Математическое моделирование взаимодействия нескольких оптических волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Харитонов Дмитрий Михайлович

• Харитонов Дмитрий Михайлович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Харитонов Дмитрий Михайлович

Введение

Глава 1. Постановка задач взаимодействия оптических волн в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностью. Инварианты задач. Численные методы

1.1 Постановка задач взаимодействия кратных гармоник в среде с квадратичной и кубичной нелинейностью

1.1.1 Постановка задач взаимодействия первой, второй и третьей оптических гармоник в среде с комбинированной нелинейностью. Вывод уравнений, описывающих взаимодействие волн. Инварианты задачи

1.1.2 Постановка задач взаимодействия первой, третьей и пятой оптических гармоник в среде с кубичной нелинейностью. Инварианты задачи

1.2 Редуцированные уравнения, полученные на основе тиШ-нса1е метода для процессов преобразования частоты. Инварианты редуцированных систем. Индуцированные нелинейности

1.2.1 Модифицированная система уравнений, описывающая индуцированную кубичную нелинейность в среде с квадратичной нелинейностью на основе каскадной генерации второй гармоники. Инварианты системы

1.2.2 Модифицированная система уравнений, описывающая индуцированную кубичную нелинейность в среде с комбинированной нелинейностью на основе каскадной генерации второй гармоники. Инварианты системы

1.2.3 Модифицированная система уравнений, описывающая индуцированную нелинейность пятого порядка в среде с кубичной нелинейностью на основе каскадной генерации третьей гармоники. Инварианты системы

1.3 Построение консервативных конечно-разностных схем для компьютерного моделирования задач преобразования частоты лазерного излучения

1.3.1 Построение консервативных по одному из инвариантов схем для задачи одновременной генерации оптических второй и третьей гармоник лазерного излучения в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностью

1.3.2 Построение консервативных конечно-разностных схем

для задачи генерации пятой оптической гармоники

1.3.3 Построение консервативных конечно-разностных схем, аппроксимирующих модифицированные системы уравнений, полученные на основе тпШ-нса1е метода

1.4 Краткие выводы

Глава 2. Построение аналитического решения задач

преобразования частоты на основе инвариантов задач в приближении длинных импульсов и плоских волн

2.1 Задача генерации третьей оптической гармоники в средах с индуцированной кубичной нелинейностью

2.1.1 Построение решения задачи генерации третьей оптической гармоники в среде с квадратичной нелинейностью (индуцированной нелинейностью

третьего порядка)

2.1.2 Построение решения генерации третьей оптической гармоники в среде с собственной и индуцированной кубичной нелинейностью

2.2 Решение задачи генерации разностной частоты в среде с

индуцированной кубичной нелинейностью

2.2.1 Решение аппроксимирующей задачи генерации

разностной частоты в среде с квадратичной нелинейностью в случае нулевой входной интенсивности промежуточной волны и фазового синхронизма между высокочастотной и низкочастотной волнами

2.2.2 Решение аппроксимирующей задачи генерации разностной частоты в среде с квадратичной нелинейностью в случае ненулевой входной интенсивности промежуточной волны и отсутствии фазового синхронизма между высокочастотной и

низкочастотной волнами

2.3 Построение решения задачи генерации второй оптической гармоники в среде с комбинированной нелинейностью

2.3.1 Случай фазового синхронизма Д21к =

2.3.2 Генерация второй гармоники в случае Д21 к =

2.4 Исследование задачи генерации пятой гармоники в среде с индуцированной нелинейностью пятого порядка

2.5 Краткие выводы

Глава 3. Построение решений солитонного типа в задаче

взаимодействия трёх волн с кратными частотами в среде с комбинированной нелинейностью

3.1 Описание решения, постоянного вдоль координаты распространения

3.1.1 Описание общей схемы получения постоянного решения

3.1.2 Частные случаи, при которых вывод постоянного

решения отличается от общей схемы

3.1.3 Постоянное решение в случае малых входных интенсивностей

3.1.4 Фаза постоянного решения

3.1.5 Постоянное решение в случае импульсов

3.2 Исследование устойчивости решения, постоянного вдоль координаты распространения, в случае ненулевой дисперсии

групповых скоростей. Решения солитонного типа

3.2.1 Исследование устойчивости решения, постоянного вдоль

координаты распространения с нулевой фазой в среде с квадратичной нелинейностью

3.2.2 Исследование устойчивости решения, постоянного вдоль координаты распространения, в среде с комбинированной

нелинейностью

3.2.3 Получение квазиустойчивых решений для случая

комбинированной нелинейности среды

3.3 Краткие выводы

Глава 4. Математическое моделирование задач нелинейного взаимодействия нескольких оптических волн. Комплекс программ

4.1 Описание программной реализации

4.1.1 Модуль управления экспериментом

4.1.2 Модуль обработки данных

4.1.3 Модуль визуализации результатов экспримента

4.2 Верификация аналитических решений на основе результатов компьютерного моделирования нелинейных уравнений Шрёдингера

4.2.1 Задача генерации третьей гармоники в среде с квадратичной нелинейностью

4.2.2 Задача генерации третьей гармоники в среде с комбинированной нелинейностью

4.2.3 Задача генерации разностной частоты в среде с квадратичной нелинейностью

4.2.4 Задача генерации пятой гармоники в среде с кубичной нелинейностью

4.2.5 Задача генерации второй гармоники в среде с комбинированной нелинейностью. Исследование применимости формул, описывающих интенсивности и фазы взаимодействующих волн в случае ненулевой дисперсии групповых скоростей

4.3 Компьютерное моделирование задачи генерации третьей гармоники в среде с квадратичной нелинейностью в случае ненулевых значений коэффициентов дисперсии

4.3.1 Генерация третьей гармоники в случае нормальной дисперсии групповых скоростей

4.3.2 Генерация третьей гармоники в случае аномальной (на основной частоте) дисперсии групповых скоростей

4.3.3 Генерация третьей гармоники при больших расстройках волновых чисел первой и второй гармоники. Модуляционная неустойчивость

4.3.4 Исследование влияния фазовых расстроек на эффективность генерации третьей гармоники

4.3.5 Исследование влияния входной интенсивности на эффективность генерации третьей гармоники

4.3.6 Исследование влияния расстройки групповых скоростей

на эффективность генерации третьей гармоники

4.4 Компьютерное моделирование трёхволного взаимодействия импульсов

4.4.1 Компьютерное моделирование влияния дисперсии групповых скоростей на устойчивое решение в среде с квадратичной нелинейностью

4.4.2 Компьютерное моделирование влияния дисперсии групповых скоростей на неустойчивое решение в среде с комбинированной нелинейностью

4.4.3 Компьютерное моделирование решений солитонного типа

в среде с комбинированной нелинейностью

4.5 Краткие выводы

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Вычисление интегралов, описывающих

интенсивность одной из взаимодействующих волн

Приложение Б. Интегралы от эллиптических функций

Приложение В. Сравнение консервативных разностных схем со

схемами, основанными на методе расщепления

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимодействия нескольких оптических волн»

Введение

Как известно, лазерное излучение применяется при решение широкого спектра научных и прикладных задач. Поэтому изучение его взаимодействия с веществом является актуальной проблемой. Однако, из-за ограниченности источников лазерного излучения важную роль играет разработка методов преобразования его частоты. Для практики, представляет интерес преобразование оптической частоты как вверх, так и вниз. Так излучение в ультрафиолетовой области частот может быть, например, использовано в медицине, спектроскопии, обработке полупроводников и тд. Понижение частоты излучения оптического диапазона расширяет возможности применения инфракрасного и терагерцового излучения также в медицине, оптической метрологии, идентификации веществ. Формируемые оптические солитоны используются, например, при передаче информации в оптических линиях связи.

Одним из эффективных инструментов изучения проблем нелинейной оптики (и, в частности, преобразование оптических частот), как известно, является математическое моделирование. Оно основано на нелинейном уравнении Шрёдингера или системе этих уравнений, записанных, как правило, относительно медленно изменяющихся комплексных амплитуд взаимодействующих волн. В зависимости от условий физического эксперимента данные уравнения включают в себя дисперсионные или дифракционные слагаемые, описываемые второй производной по времени или вторыми производными по пространственным координатам, поперечным к направлению распространению волн. Нелинейные слагаемые этих уравнений определяются также условиями эксперимента, в частности, они могут содержать вторые и/или третьи степени комплексных амплитуд.

Безусловную ценность представляют аналитические решения изучаемых систем уравнений Шрёдингера. В работе [1] получены аналитические решения задач генерации второй гармоники (ГВГ) в среде с квадратичным нелинейном откликом, а также генерации суммарной частоты (ГСЧ) и получено приближённое решение задачи генерации третьей гармоники (ГТГ) в среде с кубичным нелинейным откликом. Первые исследования задачи ГВГ в среде с комбинированной нелинейностью с учётом расстройки групповых скоростей в приближении заданного поля (т.е. предполагается, что амплитуда падающей

волны не уменьшается с распространением данной волны) были выполнены в [2], а ГВГ и ГСЧ в работе [3]. Многие закономерности ГВГ в данных условиях теоретически исследованы в [4]. Однако, наиболее полный анализ данной задачи удалось провести на основе использования ее инвариантов [5]. Этот подход позволил найти ее аналитическое решение. Как следствие этого, режимы ГВГ удалось описать адекватно: в частности, показать, что имеет место бистабиль-ность процесса ГВГ, найти фазы взаимодействующих волн и обобщить этот метод на случай неоднородной формы импульса. Как показали компьютерные эксперименты, полученные аналитические решения справедливы на трассах, равных нескольким дисперсионным и дифракционным длинам.

Нахождение аналитических решений в других задачах значительно сложнее. Например, для задачи генерации третьей гармоники было найдено решение в кубичной нелинейной среде [6], но, например, решение задачи ГТГ в среде с квадратичной нелинейностью так и не было найдено. Вместо аналитических решений ищутся приближённые, как правило, с использованием приближения заданного поля. Данный подход был использован в работах [7 12]. Использование данного подхода позволяет использовать полученные результаты при описании физических процессов только при небольшой перекачке энергии.

Нелинейное уравнение Шрёдингера также исследовалось численно в различных работах. Возможно, наиболее распространённым методом является метод расщепления, основанный на идеях, предложенных в работах [13]: нелинейные и линейные эффекты учитываются последовательно, а не одновременно. Также необходимо упомянуть работы [14], в которой исследовалась устойчивость методов расщепления, [15], в которой методы расщепления были применены для системы нелинейных уравнений Шрёдингера, сходимость методов исследовалась в [16]. Методы расщепления более высокого порядка рассматриваются в работе [17], методы расщепления с поглощающими граничными условиями в работах [18; 19], а параллельная реализация метода расщепления в работе [20]. Подробнее с методами расщепления можно ознакомиться в [21]. Условия возникновения численной неустойчивости изучены в серии работ [22 24].

Другой подход использует консервативность уравнения Шрёдингера, численные решения разностных схем должны удовлетворять разностным аналогам инвариантов уравнения. При этом, как правило, разностная схема является неявной, и для её решения используется итерационный процесс [25 27]. Яв-

пая консервативная разностная схема была представлена в работе [28], однако, данная схема требует применения других разностных схем для нахождения значений неизвестной функции на первых слоях, в целом, неявные разностные схемы являются более распространёнными. Консервативные разностные схемы были предложены для обобщённых уравнений Шрёдингера [29; 30], а также для дробных уравнений Шрёдингера [31]. В работе [32] была доказана безусловная сходимость консервативных разностных схем, в работах [33 35] продемонстрирована лучшая точность и устойчивость консервативных разностных схем по сравнению со схемами, основанными на методе расщепления, поэтому в качестве инструмента для компьютерного моделирования были выбраны именно консервативные разностные схемы. В принципе, возможно построение разностной схемы, являющейся консервативной по нескольким инвариантам [36], но данная схема содержит члены с неизвестными в знаменателе, следовательно, является малопригодной для практической реализации. Таким образом, в диссертации использовались консервативные разностные схемы, сохраняющие разностный аналог Гамильтониана соответствующей системы нелинейных уравнений Шрёдингера.

В диссертации рассматриваются следующие процессы преобразования частоты лазерного излучения, описываемые системами нелинейных уравнений Шрёдингера: генерация второй гармоники в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностью, генерация третьей гармоники в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностью, генерация пятой гармоники в среде с кубичной нелинейностью, генерация разностной частоты в среде с квадратичной нелинейностью. Данные процессы схематично изображены на Рис. 1.

Приведём обзор основных результатов и последних работ, посвященных исследованию данных процессов. Для всех процессов за исключением процесса генерации второй гармоники вызывает интерес эффективность генерации целевой волны.

Как известно [37], первым нелинейным эффектом, зарегистрированным экспериментально, было удвоение частоты оптического излучения: генерации второй гармоники (ГВГ). В последующей за ним фундаментальной работе [1] получены аналитические решения задач ГВГ в среде с квадратичным нелинейном откликом, а также генерации суммарной частоты (ГСЧ) и получено приближённое решение задачи генерации третьей гармоники (ГТГ) в среде

и

а) Генерация второй гармоники б) Генерация третьей гармоники

в) Генерация пятой гармоники г) Генерация разностной частоты Рисунок 1 Физические процессы, рассматриваемые в диссертации.

с кубичным нелинейным откликом. Подробно ознакомиться с различными аспектами данных процессов можно, например в [38 45] С увеличением достижимой плотности мощности оптических импульсов появилась необходимость учета кубичного отклика (комбинированная нелинейность) при ГВГ в нецен-тросимметричных кристаллах. Сжатие импульсов основной частоты и второй гармоники при их распространении в среде с комбинированной нелинейностью продемонстрировано в [46].

Определенный этап исследований ГВГ в среде с комбинированной нелинейностью представляет работа [47], в которой показано, что кубичный отклик среды с ростом интенсивности падающей волны приводит к существенному снижению эффективности преобразования энергии во вторую гармонику. Экспериментально эффективность удвоения частоты высоко-интенсивных импульсов изучалась, в частности в [48 50]. В работе [51] показано, что использование трубчатых пучков позволяет частично компенсировать негативное влияние самовоздействия волн, вызванное проявлением кубичной нелинейности, и повысить эффективность ГВГ фемтосекундных импульсов. Заметим,что подробный обзор различных исследований, посвященный как процессу ГВГ, так и другим нелинейным процессам преобразования частоты представлен в частности в [52].

Наиболее распространённым методом ГТГ в нелинейной среде является генерация в двух последовательно расположенных кристаллах: в первом происходит ГВГ, во втором генерация суммарной частоты первой и второй гармоник. На выходе из второго кристалла получается третья гармоника. Таким образом удается, в частности, избежать проблем, связанных с влиянием само- и кросс-модуляции при использовании кубично-нелинейных сред. Среди имеющихся многочисленных работ отметим работы [53; 54], в которых была экспериментально получена эффективность ГТГ в 80% и теоретически - вплоть до полной перекачки энергии основной волны в энергию третью гармонику. Этот же подход был реализован и для фемтосекундных импульсов [55]. На наш взгляд, использования двух кристаллов может быть отнесено к недостатку этого метода поскольку часть энергии теряется при отражении от поверхностей кристалла. Помимо этого (и может быть это является более важным для практической реализации), достижение максимальной эффективности ГТГ требует соотношения 2 : 1 между интенсивностями второй и первой гармоник на выходе из первого кристалла. В [56] также изучалось влияние расстройки групповых скоростей между первой и второй гармониками в случае взаимодействия коротких импульсов.

Развитие технологии квазипериодических оптических сверхрешёток позволило осуществлять ГТГ в одном кристалле с нелинейным квадратичным откликом, поскольку в подобных структурах обеспечивается одновременный фазовый квазисинхронизм для обоих процессов (ГВГ и ГСЧ). Подобная экспериментальная схема реализована в [ ; ] с использованием кристалла ЫТаОз,

где эффективность преобразования достигла 27%. Схема, обеспечивающая фа-

%

заметной ГВГ представлена в [59]. Однако, по-видимому, на текущий момент данная схема не была экспериментально реализована. Достаточно высокая эффективность преобразования (40% ) получена в [ ], используя кристалл КТЮР04 (КТР) для пикосекундных импульсов. Недостатком данного подхода является использования квазипериодических оптических сверхрешёток, их большая стоимость и меньшая лучевая прочность по сравнению с обычными кристаллами.

Как развитие первого подхода, отметим еще следующую экспериментальную схему: в кристалле с квадратичным нелинейным откликом генерируется вторая гармоника. Затем на выходе из кристалла изменяется ее поляризация

и, используя зеркало, снова попадают в кристалл, где в результате ГСЧ генерируется третья гармоника [61 63]. Эффективность данной схемы утроения частоты достигла приблизительно 40%.

ГТГ в одном кристалле с квадратичной и кубичной нелинейностями при условии фазового синхронизма процесса 3ш = ш + ш + ш также обсуждалась в литературе. Здесь стоит отметить работу [7], в которой ГТГ использовалась для нахождения коэффициентов х(3) кубичной восприимчивости через коэффициенты квадратичной восприимчивости х(2)- Впоследствии наиболее используемым

кристаллом стал (З-ВаВ204 (ВВО), который использовался в работах [ ] (до-

2

стигнута эффективность ГТГ в 1% при входной интенсивности 50ГВт/см в кристалле длиной 7 мм) и [ ] (при меньшей входной интенсивности, равной 1.5ГВт/с м , эффективность составил а только 0.007%). Дальнейший прогресс был достигнут при увеличении входной интенсивности лазерного излучения, ставшего возможным благодаря появлению чирпированного импульсного усиления фемтосекуидиых импульсов. Так, эффективность ГТГ в 6% была получена для кристалла длиной 3 мм и входной интенсивности 200ГВт/см [ ; ], причём квадратичная нелинейность вносила подавляющий вклад в ГТГ. Обратная ситуация наблюдалась для кристалла КТГ [10; 66]: больший вклад вносит кубичная нелинейность, а эффективность генерации в миллиметра-вом кристалле составила 0.9% при входной интенсивности 18 — 45ГВт/см . В дальнейшем данный подход также использовался для периодически-полюс-

0. 4 2

вклад в ГТГ вносит только квадратичная нелинейность, а эффективность ГТГ составляет только 0,00012%. По-видимому наивысшая эффективность для данного подхода, равная 11%, достигнута в [ ] в кристалле В1В306 (В1ВО) для

7002

синхронизме. Как уже упоминалось, в работах [7 11] процесс ГТГ также исследовался теоретически, однако в качестве инструмента анализа использовалось приближение заданного поля, что накладывает очевидные ограничения на применимость полученных теоретических результатов. Помимо этого в данных работах предполагалось, что интенсивность третьей гармоники значительно меньше интенсивности не только первой, но и второй гармоники. Теоретический анализ в приближении заданного поля без последних) предположения был проведён в [12], однако полученные формулы трудны для практического применения. Также в упомянутых работах учитывались только слагаемые,

описывающие ГТГ и опускались слагаемые, описывающие само-модуляцию и кросс-модуляцию взаимодействующих волн, а длина среды не превышала нескольких миллиметров. Два последних недостатка относятся также к работе [68], в которой проводилось численное моделирование ГТГ в одном кристалле. Отметим, наконец, обзорную работу [69], в которой рассмотрены также некоторые другие каскадные процессы.

Помимо хорошо изученных процессов генерации второй и третьей гармоник, внимание уделяется и генерации более высоких гармоник, например, пятой, поскольку данные процессы позволяют получать лазерное излучение в ультрафиолетовой области. Впрочем, прямая генерация пятой гармоники за счёт нелинейного отклика среды пятого порядка является неэффективной ввиду малости данного отклика. Поэтому в данном случае также, как правило, используются схемы с несколькими нелинейными средами. Наиболее распространённой является следующая: в первом кристалле с квадратичным нелинейным откликом происходит генерация второй гармоники, которая затем попадает во второй кристалл, в котором в свою очередь генерируется четвёртая гармоника. В последнем кристалле происходит генерация пятой гармоники как суммарной частоты первой и четвёртой гармоник. Впервые теоретические основы этой схемы обсуждались в работе [70]. Впоследствии, экспериментальные работы показали её применимость. Так, эффективность преобразования в 10% была получена в трёх кристаллах СэЫЕ^Ою (СЬВО) для входного импульса с наносекундной длительностью [71]. В кристалле ВВО, использованного в работе [72], эффективность последнего этапа (генерация суммарной частоты) составила примерно 33%. Данная схема также изучалась для различных кристаллов (СЬВО, ВВО, КН2РО4 - КОР, (]МН4)(Н2Р04) - АБР) и наносекундных импульсов в серии работ [73 75], эффективность преобразования достигала приблизительно 26% — 30%. Для импульсов длительностью 50рв, проходящих через кристаллы ЫВ305 (ЬВО), КЮР и АБР, эффективность генерации пятой

14%

В другой схеме генерации пятой гармоники используются два кристалла с кубичным нелинейным откликом среды [77]: в первом происходит генерация третьей гармоники, во втором пятой как результата вырожденного четырёхволнового смешения. Таким образом был получен импульс на упяте-

161 160

12

0.005%

нелинейных процессов 3ш = ш + ш + ш и 5ш = 3ш + ш + ш в одном нелинейном

1.6%

Необходимо, впрочем, отметить, что в данном работе при анализе использовалось приближение заданного поля.

Отдельно стоит указать работу [79], в которой прямая (за счёт нели-

3ш =

ш + ш + ш и 5ш = 3ш + ш + ш) генерация пятой гармоники использовалась для измерения коэффициентов нелинейного отклика пятого порядка. Однако, в данной работе также использовалось приближение заданного поля, а цель получить высокоэффективную генерацию пятой гармоники не ставилась.

Помимо указанных подходов генерация пятой гармоники с фемтосекунд-ными импульсами была обнаружена на поверхностях стекол и жидкостей [80].

11

гоновой ячейке. Генерация пятой гармоники и нелинейные эффекты высоких

80

[ ]. Пятая гармоника длительностью 20 фс обнаружена в кристалле СаГ2 [ ], 400

ность генерации пятой гармоники значительно ниже (доли процента в лучшем случае) по сравнению с работами, представленными выше. Также пятая гармоника может быть обнаружена при генерации высоких гармоник как одна из низших [85 89], но данные процессы требуют совершенно других подходов для изучения [90].

Интерес исследователей вызывает также и получение источников лазерного излучения в ближней инфракрасной и средней инфракрасной областях спектра. Обзор работ, посвященных ИК-лазерам на халькогенидах, легирован-

5.1

работе [91]. Однако, более частым является использование нелинейных процессов, в особенности, процесса генерации разностной частоты. В данном случае волна с частотой ш1 (часто называемая холостой) генерируется как разностная

ш3 ш2

ш1 = шз — ш2, (шз > ш2).

В научной литературе имеется ряд работ, посвященных генерации разностной частоты в различных нелинейных средах. Так, описание генерации разностной частоты в кристалле AgGaGe5Se12 вкупе со свойствами кристалла представлено в работе [ ]. Импульс энергией 5.1мкДж па длине волны А1 = 5ц,т получен

50 28

2

2

25% з

ется в [94] для получения фемтосекундных импульсов с изменяемой в диапазоне 3.2—4.8 мкм длиной волны и средней мощностью до 1.1 мВт при взаимодействии волны накачки с мощностью 170 мВт и длительностью 65 фс на фиксированной

1.58 11.5

40 1 . 05 1 . 18

нерация разностной частоты была проведена в кристалле СаАн, в результате получен источник лазерного излучения в средней ИК области с максимальной мощностью 51 мВт, полученной на длине волны А1 = 6543 нм. Входная мощность составляла 40 мВт на дайнах волн А3 = 2010 нм и Л2 = 2900 нм. Экспериментальная установка, включающая в себя кристалл фосфида галлия,

6—9

7. 4 Л1 = 7. 5

1570

175 мВт с сигнальной волной, имеющей длину, варьирующуюся в диапазоне 1953 — 1965 нм, и средней мощностью 152 — 235 мВт. Оптический параметрический осциллятор, основанный на генерации разностной частоты, позволил

46%

7.7 23

рации разностной частоты в неоксидных кристаллах представлен в [97].

Также в литературе рассматривается другой подход, заключающийся в использовании процесса вырожденного четырёхволнового смешения в среде с кубичным нелинейным откликом. В данном случае соотношения между частотами взаимодействующих волн следующее:

Ш1 + Ш2 = 2шз.

1.4

Л1 = 2539 нм, что составило приблизительно 6% от средней мощности волны накачки. В работе [99] представлены результаты эксперимента, в ходе которого

0.2% Л3 = 1.064

волны Л1 = 3.105 мкм. В работе [ ] более 2% энергии волны накачки на длине

Л3 = 1.064 Л1 = 2929

взаимодействии пикосекундных импульсов в кварцевом волокне. Также можно привести несколько теоретических исследований. В [101] представлено теоретическое исследование генерации терагерцовых волн при длине волны накачки, Л3 = 4.3

32.5 мкм (частота равна 9.8684 ТГц) равна 1.39%. Компьютерное моделирование оптического параметрического осциллятора, основанного на вырожденном четырёхволновом смещении, представлено в работе [102]. Авторы показали воз-

10%

Помимо проблем преобразования частоты активно исследуются стабильные структуры, такие как солитоны, связанные с явлениями самозахвата и самофокусировки. Впервые возможность самозахвата волн обсуждалось для аксиально-симметричного пучка, распространяющегося в среде с кубичным нелинейным откликом. Оказалось, что дифракционное расширение пучка компенсируется изменением коэффициента преломления, вызванным лазерным излучением [103], [104]. Возможность самофокусировки лазерного импульса была предсказана А.Г. Аскаряном [105]. Самозахват в результате фоторефрак-тивных эффектов подвергся вначале теоретическому анализу в работе [106], а затем наблюдалось экспериментально в работе [107], в которой авторы показали независимость фоторефрактивного солитона от входной интенсивности. В дальнейшем самофокусировка и самозахват, вызванные фотополимеризацией, исследовались в работе [108]. Самозахват пространственно-некогерентного пучка обсуждался в работе [109]. Явление самозахвата также связано с формированием и распространением солитонных структур при распространении лазерных пучков в среде с кубичной нелинейностью. Различные результаты по данной тематике могут быть найдены, например, в работах [110 113].

Исследование явления самозахвата продолжается и поныне, особенно в двумерном случае, поскольку такие структуры (пространственные или пространственно-временные) являются менее устойчивыми по сравнению с одномерными структурами [114]. В работе [115] устойчивый самозахват на-

блюдается для вихревых пучков с интенсивностью, равной 1 ГО т/см2. Полный обзор последних результатов представлен в [114]. Явление самофокусировки и образование солитонов для пространственно-дробных уравнений Шрёдингера были исследованы теоретически и численно в работе [116]. Различные этапы исследования солитонных структур лазерного излучения представлены в [117 123].

Наряду с одночастотными солитонами существуют также многочастотные (или же многоцветные) солитоны. Pix взаимодействие описывается системой уравнений Шрёдингера с нелинейной правой частью. Возможность существования таких структур также отмечалась в работе [124], в которой рассматривалось трёхволновое взаимодействие (т.е. процесс генерации суммарной частоты Ш1+ш2=ш3) в среде с квадратичным нелинейным откликом. В девяностые годы прошлого века эта тема также получила своё развитие. Были численно получены солитонные решения для сред с дифракцией [125], а для сред с дисперсией многоцветные солитоны были проанализированы в работе [126]. Затем, анализ устойчивости для одномерных (1 • 1) и двумерных (2 • 1) структур в среде с дифракцией был проведён в работе [127], для сред с дисперсией критерий устойчивости получен в [128]. Анализ модуляционной неустойчивости трёхцветных солитонов был выполнен в [129], в результате получен новый тип модуляционной неустойчивости. Взаимодействие трёхцветных солитонов в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностями описано в [130], вместе с трёхволновым взаимодействием также были учтены эффекты само-модуляции и кросс-модуляции.

В представленных выше работах трёхцветные солитоны возникали в результате компенсации нелинейных и дифракционных или дисперсионных эффектов (что означает вторую производную по времени или поперечной пространственной координате). Однако, трёхцветный солитоны также возникают при трёхволновом резонансном взаимодействии (т.е. учитывается первая производная по поперечной пространственной координате). Семейство светлых-светлых-тёмных солитонов описано в работе [131]. Светлые-тёмные-светлые солитоны были предсказаны теоретически, а затем получены в кристалле КТР [132]. Устойчивость тёмных трёхцветных солитонов была исследована в [133]. Описание солитонов при трёхволновом резонансном взаимодействии и обзор последних результатов в этой области представлен в [134].

Процесс генерации второй гармоники используется для генерации двухцветных солитонов. Например, в работе [135] приведена теория взаимодействия двухцветных солитонов, затем она поддержана результатами компьютерного моделирования. Формирование двухцветных солитонов в нелинейном кристалле рассмотрено в [136]. Анализ устойчивости, основанный на теории бифуркаций, дан в работе [137]. Также многоцветные двухволновые солитоны получены экспериментально [138]. Теория кластера многоцветных солитонов при их распространении в квадратично-нелинейной среде выведена в [139]. Многосолитонная генерация в условиях квазисинхронизма в многослойном кристалле КТР изучена теоретически и экспериментально в работе [140]. Устойчивые трёхмерные пространственно-временные солитоны в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностями получены в работе [141]. Влияние периодической модуляции нелинейных (квадратичных или кубичных) коэффициентов на двухцветные солитоны описана в [142]. Были также предсказаны двухцветые солитоны для чирпированных кристаллических решёток [143] и нелокальные двухволновые солитоны в нелинейной среде с квадратичной нелинейностью [144].

Другой тип многоцветных солитонов в квадратичной среде основан на генерации второй гармоники второго типа, т.е. при взаимодействии двух волн первой гармоники (обыкновенной и необыкновенной) и одной волны второй гармоники, поэтому данный процесс также может характеризован как трёхвол-новое взаимодействие. Движущиеся солитоны обсуждались в работе [145]. Взаимодействие многоцветных солитонов обсуждалось как теоретически, так и экспериментально [146 148]. Тёмные солитоны также были найдены для данного нелинейного процесса, соответствующие результаты могут быть найдены, например, в [149]. Помимо этого, ряд других результатов приведён в работах [150 152]. Также отметим две обзорные работы по многоцветным солитонам: уже упоминавшуюся [117] и [153].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Харитонов Дмитрий Михайлович, 2022 год

и п -

'3

2 д " 2

^п _ . ^ „ [дкд 1 \

СТ| ' " - СТР>3 -1'2'3 ^1 Ч-дкс)

— ,3-2,3,

ТР

Д,,к -Д,,кгп,]-2,3, у - а-3^

к 1 , А,

п

_ _ ^ ^^ Тр ' 3 А01

г-^- -— Л- - а^ ,¿-1,2,3,

А01

где - нормировочная длина, Тр - длительность входного импульса на частоте

с 1 А01 с 1

если не указано иное. При этом предполагаем, что отношения х(2)/п2, х(3)/п2 постоянны для разных частот, а также в дальнейшем будем опускать частоту над Aj-[к,] - 2,3.

Система уравнений (1.1) описывает несколько различных нелинейных процессов, происходящих в среде с комбинированной нелинейностью: генерация второй оптической гармоники (ш1 + с1 - и генерация суммарной часто-

ты (ш1 + 2с1 - 3с1 в результате квадратичного нелинейного отклика среды; генерация третьей оптической гармоники (ш1 + с1 + с1 - 3"^, вырожденное четырёхволновое смешение (2ш1 + 2с1 - с1 + 3"^, а также процессы само-(yШj - — + Шj- 1, 2, 3) И КрОСС-МОДуЛЯЦИИ - Шj — "к + "к ,3, к -1, 2, 3, - к

процессов (за исключением само- и кросс-модуляций) имеет соответствующую расстройку волновых чисел при нём, выражающуюся через величины Д21к и Дз1к.

Граничные условия в моменты времени Ь-ОиЬ - Ь^и начальное распределение комплексных амплитуд в сечении г - О запишем следующим образом:

А1(О,Ь) - АюЦ),А2{О,1) - А2о(Ь), Аз(О,Ь) - АзоЦ),1 е [О,Ц,

А^г,О) - А2(г,О) - Аз(г,О) - А^гМ) - А2(г,Ь) - Аз(гМ) - О, г е [О,Ьг].

(1.5)

Здесь мы пока не указываем конкретный вид распределений А^0(Ь),] - 1, 2, 3, в зависимости от конкретных условий они будут принимать различный вид. Отметим лишь только, что для согласования с нулевыми граничными условиями, а также из соображений физической целесообразности, эти распределения

должны быть квазифинитными, как, например, Гауссово. В зависимости от того, в каком соотношении находятся начальные распределения А^0(Ъ),] = 1, 2, 3, система уравнений (1.1) может описывать различные физические процессы. Если начальные распределения второй и третьей гармоник будут нулевыми:

А2С(0 = Аао(*) = 0, (1.6)

то будем говорить о процессе одновременной генерации второй и третьей гармоники: энергия волны на частоте ш переходит в более высокие гармоники. Если же, напротив, |А20(£)| или |А30(£)| много больше, чем |А10(£)|, то будем говорить, что система уравнений (1.1) описывает противоположный процесс понижения частоты. В любом случае система уравнений (1.1) описывает процесс трёхвол-нового взаимодействия в среде с квадратичной и кубичной нелинейностями.

Система уравнений (1.1) является консервативной, т.е. решения задачи (1.1),(1.5) обладают некоторыми законами сохранения (инвариантами). Для их получения приведём систему уравнений (1.1) к автономному виду следующей заменой:

А2 = А2 егА21к", А3 = А3егАз1к" (1.7)

(черты для краткости опустим). Полученная система уравнений имеет следующий вид:

д А1 д2 А1

— + + гУ (А*А2 + А*А3) +

+ га (А12А3 + А2А* + А^А^2 + 2|А2|2 + 2|А3|2)) = 0, дА2 -А2 ^ д2А2 , л2 л „ л ,

^Т + ^ + 1°2 -А + ^ (А2 + 2А1А^ +

+ 21 а (2А1А*А3 + А2(2|А1|2 + |А2|2 + 2|А3|2)) + ДхкМ = 0, -А3 -А3 ^ д2А3 . /1 „3

ат+^ + +3''тА1 А2 + 3»( 3А3+

+ А;А2 + А (2| А112 + 2|А2|2 + |А3 |2}) + г Д 31 к А = 0,0 < г ^ Ьг, 0 <г<Ь1,

(1.8)

Данная система будет использоваться при выводе инвариантов, а также при компьютерном моделировании. Стоит отметить, что функции, удовлетворяющие уравнениям (1.1) и (1.8) отличаются только по фазе, в то время как их ам11литуды сов!Iадают.

Далее приведём инварианты системы (1.1) вместе с выводом. Стоит отметить, что для поставленной задачи, её решения понимаются в классическом

смысле, т.е. они обладают достаточной гладкостью и являются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз. В дальнейшем это подразумевается верным для всех рассматриваемых систем уравнений.

Отметим также, что прежде в литературе встречались работы, в которых были выведены инварианты задач взаимодействия трёх волн в нелинейной среде [161; 162], однако, в них рассматривалось взаимодействие волн с некратными частотами. Инварианты задачи взаимодействия трёх волн с кратными волнами приводятся впервые.

Теорема 1.1.1. Для решения задачи (1.8);(1.5) верно следующее соотношение:

Lt

h = j (|Ai|2 + \A212 + = const. (1.9)

0

зывается законом, сохранения энергии (первым инвариантом).

Доказательство. Умножим уравнения системы (1.8) на сопряжённые к комплексным амплитудам величины А*, а сопряжённые уравнения - на Aj,j = 1, 2, 3. Затем полученные равенства сложим между собой и проинтегрируем по времени:

Lt з Lt Lt

d f idAo дА* л \ , UdAо дА* \ ,

-J Y, \Aj \d t + V21 / (^A2 + -д^М) dt + V31 / (~^At + -д^М) dt+

0 j= 0 0

+ <£ M-AA*- iA-aXh = o.

j=1 0 ^ '

Отметим, что все интегралы за исключением первого обращаются в ноль это следует из граничных условий (1.5) и формулы интегрирования по частям. Таким образом, получаем следующее равенство:

из которого напрямую вытекает равенство (1.9). □

Для выполнения двух следующих утверждений необходимо также выполнение равенств:

d^Aj1 d^Aj1 / \

Ií=0 = lt=Lt = 0, j = 1, 2,3, (1.10)

которые легко удовлетворить благодаря финитности распределений комплексных амплитуд.

Теорема 1.1.2. Для решения задачи (1.8);(1.5) верно следующее соотношение: Lt

h = i I ^ ]pjAj-¿- I dt = const, pi = 6,p2 = 3,p3 = 2 (1.11)

о

зывается вторым инвариантом.

Доказательство. Умножим уравнения системы (1.8) наPjj^j-, а сопряжённые

дА*

уравнения - на Pj~df 5 затем сложим основные уравнения и вычтем из них сопряжённые и проинтегрируем полученный результат:

Lt Q „ . „ . Lt

/(¿ ^ ^)

n \j=l /

Л f-A.-Aj dAjdAj\ /А ^ (д2A1-Aj д2AjdAj\ 1

Spj{-Amj - -A^Г+* J £^ -A + -d^^^-A)dt+ 0 =i 0 =i

Lt

/О 3

-(qjRC^A^M + А2А2) + а(4Де(А?А£ + ЗА^А^) + 3^ |А,|4+ o J=1

+ 12(|Ai|2|A2|2 + |Ai|21A312 + |А2|2|Аз|2)) + 3Д2^|А2|2 + 2A31 /с|Аз|2)^ = 0.

Равенство третьего интеграла нулю следует из граничных условий (1.5), второго из условий (1.10) и формулы интегрирования по частям. В первом интеграле проинтегрируем по частям вторые слагаемые в скобках, получим следующее равенство:

Lt d t

0

/(р

,э ^ f dt = 0,

следствием из которого является равенство (1.11). □

Теорема 1.1.3. Для, решения задачи (1.8);(1.5) верно следующее соотношение:

Lt 3

h = / ( - £ PjDj\д-А\2 - 3V21M (А2 "A) - 2V31M (мд-А) +

0 j=

4

+6уЛе(2А1А2Аз + А2А2) + а(4Ле(А?А3 + 3А1А2А*) + 3^ |Aj|4+

j=1

+12( | А1121А212 + | А1121 A312 + |А2|2|Аз|2)) + 3Д21 k\A2l2+ +2Д31&|А3|2)^ = const, р1 = 6,р2 = 3, р3 = 2

(1.12)

зывается Гамильтонианом (третьим, инвариантом).

дА*

Доказательство. Умножим уравнения системы ( ) rnipj-Qf, а сопряжённые

дАz уравнения - на р^-gf, затем сложим основные уравнения и вычтем из них сопряжённые и проинтегрируем полученный результат:

Lt о _ _ L

/А / дА, дА* дА'дАЛ /А „ /д2А,дА* д2А*дА,Л ,

Ей V ^ дА "А - !AflAt)dt + 4 "дА + ~ддА~дА )+

0 j=2 0 j=1 4 7

Li 3

+г J ¿(буЯе(2A1A2A3 + A?A*) + а(4Яе(A?A* + 3АЦА2А3) + 3 ^ |Aj|4+ 0 j=1

+ 12( | A1121A212 + | A1121 A312 + | A2121 A312)) + 3Д2lk|A2|2 + 2Д31 k^dt = 0.

Проинтегрируем второй интеграл по частям, получим равенство

А2 ^ -2V311т (A3 "А 1 +

¿/ ( - £- «V./Щ - 2^3 0

3

+6у Яе (2А1А2А3 + А1А%) + а(4Яе (А1А* + ЗА^А*) + 3 ^ А14+

■=1

+12(|А1|2|А2|2 + |А1|2|АЗ|2 + |А2|2|Аз|2)) + 3А21к1А212 + 2Дз^|Аз|2)^ = 0,

из которого следует выполнение равенства (1.12). □

Отметим также, что для системы уравнений (1.1) первый и второй инварианты совпадают с формулами (1.9) и (1.11). Третий инвариант имеет

следующим вид:

3

и

Ь =/ ( - £- З^М (А2- (лз-А3)

0 3=1

+6у Яе(2 Л^А* + А2А*еА21ьг ) + а(4Яе(Л?Л3 егАз1к^+

3

+3Л1ЛЛ3е-(2А21к-Аз1к>) + 3 ^ А14 + 12(|А1|2|А212 + |Л1|2|Лз|2+

3=1

+ |Л2 |2|Лз|2)) + 3Д21^|Л212 + 2Д31 к |Лз|2)^, Р1 = 6,р2 = 3, ^ = 2

(1.13)

В конце данного параграфа обсудим частный случай генерацию второй оптической гармоники. Уравнения, описывающие данный процесс, можно получить из системы (1.1), если мы предположим, что интенсивность третьей гармоники пренебрежимо мала. Тогда получим следующую систему уравнений:

-Л1 , „-П ^^ , ,-гА2Лкг , • л /I л |2 , 0| Л |2>

дг + Ш1 + гуЛ^е+ шА^Л^2 + 2|Л2|2) = 0,

дЛ2^ -Л2 ^ . п -2Л2

+ + ф2~Ш + ^

+ ^21-А2 + Ш2^ + ¿уЛ1 е'л,21кг + 2г Л2(2|Л1|2 + |Л2|2) = 0, (1Л4)

0 < х^Ь,,0 <КЬи

с начальными и граничными условиями

А1(0,*) = Лю(0,Л2(0^) = 0, £ е [0,Ь],

(1.15)

Л1(х,0) = Л2(х,0) = Л^г,Ь) = Л2(х,Ь) = 0,г е [0,Ьг].

1.1.2 Постановка задач взаимодействия первой, третьей и пятой оптических гармоник в среде с кубичной нелинейностью.

Инварианты задачи.

Запишем теперь уравнения, описывающие процесс взаимодействия первой, третьей и пятой гармоник в среде с кубичной нелинейностью. Вывод этих уравнений проводится аналогично выводу уравнений (1.1), но вместо представления (1.3) используется следующее представление:

3

Е = 0.5 ^^ (Л23-1 ехр(г(ш2з-^ - к2з-1 г) + А* ехр(-г(^23-1^ - к2з-1 г)) , =1

Ш2j-í = (2^ - 1)шь к5 = 5 к\ + А51 к, кз = 3к\ + Дз1^.

После проведения аналогичных действий, получим следующую систему безразмерных дифференциальных уравнений в частных производных с нелинейной правой частью:

д А д2 А /

+ Ш1 ^^ + а А*2 Аз е-Аз1^ + 2А1А*А5 е-+ ох дЬ2 V

+А3А5е- (2Аз1 + А1 (сп|А1|2 + С12|Аз|2 + с^Р)) = 0,

ЗА3 + д-А + Шз дддА + ЦА?е*аз^ + ЗА^е- (а-к-аз1^+

+6А1А*А5ег(2Аз1к-А51к)г + 3А3 (С12|А1|2 + С22|А312 + С2з|А5|2)) = 0, ЗА5 + ^51 ЗА5 + ^5 ^ + 5^ а (а2 а е-(аз1к-а-^ + А*А2е - (2аз1 +

+А5( С1з|А1|2 + С2з|Аз|2 + сзз|А512)) = 0.

(1.16)

Отметим, что коэффициенты при слагаемых само-модуляции А7|Аj |2, ] = 1, 2, 3 и кросс-модуляции А7|А^\2,],к = 1, 2, 3,] = к могут варьироваться в отличие от системы уравнений (1.1), где они получились постоянными в результате вывода. В дальнейшем будет объяснено, каким образом коэффициенты^,3,к = 1, 2, 3

С учётом того, что в дальнейшем будет рассматриваться только процесс пятикратного умножения частоты (т.е. случай подачи на вход лазерного излучения только на основной частоте), ограничимся рассмотрением следующих начальных распределений:

А1(0,*) = А10Й, Аз (0,£) = А5(0,*) = 0, (1.17)

при этом граничные условия будут нулевыми:

А^г,0) = Аз(г,0) = А5(г,0) = А^гМ) = Аз(гЛ) = А5^М) = 0,г е [0,Ьг].

Заменой

Аз = Аз егАз1кг, А5 = А5е

система уравнений (1.16) приводится к автономному виду:

+ D ^Г + Ц^А; + + А3А;+

+Ai( с11|Л1|2 + С12|Аз|2 + С1з|Лв|2)) =0,

дА3 дА3 _ д2А1 / j3 , , ,

3 + + гD;^1 + Щ A3 + 3А12Ав + 6А1А3А5+

dz 31 dt 3 дР ' v^1—^ щ +3Аз( С12|А1|2 + С22|Аз|2 + С23|А512)) + ¿А31М3 = 0,

дА5 + V51 дАА5 + D дА + а(А2Аз + А1А2+

+А5 (С131А112 + С2з|Аз|2 + Сзз|А5|2)) + i А51Ы5 = 0.

Аналогично тому, как это сделано выше, получены следующие инварианты систем уравнений (1.16) и (1.18):

lt

h = j (| А112 + |Аз |2 + |А5|2)^ = const. (1.19)

0

первый инвариант систем уравнений (1.16) и (1.18),

Л3 дА* ■ \

У^р]А2]-1—gif^jdt = const, p1 = 15, Р2 = 5, Рз = 3 (1.20)

второй инвариант систем уравнений (1.16) и (1.18),

Lt 3 о - 2

J3 = I I - Pjd2J-1

£p>Dv-1 ^ - 5V31M (а;д-А) - 3V51M (А;д-А) +

0 3=1 4

+а( 10 Re (А1А* eiAsikz + 3А;А3А5 е^лк-2А31к)г + за1азА* ei(Asik-A3lk>) +

3

+15( с 12|А1|2|А2|2 + С1з|А1|2|Аз|2 + С2з|А2|2|А;|2) + 7.5 ^ с^-^4) +

3=1

+5А31 /с | A312 + ЗА51 А;|А5|^^ = const, Р1 = 15, Р2 = 5, р3 = 3

(1.21)

третий инвариант системы уравнений (1.16).

lt

h =

/ (- ^ P3D2j-1

дАц-1

^ - ^^ ^ " 3У511т(А Щ +

0 3 =

+a(l0 Re (А?А3 + 3А^А5 + 3А?АзА5) + 15( С121А1121А212 + С131А1121 A312+

з

+С2з|А2|2|Аз|2)+7.5 ^ с^А2,_1|4) + 5Дз^|Аз|2 + 3Д51^|Ав|^ t = c oust

3=1

(1.22)

третий инвариант системы уравнений (1.18).

1.2 Редуцированные уравнения, полученные на основе multi-scale метода для процессов преобразования частоты. Инварианты редуцированных систем. Индуцированные нелинейности.

Для вывода уравнений, описывающих индуцированную кубичную нелинейность в случае каскадной ГВГ, будем использовать тиШ-нса1е метод [163]. Этот метод был использован в работе [164] для вывода уравнений, описывающих кубичные эффекты само- и кросс-модуляции волн. Мы начнём с вывода уравнений со случая а =0, поскольку вывод модифицированных уравнений в данном случае принципиально не отличается от более общего случая, но обладает более простыми выкладками. Затем мы также представим модифицированные уравнения для общего случая процесса взаимодействия первой, второй и третьей оптических гармоник, и для процесса взаимодействия первой, третьей и пятой оптических гармоник. Во всех случаях модифицированные системы уравнений являются консервативными, инварианты представлены без вывода, поскольку он не отличается от вывода инвариантов для исходных задач.

1.2.1 Модифицированная система уравнений, описывающая индуцированную кубичную нелинейность в среде с квадратичной нелинейностью на основе каскадной генерации второй гармоники.

Инварианты системы.

Предположим, что расстройка волновых чисел между первой и второй гармониками велика: |Д21& | >> 1. В данном случае процесс взаимодействия волн может рассматриваться в разных масштабах: быстрые осцилляции, происходящие на коротких длинах, определяемых большой фазовой расстройкой Д21к, перекачка энергии из одной волны в другую на длинных дистанциях, а также дисперсионные эффекты, определяемые соответствующими параметрами.

Прежде чем переходить к выводу модифицированных уравнений, сделаем замену неизвестных:

А3 = А3 е}А 31кг,

далее черта для краткости опускается. Это сделано с целью упростить последующий анализ, система уравнений (1.1) примет следующий вид:

3А 3 2 Ал

^ + Ш1 ^ + ¿у (А\А2е+ А2АзегА21кг) = 0,

3 3 2 1 2

3А2 , 3А2 . п 3)2 А2 , . ( л 2 аА21кг , 0/1М „ \ п

+ у21-^ + гВ2~3Й2- + гУ (А1е 21 + 2А1А3 е 21 )=°,

3 А 3 А 32 А

^т3 + ^31 —3 + Шз 3—3 + ЗгуА^е-Д21^ + ¿Д31М3 = 0,0 < г ^ Ьг, 0 <КЬь. 3 3 3 2

(1.23)

Далее введём малый параметр ц = д^, а также различные масштабы на пространственной координатной оси: крупный масштаб, обратно пропорциональный малому параметру: £ = Ц, а также различные малые масштабы Xi = Цг, I = 0,1,2.... Также разложим комплексные амплитуды в степенной ряд

по малому параметру ц:

А1 = и + ц~и1 + ц2и2 + ...,

1

2

А 2 = У + цУ1 + ц2^ + ..., (1-24)

Аз = № + + ц2^2 + ....

При этом предполагается, что все функции в разложении (1.24) зависят от всех переменных (£,£,х\ |/ ^ 0).

Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, запишем в новых переменных дифференциальные операторы:

т - д . д2 д £ д А д д д2

4 = д~х + дЪ + 3дГ2 = д~гб£ + д^д^ + 3=

^ 1=0

1 д А , д Я2 1 д г0 д 2д _

= — -£ + Е —+ ^ --2 = --£ + 4 + —+ -¡2 + - ^ = 1'2'3'

где ь30) определяется следующим образом:

г(0) д д д2

Ь3 = + ^ ы + ^3 ж

Далее подставим представление (1.24) в систему уравнений(1.23). При

-

мер, для слагаемого А\А2 получим следующее:

А*А2 = (и1 + —и* + 0(-2)) (V + —У + о(-2)) = и*У+—(и*У + ЩУ)+о(—2).

Проводя подобные действия для прочих слагаемых, получим следующую систему уравнений:

1 ди ^ ди ди ^ -Щ -— + ь\)и + —— + —- + —4 )и + ——+

— д £ дх\ д £ д £

+¿7 (и*Уе-£ + Vе*£ + —((и*У + и*У)е-£ + (V*W1 + )ег£)) + 0(—2) = 0, 1 -V (о) д^д^ (о) дУ2^

+ 4 V + —+ + —4 )у + ——+

— д £ 2 дх\ д £ 1 д £

+¿7 (и2е)£ + 2 и^е)£ + —(2ииег£ + (и^ + и^)ег£)) + 0(—2) = 0,

1 дW /ои дW дWí /ои дW2

— + + —■^ + + + —+

— д £ 3 дх\ д £ 1 д £

+3гу (иУе-£ + —(иу + и1У)е-£) + г^к^ + —Wl) + 0(—2) = 0.

Затем будем рассматривать получившиеся уравнения для каждой из степеней —, в частности для степени — имеем:

1=-£-£-о <■»

Следовательно, функции и, ^ и ^ ^^ ^^^^^^^ от иеременной £.

Для следующего порядка 0(1), получим следующую систему уравнений:

•~лт т

L^U + + iy(U *V е- £ + V *W е*£) = 0,

от т

Lfv + —1 + ij(U2 ei£ + 2U *W ег£) = 0, (1.26)

ОТ 17"

4°% + —1 + ЗгуиУ е—г £ + = 0.

3 3 £

Поскольку, первые слагаемые в уравнениях не зависят от переменной £, в отличие от всех остальных слагаемых, мы можем разбить эту систему уравнений на две, и приравнять первые слагаемые в системе (1.26) нулю:

Ь^и = Ь^У = 40)Ж + гД3^ = 0. (1.27)

Здесь нужно отметить, что вместо нуля могла быть выбрана любая другая константа, однако это привело бы к возникновению секулярных членов (термин относится к астрономии, поскольку тпШ-нса1е метод был первоначально использован там). Применительно к данной задаче это значило бы неконсервативность полученных уравнений, что противоречило бы исходной постановке.

Оставшиеся в системе уравнений (1.26) слагаемые могут быть проинтегрированы по переменной £:

и = у(ие-£ - Уег£) + ,ъ, ^...), У = у(—и2ег£ - 2иег£) + ,го, (1.28)

Wl = ЗуиУе—г£ + ,го, хъ..).

Здесь функции щ, у1,—1 играют роль свободных членов: они не зависят от переменной £. Уравнения, описывающие эти функции, будут получены ниже. Также рассмотрим слагаемые порядка О(ц), имеем следующее:

+ Ь10)и1 + + М(и + и*У) е—г £ + (У *Wl + )ег£) = 0,

от т от/

р + l20) V + — + iy(2UU\ ei£ + (U *Wi + U*W) ei£) = 0, 211

0£ ' "2 ' dzi

0W2 (0) dW r

—2 + L3W1 + — + 3fy(UVi + Ui V )e- £ + AsifcWi = 0. o£ 3 oz1

Далее подставим разложение (1.28) в полученную систему уравнений и снова отделим слагаемые, которые не зависят от £,:

-и

-и2 + у(40)(и*У)е-г£ - 40)(У*W)е*) + гу2(иЧе- V^*е-2* + и*Уе-^+

+ У*тге* + V) = - ^+ гУ2Пи|2и - 3и+ 4и|У|2 - 2и^|2)^ - Ь^и^ дVz

- у(420)( и2)е^ + 2 420) ( и*W)е*) + гу2(-2иУ*We2г£ + 2ище* + 2иУ*We* + 2и*^е*+

+ 2 и*ие*) = -(-У + 2гу2(4|и| - |W|2)v) - Ь^уь

+ 3у 4 ( иУ)е+ 3гу2(иу+ и*У2 * е-2^ + иУ е) + 3гА31 куиУе-- Згу2(и3 + 21и|2W + |V|2W^ - 40Ч - гДа^и.

Таким образом, правую часть уравнений можно приравнять нулю:

-и + ¿у2(-|и|2и - 3и 12W + 4иIV|2 - 2и|W|2) = -4%,

д 1

дV + 2*у2(4|и|2 - |W|2)V = 4%,

д 1 ОТ I т

- 31 у2(и3 + 2|и+ |V|2W) = 4% + гДз1к^1.

д 1

Здесь мы также отделим слагаемые, содержащиеи1,у1,и1, из соображений консервативности. Получим две системы уравнений:

д и

2 2 2 2 2

1

+ Ч2(-|и|2и - 3и+ 4и|V|2 - 2и|W|2) = 0,

д -V

■У + 2¿у2(4|и|2 - |W|2)V = 0, (1.29)

д 1

От т т

---3г у2 (и3 + 2|и |2W + |V |2W) = 0.

д 1

и

4о)и1 = 0,

4%1 = 0, (1.30)

ь3о")и1 + гД31 ки1 = 0.

Затем возвращаясь к исходным переменным (£ = Д21кх, го = г, г1 = г/Д21к), а также используя урезанное разложение:

д = Д24 + -Ю + 0«Д21к>-2),

выведем модифицированную систему. Для этого умножим систему уравнений

Д21 Д21

лившиеся системы, а также систему уравнений (1.27), в результате получим систему уравнений 3и 3 2 и л/2

3и + Ш1 — г -гЦ- (|и |2и + зи — 4и |У |2 + 2и |2) = 0, 3 3 2 Д21

£ + - ^ + Ш2 52 + (4|и |2 — ^|2)У = 0,

3W 3W 3^ у2

^ + ^31 — + Ш3 —^ — 3 -Ц (и3 + 2|и |2W + |У |2W) + гД3^ = 0 3 3 3 2 Д21

(1.31)

относительно функций и,У^. Действуя подобным образом, получим уравнения, описывающие поведение функций щ,у1,—1:

3щ 3 2щ

+ =0,

^ + ^21 ^ + Ш2 ^ = 0, (1-32)

3х + ¥21 31 + 2 312 0, 1 )

3—1 3—1 32-1

+ у31~3ц- + + ^31^—1 = 0.

С учётом (1.28), разложение (1.24) принимает следующий вид:

А1 = и + -1- (у(и*Уе—1 д21кх — У*WегА21кг) + щ) ,

Д21Л

А2 = У + -т^т (—у(и2 + 2и*W)егА21кг + ^) , (1.33)

Д21Л

1

А3 = W + (ЗуиУе—гА21кг + . Д21

Стоит отметить, что если не учитывать слагаемые, связанные с третьей гармоникой (А3 = W = — 1 = 0), то уравнения ( )-( ) сведутся к уравнениям, полученным в работе [164].

Таким образом, система уравнений (1.31) описывает индуцированную кубичную нелинейность, возникающую в указанных выше условиях. В частности,

и3

гармоники. Также присутствуют слагаемые, описывающие само- и кросс-модуляцию взаимодействующих волн. Однако нужно заметить, что в отличие от исходной системы уравнений (1.1) здесь отсутствуют слагаемые само-модуля-ции второй и третьей гармоник, а кросс-модуляционные слагаемые имеют при себе различные (как по знаку, так и по величине) коэффициенты.

Система уравнений (1.31) также поясняет, почему коэффициенты Сзк,3,к = 1,2,3 при слагаемых само- и кросс-модуляции в системе уравнений (1.16) могут быть выбраны отличным образом от коэффициентов 3 = 1, = 1, 2, 3 3 к = 2, , к = 1, 2, 3, = к

ты возникают и в результате распространения волн в среде с квадратичной нелинейностью, то систему уравнений (1.16) можно в частности трактовать как систему уравнений, описывающую взаимодействие первой, третьей и пятой гармоники в среде с комбинированной квадратичной и кубичной нелинейностя-ми после применения метода многих масштабов. Также кросс-модуляционные слагаемые могут возникать и в результате взаимодействия волн, учтённых в системе уравнений (1.16) с другими (неучтёнными) волнами. Всё вместе это

3 к

3 к

Теперь выведем начальные и граничные условия для функций U,V,W,и1, у1,и1. Начнём с начального распределения данных функций. Для этого подставим в представление ( ) г = 0, приравняем их к начальным распределениям (1.5) и рассмотрим получившиеся выражения для различных степеней (Д21 к)-1. Тогда для главных членов разложения имеем следующее (с учётом (1.5)):

Поскольку начальные распределения комплексных амплитуд А3,3 = 1,2,3 не (Д21 к)-1

должны быть приравнены к нулю:

и1 , 1 , и 1

начальные распределения для всех функций:

и | г=о = А]| г=о = Аю(;£), V|г=о = А2|г=о = А^) , W | г=о = А3| г=о = А3о(г).

У ( и*|^|г=о - V*|^|г=о) + и]г=о = 0, У (-и2|х=о - 2 и*||г=о) + х=о = 0,

3у и | z=оV | = + = = 0.

=о

и|,=о = Аю(^), V|г=о = А^), W|г=о = А3о(1), и]|х=о = у (-А1о(^)А2о(0 + А*о(г)А3о(г)),

Vl|г=о = У (-А2оЙ - 2А!о(^)А3о(0) , и] = = -3уА1о(*)А2о(*).

1о

Теперь обратимся к граничным условиям. Учитывая разложение (1.33), получим что функции U,У,W,u1, у1,—1 также имеют нулевые граничные условия:

и \Ъ = 0 = и \Ъ = и = У \Ъ = 0 = У \Ъ = и = W \Ъ = 0 = W \Ъ = и = 0, щ\Ь = 0 = щ\Ь = Ьг = = 0 = = Ьг = — 1 = 0 = — = Ьг = 0.

Отдельно рассмотрим важный частный случай, ко:да на вход подаётся только основная волна, в то время как интенсивности второй и третьей гармоники равны нулю (1.6). Тогда полученную систему уравнений можно упростить. Действительно, условие Ао(£) = А30(£) = 0 означает, что

У \ ,=о = W \ 2=0 = 0,

и, как следствие,

и1 \ 2=о = —1\ 2=0 = 0.

У

в первом и третьей уравнении ( ) - относительно функций и1 и —1? соответственно, что с учётом нулевых начальных распределений означает, что эти

У = и1 = — 1 = 0.

Поэтому разложение исходных уравнений упростится:

А1 = и, А + 2и^)егА21кг + А3 = W, (1.35)

Д21Л

а уравнения, описывающие функции U,W, г>1, примут следующий вид: 3и 3 2 и ^2

^ + * ^ — (\и\2и + зи +2и гп\2) = 0,

^ + ^31 ^ + — 3< Л^ (и3 + 2\и |2W) + гД^ = 0, (1.36)

3г 3Ь 3Ь2 Д21к

3 1 3 1 32 1

-31 + + ■=0-

Также упростим начальные распределения (1.34):

и \ 2=0 = Аю(*), W \ 2=0 = 0, ^ 2=0 = уА?о(*). (1-37)

Запишем теперь инварианты модифицированной системы (1.31). Мы получим законы сохранения только для основных слагаемых разложения и, V, Ж, поскольку именно эти инварианты будут в дальнейшем использоваться для получения аналитических решений. Нужно заметить, что хотя вывод законов сохранения не отличается в данном случае от вывода инвариантов основной системы (1.1), тем не менее, система уравнений (1.36) имеет на один инвариант больше. Действительно, домножим уравнения системы на и*,У*, соответственно, а сопряжённые уравнения - на и, V, Ж, соответственно. Однако затем сложим отдельно уравнения относительно функций и и Ж, и отдельно - относительно функции V. После проведения упрощений получим два инварианта энергии:

lt

Iluw = (\U |2 + \W\2)dt = const,

(1.38)

а также инвариант энергии второй волны:

Lt

hv = J\V\2dt = con st, (1.39)

0

Таким образом, в отличие от исходной системы, где обмен энергии происходит между всеми тремя волнами, в данном приближении по крайней мере на уровне главных слагаемых, энергия переходит только с основной частоты на утроенную и обратно.

Что касается второго и третьего инварианта (Гамильтониана), то их вывод не отличается от вывода соответствующих законов сохранения основной системы уравнений, а сами они имеют следующий вид:

Lt

dU * dV * dW *\ I2 = I ( 6 U— + 3V— + 2W—— dt = const (1.40)

dt otot

6

0

второй инвариант,

Lt

*

1 3 =

0

(3WV * f) +2V3! *»(W * d0W)

-6 Di

dU 2 dV

dt - 3 D2 dt

-2D3

dW ~dt

2

3

Y

A2ih

(4Re(U3W*) + \U\4 + 4\U\2\W\2 - 8\U\2\V\2 + 2\V\2\W\2) +

+2A31&\W\2 )dt = const

2

- третий инвариант (Гамильтониан).

1.2.2 Модифицированная система уравнений, описывающая индуцированную кубичную нелинейность в среде с комбинированной нелинейностью на основе каскадной генерации второй гармоники. Инварианты системы.

В целом, вывод модифицированной системы уравнений в случае а = 0 проводится аналогично случаю а = 0, поэтому перейдём к основным результатам. Разложение комплексных амплитуд А^,] = 1, 2,3 будет иметь следующий вид:

А1 = и + (у(и*Уе—гА21кг — У*WегА21кг) + 0.5аУ^*е—2гА21кг + и^ , Д21

А2 = У + -т^т (—у(и2 + 2и*W)егА21кг — 2аиУ*Wе2гА21к" + , Д21