Решение пространственных задач теории упругости и термоупругости в смещениях и напряжениях методом конечных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Вовк, Владимир Николаевич

• Вовк, Владимир Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вовк, Владимир Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. РЕШЕНИЕ. КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В

СМЕЩЕНИЯХ.

1.1.Постановка краевой задачи теории упругости.

1.2. Основная вариационная задача.

1.3.Аппроксимация обобщенных решений методом Галеркина.

1.4.Интерполяционные пространства аппроксимаций МКЭ

1.5.Построение системы уравнений метода конечных элементов.

1.6.Особенности численной реализации решения трехмерных задач.

1.7.Напряженное состояние полого цилиндра.Исследование численной сходимости-приближенных решений.Сопоставление с другими решениями.

1.8.Тор под внутренним давлением. Сопоставление с теорией оболочек.

1.9.Расчет прямоугольной плиты.Использование аппроксимаций повышенного порядка.

1.10.Расчет жестко защемленной пластинки.Сравнение различных теорий.

1.11.Расчет напряженного состояния складчатых конструкций.

1.12.Расчет баллонов электронно-лучевых приборов/ЭЛП/

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В

НАПРЯЖЕНИЯХ. Ю

2.1.Двойственная вариационная задача.

2.2.Штрафные функции и регуляризация.ИЗ

2.3.Корректность регуляризованной задачи

2.4.Интерпретация решения регуляризованной задачи.

2.5.Сходимость регуляризующей последовательности.

2.6.Сходимость и: точность аппроксимаций решения регуляризованной задачи.

2.7.Сходимость и точность аппроксимаций решения двойственной задачи.Оптимальный выбор параметра регуляризации

2.8.Одномерная задача.Исследование численной сходимости приближенных решений.

2.9.Расчет цилиндра.Сопоставление с другими: решениями • ;

ГЛАВА 3.КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПОТОСТИ.

3.1. Постановка начально-краевой задачи.

3.2. Определение температурного поля.

3.2.1.Вариационное уравнение.

3.2.2. Полу дискретные аппроксимации Галеркина.-^З

3.2.3.Рекуррентные схемы решения задачи Коши.Вычислительные аспекты реализации рекуррентных схем.

3.3.К решению квазистатической задачи: термоупругости

3.3.1.Постановка задачи .термоупругости:.

3.3.2.Вариационное уравнение

3.3.3. Конечно-элементная аппроксимация.

3.4.Анализ численных решений.

ГЛАВА 4. ВОПРОСЫ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМ МКЭ.

4.1.Реализация решения упругих задач в смещениях

4.1.I.Основные соотношения МКЭ.

4.1.2.Вычисление матрицы системы МКЭ.

4.1.3.Вычисление правых частей системы МКЭ.

4.1.4.Формирование и хранение системы МКЭ.

4.1.5.Алгоритмы решения системы МКЭ.

4.1.6.Вычисление напряжений

4.1.7.Вопросы подготовки данных

4.1.8.Основные характеристики программного комплекса.

4.2. Реализация решения упругих задач в напряжениях.

4.2.1. Основные соотношения МКЭ.

4.2.2. Особенности построения системы МКЭ.

4.2.3.Учет граничных условий на напряжения.

4.2.4.Формирование и хранение системы МКЭ.

4.2.5.Основные характеристики программного комплекса.

4.3.Реализация решения нестационарной задачш теплопроводности.

4.3.1.Основные соотношения.Система разностных уравнений?

4.3.2.Решение системы уравнений.

4.3.3.Удовлетворение граничным и начальным условиям.

4.3.4.Выбор шага интегрирования по времени.

4.3.5.Характеристики программного обеспечения.

4.4. Реализация решения квазистатической задачи термоупругости.

4.4.1. Основные соотношения.

4.4.2.Учет поля температуры.

4.4.3. Особенности построения алгоритма.

4.4.4.Характеристики программного комплекса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение пространственных задач теории упругости и термоупругости в смещениях и напряжениях методом конечных элементов»

Важным направлением современных научно-технических исследований является построение адекватных математических моделей работы различных инженерных конструкций, которые находятся в условиях силовых и температурных воздействий. Сложность геометрии исследуемых объектов и учет реальных видов нагрузок, как правило, предполагают привлечение численных методов и электронно-вычислительных машин [в , 115] для оценки их напряженно-деформированного состояния. Поэтому, важной проблемой является создание математически обоснованных методов, алгоритмов и соответствующего программного обеспечения с целью создания средств автоматизации проектирования современных приборов и аппаратов.

Особенно целесообразным является применение численных методов в трехмерных задачах механики деформируемого твердого тела, так как аналитические методы позволяют находить решения частных задач в основном для канонических или близких к ним областей 31, 66, 85, 92 J и др. Обзор исследований, аналитических и приближенных методов решения трехмерных задач теории упругости содержится в работе [^85 j . В последнее время эффективным методом численного анализа пространственных конструкций стал метод конечных элементов /МКЭ/. На основе применения МКЭ удается алгоритмизировать процесс решения трехмерных задач теории упругости в областях сложной геометрии с учетом как силовых, так и температурных воздействий.

В связи с этим является актуальным создание схем и алгоритмов МКЭ для решения трехмерных задач теории упругости и термоупругости, а также пакетов и комплексов прикладных програш, позволяющих автоматизировать процесс исследования и проектирования инженерных конструкций.

По существу МКЭ является проекционно-сеточным методом /Г.И. Марчук, В.И.Агошков [^б] /. Вначале метод конечных элементов развивался как хорошо известный метод Бубнова-Галеркина-Ритца со специальным выбором базисных функций в виде кусочно-определенных полиномов на сетках конечных элементов /Г.Стренг, Дж.Фикс [l2l] , Р.Курант [l50j /. Этот способ построения схем МКЭ известен под названием вариационно-разностного метода /Л.А.Оганесян, В.А. Ривкинд, Л.А. Руховец [89, 90] ,С .Г. Мих-лин [80, 81J , В.Г. Корнеев [бб] , Г.И.Марчук [?4] , Ж.Обэн ^88] /. Такая интерпретация МКЭ позволила распространить оценки аппроксимации, скорости сходимости и устойчивости вариационных методов [зз, 80, 82J на основные схемы МКЭ. Расширение области приложения МКЭ в настоящее время, естественным образом, привело к развитию метода, как проекционного метода приближенного решения краевых задач математической физики. Попытка общей классификации схем МКЭ недавно предпринята Ф.Сьярле Значительный вклад в разработку вопросов построения и обоснования схем МКЭ внесли В.Г.Корнеев, Г.И.Марчук ,С.Г.Михлин, Н.Н.Яненко, Дж. Аргирис, О.Зенкевич, М.Зламал, Дж.Оден, Г.Стренг, Дж.Фикс, Ф.Сьярле, Р.Темам и др.

В приложениях к решению задач механики деформируемого твердого тела МКЭ понимался как обобщение методов решения задач строительной механики /метода перемещения и метода сил/, основанное на интуитивном и естественном для инженерной практики расчленении упругого континуума на составные части с конечным числом степеней свободы /Л.А.Розин [lOO- I03~j ,З.И.Бур-ман и др. [ю] , В.А. Постнов[9б], В.А.Постнов, И.Я.Хархурим

97] , А.В. Александров, Б.Я.Лащенков, Н.Н.Шапошников £2] , Д.В. Вайнберг, А.С.Городецкий, В.В. Киричевский, А.С.СахаровJllJ, Н.П.Флейшман и др. jj29] , сборник статей ^78 j , А.Г.Угодчиков и др. ^125 J , Дж. Аргирис 144], 0 Зенкевич j*4l] и др. / . Обзор исследований в этом направлении сделан в работе Д.Норри, Ж.де Фриза |^87] , а библиографический обзор по методу конечных элементов в работе [l?^] и др.

Привлечение аппарата теории матриц [ 144] и широкое применение ЭВМ способствовали использованию МКЭ в практике расчетов. Эффективность применения МКЭ к решению задач прикладного характера в решающей мере зависит от наличия развитого программного обеспечения [45 ] , создание которого является наиболее трудоемкой частью реализации МКЭ. Следует отметить, что эффективность разрабатываемого программного обеспечения в значительной мере зависит от возможностей используемой ЭВМ и ее конкретной конфигурации. Поэтому в настоящее время известно много достаточно мощных и разнообразных пакетов прикладных программ, способных настраиваться на решение широкого класса научных и инженерно-технических задач. Следует выделить разработки выполненные под руководством А.С. Сахарова, А.Л.Синявского /Киев/, А.Г.Угодчи-кова, В.А. Толока /Горький/, А.С.Городецкого /Киев/, В.А.Постнова /Ленинград/, З.И.Бурмана /Казань/, Н.Н. Шапошникова /Москва/, А.Л.Квитки, П.П.Ворошко /Киев/, Й.Альтенбаха /Магдебург, ГДР / и др. Обзор по наиболее известным зарубежным программным схемам МКЭ см. [l27 , 153] .

Следует отметить, что решение существенно трехмерных задач термомеханики представляется одной из наиболее сложных проблем. Если построение схем МКЭ и теоретическое исследование их сходимости осуществляется средствами общей теории аппроксимации и функционального анализа, то удовлетворительное решение вопросов создания эффективных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения сопряжено со значительными трудностями методического и технического характера. МКЭ в трехмерных задачах требует хранения и обработки больших массивов информации, значительного времени работы ЭВМ, что требует существенной и квалифицированной доработки структуры программного обеспечения,созданного для двумерных задач. Так, например, построение трехмерных сеток конечных элементов является нетривиальной задачей и, к настоящему времени, не существует общего алгоритма разбиения трехмерного тела на конечные элементы Кроме того, формирование системы МКЭ высокого порядка со значительной шириной ленты ненулевых элементов требует привлечения всех ресурсов ЭВМ, операционной системы и нестандартной организации алгоритмов ее решения. Далее, если в двумерных задачах известно много различных способов аппроксимации на треугольных и четырехугольных элементах, то в трехмерных задачах для аппроксимации смещений, в настоящее время, практически используются лишь шестигранные конечные элементы с восьмью и двадцатью расчетными узлами |~42]. Поэтому, неудивительно, что даже при наличии некоторого программного обеспечения, решение каждой конкретной практической трехмерной задачи и анализ полученных результатов представляет собой сложную и трудоемкую проблему.

Отметим, что методика решения трехмерных задач и их программная реализация рассматривались в работах [^4, 7, 24, 27, 29, 32, 41, 63-65, 68, 76, 77, 116, 117, 126, 144, 169, 178, 179, 188, 189^ Н.А.Вульфовича, А.П.Горячева, В.В.Зарубаева, Б.Кур-манбаева, В.А.Пахомова, А.М.Полатова, А.С.Сахарова,Б.В.Фрадкина, Й.Альтенбаха, Дж.Аргириса, Ю.Данкерта, О.Зенкевича,Р.Мелоша,

И.Р.Рашида и др. Различным вопросам алгоритмизации трехмерных задач и их реализации на ЭВМ посвящены также работы [р, 39, 40,, 44, 50, 60, 61, 98, .146, 163, 170] . Разрабатываются схемы МКЭ и создаются программные системы решения трехмерных задач с учетом физической и геометрической нелинейностей [28, 119, 151^, упругопластических задач о трещинах JjE64J , задач термоупругости и термопластичности [43, 145, 156, 171] , связанных задачах термоупругости [l67j . Осуществляются попытки упростить общую трехмерную задачу путем использования каких-либо специальных свойств [l3, 38j , применения полуаналитических методов ^12,4l], использования переходных элементов для стыковки массивных и тонкостенных элементов [l4I, I8l] , гибридных трехмерных конечных элементов [мз] , а также алгоритмов метода суперэлементов [26 , 97, 124] . Общие вопросы применения МКЭ к решению задач механики деформируемых тел обсуждаются в работах [41, 52, 77, 79, 83, 87, 88, 101, 109, 118, 121, 123, 160] .

Среди отмеченых выше задач важное место занимают задачи расчета на прочность конструкций, которые работают в условиях температурных и силовых нагрузок . Решению начально-краевых задач точными и приближенными методами посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных ученых. Фундаментальные исследования в этой области связаны с работами Г.Карслоу, Д.Еге-ра [47], А.Д.Коваленко [52] , А.В.Лыкова |Wj, Я.С.Подстригача, Ю.М.Коляно [93-95], Г. С. Кита и др. и др. Несмотря на большое число публикаций, количество работ, в которых решение сложных пространственных задач теплопроводности и термоупругости доведено до числовых результатов, незначительно.

С позиций метода конечных элементов задачи теплопроводности рассматривались в работах О.Зенкевича [41], Г.И. Кувыркина

59], С.М. Чорного [137], А.И.Гапеева, В.И. Кудашова, В.П.Устинова [25] , Г.Г. Завялова, А.С.Сахарова , С.М.Чорного [40] и др. В работах [41, 137] используется конечно-элементная аппроксимация по пространственным и временной переменным. Исследование пространственной задачи стационарной теплопроводности с использованием полилинейных, квадратичных и кубических конечных элементов проводится в работе [40] . В работе |2б] рассматривается решение пространственной задачи нестационарной теплопроводности. При этом предполагается отсутствие источников и стоков тепла. Дискретизация основных дифференциальных соотношений по пространственным переменным осуществляется методом Бубнова-Галеркина с использованием пространственных изопарамет-рических конечных элементов, а дискретизация по времени - с помощью неявной схемы Кранка-Николсона.

Если удается построить подходящую расчетную сетку, то метод конечных элементов дает возможность решить в принципе любую задачу, независимо от ее сложности. На практике проблема автоматизации построения трехмерных сеток конечных элементов является сложной. Вопросам автоматизации генерирования сетки для изучения трехмерных проблем МКЭ посвящены работы ^46, 147, 155, 183J , а также обзор [l42] . По-видимому, основные результаты повышения качества и снижения стоимости расчета трехмерных задач находятся в автоматизации ввода и вывода данных. Эти проблемы решаются построением препроцессоров и постпроцессоров, предназначенных для применения совместно с различными программами решения задач МКЭ и обеспечивающие интерактивную обработку входной и выходной графической информации [l27] , а также разработкой специализированных комплексов программ для решения сравнительно узкого круга важных практических задач.

Применение метода конечных элементов в механике деформируемого твердого тела основано, как правило , на использовании вариационных принципов механики [i, 67, 69, 86, 104, 162, 165, 17б] . Исходя из различных вариационных постановок задач, можно получить разные схемы МКЭ, в которых в качестве неизвестных могут фигурировать узловые значения смещений, или напряжений, или те и другие одновременно. Наиболее распространенными являются алгоритмы, основанные на принципе Лагран-жа /метод перемещений, см. напр. [2, 4l]/ и принципе Кастиль-яно /метод сил, см. напр. [l0, I2l] /. Заметим, что применение этих принципов позволяет получать двусторонние оценки погрешности приближенного решения [80, 159, 174, 184] . Меньшее распространение получил смешанный метод, который вводит в качестве независимых переменных смещения и напряжения. Гибридные схемы МКЭ предложены в работе [l77] ; обычно их пог- , решность лежит между погрешностью метода перемещений и метода сил [l2l] . В статье [14з] гибридные конечные элементы применяются к решению трехмерных задач.

Важно подчеркнуть, что в трехмерных задачах используются преимущественно схемы МКЭ в смещениях. Искомой функцией в этом случае является вектор смещений. Поскольку деформации определяются с помощью численного дифференцирования, то напряжения в такой постановке определяются с меньшей точностью чем смещения. Если учесть, что обычно в трехмерных задачах расчет приходится выполнять на редких сетках конечных элементов, то важной проблемой становится достоверное вычисление напряжений.

В этой связи представляется перспективным построение и разработка схем МКЭ для решения задач в напряжениях. Основная трудность построения таких схем состоит в необходимости строить аппроксимации, удовлетворяющие уравнениям равновесия. В этом направлении имеется небольшое количество работ /Л.А.Розин [юо] , Л.М. Хазин [133], А.В.Вовкушевский, Л.А.Розин А.А.Челюбеев, М.П.Сычев [13б], Г.Сандер [lI4j, М.П.Сычев [l22[, Б.Вебеке [l85] , И.Главачек [l58] , М.Крижек ^166] /,в которых рассмотрены, так называемые равновесные системы конечных элементов. В недавних работах О.Зенкевича , Р.Тейлора |[l82"] , Дне. Одена ^173 J без строгого обоснования развиваются идеи метода штрафных функций / Р.Курант [l50] /, для снятия ограничений, имеющих вид уравнений равновесия. Проблемам вычисления напряжений посвящены также статьи [22, 34, 62, 91, 161, 168] . В работах В.Г.Литвинова, А.Д.Пантелеева [70], В.Г.Литвинова для частных задач построены аппроксимации, удовлетворяющие уравнениям равновесия.

Из приведенного обзора следует, что применительно к пространственным задачам теории упругости научный и практический интерес представляет разработка эффективных схем метода конечных элементов для решения квазистатической задачи термоупругости и построение на их основе специализированного, проблемно-ориентированного программного обеспечения, разработка и исследование схем метода конечных элементов в напряжениях.

Целью настоящей работы является:

I. Применение и развитие схем МКЭ к решению трехмерных задач теории упругости, нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости / в смещениях /. Создание на их основе алгоритмов эффективного математического обеспечения для решения научных задач и расчета инженерных конструкций, находящихся в условиях температурных и силовых воздействий.

2. Построение и математическое обоснование схем МКЭ для решения задач теории упругости в напряжениях с применением дополнительных вариационных принципов и штрафных функций. Реализация разработанных алгоритмов и их апробация на решение ряда тестовых задач с целью исследования и выяснения их эффективности и численной сходимости.

3. Исследование с позиций трехмерных задач теории упругости напряженно-деформированного состояния баллонов электровакуумных приборов /ЭВП/, которые имеют важное практическое применение в народном хозяйстве.

Диссертация содержит четыре главы. S О *> о и

В первой главе на основе соотношении линеинои краевой задачи теории упругости строится вариационная задача о минимуме функционала потенциальной энергии на множестве кинематически допустимых полей смещения /основная вариационная задача/. Приближенное решение вариационной задачи строится методом Га-леркина-Ритца с выбором изопараметрических аппроксимаций смещений на шестигранных конечных элементах с восьмью и двадцатью узлами интерполирования. Обсуждаются вопросы эффективного построения разрешающих уравнений МКЭ с применением численного интегрирования и изопараметрического преобразования координат. Специфика предложенного алгоритма состоит в том, что базисные функции и их производные один раз и навсегда, табулируются в узлах квадратурной формулы стандартного конечного элемента и запоминаются. Время интегрирования на конечных элементах, при этом, значительно сокращается, так как основное время уходит лишь на вычисление значения якобиана в узлах квадратурной формулы. Этот прием [l6, 139] реализован в разработанном программном обеспечении трехмерных задач теории упругости.

Приведены результаты решения и исследования напряженного состояния ряда тестовых задач и двух практически важных задач о монтаже плиты-перекрытия и упругом равновесии баллонов электронно-лучевых приборов /ЭЛП/ под действием внешнего равномерно распределенного давления.

Вторая глава посвящена решению краевых задач теории упругости в напряжениях. Исходя из соотношений линейной краевой задачи теории упругости формулируется двойственная вариационная задача и устанавливается связь ее решения на множестве статически допустимых тензоров напряжений с решением основной вариационной задачи. Для решеншз>д1зойственной вариационной задачи методом Ритца использутагся штрафные функции. Для этого строится регуляризованная/^двойственная задача и устанавливается корректность такого построения т.е. доказывается, что решение регуляризованной задачи существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Регуляризованная задача решается приближенно с помощью стандартной процедуры метода конечных элементов, описанной в первой главе. Устанавливается смысл регуляризованного решения, доказываются условия сходимости регуляризующей последовательности к решению двойственной вариационной задачи, сходимость и точность аппроксимаций регуляризованной задачи методом Ритца. Подробно исследуется сходимость и точность аппроксимаций решения двойственной задачи, а также вопрос об оптимальном выборе параметра регуляризации в зависимости от диаметра конечноэлементной сетки и порядка используемых полиномов для построения приближенного решения. Детально обсуждаются результаты численной реализации предложенных алгоритмов на примере решения одномерных задач. Описанная методика также положена в основу комплекса программ решения трехмерных задач теории упругости в напряжениях методом конечных элементов. Исследованы численные решения ряда задач.

В третьей главе метод конечных элементов применяется к решению трехмерной квазистатической задачи термоупругости на основе конечноэлементной аппроксимации с использованием изопа-раметрических шестигранных конечных элементов с восьмью и двадцатью расчетными узлами. Для определения температурного поля решается начально-краевая задача нестационарной теплопроводности. Решение осуществляется на основе полудискретных аппроксимаций Галеркина. В этом случае неизвестные коэффициенты являются функциями времени и для их определения строится задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также рекуррентные схемы их решения. Исследуются условия сходимости полудискретных аппроксимаций Галеркина и рекуррентных схем. По известному температурному полю определяется соответствующее термоупругое напряженное состояние. Для этого на основе соотношений линейной краевой задачи квазистатической термоупругости строится вариационная задача о минимуме функционала Лагранжа на множестве кинематически допустимых полей смещений. На основе описанных алгоритмов созданы комплексы программ решения трехмерных задач нестационарной теплопроводности; /при условиях конвективного теплообмена и наличия источников тепла / и и соответственно квазистатической задачи термоупругости при воздействии температурного поля и силовых нагрузок. Исследована эффективность и численная сходимость разработанных алгоритмов. Рассмотрены числовые примеры решения задач теплопроводности и термоупругости.

В четвертой главе рассмотрены вопросы программной реализации МКЭ, связанные с решением задач предыдущих глав. Для решения упругих задач в смещениях приводятся основные соотношения МКЭ, обсуждаются оптимальные способы вычисления коэффициентов матрицы и вектора правых частей системы МКЭ. Описывается блочный способ формирования системы разрешающих уравнений МКЭ с одновременным прямым ходом метода Гаусса и последующим хранением блоков на магнитном диске. Обсуждаются некоторые способы хранения матриц МКЭ и методы решения систем линейных алгебраических уравнений для ленточных симметричных матриц. Рассматриваются вопросы вычисления напряжений, подготовки входных данных МКЭ и приводятся характеристики программного комплекса.

Реализация решения упругих задач в напряжениях осуществляется на основании аппроксимаций изопараметрическими шестигранными конечными элементами.Приводятся основные соотношения МКЭ, особенности построения системы и учета граничных условий на напряжения, способы формирования и хранения системы МКЭ.

Затем обсуждаются вопросы реализации алгоритма решения квазистатической задачи термоупругости. Приводится описание принципов организации комплексов программ, их функционирование в вычислительной среде операционной системы ДОС/ЕС, характеристики по времени и используемой основной и внешней памяти. Приводятся блок-схемы комплексов программ для решения задач, рассмотренных в предыдущих главах.

В заключение работы формулируются выводы по результатам выполненных исследований.

В приложении содержатся документы о внедрении результатов работы в инженерную практику.

Таким образом, на защиту выносятся следующие новые результаты, полученные в работе:

- применительно к решению трехмерных задач квазистатической термоупругости для тел сложной геометрии под действием нестационарных температурных полей и силовых нагрузок разработаны и реализованы усовершенствованные схемы метода конечных элементов;

- для решения задач теории упругости в напряжениях, на основании метода штрафных функций предложена новая схема МКЭ; доказана ее сходимость, получена оценка скорости сходимости и дано обоснование оптимального выбора параметра штрафа;

- разработан комплекс программ, ориентированный на решение задач проектирования баллонов ЭЛЛ и кинескопов, который позволяет полностью автоматизировать процесс решения пространственной задачи теории упругости, нестационарной теплопроводности, квазистатической термоупругости / в смещениях/;

- разработан комплекс программ решения пространственных задач теории упругости в напряжениях методом конечных элементов;

- решены сложные инженерные задачи, имеющие важное народно-хозяйственное значение, а именно: выполнен расчет баллонов ЭЛП и расчет напряжений, возникающих в процессе монтажа складчатых конструкций.

Достоверность основных научных результатов и выводов работы обеспечивается: строгостью постановок соответствующих задач и точностью использованных соотношений; тщательным исследованием точности полученных численных решений путем их сравнения с известивши решениями тестовых задач, а также решениями, полученными на разных сетках; анализом решений с точки зрения их физической достоверности; сопоставлением с экспериментальными данными.

Результаты выполненных исследований опубликованы в работах [15-21, 53, 105, 108, III, 112, 128, 129, 140] . Они докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

1У Республиканской конференции математиков Белорусии /Минск, 1975/, УП научной конференции по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тела /Ташкент, 1975/, Республиканской научно-технической конференции "Качество, прочность , надежность и технологичность электровакуумных приборов" /Львов, 1976/, научном семинаре ЗНЦ АН УССР "Качество , прочность и надежность ЭВП" /Львов ,1977 /, Республиканской научно-технической конференции "Повышение качества ЭЛП в десятой пяти-летке"/Киев, 1977 /, П,Ш,1У,У Всесоюзных школах-семинарах по методу конечных элементов в механике деформируемых тел /Горький,1975; Кишинев ,1977; Львов, 1979; Рига, 1981/, П и УШ конференции молодых ученых ИППММ АН УССР /Львов, 1978,1981/, П Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" /Киев, 1978/, Всесоюзном совещании-семинаре по краевым задачам теории фильтрации /Ровно, 1979/, Всесоюзной школе молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики"/Дрого-бич, 1980/, УП и УШ Всесоюзных конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности /Миасс, 1981; Ужгород , 1983/, У1 тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций /Ленинград, 1983/, I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур/ Львов, 1983/, I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам в механике твердого деформируемого тела /Москва, 1984/, на ежегодных научных конференциях Львовского госуниверситета и на семинарах кафедры прикладной математики ЛГУ /1976-1984/.

В целом работа докладывалась на семинаре отдела термомеханики и специализированном семинаре по механике деформируемого твердого тела Института прикладных проблем механики и математики АН УССР /г.Львов/.

Работа выполнена в рамках планов научных исследований госбюджетной и хоздоговорной тематики кафедры прикладной математики ЛГУ, а именно:

1. Темы № 0181.800.8271 Сводного плана научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ Минвуза УССР"Раз-работка методов и алгоритмов проектирования и оптимизации баллонов электронно-лучевых приборов и элементов электронно-оптических систем" /1981-1985/, утвержденной приказом Минвуза УССР № 378 от 24 июля 1981 г.

2. Пятилетнего плана работ по заданию 01 подпрограммы РН.81.03.Ц целевой комплексной научно-технической программы РН.Ц.003. " Снижение материалоемкости оборудования и сооружений", утвержденная Постановлением СМ УССР № 146 от 29 февраля 1980 г., Постановлением Бюро Президиума АН УССР № 118 от 12 марта 1980 г. и приказом Минвуза УССР № 155 от 19 марта 1980 г.

3. Комплексной программы "Качество и эффективность производства ЭЛП" на I98I-I985 гг., утвержденной МЭП СССР и Президиумом АН УССР, в рамках исследований по плану межведомственного целевого научно-производственного объединения "Экран" ЗНЦ АН УССР.

Отметим вклад соавторов работ, опубликованных по теме диссертации:

Научный руководитель Н.П.Флейшман - общее руководство и обсуждение результатов. Научные консультанты : Я.Г.Савула-совместная постановка задач и обсуждение результатов, Г.А.Шин-каренко - совместная постановка задач, обсуждение результатов, разработка алгоритмов решения задач теории упругости в напряжениях; Е.Я.Фолькенфлик - участие в создании комплекса программ ориентированного на решение задач проектирования баллонов ЭЛП и кинескопов на ЭВМ БЭСМ-б.

Автор выражает сердечную признательность научному руководителю, профессору, доктору технических наук Н.П.Флейшману, доцентам, кандидатам физико-математических наук Я.Г.Савуле, Г.А.Шинкаренко за помощь и постоянное внимание, оказанное ими в процессе выполнения данной работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Вовк, Владимир Николаевич

Результаты исследования сходимости МКЭ приведены в табл. I.II.I для узлов конечноэлементной сетки. В первой строке для каждого узла приведены значения и б а из работы [l57j , во второй и третьей строке - результаты МКЭ на сетках 5х5 и 10*10 трехмерных конечных элементов. Анализ результатов показывает удовлетворительную сходимость МКЭ и их достаточное соответствие данным приведенным в работе [l57^ . Отметим, что приведенные результаты получены с использованием линейных аппроксимаций на конечном элементе, для которых наблюдалась лучшая сходимость к приближенным решениям [4l] , чем при квадратичной аппроксимации. На возможность получения таких результатов в задачах с сосредоточенными нагрузками при использовании сложных элементов указано в работе [4l] . На рис. I.II.6 и рис. I.II.7 представлены значения главных напряжений и 62 Для описанной выше задачи, полученные МКЭ.

На рис. I.II.5 показаны сечения стыкуемых элементов с нанесенной конечноэлементной сеткой используемой для расчета.Принятая схема подготовки данных МКЭ дает сгущение сетки в окрестности точки приложения сжимающей силы.

Для исследования напряженного состояния стыкуемых элементов в процессе закрытия сухого стыка приняты два вида попереч

0,0 : L X 1,0 : 2,0 : 3,0 : 4,0

-0,5821 -0,1591 -0,0448 -0,0124 0

6i -0,7068 -0,0961 -0,0417 -0,0133 -0,0010

4, 0 -0,6894 -0,1323 -0,0303 -0,0091 -0,0003

0,0649 -0,0721 -0,0432 -0,0167 -0,0039 б2 -0,0431 -0,0192 -0,0729 -0,0217 -0,0049

-0,0650 -0,0656 -0,0535 -0,0152 -0,0026

-0,3502 -0,1962 -0,0919 -0,0387 -0,0085

6, -0,3576 -0,2178 -0,0739 -0,0324 -0,0060

3, 0 ~ -0,3358 -0,2178 -0,0857 -0,0325 -0,0052

0,0671 +0,0020 -0,0183 -0,0148 -0,0060

6 +0,0240 +0,0198 -0,0089 -0,0219 -0,0098

0,0480 +0,0140 -0,0217 -0,0186 -0,0070

-0,2485 -0,1885 -0,1152 -0,0598 -0,0198 б< -0,2443 -0,2010 -0,1173 -0,0539 -0,0148

0 -0,2404 -0,1973 -0,1179 -0,0571 -0,0156

0,0659 +0,0361 +0,0102 0 -0,0016

62 +0,0478 +0,0387 +0,0191 +0,0030 -0,0023

0,0568 +0,0407 +0,0131 -0,0008 -0,0019

-0,2085 -0,1783 -0,1233 -0,0719 -0,0284

64 -0,2056 -0,1822 -0,1281 -0,0706 -0,0228

I, ,0 -0,2033 -0,1800 -0,1268 -0,0711 -0,0245

0,0640 +0,0487 +0,0264 +0,0104 +0,0025 б2 +0,0551 +0,0486 +0,0328 +0,0163 +0,0056

0,0603 +0,0507 +0,0302 +0,0126 +0,0032

-0,1949 -0,1723 -0,1250 -0,0749 -0,0315

-0,1949 -0,1762 -0,1296 -0,0754 -0,0263

0, ,0 -0,1931 -0,1742 -0,1283 -0,0752 -0,0279

0,0635 +0,0519 +0,0313 +0,0147 +0,0039 б. +0,0573 +0,0514 +0,0368 +0,0204 +0,0081 d +0,0613 +0,0533 +0,0350 +0,0169 +0,0051

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современных условиях важное и перспективное значение приобретают вопросы разработки эффективных методов решения задач пространственной теории упругости и термоупругости для тел сложной формы. Для преодоления математических трудностей, возникающих при решении конкретных задач прочности, необходима разработка новых методов, вычислительных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения. Их применение в практике проектирования позволит с максимальной точностью моделировать работу современных конструкций в условиях силовых и температурных воздействий и, таким образом, улучшить их качество, прочность, надежность и технологичность.

Значительные успехи в этом направлении достигнуты благодаря развитию метода конечных элементов. Несмотря на значительное количество публикаций, посвященных развитию и применению МКЭ к решению задач механики деформируемого твердого тела, продолжают оставаться актуальными вопросы повышения эффективности известных схем МКЭ для решения трехмерных задач, разработка новых алгоритмов и схем метода конечных элементов, а также создание на их основе комплексов и пакетов программ для решения научно-технических задач, возникающих в приборостроении, машиностроении, строительстве.

В частности, можно отметить имеющую важное практическое и научное значение задачу расчета баллонов электронно-лучевых приборов, находящих сейчас широкое применение почти во всех областях техники.

В диссертационной работе рассмотрены следующие вопросы:

1. Применение и развитие схем МКЭ к решению трехмерных задач теории упругости, нестационарной теплопроводности и квазистатической термоупругости в смещениях.

2. Построение и математическое обоснование схем МКЭ для решения задач теории упругости в напряжениях с применением дополнительных вариационных принципов и штрафных функций, что позволило применять для их решения стандартные программы МКЭ.

3. Реализация разработанных алгоритмов в пакетах прикладных программ простой структуры и их апробация на решении ряда задач с целью исследования их эффективности и численной сходимости.

4. Решение и исследование новой актуальной и трудной задачи расчета баллонов ЭЛП.

5. Исследование напряженного состояния плиты-перекрытия возводимой новым экономичным способом.

Комплекс программ определения напряженного состояния трехмерных тел внедрен в практику проектирования баллонов ЭЛП СКВ ПО "Кинескоп" /г.Львов/ в составе математического обеспечения САПР ЭЛП на ЭВМ БЭСМ-6.

С помощью разработанного автором комплекса прикладных программ исследовано напряженное состояние элементов сухих стыков в процессе изготовления пространственных железобетонных конструкций, бетонируемых в плоском развернутом состоянии на Калушском заводе железобетонных конструкций.

Кроме выше упомянутых организаций результаты данной работы могут найти применение в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских учреждений, занимающихся расчетом объемных элементов машин, приборов и конструкций сложной геометрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вовк, Владимир Николаевич, 1984 год

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек.-М.: Наука, 1978.287 с.

2. Александров А.В., Лащенков Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика тонкостенных пространственных систем,- М.: Стройиздат, 1983,- 488 с.

3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи термоупругости.- М.: Наука, 1978.-464 с.

4. Альтенбах Й., Данкерт Ю. К решению пространственных задач механики твердого тела с помощью трехмерных конечных элементов." Успехи механики/ПНР/ , т.1, Р 3-4, 1978, с.71-89.

5. Аминов А. Об одном подходе к алгоритмизации решения трехмерных статистических задач теории упругости. Вопросы вычисл.и прикл. мат., Ташкент, 1981, Р 65, с.45-55.

6. Аргирис Д®. Вычислительные машины и механика.- Теоретическая и прикладная механика. Труды Х1У межд. конгресса /Делфт, 30 авг.-4 сент. 1976 г./ .- М., 1979, с. 15-29.

7. Байков А.Д., Е1ульфович Н.А., Зарубаев В.П. 0 расчете массивных конструкций с применением конечных элементов высокого порядка точности.- В кн.: Метод конечных элементов в строительной механике. Горький, 1975, с. 63-74.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы.-М.: Наука, 1973.- 631 с.

9. Бубен И.Ш., Марченко И.С., Подстригач Я.С. и др. Основные задачи теоретического обеспечения системы автоматизации проектирования ЭЛП.- В кн.: Качество,прочность, надежность, технологичность электровакуумных приборов.- К.: Науковадумка, 1976, с. 5-8.

10. Бурман З.И., Аксенов О.М., Лукашенко В.Н., Тимофеев М.Ф. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек.-М.: Машиностроение, 1982.- 256 с.

11. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В. Сахаров

12. А.С. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел. Прикладная механика, 1972, т.8, с. 3-28.

13. Васильков Г.В. К развитию квазидвумерных схем МКЭ в решении пространственной задачи теории упругости.- В кн.: Нелиней -ные задачи теории плит и оболочек, Ростов-на-Дону, 1977,с. 79-87.

14. Вериженко В.Е. О расчете пространственных тонкостенных систем методом конечных элементов в постановке пространственной задачи теории упругости.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1980, вып. 36, с. 60-62.

15. Вовк В.Д., Шинкаренко Г.А. Решение осесимметричных задач теории упругости методом конечных элементов.- Вестн. ун-та, сер. мех.-мат., вып. 19. -Львов: Вшца школа, 1982, с.51-58. /на уяр.яз./

16. Вовк В.Н. Применение метода конечных элементов к расчету пространственных конструкций на основе трехмерной теории упругости. Вестн. Львов, ун-та, сер. мех.-мат., вып.15. -Львов: Вища школа, 1979, с. 59- 64./на укр.яз./

17. Вовк В.Н., Вовк В.Д., Григорян С.С., Дыяк И.И., Савула Я.Г.,

18. Шинкаренко Г.А. Численное решение краевых задач термоупру-гости'методом конечных элементов,- В кн.: Теорет.и прик -ладн. проблемы вычислит, математики: Сб. докл. Всесоюз. школы молодых ученых / Под ред. А.А.Самарского.- М.: И ПМ АН СССР,198I, с. 47.

19. Вовк В.Н., Фолькенфлик Е.Я. Методика прочностного расчета при проектировании баллонов ЭЛТ,- В кн.: Механика неоднородных структур: Тез.докл. /Ред.кол.И.Ф.Образцов, Я.С.Под-стригач /отв.ред./ и др. К.: Наукова думка, 1983,с.42-44.

20. Вовк В.Н., Шинкаренко Г.А. Решение краевых задач теории упругости в напряжениях МКЭ.-Львов. ун-т.Львов, 1984.

21. Рукопись деп. в УкрНИИНТИ 24 мая 1984 г.,№931 Ук- 84ДЕП/. 31 с.

22. Вовкушевский А.В. О вычислении напряжений при решении задач упругости методом конечных элементов.- Известия ВНИИ гидротехники,1979,выпЛ33, с.3-7.

23. Вовкушевский А.В., Розин Л.А. Применение принципов Кастиль-яно и Рейснера при реализации МКЭ в задачах теории упругости с упругой заделкой.- Известия ВНИИГГ им. Веденеева,1973, t.IOI, с. 48-54.

24. Вульфович Н.А., Зарубаев В.В. Автоматизированная система программ расчета массивных конструкций -СШРАМАК.- Сб. науч.тр.всес.проект.-изыскат. и НИИ Гидропроект,1980,1. Р 74, с. 50-60.

25. Гапеев А.И., Кудашов В.И.,Смолянин А.Г., Устинов В.П. Комплекс программ ВИОЛА для решения статических, динамических и температурных задач механики твердого тела.- Прикладные пробл.прочн. и пластич., Горький, 1982,№ 22, с. 150-153.

26. Городецкий А.С. Численная реализация метода конечных элементов.- Сопротивление материалов и теория сооружений,1973, вып. 20, с. 31-42.

27. Горячев А.П., Пахомов В.А. Комплекс программ для решения трехмерных задач для теории упругости.- Комплексы программ мат.физ. /Материалы 6-го Всес. семинара по комплексам программ мат. физики, Днепропетровск, 1979, /.-Новосибирск, 1980, с. 121-127.

28. Горячев А.П., Пахомов В.А. Решение трехмерных физически нелинейных задач МКЭ.- Прикладные пробл. прочн. и пластичн., Горький,1980, вып. 15, с. 69-75.

29. Горячев А.П., Пахомов В.А., Санков Е.И. Применение МКЭ к решению трехмерных задач теории упругости.- Прикладные пробл. прочн. и пластичн., Горький, 1979, вып. 12, с. 44-51.

30. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственныхзадачах теории упругости,- Киев: Вища школа, 1982,- 352 с.

31. Данкерт Дне., Габберт I. Вычислительная система, для исследования трехмерной проблемы прочности: методом конечных элементов.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1978, вып. 33, с. 3-9.

32. Деклу Ж. Метод конечных элементов.-М.: Мир, 1976.- 96 с.

33. Дирба Д.А., Лавендел Э.Э. Определение поля напряжений методом конечного элем ента.- Вопросы динамики и прочности,

34. Рига, 1982, вып. 40, с. 47-53.

35. Дыяк И.И. Реализация высокоточных схем метода конечных элементов для задач нестационарной теплопроводности.-Вестн.Львов, ун-та, сер. мех.-мат., вып. 19.-Львов: Вища школа, 1982, с. 44-51. / на укр.яз./

36. Дыяк И.И Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Расчет термонапряжений в осесимметричных телах на основе метода конечных элементов.- Вестн. Львов, ун-та, сер. мех.-мат., вып.19.-Львов: Вища школа, 1982, с. 38-44. / на укр.яз./

37. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике.-М: Наука , 1980, -384 с.

38. Завьялов Г.Г., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Уточненные схемы МКЭ для расчета массивных конструкций.- Проблемы прочности, 1978, Р 6, с. 76-82.

39. Завьялов Г.Г., Кислоокий В.Н., Сахаров А.С. Реализация метода конечных элементов в исследовании напряженно-деформированного состояния массивных тел сложной конфигурации.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1975, вып. 26, с. I00-III.

40. Завьялов Г.Г., Сахаров А.С., Чорный С.М. Исследование высокоточных схем метода конечных элементов при решении задач теплопроводности,- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1981, вып. 38, с. 83-87.

41. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир, 1975. 542 с.

42. Зенкевич O.K., Айронс Б.М., Скотт Ф.К., Кемпбелл Дж.С. Анализ трехмерного напряженного состояния.- В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ / Пер. с англ. под ред. А.П.Филина, -Л.: Судостроение, 1974, т.1, с. 293-305.

43. Израилев Ю.А., Лубны-Герцык А.Л. Численные методы решения трехмерных задач термоупругости, пластичности и; ползучести применительно к деталям паровых турбин.- Рукопись деп. в Информ энерго 28 сен. 1981 г., W Д 1971.- 75 с.

44. Исаханов Г.В., Кислоокий В.Н., Сахаров А.С., Синявский А.Л. Система математического обеспечения прочностных расчетов пространственных конструкций. Сообщение I.- Проблемы прочности, 1978, № II, с. 59-61.

45. Исаханов Г.В., Синявский А.Л. Функциональная структура систем третьего поколения для исследования пространственных конструкций.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 198I, вып. 38, с. 3-7.

46. Камель Х.А., Эйзенштейн Г.К. Автоматическое построение сетки в двух- и трехмерных составных областях.- Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ / Пер. с англ. под ред. А.П.Филина, -Л.: Судостроение, 1974, т.2, с. 21-35.

47. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.:Наука, 1964.- 487 с.

48. Карпов В.В. Расчет и оптимизация составных оболочек сложной формы. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Львов,1980.- 20 с.

49. Карпов В.В., Флейшман Н.П., Хлебников Д.Г., Янчак В.Я. Расчет и весовая оптимизация оболочек кинескопов,- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1978, вып. 33, с. 70-74.

50. Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование сходимости при решении трехмерных задач методом конечного элемента.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1975, вып. 25,с. 91-97.

51. Кит Г.С., Хай М.В. Интегральные уравнения пространственных задач теплопроводности для тела с трещинами.- Докл. АН УССР, 1975, сер.А, №, с. 704-707.

52. Коннор Дж.,Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости.- Л.: Судостроение, 1979.- 264 с.

53. Коваленко А.Д. Избранные труды.- К.: Наукова думка, 1976.762 с.

54. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и- функционального анализа.- М.: Наука, 1972.- 456 с.

55. Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно -разностным методом решения задач теории упругости.- Извест. ВНИИ гидротехн., т.83, 1967, с. 286-307 .

56. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд. Ленингр. ун-та, 1977.- 206 с.

57. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, 1967.- 500 с.

58. Кувыркин Г.Н. Расчет нестационарного температурного поля втелах вращения методом конечных элементов.-Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып. 15, с.153-155.

59. Кудряшов А.Б. Применение изопараметрических конечных элементов к расчету температурных напряжений.- Ученые записки ЦАГЙ, 1977, т.УШ, №3, с. I08-II7.

60. Кудряшов А.Б., Снисаренко Т.В., Чубань В.Д., Шевченко Ю.А. Применение изопараметрических конечных элементов для расчета напряженного состояния толстых плит в трехмерной постановке.- Ученые записки ЦАГИ, 1976, т.УП,Р 4, с. II2-II8.

61. Курманбаев Б., Абдукодиров А.А. Алгоритмизация метода напряжений в трехмерных задачах теории упругости.- Вопр. вычисл. и прикл. мат. Ташкент, 1981, Р 65, с. 37-44.

62. Курманбаев Б., Полатов A.M. К вопросу построения матрицы жесткости элементов.- Алгоритмы и программы. Ташкент:.РИСО АН УзбССР, 1978, вып.33, с. 19-26.

63. Курманбаев Б., Полатов A.M. Модульный принцип построения программ для решения трехмерных задач теории упругости методом конечных элементов.- Вопросы вычисл. и прикл. мат. Ташкент: РИСО АН УзбССР, 1977, вып.45, с. 120-123.

64. Курманбаев Б., Полатов A.M. Численный анализ напряженно-деформированного состояния пространственных элементов конструкций методом конечных элементов.- Вопросы вычисл.и при кл. мат. Ташкент , I960, № 60, с. 125-129.

65. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости.- М.: Наука, 1976. 664с.

66. Ланцош К. Вариационные принципы механики.- М.: Мир, 1965. 408 с.

67. Лащенков Б.Я., Дмитриев Я.Б., Смирнов М.Н. Применение изопараметрических конечных элементов к решению трехмерных задач теории упругости.- Числ. методы и алгоритмы, М.,1981, с. 6-16.

68. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач упругости.- Издание ЦАГЙ , 1940, W 495. 151 с.

69. Литвинов В.Г., Пантелеев А.Д. Метод ортогональных проекций для трехмерных задач теории упругости.- Прикладная механика, том IX, вып.6, 1973, с. 9 -15.

70. Литвинов В.Г. Встречные методы и оценка погрешности приближенного решения в задаче об изгибе пластин переменной толщины.- Журнал выч. мат. и мат. физики, 1978, т. 18, N54, с.951-963.

71. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.- 940 с.

72. Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа, 1967.- 600 с.

73. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука, 1980.- 536 с.

74. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-М.: Наука, 1981.- 416 с.

75. Мелош Р. Расчет массивных тел методами строительной механики стержневых систем.- Расчет строительных конструкций с применением электронных машин.-М.: Мир, 1967 . 226 с.

76. Метод конечных элементов в механике твердых тел./Под общей ред. А.С. Сахарова и И.Альтенбаха /. -Киев: Вища школа, 1982.- 480 с.

77. Метод конечных элементов в строительной механике. Сб.статей -Горький: Изд-во Горьковск.ун-та, 1975.-165 с.

78. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными .- М.: Мир, 1981. 216 с.

79. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.1. М.: Наука, 1970.-512 с.

80. Михлин С.Г. Вариационно-сеточные аппроксимации,- Зап.научн. семинаров Ленинград. отд.Матем.ин-та АН СССР, 1974, т.48, с. 32- 188.

81. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов .-М.: Наука, 1966.- 432 с.

82. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушений.-М.: Наука, I980.-256 с.

83. Муха И.С., Савула Я.Г. Численное решение задач теории оболочек типа Тимошенко методом конечных элементов.- Львов, 1982.- 32 с. Рукопись-предст. Львовским ун-том.Деп.в ВИНИТИ 2 июля 1982 г., IP 3463 -82.

84. Немиш Ю.Н. Трехмерные граничные задачи теории упругости для неканонических областей.-Прикладная механика, т.ХУ1,№ 2, 1980, с. 98-104 .

85. Новацкий В. Теория упругости.- м.: Мир, 1975.- 872 с.

86. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов.1. М.: Мир, 1981.- 304 с.

87. Обэн Ж. Приближенное решение эллиптических уравнений.-М.: Мир, 1977.- 384 с.

88. Оганесян Л. А., Ривкинд В.Я., Г^ховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. I.- Дифференциальные уравнения и их применение, 1973, вып. 5. -394 с.

89. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Г^ховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. П.- Диффе -ренциальные уравнения и их приложения, 1974, вып.8. 322 с.

90. Победря Б.Е., Холматов Т.А. О существовании и единственности решения задачи теории упругости в напряжениях.- Вестник МГУ. Мат., мех., 1982, И, с. 50-51 .

91. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости,- Киев: Наукова думка, 1979. 240 с.

92. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика.-К.: Наукова думка, 1976. 309 с.

93. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурные поля в элементах электровакуумных приборов .- Киев: Наукова думка, 1981 .- 344 с.

94. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Семерак М.М. Температурные поля и напряжения в элементах конструкций.- Киев: Наукова думка, 1981.- 339 с.

95. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.-JI.: Судостроение, 1977.- 280 с.

96. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.- 344 с.

97. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.- М.: Мир, 1972. 418 с.

98. ЮО.Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. -Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 224 с.

99. Ю1.Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.- М.: Стройиздат, 1977. -128 с.

100. Ю2.Розин Л.А. О связи конечных элементов с методами Бубнова-Галеркина-Ритца. -Л.: Строит, механика сооружений, 1971, с. 6- 28 .

101. ЮЗ.Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Методконечных элементов.-Л.: Энергия, 1971. -213 с.

102. Розин JI.A. Систематизация схем метода конечных элементов в теории упругости на основе вариационных принципов. В кн.: Метод конечных элементов в строительной механике.

103. Йзд-во Горьк. ун-та, Горький , 1975, с. 5-14 .

104. Савула Я.Г., Вовк В.Н., Шинкаренко Г.А. Численная реализация МКЭ при расчете баллонов ЭЛП на основе трехмерной теории упругости.- В кн.: Повышение качества электроннолучевых приборов в десятой пятилетке. Киев, 1977, с. 16 -17 .

105. Савула Я.Г., Флейшман Н.П., Шинкаренко Г.А. Расчет пластинчатых конструкций методом конечных элементов. В кн.: Тр. X Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Тбилиси: Мецниереба, 1975, с. 660-666.

106. Савула Я.Г., Флейшман Н.П., Шинкаренко Г.А., Вовк В.Н. Расчет труб с криволинейной осью.- Пространственные конструкции в Красноярском крае. Межвуз. сб. науч. работ,Красноярск, 1978, вып. II, с. 178-183.

107. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Метод конечных элементов: Учебно-методическое пособие.-Львов: Изд-во Львов, ун-та, 1976.- 80 с.

108. НО. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Применение метода конечных элементов к расчету пластинчатых конструкций.- Строит.мех. и расчет сооружений. Реф. информация, 1976, вып. 8, с. 15-16.

109. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А., Вовк В.Н. Апостериорнаяоценка приближенного решения, полученного методом конечныхэлементов в задаче кручения стержней. Вест. Львов, ун-та,сер. мех.-мат. вып.12, Львов: Вища школа, 1977, с. 63-68. / на укр. яз./

110. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А., Вовк В.Н. Некоторые приложения метода конечных элементов. Львов: Ред.-изд. группа Львов, ун-та, 1981, - 88 с.

111. ИЗ. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А., Григорян С.С. Расчет баллонов ЭЛП типа оболочек вращения методом конечных элементов. В кн.: Качество электронно-лучевых приборов.Киев: Наукова думка, 1977, с. 28- 31.

112. Сандер Г. Применение принципа двойственного анализа.- В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ / Пер. с англ. под ред. А.П. Филина, Л.: Судостроение, 1974, т.1,с. 120- 150.

113. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.- Вестник АН СССР, 1979, № 165, с. 38-50.

114. Сахаров А.С. Моментная схема конечных элементов /МСКЭ/ с учетом жестких смещений.- Сопротивление материалов и теория сооружений, 1974, вып. 24, с. 147-156.

115. Сахаров А.С. Развитие метода конечных элементов при исследовании пространственных конструкций в линейной и нелинейной постановках.- Автореф. дис. . док. техн. наук, М., 1978 . 48 с.

116. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

117. Смолянин А.Г., Кудашов В.И., Устинов В.П. Алгоритм пространственного динамического расчета железобетонных пролетных строений с трещинами. В кн.: Исследование работы искусственных сооружений, Новосибирск, 1980, с.10-14 .

118. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Ред. Дж. Уатта.-М.: Мир, 1979.- 312 с.

119. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.-М.: Мир, 1977. 349 с.

120. Сычев М.П. 0 реализации двусторонней оценки точности при численном решении задач термоупругости.- МВТУ им.Н.Э.Баумана, 1980, № 325, с. 99-114.

121. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.- 512 с.

122. Толок В.А., Щурин В.А. Модифицированный метод подконструк-ций и его реализация.- Прикл. пробл. прочн. и пластичн., 1979, вып. 10, с. 81-95.

123. Угодчиков А.Г., Капустин С.А., Кравченко А.А. Вычислительные аспекты комплексного решения задач прочности'на ЭВМ.- Комплексы программ мат. физ. Материалы 7 Всес. сем. по комп. прогр. мат. физ., Новосибирск, 1982, с. 235-241 .

124. Фрадкин Б.В. Вычислительный комплекс для решения пространственной задачи теории упругости методом конечных элементов.- Сб. науч. тр. Всесоюзн. проект.-изыскат. и НИИ Гидропроект, 1983, вып. 85, с. II6-I26.

125. Фредриксон Б., Маккерли Т., Персон Б. Программы решения задач методом конечных элементов и системы автоматизации проектирования.- Экспресс-информация ВИНИТИ: Вычислительная техника, М., 1981, № 31. 32 с.

126. Флейшман Н.П., Хлебников Д.Г. Инженерный метод расчета оболочки кинескопа переменной толщины.- В кн.: Качество, прочность, надежность и технологичность электровакуумных приборов, К.: Наукова думка, 1976, с. 53-56.

127. Хазин JI.M. Реализация вариационного принципа Кастильяно для плоской задачи теории упругости по методу конечных элементов.- В кн.: Расчеты на прочность, 1975, вып.16, с. 54- 85.

128. Хлебников Д.Г., Янчак В.Я. Оптимальное распределение толщины в плоских криволинейных рамах.- Строит, мех. и расчет сооружений. Реферативная информация. Киев, 1976, с. 2324.

129. Храмцов В.П. Разработка и исследование железобетонных призматических складок, бетонируемых в плоском состоянии. Дисс. . канд. техн. наук.- Львов, 1974. 247 с.

130. Челюбеев А.А., Сычев М.П. Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях методом конечных элементов.- Известия вузов. Машиностроение, 1975, №7, с. 51- 62.

131. Чорный С.М. Применение метода конечных элементов к определению тепловых напряжений в элементах конструкций сложной формы. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1974, вып. 22, с. 67- 73.

132. Шинкаренко Г.А. Применение метода конечных элементов к решению некоторых краевых задач механики: твердого деформируемого тела. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Львов, 1978. 24 с.

133. Шинкаренко Г.А., Марчук М.В. Расчет трехмерных температурных полей методом конечных элементов.- Вестн. Львов, ун-та, сер. мех.-мат., вып. 15. Львов : Вища школа, 1979, с. 6469. / на укр. яз./

134. Шинкаренко Г.А., Савула Я.Г., Вовк В.Н. Применение метода конечных элементов в задаче кручения неоднородных стержней. В кн.: Метод конечных элементов в строит, механике: Сб. статей. Горький, 1975, с. I08-II7 .- 236

135. Abir A., Fisher V., Blech I.J. Three dimensional stress and deformation analysis of rotating firmed bodies. - Jsr. J. Technol., 1979, 17, No.2, p. 67 - 77.

136. Argyris J.H. Matrix analysis of three dimensional media, small and large displacements. - J.AIAA, 1965, Vol.3,p. 45-51.

137. Argyris J.H., Szimma J., V/illam K.J. Finite Elemente zur thermomechanishen Berechnung von Massivbanten. ISO-Rept., 1978, No.234. - 46 s.

138. Beres E. High accuracy interpolation of stress. - Acta techn. Acad. Sci. hung, 1980, 91, No.3-4, p. 257 - 263.

139. Biffle J.H., Sumlin H.A. Three dimensional structural analysis using interactive graphics. - Comput. Graphics, Vol.2, 1977, p. 67 - 73.

140. Brockman R.A. MAGNA: a finite element system for three dimensional nonlinear static and dynamic structural analysis. - Comput. and Struct., 1981, 13, p. 415 - 423.

141. Cook R.D. Loubignac's iterative method in finite element elastostatics. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1982, Vol.18, p. 67 - 75.

142. Courant R. Variational methods for the solution of the problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc., 1943, Vol.49, ITo.1, p. 1 - 23.

143. Desai C.S., Phan H.V. Three dimensional finite element analysis including material and geometric nonlinearities. -Comput. Meth. Nonlinear Mech. Proc. TICOM 2nd Int. Conf. Austin, Tex., 1979. - Amsterdam e.a., 1980, p. 205 - 224.

144. Enstrom R.E., Stepleman R.S., Appe^i J.R. Application of finite element methods to the analysis of stress in television picture tubes. RCA Review, 1978, Vol.39, p. 665 - 697.

145. Pong H.H. An evaluation of eight U.S. general purpose finite element computer programs. - AIAA / ASME / ASCE / AHS 23rd Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf., pt.1, N.Y., 1982, p. 145 - 160.

146. Predriksson В., Mackerle Т., Persson B.G.A. Finite element programs in integrated software for structural mechanics and CAD. - Comput. Aided Des., 1981, 13, Ho.1, p. 27 - 39.

147. Prey A.E., Hall C.A., Porsching T.A. An application of computer graphics to three dimensional finite element analysis. - Comput. Struct., 1979, Vol.10, p. 149 - 154.

148. Priederich P. Zur Berechnung dreidimensionaler instationarer Temperatur und Warmespannungsfelder mit der Methode der fi-niten Elemente. Stuttgart, Diss. Dokt. - Ing., 1980.156 s.

149. Натре E. Vorgespannte Konstruktionen. Berlin, Band 2, 1965. - 506 s.

150. Hlavacek I. Convergence of an equilibrium finite element model for plane elastostatics. Apl. Mat., 1979, 24, p. 427 - 457.

151. Haslinger J., Hlavasek I. Convergence of the finite element method based on the dual variational formulation. Apl.- 238

152. Mat., 1976, 21, No.1, p. 43 65.

153. Irons Б.М. A Frontal Solution Program for Finite Element Analysis. Hum. Meth. Eng., 1970, Vol.2, No.1, p. 5 - 32.

154. Jirousek J. Basis for development of large finite elements locally satisfying all field equations. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 197S, 14, No.1, p. 65 - 92.

155. Keramidas G.A., Ting E.C. A finite element formulation for thermal stress analysis. Part I: Variational formulation. -Nucl. Eng. and Des., 1976, Vol.39, No.2-3, p. 267 276.

156. Keramidas G.A., Ting E.C. A finite element formulation for thermal stress analysis. Part II: Finite element formulation. Nucl. Eng. and Des., 1976, Vol.39, No.2-3, p. 277 -287.

157. Kiefer B.V., Hilton P.D. Three dimensional finite element analysis of elastic - plastic crack problems. - Trans. ASME J. Pressure Vassel Technol., 1981, 103, No.3, p. 214 - 218.

158. Kolar V., Kratochvil J., Leitner P., Zenisek A. Vypocet plo-snych a prostorovych konstrukci metodou konecnych prvky. -Praga, SNTL, 1972. 372 s.

159. Krizek M. An equilibrium finite element method in three -dimensional elasticity. Apl. Mat., 1982, 27, p. 46 - 75.

160. Malkus D.S. Finite elements with penalties in nonlinear elasticity. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1980, 19, p. 121- 136.

161. Melosh R.J. Structural analysis of solids. Proc. Am. Soc. Civ. Eng. S., 1963, Vol.4, p. 205 - 223.- 239

162. Mo 0., Klera H.F., Pahle E., Harwiss T. Finite element programs based on general programming systems. Comput. and Struct., 1978, Vol.8, No.6, p. 703 - 714.

163. Nakao Y., Arai К., Tanaka M., Kawachima M., Murase Y. Analysis of heat conduction and stress of three dimensional bodies using isoparametric finite elements. - Mitsubishi дико giho, 1978, Vol.15, По.5, p. 551 - 563.

164. Norrie D.H., de Vries G. A finite element bibliography. -Plenum Press, N.Y., 1976. 686 p.

165. Oden J.T. A theory of penalty methods for finite element approximations of highly nonlinear problems in continuum mechanics. Comput. and Struct., 1978, 8, No.3-4, p. 445 - 449.

166. Oden J.T., Reddy J.N. An introduction to the mathematical theory of finite elements. Wiley Interscience, N.Y., 1976. - 302 p.

167. Oden J.T., Reddy J.N. Variational methods in theoretical mechanics. Springer - Verlag, Heidelberg, 1976. - 502 p.

168. Wada H., Murase K. Stress analysis of three dimensional solid bodies by finite element method. - Bull. Daido Inst. Technol., 1978, No.13, p. 47 - 50.

169. Pian Т.Н., Tong P. Finite element methods in the continuum mechanics. Adv. Appl. Mech., N.Y. - Lond., 1972, Vol.12, p. 1 - 58.

170. Rashid Y.R. Three dimensional analysis of elastic solids. Pt.1. - Int. J. Solids Struct., 1969, Vol.5, p. 1311 - 1333.

171. Rashid Y.R. Three dimensional analysis of elastic solids. Pt.II. - Int. J. Solids Struct., 1970, Vol.6, p. 195 - 207.

172. Svalbonas V. The place of a special purpose program system in a multi - purpose system world. - Handb. Pinte Elem. Syst., Southampton, 1981, p. 418 - 433.- 240

173. Surana Karan S. Transition finite elements for three dimensional stress analysis. - Int. J. Numer. Meth. Eng., 1980, 15, No.7, p. 991 - 1020.

174. Taylor R.L., Zienkiewicz O.C. Complementary energy with penalty functions in finite element analysis. In: Energy methods in finite element analysis / Ed. Glowinski JR., Rodin E.R., Zienkiewicz O.C., H.Y., Wiley, 1979, ch.8, p. 153 -174.

175. Thomas P.D. Construction of composite three dimensional grids from subregion grids generated by elliptic systems. -AIAA 5th Computational Fluid Dyn. Conf., Palo Alto, Calif., 1981, IT.Y., e.a., p. 24 - 32.

176. Vacek J. Dual variational principles for an elliptic differential equation. Apl. Math., 1976, 21, No.1, p. 5 - 27.

177. Veubeke de B.F. Displacement and equilibrium models in the finite element method. Stress Analysis, ch.9 / Ed. O.C. Zienkiewicz, London U.Y. - Sydney. John Wiley & Sons. Ltd., 1965. - 469 p.

178. Veubeke de B.F. Upper and lower bounds in matrix structural analysis. AGAR Dograph 72, 165 Pergamon Press, 1964, p. 165 - 201.

179. Worsak Kanok-lJukulchai. A simple and efficient finite element for general shell analysis. Inter. J. Numer. Meth. Eng., 1979, Vol.14, p. 178 - 200.

180. Zienkiewicz O.C. The finite element method. Mc Graw Hill,1977. 787 p.

181. Zlamal M. Superconvergence and reduced integration in the finite element method. Math, of Comput., 1978, Vol.32, No.143, p. 350 - 359.