Математическое моделирование упругих плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Сухотерин, Михаил Васильевич

• Сухотерин, Михаил Васильевич
• доктор технических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор технических наук Сухотерин, Михаил Васильевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОВРЕМЕННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1.0 моделях Кирхгоффа и Рейсснера.

1.2.Анализ известных численных методов моделирования прямоугольных пластин с защемлено-свободными краями.

2. МЕТОД СУПЕРПОЗИЦИИ ИСПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ КОНСОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФФА.

2.1 .Постановка задачи для произвольной поперечной нагрузки.

2.2.Определение прогиба равномерно нагруженной пластины.

2.3.Анализ решения задачи.

2.3.1 .Исследование сходимости полученных рядов.

2.3.2.Исследование сходимости итерационного решения.

2.3.3.0 концентрации напряжений на концах заделанного сечения.

2.4.Примеры компьютерных расчетов НДС консольных пластин.

2.5. Случай произвольной поперечной нагрузки.

2.5.1.Полиномиальная нагрузка.

2.5.2.Произвольная симметричная нагрузка.

2.5.3.Произвольная нагрузка (несимметричный изгиб).

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОМЕРНО НАГРУЖЕННОЙ КОНСОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ РЕЙССНЕРА МЕТОДОМ СУПЕРПОЗИЦИИ.70'

3.1 .Постановка задачи.

3.2.Построение решения.

3.3.Сводка основных формул и алгоритм численной реализации итерационного процесса решения задачи.

ЗАИсследование сходимости рядов для прогибов и функций напряжений.

3.5.Исследование сходимости итерационного решения.

3.6.Исследование сходимости рядов для изгибающих моментов в заделанном сечении пластины.

3.7.Численные результаты.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФФА МЕТОДОМ СУПЕРПОЗИЦИИ.

4.1.Постановка задачи для равномерной нагрузки и построение решения.

4.2. Анализ решения задачи. Доказательство сходимости итерационного процесса.

4.3. Численные результаты.

4.4. Постановка задачи и построение решения для гидростатической нагрузки.

4.5. Анализ решения задачи для гидростатической нагрузки.

4.6. Численные результаты.

5.МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ РЕЙССНЕРА.

5.1.Постановка задачи и построение решения.

5.2.Анализ решения задачи. Доказательство сходимости итерационного процесса.

5.3.Численные результаты.

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН КИРХГОФФА ПРИ ДРУГИХ УСЛОВИЯХ ОПИРАНИЯ ПО КРАЯМ.

6.1. Прямоугольная пластина, три края которой защемлены, а четвертый свободен.

6.1.1 Постановка задачи, построение решения и его анализ.

6.1.2. Результаты численных расчетов.

6.2. Прямоугольная пластина, два противоположных края которой защемлены, а два других свободны.

6.2.1. Постановка задачи, построение решения и его анализ.

6.2.2. Результаты численных расчетов.

7. МОДИФИКАЦИЯ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА КАНТОРОВИЧА И МЕТОДА ОДНОРОДНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ КОНСОЛЬНЫХ ПЛАСТИН.

7.1.Формулировка вариационной задачи.

7.2. Метод Канторовича в задаче изгиба пластины постоянной толщины.

7.2.1.Первый способ решения.

7.2.2.Второй способ решения.

7.3. Метод Канторовича решения задачи изгиба консольной пластины переменной толщины.

7.4.0 соотношении обобщенной ортогональности.

7.5.0днородные решения и трансцендентное уравнение задачи для консольной пластины.

7.6,Определение коэффициентов в однородных решениях методом наименьших квадратов.

7.7.Определение коэффициентов в однородных решениях минимизацией работы краевых невязок.

8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

ПРИ ИЗГИБЕ.

8.1. Основное решение для ортотропной пластины.

8.2. Ребристая пластина.

8.2.1. Расчетные формулы. Вычислительный алгоритм.

8.2.2. Примеры расчета ребристых пластин.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование упругих плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций»

1. Актуальность проблемы. Проблема оценки параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) прямоугольных пластин при изгибе поперечной нагрузкой возникает в различных областях техники, в том числе в судостроении и гидротехническом строительстве. Особую значимость она приобретает при создании уникальных по своей сложности и размерам сооружений. Стремление избежать возможных техногенных катастроф предъявляет повышенные требования к математическому моделированию поведения отдельных элементов и конструкции в целом, к созданию новых численных и численно-аналитических методов расчетов их на прочность и долговечность, к созданию комплексов программ для их реализации. Многие приближенные теории и методы решения краевых задач требуют уточнения, анализа достоверности полученных результатов. Создание новых численно-аналитических методов позволяет выявить особенности поведения элементов конструкций в опасных точках, где возможны концентрации напряжений. Особый интерес для исследования представляют пластины, у которых либо все грани защемлены, либо защемлены три, две или одна, а остальные свободны, для которых не получены точные решения в замкнутом виде. В виде пластин, жестко защемленных по одному краю (консольных пластин), выполняются отдельные элементы в конструкциях судов, гидротурбин, самолетов, а также режущий инструмент ряда технологических операций в машиностроении. Консольная пластина (плита) переменной толщины принимается в качестве начальной математической модели для монолитных крыльев самолетов и судов на подводных крыльях и на воздушной подушке, для лопаток гидротурбин и лопастей судовых винтов, зубьев зубчатых передач, стен шлюзовых камер и т.п. Силовой набор корпуса судна, плоских затворов ГЭС и других гидросооружений разделяет обшивку на прямоугольные (чаще квадратные) элементы, которые можно считать пластинами, защемленными по всем четырем граням под действием гидростатической нагрузки. Большой интерес представляют пластины (панели), подкрепленные ребрами жесткости (ребристые ортотропные пластины). Это, прежде всего, судовые переборки с частым расположением ребер по обе стороны обшивки, способные выдержать давление воды как с одной, так и с другой стороны, днищевые перекрытия судов типа двойного дна и т.д. Расчетной математической моделью судовой обшивки из синтетических материалов можно также считать ортотроп-ную пластину. Расчетной моделью плоских стенок различных резервуаров, подпорных стен, палубных и строительных перекрытий с одной свободной кромкой является прямоугольная пластина, три края которой защемлены, а четвертый свободен. Плиты с двумя защемленными и двумя свободными краями используются для перекрытий мостового типа.

Современный этап развития судостроения характеризуется появлением судов новых конструктивных типов, использованием при их строительстве новых конструкционных материалов, новых более прогрессивных технологических процессов изготовления отдельных элементов, стремлением к снижению материалоемкости. По этой причине существовавшие ранее приближенные методы оценки прочности корпуса судна и его элементов оказываются часто недостаточно точными. Становится необходимым использование для анализа НДС судовых и гидротехнических конструкций новых современных методов математического моделирования, ориентированных на широкое применение компьютерных вычислений.

Математические модели поведения пластин конечных размеров с за-щемлено-свободными краями при изгибе приводят к весьма сложным краевым задачам математической физики, не имеющим точного решения в замкнутой форме. Особенно сложна задача изгиба консольной пластины, так как граничные условия на свободных кромках содержат частные производные второго и третьего порядков. Этим объясняется сравнительно малое количество публикаций по расчету консольных пластин. Причем, часть из них либо вовсе не содержит численных результатов, либо трудно судить об их близости к точному решению задачи. Весьма сложной проблемой является расчет анизотропных пластин и, в частности, подкрепленных ребрами жесткости. Классическая теория тонких пластин (модель Кирхгоффа) не учитывает влияния деформации поперечного сдвига на изгиб, что может заметно сказываться на НДС вблизи контура пластины (особенно в окрестности точек, где происходит резкая смена граничных условий) и точек приложения сосредоточенных сил. Уточненная теория пластин (модель Рейсснера), применяемая для пластин (плит) конечной толщины еще более усложняет указанные задачи, так как приводит к двум (вместо одного) дифференциальным уравнения изгиба и еще более сложным граничным условиям. Серьезных работ по уточненной теории указанных видов пластин, доведенных до численных результатов,- не много.

Отметим, что многие исследователи отдают предпочтение методу конечных элементов (МКЭ), считая его универсальным и надежным методом математического компьютерного моделирования. Однако он эффективен для нахождения приближенных решений краевых задач. Желая получить более точное решение исследователи дробят сетку конечных элементов, что приводит к «запиранию» вычислительного процесса, когда матрица системы линейных уравнений становится плохо обусловленной, и малейшие погрешности вычисления коэффициентов матрицы (компьютерное округление) приводят к обратному результату - ухудшению точности решения краевой задачи. Обусловленность системы ухудшается при отклонении формы элементов от правильных многоугольников, а таюке при применении МКЭ к дифференциальным уравнениям более высоких порядков. Поэтому по-прежнему актуальны аналитические методы исследования (в сочетании с численными), когда полученное решение можно проверить подстановкой во все условия задачи. Именно такие методы используются в данной работе.

Заметим также, что использование МКЭ предполагает его проверку на «эталонных» задачах, т.е. тех, для которых получено точное аналитическое решение или, как в данном случае, сколь угодно близкое к точному.

2. Цель работы и задачи исследования. Целью настоящей работы является развитие методов математического моделирования поведения плоских элементов конструкций и повышение точности их расчетов.

Задачи исследования:

1) построение численно-аналитического итерационного метода суперпозиции исправляющих функций, который позволяет получить решение для прямоугольных пластин Кирхгоффа и Рейсснера с защемлено-свободными краями (гладких и ребристых) с любой точностью;

2) доказательство сходимости итерационных решений к точным решениям;

3) получение достоверных численных результатов об изгибе указанных пластин по обеим теориям;

4) представление численных результатов в табличной и графической форме в качестве справочного материала при проведении проектными организациями типовых инженерных расчетов плоских элементов металлоконструкций;

5) сравнение результатов, полученных по классической и уточненной теориям, и анализ области применимости этих теорий;

6) теоретическое и численное исследование на этой основе возможностей предложенной модификации вариационного метода Канторовича и метода однородных решений применительно к расчету НДС консольных пластин постоянной и переменной толщины;

7) использование метода суперпозиции исправляющих функций для моделирования изгиба защемленных гладких и ребристых анизотропных пластин.

3. Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются упругие плоские элементы судовых и гидротехнических конструкций и, в частности, прямоугольные пластины (плиты) с защемлено-свободными краями под действием поперечной нагрузки. Предмет исследования - методы математического моделирования поведения указанных элементов, обеспечивающие необходимую точность расчетов.

4. Математический аппарат исследования. В данной работе использовались: аппарат дифференциального и интегрального исчисления функции одной и нескольких переменных; теория числовых рядов и рядов Фурье; теория бесконечных систем алгебраических уравнений; методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; теория пределов.

5. Научная новизна. В настоящей работе предложен итерационный метод суперпозиции исправляющих функций, позволяющий получить с помощью достаточно простого алгоритма решение с любой точностью для широкого круга задач теории пластин. Он может быть использован как метод математического моделирования и для решения других задач математической физики. Этим методом исследовались прямоугольные консольные пластины под действием равномерной нагрузки в рамках классической теории (Кирхгоффа) и уточненной теории (Рейсснера) Подобные задачи решены также для защемленной по всему контуру пластины (изотропной и ортотроп-ной). Дано обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки. Предложенным методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба пластин Кирхгоффа с тремя защемленными и одной свободной кромками, а также с двумя защемленными и двумя свободными кромками. Доказана сходимость итерационного процесса к точному решению для всех указанных задач. Предложено видоизменение вариационного метода Канторовича, основанное на точном выполнении граничных условий на защемленной и противоположной ей свободной кромках консольной пластины Кирхгоффа. Получены численные результаты расчетов напряженно-деформированного состояния указанных пластин.

6. Основные новые результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

1) итерационный метод математического моделирования для решения широкого класса задач изгиба прямоугольных пластин с защемлено-свободными краями, - метод суперпозиции исправляющих функций,- позволяющий получить решение с любой точностью для произвольной поперечной нагрузки;

2) приложения указанного метода для исследования изотропных и ортотроп-ных пластин как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации поперечного сдвига;

3) алгоритм численной реализации метода;

4) доказательство сходимости итерационного процесса к точному решению для каждой из указанных задач;

5) численные результаты расчетов НДС пластин под действием равномерной и гидростатической нагрузки, представленные в виде таблиц и графиков;

6) обобщение метода на случай произвольной поперечной нагрузки на примере консольной пластины Кирхгоффа;

7) модификация вариационного метода Канторовича для расчета консольной пластины Кирхгоффа с постоянной и линейно изменяющейся толщиной;

9) исследование практической применимости метода однородных решений для более высоких приближений при изгибе консольной пластины постоянной толщины;

10) аналитическое и численное доказательство того, что в точках перехода от защемленного края к свободному изгибающие моменты бесконечны в рамках моделей Кирхгоффа и Рейсснера (концентрация напряжений).

7. Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы нашли практическое применение во ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, в СПКТБ «Ленгидросталь», в Центре технологии судостроения и судоремонта (ЦТСС) для расчетов НДС элементов гидротехнических и судовых конструкций; в СПГУВК они используются при подготовке специалистов по направлению «Прикладная математика и информатика».

8. Апробация работы. Основные положения работы представлялись на научных семинарах кафедры математики и кафедры прикладной математики СПГУВК; на Всероссийской НМК СПГУВК 1994 г.; на XI С.Петербургской международной конференции «Региональная информатика»

СПОИСУ 2008 г.; на международной научно-практической конференции «Водные пути России: Стр-во, эксплуатация, управление», СПГУВК, 2009 г.

9. Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в научно-технических изданиях. Всего опубликовано 26 работ, из них 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для докторантов; одна монография; одно изобретение; 3 статьи в материалах всероссийских и международных конференций; 4 статьи в ведущих изданиях СССР; 9 работ в других изданиях. Полный перечень работ приведен в конце списка литературы. Наиболее значимые работы:

1) Prokopov V.K., Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket - J. International Applied Mechanics, New York, 1978, Vol.14, No. 5, pp. 537-540;

2) Сухотерин M.B. Решение задачи изгиба прямоугольной консольной пластины переменной толщины методом Канторовича - Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 251, с. 71 -76;

3) Сухотерин М.В. К расчету плоских элементов гидрозатворов на гидростатическую нагрузку — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 252, c.l 11 -120;

4) Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига - Вестник Самарского гос. аэрокосмического ун-та им. акад. С.П.Королева, 2008, № 1(14), с. 174-180.

5) Сухотерин М.В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС.- Гидротехническое строительство, 2009, № 7, с. 47-49.

6) Сухотерин М.В. Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки.— Научно-технические ведомости СПбГПУ, Информатика, телекоммуникации, управление, 2009, № 4 (82), с. 101-106.

7) Сухотерин М.В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем- Гидротехническое строительство, 2009, № 10, с.51-56.

8) Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физ.-мат. науки», 2009, № 4 (88), с. 19-24.

9) Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. (Монография). С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с.

10. Структура и объем работы. Диссертация представлена в форме рукописи, состоящей из введения, 8 глав и заключения. Объем рукописи- 300 стр., в том числе 79 рисунков, 66 таблиц и список использованных источников из 145 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сухотерин, Михаил Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена построению математических моделей поведения широкого класса прямоугольных в плане изотропных и ортотропных пластин (плит) с защемлено-свободными краями под действием распределенной поперечной нагрузки как элементов судовых и гидротехнических конструкций. Задачи решались как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации перечного сдвига на изгиб.

Получены следующие результаты:

1) предложен метод суперпозиции исправляющих функций для решения широкого круга задач математической физики, позволяющий получить решение с любой точностью;

2) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи для широкого диапазона коэффициентов Пуассона;

3) показана пригодность для вычисления на ЭВМ рядов, представляющих изгибающие моменты в заделанном сечении пластины. Приведены результаты вычислений изгибающих моментов в этом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными приближенными решениями и экспериментальными данными. Вблизи концов заделки изгибающие моменты убывают до -оо (в рамках данной теории), т.е. имеет место концентрация напряжений;

4) дано обобщение метода суперпозиции на случай распределенной поперечной нагрузки, заданной в виде некоторого полинома по координате у, а также на случай произвольной поперечной нагрузки, представимой двойным рядом Фурье;

5) решена задача изгиба консольной пластины Рейсснера под действием равномерной поперечной нагрузки итерационным методом суперпозиции исправляющих функций. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

6) установлено резкое перераспределение напряжений вблизи концов заделанного сечения, где изгибающие моменты, убывая, достигают минимума, а затем (в рамках данной теории) растут до бесконечности, которая имеет знак плюс, в отличие от классической теории;

7) приведены результаты вычислений изгибающих моментов в корневом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей 0,1 результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. С ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера;

8) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по всем граням прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

9) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для защемленных пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными решениями;

10) тем же методом решена задача изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием гидростатической нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи. Приведены результаты вычислений прогибов и моментов для пластин с различным отношением сторон;

11) решена задача изгиба защемленной по всему контуру прямоугольной пластины Рейсснера постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения итерационного процесса. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи;

12) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей ОД результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. С ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера, особенно для изгибающих моментов вблизи защемленных граней;

13) методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба прямоугольных пластин Кирхгоффа с тремя и двумя защемленными краями (остальные свободные). Доказана сходимость итерационных решений, приводятся результаты вычислений, выявлена концентрация напряжений в точках перехода от защемленного края к свободному;

14) предложена модификация метода Канторовича для задачи изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Суть ее состоит в том, что точно удовлетворяются граничные условия на обеих кромках у=соти Для сравнения задача решалась и для обычного подхода, когда точно удовлетворялись лишь геометрические условия заделки. Дано численное сравнение указанных подходов между собой, с методом суперпозиции исправляющих функций, а также с другими известными вариационными методами;

15) вариационным методом Канторовича получено решение задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа с линейно изменяющейся толщиной в направлении, перпендикулярном защемленному краю. Приведены численные результаты расчетов прогибов и изгибающих моментов при удержании трех слагаемых в выражении функции прогибов;

16) равномерно нагруженная консольная пластина Кирхгоффа исследовалась также методом однородных решений. Коэффициенты однородных решений определялись двумя способами: способом наименьших квадратов и способом минимизации работы краевых невязок. Прогибы и моменты вычислялись для первых семи корней трансцендентного уравнения задачи. Показана неустойчивость метода из-за погрешностей вычислительного процесса, что требует увеличения количества значащих цифр во всех вычислениях;

17) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по контуру ортотропной пластины. В частном случае рассмотрена ребристая пластина с ребрами жесткости в двух направлениях при частом их расположением. Приведены результаты расчетов прогибов, изгибающих моментов и напряжений;

18) составлены подробные таблицы значений прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил, которые могут служить справочным материалом для проектных организаций при проведении основных и поверочных расчетов НДС плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций. При применении других приближенных методов (например, МКЭ) для решения более сложных задач эти результаты могут использоваться в качестве эталонных решений.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ:

4,7]) ~ прогиб срединной поверхности пластины;

Ц — координаты точек срединной поверхности пластины; Е — модуль упругости (модуль Юнга); Екг

О = -^ - цилиндрическая жесткость пластины; у - коэффициент Пуассона;

Л - толщина пластины; а, Ъ — размеры пластины в плане; или <7 - интенсивность равномерной поперечной нагрузки; х = —, у = — — безразмерные координаты точек срединной поверхности Ь Ъ пластины; у) = —/в ~ ^езРазмеРнь™ (относительный) прогиб срединной поверхности пластины; а у = — — отношение сторон пластины; у ^ о1 V2 = н--2 •> = —г 4--Т ~~ ДвУмеРные операторы Лапласа;

72 д?]2' ах2 ду3

У2У2 = ~ + 2—^-г- + -^г, У2У2 = + 2—г—т + бигармоничед^дт]2 дт]4 дх4 Эх2ду2 ду4 р ские операторы;

М4, Мп, Мх, Му - изгибающие моменты вдоль соответствующих осей; полные перерезывающие силы в направлениях, перпендикулярных соответствующим осям; БМВ - бесконечно малая величина.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Сухотерин, Михаил Васильевич, 2009 год

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963.

2. Reissner Е., J. Math, and Phys., 1944, v. 23.

3. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates.- J. appl. Mech., 12, 1945, A69-A77.

4. Васильев B.B. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин- Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1997, № 3, с. 150-155.

5. Гольденвейзер A.JI. Замечание о статье В.В.Васильева «Об асимптотическом методе обоснования теории пластин».- Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1997, №4, с. 150-158.

6. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин,- Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1992, № 3, с. 4864.

7. Гольденвейзер A.JI., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теории пластин и оболочек типа Тимошенко— Рейсснера,-Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 1990, № 6, с. 124-138.

8. MacGregor C.W. Deflection of a long helical gear tooth. J. Mech. Engineering, 1935, v. 57, N4.

9. Holl D.L. Cantilever plate with concentrated edge load. J. Appl. Mech., 1937, v. 4, N 1

10. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. Изд-во МГУ, 1958.

11. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. 2. М., Судпромгиз, 1941.

12. Jaramillo T.I. Deflections and moments due to a concentrated load on a cantilever plate of infinite length. J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1950, v. 72, N 1

13. Свердлов А.И. Об одном приеме построения "функции влияния" нагрузки для консольных пластин. В сб. Вопросы прочности и устойчивости элементов тонкостенных конструкций, - Труды Моск. авиац. ин-та, вып. 153, Оборонгиз, 1963.

14. Weber С. Einseiting eingespanner Plattenstreifen mit Einzellast. -Z.angew.Math. und Mech., 1960, 40, N 12

15. О. Аранович В.М., Кудрявцева Г.А. О прямоугольной консольной пластине переменной толщины, нагруженной сосредоточенной силой на свободном крае. Труды Горьк. политехи, ин-та, 1970, т. 26, № 5.

16. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Киев, Изд-во АН УССР, 1952.

17. Варвак П.М., Губерман И.О., Мирошниченко М.М., Предтеченский Н.Д. Таблицы для расчета прямоугольных плит. Киев, Изд-во АН УССР, 1959.

18. Nash W.A. Several approximate analysis of the bending of a rectangular cantilever plate by uniform normal pressure. J. Appl. Mech., 1952, v. 19, N 1.

19. Marcus H. Die Theorie elastischer Gewebe und ihre Anwendung auf die Be-rechung bigsamer Platten. "Second Edition, Julius Springer", Berlin, Germany, 1932.

20. Barton M.V. Finite difference equations for the analysis of thin rectangular plates with combinations of fixed and free edges. Defense Res. Lab. Rept, N 175, Univ. of Texas, Aug. 1948.

21. Livesley R.K., Birchall P.C. Analysis of a loaded cantilever plate subjected to a uniform loading. J. Aero.Sci. 1962, 29, N 2.

22. Cadambe V., Kaul R.K., Tewari S.G. Flexure of thin elastic plates under specified edge tractions. Indian J. Phys., 1955, 29, N 9

23. Coull A., Rao K.S. Analysis of cantilever plates by the linesolution technique. Appl.Sci.Res., v. 18, N 4, 1967

24. Вахитов М.Б., Сафариев M.C. К применению метода прямых для расчета пластин. Труды Казанск. авиац. ин-та, 1972, вып. 143.

25. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Халиулин В.И. Расчет консольных пластин методов прямых. В сб. Вопросы расчета прочности авиац. кон-ций, труды Казанск. авиац. ин-та, 1974, вып. 166.

26. Пугач Е.П. Изгиб плиты-консоли. Труды Ленингр.ин-та инж. жел.-дор. тр-та, 1959, вып. 164.

27. Валов Г.М. Изгиб тонкой прямоугольной консольной пластины произвольно распределенной поперечной нагрузкой. Труды конфер. по теории пласт, и обол. (1960), Казань, 1961.

28. Углицкий Н.Ф. Изгиб консольных плит краевой нагрузкой. В сб. Обработка металлов давлением в машиностроении, 1968, вып.З.

29. Sumió N. On the bending of a rectangular cantilever plate. Proc. Japan Nat. Congr. Appl. Mech. (1958), Tokyo, 1959.

30. Narasimha M.P. Note of the bending of thin elastic, rectangular cantilever plates.-J. Aeronaut.Soc.India, 1964, 16, N 1.

31. Склепус Н.Г. До розрахунку консольних пластин. Доповцц АН УРСР, 1970, А,№ 10.

32. Рвачев B.JL, Курпа JI.B., Склепус Н.Г., Учишвили JT.A. Метод R-функций в задачах об изгибе и колебаниях пластин сложной формы. Киев, "Наукова думка", 1973.

33. Файерберг И.И. Об изгибе консольной пластины. Труды Моск. физи-ко-техн. ин-та, 1961, вып. 7.

34. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., "Наука", 1966.

35. О.Груздев Ю.А., Прокопов В.К. Применение однородных решений к задаче изгиба консольной плиты. Труды Ленингр. политехи, ин-та, 1966, № 266.

36. Прокопов В.К. Задача о стесненном изгибе прямоугольной полосы.-Инженерный сборник АН СССР, 1952, т XI.

37. Журавская О.А., Дьяченко Д.Я. К расчету консольных пластин.- Труды Магнитогорск, горно-металлург. ин-та, 1971, вып. 77.

38. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы. Доклады АН СССР, 1940, t.XXVII, №4.

39. Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев, из-во АН УССР, 1963.

40. Leissa A.W., Niederfuhr F.W. A study of the cantilevered plate subjected to a uniform loading. J. Aero. Sci., 1962, 29, N 2.

41. Петров Ю.П., Лившиц А.Л., Лившиц В.Л. Расчет на изгиб консольной пластины методом граничной коллокации. В сб. Самолетостроение и техника возд. флота, 1967, вып. 12.

42. Анохина С.И. Расчет консольной пластины методом коллокации. Труды Ленингр. ин-та инж. жел.-дор. тр-та, 1968, вып. 287ю

43. Zienkiewicz О.С., Cheung Y.K. The finite element method for analysis of elastic isotropic and ortotropic slabs. Proc. Inst.Civ.Eng., 1964, v. 28, Aug.

44. Bauer F., Reiss E.L. Stresses in cantilever plates. Comput. and Srtuct., 1972, v. 2, pp.675-691.

45. Кушуль М.Я. Об изгибе консольных пластин, очерченных кусочно-гладкими кривыми. Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 10.

46. Szmelter J., Sulikowski Т., Lipinski J. Bending of the rectangular plate clamped at one edge. Arch. Mech.stosowanej, 1961, 13, N 1.

47. Даль Ю.М. Об изгибе упругой консольной пластины переменной толщины. В сб. Расчет пространств, кон-ций. М., Стройиздат, 1974, вып. XVI.

48. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.-М., ГИТТЛ, 1949.

49. Фролов В.М. Применение метода корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин. Труды ЦАГИ, 1957, вып. 705.

50. Рабинский Н.JI. Расчет консольных пластин. В сб. Прочность и устойчивость эл-тов тонкостенных кон-ций. М., "Машиностроение", 1967, Труды Моск. авиац. ин-та, вып. 169.

51. Schürch Н. Zur Statik von dünnen Flugzeugtragflächen. "Leeman A.G., Zürich, 1950.

52. Reissner E., Stein M. Torsion and transverse bending of canilever plates. -NACA, TN, 1951, N2359.

53. Вахитов М.Б. К расчету прочности скошенного крыла монолитной конструкции. Изв. МВО, Авиац. техника, Казань, 1958, № 1.

54. Уманский A.A. Строительная механика самолета. М., Оборонгиз, 1961.

55. Ciencke Е. Zur Festigkeitsberechnung von Tragflügeln kleiner Streckuni mit Hilfe der Plattentheorie. Z. für Flugwissenschaften, 1961, H. 3.

56. Феофанов А.Ф. Строительная механика авиационных конструкций. -Труды Моск. авиац. ин-та, Оборонгиз, 1964, вып. 160.

57. Меркурьев В.И., Горлов К.В. Изгиб консольных пластин с жесткими поперечными сечениями. Труды ЦАГИ, 1969, вып. 1162

58. Stein М., Anderson E.J., Hedgepeth J.M. Deflection and stress analysis of thin solid wings arbitrary plan form with particular reference to delta wings. -NACA, 1953, Rep. 1131.

59. Пласс Г., Гейне Дж., Ньюсом К. Применение вариационного принципа Рейснера к изгибу и колебаниям консольной пластины. Прикл. механика, труды амер. общества инж.-механиков, русс, перевод, серия Е, 1962, т. 29, № 1.

60. Reissner Е. On a variational theorem in elasticity. J. Math, and Phys., 1950,v. 29.

61. Coull AJ. A direct-stress analysis of orthotropic cantilever plates. J. Appl. Mech., ser. E, 1965, 32, N 1.

62. Coull A.J. The direct stress analysis of swept cantilever plates of low aspect ratio. Aircraft Engng, 1965, 37, N 6.

63. Dalley J.W. Experimental values of deflections stresses, and influence coefficients for a thin square plate fixed along one edge. Defense Res. Lab. Rept. N 189, Univ. of Texas, 1948, Nov.

64. Черненко A.C. Численное решение задачи изгиба консольной пластинки методом конечных элементов,- Оптимиз. вычисл. и числ. анализ, Киев, 1980, с. 70-75.

65. Lin Xiao-song, Ynan Wen-bo. Solution of bending of cantilever rectangular plates under uniform surface-load bu the method of two-direction trigonometric series, Инъюн шусюэ хэ лисюэ, Appl. Math, and Mech., 1985, 6, № 8, 735-744.

66. Chen Xiang-sheng. The unsymmetrical bending of cantilever rectangular plates,-Appl. Math, and Mech., 1987, 8, № 11, 1091-1098.

67. Максименко B.H., По дружин Е.Г. Задача изгиба анизотропных консольных пластин,- Динам, и прочн. элементов авиац. конструкций, Новосибирск, 1987, с. 102-107.

68. Yang Xiao, Ning Jian-guo, Cheng Chang-jun. Bending of cantilever plates with the effect of transverse shear deformation,- Appl. Math, and Mech. (Engl, ed.), 1992, 13, № 1, 61-75.

69. Qingzhang Qu, Liang Xingfu. The bending of a rectangular cantilever plate,-Туму гунчэн сюэбао. China Civ. Eng. J., 1991, 24, № 2, 60-67.

70. Lin Xiaosong. A discussion on the direction of curvature of cantilever rectangular plates,- Xiangtan kuangye xueyuan xuebao. J. Xiangtan Mining Inst., 1994, №4, 51-54.

71. Gregory R. Douglas, Gu Charles C., Wan Frederic Y.M. Quart. The cantilever strip of varying thickness and the centre of shear,- J. Mech. and Appl. Math., 2002, 55, № 1, 29^18.

72. Рехвиашвили Г. Точное решение задачи изгиба тонкой прямоугольной консольной плиты в обычных дифференциальных уравнениях,- Мец-ниереба да технол., 2003, № 1-3, с. 55-58.

73. Белубекян М.В., Саноян Ю.Г. Расчет изгиба пластины-консоли,- Изв. АН Армении. Мех., 2004, 57, № 3, с. 11-17.

74. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. СПб, 1914, т. 2.

75. Henecky Н. Der Spannungszustand in rechteckigen Platten. München, 1913.

76. Woltaszak I.A., J. Appl. Mech., 1937, v. 4.

77. Галеркин Б.Г. Упругие тонкие плиты. Госстройиздат, 1933.

78. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л., ГИТТЛ, 1947.

79. Гринберг Г.А., Уфлянд Я.С. Об изгибе прямоугольной пластины с закрепленным контуром под действием произвольной нагрузки — ПММ, 1949, т. 13, №4, С.413 —434.

80. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в теории упругости- М., Изд-во АН СССР, 1963, 347 с.

81. Репман Ю.В. Общий метод расчета тонких плит сб. Пластинки и оболочки, 1939, с. 149-179.

82. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., Госстройиздат, 1958.

83. Даревский В.М., Шаринов И.Л. Новое решение задачи об изгибе защемленной по краям прямоугольной пластинки,- В сб. Успехи механики деформируемых сред, М., Наука, 1975, с. 183- 194.

84. Лурье С.А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру.-МТТ, ТI, 1982, с. 159 168.

85. Lamble J.H., Choudhary J.P. Support reaction stresses and deflections for plates subjected to uniform transverse loading Quart. Trans. Instn. Naval. Archit. 1953, v.95, № 4, p.329-349.

86. Плихунов В.В. К расчету на прочность пластинчатых элементов конструкции,- Прочность, устойчивость и колебания тонкостей, конструкций летательн. аппаратов, М., 1981, с. 6-9.

87. Лурье С.А. Об изгибе пластин, частично защемленных по краю,- Прочность, устойчивость и колебания тонкостей, конструкций летательн. аппаратов, М., 1981, с. 20-24.

88. Hagedoni P. Eine Bemerkung zu schubelastischen Platten mit Klemmschei-denlagerung-Z. angew. Math, und Mech., 1983, 63, № 7, 326-329.

89. Otsu Satoshi, Uchiyama Takeshi, Dobashi Yoshizo. Analysis based on Reiss-ner theory for rectangular plates with all edges built-in-Bull. Fac. Eng. Hokkaido Univ., 1984, 123, 77-89.

90. Assiff Thomas C., Yen David H.Y. On the solutions of clamped Reissner -Mindlin plates under transverse loads,- Quart. Appl. Math., 1987, 45, № 4, 679-690.

91. Sub Weiming, Yang Guangsong. Rational finite element method for elastic bending of Reissner plates,- Appl. Math, and Mech. Engl. Ed., 1999, 20, № 2, 193-199.

92. Белубекян М.В., Саноян Ю.Г. Расчет изгиба жестко закрепленной пластины при равномерной нагрузке по уточненной теории,— Труды 4 Всероссийской научной конференции, ч. 1, Самара, СамГТУ, 2007, с. 42-45.

93. Sistla Rajaram. Error analysis of finite element results on plates with nonuniform gridsAIAA Journal, 1993, 31, № 6, 1075-1076.

94. Bahlmann D., Korneev V.G. A fast solver for the clamped plate problem in a rectangle based on a boundary potentials method,— Ж. выч. мат. и мат. физ., 1996, 36, № 7, с. 174-190 (англ.).

95. Сеницкий Ю.Э. Изгиб тонкой прямоугольной пластины при различных условиях закрепления на контуре,- Изв. вузов. Стр-во, 1998, № 6, с. 18—23.

96. Лычев С.А., Салеев C.B. Замкнутое решение задачи об изгибе жестко закрепленной прямоугольной пластины,- Вестн. Самар.гос. ун-та, 2006, № 2, с. 62-73.9

97. Голоскоков Д.П., Голоскоков П.Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит.- СПб.: СПГУВК, 2008, 254 с.

98. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.-ОГИЗ, ГИТТЛ, М.-Л., 1947, 355 с.

99. Голоскоков Д.П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры- СПб.: СПГУВК, 2006, 270 с.

100. Васильев В.З. Применение метода наложения неполных решений в случае первой основной задачи для полубесконечного цилиндра. В сб. Механика стержневых систем и сплошных сред. Труды Ленингр. инж.-строит. ин-та, 1973, № 73.

101. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции М., Наука, 1977.

102. Абрамян Б.Л. Об одной осесимметричной задаче для сплошного весомого цилиндра конечной длины — МТТ, 1983, № 1, с.55-62.

103. Goriupp.-Ingr.-Arch., 1948, р. 153.

104. Vander Eb W.J.- Ingenieur, 1950, v.26, p. 31.

105. Смотров A.A. Решение плит, нагруженных сплошной нагрузкой по закону трапеции. М.-Л., ОНТИ, 1936.

106. Канторович Л.В. Об одном прямом методе решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, 1933, № 5.

107. Елпатьевский А.Н. К расчету консольных пластинок вариационным методом В.З. Власова. Инженерный сборник, 1960, т. XXVIII.

108. Кац A.M. Теория упругости. М., ГИТТЛ, 1956.

109. Семанов H.A., Варламов H.H., Баланин B.B. Судоходные каналы, шлюзы и судоподъемники, М., «Транспорт», 1970, 352 с.

110. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, М., ГИТТЛ, 1954, 856 с.

111. Рябухо A.M. Проектирование консольных железобетонных и обыкновенных массивных подпорных стен, Изд-во мин. коммун, хоз-ва, 1953, 235 с.

112. Schiff P.A. Sur l'équilibre d'une cylinder élastique. Journ. de math, pures et appliquées. Ser. 3, 1883, 9.

113. Прокопов B.K. О соотношении обобщенной ортогональности Папковича для прямоугольной пластинки. ПММ, 1964, 28, № 2.

114. Китовер К.А. Об использовании специальных систем бигармонических функций для решения некоторых задач теории упругости. ПММ, 1952, т. 16, вып. 6.

115. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полу полосе. ПММ, 1973, т. 37, вып. 4.

116. Устинов Ю.А. О полноте системы однородных решений теории плит. -ПММ, 1976, т. 40, вып. 3.

117. Постнов В.А., Ростовцев Д.М., Суслов В.П., Кочанов Ю.П. Строительная механика корабля и теория упругости, т.2, Л., «Судостроение», 1987.

118. Прокопов В.К., Сухотерин М.В. Вариационный метод решения задачи об изгибе консольной пластины Прикл. механика, АН УССР, 1978, т. 14, № 5, с. 122-127.

119. Prokopov V.K. and Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket J. International Applied Mechanics, New York, 1978, vol.14, No. 5, pp. 537-540.

120. Сухотерин M.B. Итерационный метод решения задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины. Прикл. механика, АН УССР, 1982, Т.18, № 5, с. 121-125.

121. Сухотерин М.В. Об одном методе исследования защемленной по контуру прямоугольной пластины Докл. АН Армянской ССР, 1987, ЬХХХУ, 4, с. 147-151.

122. Сухотерин М.В. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера Прикл. механика, АН УССР, 1990, т. 26, № 7, с. 120 - 124.

123. Сухотерин М.В. Решение задачи изгиба прямоугольной консольной пластины переменной толщины методом Канторовича- Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 251, с. 71 76.

124. Сухотерин М.В. К расчету плоских элементов гидрозатворов на гидростатическую нагрузку — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 252, с.111 120.

125. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П.Королева, 2008, № 1(14), с. 174—180.

126. Сухотерин М.В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС — Гидротехническое стр-во, 2009, № 7, с. 47-49.

127. Сухотерин М.В. Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки,— Научно-технические ведомости СПбГГГУ, Информатика, телекоммуникации, управление, 2009, № 4 (82), с. 101-106.

128. Сухотерин М.В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем Гидротехническое стр-во, 2009, № 10, с.51-56.

129. Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физ.-мат. науки», 2009, № 4 (88), с. 19-24.

130. Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с.

131. Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Задача изгиба прямоугольной консольной пластины Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып.Ш.- с. 172 - 179.

132. Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Численные результаты решения задачи изгиба прямоугольной консольной пластины Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып. III.- с. 179 - 182.

133. Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной пластины, два противоположных края которой защемлены, а два других свободны Журнал университета водных коммуникаций, 2009, вып. IV, с. 193-198.

134. Сухотерин М.В. Изгиб консольной пластины-ВИНИТИ, № 889-77, Деп., 7 с.

135. Сухотерин М.В. Применение вариационного метода к задаче изгиба консольной пластины переменной толщины-ВИНИТИ, № 4012-77, Деп., 13 с.

136. Сухотерин М.В. Однородные решения в задаче изгиба консольной пластины.- ВИНИТИ Деп. 3.06.1983, № 3005 83, 12 с.

137. Сухотерин М.В. Случай произвольной поперечной нагрузки в задаче изгиба консольной пластины.-ВИНИТИ Деп. 25.02.1985, № 1421 85, 6 с.

138. Сухотерин М.В. Задача изгиба прямоугольной консольной пластинки Рейсснера. Материалы Всерос. науч.- метод, конф. С. Петербург, ун та водных коммуникаций. Тез. докл. СПб, 1994, с. 43-45.

139. Голоскоков П.Г., Сухотерин М.В. Приложение теории поля.-Л., ЛИВТ, 1987, 50 с.

140. Коптев A.B., Сухотерин М.В. Элементы математической физики.-СПб, СПГУВК, 2001, 20 с.