодействия двух волн на автоосцилляции выходной мощности светового пучка,

2.2.2. Нестационарные процессы в оптически бистабильной схеме на основе встречного неколлинеарного взаимодействия четырех волн,

2.2.3. Особенности переключения в оптически бистабильной схеме на основе взаимодействия двух встречных волн,

2.2.4. Оптическая бистабильность в схеме на основе взаимодействия двух встречных волн в условиях нарушения закона отражения Снеллиуса,

2.3. Краткие выводы,

Глава 3. Математическое моделирование встречного взаимодействия двух фемтосе-кундных лазерных импульсов,

3.1. Постановка задачи,

3.2. Преобразование уравнений встречного взаимодействия фемтосекундных

импульсов,

3.3. Инварианты встречного взаимодействия двух фемтосекундных импульсов,

3.4. Анализ устойчивости взаимодействия двух встречных фемтосекундных

импульсов,

3.5. Разностные схемы для задач взаимодействия фемтосекундных импульсов,

3.5.1. Разностная схема для задачи распространения фемтосекундного импульса в керровоской среде,

3.5.2. Некоторые оценки сеточных функций,

3.5.3. Разностная схема для задачи взаимодействия двух встречных фемтосекундных импульсов,

3.6. Краткие выводы,

Основные результаты диссертации,

Список литературы,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нестационарного встречного взаимодействия световых пучков в средах с кубичной нелинейностью»

Введение

Нелинейно-оптические эффекты, проявляющиеся при воздействии мощного лазерного излучения на вещество, привлекают внимание исследователей на протяжении нескольких десятков лет [1-59]. Это связано, прежде всего, с многочисленными практическими приложениями в технике и технологии. Особенно интересны с этой точки зрения многоволновые взаимодействия, при которых проявляются такие явления, как обращение волнового фронта, оптическая бистабильность и др.

Явление обращения волнового фронта позволяет компенсировать искажения, вносимые нелинейной средой, что повышает качество процесса взаимодействия. Одним из возможных способов реализации ОВФ является встречное четырехволно-вое взаимодействие, изучению которого уделяется большое внимание исследователей [13-23]. Однако, при встречном взаимодействии интенсивного лазерного излучения проявляются различные виды неустойчивостей [20, 24-31], исследование которых является актуальной проблемой в связи с повышением надежности нелинейно-оптических систем.

В связи с прогрессом в вычислительной технике в последние годы чрезвычайно возрос интерес исследователей к явлению оптической бистабильности [39-54]. Это обусловлено возможностью построения оптических переключателей и на их основе оптических компьютеров, которые по своим характеристикам превышали бы полупроводниковые аналоги. Одной из возможных схем оптической бистабильности является схема, основанная на встречном взаимодействии световых волн [44, 52].

Важно отметить, что в последние годы также возрос интерес к взаимодействию фемтосекундных лазерных импульсов в связи с уникальными характеристиками, присущими им, и возможностью построения на их основе быстродействующих опти-

ческих переключателей. Однако, математический аппарат для исследования взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов пока остается слабо развитым. Поэтому построение адекватных происходящим процессам моделей является актуальной проблемой науки.

Отметим, что всестороннее исследование нелинейно-оптических процессов возможно лишь на основе компьютерного моделирования, с применением методов численного эксперимента, базирующихся на принципе консервативности. Консервативные разностные схемы построены для широкого класса задач взаимодействия лазерного излучения с веществом [62-69]. Тем не менее, для ряда актуальных проблем обоснованные разностные схемы пока отсутствуют.

Цель работы заключалась в изучении на основе математического моделирования оптической бистабильности во взаимодействии встречных волн при их отражении от экрана, имеющего отверстие на его оси; исследовании развития неустойчивости при взаимодействии импульсов (в том числе фемтосекундной длительности); исследовании возможности реализации ОБ схемы с пикосекундным диапазоном переключения; преобразовании системы уравнений, описывающей взаимодействие фемтосекундных импульсов, и нахождении инвариантов такого взаимодействия. Научная новизна работы состоит в следующем:

• Предложен новый механизм реализации оптической бистабильности, основанный на нарушении законов отражения Снеллиуса. Показана принципиальная возможность реализации волн переключения.

• Предложена математическая модель взаимодействия двух фемтосекундных импульсов. Построены инварианты такого взаимодействия и предложена разностная схема для его расчета.

• Исследовано развитие неустойчивости нелинейного неколлинеарного взаимодействия двух встречных импульсов, в том числе и фемтосекундной длительности.

• Получены частотные интервалы развития неустойчивости в зависимости от параметров взаимодействия, в результате чего уточнены имеющиеся в литературе оценки.

• На основе компьютерного моделирования показана принципиальная возможность сочетания реализации оптической бистабильности и обращения волнового фронта в схеме четырехволнового взаимодействия.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Обнаружен и исследован новый механизм реализации оптической бистабильности, который может быть использован для построения оптических переключателей,

1 л

имеющих быстродействие 10" с (и выше).

2. Найдены инварианты для задачи взаимодействия двух фемтосекундных импульсов, которые позволяют строить консервативные разностные схемы для данных задач.

3. Предложено преобразование обобщенных уравнений Шредингера, которое может быть перенесено на многочастотное взаимодействие.

4. Показана принципиальная возможность сочетания явления обращения волнового фронта и оптической бистабильности, что позволяет повысить надежность методов оптической обработки информации.

5. Найдены частотные интервалы неустойчивости взаимодействия встречных волн, учет которых позволяет повысить надежность передачи информации с помощью лазерных пучков и импульсов.

Перейдем к изложению краткого содержания диссертации.

Первая глава посвящена исследованию нестационарного взаимодействия двух и четырех встречных неколлинеарно распространяющихся дифрагирующих пучков в средах с кубичной нелинейностью в координатах (I, х, ё).

Постановке задачи посвящен первый параграф. Здесь записана система безразмерных уравнений относительно комплексных амплитуд А, описывающая взаимодействие четырех встречных дифрагирующих неколлинеарно распространяющихся пучков в условиях локальной и мгновенной (керровской) нелинейности в предположении одинакового вклада всех наведенных световыми пучками решеток диэлектрической проницаемости (с точки зрения их времени жизни) при формировании встречных пучков отражением падающих от зеркала, расположенного непосредственно на границе нелинейной среды.

Во втором параграфе приводятся инварианты встречного четырехволнового взаимодействия в случае достижения системы стационарного состояния.

В третьем параграфе записана разностная схема для сформулированной в первом параграфе задачи. Заметим, что поскольку обоснованию разностных схем для уравнений шредингеровского типа в настоящее время посвящена обширная литература, то в данном параграфе обоснование численных методов ограничено записью порядка аппроксимации применяемой разностной схемы по пространственным координатам и времени.

В четвертом параграфе анализируется устойчивость неколлинеарного взаимодействия двух встречных волн. Аналитически получены условия, при которых реализуется неустойчивость взаимодействия двух встречных неколлинеарных волн с равными амплитудами, а также изучается влияние неравенства амплитуд встречных

волн на данный процесс. Отметим, что впервые вопрос развития конвективной (вдоль области распространения) неустойчивости в системе двух встречных независимых волн изучался в [20]. Однако, там был рассмотрен лишь коллинеарный случай взаимодействия в фокусирующей среде. В настоящей работе впервые изучается развитие возмущений при неколлинеарном взаимодействии, как для фокусирующей, так и для дефокусирующей среды. Показано, что неколлинеарность взаимодействия расширяет спектральный диапазон развития неустойчивости и изменяет интервал, в котором достигается максимальный коэффициент усиления возмущений. Анализируется влияние знака самовоздействия на обогащение спектрального интервала. При этом отмечается, что в случае дефокусировки для неколлинеарного взаимодействия наибольший инкремент усиления достигается в области частот, на которых при коллине-арном взаимодействии неустойчивость не реализуется. Продемонстрировано, что неравенство амплитуд опорных волн может приводить, как к росту неустойчивости, так и к ее снижению для разных решений относительно инкремента нарастания шумов с учетом фокусирующей или дефокусирующей среды.

В пятом параграфе первой главы излагаются результаты численного эксперимента для модели ОВФ ЧВВ, сформулированной в первом параграфе. В ходе численного эксперимента проводится анализ влияния неколлинеарности распространения на процесс, а также вклад самовоздействия волн и перекачки их энергии на возникновение осциллирующих режимов характеристик взаимодействия. Обнаружено, что процесс встречного ЧВВ носит существенно нестационарный характер. Для проверки правильности расчетов необходимо осуществлять контроль полученного в численных экспериментах распределения интенсивности путем анализа его спектрального состава.

Анализируются причины нестационарности процесса взаимодействия. Среди наиболее существенных факторов отмечаются: взаимная перекачка энергии взаимодействующих волн, самовоздействие, влияние неколлинеарности взаимодействия, при которой проявляется эффект нарушения закона отражения Снеллиуса, а также влияние неравенства амплитуд встречных опорных волн, исследованное в предыдущем параграфе. В ходе численных экспериментов обнаружено, что основной вклад в развитие нестационарных процессов при встречном ЧВВ вносит взаимная перекачка энергии взаимодействующих волн, причем при отдельном рассмотрении перекачки и самовоздействия неколлинеарность распространения пучков может, как сглаживать осцилляции из-за перемешивания лучей, так и наоборот усиливать их. При одновременном же учете этих факторов неколлинеарность, как правило, приводит к усилению осциллирующих процессов. Приводится сравнение данной схемы ЧВВ с рядом других схем.

Во второй главе диссертации изучаются оптически бистабильные свойства схемы неколлинеарного встречного взаимодействия двух и четырех встречных волн при отражении некоторых из них от зеркала, имеющего отверстие на его оси.

Первый параграф второй главы посвящен постановке задачи двух и четырех-волнового встречного взаимодействия дифрагирующих световых пучков в среде с керровской нелинейностью при их отражении от зеркала с отверстием на его оси и находящегося непосредственно на границе нелинейного кристалла. Первоначально такая ОБ схема была предложена в [44]. Однако, она обладала существенным недостатком - большим продольным размером, поскольку отражающее зеркало располагалось на некотором расстоянии от нелинейного кристалла. Впоследствии в [52] эта схема была принципиально модифицирована путем расположения зеркала непосред-

ственно на грани кристалла, что существенно снизило продольные размеры элемента.

ТГЧ и

В развитие указанных идеи впервые анализируется неколлинеарное взаимодеиствие волн в такой ОБ схеме, позволяющее реализовать бистабильность на новом физическом принципе.

Во втором параграфе методом численного эксперимента анализируются закономерности ЧВВ в сочетании с ОВФ и двухволнового встречного взаимодействия в схеме с отверстием на оси отражающего зеркала. Изучается существование оптической бистабильности характеристик части оптического излучения прошедшей отверстие в зеркале и впервые анализируется влияние неколлинеарности взаимодействия на процесс. Отметим, что изучение свойства ОБ в условиях ОВФ при встречном ЧВВ изучается также впервые.

Для четырехпучкового взаимодействия проводится анализ вклада самовоздействия и перекачки энергии волн. В ходе численных экспериментов впервые продемонстрирована возможность реализации волн переключения. ОБ реализуется по нескольким характеристикам пучка: выходной интенсивности и мощности части падающего пучка, прошедшей отверстие, а также по положению энергетического центра отраженного пучка на входе в нелинейную среду. Это дает возможность организации логических операций и минимизации энергопотерь на акт переключения. Показано, что для достижения переключения необходимо применять сигнальный импульс определенной (оптимальной) длительности.

Основным препятствием на пути реализации переключения является развитие нестационарных процессов взаимодействия, что и определяет по сути требования к длительности и форме импульса. Выполнена оценка времени переключения. Приводятся оценки профилей пучков и импульса. Принципиально показано, что для изу-

и

чаемой ОБ схемы возможно получение переключения, основанного на различных физических механизмах: фокусировке падающего пучка в кольцевой структуре отраженного при коллинеарном взаимодействия, а также нелинейном отражении (в условиях нарушения закона Снеллиусса) падающего наклонного пучка от пространственно распределенной структуры, наведенной отраженным пучком. Изучено влияние неколлинеарности взаимодействия на нестационарные процессы. Отмечается, что ОБ элемент может базироваться, как на двухпучковом взаимодейстии, так и четырехпуч-ковом. Показано, что четырехпучковое взаимодействие по сравнению с двухпучко-вым позволяет реализовать самопересечения выходных характеристик для более широкого набора параметров, причем в сочетании с ОВФ оно позволяет компенсировать

и и и Т-» и

искажения вносимые нелинейной средой. В случае четырехпучкового взаимодеиствия изучается влияние самовоздействия и перекачки энергии на процесс. Показано, что одновременный учет самовоздействия пучков и взаимной перекачки энергии может качественно изменить картину взаимодействия волн по сравнению с полученными результатами при отдельном рассмотрении этих факторов.

Третья глава диссертации посвящена теоретическому исследованию встречного взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с учетом дисперсии второго порядка и дисперсии нелинейного отклика среды, нахождению инвариантов, построению разностных схем взаимодействующих волн, исследованию устойчивости.

Первый параграф посвящен постановке задачи встречного взаимодействия двух фемтосекундных лазерных импульсов. Отметим, что отличительная особенность приводимой в данном параграфе системы обобщенных уравнений Шредингера состоит в наличии производной от нелинейного отклика среды.

Во втором параграфе предложено пребразование исходной системы уравнений, описывающей процесс, к виду более удобному для построения разностных схем, в основу которых положен принцип консервативности. В результате преобразования получена система уравнений, не содержащих производных от нелинейного отклика среды. Это позволяет воспользоваться ранее предложенными обоснованными и многократно опробированными в численных экспериментах нелинейными разностными схемами.

В третьем параграфе получены некоторые инварианты взаимодействия двух встречных фемтосекундных лазерных импульсов для задачи взаимодействия, сформулированной в первом параграфе. Анализируется физический смысл инвариантов. Показано, что в процессе распространения амплитуда гармоники на частоте, определяемой дисперсией нелинейного отклика среды, осциллирует вдоль трассы распространения с пространственной частотой, определяемой также дисперсией нелинейности.

Четвертый параграф посвящен исследованию вопроса возникновения неустойчивости в системе двух встречных фемтосекундных лазерных импульсов. Отметим, что такой анализ проводится впервые.

В пятом параграфе приводятся разностные схемы для сформулированной задачи на основе преобразования, введенного во втором параграфе. Приводится частичное обоснование и оценка порядка аппроксимации разностных схем. Сформулированы некоторые оценки сеточных норм операторов.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в [70-76] и докладывались на Ш Межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, июль

1996 г.); IV Межреспубликанском симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" (Томск, июль 1997 г.); IX Международной конференции "Оптика лазеров "(Санкт-Петербург, июнь 1998 г.).

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Никитенко, Константин Юрьевич

Основные результаты диссертации

1. Построена математическая модель взаимодействия двух встречных фемтосекунд-ных импульсов, состоящая из системы нелинейных уравнений с производной по времени от нелинейного отклика среды, описывающей дисперсию нелинейности. Найдены инварианты этого взаимодействия. Предложен метод преобразования исходных нелинейных уравнений с дисперсией нелинейности, позволяющий эффективно решать указанный класс задач. На его основе построены разностные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации, и приведены некоторые оценки разностных операторов.

2. Проведены систематические компьютерные эксперименты по моделированию встречного взаимодействия двух и четырех волн при различных условиях взаимодействия. Показано, что оно носит существенно нестационарный характер, сопровождаемый развитием сложных пространственно-временных структур. Для адекватного моделирования этого процесса необходимо дополнительно контролировать спектральный состав соответствующих решений. Получены условия развития неустойчивости неколлинеарного нелинейного взаимодействия встречных волн, включая импульсы фемтосекундной длительности.

3. Предложена и продемонстрирована оптическая бистабильность на основе нарушения закона отражения Снеллиуса при наклонном падении световых пучков на отражающий экран, имеющий отверстие в центре. Показана реализация волн переключения в этой схеме, как для соосного, так и для неколлинеарного взаимодействия встречных волн. Продемонстрирована возможность реализации ОБ при встречном четырехволновом взаимодействии в сочетании с явлением обращения волнового фронта.

Автор выражает признательность д.ф.-м.н. В.А.Трофимову за предоставленную тему и научное руководство работой, а также профессору Л.П. Семенову за многостороннюю поддержку во время работы над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитенко, Константин Юрьевич, 1998 год

Список литературы

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука. 1990. 383 с.

2. Келих С. Молекулярная нелинейная оптика. М.: Наука, 1981. 671 с.

3. Коротеев Н.И., Шумай И.Л. Физика мощного лазерного излучения. М.: Наука. 1991. 310 с.

4. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. // Пер. с англ. Под ред. С. А. Ахманова. М.: Наука. 1989. 560 с.

5. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М.: Наука. 1988. 231 с.

6. Лазерные системы. / Под ред. Чеботаева. Н.: Наука. 1980. 398 с.

7. Одулов С.Г., Соскин М.С., Хижняк А.И. Лазеры на динамический решетках. М.: Наука. 1990. 271 с.

8. Литвак А.Г., ФрайманГ.Н. Взаимодействие пучков встречных электромагнитных волн в прозрачной среде. //Изв. Вузов. Радиофизика. 1972. Т. 15, № 9. С. 1341-1349.

9. Бутылкин B.C., Каплан Л.Е., Хронопуло Л.Г., Якубович Е.И. Резонансное взаимодействие света с веществом. М. : Наука, 1977. 352 с.

10. Абалиев М.А., Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М. и др. Решение на ЭВМ задачи о встречном нелинейном взаимодействии трех оптических волн. // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во Московского университета. 1979.

С. 148-157.

11. Власов С.Н., Шейнина Е.В. К теории взаимодействия встречных волн в нелинейной кубичной среде. //Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26, № 1. С. 21-28.

12. Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Об отражении волновых пучков от экрана, расположенного в нелинейной среде. //Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26, № 1. С. 12-19.

13. Трофимов В. А. К вопросу об инвариантах встречного взаимодействия световых пучков. //Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 9. С. 1146-1147.

14. Трофимов В.А. Некоторые инварианты встречного неколлинеарного взаимодействия световых импульсов. //Изв. вузов. Радиофизика. 1990. Т. 33, № 8. С. 987-999.

15. Трофимов В.А. К вопросу об инвариантах нелинейного распространения фемтосекундных импульсов. //Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1992. Т. 35. № 6-7. С. 618-621.

16. Трофимов В. А. Инварианты нелинейного распространения фемтосекундных импульсов. //Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1998.

17. Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах. / Под ред. В.И. Беспалова. Горький. Изд-во ИПФ АН СССР. 1979.

18. Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах. / Под ред. В.И. Беспалова. Горький. Изд-во ИПФ АН СССР. 1983.

19. Optical phase conjugation. / Ed. by R.Fisher. N.Y.: Acad. Press. 1983.

20. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. М.: Наука. 1985. 350 с.

21. Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах. / Под ред. A.C. Рубанова. Минск. 1987. 285 с.

22. Обращение волнового фронта лазерного излучения в нелинейных средах. / Под ред. A.C. Рубанова. Минск 1990. 385 с.

23. Обращение волнового фронта лазерного излучения (Труды ФИАН, т. 172). М.: Наука. 1986.

24. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Пер. с англ. М: Мир. 1985. 247 с.

25. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Израиль И.Г., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем. М.:Наука. 1966. 568 с.

26. Хессард Б., Казаринов П., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. Пер. с англ. М.:Мир. 1985. 280 с.

27. Pare С., Piche М., Belanger P. Stability and temporal evolution of degenerate four-wave mixing and phase-conjugate lasers. // JOSA. 1988. V. 5, № 3. P. 679-689.

28. Firth W.J., Pare C., Penman C. Transverse counter propagation instabilities in Ken-slices.// Opt. commun. 1990. V. 75, № 2. P. 136-140.

29. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.:Мир. 1996. 323 с.

30. Федорченко А.М., Шевелев Д.В. //Украинский физический журнал. 1985. Т. 30, № 11.

31. Выслоух А.В., Иванова И.С., Трофимов В.А. Модуляционная неустойчивость световых пучков и импульсов при их распространении в поглощающих средах. Abstract of ECLIM' 98. Italy. Formia. WE/p /18.

32. Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Численное моделирование ОВФ при четырехвол-новом взаимодействии. //Изв. АН СССР. Т. 51, № 2, с. 340-346.

33. Куницын С.Д., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Отражение световых пучков с гауссовым и сложным профилем интенсивности от керровского нелинейного слоя с зеркалом обратной связи. //Изв. РАН. Сер. физическая. 1995. Т. 59, № 12. С. 26-34.

34. Куницын С.Д., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. // Вестник Московского ун-та. Сер. Физика и астрономия. 1995. Т. 36, № 4. С. 57-63.

35. Сухоруков А.П., Титов В.Н., Трофимов В.А. Попутное четырехволновое взаимодействие в условиях сильного энергообмена волн. // Оптика атмосферы. 1989. Т. 2, № 10. С. 1099-1106.

36. Сухоруков А.П., Титов В.Н., Трофимов В.А. Численное моделирование процессов ОВФ при попутном ЧВВ //Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1990. Т. 54, № 6.

С. 1099-1103.

37. Kunitsin S.D., Sukhorukov А.Р., Trofimov V.A. Optical beam reflection in nonlinear media. The violation of SnelFs law. //Nonlinear Optics. 1992. V. 3, № 3. P. 349-356.

38. Арутюнов Ю.А., Жердиенко B.B., Хижняк А.И. Эффективность ОВФ при 11411В в средах с нестационарным нелинейным откликом. // Препринт № 4. Академия наук УССР. 1987. 52 с.

39. Арешев И.П. и др. Поперечное безрезонаторная оптическая бистабильность в кристаллах//Письма в ЖЭТФ. 1969. Т. 10, вып. 3. С. 113.

40. Abraham S.D., Smith S.D. Optical bistability and related devices. //Rep. Prog. Phys. 1982. V. 45. P. 815-885.

41. Smith S.D. Optical bistability, photonic logic, and optical computation. //Applied Optics. 1986. Vol. 25, № 10. P. 1550-1564.

42. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. М.:Мир. 1988. 520 с.

43. Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука. 1997. 334 с.

44. Bjorkholm J.E., Smith P.W., Tomlinson W.J. Optical bistability based on self-focusing: an approximate analysis. // IEEE J. of Quantum Electronics. 1982. V. QE-18, № 12.

P .2016-2022/

45. Борщ A.A., Бродин М.С., Семашко В.И. //Письма в ЖТФ. 1986. Т. 12, вып. 6. С. 345-349.

46. Борщ A.A., Бродин М.С., Лукошский В.П. и др. Поперечная оптическая биста-бильность при самодефокусировке встречных пучков. // Квантовая электроника. 1987. Т. 14, №4. С. 736-742.

47. Борщ A.A. и др. // ФТТ. 1990. Т. 32. № 10. С. 3103-3110.

48. СтадникВ.А. Оптическая бистабильность, эффект пульсаций и домены (волны) насыщения в GaSe. // ФТТ. 1988. Т. 30, вып. 12. С. 3571-3578.

49. Синицин Г.В. и др. Оптически управляемые волны переключения в бистабильных тонкослойных интерферометрах. //Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1988. Т. 52, № 2. С. 369-373.

50. Розанов H.H., Артегин JI.H., Ходова Г.В. Двумерные и трехмерные схемы оптической бистабильности. // Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1984. Т. 48, № 7.

С. 1437-1440.

51. Firth W.J. Optically bistable arrays and chaotic dynamics. // Physics Letters. A. 1987. V. 125, № 8. P. 375-379.

52. Захарова И.Г., Трофимов В.А. О реализации оптической бистабильности при встречном взаимодействии 2-х волн. // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 1. С. 79-84.

53. КарамзинЮ.Н., ЗахароваИ.Г., Трофимов В.А. //Изв. РАН. Серия физическая. 1996. Т. 60, № 3. С. 143-148.

54. Оптические вычисления. / Под ред. АрратунаР. М.:Мир. 1993. 441 с.

55. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 309 с.

56. Ахманов С.А. Сверхсильные световые поля в нелинейной оптике, физике плазмы и технике рентгеновских источников. // Итоги науки и техники. Современные проблемы лазерной физики. М.:Изд-во ВИНИТИ. 1991. Т. 4. С. 5-18.

57. Трофимов В. А. О новом подходе к моделированию нелинейного распространения сверхкоротких лазерных импульсов. //ЖВММФ. 1998. Т. 38. № 5. С. 835-839.

58. Громов Е.М., Таланов В.И. Высшие приближения теории дисперсии нелинейных волн в однородных и неоднородных средах.//Изв. РАН. Сер. физическая. 1996. Т. 60, № 12. С. 16-28.

59. Трофимов В.А. Нелинейное волновое уравнение лазерной оптики фемтосекунд-ных импульсов. // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 7.СУ 002- 1 о оц,

60. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука. 1983. 61£ с..

61. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 589 с.

62. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. //М.: Из-во Моск. ун-та. 1987. 154 с.

63. Захарова И.Г., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А. Численные методы для задач теплового самовоздействия оптического излучения.// Математическое моделирование. 1989. Т.1, N10. С.130-141.

64. Потапов М.М., Разгулин A.B. Разностные методы в задачах оптимального управления стационарным самовоздействием световых пучков.// ЖВМ и МФ. 1990. Т.30, N8. С. 1157-1169.

65. Борисов A.B. О сходимости разностных схем для решения уравнения типа Шре-дингера.//В сб.: Современные проблемы матем. моделирования. М.: изд-во МГУ. 1984. С.80-96.

66. Иванаускас Ф.Ф. Сходимость и устойчивость разностных схем для нелинейных уравнений шредингеровского типа.// Литовский матем. сб. 1991. Т.31, N4. С.606-621.

67. Афанасьев A.A. и др. Численный метод расчета попутного двухволнового взаимодействия световых импульсов в нелинейных средах./ Препринт N28 Института математики АН БССР. 1987г. 23 с.

68. Волков В.М., Дриц В.В. Консервативные разностные методы решения квазиоптических задач.// Вестник АН БССР. Серия физико-математических наук. 1988. N1. с.7-15.

69. Кандидов В.П., Шленов С.А. Законы распределения светового поля, распространяющегося в среде с кубичной нелинейностью.// Изв. АН СССР. Серия физическая. 1986. Т.50, N6. С.1191-1196.

70. Никитенко К.Ю., Трофимов В.А. Нестационарные эффекты при четырехволновом /неколлинеарном встречном взаимодействии световых волн. // Тез. докл. на 3 Меж-республ. симпоз. "Оптика атмосферы и океана", г. Томск, 1996. С. 74.

71. Никитенко К.Ю., Трофимов В. А. Оптическая бистабильность и нестационарные процессы при встречном неколлинеарном взаимодействии волн. // Тез. докл. на IV Симпоз. "Оптика атмосферы и океана". Томск, июнь 1997. С. 91.

72. Никитенко К.Ю., Трофимов В. А. Оптическая бистабильность и нестационарные процессы при встречном неколлинеарном взаимодействии волн. // Труды ИЭМ. 1997. Вып. 29 (164). С. 430-442.

73. Никитенко К.Ю., Трофимов В. А. Оптическая бистабильность на встречных не-коллинеарно распространяющихся пучках. //Оптика и спектроскопия. 1998. Т. 8^, №6. С. 9?6-9*8,

74. Nikitenko К. Y., Trofimov V.A. On instability development of counter propagating light waves with unequal amplitudes. // Technical Program of IX Conference on Laser Optics. LO'98. St.-Peterburg. 1998. P. 67.

75. Никитенко К.Ю., Трофимов B.A. ОВФ и неустойчивость при встречном неколли-неарном взаимодействии дефрагирующих гауссовых световых пучков в средах с керровской нелинейностью. Ч. 1. Условия развития конвективной неустойчивости. // Оптика атмосферы и океана. 1998. Т. 11, № 11. С, 12. 41- 12^6.

76. Никитенко К.Ю., Трофимов В.А. ОВФ и нейстойчивость при встречном неколли-неарном взаимодействии дефрагирующих гауссовых световых пучков в средах с керровской нелинейностью. Ч. 2. Численный эксперимент. // Оптика атмосферы и океана. 1998. Т. И, № П. С. 12 4 1ZS7L.