Контактные задачи взаимодействия мембраны сложной формы с жестким телом и жидкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Чумарина, Ольга Владимировна

• Чумарина, Ольга Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чумарина, Ольга Владимировна

Введение.

Глава 1. Изгиб мембран сложной формы в линейной постановке.

§ 1Л. Исходные соотношения и гипотезы.

§1.2. Метод компенсирующих нагрузок (НМГЭ) при изгибе мембраны в линейной постановке.

§1.3. Интегральное уравнение изгиба мембраны. Вычисление интегралов по элементам контура.

§1.4. Исследование изгиба многосвязных мембран произвольной формы под действием равномерно распределенной нагрузки.

§1.6. Изгиб полукруглой и кольцевой мембран.

Глава 2. Поиск неизвестной границы контакта мембраны с жестким телом.

§2.1. Методы решения контактных задач.

§2.2 Применение НМГЭ к задачам контакта мембраны с жесткими телами.

§2.3. Поиск границы контакта мембраны произвольной формы с наклонной плоскостью.

§2.4. Построение аналитического решения задачи контакта круглой мембраны с горизонтальной плоскостью.

§2.5. Несимметричный случай взаимодействия круглой мембраны и произвольно приложенного параболического штампа.

§2.6. Аналитическое решение контактной задачи для штампа, приложенного в центре круглой мембраны.

§2.7. Метод локальных вариаций (МЛВ).

§2.8. Применение НМГЭ и МЛВ к поиску областей контакта мембраны с четырехугольной пирамидой.

Глава 3. Изгиб мембран произвольной формы под действием гидростатической нагрузки. Контакт мембран с жидкостью и поршнем.

§3.1. Исходные соотношения.

§3.2. Применение метода компенсирующих нагрузок к исследованию изгиба мембраны произвольной формы как дна сосуда с жидкостью.

§3.3. Мембрана произвольной формы, ограничивающая жидкость сверху.

§3.4. Применение НМГЭ к задачам контакта мембраны произвольной формы с жидкостью и подвижным поршнем.

§3.5. Построение аналитического решения для осесимметричных случаев.

Глава 4. Решение нелинейных задач изгиба и контакта для мембраны сложной формы.

§4.1. Алгоритм применения НМГЭ к задаче изгиба мембраны произвольной формы в геометрически нелинейной постановке.

§4.2. Вычисление сингулярных интегралов.

§4.3Поиск границы контакта удлиненной прямоугольной

•мембраны с жесткой плоскостью.

§4.4. Применение НМГЭ к исследованию изгиба длинной прямоугольной мембраны, под действием равномерно распределенной нагрузки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Контактные задачи взаимодействия мембраны сложной формы с жестким телом и жидкостью»

Широкое применение в технике тонкостенных элементов конструкций, обусловленное их высокой, механической прочностью при малом удельном весе, требует создания надежных методов расчета таких элементов, работающих в самых различных условиях эксплуатации. В публикациях А.Н. Гузя, В.В Новожилова, Г.В. Новожилова, Н.Ф. Образцова, Г.П. Свищева [93, 158, 159, 160, 184] указывается на необходимость совершенствования классических методов расчета тонкостенных конструкций. Первостепенной задачей любого расчета является построение расчетной схемы и корректная постановка задачи, включающие в себя знание исходных величин -действующие нагрузки. Нагрузки, действующие на материальные тела, являются результатом и мерой механического взаимодействия тела с окружающими объектами. В реальной конструкции все ее элементы находятся в сложных условиях взаимодействия между собой и другими объектами. Это взаимодействие может иметь место или при непосредственном контакте тел (прижатие к опоре, ложементу, соединение при помощи сварки, болтов), или через посредство различных полей, создаваемых телами.

Каково влияние упругих элементов, имеющих общие границы, в процессе их деформаций? На этот вопрос дает ответ решение так называемых контактных задач. В контактных задачах требуется определить реакции взаимодействия между объектами и область контакта, если она неизвестна. Исходными данными в этом случае являются лишь главный вектор и главный момент реакции взаимодействия или величина смещения. Такие задачи в теории упругости называются смешанными и относятся к категории наиболее трудных задач. Этот раздел является переходным от классических задач линейной теории упругости, для которых характерна линейная зависимость напряжений и перемещений от нагрузки к задачам нелинейной теории упругости.

Начало теории контактных напряжений и деформаций было положено в работах Г- Герца в 1881 году. Затем трудами отечественных ученых (Динник

A.Н., Беляев, Лурье А.И., Галин JI.A., Мусхелишвили Н.И., Кильчевский H.A., Ворович И.И., Александров В.М., Попов ГЛ., Моссаковский В.И. и др.) этот раздел теории упругости был значительно расширен. В последние годы получили развитие методы решения контактных задач теории пластин и оболочек, связанное с работами Ю.П. Артюхина, И.А. Биргера, М.В.Блоха, Ю.Г. Григолюка, B.C. Гудрамовича, Б.Я. Кантора, С.Н. Карасева, М.М. Кира, С.А. Кузнецова, В.Н. Максименко, В.П. Ольшанского, Б.Л. Пелеха, Г.Я.Попова,

B.C. Саркисяна, М.А.Г. Сильвы, С.П. Тимошенко, В.М. Толкачева, М.М. Филоненко-Бородича, Б.Ф. Чижова, Ф.Эссенбурга и др. Однако остался неразработанным вопрос о решении контактных задач для тонкостенных элементов произвольной формы. Объясняется это тем, что для пластин и оболочек произвольной формы не удается получить в аналитическом виде функцию Грина, определяющую ядра интегральных уравнений, на основе которых построен интегральный подход решения контактных задач.

В настоящей работе созданы и реализованы алгоритмы решения двумерных контактных задач для мембран произвольной формы, взаимодействующих с жесткими телами, при действии равномерно распределенных, локальной, гидростатической нагрузок. Основная задача заключается в отыскании неизвестной границы контакта мембраны с жестким тело:-:. Гг;' 'л: в работе предела ллл-лл рллл>стстьг исследований ^аллч о: л-: ел-, о го и нелинейного свободного деформирования мембран произвольной формы.

Мембрана представляет собой абсолютно гибкую, весьма тонкую пластинку, при исследовании упругой деформации которой можно пренебречь собственно изгибными напряжениями по сравнению с напряжениями в срединной поверхности. Для мембран характерна равномерность распределения напряжений по толщине. Для гибких пластин наряду с мембранными напряжениями необходимо учитывать чисто изгибные напряжения. Основные дифференциальные уравнения для мембран можно полунить из уравнений, для гибких пластин, принимая изгибную жесткость нулевой. Мембрана . используется в качестве металлической диафрагмы-разделителя топливных баков в ракетостроении в виде так называемых «перекатывающихся мембран» [207], в различных приборах систем автоматического управления, в конструкциях вытеснителя в качестве гашения повышения давления в трубопроводах низкого давления [207], в воздухоопорных и пневматических строительных конструкциях [256], в манометрических приборах и др. С помощью мембранных аналогий могут быть решены задачи упругого и упруго - пластического кручения стержня сложного сечения.

В связи с развитием метода граничных элементов (МГЭ) появилась возможность создания численно-аналитической функции Грина на основе фундаментального решения изгиба мембран. Контактные задачи для мембраны могут быть решены с помощью метода вариационных неравенств. Этот метод приводит к задаче нелинейного программирования, в которой приходится перебирать многочисленные варианты трудоемких решений. Метод локальных вариаций (МЛВ), предложенный Черноусько Ф.Л., Баничуком Н.В.[206], позволяет уменьшить объем вычислений, но имеет слабую сходимость. Литература по вариационному подходу к решению проблемы поиска границы контакта представлена в обзорах [119, 96]. Предлагается в качестве основного метода исследования метод компенсирующих нагрузок (Непрямой МГЭ), в котором составляются интегральные уравнения для мембраны произвольной формы с неизвестной компенсирующей нагрузкой на контуре. Эта неизвестная функция определяется из условий закрепления контура. Трудность решения заключается в том, что другая часть контура является неизвестной. Она определяется с помощью условий контакта. Используя линейную или постоянную аппроксимацию известного и неизвестного контура, задача б сводится к системе нелинейных трансцендентных уравнений, которая решается итерационными методами.

В работе рассматриваются задачи изгиба мембран в , линейной и геометрически нелинейной постановках. Нелинейная проблема поиска границы контакта в последнем случае усложняется дополнительной нелинейностью дифференциальных уравнений, описывающих изгиб мембраны. Численная реализация решения таких задач, а также контактных задач для мембран под гидростатической нагрузкой сводится к внешнему и внутреннему итерационным процессам, вопрос сходимости которых является очень трудным. Рассмотрены вопросы вычисления сингулярных интегралов.

Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны, представленных в работе результатов, приводится краткий обзор литературы по теме исследования. Отметим, что в обзор не включены работы, посвященные решению контактных задач и задач изгиба теории пластин и оболочек с учетом физической нелинейности, ступенчато-переменной жесткости, вязко- и термоупругости, слоистости, динамики, клеевых соединений и т.п., не имеющие непосредственного отношения к данной диссертационной работе.

Различным проблемам контакта пластин и оболочек между собой и жесткими телами посвящена обширная литература, которая обобщена в подробных обзорах [8, 122, 109, 104, 150 и т.д.], [82, 181, 107, 176, 177, 90, 150, 149, 169, 170]. Выделяя в этом большом направлении цикл задач о взаимодействии тонкостенных элементов с жесткими телами (штампами) следует отметить весьма полный обзор, содержащийся в статье Г.Я. Попова и В.М. Толкачева [177], а также в [80].

Методы решения контактных задач, основанные на применении интегральных уравнений, требуют знания функций Грина. С этим связаны трудность использования и отставание их развития. Отметим ряд методов, не связанных с интегральными уравнениями. На ряде задач предложен и проиллюстрирован [41] метод функциональных рядов, относительно коэффициентов которых строится бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Метод штрафных функций, добавляемых к энергетическому функционалу для выполнения кинематического условия контакта, применен в работах [214, 215, 254, 255, 266] в сочетании с методом конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностным методом. Введение штрафной функции эквивалентно учету энергии поперечного обжатия оболочки. Метод коллокаций для итеративного уточнения зон контакта, МКЭ и дискретное преобразование Фурье для отыскания матрицы коэффициентов влияния предложен в [227]. Релаксационная процедура МКЭ, совмещающая процесс решения системы уравнений равновесия и неравенств, определяющих область контакта, дана в [183].

Широко применяется для решения контактных задач теории оболочек и пластин метод сопряжения, причем внутренняя область Q разбивается на область Q-й и зону контакта ©. Ищутся решения для каждой из областей в отдельности, а затем сопрягаются на границе зоны контакта. Необходимо априорное знание границ области CD [53, 108, 149] или построение итеративного процесса их уточнения.

Часто используется полуобратный метод [49, 50], заключающийся в том, что распределение контактного давления описывается каким-либо выражением, содержащим произвольные постоянные. Заданные напряжения используются в качестве поверхностной нагрузки для тонкостенного элемента. Из уравнений равновесия находят прогиб, константы определяют из условий контакта. I

Интегральные уравнения [19, 20] подходящими дифференциальными операторами переводятся в дифференциальные относительно контактного давления. Общие решения полученных уравнений подставляют в исходные интегральные. Из условий обращения их в тождество при выполнении равновесия штампа определяют произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении. Более совершенный способ предложен в [6, 17], где интегральные уравнения удалось преобразовать в одномерные краевые задачи непосредственно для искомого контактного напряжения. В качестве примеров задач о контакте круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек с жесткими штампами отметим работы [22, 97, 168,193].

Для решения задач о поведении механических систем с односторонними связями применяют симплекс-метод [178], динамическое интегрирование [179], а также методы решения вариационных неравенств - локальных вариаций [110, 135 - 139, 140 - 142, 206], нелинейного программирования [42, 84, 117, 118, 125], последовательного нагружения [209].

Контакту гибких мембран с жестким телом посвящены работы [136, 137].

Впервые задачу о взаимодействии тонкого бруса и жесткой круговой опоры поставил и решил С.П. Тимошенко [192] с позиций теории Кирхгофа-Лява. Он подчеркивал, что в силу переменности области контакта задача является нелинейной, и поэтому нельзя воспользоваться принципом суперпозиции. Аналогичные осесимметричные задачи для круглых пластин, контактирующих с плоским жестким основанием, рассмотрены в работах [230],[238].

Наибольшие трудности при решении контактных задач вызывает проблема определения границы области контакта. Одномерные контактные задачи для тонкостенных элементов с неизвестной границей взаимодействия имеют решение [6, 90, 91, 122, 213, 174, 21]. Если контакт происходит по неизвестной площади (двумерная задача), то таких исследований немного. Поэтому особый интерес представляют задачи отыскания двумерных областей контакта. Основополагающей здесь является работа JI.A. Галина [81], в которой рассмотрена задача о давлении жесткого эллипсоида на защемленную круглую пластинку. Размеры области контакта удалось найти путем сведения задачи к обратной краевой задаче для одной аналитической функции. Автор показал, что давление, передаваемое штампом на пластинку, будет распределено по эллиптической границе области контакта, а внутри ее будет равно нулю.

Г.П. Черепанов [205] предложил эффективный метод определения области контакта для пластин и мембран, свободно опертых по-контуру, состоящих из прямолинейных отрезков. ■

Математические формулировки многих краевых задач со свободными границами в виде вариационных неравенств содержат своим элементом характеристическую функцию определяемой области примыкания, граница которой и является искомой свободной границей. Используя сеточные методы (конечных разностей и конечных элементов) при решении этих задач, можно определить некоторую аппроксимацию этой функции. В работе [96] исследуются алгоритмы определения свободной границы по приближенной характеристической функции области примыкания.

Наиболее сложно установить область контакта, определяемую из условия для контактного давления qk(A)>0, АеО. В задачах о контакте штампа с элементом тонкостенной конструкции обычно область контакта априори неизвестна. Тогда на первой итерации вводится допущение о двухстороннем характере связей. После решения задачи в такой постановке и нахождения избавляются от такого допущения, исключая из области контакта участки, где указанное условие не выполняется. Решение повторяется снова для установленной области контакта и так далее до сходимости. Подобный процесс последовательных приближений, основанных на идее спуска в некотором функциональном пространстве [112, 186], получил широкое распространение для решения задач о НДС и устойчивости при одностороннем контакте [50, 51, 94, 18, 105, 106, 149]. Условие разрешимости интегрального уравнения предложено для определения зон контакта в [52].

Работа [109] посвящена исследованию контактного взаимодействия тонкостенных конструкций со штампами. В качестве объектов выбраны полосы, прямоугольные и круглые плиты, замкнутые цилиндрические оболочки постоянной толщины. Применительно к указанным объектам развит метод, позволяющий определить контактные напряжения и области контакта для двумерных задач.

В монографии [ 104] рассмотрена проблема решения- задач теории тонких оболочек вращения в условиях одностороннего контакта оболочки со штампом или между двумя оболочками. Предложен новый подход, основанный на построении и решении методом прогонки канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений в сочетании с итеративным отысканием зон контакта.

Библиографию по пространственным контактным задачам можно найти в книге[181], в известных монографиях Л.А. Галина [82], Я.С. Уфлянда [200], И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А.Бабешко [72], а также в работах [1, 175, 182, 211,212, 213, 7] и др.

Большой научный и практический интерес представляют статические задачи гидроупругости, особенно, взаимодействие жидкости с тонкостенными элементами. Отсутствие большого количества изданий в этом направлений не свидетельствует о неактуальности таких задач. Во-первых, анализ равновесия гидроупругой системы входит как составная часть общих расчетов конструкции. Во-вторых, статические расчеты имеют большое самостоятельное значение. Задолго до появления конструкций, в которых наиболее сильно проявляются гидроупругие эффекты (воздушные и водные транспортные средства, трубопроводные системы, чувствительные элементы приборов и т.д.), имелись такие объекты, как емкости для хранения жидкостей (бурдюки), надувные плоты, воздушные шары и т.д. С появлением современных синтетических тканей в нашу жизнь вошли сравнительно недавно пневматические конструкции, судовые емкости для перевозки жидких грузов, вытеснительные устройства в аэрокосмической технике, аэробалка, воздухоопорные строительные конструкции и многие другие объекты. С развитием новых технологий также увеличивается значение гидростатических расчетов. Например, при морской добыче нефти, связанной с эксплуатацией вертикальных бурильных и добывающих труб, становится необходимым учет внутренней и окружающей трубу жидкостей при анализе ее прочности и надежности.

Монография [102] является обобщающим изданием по характерным задачам, рассматривающим равновесие тонких упругих элементов, как стержень, мембрана, пластина, оболочка, под действием сил со стороны жидкости и заданных внешних сил. Остановимся на литературе, имеющей непосредственное отношение к изучению поведения упругих абсолютно гибких, весьма тонких элементов, контактирующих с жидкостью и твердыми телами.

В [248] рассмотрены плоские линейная и нелинейная задачи о равновесии мембраны под тяжестью жидкости с учетом точного значения столба жидкости. Различные линейные задачи для круглой мембраны под гидростатической нагрузкой решены с помощью функций Бесселя в [98]. В описанных задачах исследовались случаи взаимодействия, когда жидкость в сосуде имеет свободную границу. Постановка задачи меняется, если рассматривать взаимодействие мембраны с несжимаемой жидкостью, полностью заполняющей замкнутый сосуд [103, 247].

В [263] определены нелинейные отклонения под сосредоточенным воздействием бесконечно протяженной нерастяжимой мембраны (пленки), покоящейся на поверхности жидкости. Анализ равновесия плавучих длинных мягких емкостей дается в [83, 111, 143]. Работы [134, 126, 127, 128, 171]посвящены рассмотрению равновесия разделительных мембран или пленок в устройствах для вытеснения жидкости. Такие задачи являются существенно нелинейными.

Интересные результаты по определению деформированной формы и участка прилегания для абсолютно гибкой нерастяжимой замкнутой нити (плоская задача для цилиндрической мягкой оболочки), находящейся на твердой поверхности под действием гидростатического давления внутренней жидкости представлены в [2, 100, 102, 143, 144]. Статическому и динамическому расчету свободнолежащих емкостей посвящена значительная литература, например, [100, 203, 143, 255]. В этих расчетах исходят из модели формообразования по цилиндрической форме. Тот же подход применяется [2] при рассмотрении покоящейся на горизонтальном основании подушечной емкости, образованной подачей жидкости в объем между скрепленными по кромкам абсолютно гибкими, нерастяжимыми квадратными листами. Находится площадь пятна контакта без определения его границы.

Механическое поведение объектов, отличающихся своим устройством и размерами, часто описываются близкими моделями. Например, для определения поведения клеточных мембран [225] применяются те же уравнения равновесия мягкой оболочки и заключенной в ней среды, что и для огромных аэростатических объектов (дирижабли, аэростаты) и воздухоопорных строительных конструкций.

Остановимся кратко на развитии теории гибких и абсолютно гибких пластинок.

Еще в 1766 г. было опубликовано первое научное исследование по теории мембран. Оно принадлежало Л.Эйлеру. Впоследствии в трудах Лагранжа, Навье, Кирхгофа были сформулированы основные положения теории жестких пластинок. Во второй половине XIX века были сделаны первые шаги в исследовании гибких пластин в работах Кирхгофа, Сен-Венана, Клебша. Необходимость в разработке технической теории гибких пластинок появилась на рубеже XIX и XX веков в связи с развитием металлического кораблестроения. Важные исследования по нелинейной теории гибких пластинок, тесно связанные с запросами практики, принадлежат И.Г. Бубнову. В 1907г. А. Феппель составил уравнения изгиба абсолютно гибких пластинок при больших перемещениях [229]. В 1910г. Карман, обобщая результаты И.Г. Бубнова по гибким пластинкам, дополнил уравнения Феппля членом, содержащим цилиндрическую жесткость, и таким образом придал системе нелинейных дифференциальных уравнений окончательную форму. В курсах строительной механики самолета нелинейной теории пластинок и ее приложениям уделяется серьезное внимание. Наиболее; значительными в этой области являются труды П.Ф. Папковича [165], изданные в 1941г. В последующий период теория гибких пластин получила дальнейшее развитие. Был выдвинут ряд новых вопросов; Задачи, уже разбиравшиеся ранее, получили дальнейшее развитие. Расчет абсолютно гибких пластинок - плоских, гофрированных и др. мембран оказался связанным с нуждами приборостроения. Китайский ученый Цянь Вэй-чан в 1947г. [204] применил к расчету пластинок круглого очертания метод возмущения. Пользуясь этим методом, Цянь Вэй-чан, Ху Хай-чан и Е Кай-юань рассмотрели в 1953-1954гг. большие прогибы сплошных и кольцеобразных мембран при разных условиях закрепления для случаев равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок. В предельном случае абсолютно гибкой кольцеобразной пластинки результаты оказались близкими к данным, полученным в 1951 г. С.А. Алексеевым [3]. Большое внимание уделено расчету хлопающих и гофрированных мембран в работах [201, 5]. В книге [70] изложены общие сведения по теории гибких пластинок и оболочек и рассмотрены ее важнейшие технические приложения. Представлены некоторые задачи для мембран простых форм.

Из этого краткого очерка видно, что общие уравнения теории гибких и абсолютно гибких пластинок получили окончательную форму достаточно давно, но в связи со сложностью решения конкретных задач накоплено еще недостаточно данных для практических расчетов. На различных ступенях решения задач, относящихся к гибким тонкостенным элементам, необходимо широко использовать ПЭВМ. В связи с этим должны быть достаточно развиты численные методы.

В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений (ГИУ), из решения которой определяются некоторые определенные на границе функции плотности. ;

Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.

Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [228].

До конца 50-х годов методы граничных интегральных уравнений интенсивно развивались математиками. Большой вклад в развитие этих методов был сделан Михлиным С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирновым В.И. и др. [147, 148, 130, 131, 152, 153, 187, 188].

Купрадзе В.Д. введены векторные интегральные уравнения методов потенциала в задачах теории упругости [130, 131]. Он развил приближенные методы решения статических задач для однородных тел и динамических задач для кусочно-однородных тел. Сформулировал связь между перемещениями и напряжениями на границе среды, используя распределения поверхностной плотности источников.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Пресдорфа 3., Чибриковой Л.И., Партона В.З., Перлина П.И., Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Барчуладзе Т.В. и др. [147, 148, 74, 56, 180, 208, 166, 167, 131].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких, случаях. Поэтому для приложений . первостепенное значение . приобретает разработка •. приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Иванова В.В., Корнейчука A.A., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [101, 113, 47, 73, 44,45, 46, 156, 172, 173].

Методы решения граничных задач с помощью разложений по фундаментальным функциям разработаны в монографиях Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Барчуладзе Т.Г., Башелейшвили М.О., Алексидзе М.А. [4, 131]. Идейно эти методы близки к методам ГИУ, где уравнения рассматриваются, как правило, на основной поверхности граничной задачи. Это приводит к интегральным уравнениям второго рода, но при этом ядро интегрального уравнения становится сингулярным. Решения граничных задач методом разложения по фундаментальным решениям приводит к интегральным уравнениям первого рода.

В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [75-78] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких, п^лассических потенциальных представлений принадлежит В.Д. Купрадзе и применялась С.П. Гавелей, Ю.А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела Л.,

Громадки Т., Лей Ч., Кузнецова C.B., Лившица И.М., Розенцвейга Л.Н. и др [166, 167, 69, 199,48, 54,55, 121,223, 191, 123, 124, 92, 132].

Метод граничных элементов (МГЭ) - это метод численного решения-граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе. Интерес исследователей к применению МГЭ связан с несомненными достоинствами этого метода: снижением на единицу размерности рассматриваемой задачи, аналитическим описанием особенностей решения, высокой точностью результатов решения, практическим отсутствием ограничений на геометрию контура.

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основаный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия.

В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не являются решениями задачи на границе, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов.

Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известе» как ме^од компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б.Г. и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В.М., Артюхина Ю.П., Грибова А.П., Венцеля Э.С., Крамина Т.В., Крамина М.В и др. [194-196, 9-16, 24-29, 57-68, 43, 87, 88].

Монография Верюжского Ю.В. [69] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М. [194-196], где особое внимание уделено теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения ядер в особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей.

Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [57-68] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [61].

Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Лукасевича С., Ольшанского В.П., Шевченко В.П., Белоносова С.М., Артюхина Ю.П., Гурьянова И.Н. [133, 161, 162,210, 202, 43,30, 95].

В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, .сосредоточенные моменты, .локальные температурные ; источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [202, 210] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.

Книга Л.Н. Ясницкого [268] посвящена развитию и применению одного из приближенных численно-аналитических методов, весьма схожего с методом граничных элементов и отличающегося от него меньшей универсальностью, но более высокой экономичностью на определенных классах краевых задач. Так же как и в МГЭ, решение задачи разыскивается в виде специально подобранного разложения по некоторым базисным функциям, каждая из которых точно удовлетворяет заданным дифференциальным уравнениям. Отличие от МГЭ состоит в том, что эти базисные функции не являются фундаментальными решениями, я выбираются по методике, основанной на идее «погружения» заданного тела в фиктивные канонические области.

Работа Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [185] посвящена синтезу МГЭ и вариационного подхода при анализе пластин и оболочек. Отмечается, что сочетание достоинств этих методов позволяет снять ограничения, присущие каждому из них в отдельности.

В [116] Корнишин М.С. и Файзуллина М.А. проводят обзор работ по расчету на изгиб пластин и оболочек сложного очертания.

Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [85, 10, 15, 16, 63, 146, 154, 164, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 224, 231, 233, 234, 235, 236, 239, 241, 243, 249, 252, 264, 265].

В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны, методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.

Пластины произвольного очертания при различных граничных условиях рассматриваются также в [257]. Изучается интегральная формулировка МГЭ, связанная с интегральными представлениями для величин прогибов и изгибающих моментов. В [267] применяются прямолинейные граничные элементы с 9 степенями свободы. Сходимость исследуется на примере свободно опертой пластины. Проведено сопоставление с конечно-элементным решением для защемленной пластинки и прямоугольной пластины с квадратным отверстием.

Решению с помощью МГЭ задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [24, 26, 61, 65, 198, 75-78, 190, 99, 232, 262, 240, 251].

В работах Артюхина Ю.П., Крамина М.В. [24, 26] рассматривается применение непрямого МГЭ к расчету пологих оболочек двоякой кривизны. Решение задач строится итерационным методом на основе применения матрицы фундаментальных решений пологой сферической оболочки. Приведены результаты решения широкого класса задач.

Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э.С., Трофимова М.А. [61, 65]. В работах [61, 198] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельта-функции Дирака. Оно характеризуется алгоритмичностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде.

В публикациях Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [75-78] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным -уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек .

В статье Сухорольского М.А. [ 190] решение уравнений пологих оболочек строится в виде тригонометрических рядов. В правых частях уравнений вводятся фиктивные усилия. Путем осреднения построенного решения по элементам контура устанавливается зависимость смещений и усилий на контуре от введенных фиктивных сил. На основе полученных зависимостей формируются системы алгебраических уравнений.

Работа Ермакова C.B. [99] посвящена применению метода компенсирующих нагрузок для задач расчета круговых цилиндрических оболочек. Фундаментальное решение для бесконечно длинной цилиндрической оболочки берется в виде тригонометрического ряда по окружной координате с выделением главного значения. Проведены расчеты Т-образных и Х-образных узлов.

Gospodinov G.K. в статье [232] рассматривает применение МГЭ к решению линейных задач пологих сферических оболочек.

Tottenhem H. в работе [262] рассматривает применение различных вариантов МГЭ к расчету пологих оболочек.

Ivanova Jordanka, Valera Varbinka в статье [240] рассматривают МГЭ задачу изгиба пологой сферической оболочки. Приведен пример расчета пологой сферической оболочки с защемленными краями.

Lu Pin, Huang Mao-quang а работах [251] рассматривают МГЭ задачу о напряженно-деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига.

Основы нелинейной теории и методы решения задач изгиба мягких оболочек, гибких пластин и пологих оболочек постоянной толщины в геометрически нелинейной постановке излагаются в [79, 70, 71, 129, 114, 115, 151,155,70,207]. Решению нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек методом граничных элементов посвящены работы [258, 260, 250, 261, 245, 246, 242, 244, 259, 85, 86, 89].

Schang Xin-chun, Cheng Chang-jun в работе [258] рассматривают осесимметричную геометрически нелинейную задачу полярноортотропных круглых пластин. Линеаризированная задача решается с использованием обобщенных функций.

Tanaka Masatuka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong в работе [260] изучают нелинейное деформирование тонкой пластины на основе уравнений Кармана. Получены результаты для круглой пластины.

Lei Xiboyan, Huang Maokuang в статье [250] применили МГЭ к расчету геометрически нелинейных пластин Рейснера. Приведен пример расчета.

Tosaka N., Miyake S. в статье [261] на основе уравнений смешанного типа решают МГЭ линейные и геометрически нелинейные задачи пологих сферических оболочек.

Kamiya N., Sawaki Y. в статье [246] рассматривают МГЭ задачу о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин. Представлены результаты решения для круглых и прямоугольных пластин. В работе [245] этих же авторов на основе уравнений Бергера рассматривается применение МГЭ к решению задач нелинейного изгиба пластин и иодогих с-Золо^ек.

Katsikadelis J.T. в работе [242] рассматривает решение МГЭ задачи о больших прогибах пластин, на упругом основании. Выведены интегральные уравнения, которые решаются численными методами. В работе [244] этого же автора рассматривается задача изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ.

81ас1ек V., 81ас1ес 1 в работе [259] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.,

В [85] представлены результаты исследований по развитию математических методов решения линейных и нелинейных задач изгиба пластин и пологих оболочек со сложным контуром и ступенчатым изменением жесткости, а также представлены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек этого класса. Основная часть работы посвящена развитию МГЭ для решения нелинейных задач теории пластин и пологих оболочек.

В [253] рассматриваются теоретические основы и принципы реализации МГЭ для решения уравнения Лапласа и статической теории упругости. Изучаются вопросы, связанные с выбором фундаментальных решений, способов дискретизации границ. Сопоставляются МГЭ и МКЭ с точки зрения точности, эффективности, экономичности. Представлен обзор по методам граничных интегральных уравнений; Анализируются работы по комбинированию МКЭ и МГЭ.

В [226] дается аналитический обзор применения МГЭ в теории упругости. Выделяется его преимущества: простота дискретизации, сокращение ненужной вычислительной информации, времени счета и машиной памяти, высокая точность определения напряжений и деформаций во внутренних точках, возможность рассмотрения бесконечных и полубесконечных тел. Из недостатков отмечаются: малое число разработанных коммерческих программных продуктов, необходимость высокого уровня подготовки пользователя, трудности решения задач с существенно вытянутыми областями, а также нелинейных задач. Проводится сравнение МКЭ и МКР.

В работе [120] также подчеркиваются преимущества МГЭ по сравнению с МКЭ. По мере увеличения размерности задач, совокупные расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значительно менее резко, чем для схем

МКЭ. Как только получены решения на границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, в любых внутренних точках. Отмечается, что граничное .интегральное уравнение;, является . формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах. Погрешности могут быть очень малыми, если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной. Кроме того, численное интегрирование всегда есть более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.

Из приведенного обзора видно, что методы решения линейных и нелинейных задач изгиба тонкостенных элементов со сложным контуром на основе МГЭ привлекает особое внимание исследователей. По исследованию с помощью МГЭ нелинейного деформирования гибких пластин и пологих оболочек имеется незначительное число работ, выполненных отечественными и зарубежными учеными. Полученные МГЭ численные результаты относятся, в основном, к расчету круглых гибких пластин и пологих сферических оболочек в линейной постановке. Для мембран произвольной формы известных нам опубликованных нелинейных решений МГЭ нет. Не развит МГЭ применительно к контактным задачам для тонкостенных элементов. Вообще, по нелинейной проблеме поиска двумерной области контакта для тонкостенных элементов произвольной формы исследований очень мало. Не рассматривались контактные задачи с неизвестной областью взаимодействия для мембран сложной формы в линейной и геометрически нелинейной постановке. Не применялся МГЭ и к задачам изгиба мембран произвольной формы, взаимодействующих с жидкостью. Также не существует алгоритма поиска неизвестной границы контакта мембраны сложного очертания с жестким телом при действии гидростатической нагрузки. Все вышеизложенное и определяет актуальность и новизну темы выполненных в диссертации исследований.

Исходя из анализа существующих в данном направлении публикаций, перед автором диссертации были поставлены следующие задачи:

-применить НМГЭ к исследованию изгиба многосвязных мембран со сложным контуром;

-разработать и реализовать алгоритм на основе НМГЭ решения двумерных контактных задач для мембран произвольной формы с неизвестной областью примыкания. Решить ряд тестовых и прикладных задач различного взаимодействия мембран с жестким телом. Сравнить применение НМГЭ и МЛВ к поиску областей контакта; -построить методики решения задач изгиба мембран произвольного очертания с учетом эффекта взаимодействия между тонкостенным элементом и весомой несжимаемой жидкостью, задач контакта мембран сложных форм с подвижным телом с неизвестной границей контакта при различном действии гидростатической нагрузки. Создать программное обеспечение, позволяющее решать задачи указанного класса, -разработать алгоритм применения НМГЭ к задаче изгиба мембран сложной формы в нелинейной постановке при действии равномерно распределенной нагрузки. Рассмотреть вычисление сингулярных интегралов. Реализовать алгоритм поиска границы контакта для удлиненной мембраны.

Диссертация, в которой реализованы поставленные цели, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 268 наименований.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Чумарина, Ольга Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении приведем основные результаты и выводы.

1. На основе НМГЭ разработана методика исследования изгиба многосвязных мембран со сложным контуром под действием равномерно распределенной нагрузки. При различных способах интегрирования и разбиения границ продемонстрирована высокая точность результатов в сравнении с построенным точным решением для осесимметричных случаев. Проиллюстрирована сходимость приближенного решения в зависимости от способа аппроксимации плотностей интегральных уравнений на контуре;

2. Разработан и реализован алгоритм на основе НМГЭ решения двумерных контактных задач для мембран произвольной формы с неизвестной областью примыкания. При рассмотрении различных случаев взаимодействия мембран с жестким телом показана высокая эффективность метода. Сравнение применения МЛВ и разработанного алгоритма на основе НМГЭ к поиску областей контакта подтвердило удобство использования к сложным областям и хорошую сходимость последнего.

3. Предложены итерационные процессы НМГЭ для решения задач изгиба мембран произвольного очертания с учетом эффекта взаимодействия между тонкостенным элементом и весомой несжимаемой жидкостью. Решены задачи контакта мембран сложных форм с подвижным телом с неизвестной границей контакта при различном действии гидростатической нагрузки. Создано программное обеспечение, позволяющее решать задачи указанного класса.

4. Разработан алгоритм применения НМГЭ к задачам нелинейного изгиба мембран сложной формы, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки. Разобрано вычисление сингулярных интегралов. Получено решение нелинейной задачи изгиба удлиненной мембраны с учетом контакта с неизвестной областью взаимодействия.

5. Показана эффективность использования численно-аналитической функции Грина при решении контактных задач для тонкостенных элементов со сложным контуром.

6.Созданные алгоритмы реализованы в виде программ на языке Fortran и в среде программирования Delphi. Приведенные исследования и решения задач демонстрируют их работоспособность и возможность достижения заданной точности расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чумарина, Ольга Владимировна, 2001 год

1. Абрамян Б.Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. - Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №4, с. 181-197.

2. Алексеев С.А. Расчет подушечных емкостей. Статика и динамика гибких систем. М.: Наука, 1987. С.34-43.

3. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука. 1991. 352 с.

4. Артюхин. Ю.П. Одномерные контактные задачи теории оболочек. МТТ, 3, 1981, с. 55-65.

5. Артюхин. Ю.П. Контактные задачи для упругих элементов конструкций: Учебное пособие,- Набережные Челны: КамПИ, 1988.-с.78.

6. Артюхин. Ю.П. Механика пластин и оболочек при контактных воздействиях. // Диссертация на соиск. уч. степ. док. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1979 г., 384 е., ил.

7. Артюхин Ю.П., Банцарев К.Н. Метод граничных элементов в задачах изгиба пластин сложного очертания при различных типах закрепления

8. Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КХТИ. 1990. С. 22-30.

9. Ю.Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследование изгиба пластин сложной формы под действием температурного поля и нормального давления методом граничных элементов И Прикл. задачи напряженного состояния упругих тел. Межвуз. научн. сб. Саратов. 1987, С. 50-54.

10. Н.Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Применение метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин сложной формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып 21.4.1. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР. 1988. С. 146 156.

11. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 3-9.

12. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин, подкрепленных упругими ребрами, методом граничных элементов // Актуальн. пробл. мех. оболочек. Тезисы докладов 3 Всесоюз. совещания- семинара молодых ученых. Казань. 1988. С. 11.

13. Артюхин Ю.П„ Грибов А.П., Толкачев В.М. Расчет пластин со сложным очертанием контура методом гранных элементов //

14. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация исследований. Всесоюзн. научн. сб. Горький: Изд-во Горьковского университета. 1987. С. 63-70.

15. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких пластин //Исслед. по теории пластин и оболочек.-1973.-вып. 10.-с.159-166.

16. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Определение напряжений в пологой сферической оболочке при действии жесткого штампа//Исслед. по теории пластин и оболочек.-1975.-вып.И.-с. 159-166.

17. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений// Исслед. по теории пластин и оболочек.-1976.-вып. 12.-е.21-29.

18. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Применение уточненной теории оболочек при решении контактных задач// Теория оболочек с учетом поперечного сдвига.-Казань, 1977.-е. 132-153.

19. Артюхин Ю.П., Теркина B.C. Применение теоретико-эксперементального метода для решения одномерных контактных задач теории пластин и оболочек// Исслед. по теории пластин и оболочек.-1978.-вып.13.-с.104-112

20. Артюхин Ю.П. Контактные задачи для круглых пластин и сферических оболочек// Исслед. по теории пластин и оболочек.-1979.-вып.14.-с.123-139.

21. Галин Л.А. Упруго пластические задачи. М.: Наука, 1984. - 232с.

22. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек // Лаврентьевские чтения. Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механике и физике. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995, С. 89.

23. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологихсферических оболочек. Казанский гос. ун-т. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ № 2476-В94.

24. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек двоякой положительной кривизны методом граничных элементов. Казанск. гос. ун-т. Казань. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ № 2499-В94.

25. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Исследование изгиба пластины сложной формы методом граничных элементов.; Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 31.10.94, №2475 В94.

26. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Напряженно-деформируемое состояние пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, № 244 -294.

27. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Расчет пластинчатых конструкций и пологих оболочек методом граничных элементов // Труды 17 межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та. 1995. С. 77-81.

28. Артюхин Ю.П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластину // Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань.: Изд-во Казанск. ун-та. 1966. С. 110-114.

29. Артюхин Ю.П., Чумарина О.В. Контактные задачи мембраны произвольного очертания с жестким телом.// Математика. Экономика.

30. Экология. Образование: Тезисы докладов VII Международной конференции. Ростов-на-Дону. РГЭА. 1999 - С. 124 - 125.

31. Артюхин Ю.П., Чумарина О.В. Контактная задача взаимодействия мембраны с жидкостью и штампом. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды одиннадцатой межвузовской конференции. 4.1. Сам. гос. техн. ун-т. Самара. 2001.с. 11-14.

32. Балабух Л.И., Молчанова А.Г. Решение контактных задач при односторонних связях методом функциональных рядов// Расчет пространств, конструкций 1979,-Вып.18.-с.3-20.

33. Бахтин А.Г. Особенности численного расчета осесимметричных конструкций с односторонними связями// Изв. вузов. Машиностроение.-1986.-№5.-с.З-6.

34. Белоносов С.М. Математическое моделирование равновесных состояний упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1993. 159 с.

35. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. Об оптимальных по точности алгоритмах вычисления интегралов Адамара // Оптимальные методы вычислений и их применение. Межвуз. сб. научн. трудов. Пенза. 1985. С. 14-28.

36. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та. 1983. 210с.

37. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. // Весовые квадратурные формулы для интегралов Адамара. Пензенский политехи, ин-т. Пенза. 1989. 7с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.90. № 424-В90.

38. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в аэродинамике, теории упругости, электродинамике М.: Наука, 1985. 253с.

39. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Пер. с анг. М.: Мир, 1984. 496 с.

40. Б лох М.В. Одномерный односторонний контакт стержней, пластин и оболочек// Теория оболочек и пластин: Тр. IX Всесоюз. Конф. по теории оболочек и пластин, Л., 24-28 дек. 1973г. Л., 1975 -с.25-28.

41. Блох М.В., Гинц A.A., Кантор Б.Я. Об одном методе решения контактной задачи для цилиндрических оболочек// Пробл. машиностроения. 1977,- Вып. 5.- с. 38-41.

42. Богатыренко Т. Л. О напряженно- деформированном состоянии двухсойного линзового компенсатора с промежуточным податливым концом/ АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения. Харьков, 1984.-21с,- Деп. в ВИНИТИ 3.04.84, №1860.

43. Богатыренко Т.Л., Кантор Б.Я., Перчик ЕЛ. Определение зон контакта из условий разрешимости интегрального уравнения задачи// Докл. АН УСССР. Сер. А,- 1986.-№ 5. -с.27-29.

44. Бондаренко В.А. Контакт тонкостенной сферической оболочки с жестким шаром// Прикл. механика. -1971. -7, №12. -с. 51-57.

45. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. Пер. с анг. М.: Мир, 1987. 524 с.

46. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с анг. М.: Мир, 1982. 248 с.

47. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука. 1970. 380 с.

48. Венцель Э.С. Некоторые вопросы применения метода компенсирующих нагрузок для решения краевых задач изгиба тонких плит // Проблемы машиностроения, 1982 №7. С. 54 -57.

49. Венцель Э.С. Об одной схеме численной реализации метода граничных интегральных уравнений в задачах изгиба пластинок // Числен, методы расчета тонкостей, простран. конструкций. Киев, 1988. С. 26 -30.

50. Венцель Э.С. Построение функции и матриц Грина для некоторых краевых задач теории тонких пластин и пологих оболочек // Харьков, инж. строит, ин-т. Харьков, 1989, 95 с. Деп. в Укр. НИИНТИ 15.12.89., №2997 Ук89.

51. Венцель Э.С. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету пластин сложной формы // ДАН УССР. сер. А. 1980. №. С. 43 -45.

52. Венцель Э.С., Джан-Темиров К.Е., Трофимов A.M., Негольша Е.В. Метод компенсирующих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек. Харьков. 1992. 92с.

53. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Об учете особенностей при численной реализации метода компенсирующих нагрузок в бигармонических задачах теории упругости // Проблемы машиностроения. 1986. № 25. С. 16 18.

54. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Применение метода регуляризации для численного решения задач изгиба тонких плит //

55. Журнал вычислительной математики и физики. 1984. Т. 24. № 2. С. 323 328.

56. Венцель Э.С., Левин A.M. Метод компенсирующих нагрузок в задачах изгиба пластинок и пологих оболочек неканонической формы // Эксперим. расчет, методы автоматиз. проектир. Киев. 1988. С. 35 39.

57. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Проблемы машиностроения. 1989.25. №12. С. 101 107.

58. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Числ. методы расчета тонкост. простр. констр. Киев . 1988. С. 31 38.

59. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа. 1978. 181 с.

60. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. ГИТЛ, М.,1956.

61. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек . М.: Наука. 1972. 432 с.

62. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974, 455с.

63. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-ва Казан, ун-та. 1980.

64. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Наука, 1977, 640 с.

65. Гавеля С.П., Мельников Ю.А., Давыдов H.A. Решение некоторых граничных задач теории оболочек. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та. 1971. 51 с.

66. Гавеля С.П., Скрыпник В.П. К исследованию деформированного состояния тонких оболочек при конечных прогибах . Прикладная механика. 1971. №7. вып. 10. с.26-30

67. Гавеля С.П. О сохранении разрешимости граничных задач теории пологих оболочек при приведении их к интегральным уравнениям. Изв. Вузов. Математика. N5. 1969. С. 14-19.

68. Гавеля С.П. Об одном способе построения матриц Грина для сочлененных оболочек//ДАН УССР. сер. А. 1969. N12. С. 1107-1111.

69. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Изд-во Казанского ун-та. 1975. 326с.

70. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформируемого тела в Казани. В сб. Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд. Каз. ун-та. №5,1967. №9,1972. №11,1975. №12,1976

71. Галин J1.A. О давлении твердого тела на пластинку. -ПММ, т.П, 1948, №3, с.345-348.

72. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980, 304с.

73. Голод Б.И., Кошевой A.A. Эластичные емкости для транспортировки и хранения жидких грузов. Л.: Судпромгиз, 1963. 91 с.

74. Гордеев В.Н., Перельмутер A.B. Расчет упругих систем с односторонними связями, как задача квадратичного программирования// Исслед. по теории сооружений,- 1967.-Вып. 15,-с.208-212.

75. Грибов А.П. Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром. // Диссертация на соиск. уч. степ. док.ф.-м.н. по спец. 01.02.04. Ульяновск. Ульяновский гос. технич. ун-т, 1998г.,272с.

76. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Труды XVIII

77. Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 49-54.

78. Грибов А.П. Исследование изгиба пластин, подкрепленных по контуру ребрами, методом граничных элементов // Механика и процессы управления. Межвуз. сб. научн. тр., вып.З. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та., 1992. С. 8-13.

79. Грибов А.П. Исследование температурного изгиба многосвязанных изотропных пластин методом граничных элементов // Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов. Ульяновск. 1996. С. 66-71.

80. Грибов А.П. Расчет гибких пластин и пологих оболочек методом граничных элементов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвуз. конф. ч. I. Самара. 1997. С. 29-31.

81. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. -М.: Машиностроение. 1980, 411с.

82. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами. ПММ, т.39, 1975, вып. 5, с. 876-883.

83. Громадко И Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир. 1990. 304 с.

84. Гузь А.Н. О современных направлениях механики твердого деформированного тела // Прикл. механика. 1985. 21, № 9 С. 3-11.

85. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем.- Львов: Вища шк., 1982.-254 с.

86. Гурьянов И.Н. Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы // Диссертация на соиск. уч. ст. к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1977 г., 212 с.

87. Даутов Р.З. Задача с препятствием внутри области. Приближенное определение свободной границы.// Труды Математического центра им.

88. Н.И. Лобачевского. Т.2. Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач,-Казань: УНИПРЕСС, 1999. 121-170с.

89. Детинко Ф.М., Фастовский В.М. Посадка короткой втулки на цилиндрическую оболочку// Вестн. машиностроения.-1967.- №7,- с.42-45.

90. Динник А.Н. Избранные труды. Т.2. Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Киев. Изд. Академии Наук Украин. ССР. 1955. 220с.

91. Ермаков C.B. Применение метода компенсирующих нагрузок для расчета сопряжения цилиндрических оболочек // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 1994. №6. С. 119-127.

92. Ермолов В.В. идр. Пневматические конструкции воздухоопорного типа. М.: Стройиздат, 1973. 288с.

93. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968. 287 с.

94. Ильгамов М.А. Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ РАН, 1994.-208с.

95. ЮЗ.Ильгамов М.А. Об устойчивости пологой панели под слоем жидкости// Труды семинара по теории оболочек/ Казанск. физ.-техн. ин-т. 1973. №3. С.241-255.

96. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. /Ин-т пробл. Машиностроения.- Киев: Наук, думка, 1990,- с. 136.

97. Кантор Б.Я., Богатыренко Т.Л. Контактные задачи нелинейной теории оболочек// Тр. Всесоюз. Совещ.-семинара: В 2-х ч., Тбилиси, 27нояб.-Здек. 1984,-Тбилиси. 1984-ч.2.-с. 164-174.

98. Кантор Б.Л., Богатыренко Т.Л. Метод решния контактных задач нелинейной теории оболочек// Докл. АН УСССР. Сер. А.-1986.-№1.-с. 18-21.

99. Кантор Б .Я., Зозуля В.В. Контактные задачи теории оболочек: математические аспекты проблемы/ АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения. Харьков, 1988-95с.Деп. в ВИНИТИ 16.02.88,№1251.

100. Карпенко Т.Н., Гофман М.Н. Определение НДС цилиндрической оболочки, опирающейся на жесткий ложемент// Прикл.механика.-1986,-22,№2.-с.47-52.

101. Каримов С.М. Контактные задачи взаимодействия пластин и цилиндрических оболочек со штампами.// Диссертация на соиск. уч. степ, к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Набережные Челны. КамПИ, 1991 г., 139 с.

102. Кваша Н.Э., Прусаков А.НП. Некоторые контактные задачи слоистых тороидальных оболочек// Статика сооружений. -Киев, 1978.-е. 127-132.

103. Ш.Кноринг С.Д., Павлинова Е.А., Филиппов В.В. Плавучие эластичные емкости для транспортирования нефтепродуктов. Л.: Судостроение, 1965.224с.

104. Коваленко О.Ф. Некоторые методы решения нелинейных задач механики упругого тела// Исслед. по строит. Конструкциям.-1968,-№14.-с.36-41.

105. Корнейчук A.A. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы. Научн. сб., М.: Наука. 1964. С. 64-74.

106. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука. 1964. 192 с.

107. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели.М.:Наука. 1968.260с.

108. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания. КФАН СССР, ДЕП. в ВНИНИТИ 5.11.86. № 8071-386. Казань. 1986. 39 с.

109. Кравчук A.C. Постановка задачи о контакте нескольких деформированных тел как задачи нелинейного программирования// Прикл. Математика и механика.-1978.-42, вып.З.-с.466-474.

110. Кравчук A.C., Васильев В.А. Численное решение задачи о поиске оптимальной формы штампа при контакте двух тел// Расчеты на np04H0CTb.-1981.-jYs22.-c. 38-50.

111. Кравчук A.C. Вариационный метод исследования контактного взаимодействия и его реализация на ЭВМ. В сб. «Расчет на прочность» 25. -М.: Мпшиностроение. 1984. С.33-50.

112. Крамин Т.В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций сложной формы методом граничных элементов // Диссертация на соиск. уч. степ, к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1995 г., 207 с.

113. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987. 328 С.

114. Кузнецов С.А. Статическое и динамическое контактное взаимодействие пластин и цилиндрических оболочек с жесткими телами. // Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1983 г., 149с.

115. Кузнецов C.B. Некоторые сингулярные решения теории упругости // ПММ. Т60. Вып 5. 1996. С. 877-879.

116. Кузнецов C.B. Фундаментальные решения уравнения Ламе для анизотропных сред//Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №4. С. 50-54.

117. Кузнецова P.E. Применение нелинейного программирования к расчету статически неопределимых систем, имеющих в числе лишних односторонние связи// Исслед. по строит, конструкциям.-1968.-№ 14,-с.51-54.

118. Кузьмина Р.П. Осесимметричная задача равновесия полусферической пленки под гидростатическим давлением// Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №1. С.125-131.

119. Кузьмина Р.П. Осесимметричная задача равновесия цилиндрической пленки под гидростатическим давлением// Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №4. С. 183-188.

120. Кузьмина Р.П., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Задачи механики гибких пленок, содержащих жидкие массы. Успехи механики деформируемых сред, М.: Наука, 1975. С.324-339.

121. Кулаков В.М., Толкачев В.М. Изгиб пластин произвольного очертания //ДАН СССР. 1976 Т. 230. №1. С. 56 -59.

122. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.472 с .

123. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили Н.О., Барчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука. 1976. 664 с.

124. Лившиц И.М., Розенцвейг Л.М. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды // ЖЭТФ. 1947. Т17. Вып. 9. С. 783-791.

125. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир. 1982. 542 с.

126. Луковский И.А., Троценко В.А., Усюткин В.И. Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с жидкостью в подвижных полостях. Киев: Наукова думка, 1989. 240с.

127. Львов Г.И. Взаимодействие упругопластической оболочки с жестким штампом//Прикл. механика,-1980.-16, №11.-е.58-64.

128. Львов Г.И. Упругопластическое деформирование мембран, стесненных ограничениями //Динамика и прочность машин.-1981.-Вып. 33-е.6-11.

129. Львов Г.И. Неосесимметричная контактная задача упругопластического деформирования круглой мембрны// Динамика и прочность машин.-1981.-Вып. 34-C.8-12.

130. Львов Г.И. Вариационная постановка контактной задачидля линейно-упругих и физически нелинейных пологих оболочек// Прикладная математика и механика.-1982. -46, вып.5.-с.841-846.

131. Львов Г.И. Осесимметрическая периодическая контактная задача упругопластического деформирования цилиндрической оболочки// Пробл.машиностроения.-1982.-вып.17.-с.44-49.

132. Львов Г.И., Одинцова Е.В. Контактные напряжения в составных цилиндрических гильзах из нелинейно-упругого материала// Изв. вузов. Машиностроение.-1983 .-№8.-с.7-11.

133. Львов Г.И. Об одном классе контактах задач для цилиндрической оболочки//Прикл. механика.-1983.-19, №7.-с.38-42.

134. Львов Г.И. Исследование контактного взаимодействия нелинейно-упругих оболочек конечной сдвиговой жесткости со штампами//Прикл. механика.-1984.-20, №>3.-с.49-54

135. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. 263с.

136. Магула В.Э., Друзь Б.И., Кулагин В.Д. Судовые мягкие емкости. Л.: Судостроение, 1966. 287с.

137. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. Учебник для студентов вузов. Изд. перераб. и доп. М., «Машиностоение», 1975. 400с. с ил.

138. Миндолин Ю.И. Температурный изгиб сплошных и двусвязных пластин сложного очертания // Прикл. теория упругости. Межвуз. науч. сбор. Саратов, 1989. С. 99 102.

139. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. Л.: Гостехиздат. 1947.

140. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Физматгиз. 1962. 254 с.

141. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C., Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стержней. -М.: Машиностроение, 1978.-248с.

142. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C. Контактные задачи теории оболочек. Контактная прочность пространственных конструкций: Сб. статей, Киев: Наук.думка, 1976, с.3-40.

143. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Таткнигоиздат", Казань, 1957.

144. Мусхелишвилли Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 511 с.

145. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1979. 707 с.

146. Мысютин А.П., Кокупов В.А. Об интегральном варианте метода фиктивных нагрузок для расчета напряженного состояния пластин. Брянск, ин-т трансп. машиностр., Брянск, 1992, 16 е., Деп. в ВИНИТИ, № 119- 192.

147. Нехотяев В.В., Саченков A.B. Большие прогибы тонких упругих пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1972. Вып. 8. С. 42-77.

148. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979. 256 с.

149. Надаи А. Пластичность. М.; Л.: ОНТИ, 1936.

150. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исследования по теории оболочек. Вып. 6-7. Казань. Изд-во Казанск. ун-та 1970. С. 3-22.

151. Новожилов Г.В. Надежность широкофюзеляжных самолетов // Вестник АН СССР. 1985. № 8. С. 85-92.

152. Образцов И.Ф. О проблемах статики и динамики современных инженерных конструкций. Состояние вопроса, новые проблемы и перспективы // Проблемы прочности. 1982. № 11. С. 3-11.

153. Ольшанский В.П. Разработка методов расчета пологих оболочек на действие локализованных нагрузок. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Харьков. 1988. 466 с.

154. Ольшанский В.П. Функция Грина при изгибе пластины на упругом полупространстве // Прикл. мат. и мех. 1987. 51. №5. С. 866-867.

155. Ортега.Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.- М.: МИР, 1975. 558с.

156. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинках и оболочках. Киев : Наукова думка. 1976. 444 с.

157. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч. II, Судпромгиз, Ленинград, 1939,494-527.

158. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688 с.

159. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977.311 с.

160. Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек.-Львов: Вища шк., 1978.-159с.

161. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек.-Киев: Наук.думка, 1980.-216с.

162. Пелех Б.Л. Контактная проблема теории оболочек//Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы VII Всесоюз.конф.-Миасс, 1-3 июня 1981.-Новосибирск, 1982.-с.29-32.

163. Петров В.М., Черноусько Ф.Л. О равновесии жидкости, ограниченной гибкой пленкой//Изв. АН СССР. МТТ, 1971. №4, с. 131-142.

164. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости дляплоскости, полуплоскости и круга с дефектами вдоль гладкой дуги. Препринт 97-1. Казанское матем. общество. Казань. 1997. 22с.

165. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань. Изд-во Казанск. унта. 1987. 160с.

166. Попов Г.Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов// Прикл. математика и механика.- 1976.- 40, вып.4 с.662-673.

167. Попов Г.Я., Ростовцев H.A. Контактные задачи теории упругости. Тр. II Всес. Съезда по теорет. и прикл. механике. М.: Наука, 1966, вып. 3, с. 235-252.

168. Попов Г.Я, О контактных задачах для оболочек и пластин// Тр.Х Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластин, Кутаиси,22-*29 сент. 1975. -Тбилиси, 1975. Т. 1.-С.244-250.

169. Попов Г.Я., Толкачев В.М. Проблема контакта жестких тел с тонкостенными элементами// Изв. АН СССР. Механика тверд, тела,-1980.-№4.-с. 192-206.

170. Портаев Л.П. Расчет систем с односторонними связями на возрастающую нагрузку// Изв. АН СССР. Механика тверд, тела,-1978.-№1.-с. 183-186.

171. Почтман Ю.М., Бараненко В.А. Динамическое программирование в строительной механике.- М.: Стройиздат, 1975.-110с.

172. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир. 1979. 493 с.

173. Развитие теории контактных задач в СССР. Под ред. Л.А. Галина. М.: Наука, 1976, 494с.

174. Рвачев В.Л. Исследования ученых украины в области контактных задач теории упругости. -Прикл. механика, т.З, 1967, вып. 10, с. 109-116.

175. Рыжов Э.В., Сакало В.И,, Подлеснов Ю.П. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов// Машиноведение. -1980.-№6.-с.64-69.

176. Свищев Г.П. Актуальная проблема машиностроения // Вестник АН СССР . 1985. № 8. С. 72-73.

177. Серазутдинов М.Н., Банцарев К.Н. Синтез метода граничных уравнений и вариационного метода при расчете пластин и оболочек // Изв. вузов, Машиностр. 1992. 10-12. С. 48-52.

178. Сливкер В.И. О расчете конструкций на упругом основании при односторонней связи с основанием// Строит, механика и расчет сооруж.- 1967. №4.-с.27-31.

179. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1982. т.4. 550 с.

180. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1956. т.2. 628 с.

181. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. М: «НАУКА», 1979. 830с.

182. Сухорольский М.А. Непрямой метод граничных элементов в теории оболочек. Львовский политехи, ин-т. Львов. 1990. 26 с. Деп В Укр. НИИНТИ 17.10.90. № 1733-Ук90.

183. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат. 1987. 160 с.

184. Тимошенко С.П. Прикладная теория упругости. Л.: Гостехиздат, 1930, 392с.

185. Толкачев В.М. Контактная задача для сферической оболочки// Теория пластин и оболочек.-М., 1971. с.271-277.

186. Толкачев В.М. Уравнения изгиба пластин произвольного очертания с угловыми точками // Труды ХХУП Международн. конф. по теории оболочек и пластин. Т.1. Казань: изд-во гос. ун-та. 1996. С. 145-153.

187. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 155 -160.

188. Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин сложного контура методом граничных элементов // Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань. 1985. С. 218.

189. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Госиздат, физ. мат. лит., 1958. - 440с.

190. Трофимов A.M. Построение граничных интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок для пологих оболочек переноса // Матер, научю техн. конф. Харьковск. инж. - стр. ин-та. 1990. С. 71-83.

191. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

192. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967, 402 с.

193. Феодосьев В.И. Упругие элементы точного приборостроения, Оборонгиз, Москва, 1949, 206-337.

194. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек. Донецк: Изд-во Донецкого университета, 1980.128 с.

195. Хуберян K.M. Рациональные формы трубопроводов, резервуаров и напорных перекрытий. М: Госстройиздат,1956. 254с.

196. Цянь Вэй-чан, Большие прогибы круглой защемленной пластинки, Chinese J. of Phys. 7, №2. 1947, 102-113; Ули сюэбао ( на кит. яз.) 10, №3 1954, 209-238.

197. Черепанов Г.Я. Давление твердого тела на пластины и мембраны. ПММ, т. 29, 1965, №2, с. 282-290.

198. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. -М.: Наука, 1973, 235с.

199. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Д.: Машиностроение, Ленингр. Отд-ние, 1986. -336с., ил.

200. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1977. 302 с.

201. Шевелева Г.И., Гундаев С.А. Решение контактной задачи методом последовательного нагружения // Изв. вузов. Машиностроение. 1986.- № 9 С. 10-15.

202. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк: Донецкий государственный университет, 1977. 115 с.

203. Шерман Д.И. Основные плоские и контактные задачи статической теории упругости. В сб.: Механика в СССР за 30 лет. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, с. 192-225.

204. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах теории упругости. Тр.1 Всес. Съезда по теорет. и прикл. механике. М. -Л.: АН СССР, 1962, с.405-467.

205. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949, 270с.

206. Шуваев Д.Н. Численный анализ взаимодействия оболочек с упругой средой // Материалы IV науч. Конф. Молодых ученых. Горький, 1979.- С. 199 211. - Деп. в ВИНИТИ 24.02.79, № 2856.

207. Шуваев Д.Н. Численное решение задачи о контакте тонких осесимметричных оболочек И Материалы VI науч. Конф. Молодых ученых. Горький, 1981. - С. 75 - 84. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.81, № 202.

208. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Domain integration for plate bending analysis by bem // Commun. Appl. Numer. Meth. 1989. 5. N1. 23-28 p.

209. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Evaluation of boundary integrals for plate bending // Int. Numer, Meth. Eng. 1989. 28. N1. 75-93 p.

210. Brebbia C.A., Long S.Y. Boundary element analysis of plates using Reissner's theory. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st -Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987, 3 18 p.

211. Cadegh All M. On the Green's function and boundary integral formulation of elastic plates with contours// Mech. struct, and Mach., 1991. 16, N3, 293-311 p.

212. Camp C.Y., Gipson G.S. Biharmonic analysis of rectilinear plates by the bem // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1990. 30, N3, 517-539 p.

213. Costa J. A.,Jr. Brebbia C.A. Vending of plates on elastic foundation using the boundary element method. "Boundary element 6" Berlin e. a., 1984, 3/43 -3/63 p.

214. Costa, J.A.,Jr. Brebbia C.A. Plate bending problems using boundary element method. "Boundary element 6" Berlin e. a., 1984, 3/43 3/63 p.

215. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Int. J. Math. Anal. Applies, 1968, 22, 244-259.

216. Ding F., Li Z. Calculation of boundary integrals and load integrals for plate bending// J. Lanzhou Univ. 1991. 27, N2, 1-7 p.

217. Evans E.A., R.Skalak. Mechanics and Thermodinamics of Biomembranes, RCR Press, Inc., 1980.

218. Fenner R.T. Stress using boundary elements // Mod. Prakt. Stress an vibr. Anal. Proc.conf., Liverpool, 3-5apr., 1989, 2 oxford etc., 1989, 31-38p.

219. Fortune D., Bezine G. Sur le contact sans frottement de deux plaqueschargees en flexion //J. Mec. 1981, - 20, N 3. - P. 475 -494.

220. Fredholm I. Sur une classe d'equations fonctionelles. Acta Mathematica. 27. 365-390 (1903).

221. A. Foppl, Volesusungen uber techn. Mechanic, 1907, t.5, 132-144.

222. Girkmann K. Formänderung eines kreisförmigen auf eben Unterlage aufruhenden Bahalterbodens durch Flussigkeitdruck. Stahlbau, 1931 Bd.4, H.18.

223. Giroire. J. A system of bies with hipersingular kernels for the free edge plate.// Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf., Comput. Ing. Sei., Atlanta, GA, Apr., 10-14, 1988, Vol.1 Berlin, 1988. 23.11.1-23.11.41. P

224. Gospodinov G.K. The boundary element method applied to shellow spherical shells. "Boundary Elements 6", Proc. 6th Int. Conf. Board Liner, Queen Elizabeth 2, Southampton, N.Y., Ju ly, 1984.",Berlin, e.a., 1984, 3/653/77

225. Guo-Shu Song, Mukherjee S. Boundary element method analysis of bending of elastic plates of arbitrary shape with general boundary conditions. "Eng. Anal.", 1986, 3, N1, p36-44 .

226. Gallego Jnarez. Axiaymmetric vibrations of circular plates with stepped thickness. "J Sound and Vibr.", Vol. 26, N 3, 1973 .

227. Hartmann F. Kirchhoff plates // Boundary elem. X, Vol.3, Stress analysis. Southampton etc., Berlin etc., 1988. p.409-423.

228. Hartmann F., Zotemanter R. The direct BEM in plate ben ding. "Int.J.Numer. Meth. Eng.", 1986,23, N11, 2049-2069.

229. Hencky H., Uber den Spannungszustand in Kreisrunden Platten mit Verschwindender Biegungssteifigkeit, Zeit. f. Math. u. Phyzik., 63, 1915. 311-317.

230. Johnson D. Plate bending by a boundary point method // " Comput. and Struct.", 1987, 26, N4, 673-680 p.

231. Katsikadelis J.T. Large defection analysis of plates on elastic fondation by the boundary element method // Int. J. Solid and Struct. 1992. 27. N15. p. 1867-1878.

232. Katsikadelis J.T., Armenakas A.E. A new boundary equation solution to the plate problem // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1989, 56, №2, 364 7341. P

233. Katsikadelis J.T., Sapountzakis E.J., Zorba E.G. A BEM approach to static and dynamic analysis of plates with internal supports. Comput. Mech. 1990. 7, N1, 31-40 p.

234. Kamiya N., Sawaki Y. A simplified nonlinear bending analysis of flat plates and shallow schells by bondary element approach based an Berger equation // Numer. Meth. Ind. Form. Processes. Swansea. 1982. p. 289-297.

235. Kamiya N., Sawaki Y. An integral equation approach to finite deflection of elastic plates // Int. J. Non Linear Mech. 1982. 17. N3. p. 187-194.

236. Kerr A.D. On plates sealing an incompressible liquid.// int. J. Mech. sci. 1966. Vol. 8. P. 295-304.

237. Kerr A.D., Coffin D.W. On membrane and plate problems for which the linear theories are not admissible //J.Appl. Mech. 1990, vol.57.№1. P. 128133

238. Lei Xiboyan, Huang Maokuang. A new bondary element method for Rissners plate with new bondary values // Lixue Xuebao. Acta mech. sin. 1995. 27. N5. p.551-559.

239. Lu Pin, Huang Mao-quang. Calculation of the fundamental Solution for the theory of shallow schells considering shear deformation // Appl. Math, and Mech. 1992. 13. N6. p.537-545.

240. Lu Xilin, Du Qinghua Boundary element method for Kirchhoff type plate bending problems by regular integration technique. "J. Tsinghua Univ.", 1988, 28, N2, 12-22 p.

241. Masataka T. Introduction to boundary element method // J. Jap. Soc. Simulat. Technol. 1987. 6, N2, 77-83 p.

242. Ohtake K., Oden I.Т., Kiruchi N. Analysis of certain unilateral problems in von Karman plate theory by a penalty method. Pt. 1. A Variational Principle with penalty // Сотр. Meth. Appl. Mech. And Eng. - 1980. - 24, N2.-P. 187-213.

243. Ohtake K., Oden I.Т., Kiruchi N. Analysis of certain unilateral problems in von Karman plate theory by a penalty method. Pt. 2. Approximation and Numerical Analysis // Сотр. Meth. Appl. Mech. And Eng. - 1980. - 24, N3.-P. 317-337.

244. Otto F., Trostel R. Zugbeanspruchte Konstruktionen. Ullstein Fachverlag. Frankfurt/ Berlin 1962 (Русск. пер. Otto Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат. 1967. 320с.)

245. Paris F., Leon S. An alternative analysis of thin elastic plates with any boundary conditions, using B.E.M. Boundary Elements 7. Proc. 7th int7 Conf7 Lake Como, sept. 1985, vol.1, Berlin e.a., 1985, 4/17 4/28.

246. Shang Xin-chun, Cheng Chang-jun. Qualitative investigation and monotonic iterative solutions for nonlinear bending og polar ortotropic circular plates // Appl. Math, and Mech. 1990. 11. N12. p.1137-1 154.

247. Sladek V., Sladek J. Non Non sinqular formulation og BIE for plate bending //Eur. J. Mech. A. 1992. ll.№ 3. 335-348.

248. Tanaka Masataka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong. BEM analyses of finite deflection problems for von Karman-type plates // Nihon Kikai Gakkai Ronbunscu. A. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1995. 1. N589. p. 2079-2085.

249. Tosaka N., Miyake S., A boundary schallow shell bending problems. "Boundary Elem. Proc. 5th Int. Conf., Hiroshima, Nov., 1983", Berlin e.a., 1983, 527-538.

250. Tottehem H. The boudary element method for plates and schells. "Devlop Boundary Elem. Meth. 1" London. 1979. 173-205.

251. Wang C.Y. Nonlinear deflection of a thin elastic sheet on a liquid foundation //Quarterly of Appl. Math. 1984. Vol.41 p.433-442

252. Wang Zuo-hui. Nonsingular kernel bem for thin plate bending problem // Appl. math, and mech. 1993, 14, N8, 729-738 p.

253. Werner H., Protosaltis B. A boundary superposition element method for the Kirchoff plate bending problems. Boundary Elements 7. Proc. 7th Int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1, Berlin e.a., 1985, 4/63 -4/80.

254. Yagawa G. et al. Analysis of contact problem of shell structures using finite element method with penalty function / G. Yagawa, H. Hirayama, A. Miyoshi, Y. Ando // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1982. - A 48, N 428. - P. 454-463.

255. Zotemontel R. Numerical solution of plate bending problems using the boundary element method. Boundary elements 7. Proc.7th int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1 Berlin e.a.,1985, 4/81-4/91.

256. Ясницкий Jl.H. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред. М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1992. - 128с.