Математическое моделирование распространения фемтосекундных импульсов и устойчивости плазмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Дорохова, Татьяна Владимировна

• Дорохова, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дорохова, Татьяна Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЙТРАЛЬНЫХ КРИВЫХ УСТОЙЧИВОСТИ НА ДВУМЕРНОЙ ПЛОСКОСТИ ПАРАМЕТРОВ.

§ 1.1. Численный алгоритм автоматического построения кривых устойчивости на плоскости параметров.

1.1.1. Постановка задачи

1.1.2. Алгоритм

§ 1.2. Исследование устойчивости процесса бриллюенового течения плазмы.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Доказательство действительности собственных значений

1.2.3. Разностная схема решения

1.2.4. Анализ численных расчетов

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЧАСТИЧНОЙ ПРОБЛЕМЫ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ ВХОЖДЕНИЕМ ФУНКЦИИ.

§ 2.1. Алгоритм нахождения собственных значений и соответствующих функций нелинейной задачи на собственное значение.

2.1.1. Постановка задачи

2.1.2. Описание алгоритма

§ 2.2. Численное исследование нелинейной задачи на собственные значения, имеющей аналитическое решение.

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Построение разностной схемы

2.2.3. Первый способ аппроксимации нелинейного оператора А

2.2.4. Итерационный метод решения разностного уравнения для несимметричной матрицы

2.2.5. Результаты тестовых расчетов для несимметричной матрицы

2.2.6. Второй способ аппроксимации нелинейного оператора А

2.2.7. Итерационный метод решения разностного уравнения для симметричной матрицы

2.2.8. Результаты и их обсуждение для симметричной матрицы

2.2.9. Общие замечания к расчетам

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ИМПУЛЬСОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ.

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Построение разностной схемы

3.1.3. Итерационный метод решения разностного уравнения

3.1.4. Анализ численных расчетов

§ 3.2. Численное моделирование солитонов сложной временной формы импульсов фемтосекундной длительности.

3.2.1. Постановка задачи /

3.1.2. Условие действительности собственного значения для решения типа солитона

3.1.3. Построение разностной схемы для задачи распространения фемтосекундного импульса в среде с кубичной нелинейностью

3.1.4. Итерационный метод решения разностного уравнения

3.1.5. Общие замечания ко всем расчетам

3.1.6. Исследование зависимости формы солитона от параметров у и а на примере первого собственного вектора

3.1.7. Численные расчеты различных собственных значений и соответствующих им собственных векторов

§ 3.1. Задача самовоздействия светового импульса в фотонном кристалле.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование распространения фемтосекундных импульсов и устойчивости плазмы»

Постановка задачи

В диссертации рассматривается алгебраическая задача на собственные значения с нелинейным вхождением собственного вектора

А(у,г,а)у = Ху, (1) где = (у, ,.,yNl } - вектор размерности (N-1), А(у) - матрица, элементы йг. которой нелинейно зависят от компонент вектора у, г и а -действительные параметры. Требуется на плоскости параметров (s,a) найти собственные значения X и соответствующие им нетривиальные решения у, удовлетворяющие заданным условиям.

Целью диссертационного исследования было создание и программная реализация эффективных алгоритмов для построения кривых, отделяющих области, где существуют решения каких-либо заданных свойств, и исследование с помощью предложенных алгоритмов некоторых актуальных прикладных задач на двумерной плоскости параметров.

В работе исследуются следующие физические задачи: устойчивость процесса бриллюенового течения плазмы, распространение фемтосекундных импульсов в среде с кубичной нелинейностью и самовоздействие светового импульса в фотонном кристалле. При этом на плоскости действительных параметров находятся области существования решений определенного типа. Проблема построения решений для последних двух задач актуальна в связи с задачами передачи информации по оптическим волокнам. В этом случае решение (солитон) при определенных условиях распространяется без пространственных искажений.

Обзор литературы

На протяжении многих лет проявляется большой интерес к математическому моделированию различных физических процессов. Активно ведется разработка моделей, более полно отражающих изучаемые явления [2,4,20,23,25,36]. При современном подходе модели часто задаются системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по времени и пространственным координатам. Поиск аналитических решений таких задач затруднен в силу нелинейности уравнений. Хотя аналитические методы играют большую роль при качественном исследовании, их область применимости очень ограничена. И требуется совершенствование численных методов в соответствии с методологией вычислительного эксперимента. Существуют различные подходы к численному решению таких уравнений. Например, линеаризация уравнений [3,26,41]. Но в большинстве случаев численное исследование линеаризованной задачи приводит к потере важных свойств решения, и численный результат не отражает всех особенностей процесса. Второй способ - решение нелинейного уравнения, зависящего от параметров, с помощью явных или неявных разностных схем [3,29,31-34]. Для ответа на вопрос об устойчивости физических процессов эффективно провести разделение переменных или поиск решения в специальном виде и получить задачу на собственные значения с нелинейным вхождением собственного вектора. Решение таких задач является важной и сложной проблемой, так как нелинейные по вектору задачи возникают во многих областях физики, в частности, в нелинейной оптике в связи с передачей информации лазерным излучением, такие, например, как рассматриваемые в диссертации задачи распространения фемтосекундных импульсов в нелинейных средах [28,30,38-40,54] и задачи самовоздействия световых импульсов в фотонных кристаллах ([55]}.

В настоящее время численные алгоритмы для решения линейных алгебраических задач на собственные значения хорошо развиты.

Существуют стандартные подходы и методы решения как полной, так и частичной линейной проблемы. Наиболее известный и точный метод нахождения всех собственных значений матрицы и соответствующих им собственных векторов - это QR-алгоритм [24]. Но для численного исследования свойств некоторых рассматриваемых задач неэффективно искать весь спектр матрицы, часто достаточно найти только одно собственное значение и соответствующий ему собственный вектор. Наиболее используемыми методами решения частичной проблемы являются следующие методы: степенной, бисекции, итерации обратной матрицей и их различные модификации [5,33,34,41].

В литературе достаточно широко представлены также численные алгоритмы для решения линейных по собственному вектору задач с нелинейностью по собственному значению [1,7,8,18,19,21,22,35]. При этом практически не рассматриваются задачи, нелинейные по вектору. Единого механизма решения таких задач не существует. Большинство работ в этой области посвящено аналитическому исследованию свойств определенных достаточно простых типов задач в некоторых пространствах. Например, в работе [56,57] исследуется задача ф(и)=ЯЧ"(и), иеф~1 (а), где ф(и)=— J|Vm|2 dx - — ju2 dx, x¥(u)= jG(x,u(x))dx определены в 2 n 2 п а пространстве Н\ (Q). Автор доказывает, что в зависимости от того, является ос положительным или отрицательным, задача имеет одно или два решения.

В конце 70-х годов группа немецких математиков (Kurt, Lackner, Amann и другие) предложили численный метод решения нелинейных задач, основанный на методе Пикара [42,43,46-53]. Рассматривались задачи типа f(x,U{x)) = XL(u), xeQ, U(x)=0, xedQ, где L(u) = - ^ddi(aik(x)dkU(*))■+ a(x)U(x), Qc~RN, X - действительное t=i положительное собственное значение, при условии, что функции /, ал и граница дО. достаточно гладкие, а матрица А = [ajk) симметричная и положительно определенная. Такие задачи возникают в физике плазмы. Авторы предлагают следующий итерационный метод решения дифференциальных задач на собственные значения

Шаг 1 (Итерационный метод Пикара) < L(un+l)=f(x,u"(x)), xeQ, Un+l(х)=0, xeQ.

Шаг 2 (Нормализация) jjn+l Ц^/"4' I ' U"+l

Таким образом, авторы рассматривали только те задачи, у которых нелинейная часть уравнения является функцией от U, производные U' не входят в нелинейную правую часть уравнения. И при этом в работе не предложен алгоритм для нахождения собственного значения, находится только собственный вектор и не определяется, какой моде соответствует этот вектор. Численные результаты для такого типа задач получаются с достаточной точностью, но четкого доказательства сходимости нет.

В работе [45] рассматриваются дифференциальные задачи типа

Г-Ам=Лf'{u), ueQ., [и=0, uedQ, где и = и(х) - действительная функция, определенная в области QcRs, X— действительное собственное значение. Авторы получают решение (и,Х), численно исследуя следующую вариационную задачу минимизации

Е(и):=— j]Vw|2 dx —> min на ^f{u)dx= у

2 n a для различных ограниченных значений у. При этом авторы получают только собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению. С помощью рассмотренного метода нельзя найти остальные собственные значения и векторы.

Таким образом, ни в нашей, ни в зарубежной литературе не найдено эффективных численных алгоритмов для нахождения всех собственных значений и векторов задачи на собственное значение с нелинейным вхождением собственной функции.

Обзор диссертации

При решении уравнений, описывающих физические процессы, часто возникает проблема, когда на двумерной плоскости параметров надо выделить области, где существуют либо устойчивые и неустойчивые режимы, либо существуют решения каких-то заданных свойств. При этом при решении дифференциальных задач удобно, проведя разделение переменных или в результате поиска решения в специальном виде, получить дифференциальную задачу на собственные значения. То есть помимо параметров, определяемых в постановке задачи, возникает дополнительный параметр X, в зависимости от свойств которого мы отвечаем на вопрос о существовании у уравнения решения заданного свойства. Например, для устойчивости многих процессов необходимо, чтобы все собственные значения были отрицательными, в других постановках для существования решения нужного типа необходимо, чтобы спектр матрицы был действительным.

В диссертации предложен и численно исследован алгоритм для решения частичной проблемы для задач вида (1). Предложенный алгоритм был проверен на задаче с нелинейным вхождением собственной функции, имеющей аналитическое решение. Изложим основное содержание и результаты диссертации по главам.

Первая глава посвящена созданию алгоритма, который позволяет автоматически строить нейтральные кривые устойчивости на двумерной плоскости параметров для физических процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с производными высоких порядков.

Предлагается алгоритм, в основе которого находится решение уравнения тах{ъ,а) = О, где Хтах ищется с помощью метода RBS (метода нахождения границ спектра комплексной матрицы отдельно по действительной и мнимой частям собственных значений [17]). В результате реализации алгоритма строится нейтральная кривая устойчивости на двумерной плоскости параметров (в,а), отделяющая устойчивый режим протекания процесса от неустойчивого, при этом устойчивый режим характеризуется наличием в спектре исходной задачи только отрицательных собственных значений.

Результаты применения данного алгоритма к исследованию зависимости устойчивости процесса бриллюенового течения плазмы от действительных параметров айв приведены в § 1.2 главы 1.

При рассмотрении отдельного плазменного шнура амплитуда возмущения магнитного поля приближенно описывается уравнением четвертого порядка, зависящим от действительных параметров айв,

2 Л { J2tt(\ Л Л б

-th'x\^^-a2V(x)+-^V(x)\=-XV(x), О<x<L,

У dxz 4 7 ch2x j ch2x dxA V'(o)=V'"{o)=Q, V(L)=V(L\ где \ - собственное значение [6].

В пункте 1.2.2 доказано, что все собственные значения задачи являются действительными. При этом возмущение магнитного поля для бриллюенового течения плазмы со временем затухает, если все собственные значения задачи меньше нуля. Если существует хотя бы одно положительное собственное значение, то возмущение поля растет, и процесс является неустойчивым. Задача решается разностным методом, для уравнения построена разностная схема.

Приведенные в п. 1.2.5 главы 1 результаты расчетов показывают, что предложенный метод позволяет уверенно отыскивать собственные значения, отвечающие за устойчивость в широком спектре параметров. При этом нет необходимости решать полную проблему собственных значений, что существенно экономит время расчетов. Кроме того, экономия оперативной памяти ЭВМ, присущая данному методу, позволяет брать довольно мелкие сетки, что, в свою очередь, не требует использования весьма сложных схем высокого порядка точности.

В главе 2 диссертации для решения частичной проблемы для задачи на собственные значения с нелинейным вхождением функции вида

Л(у)у=Ху, где у={у] ,--,yNj } - вектор размерности (iV-1), А{у) - матрица, элементы aij которой нелинейно зависят от компонент вектора у, предложен и численно исследован следующий алгоритм: у"+,=у"+тЛ"у", у0 - задано,

-У,у") х= Ф-.г) ' здесь А" — матрица, элементы которой нелинейно зависят от вектора у", найденного на и-ом шаге, т - итерационный параметр, п - номер итерации. Первый итерационный процесс основан на явном методе простой итерации, второй - на отношении Релея. Итерационный процесс прерывается при выполнении условия max y"+l - у" < в. Хотя решается частичная проблема, но нас интересуют различные моды. Предложенный метод особенно эффективен для разреженных матриц, поскольку он сохраняет разреженность в процессе вычислений.

В §2.2 Главы 2 приведены результаты применения алгоритма к численному исследованию задачи на собственные значения с нелинейным вхождением собственного вектора, имеющей известное аналитическое решение [34]. d2U 1 fdU -+ dx2 U dx

-XU, О <x<L, i u{o)=u(l)=o.

Для модельной задачи построены две различные разностные схемы со вторым порядком аппроксимации. В схеме первого вида аппроксимации матрица а является несимметричной, во второй схеме - симметричной. Численно находятся различные собственные значения (например, первое, второе, третье, десятое) и соответствующие собственные векторы. Исследования показали, что разница между решениями, полученными при различной аппроксимации матрицы а, меньше погрешности вычислений. При этом скорость сходимости в случае несимметричной матрицы больше.

Численные исследования показали, что предложенный алгоритм сходится к требуемому собственному значению и соответствующему собственному вектору разностной задачи при выполнении некоторых условий:

I. Начальное приближение для итерационных процессов должно иметь структуру, соответствующую точному решению, то есть количество нулей в точном решении у ив начальном приближении у0 должно совпадать. При этом не важна форма начального приближения.

II. Параметр х должен быть меньше некоторого т0. Значение т0 зависит от вида нелинейности элементов матрицы ап и от начального приближения у0. Чем больше особенностей создают функции, входящие в элементы матрицы а", тем меньше должен быть параметр т0. Чем точнее начальное приближение, тем больше может быть итерационный параметр.

Численные расчеты показали, что сходимость метода немонотонная. Но во всех сделанных расчетах при приближении к точному решению метод всегда начинает сходиться монотонно.

Исследования показали, что с уменьшением шага разностной сетки погрешность заметно уменьшается. Таким образом, уменьшая шаг разностной сетки, можно получить решение с необходимой точностью.

В третьей главе диссертации с помощью предложенного алгоритма частично решены две нелинейные физические задачи, возникающие при исследовании процесса передачи информации лазерным излучением: задача распространения фемтосекундного импульса в среде с кубичной нелинейностью [28,30,38-40,54] и задача самовоздействия светового импульса в фотонном кристалле [55]. Первая задача зависит от двух действительных параметров е и ос, где s - диэлектрические проницаемости слоев, а а характеризует кубичную нелинейность отдельного слоя. Вторая задача зависит от парметров а и у, где а - отношение начальной мощности импульса к характерной мощности самовоздействия, у - коэффициент, характеризующий скорость изменения нелинейной поляризации. На плоскости действительных параметров для каждой задачи построены области существования решений определенного типа.

Проблема построения решений для таких задач актуальна в связи с задачами передачи информации по оптическим волокнам. В этом случае решение (солитон) распространяется без пространственных искажений.

В первом случае процесс распространения фемтосекундного импульса в слоистой среде с учетом кубичной нелинейности описывается следующим уравнением (уравнение записано в виде, предложенном в работе [55]): т т ^ 2 T т e(z)— + iD—r + i$s(z)u + ia(z)\u\2u = 0, 0 <z<L, t> 0,

8U dt dz

U(0,t)=U(L,t)=0, t> 0, t/(z,0)=t/0(4 0 <z<L, где e и a - действительные параметры.

Безразмерное уравнение, описывающее второй процесс, имеет вид: где а и у - действительные параметры.

Математическая постановка определяется дифференциальными операторами второго порядка с нелинейным вхождением функции. В том и другом случае нелинейность кубичная, но во второй задаче существуют производные от кубичной функции. Таким образом, вторая задача сложнее. И в той и в другой задаче на плоскости параметров необходимо определить области существования решения специального вида.

При поиске решений уравнений в специальном виде соответственно для задач (2) и (3) получаем новые задачи на собственные значения, зависящие от двух действительных параметров (а и е - для задачи (2), а и у - для задачи (3)):

0<t<L, z>0

U (z,0)=C/(z, Z)=0, u(o,t)=uM

3)

U{z,t)=A(z)eiXt, U(z,t)=A(t)eiX\

-$A--\A\2 A = 1A, 0<z<L, 8

4) a(o)=a(l)=o. ф+а\А\2A-iya— (\А\2а]=~ХА, 0<t<L, < dt2 1 1 at" ' (5) a(o)=a(l)=o,

Для существования решения специального вида необходимо, чтобы собственные значения задач (4) и (5) были действительными и положительными. Для первой задачи можно проверить, что все собственные значения всегда действительные, умножив уравнение (4) на комплексно сопряженную функцию и проинтегрировав его на отрезке от О до L. Но для задачи (5), сделав то же самое, приходим к условию действительности собственного значения, следовательно, к условию существования решения необходимого типа: а\2a) A*dt=)\A\2 А(А*)dt=0, о о г где (а4) - производная по t сопряженной к А функции. В §3.2 это условие проверено при численных расчетах, и оно всегда выполняется в тех случаях, когда существует решение требуемого вида. В силу сложности уравнений мы не можем проверить аналитически знак собственного значения. Дальнейшее аналитическое исследование дифференциальных задач в общем случае не представляется возможным.

Задачи (4) и (5) решались разностным методом, который позволяет, проведя аппроксимацию второго порядка, свести их к алгебраической задаче на собственные значения с нелинейным вхождением собственного вектора. Задача решалась на равномерной сетке, хотя можно решать и на неравномерной. Для решения использовался алгоритм, предложенный и численно исследованный ранее в главе 2.

Заметим, что сходимость итерационного процесса во всех процессах немонотонная, при этом во всех расчетах монотонность появляется при приближении к точному решению.

Для первой задачи показано, что решение существует для всех а < 0 и имеет одинаковую форму. Для задачи распространения фемтосекундных световых импульсов в среде с кубичной нелинейностью на примере первого собственного вектора построены кривые, разделяющие области, где формы решений подобны. Решение может быть трех видов. В области I решение является солитоном с одной вершиной! В области II характерной чертой эволюции формы решения является наличие однородного участка вблизи его центра. Для параметров из области III характерное распределение модуля собственного вектора, имеющего минимальную действительную часть, имеет две и больше вершин.

Также для рассмотренных задач численно найдены второе и третье собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Характерной чертой эволюции формы волны является появление соответственно двух и трех симметричных волн. Исследования показали, что с увеличением длины отрезка лапки каждой волны увеличиваются одинаково, и волны раздвигаются.

Заключение

Таким образом, в диссертации получены следующие результаты:

1. Предложен алгоритм решения частичной проблемы для задачи на собственное значение с нелинейным вхождением собственной функции, который был протестирован на модельной задаче, имеющей аналитическое решение, что позволяет сделать методические указания по применению алгоритма для расчета отдельных мод и соответствующих им собственных чисел.

2. С помощью предложенного метода найдены стационарные (в смысле неизменности их распределения интенсивности) решения задачи распространения фемтосекундного импульса в световоде со слабой кубичной нелинейностью и задачи самовоздействия светового импульса в фотонном кристалле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9-16,44].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Дорохова, Татьяна Владимировна

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9-16,44].

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Савенковой Надежде Петровне за постановку задачи, доброжелательное отношение и постоянную помощь в работе.

Выражаю глубокую признательность профессору Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постановку прикладных задач и ценные рекомендации.

Сердечно благодарю профессора Гулина Алексея Владимировича за внимание к работе и многочисленные обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертации получены следующие результаты:

1. Предложен алгоритм решения частичной проблемы для задачи на собственное значение с нелинейным вхождением собственной функции, который был протестирован на модельной задаче, имеющей аналитическое решение, что позволяет сделать методические указания по применению алгоритма для расчета отдельных мод и соответствующих им собственных чисел.

2. С помощью предложенного метода найдены стационарные (в смысле неизменности их распределения интенсивности) решения задачи распространения фемтосекундного импульса в световоде со слабой кубичной нелинейностью и задачи самовоздействия светового импульса в фотонном кристалле.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дорохова, Татьяна Владимировна, 2001 год

1. Абрамов A . A . , Юхно Л.Ф. Метод решения нелинейной самосопряженной спектральной задачи для ОДУ второго порядка со связанными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 1999, Т.35, №2, стр. 206-211.

2. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М., 1996.

3. Амосов A .A. , Борисов А.Б., Валединский В.Д., Владимиров М.В.,Жилейкин Я.М., Злотник A.A. , Кузьмина М.А. О наборе стандартных программ решения задач нелинейной оптики. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1982, №3, стр. 756-758.

4. Ахманов А., Выслоух В.А., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундныхлазерных импульсов. М, 1988.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, 1975.

6. Гордеев A.B. , Гулин A.B. , Савенкова Н.П., Яковлева C A . Обустойчивости бриллюенового течения электронов. Препринт ИПМ АН СССР, 1975, №95.

7. Гулин A.B. , Дроздова О.М., Картышов С В . Итерационный методрешения задачи на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. Препринт ИПМ АН СССР, 1986, №137.

8. Гулин A.B. , Дроздова О.М., Яковлева C A . О численном решенииодной нелинейной спектральной задачи. Препринт ИПМ АН СССР, 1985, №117.

9. Дорохова Т.Е., Савенкова Н.П. Численный алгоритм нахождения нуляв спектре матрицы, зависящей от параметров. IV Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г.Пущино, 1997, стр. 97-100.

10. Дорохова Т.В., Савенкова Н.П,, Трофимов В.А. Численноемоделирование солитонов сложной временной формы импульсов фемтосекундной длительности. V i l Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г.Дубна, 2000, стр. 393-402.

11. Дорохова Т.Е., Савенкова Н.П., Трофимов В.А, Численный алгоритмрешения спектральных задач, возникающих при математическом моделировании фемтосекундных импульсов в нелинейных средах. Труды ф-та ВмиК МГУ им. М.В.Ломоносова. 2000, №6, в печати,

12. Дорохова Т.В., Савенкова Н.П., Трофимов В.А. Численноемоделирование сложной временной формы импульсов фемтосекундной длительности. Журнал вычислительной математики и математической физики, в печати.

13. Захарчук В.Т., Савенкова Н.П. Неявные схемы в алгоритмеопределения границ комплексного спектра. Вестник Московского Университета, сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика, 1994, №2, стр. 66-69.

14. Захарчук В.Т., Савенкова Н.П. О локализации спектра задач насобственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1990, Т.ЗО, №5, стр. 780-782.

15. Иванов В.А., Самерханов Р.З. К решен!^ нелинейной проблемысобственных значений в задачах математической физики. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1991, Т.31, №9, стр. 1410-1414.

16. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическоемоделирование в нелинейной оптике. Издательство Московского Университета, 1989.

17. Картышов С В . Численный метод решения задачи на собственныезначения с нелинейным вхождением спектрального параметра для разреженных матриц. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1989, Т.29, №12, стр. 1898-1903.

18. Картышов С В . , Юхно Л.Ф. О некоторых модификациях методаНьютона для решения нелинейной спктральной задачи. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1993, Т.ЗЗ, №9, стр. 1403-1409.

19. Коротеев Н.И., Шумай И.Л. Физика мощного лазерного излучения.М., 1991.

20. Кублановская В.H. О применении метода Ньютона к определениюсобственных значений матриц. ДАН СССР, 1969, Т. 188, №5.

21. Лэмм Жорж. Введение в теорию солитонов. М. Наука, 1997.

22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М. Наука. 1980.

23. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решенийразностных схем. М. Наука, 1979.

24. Никитенко К.Ю., Трофимов В.А. Инварианты встречноговзаимодействия фемтосекундных световых импульсов. Известия вузов. Радиофизика, 1999, T.XLII, №5, стр. 475-478.

25. Николаев Е.С., Самарский A . A . Методы решения сеточныхуравнений. М. Наука, 1978.

26. Николаичев А.Н., Савенкова Н.П., Трофимов В.А. О численномрешении одной нелинейной спектральной задачи. V I Международная конференция «Математика. Компьютер, рбразование», г.Пупцино, 1999, стр. 278-282.

27. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решениянелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., Мир, 1975.

28. Рождественский Б.Д., Яненко H.H. Системы квазилинейныхуравнений. М., Наука, 1978.

29. Самарский A .A . Теория разностных схем. М. Наука. Главная редакцияфиз-мат. литературы, 1977.

30. Самарский A.A. , Гулин A.B . Численные методы. М., Наука. Главнаяредакция физ.-мат. литературы, 1989.

31. Соловьев С И . Метод конечных элементов для симметричных задач насобственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1997, Т.37,№11,стр. 1311-1318.

32. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике ирадиофизике. М. 1988.

33. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.Наука. 1972.

34. Трофимов В.А. Инвариант распространения фемтосекундныхимпульсов в нелинейной поглощающей среде. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998, Т.38, №12, стр. 2055-2059.

35. Трофимов В.А. Инварианты распространения фемтосекундныхимпульсов. Известия вузов. Радиофизика, 1999, T.XLII, №4, стр. 369-372.

36. Трофимов В.А. О новом подходе к моделированию нелинейногораспространения сверхкоротких лазерных импульсов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998, Т.38, №5, стр. 835-839.

37. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая пробкейа собственных значений.М., Наука, 1970.

38. Amann Н. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems inordered Banach spaces. Siam Review, 1976, V . 18, pp. 620-709.

39. Berger M.S. A n eigenvalue problem for nonlinear elliptic partialdifferential equations. Transactions of the A.M.S. , 1965, V.120, pp. 145-184.

40. Eydeland A. , Spmck J., Turkington B. Multiconstrained variationalproblems of nonlinear eigenvalue type: new formulations and algorithms. 1.formatics of computation, V.55, N192, 1990, pp. 509-535.

41. Georg Kurt. On the convergence of an inverse iteration method fornonlinear elliptic eigenvalue problems. Numerische Mathematik, 1979, V.32, pp. 69-74.

42. Hagenow K.U.V. , Lackner K. On the numerical solution of M H Dequilibrium with axisymmetry. Proc. Third Intern. Symposium on Toroidal Plasma Confinement, Garching, 1973.

43. Lackner K. Computation of ideal M H D equilibria. Computer PhysicsCommunications, 1976, 12, pp. 33-44.

44. Meyer-Spasche R. Numerical treayment of Dirichlet problems with severalsolution. ISNM 31 Birkhauser Verlag, Basel and Stuttgart, 1976.

45. Necas I. Approximation methods for finding critical points of evenfunctionals. Trudy Matem. Inst. A .N . SSSR, 1975, 134, pp. 235-239.

46. Neumaier A . Residual inverse iteration for the non-linear eigenvalueproblem. SIAM J. Numer. Anal , 1985, V.22, m, pp. 914-923.

47. Rabinowitz P.H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalueproblems. Indiana Univ. Math. Journal, 1974, 23, pp. 729-754.

48. Ruhe Axel. Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem. SIAM J.Numer. Ana l , 1973, V.IO, №4, pp. 674-690

49. Trofimov V .A . New approach to numerical simulation of femtosecondpulse propagation in a nonlinear medium based on conservation laws. Physics of Vibrations. 1998. V.6, N4, pp. 302-309.

50. Trofimov V .A . New approach to numerical simulation of femtosecondpulse propagation in photonic crystal. Laser Physics and Spectroscopy. In proceedings of SPIE. 2000, V.4002, pp. 28-33.

51. Yongqing L i . On nonlinear eigenvalue problems and critical point theory/ for indefinite functional. Matematiska Institutionen Stockholms Universitetet. 1997.

52. Yongqing L i . Three solutions of a semilinear elliptic eigenvalue problem.Dept. of Math, Univ. of Stokholm. Preprint 1993.