Математическое моделирование уединенных волн в холодной столкновительной плазме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Егорова, Елена Револьевна
- Специальность ВАК РФ05.13.18
- Количество страниц 93
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Егорова, Елена Револьевна
ВВЕДЕНИЕ
1. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1. Вывод системы уравнений для плоских волн.
1.2. дисперсионное соотношение.
2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ХОЛОДНОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ
2.1. Математическая модель.
2.1.1. Проблема безграничной области.
2.1.2. Псевдо-спектральный метод Чебышева и вычисление производной третьего порядка.
2.1.3. Начальные и граничные условия
2.1.4. Переход от бесконечной прямой Ох к отрезку [-1; 1]
2.1.5. Переход в движущуюся систему отсчета.
2.2. Численная схема и дискретизация уравнений.
2.3. Структура программы и использование 1МБЬ.
2.4. Результаты вычислительного эксперимента.
2.4.1. Тестовая проверка модели без учета диссипации
2.4.2. Анализ влияния диссипации.
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН
3.1. Преобразование уравнений и используемый численный метод
3.2. Начальные и граничные условия.
3.3. Результаты вычислительного эксперимента.
3.3.1. Взаимодействие однонаправленных волн.
3.3.2. Взаимодействие разнонаправленных волн
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Уединенные волны в плазме с магнитным полем2005 год, кандидат физико-математических наук Жарков, Алексей Аркадьевич
Вопросы теории нелинейных структур и турбулентных спектров высокотемпературной замагниченной плазмы1998 год, доктор физико-математических наук Онищенко, Олег Григорьевич
Гидродинамика релятивистской замагниченной плазмы и нелинейные альфвеновские волны в релятивистской электронно-позитронной плазме1998 год, кандидат физико-математических наук Раковщик, Михаил Леонидович
Нелинейные структуры в атмосфере и плазме: Теория и математическое моделирование1998 год, доктор физико-математических наук Каменец, Федор Федорович
Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средах1997 год, доктор физико-математических наук Белашов, Василий Юрьевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование уединенных волн в холодной столкновительной плазме»
К первым трудам, в которых рассматривались основные уравнения модели двух жидкостей холодной плазмы, можно отнести [52, 55]. В работе [52] рассматриваются частные случаи распространения вдоль однородного магнитного поля альфвеновских волн большой амплитуды, а в работе [55] рассматриваются частные решения существования устойчивых одномерных волн конечной амплитуды, плоскость распространения которых перпендикулярна к магнитному полю. Далее до конца шестидесятых годов идет ряд исследований, рассматривающих частные решения, с небольшими дополнениями и с разными аспектами постановки задачи [28, 29, 34, 39, 57, 58, 59].
В [28] рассматриваются частные решения для волн большой амплитуды, распространяющихся перпендикулярно к магнитному полю, в бесстолкнови-тельной плазме с изотропным давлением, где уравнения полностью решаются с помощью простой численной квадратуры.
В [58] рассматриваются свойства уравнений двухжидкостной модели плазмы, где ищутся решения для нелинейных волн одиночного импульса, находящихся между альфвеновской волной и быстрой магнитозвуковой волной, с помощью анализа законов сохранения, которые являются интегралами основных уравнений.
Продолжая исследования [28, 55], в работе [34] рассматривается та же постановка задачи, что и в [55], но с добавлением изотропного давления в исходную модель. В итоге автор приходит к выводу, что с учетом данного эффекта в плазме существуют два различных типа уединенных волн.
Также следует отметить работу [47], где рассматриваются уравнения распространения волн конечной амплитуды в произвольном направлении к магнитному полю. В работе [47], в дополнение к [52] и [55] приводятся частные решения для наклонных направлений распространения волн, в зависимости от задаваемых в модели параметров.
В работе [57] изучается эффект разделения зарядов в структуре бесстолк-новительных магнитных волн сжатия. В исходной модели, в отличие от модели простой бесстолкновительной холодной плазмы в уравнениях движения вводится коэффициент, содержащий параметр Rf, от которого зависит уровень магнитного сжатия.
В работе [39] изучаются частные решения уравнений переноса нелинейных волн, распространяющихся вдоль магнитного поля.
Для бесстолкновительной плазмы с изотермическим давлением электронов в работе [40] рассматриваются решения для волн, распространяющихся вдоль и поперек магнитного поля. В результате, в случае параллельного распространения, обнаружены два типа солитонов - простой, который упрощается до нулевой волны сжатия в холодном пределе, и особый, который не имеет аналога в холодной плазме. В случае поперечного распространения обнаружен только один простой тип волн. Влияние давления электронов укорачивает относительную длину простых волн в параллельном случае распространения и, наоборот, удлиняет простые волны в противоположном случае распространения. В приложении формулируется постановка двухжид-костной модели бесстолкновительной плазмы с изотермическим давлением электронов, где далее осуществлен переход к безразмерной одножидкостной модели.
В работе [48] рассмотрены нелинейные волны, движущиеся под наклонным углом вдоль магнитного поля. Рассматриваются скорость и структура нелинейных волн с использованием асимптотических методов решения, в которых, как правило, оперируют введением малого параметра е. В итоге авторы приходят к выводу, что возможны, в зависимости от значений наклона угла и температуры плазмы, волны сжатия и разрежения.
Численные решения для дисперсионного соотношения плазменных волн в бесконечной однородной бесстолкновительной бета-плазме были получены в работе [29]. Автор заключает, что кроме альфвеновской волны, все гидромагнитные волны подвержены затуханию в плазме со средним и большим значением ¡3 почти при любых углах распространения волны.
Попытки описать не отдельные решения, а целые классы решений уравнений холодной плазмы были предприняты на стандартном пути дальнейшего упрощения одномерных уравнений методом многих масштабов. В работе [36] показано, что данный вид волн описывается уравнениями Кортевега-де Вриза (КдВ). Затем в [7] было установлено, что также можно записать эти уравнения для наклонного распространения волн.
В работах [41, 42] основными результатами являются получение уравнений КдВ и обобщенного уравнения КдВ пятого порядка (без производной третьего порядка) для длинных магнитозвуковых волн в окрестности состояния покоя при помощи разновидности метода многих масштабов. В результате был сделан вывод о том, что классические уединенные волны - соли-тоны - в холодной бесстолкновительной плазме существуют для всех углов наклона 0 < в < 7г/2 невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны. Для 9 < 9С, где 9С - некоторое критическое значение угла 9, солитоны соответствуют волне разрежения, а при 9С < 9 < тг/2 -волне сжатия.
В первой части работы [56] с помощью метода малых возмущений выводятся уравнения Бюргерса и КдВ. Класс полученных уравнений покрывает обширный круг систем уравнений для звуковых волн, гидромагнитных волн, ионно-акустических волн, акустических волн и т.д. Далее во второй части, как уже отмечалось ранее в [42], используя редуктивный метод малых возмущений применительно к гидродинамическим волнам конечной амплитуды в холодной плазме, получают уравнение КдВ для всех углов распространения. В продолжение первой и второй части [41], используя нелинейный метод возмущений, рассматривают систему уравнений для холодной плазмы вблизи значения критического угла 9С. В итоге приходят к выводу, что для 9 = 9С система уравнений может быть приведена к простому нелинейному дисперсионному уравнению, подобному уравнению КдВ для волн малой и конечной амплитуд, только значение третьей производной заменено на производную пятого порядка. Тот же самый механизм был использован для рассмотрения системы уравнений, описывающих альфвеновскую волну, где также получены уравнения КдВ с небольшими модификациями.
В случае горячей плазмы с изотропным давлением электронов были получены в [49] уравнения КдВ с коэффициентами, зависящими от температуры и угла 9, которые оказались справедливы только при малых изменениях данных коэффициентов, ответвляющихся от состояния покоя.
Для бесстолкновительной плазмы с изотермическим давлением электронов были получены в [45] два типа уравнений КдВ, которые описывают медленные и быстрые магнито-звуковые волны. Также получено нелинейное дисперсионное уравнение для альфвеновской волны.
В [46] рассматривались решения обобщенного уравнения КдВ с добавочной производной пятого порядка с помощью численных расчетов. В итоге расчеты показали, что уравнение описывает уединенные волны как сжатия, так и расширения, в зависимости от положительной или отрицательной дисперсий. Если коэффициент при третьей производной равен нулю, то имеют место солитоны с осциллирующей структурой фронта.
Метод возмущений Крылова-Боголюбова-Митропольского был использован в [43] для получения нелинейного уравнения Шредингера при описании медленной модуляции амплитуды сложной волны в течение долгого времени в различных системах дисперсных волн, включающих плазменные волны, такие как ионно-акустические, магнитно-акустические и электронные плазменные волны. Нелинейное уравнение Шредингера было получено в [45] для описания медленной модуляции монохроматической плоской волны, которое похоже на результирующее уравнение редуктивного метода возмущений, выведенного в [42].
При рассмотрении меняющихся амплитуд альфвеновских волн в /3-плазме в [53] получили нелинейное уравнение Шредингера, которое поддерживает модуляционную неустойчивость и имеет солитонные решения. В работе также обсуждались вопросы соответствия такого теоретического описания результатам наблюдений альфвеновских солитонных структур в плазме магнитосферы Земли.
В работах [6, 27] рассмотрены семейства солитоноподобных решений уравнений бета-плазмы, которые ответвляются от состояния покоя.
Исследования полной системы уравнений [17] показали, что солитоны для 9 < 9С не существуют, но в этом диапазоне углов наклона замещаются обобщенно-уединенными волнами. В работе [18], где также анализируется полная система уравнений холодной бесстолкновительной плазмы, найдены семейства уединенных волновых пакетов, которые ответвляются от состояния покоя в результате 1 : 1 резонанса. Уравнения распространения плоских волн с учетом теплового давления рассмотрены в [27]. Как и в [17], в уравнениях сохранена инерция электронов, что приводит к наличию дисперсии. При этом неучет силы трения между ионами и электронами накладывает ограничения: плазма должна быть разреженной.
Изучение представленной проблемы на основе методов по бесстолкнови-тельной теории уединенных волн в холодной плазме, а также с использованием численных методов составляет содержание диссертационной работы.
Описание работы.Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 91 страница. Список цитируемой литературы включает 59 наименований. Основные результаты диссертации отражены в 6 публикациях. Общее количество иллюстраций в работе -29. Формулы в каждой главе нумеруются двумя числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер формулы в главе.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Низкочастотные нелинейные волны и влияние пондеромоторной силы на кинетические эффекты в плазме1985 год, кандидат физико-математических наук Томарадзе, Гогиса Даниелович
Исследование коллективных процессов в газоразрядной и твердотельной плазмах1999 год, доктор физико-математических наук Федорук, Михаил Петрович
Нелинейные возмущения и сопровождающие их эффекты нагрева и ускорения частиц в лабораторной и космической плазме1999 год, доктор физико-математических наук Кичигин, Геннадий Николаевич
Математическое моделирование процессов распространения, усиления и генерации электрогидродинамических волн свободных носителей заряда в полупроводниках2001 год, доктор физико-математических наук Браже, Рудольф Александрович
Взаимодействие лазерного излучения релятивистской интенсивности с холодной плазмой докритической плотности2008 год, доктор физико-математических наук Ширяев, Олег Борисович
Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Егорова, Елена Револьевна
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Диссертация посвящена изучению плоскопараллельных волновых движений в холодной плазме с учетом силы трения между ионами и электронами. В отличие от предыдущих трудов, в работе рассматривается постановка задачи с включением в исходную двухжидкостную модель диссипации.
В диссертации построен новый численный метод для исследования эволюции уединенных волн в холодной столкновительной плазме, который в последствии можно адаптировать и для моделей бета-плазмы с дополнениями и улучшениями, учитывающие, например, тепловое движение электронов и для волн большой амплитуды. Также в работе изучено взаимодействие однонаправленных и разнонаправленных уединенных волн в холодной бесстолкновительной плазме. Здесь за основу берется уже готовая конечно-разностная схема. В исходной постановке задачи для счета взаимодействий солитонов плазма задается как холодная, но в связи с особенностями схемы в самом счете плазма задается как горячая, но с малым параметром бета, что позволяет ее считать, как холодную.
Основная область применения полученных результатов - математическое моделирование в двухжидкостной физике плазмы. Так как модель довольно хорошо описывает поведение плазмы магнитосферы Земли и солнечного ветра, полученные результаты могут стать основой для численного исследования новых математических задач различных реальных физических процессов в данной среде.
В диссертационной работе получены следующие результаты:
- получены уравнения движения плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох, с учетом силы трения;
- разработан метод численного решения системы уравнений движения уединенных волн в столкновительной холодной квазинейтральной плазме с последовательным применением: метода координатного отображения для перехода от бесконечной прямой Ох к отрезку [—1; 1]; псевдо-спектрального метода Чебышева для дискретизации уравнений; метода подобного методу Кранка-Николсона для аппроксимации и решения системы нелинейных уравнений; готовой процедуры NEQNF программного продукта Visual Numerics -International Mathematical and Statistical Library (IMSL);
- исследовано взаимодействие однонаправленных и разнонаправленных волн различной амплитуды. Согласно результатам исследования, в однонаправленном случае волны полностью восстанавливают свои амплитуды после взаимодействия, а в разнонаправленном случае после взаимодействия наблюдаются излучения, которые приводят к небольшому уменьшению амплитуд волн.
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Егорова, Елена Револьевна, 2011 год
1. Бахолдин И.Б. Бездиссипативные разрывы в механике сплошной среды. М.: Физматлит, 2004. 320 с.
2. Бахолдин И. Б. Волновые разрывы, описываемые модифицированным уравнением Шредингера // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т. 38. № 8. С. 1331-1350.
3. Бахолдин И.Б. Задача о распаде уединенных волн и разрывы // Изв. РАН МЖГ. 2005. № 6. С. 122-139.
4. Бахолдин И.Б. Методы исследования структур диссипативных и бездис-сипативных разрывов в системах с дисперсией // Журн. выч. матем. и матем. физики. 2005. Т. 45. № 2. С. 330-343.
5. Бахолдин И.Б. Скачок с излучением в моделях, описываемых обобщенным уравнением Кортевега-де Вриза // Прикл. матем. механ. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 59-68.
6. Бахолдин И.Б., Жарков A.A., Ильичев А.Т. Неустойчивость солитонов и фронтов в изотропной безстолкновительной квази-нейтральной плазме с изотермическим давлением // ЖЕТФ. 2000. Т. 118. Вып.1(7). С. 125-141.
7. Березин Ю.А., Карпман В. И. Советская Физика // ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 1880-1896.
8. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // В сб. Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат. 1963. Вып. 1. С. 183-272.
9. Гинзбург В. JL Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: ФизМатИз, 1960. 550 с.
10. Голан В. Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1977. 384 с.
11. Егорова Е.Р. Уравнения холодной столкновительной плазмы в гидродинамическом приближении // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: естественные науки. 2010. №1(76) С. 40-47.
12. Егорова Е.Р. Модель плоской волны в бета-плазме с учетом силы трения / Е.Р. Егорова // Вестник ЯГУ. 2007. Том 4. С. 96-100.
13. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: ФИЗ-МАТЛИЗ, 2003. 256 с.
14. Ильичев А. Т. Уединенные волны-пакеты в холодной плазме // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 5. С. 154-161.
15. Ильичев А. Т. Уединенные и обобщенно уединенные волны в диспергирующих средах // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 4. С. 606-620.
16. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976. 240 с.
17. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. 472 с.
18. Кингсеп А.С. Введение в нелинейную физику плазмы. М.: Изд-во МФТИ, 1996. 208 с.
19. Роуч П.Дж. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.
20. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИЗ, 2004. 400 с.
21. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987. 398 с.
22. Bakholdin I., Il'ichev A. Solitary-wave decay in a cold plasma //J. Plasma Phys. 1998. V.60. Pt.3. P.569-580.
23. Bakholdin I., H'ichev A., Zharkov A. Steady magnetoacoustic waves and decay of solitonic structures in a finite-beta plasma // J. Plasma Physics. 2002. V. 67. P. 1-26.
24. Banos A.jr., Vernon R.: Large amplitude in a collision-free plasma. I. Single pulses with isotropic pressure // Nuovo Cimento. 1960. V. XV. № 2. P.269-287.
25. Barnes A. Collisionless damping of hydromagnetic waves // Phys. of Fluids. 1966. V. 9. № 8. P. 1483-1495.
26. Bindu S.G., Kuriakose V.G. Solitons and electromagnetic wave propagation through cold collision free plasma //J. Phys. Soc. Japan. 1997. V. 67. № 12. P. 4031-4036.
27. Brevdo L., Ruderman M.S. On the convection in a porous medium with inclined temperature gradient and vertical throughhflow. Part I. normal modes // Trans. Porous. Med. 2009. V.80. P. 137-151
28. Brevdo L. Spatially amplifying waves in plane Poiseuille flow,// Z. angew. Math. Mech. 1992. V. 72(3). P. 163-174.
29. Brevdo L. Neutral stability and resonant destabilization of the Earth's crust. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 2001. V. 457, P. 1951-1971
30. Cordey J.G. Solitary waves in a collision-free plasma with an isotropic pressure // Phys. of Fluids. 1964. V.7. № 6. P. 778-782.
31. Chester A. Grosch and Steven A. Orszag Numerical solution of problems in unbounded regions: coordinate transforms // Journal of Computational Physics. 1977. V. 25. I. 3. P. 273-295.
32. Gardner C.S., Morikawa G.K. Courant Institute of Mathematical Sciences Report No. NYO 9082. 1960.
33. D. Gottlieb, M.Y. Hussaini and S.A.Orszag Theory and application of spectral methods In: R. Voigt, D. Gottlieb and M.Y. Hussaini, Editors, Spectral Methods for Partial Differential Equations. SIAM. Philadelphia. 1984. P. 1—54.
34. Il'ichev A. Steady waves in a cold plasma //J. Plasma Physics. 1996. V. 55, Pt. 2. P. 181-194.
35. Kakutani T. Non-linear hydromagnetic waves propagating along the magnetic field in a cold collision-free plasma //J. Phys. Soc. Japan. 1966. V. 21. № 2. P. 385-391.
36. Kakutani T., Kawahara T., Taniuti T. Nonlinear hydromagnetic waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure //J. Phys. Soc. Japan. 1967. V.23. № 5. P. 1138-1149.
37. Kakutani T., Ono H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma // J. Phys. Soc. Japan. 1969. V. 26. № 5. P. 1305-1318.
38. Kakutani T., Ono H., Taniuti T., Wei C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation II. Application to hydromagnetic waves in cold plasma //J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 24. № 5. P. 1159-1166.
39. Kakutani T., Sigumoto N. Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky method for nonlinear wave modulation // Phys. of Fluids. 1974. V. 17. № 8. P. 1617-1624.
40. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid //J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45. № 2. P. 674-679.
41. Kawahara T. Oblique nonlinear hydromagnetic waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure //J. Phys. Soc. Japan. 1969. V.27. № 5. P.1331-1340.
42. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media //J. Phys. Soc. Japan. 1972. V.33. № 1. P. 260-264.
43. Kellog P.G. Solitary waves in cold collisionless plasma // Phys. of Fluids. 1964. V. 7. № 10. P. 1555-1571.
44. Kever H., Morikawa G.K. Steady, oblique, nonlinear waves in a warm collision-free plasma // Phys. of Fluids. 1966. V. 9. № 11. P. 2180-2189.
45. Kever H., Morikawa G.K. Korteweg-de Vries equation for nonlinear hydromagnetic waves in a warm collision-free plasma // Phys. of Fluids. 1969. V.12 № 10. P. 2090-2093.
46. Kivelson M.G., Russel C.T. eds.] Introduction to space physics. Cambridge.: Cambridge University Press, 1995. 568 c.
47. Korteweg D.J., de Vries G. Oil the change of form of long waves advancing in a rectangular channel and a new type of long stationary waves // Phil. Mag.(5). 1895. V. 39. P.422-443.
48. Montgomery D. Nonlinear Alfven waves in a cold ionized gas // Phys. of Fluids. 1959. V. 2. № 6. P. 585-588.
49. Patel V.L., Dasgupta B. Theory and obsedrvations of alfven solitons in the finite beta magnetospheric plasma // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1987. V. 27. I. 3. P.387-398.
50. R.Peyret Introduction to spectral methods vonKarman Institute Lecture Series 1986-04, Rhode-Saint Genese, Belgium. P. 10-11
51. Saffman P. G. On hydromagnetic waves of finite amplitude in a cold plasma // J. Fluid Mech. 1961. V. 11. P. 552-566.
52. Taniuti T., Wei C.: Reductive perturbation method in nonlinear propagation. I // J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 24. № 4. P. 941-946.
53. Vernon J.Rossow Magnetic compression of collision-free plasmas with charge separation // Phys. of Fluids. 1965. V.8. № 2. P. 358-366.
54. Wilson T.A. Structure of collision-free magnetohydrodynamics waves // Phys. of Fluids. 1962. V. 5. № 11. P. 1451-1455.
55. Yeh T. Nonexistence of looping trajectories in hydromagnetic waves of finite amplitude // Phys. of Fluids. 1966. V. 9. № 6. P. 1081-1083.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.