Математическое моделирование термомеханических процессов с использованием метода локальных вариаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Ле Шонг Тунг

• Ле Шонг Тунг
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Ле Шонг Тунг

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

1.1. Постановка краевой задачи теплопроводности.

1.2. Вариационная формулировка краевой задачи теплопроводности.

1.3. Основные вычислительные процедуры метода локальных вариаций.

1.4. Алгоритм решения температурной задачи методом локальных вариаций.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

МЕТОДОМ ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ.

2.1. Постановка краевой задачи МДТТ.

2.2. Определяющие уравнения для решения упругой задачи.

2.3. Вариационная постановка краевой задачи теории упругости.

2.4. Решение задачи теории термоупругости методом локальных вариаций.

2.5. Решение одномерной задачи термоупругости методом локальных вариаций.

2.6. Решение двумерной задачи термоупругости методом локальных вариаций.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МДТТ.

3.1. Постановка краевой задачи термоупругопластичности.

3.2.Вариационная формулировка краевой задачи термоупругопластичности.

3.3. Вычислительные процедуры метода локальных вариаций при решении краевой задачи термоупругопластичности.

3.4. Комплекс прикладных программ для решения краевых задач термоупругопластичности.

3.5. Постановка краевой задачи термоупругости с учетом ползучести.

3.6. Вариационная формулировка краевой задачи термоупругости с учетом ползучести.

3.7. Вычислительные процедуры метода локальных вариаций при решении краевой задачи термоупругости с учетом ползучести.

Глава 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ТЕМПЕРАТУРНОГО И НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ СОСТАВНОЙ КОНСТРУКЦИИ.

4.1. Расчетная схема составной конструкции.

4.2. Численный анализ температурного состояния составной конструкции.

4.3. Численный анализ напряжённо-деформированного состояния составной конструкции.

4.3.1. Решение задачи термоупругости для составной конструкции методом локальных вариаций.

4.3.2. Решение задачи термоупругопластичности для составной конструкции методом локальных вариаций.

4.3.3. Определение напряженно-деформированного состояния составной конструкции с учетом деформации ползучести.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование термомеханических процессов с использованием метода локальных вариаций»

Элементы теплонапряженных конструкций часто работают в условиях интенсивных тепловых и силовых воздействий. Работоспособность и долговечность таких конструкций зависят от многих взаимосвязанных факторов. Особенности работы теплонапряженных конструкций требуют совместного рассмотрения и температурного и силового воздействий.

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования температурного и напряжённо-деформированного состояний является математическое моделирование.

Высокая динамика современного развития вычислительных средств привела к появлению мощных компьютерных систем. Это открывает новые более широкие возможности эффективного использования математического моделирования сложных теплофизических и физико-механических процессов. В то же время качество математического моделирования во многом зависит, во-первых, от достоверности на теоретическом уровне принятых математических моделей, во-вторых, от полноты . их алгоритмической и программной реализации.

Математическое моделирование в настоящее время интенсивно развивается. Строятся усовершенствованные модели сложных нелинейных физических процессов, конструируются новые численные алгоритмы, проводятся разнообразные вычислительные эксперименты: поисковые, диагностические, оптимизационные.

При разработке и создании теплонапряжённых элементов конструкций математическое моделирование занимает одно из центральных мест - между конструированием и созданием опытных образцов. На основании результатов, полученных с помощью математического моделирования температурного и напряжённо-деформированного состояний, выполняется предварительная оценка ресурса.

Актуальность проблемы. Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов теплообмена и деформирования является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как теория теплопроводности и механика деформируемого твёрдого тела, значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.

Важнейшим с этой точки зрения является дальнейшее развитие перспективных прикладных методов математического моделирования применительно к решению новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в наиболее общем виде учитывают сложные физические эффекты, возникающие при неизотермическом вязкоупругопластическом деформировании. Это даёт возможность проведения более полного и тонкого анализа температурного и напряженно-деформированного состояний ответственных элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому нагружению, и, таким образом, получения данных для более точной оценки их ресурса.

Актуальной является также проблема создания новых эффективных алгоритмов и на их основе современного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач вычислительной термомеханики.

Диссертация выполнена в МГТУ им. Н.Э. Баумана на кафедре «Прикладная математика» (ФН-2).

Обзор состояния проблемы. Первым этапом при решении задач вычислительной термомеханики является определение температурных полей исследуемых элементов конструкций.

В создание и развитие методов решения задач теплопроводности большой вклад внесли А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, С. К. Годунов, В. С. Рябенький, Г. И. Марчук, А. В. Лыков, В. С. Зарубин, Э. М. Карташов, Н. М. Беляев, А. А. Рядно, JI. А. Коздоба, JI. И. Кудряшев, Н. JI. Меньших, Г. Н. Кувыркин, Г. Карслоу, Д. Егер, Ж. JL Лионе и многие другие.

Применение аналитических методов для решения нелинейных задач теплопроводности ограничивается, как правило, областями канонической формы и жестким ограничением на коэффициенты уравнения теплопроводности, начальное и граничные условия. При этом широко используются различные типы подстановок и преобразований. В результате получается некоторое аналитическое выражение, требующее в той или иной степени численной реализации [42].

В областях, имеющих сложную геометрическую форму, и при сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, входящих в формулировку задач теплопроводности, наиболее перспективны численные методы, среди которых продолжительное время, лидирующее положение занимают метод конечных элементов и метод граничных элементов [12,23,24,27,50,69,78].

Наряду с этими методами для решения задач теплопроводности также можно использовать метод локальных вариаций, который является главным объектом исследования этой работы. Метод прост по своей логике и легко программируется, что делает его удобным для практического использования на вычислительных машинах. Метод локальных вариаций позволяет легко учитывать ограничения на искомые функции, особенности геометрической формы области.

Важным преимуществом метода локальных вариаций является то, что при его реализации не требуется формировать и решать систему линейных алгебраических уравнений большого порядка.

При решении краевых задач теплопроводности с помощью метода локальных вариаций используется, как правило, интегральная, в частности, вариационная формулировка [9,12,24,26].

Существенным преимуществом вариационных формулировок является то, что они позволяют не только найти решение, но и оценить его погрешность. В этом смысле весьма эффективным оказывается применение двойственных вариационных формулировок. Построение и использование двойственных вариационных формулировок для получения апостериорных оценок точности температурных полей подробно рассмотрено в работах [23,25,26].

На втором этапе исследований решается краевая задача механики деформируемого твёрдого тела (МДТТ), в которой полученное температурное поле используется при формировании компонент тензора температурной деформации и тех параметров задачи, которые зависят от температуры.

В создание и развитие методов решения задач МДТТ большой вклад внесли А. А. Ильюшин, Ю. Н. Работнов, В. И. Феодосьев, JI. М. Качанов, И. А. Биргер, Н. Н. Малинин, В. С. Зарубин, Б. Е. Победря, Д. JL Быков, В. А. Шачнев, В. С. Бондарь, Г. Н. Кувыркин, Ю. М. Темис, И. И. Ворович, Ю. П. Красовский, Е. М. Морозов, Г. Н. Никишков, В. А. Постнов, JI. А. Розин, В. Г. Корнеев, А. С. Сахаров, М. Р. Айронс, О. К. Зенкевич и многие другие.

В рамках данной работы рассматриваются физически линейные и нелинейные задачи. При решении нелинейных задач одной из проблем является выбор и построение определяющих уравнений, обеспечивающих адекватное описание неупругого деформирования с учётом особенностей рассматриваемой задачи.

При решении задач с учётом упругопластических деформаций определяющие уравнения строятся либо на соотношениях деформационных теорий, либо - теорий течения. В первом случае устанавливаются соотношения для конечных значений напряжений и деформаций, например, используются соотношения А.А. Ильюшина [29,30,45]

3 еи или соотношения Г. Генки [45]

Г . о ил . \ л

1 + ® е а =-— и 2 G p + 3ju/(\ + ju) аи ~ у-ГТ-ао

J J \ + ф dSif - —

4 2 G dGs; - S„ dan

3 ds% ( s \ здесь ву, Sy - компоненты девиаторов соответственно деформаций и напряжений (i, j = 1,2,3); su, <ти - интенсивности соответственно деформации и напряжений; Еу, су у - компоненты тензоров соответственно деформации и напряжений; //- коэффициент Пуассона; G- модуль сдвига,

J0 = | (<jj j + сг22 + <т33 ); ф - некоторая функция координат.

Во втором случае рассматриваются соотношения, устанавливающие связь между приращениями компонент тензоров деформаций и напряжений, например, в форме уравнений Прандтля-Рейсса [45,88] , , 3 dEа if 1 . "uo ' J1 + // или между компонентами тензора скоростей деформаций Ёу и девиатора напряжений Sy, например, в форме уравнений Сен-Венана - Леви - Мизеса, если приращения компонент тензора пластических деформаций велики по сравнению с приращениями компонент тензора упругих деформаций [45] где б у - интенсивность скоростей деформаций.

Для определения компонент тензора приращений пластических деформаций d£y в большинстве теорий течения используется ассоциированный закон течения [30,45,88]

OS у здесь dX - множитель Лагранжа.

Функция F определяется уравнением F = 0 поверхности нагружения в пространстве тензора напряжений [30].

При решении задач МДТТ с учётом деформаций ползучести широкое применение нашли различные варианты теории наследственной ползучести и трёх основных технических теорий - старения, течения и упрочнения [6, 31,45,63]. Известны также теории, использующие для описания ползучести аппарат структурных моделей и механических аналогов [15,24].

Большинство теорий ползучести удовлетворительно описывает деформирование при постоянных или медленно изменяющихся нагрузках. Анализ напряжённо-деформированного состояния при переменных нагрузках лучше описывается с использованием теорий течения и упрочнения, при этом теория упрочнения имеет некоторые преимущества перед теорией течения, так как несколько точнее аппроксимирует результаты экспериментов [45]. С точки зрения организации вычислительного процесса технические теории имеют известные преимущества перед наследственными [45]. Однако история нагружения полнее учитывается наследственными теориями.

Важнейшей проблемой при решении нелинейных краевых задач МДТТ является выбор метода решения и реализация его алгоритма. При этом необходимо отметить, что число нелинейных задач, которые могут быть решены для конечных значений нагрузки, весьма ограничено. Практика численных исследований показывает, что результаты расчётов существенно зависят от вида и способа нагружения, т. е. программы нагружения. В этой связи широкое применение нашёл шаговый метод - метод последовательных нагружений, заключающийся в том, что рассматривается последовательное нагружение деформируемого тела приращениями нагрузки [2,5,24,44,58]. После приложения приращения нагрузки на текущем шаге в соответствии с выбранным методом решения находится приращение глобального вектора узловых перемещений и определяется напряжённо-деформированное состояние, а затем делается новый шаг по нагрузке. Сказанное относится к решению задач в приращениях перемещений, аналогично решаются задачи в приращениях напряжений. Таким образом, метод последовательных нагружений позволяет исследовать особенности кинетики напряжённо-деформированного состояния.

Для решения нелинейных задач в пределах текущего шага нагружения используются различные итерационные методы. Условно их можно разделить на три группы. Первую группу образуют методы, в основе которых лежит изменение матрицы жёсткости (при неизменном векторе правой части). К этой группе методов относятся метод переменных параметров упругости, дополнительных нагружений, тангенциальных модулей [7,24,45]. Ко второй группе относятся методы, требующие коррекции вектора правой части, при этом матрица жёсткости на шаге нагружения остаётся постоянной в пределах шага нагружения. Ко второй группе относятся два семейства методов - метод начальных деформаций и метод начальных напряжений [2, 24]. Третью группу методов составляют комбинированные методы, при реализации которых изменяется как матрица жёсткости, так и вектор правой части. Как правило, алгоритмы этих методов строятся путём различного комбинирования алгоритмов первой и второй групп методов. Достаточно подробно эти методы рассмотрены в работах [2,4,7,44,49, 64].

Широкое внедрение вычислительных технологий как составной части комплексной автоматизации сквозного цикла: проектирование конструирование - изготовление, определило появление большого количества комплексов и пакетов прикладных программ (КПП и 111111). Условно всё их многообразие можно разделить на две большие группы: исследовательские и профессиональные. Первые имеют весьма узкую специализированную ориентацию. Определяющим здесь является быстрота разработки, отладки и оперативное проведение численных исследований. Как правило, исследовательские КПП сопровождаются самим авторским коллективом. После доработки пользовательского интерфейса, а иногда, и функционального ядра с учётом опыта эксплуатации, исследовательские комплексы программ могут быть доведены до уровня профессиональных 111111, имеющих высокий сервисно-диагностический уровень. Например, к известным профессиональным 111111 можно отнести "средние" и "тяжёлые" CAD/CAE/CAM системы такие, как МАРС, ЛИРА, МЕГРЭ-ЗД, FEMHCA, МАК, АСТРА, КАСКАД-2, ASTA, АРМ WinMachine, I-DEAS, CATIA, Pro/ENGINEER, MSC/NASTRAN, ANSYS, MARC+Mentat II, MATRA, Unigraphics, COSMOS/M, STAADIII, BEASY, CADdy и некоторые другие (см. http:/www.cprsysl.demon.co.uk и http:/www.vtt.fl/rte7/femsivut.htm). Эти пакеты обладают очень высокой универсальностью и обеспечивают решение практически любой задачи, не содержащей особых сложностей. Для пользователей основная трудность состоит в овладении навыками сопровождения, причём процесс полного освоения такого пакета может оказаться достаточно длительным и трудоёмким.

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем развитии существующих и создании новых исследовательских КПП, что вызвано, во-первых, ростом требований к уровню проводимых численных исследований и, во-вторых, динамически расширяющимися возможностями современных вычислительных средств. Практика численных исследований убедительно показывает, что наряду с созданием и развитием программных комплексов общего назначения необходимо вести разработку целевых программ для решения задач в рамках одной или нескольких идейно близких математических моделей, поскольку такие программы значительно повышают эффективность вычислительного эксперимента в соответствующей предметной области.

Адаптация метода локальных вариаций к новым задачам требует пересмотра концептуальных взглядов на отдельные этапы его реализации и, в частности, на подходы к построению самих математических моделей, описывающих сложные теплофизические и физико-механические процессы, где и закладывается начальная посылка получения достоверных результатов. При этом остаётся проблема организации вычислительных процедур с максимальной степенью экономичности при соблюдении достаточно высокой точности.

Цель работы. В соответствии с изложенным выше целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие прикладных численных методов решения нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики с учётом особенностей поведения материала конструкции в условиях термосилового нагружения.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

1. Разработка алгоритмов для решения нелинейных краевых задач теплопроводности в двумерных областях сложной геометрической формы.

2. Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых задач МДТТ в двумерных областях сложной геометрической формы.

3. Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ для решения двумерных нелинейных задач теплопроводности и МДТТ.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования в первом разделе работы рассмотрены постановки краевой и вариационной задачи теплопроводности. Для решения задачи теплопроводности использован метод локальных вариаций. В разделе представлены численные решения задач теплопроводности для тонкостенной и толстостенной цилиндрической труб и выполнено сопоставление полученных результатов с аналитическими решениями.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ле Шонг Тунг

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны алгоритмы для решения нелинейных краевых задач теплопроводности в двумерных областях сложной геометрической формы на основе использования метода локальных вариаций.

2. Разработаны математические модели и итерационные алгоритмы для решения физически нелинейных квазистатических краевых задач МДТТ в двумерных областях сложной геометрической формы с учетом особенности поведения материала конструкции в условиях термосилового нагружения на основе использования метода локальных вариаций.

3. На основе разработанных моделей и алгоритмов создан комплекс прикладных программ для решения двумерных нелинейных задач теплопроводности и МДТТ.

4. Применительно к объектам энергомашиностроения решены двумерные задачи теплопроводности и МДТТ, демонстрирующие возможности разработанных методов, алгоритмов и программ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Ле Шонг Тунг, 2005 год

1. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей. -М.: Машиностроение, 1980. -533 с.

2. Аргирис Дж., Шарпф Д. Методы упругопластического анализа //Механика. 1972. - № 4. - С. 107-139.

3. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C. Основы строительной механики ракет. -М.: Высшая школа, 1969,- 494 с.

4. Бандурин Н.Г., Николаев А.П. К решению нелинейных задач // ЖВМ и МФ. 1984. - № 4. - С. 612-615.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

6. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. -М.: Мир, 1986. — 360 с.

7. Быков Д.Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности //Упругость и неупругость. 1975. - Вып. 4. - С. 119-149.

8. Вабищевич П.Н. Численное моделирование: Учебное пособие. М.: Изд-воМГУ, 1993.- 152 с.

9. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-487 с.

10. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.- М.: Мир, 1987.-542 с.

11. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы.- Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983. 215 с.

12. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-699 с.

13. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичностиконструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. - 191 с.

14. Горинштейн A.M. Практика решения инженерных задач на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1984. - 232 с.

15. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1984.- 256 с.

16. Грибанов В.Ф., Паничкин Н.Г. Связанные и динамические задачи термоупругости. -М.: Машиностроение, 1984. 180 с.

17. Гуров А.Ф. Расчеты на прочность и колебания в ракетных двигателях. -М.: Машиностроение, 1966. 455 с.

18. Демидов С.П. Теория упругости. -М.: Высшая школа, 1979. 432 с.

19. Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели. -М.: Машиностроение, 1968. 395 с.

20. Епифанов В.М., Станкевич И.В. Математическое моделирование температурных полей сопловых и рабочих лопаток газотурбинных двигателей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки.- 1993. -№1.- С. 46-55.

21. Епифанов В.М., Станкевич И.В. Математическое моделирование трёхмерных температурных полей турбинных лопаток // ДАН РАН. -1993. Т. 330, № 3. - С. 318-320.

22. Жермен П. Курс механики сплошных сред. -М.: Высшая школа, 1983. -399 с.

23. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности.- М.: Энергоатомиздат, 1983.-328 с.

24. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. - 296 с.

25. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. - 184 с.

26. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методымеханики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993.- 360 с.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.- 540 с.

28. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.- М.: Мир, 1986.-318 с.

29. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. —М.: Издательство Московского университета, 1990. -310 с.

30. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории.- М.: Изд-во АН СССР, 1963. 270 с.

31. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.-280 с.

32. Исаченко В.И., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. -М.: Энергоиздат, 1981. 416 с.

33. Квитка А. Л., Ворошко П.П., Бобрицкая С. Д. Напряжённо-деформированное состояние тел вращения. Киев: Наукова думка, 1977.- 209 с.

34. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. -М.: Издательство МАИ, 2000. 374 с.

35. Климов В.И. Задача термоупругости и методы ее решения. -М.: Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе, 1977.-41 с.

36. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1979.-208 с.

37. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. М.: Высшая школа, 1983. - 349 с.

38. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И. Условие текучести пластически деформированных материалов // Проблемы прочности. 1982. - № 6. -С. 3-10.

39. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. -М.: Мир, 1976. -Т.1.-302 с.

40. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. -М.: Мир, 1977. -Т.2. 399 с.

41. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твёрдого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993.- 142 с.

42. Кудряшев Л.И., Меньших Н.Л. Приближённые решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Машиностроение, 1979. - 232 с.

43. Майерс Г. И. Критическая величина шага по времени, используемого при решении двумерных нестационарных задач теплопроводности методом конечных элементов // Труды амер. общ-ва. инж.-мех. Теплопередача. 1978. - Т. 100, №1. - С. 130-139.

44. Макунян К.М., Никишков Г.П. Алгоритм решения задач пластичности и ползучести с зависимостью свойств материала от температуры //Физика и механика, деформации и разрушение. 1981.- Вып. 10. - С. 53-60.

45. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести.- М.: Машиностроение, 1975. 398 с.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.лит., 1977. - 456 с.

47. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 416 с.

48. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчёт элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981.- 272 с.

49. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел / Под ред. А.С. Сахарова, И. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

50. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.51.