Математическое моделирование теплопереноса с учетом плавления в коническом катоде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кретов Вадим Игоревич

• Кретов Вадим Игоревич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Кретов Вадим Игоревич

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Автоэлектронная эмиссия

1.2 Тепловые явления, сопровождающие эмиссию

1.3 Математическая постановка задачи. Модель переноса тепла

1.4 Плотность эмиссионного тока и эффект Ноттингама

1.4.1 Функция поддержки для металлов

1.4.2 Формула коэффициента прозрачности барьера для автоэмиссионного катода

1.4.3 Плотность тока эмиссии для металлов

1.4.4 Особенности автоэлектронной эмиссии из полупроводников

1.4.5 Эффект Ноттингама

1.4.6 Оптимальные значения параметров аппроксимаций

1.4.7 Зависимость температуры инверсии от напряженности внешнего поля

2 Исследование задачи фазового поля и построение модели

2.1 Система фазового поля и ее применение при моделировании теп-лопереноса

2.2 Вывод решения предельной задачи Стефана-Гиббса-Томсона из численного решения системы фазового поля

2.3 Модель нанокатода

2.4 Вычисление плотности тока в катоде

2.5 Вычисление плотности эмиссионного тока и величины эффекта Ноттингама

2.6 Разностная схема

2.6.1 Конечно-разностная схема для уравнения на потенциал

2.6.2 Конечно-разностная схема для уравнения Аллена-Кана

2.6.3 Конечно-разностная схема для уравнения теплопроводности

2.6.4 Устойчивость разностной схемы

2.6.5 Альтернативная разностная схема для уравнения теплопроводности

2.7 Алгоритм решения разностных уравнений

2.8 Проверка алгоритмов

3 Анализ результатов моделирования

3.1 Результаты численных экспериментов

3.1.1 Немонотонное поведение свободных границ

3.1.2 Результаты моделирования с физическими параметрами, соответствующими экспериментальным

3.2 Вычисление потенциала и напряженности поля в катоде

3.3 Образование зародышей плавления и кристаллизации в модели

Заключение

Литература

Введение

Актуальность темы исследования

Эмиссия электронов из твёрдого тела является интересным явлением, имеющим различные применения на практике. В частности, благодаря электронной эмиссии работают электронно-лучевые приборы, электронные микроскопы и другие устройства.

В данной работе исследуется эмиссия из конических автоэмиссионных катодов малых размеров. Такие катоды применяются в автоэлектронной микроскопии и электронной литографии [1-3]. Было объявлено о работах по созданию дисплея на основе автоэлектронных катодов малого размера [4,5]. Катоды изготовляют из разных материалов: вольфрама, кремния, других металлов и полупроводников. В настоящей диссертации рассматриваются катоды, изготовленные из кремния, хотя модель, которая построена в диссертации, может быть применена и для катодов из других материалов, причем как металлов, так и полупроводников.

Существенной и до конца не изученной на данный момент проблемой является деградация автоэмиссионных катодов в процессе эмиссии. Деградация вызвана сильным разогревом катодов под действием протекающего сквозь них электрического тока, разогрев приводит к частичному плавлению катода и нарушению его геометрии. Поэтому моделирование распределения тепла в катоде, образования участков с жидкой фазой и движения свободных границ раздела фаз имеет большое значение для определения условий эксплуатации приборов, использующих автоэмиссионные катоды.

Помимо разогрева под действием протекающего тока, существует еще один эффект, влияющий на температуру катода — эффект Ноттингама, заключающийся в охлаждении острия катода во время эмиссии. Этот эффект также учитывается в данной работе.

Степень разработанности научной проблемы

Модель распределения тепла в катоде рассматривалась в [6], но в ней не учитывалась возможность плавления катода. Кроме того, в [6] используется аппроксимация Фаулера-Нордгейма [7] для вычисления величины плотности эмиссионного тока, хотя эта аппроксимация неприменима при высоких температурах, которые достигаются при автоэлектронной эмиссии. В настоящей работе эти особенности процесса эмиссии учтены.

Формулы для плотности тока эмиссии в полупроводниковых катодах наиболее подробно рассмотрены в [8], [9] и [10]. Стоит отметить, что теория автоэлектронной эмиссии из полупроводников развивалась еще в 50-х и 60-х годах XX века, и в основном представлена в работах Р. Страттона (например, [10]). Однако, не все предсказания теории Страттона подтвердились [9]. Поэтому в данной диссертации используются более современные результаты, полученные в основном, в [9].

Математическая модель теплопереноса основывается на работах Каджинал-па [11-13], в которых предложена регуляризация для задачи Стефана-Гиббса-Томсона в виде системы фазового поля. Строго регуляризация была доказана в работах [14] и [15]. В последней работе В.Г. Данилова, Г.А. Омельянова, Е.В. Радкевича было предложено определение обобщенного решения, которое допускает предельный переход от системы фазового поля к задаче Стефана-Гиббса-Томсона. Кроме этого, подробно рассмотрена задача Стефана в монографии [16] (и большом цикле других работ Мейрманова, ссылки на которые есть в этой монографии). В работах Мейрманова подробно исследованы свойства обобщенного решения задачи Стефана и построен пример неклассического решения (mushy region). Система фазового поля применялась в работе А.М. Ла-шина для моделирования кристаллизации чистого металла (см. [17]). В монографии [18] получено точное решение задачи Стефана и представление решения в виде интегралов и рядов, а также рассмотрены численные методы решения. Вопросы, связанные с численным решением уравнения теплопроводности, в том числе задачи Стефана, подробно рассмотрены в [19]. Еще одной работой, касающейся задачи Стефана, является [20].

В диссертации применяется математическая модель в виде системы фазового поля. Для предельного перехода от системы фазового поля к задаче Стефана-Гиббса-Томсона доказана асимптотическая оценка, включающая малый параметр системы фазового поля и константы из условия Гиббса-Томсона. Оценка гарантирует корректность предельного перехода в случае, если эти константы малы. Причем, оценка получена как для точного решения системы фазового поля, так и для приближенного численного решения, построенного с помощью метода конечных разностей.

Отметим, что существует и другой подход к решению задачи Стефана — метод динамической адаптации, рассмотренный в ряде работ, в том числе [2123].

В работах [24-28] рассматривается модель эмиссии, основанная на квазигидродинамическом подходе. Модель включает в себя уравнение Пуассона для потенциала, уравнение непрерывности для плотности тока, а также уравнение энергетического баланса, позволяющее учесть распределение тепла в катоде. В этих работах рассматриваются различные пространственные области, в том числе система «катод-анод», однако, авторы больше внимания уделяют электрическим характеристикам и транспорту электронов, в то время как в настоящей диссертации электрические характеристики задачи играют второстепенную роль и учитываются только для вычисления температуры.

Цель и задачи диссертационной работы

Главная цель диссертационного исследования — создание модели теплопере-носа в коническом автоэмиссионном катоде с учетом возможности плавления и эффекта Ноттингама, и численный анализ теплового режима работы эмиттера.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение модели теплопереноса в коническом автоэмиссионном катоде на основе системы фазового поля.

2. Обоснование корректности предельного перехода от системы фазового поля к системе Стефана-Гиббса-Томсона.

3. Построение алгоритма вычисления плотности эмиссионного тока.

4. Модификация системы фазового поля для учета образования области жидкой фазы.

5. Реализация комплекса программ для выполнения численного моделирования и анализа результатов.

Научная новизна

В работе представлена новая математическая модель, описывающая тепло-перенос и плавление в коническом полупроводниковом автоэмиссионном катоде малого размера. Эта модель включает уравнение теплопроводности с правой частью, моделирующей джоулев нагрев, уравнение Аллена-Кана, описывающее движение границ раздела твердой и жидкой фаз с помощью функции порядка, уравнение для потенциала электрического поля. Приведены и проанализированы результаты вычислений, выполненных с помощью этой модели. Также предложен новый метод моделирования зарождения области жидкой фазы в катоде1.

Обоснованность и достоверность результатов

Результаты, изложенные в диссертационной работе, получены при помощи строгих математических методов, таких как асимптотические методы, методы исследования нелинейных уравнений математической физики и методы численного решения дифференциальных уравнений с помощью конечных разностей. Все новые утверждения, сформулированные в диссертационной работе, строго доказаны. Решения полученных уравнений проиллюстрированы с помощью их численного решения с использованием алгоритма, основанного на разностных схемах, удовлетворяющих принципу максимума. При этом вычислительные алгоритмы и комплекс программ на их основе протестирован на известных точных решениях уравнений, составляющих математическую модель.

Положения, выносимые на защиту

1. Построена математическая модель для аналитического и численного анализа теплопереноса и процессов движения свободных границ в коническом катоде малых размеров, основанная на системе фазового поля. В модели учтены эффект Ноттингама и процессы теплоотвода.

1 Метод добавления зародышей отличается от описанного в [29]

2. Исследован предельный переход от разностной схемы для системы фазового поля к задаче Стефана-Гиббса-Томсона. Показано, что построенная математическая модель является регуляризацией физической задачи о теплопереносе со свободной границей.

3. Применительно к построенной математической модели разработан оригинальный алгоритм вычисления плотности эмиссионного тока, заменяющий известную аппроксимацию Фаулера-Нордгейма.

4. Предложена модификация построенной модели, предназначенная для моделирования зарождения области жидкой фазы в катоде.

5. Создан комплекс компьютерных программ, реализующий построенную модель. С его помощью проведен численный анализ зависимости температуры от физических параметров катода, а также анализ зарождения области жидкой фазы, выявлены определяющие параметры. Полученные результаты вычислительного эксперимента находятся в согласии с экспериментальными данными [30].

Методы исследования

Для решения поставленной задачи используются теоретические методы исследования нелинейных уравнений математической физики и методы численного решения дифференциальных уравнений с помощью неявных кончено-разностных схем. Для обоснования применимости системы фазового поля использовались элемены теории обобщенных функций. Кончено-разностные схемы решались с помощью метода переменных направлений. Численные расчеты были выполнены с помощью разработанного комплекса программ, написанного на языке С++. Использовались открытые библиотеки Qt, qwt и шиРагэег.

Теоретическая и практическая значимость

Практическая и теоретическая значимость диссертационной работы определяется возможностью анализа теплового режима автоэмиссионных катодов для создания приборов, содержащих эти катоды. Моделирование хотя и не позволяет избежать экспериментальной работы по подбору оптимальных параметров катода, но может сократить ее объем. Также возможно дальнейшее развитие модели в сторону ее уточнения. Модель может использоваться, например, для

исследования теплового режима катодов в кантилеверах электронных микроскопов. Результаты работы могут быть применены в исследованиях в области процессов теплопереноса и автоэлектронной эмиссии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование теплопереноса с учетом плавления в коническом катоде»

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:

1. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, 2011 г.

2. The World Congress on Engineering and Technology (CET2012), Beijing, China, 2012.

3. 4-я международная конференция для молодых математиков по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященная Я. Б. Ло-патинскому, Донецкий национальный университет, г. Донецк, Украина, 2012 г.

4. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ, 2014 г.

5. Международная конференция International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond (CSP2015), ВШЭ, 2015 г.

6. Научно-методологический семинар НИВЦ МГУ, 2016 г.

7. Научно-исследовательский семинар «Асимптотические методы в математической физике» под руководством д.ф.-м.н., профессора С. Ю. Доброхотова, ИПМех РАН, 2017 г.

Тезисы докладов опубликованы в [31-33].

Личный вклад автора

Автор принимал активное участие в построении модели и анализе результатов моделирования. Также автор разработал комплекс компьютерных программ для проведения моделирования и провел серию численных экспериментов для проверки корректности программы и анализа результатов модели. Все результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Публикации

Соискатель имеет 7 опубликованных работ по теме диссертации, из них 4 работы опубликованы в ведущих рецензируемых научных изданий изданиях, входящих в перечень ВАК, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации. Получено одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. В публикациях содержатся все основные результаты диссертации. В работах с соавторами соискателю принадлежит не менее 50 % результатов. Все положения, выносимые на защиту, принадлежат лично автору.

Состав диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении представлен обзор литературы. В первой главе изложены известные результаты и открытые проблемы, а также основные методы исследования. Здесь же изложены физические эффекты, возникающие при автоэмиссии. В этой главе ставится задача, описывающая процессы теплопереноса и движения границ раздела фаз в катоде. Во второй главе задача, поставленная в первой главе, рассматривается как предельная для другой задачи — задачи фазового поля. При этом показывается, что она также является предельной и для численного решения задачи фазового поля с помощью метода конечных разностей. В третьей главе настоящей диссертации изложены результаты моделирования и помещен радел, посвященный добавлению в модель зародыша жидкой фазы.

В диссертации существенно использован текст монографии [34] в части результатов, полученных автором лично. Точнее, в первой главе автору принадлежит окончательный вывод формулы для плотности эмиссионного тока. Другие заимствования в этой главе представляют собой описания известных физических явлений и физические формулы. Ссылки на работы, в которых они рассмотрены, указаны в тексте. В главе 2 автору принадлежит весь заимствованный текст, в основном относящийся к разделам о предельном переходе для слабого решения системы фазового поля и постановке конечно-разностных задач. Исключение составляет таблица физических величин, которые в монографии получены из справочников и экспериментальных данных из работы [30]

и сведены в одну таблицу. Также заимствованы отдельные фразы, являющиеся отсылками к известным теоретическим результатам, они снабжены соответствующими ссылками. В главе 3 весь заимствованный материал, в том числе графики, демонстрирующие результаты вычислений, принадлежит автору.

Глава 1

Постановка задачи

1.1 Автоэлектронная эмиссия

Автоэлектронной эмиссией называют явление испускания электронов проводящими твердыми и жидкими телами под воздействием внешнего электрического поля без предварительного возбуждения этих электронов, то есть без дополнительных затрат энергии, что свойственно другим видам электронной эмиссии. Это явление происходит за счет туннелирования электронов через потенциальный барьер вблизи поверхности тела. Такое туннелирование становится возможным за счет искривления потенциального барьера при приложении сильного внешнего поля к поверхности эмиттера [35].

В диссертации явление автоэлектронной эмиссии моделируется при высоких температурах (такая эмиссия также называется термополевой, см. раздел 1.4) для полупроводниковых (точнее, кремниевых) катодов малых размеров конической формы. Изображение подобных катодов приведено на рис. 1.1 и рис. 1.2.

Рис. 1.1: Игла кантилевера в сканирующем электронном микроскопе

Рис. 1.2: Изображение катода, использовавшегося в экспериментах,

приведенных в работе [30]

1.2 Тепловые явления, сопровождающие эмиссию

Исследование распределения тепла в автоэмиссионных катодах ведется уже в течение длительного времени [8,10,36-39]. Одно из известных физических явлений, сопровождающих процесс эмиссии — эффект Ноттингама [40]. Эффект Ноттингама является явлением охлаждения или нагревания катода в зависимости от того, лежит ли средняя энергия эмитирующих электронов выше или ниже энергии Ферми, см. раздел 1.4.5. Эффект Ноттингама обусловлен разностью между средней энергией эмитируемых электронов и средней энергией электронов, поступающих в область эмиссии.

Математически эффект Ноттингама описывается нелинейным краевым условием третьего рода

^ = ), (1.1)

где Т — температура поверхности эмиссии ; п — нормаль; Ер — напряженность электрического поля в точках Зе. Функция (Т,Ер) задается явно (см. (1.10) и, подробнее, раздел 1.3 и 1.4) и меняет знак при некотором значении температуры Т = Т*, называемом инверсионной температурой.

Другое явление, которое, вообще говоря, следует учитывать — эффект Том-сона: при протекании электрического тока через катод, вдоль которого имеется градиент температуры, в катоде, помимо джоулева тепла, в зависимости от направления тока будет выделяться (поглощаться) дополнительное тепло (теплота Томсона). Однако для полупроводниковых катодов эффектом Томсо-на можно пренебречь, см. [41-43].

1.3 Математическая постановка задачи. Модель переноса тепла

На рис. 1.2 приведено изображение катода, который использовался в экспериментах из [30]. В таблице табл. 1.1 приведены его размеры.

Таблица 1.1: Параметры геометрии катода из работы [30]

Высота 10-15 мкм

Радиус основания 3 мкм

Радиус скругления вершины 15 нм

Угол при вершине 20°

За геометрическую модель автоэмиссионного катода мы возьмем область, показанную на рис. 1.3. Размеры катода меняются в следующих пределах:

Рис. 1.3: Модель нанокатода

~ ж

Г е [До, Я], Ф е [0,ж), $ е [-0, в], 0 < 0 <-.

2

На рис. 1.3 указаны свободные границы Г\(1) и г2^). Эти границы образуются при плавлении катода, а боковая поверхность катода обозначена как

Итак, область моделирования имеет вид усеченного конуса, и его основания определяются условиями

г = R0 и г = R.

Такая область позволяет наиболее просто аппроксимировать катод в сферических координатах.

Запишем уравнения теплопереноса для автоэлектронной эмиссии, см. [6]:

ВТ

рс(Т) = V (Х(Т )VT) + F; (1.2)

div Jin = 0. (1.3)

В уравнениях приняты следующие обозначения: t — время; р, с, X — плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала катода; Т — температура; jin — плотность тока в катоде; F — плотность мощности тепловыделения, которая обусловлена эффектами Джоуля (и Томсона). Функция F имеет вид:

F = ji/ae(T) + G(T )(jin, VT), (1.4)

где ae (Т) — удельная проводимость катода; G(T) — коэффициент Томсона. Формула для плотности тока:

Jin = -*e(T )(W + А(Т )VT), (1.5)

где Ф — потенциал электрического поля; А(Т) — коэффициент термо-ЭДС [34].

В настоящей работе рассматривается модификация этой модели, приспособленная для изучения малоразмерного кремниевого катода. Для полупроводникового катода, можно пренебречь эффектом Томсона, т.к. кремний обладает электронно-дырочным типом проводимости. Для таких полупроводников и вклад электронов в величину термо-ЭДС примерно компенсирует вклад дырок. Поэтому в (1.5) коэффициент А(Т) « 0, а в (1.4) — G(T) « 0 (см. [41-43]).

Приведенная выше модель не подходит для исследования переноса тепла, сопровождающегося кристаллизацией или плавлением. Уравнение теплопроводности (1.2) должно быть дополнено на свободной границе (т.е. границе раздела фаз) r(t) условием Стефана, чтобы учесть движение границы:

Л

1р

дТ д n

= vn, (1.6)

m

где п — внешняя нормаль к свободной границе. Также под к мы будем далее понимать коэффициент температуропроводности. Нормаль направлена из твердой фазы (Т = Т80}) в жидкую (Т = Тцч). Величина уп — это нормальная скорость движения свободной границы Г(£) и

' дТ'

д п

= (ут801 - утКф п.

Г(?)

Помимо этого, на границе Г(£) требуется выполнение условия Гиббса-Томсона

(Т - То) | г(г) = - /31С, (1.7)

где Т0 — температура плавления катода; 1С — средняя кривизна свободной границы; й и ¡3 — некоторые константы, определяемые совокупностью физических параметров, а точнее, й = 1/д, где д — кинетический коэффициент роста [34], и ¡3 = аТ0/р1, а — поверхностное натяжение; I — скрытая теплота плавления, р — плотность, см. также табл. 2.1. Условие (1.7) описывает линейную зависимость скорости движения свободной границы от кривизны этой границы и температуры. Отметим, что вообще говоря, следует использовать условие (1.7), а не другое часто встречающееся условие

Т | г(() = То. (1.8)

Только в случае /3 ^ 1 и й ^ 1 из (1.7) получается (1.8).

Граничное условие на верхнем основании катода г = Д0, на котором происходит эмиссия, имеет вид [6]:

дТ

X

дг

]еш с

_ = -^

г=До е

Nott

+ ФРБВТ

г=Н о

. (1.9)

г=Но

Здесь е — заряд электрона; о^в — постоянная Стефана-Больцмана; — плотность тока эмиссии; — разность средней энергии эмитирующих электронов и электронов, поступающих в область эмиссии; ф — степень черноты (0 ^ ф < 1). В правой части (1.9) первое слагаемое соответствует эффекту Ноттингама (см. подробнее раздел 1.4.5), а второе слагаемое соответствует излучению согласно закону Стефана-Больцмана. Второе слагаемое вследствие малой величины постоянной Стефана-Больцмана а^в мало, если сравнивать

его со слагаемым, которое соответствует эффекту Ноттингама, см. табл. 2.1. В результате при расчетах второе слагаемое отбрасывается, и используется граничное условие следующего вида:

дТ

X

дг

г=И о

_ ]еш р

= -¿-N0«;

е

== XfNott(T, Ер).

(1.10)

Г=Я о

Итак, модель, которая используется при исследовании переноса тепла в катоде, определяется уравнениями (1.2)-(1.7) и (1.10). Ясно, что эти уравнения должны быть дополнены начальными и недостающими внешними краевыми условиями, эти условия указаны в главе 2.

Малые размеры катода (малый радиус острия) приводит к сильному увеличению напряженности поля Ер в окрестности верхнего основания.

Чтобы процесс автоэмиссии возник в коническом микрокатоде, достаточно напряжения порядка единиц вольт.

Однако из-за малых размеров рассматриваемого катода существует опасность его разрушения (расплавления) из-за нагрева, вызванного током, протекающим через катод, см. рис. 1.4.

Рис. 1.4: Изображение катода, использовавшегося в [30], после завершения

эксперимента

Серьезными проблемами являются присутствие в среде двух фаз (твердой и жидкой) и тот факт, что нам необходимо описать движение свободной границы раздела фаз. Для построения решений нелинейных дифференциальных уравнений в случае многофазной среды мы пользуемся подходом из [44-47].

В представленной в данной работе модели не учитывается изменение геометрии катода.

Свои результаты мы сравниваем с данными, полученными в экспериментальных исследованиях из работы [30], в которой авторы предположили, что в экспериментах наблюдается процесс плавления слоя катода с его дальнейшим затвердеванием, однако не было вполне ясно, в какое время плавление сменяется затвердеванием: после прекращения работы катода, или во время процесса эмиссии. При параметрах, взятых из [30], результаты расчетов по нашей математической модели не показали картины затвердевания. Однако, если немного изменить значения параметров, в модели наблюдается затвердевание катода. Подробнее см. в главе 3.

1.4 Плотность эмиссионного тока и эффект Ноттингама

Автоэлектронная эмиссия — это явление испускания электронов твердым телом под воздействием сильного внешнего электрического поля при том, что температура эмиттера невысока. Физический смысл явления заключается в том, что электроны туннелируют через потенциальный барьер вблизи поверхности тела. Однако, в нашем случае катод нагревается до температуры плавления, что вносит существенный вклад в плотность эмиссионного тока.

В случае, когда имеется как высокая температура, так и высокая напряженность внешнего электрического поля, наблюдается термополевая эмиссия (или термоавтоэлектронная). Теория термополевой эмиссии содержится во многих работах, например, [8,37-39,48-55]. Здесь мы рассмотрим некоторые теоретические формулы, описывающие термоавтоэлектронную эмиссию. Они нужны, чтобы вычислить плотность эмиссионного тока, а также среднюю энергию эмитирующих электронов, что позволит вычислить функцию /^и.

Плотность тока термополевой эмиссии jтF (для эмиссии из металла в вакуум) ищется с помощью формулы [38]

где Wx — энергия электронов, вылетающих перпендикулярно поверхности эмиттера,

00

(1.11)

— 00

Жх

а N(Wx)D(Wx)dWx — количество электронов, вылетающих с единицы поверхности за единицу времени, и с энергией в интервале . Функция N(WX) называется функцией поддержки и функция 0(ШХ) — коэффициентом прозрачности потенциального барьера [34]. рх — проекция кзазиимпульса на нормаль к поверхности эмиттера, V(х) — потенциальная энергия электронов.

1.4.1 Функция поддержки для металлов

Сначала рассмотрим формулу плотности эмиссионного тока для металлов, т.к. она устроена проще, чем для полупроводников. Система электронов в твердом теле описывается распределением Ферми-Дирака. Запишем вероятность нахождения электронов на энергетическом уровне с энергией W:

fFв(W) =

ехЧ ) +1

-1

где кв — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; Жр — уровень Ферми. На рис. 1.5 приведен график этой функции при разной температуре.

им

Рис. 1.5: График функции Ферми-Дирака

Плотность состояний (величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма) для металлов составляет 2/К3 [48]. Итак, удельное количество электронов, попадающих на поверхность эмиссии за единицу времени и единицу площади, определяется функцией под-

держки, и она имеет следующий вид [55]:

00 00

тш ч 2 Í / Л ^ (Wx - WF Ру + К \

+ n 7 rr, dpy dpz,

\ \ ^b1 j j

— 00 —00

где выражение под знаком интервала представляет собой функцию fFD (W). Выполним переход к полярным координатам:

Ру = рг cos р Pz = Pr sin р^.

Получим

аэ 2 w

W == ИI 0 +exp ( + Ü » ^.

0 0

В последнем выражении интеграл по р^ равен 2-к. Во внешнем интеграле мы выполним замену переменной

2

£ = Рг

2ткъТ'

Тогда формула для функции поддержки примет следующий вид

то _ 1

N (^ = МвТ f (л + m " И^ А

/О+ 4 *0 "« =

0

4nmeT Г e" _

4ътеТ Г d(e")

ft3 0 exp fe) +

4nmekBT h3

4 exp, ^F) + 1)"

квТ

, ( (wx — wf

— ln I exp I -

квТ J,

В итоге получаем следующее выражение для N(Wx) [9]:

Mfur\ 4птеквТ ( ( Wx — п 10ч

N(Жх) =--ln + ex^--fáT—l I. (и2)

1.4.2 Формула коэффициента прозрачности барьера для автоэмиссионного катода

Рассмотрим туннелирование частицы через потенциальный барьер V(х), см. рис. 1.6. На барьер из области I попадает частица с энергией W. Возможно два варианта. Первый — отражение частицы от барьера, второй — туннелирование частицы через барьер в область III. Нам интересен второй вариант.

На рис. 1.6 указаны три области: I — область перед барьером х < Х\, энергия частицы W > V(х); II — область внутри барьера Х\ < х < х2, W < V(х); III — область за барьером х > х2 и W > V(х), где х\ и х2 — классические точки поворота, которые находятся из условия

Величина туннельного эффекта описывается коэффициентом прозрачности барьера ). Этот коэффициент равен модулю отношения плотности тунне-лировавших частиц ]\ц к плотности потока падающих частиц

Известно несколько приближенных формул для вычисления коэффициента прозрачности барьера [56-59]. Мы возьмем наиболее простую формулу из [56].

В [59] исследована применимость этих формул. В ней показано, что формула (1.13) применима только для идеально гладкого барьера. Однако вычисление коэффициента коррекции, который входит в другие формулы нетривиально, поэтому мы будем далее использовать формулу (1.13).

Перейдем к описанию туннельного эффекта в нашей модели. Рассмотрим для начала вариант, когда внешнее электрическое поле отсутствует. Тогда по-

X

Рис. 1.6: Потенциальный барьер

V (хх) = V (х2) = W.

(1.13)

тенциальный барьер имеет очень простой вид. Электрон, находящийся в вакууме на расстоянии х от поверхности катода, индуцирует на поверхности катода положительный распределенный заряд [9,55].

Изображение

о----------

+е

Электрон

Рис. 1.7: Электрон и его изображение

Поле между электроном и его индуцированным зарядом эквивалентно полю между электроном и эффективным зарядом противоположного знака, который равен по модулю заряду электрона и помещен в точке зеркального изображения электрона. Этот эффективный заряд называют зарядом изображения, см. рис. 1.7.

Сила, которая удерживает электрон, выраженная в системе единиц СГСЭ

„2

Fo (х) =

(2х)2'

Потенциал V0(х) имеет вид (см. рис. 1.8а):

00

Vo(x) = -

— dx- - — (Ix)1 ~ 4х'

(1.14)

(1.15)

V0(x)

Рис. 1.8: Потенциальный барьер на границе катод-вакуум [34]: а — отсутствует внешнее поле, б — внешнее поле приложено

Обратим внимание, что lim V0(x) = —ж. Формула (1.14) для силы F0(x) может применяться при расстояниях х ^ а, где величина а приблизительно равна

постоянной кристаллической решетки (которая является очень малой величиной, для кремния она приблизительно равна 5,43 • 10-10м). При расстоянии 0 < х < а все еще велико влияние атомной структуры тела катода, однако при таком расстоянии можно считать силу примерно равной константе [55]. При 0 < х < а потенциал равен некоторой константе. Эта величина не имеет значения при рассмотрении автоэлектронной эмиссии. При х ^ а потенциал задается по формуле (1.15).

Если присутствует внешнее электрическое поле Ер, потенциальный барьер становится искривленным, см. рис. 1.8 б. Потенциал поля Ер равен —еЕрх.

Потенциальный барьер имеет следующий вид:

е2

V(х) = —---еЕрх, х ^ а. (1.16)

4 х

Нас интересует область х ^ а, в которую попадают эмитировавшие электроны, улетевшие от поверхности эмиссии на расстояние, при котором атомная структура тела катода перестает влиять на них. На рис. 1.8 б хорошо видно, что под воздействием внешнего поля с большой напряженностью, вид потенциала становится узким и низким, вследствие чего эмиссия электронов становится возможной. Понижение высоты барьера из-за увеличения внешнего электрического поля называют эффектом Шоттки [38]. Изменение высоты барьера равно 1 (см. (1.18)).

Перейдем к коэффициенту прозрачности барьера, считая формулу (1.13) «точной»:

Х2

18т,

(V(х) — W)Сх . (1.17)

V П"

Х\

Эта формула применима для энергий W, не превышающих энергию

D(W) = ехр ^ — j ^8тт(V(х) — W) .

Wl = —Vе3Ер, (1.18)

которая равна максимуму V(х). Если W > W^, то прозрачность барьера D(W) = 1 (т.е. потенциальный барьер отсутствует, см. рис. 1.8б). Подставив в (1.17) формулу (1.16), получим

Х2 I-2-

— 1п(D) = J — еЕрх — 4^ + ^с1х, (1.19)

где координаты точек поворота

Ш

Х1 =

Х2 =

2еЕР |

2еЕР

1-л/1 —

е3 Е

т

№2

1 + \ 1-

е3Е

т

W2

Произведем замену:

У =

У3^

т

1Ж1

Тогда новая переменная интегрирования будет равна

= 2еЕр * = |

После преобразований формула (1.19) примет вид:

- 1п(£) =

т

№

1+уД-Ъ

КеЕТ

2 + 2^ - У2

1-уД-Ъ

Подставив ^ = , получим

уД'

1п(Я) = Ъ/Щ^? [ ./(а2 - Т]2)(Т]2 - ь2) ^ пеЕр I *

(1.20)

где а =у^1 + - у2 и Ь = ^Д - - у2. Упростим интеграл в правой части. Тогда формула для коэффициента прозрачности барьера будет иметь вид:

) = ехр ^ -

4Л/2тГ^

3НеЕТ

-V

(У)),

где

у(у) =

С1-+1) - )

о+■»(^) - К г51)

, у ^ 1; у -1

(1.21)

, У > 1,

где Е(&) и К(&) — эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [60]. х1,х2 должны быть действительными числами, что в нашем случае верно.

2

3

2

3

Нам нужны значения функции и(у) при у ^ 1, т.к. Ш € (—<X),Wl], где < 1, и в силу замены (1.20) переменная у € (0, |). Вместо у(у), у ^ 1, определенной выражением (1.21), воспользуемся аппроксимацией [34]:

^арг(у) = 0,95 - 1,03у2.

(1.22)

Помимо этой аппроксимации для функции у(у) существуют и другие, см. [61].

Заметим также, что существует и более общий метод вычисления коэффициента прозрачности барьера, см. [62].

1.4.3 Плотность тока эмиссии для металлов

Хотя формула (1.13) получена с помощью приближенных методов, мы при ссылках на нее будем считать ее «точной». То есть мы не рассматриваем ситуации, когда, например, нельзя применять ВКБ-асимптотику (для очень сильных полей (~ 1010 В/м), при которых потенциальный барьер на поверхности поверхности эмиссии получается совсем узким).

Подставим выражения (1.12) и (1.13) в выражение для плотности тока (1.11). Тогда получается следующая формула для плотности тока эмиссии:

Зт*(Т,ЕР ,Шр) = Атг

квТ

х ехр

гг 1 /

J 1п ( 1 + ехр ^ — Ш 1 I х

-то ^ (

3Не Ер

О

v(y))dWx+

+ /1п|1 + ехр( — | dWx

квТ

ж.

0)

(1.23)

где

4тгте квТе г-:— ^/е3ЕР

^тг =-т^-; Wl = — V е:ЕР; у =

1.4.4 Особенности автоэлектронной эмиссии из полупроводников

При автоэлектронной эмиссии из полупроводников возникают новые эффекты по сравнению с эмиссией из металлов [9,10,55]. В полупроводнике следует учитывать эмиссию электронов как из зоны проводимости, так и из валентной

зоны. Кроме того, нужно учесть проникновение внешнего поля внутрь полупроводника, вследствие чего энергетические уровни искривляются [7].

Получение выражения для плотности тока эмиссии для валентной зоны в полупроводнике аналогичен таковому для металлов, однако в валентной зоне распределение электронов по энергиям уже не имеет максимума вблизи уровня Ферми, поскольку он находится в запрещенной зоне. Максимальный энергетический уровень электрона в валентной зоне равен -(ф + Wg), где Wg — ширина запрещенной зоны, ф — ширина зоны проводимости. Коэффициент прозрачности потенциального барьера ) принимает максимальное значение при № = ^^, где

^ = ф + Wg ,

и экспоненциально убывает вместе с уменьшением W.

Другое отличие эмиссии из валентной зоны для полупроводников — величина потенциала электростатического изображения для эмитированного электрона. Из-за диэлектрических свойств полупроводников потенциал равен [10]

£ - 1 е2 0 е3 + 14ж

где £3 — диэлектрическая проницаемость полупроводника. Тогда величина у (см. (1.20)) и величина Wl (см. (1.18)) примет вид:

V ^ + 1

8 ¡е3 - 1 >/е3Ер У =

^ + 1 ^ | ' wla = - —1 лМЁГ'

1 е3 + 1 У

В нашем случае рассматривается кремниевый катод, диэлектрическая проницаемость е3 которого равна 11,9 [9], т.е.,

^1 « 0,92.

+ 1

Формула для плотности тока эмиссии из зоны проводимости похожа на формулу для металлов. Однако наименьшая энергия электронов из зоны проводимости определена дном зоны проводимости. Эта энергия равна -ф.

С учетом всего сказанного, формула для плотности эмиссионного тока в полупроводнике имеет вид:

Т ЛГ'Ф

постоянная А^ и функция V(у) определены так же, как и для металлов, см. (1.23).

Перейдем ко второму эффекту полупроводников — проникновению электрического поля внутрь материала полупроводника, см. [10,55]. Глубина, на которую проникает электрическое поле, пренебрежимо мала для металлов из-за того, что концентрация свободных электронов в них очень велика. Однако для полупроводников глубина, на которую проникает внешнее поле, примерно пропорциональна квадратному корню от концентрации свободных носителей заряда [55]. Внешнее поле «изгибает» зону проводимости и валентную зону, как изображено на рис. 1.9.

— 00

00

Известно [9], что «искривление» зоны рядом с поверхностью полупроводников АЯ равно приблизительно уЕ^, где и = 4,5 • 10-7£-2/5. В итоге получим

г

Зет = А^-р

! ь (1+

X

х ехр

—то (—4

4Л/2т|Ж

ШеЕр + I 1п (1 + е(^—

-V

(У'))

(М+

х

х ехр

(

)

^(у5) (М+

ШеЕр

+ ! 1п (1 + е(^—^) ш

(1.24)

4/5 4/5

где = 'ф + ^Еу + Wg, Ж2 = 'ф + . Существуют и другие эффекты в

полупроводниках [55], однако их мы не принимаем во внимание.

1.4.5 Эффект Ноттингама

Эффект Ноттингама — это явление охлаждения или нагревания эмиттера при условии, что средняя энергия 8ет эмитирующих электронов лежит выше или ниже средней энергии электронов материала катода соответственно. Этот эффект был открыт Ноттингамом [40] еще в 1941 году и с тех пор изучался во многих работах, см., например, работы [36,63-69]. Эффект Ноттингама

Валентная зона

3

3

Рис. 1.9: Искривление энергетических уровней в полупроводниках под

воздействием внешнего поля

происходит вследствие разности ¿Nott между средней энергией эмитирующих электронов ¿em, и средней энергией электронов, поступающих к поверхности эмиссии ¿in:

¿Nott — ¿em ¿in

где вместо величины ¿in берут обычно энергию уровня Ферми Wf. Строго говоря, это верно только для металлов, но вычисление ¿in слишком сложно [66-68]. Тепловой поток с поверхности эмиссии

Qem — ¿Nott jem, (1.25)

где jem — плотность эмиссионного тока. Понятно, что при ¿Nott > 0 поверхность эмиссии охлаждается, а при ¿Nott < 0 — нагревается.

Средняя энергия эмитирующих электронов может быть найдена по формуле [36]:

с» W

¿em — — i WNW(W,T,Wp) i D(W) dWdW, (1.26)

3tf j j

где j'tf — плотность тока эмиссии (см. (1.23));

/ w — wf \ , \ —1

exp

ЛГ 4^me ( (W — Wf\ Л-1

NW(WF) — — — ( exp( —j——TW~J +1) ,

а 0{\¥) — коэффициент прозрачности барьера (1.13). Вычисление «точного» значения ¿]ои возможно только численными методами и довольно трудоемко. Тем не менее, существуют аппроксимации, позволяющие вычислить среднюю энергию £]мои, и они дают возможность избежать вычисления интегралов, см. [36,69].

В [36] рассмотрена аппроксимация, которая верна при любой температуре катода:

¿аррпж I ^-Т*Л (1.27)

\аат(T — T*)(1 — &) + (а»T + b)$, T > T*

где T* — температура инверсии,

1 d | AB ат* — edTT ¿FN |т=т * — — 1 Ар 1 — 2кв

а» — edT¿em|^» — е '

р5 / гр

* = ; р = "{т*— V.

Величины параметров аппроксимации а,Ь,5," приведены в разделе 1.4.6.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кретов Вадим Игоревич, 2019 год

Литература

1. Gray H. F. // Techn. Dig. of the 11th IVMC'98. — 1998. — P. 278.

2. Ding M, Kim H., Akinwade A. I. Highly Uniform and Low Turn-On Voltage Si Field Emitter Arrays Fabricated Using Chemical Mechanical Polishing // IEEE El. Dev. Lett. — 2000. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 66-99.

3. Татаренко Н. И., Кравченко В. Ф. Автоэмиссионные наноструктуры и приборы на их основе. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 192 с.

4. Дюжев Н. А., Тишин Ю. И., Федирко В. А. Вакуумная микроэлектроника: время кремния? // Электронная промышленность: наука, технология, изделия. — 2004. — № 3. — С. 55-58.

5. Electron-Emissive Materials, Vacuum Microelectronics and Flat-Panel Displays / K. L. Jensen, R. J. Nemanich, P. Holloway et al. // Pub. Materials Research Society. — 2004.

6. Фурсей Г. Н., Глазанов Д. В., Баскин Л. М. Кинетика импульсного нагрева острийных автокатодов реальной геометрии эмисионным током высокой плотности // Журнал технической физики. — 1989. — Т. 59, № 5. — С. 6068.

7. Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. — М.: Наука, 1966. — 564 с.

8. Christov S. G. General theory of electron emission from metals // Physica Status Ssolidi (B). — 1966. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 11-26.

9. Ding M. Field emission from silicon: PhD thesis // Massachusetts Institute of Technology. — 2001.

10. Stratton R. Theory of field emission from semiconductors // Physical Review. — 1962. — Vol. 125, no. 1. — Pp. 67-82.

11. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase field equations // Physical Review A. — 1989. — Vol. 39. — Pp. 5887-5896.

12. Caginalp G., Chadam J. Stability of interfaces with velocity correction term // Rocky Mountain Journal of Mathematics. — 1991. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 617629.

13. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1986. — Vol. 92, no. 3. — Pp. 205-245.

14. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т. 29, № 3. — С. 461-471.

15. Omel'yanov G. A., Radkevich E. V., Danilov V. G. Stability and "stabilization" of the solution of the phase field system // Nonlinear analysis and applications: proceedings of Banach Center. — Vol. 6. — 1995.

16. Мейрманов А. М. Задача Стефана. — Наука, 1986. — 238 с.

17. Лашин А. М. Исследование динамики фазовых переходов первого рода в процессе направленной кристаллизации чистого металла в переохлажденный расплав на базе модели фазового поля. — Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

18. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. — Рига: Звайгзне, 1967. — 458 с.

19. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. — Еди-ториал УРСС, 2003. — 784 с.

20. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. — 1985. — Vol. 40, no. 5. — Pp. 133-185.

21. Бреславский П. В., Мажукин В. И. Динамически адаптирующиеся сетки для взаимодействующих разрывных решений // Журнал вычислительной

математики и математической физики. — 2007. — Т. 47, № 4. — С. 717737.

22. Мажукин В. И., Мажукин А. В., Шапранов А. В. Динамическая адаптация в дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы, Серия Б. — 2008. — Т. 7, № 1. — С. 217-248.

23. Mazhukin V. I., Koroleva O. N., Mazhukin A. V. Application of Dynamical Adaptation to the Solution of Multifront Stefan Problem in Multilayered Materials // Proceedings of the IV International Conference on Adaptive Modeling and Simulation. — Bruxelles, Belgium, 2009. — Pp. 139-140.

24. Алгоритмы квазигидродинамической модели для расчета процессов в электронной плазме субмикронных полупроводниковых структур / Л. Ю. Бирюкова, В. А. Николаева, В. И. Рыжий, Б. Н. Четверушкин // Математическое моделирование. — 1989. — Т. 5, № 1. — С. 11-22.

25. Федирко В. А., Николаева В. А. Полевая эмиссия из кремния // Математическое моделирование. — 1997. — Т. 9, № 9. — С. 75-82.

26. Моделирование полевой эмиссии горячих электронов из кремниевого микрокатода / В. А. Федирко, С. В. Поляков, Ю. Н. Карамзин, И. Г. Захарова // Прикладная физика. — 1999. — № 1. — С. 102-111.

27. Федирко В. А., Поляков С. В. Численное моделирование электронного переноса в полупроводниковом автоэмиттере // Прикладная физика. — 2000.

— № 3. — С. 7-13.

28. Поляков С. В., Федирко В. А. Программный комплекс для моделирования катодного микроузла с полупроводниковым автоэмиттером // Прикладная физика. — 2008. — № 2. — С. 48-55.

29. Яковлев Н. Н., Лукашев Е. А., Радкевич Е. В. Проблемы реконструкции процесса направленной кристаллизации // Доклады академии наук. — 2008.

— Т. 421, № 5. — С. 625-629.

30. Исследование эмиссионных свойств кремниевых катодов различной геометрии / Н. А. Дюжев, С. А. Гудкова, М. А. Махиборода, В. А. Федирко // Вакуумная наука и техника, материал XII научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов / Под ред. Д. В. Быкова. — М.: МИЭМ, 2005. — С. 221-224.

31. Кретов В. И. Моделирование динамики взаимодействия свободных границ в задаче Стефана-Гиббса-Томсона в конической области // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. — Москва: 2011.

32. Кретов В. И. Моделирование образования области жидкой фазы в коническом автоэмиссионном катоде // Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. — Москва: 2014.

33. Danilov V. G., Rudnev V. Yu., Kretov V. I. Simulation of the heat transmission in the nano-sized cathode // Fourth International Conference for Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii, Book of Abstracts. — Donetsk: 2012. — P. 94.

34. Математическое моделирование эмиссии из катодов малых размеров / В. Г. Данилов, В. Ю. Руднев, Р. К. Гайдуков, В. И. Кретов. — М.: Горячая линия-Телеком, 2014.

35. Шешин Е. П. Структура поверхности и автоэмиссионные свойства углеродных материалов. — М.: МФТИ, 2001. — 288 с.

36. Paulini J., Klein T, Simon G. Thermo-field emission and the Nottingham effect // Journal of Physics D: Applied Physics. — 1993. — Vol. 26, no. 8. — Pp. 1310-1315.

37. Electron-Emission and Gas Discharges I / Ed. by S. Flügge. — Berlin: SpringerVerlag, 1956. — Vol. XXI of Encyclopedia of Physics. — 683 pp.

38. Murphy E. L., Good R. H. Thermionic emission, field emission, and the transition region // Physical Review. — 1956. — Vol. 102, no. 6. — Pp. 1464-1473.

39. Lee T. H. T-F theory of electron emission in high-current arcs // Journal of Applied Physics. — 1959. — Vol. 30, no. 2. — Pp. 166-171.

40. Nottingham W. B. Remarks on Energy Losses Attending Thermionic Emission of Electrons from Metals // Physical Review. — 1941.

41. Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. — издание 2-ое, переработанное и дополненное изд. — М.: Наука, 1990. — 688 с.

42. Стильбанс Л. С. Физика полупроводников. — Советское радио, 1967. — 451 с.

43. Шалимова К. В. Физика полупроводников. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 392 с.

44. Danilov V. G., Omel'yanov G. A., Radkevich E. V. Hugoniot-type conditions and weak solutions to the phase-field system // European Journal of Applied Mathematics. — 1999. — Vol. 10. — Pp. 55-77.

45. Danilov V. G. On the relation between the Maslov-Whitham method and the weak asymptotics method // Linear and Non-Linear Theory of Generalized Functions and its Applications / Ed. by A. Kamiñski, M. Oberguggenberger, S. Pilipovic. — Vol. 88. — Warsaw: Banach Center Publications, 2010. — Pp. 55-65.

46. Данилов В. Г., Омельянов Г. А., Радкевич Е. В. Асимптотика решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31, № 3. — С. 483-491.

47. Danilov V. G., Omel'yanov G. A., Shelkovich V. M. Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves // Asymptotic methods for wave and quantum problems / Ed. by M. V. Karasev. — Providence: American Mathematical Society, 2003. — Vol. 208 of American Mathematical Society Translations: 2. — Pp. 33-163.

48. Miller S. C, Good R. H. A WKB-type approximation to the Schrodinger equation // Physical Review. — 1953. — Vol. 91, no. 1. — Pp. 174-179.

49. Vacuum arcs: theory and application / Ed. by J. M. Lafferty. — NY: Wiley, 1980.

50. Hantzsche E. Theory of cathode spot phenomena // Physica B+C. — 1981. — Vol. 104. — Pp. 3-16.

51. Hantzsche E. The state of the theory of vacuum arc cathodes // Beitmge aus der Plasmaphysik. — 1983. — Vol. 23, no. 1. — Pp. 77-94.

52. Егоров Н. В., Шешин Е. П. Автоэлектронная эмиссия. Принципы и приборы. — ИД Интеллект, 2011. — 704 с.

53. Furcey G. Field Emission in Vacuum Microelectronics. — Springer, 2005. — 205 pp.

54. Фурсей Г. Н. Автоэлектронная эмиссия. — СПб.: Лань, 2012. — 322 с.

55. Елинсон М. И., Васильев Г. Ф. Автоэлектронная эмиссия. — М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958.

56. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — издание 6-е, исправленное изд. — М.: Физматлит, 2004. — Т. III Теоретическая физика. — 800 с.

57. Froman H, Froman P. O. JWKB Approximation: Contributions to the Theory. — Amsterdam: North-Holland Pub., 1965.

58. Kemble E. C. The Fundamental Principles of Quantum Mechanics. — NY: McGraw-Hill, 1937.

59. Forbes R. G. On the need for a tunneling pre-factor in Fowler-Nordheim tunneling theory // Journal of Applied Physics. — 2008. — Vol. 103.

60. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / Ed. by M. Abramowitz, I. A. Stegun. Dover Books on Mathematics. — NY: Dover Publications, 1965. — 1046 pp.

61. Forbes R. G. Simple good appeoximations for the special elliptic functions in standart Fowler-Nordheim tunneling theory for a Schottky-Nordheim barrier // Applied Physics Letters. — 2006. — Vol. 89.

62. Федирко В. А., Поляков С. В., Зенюк Д. А. Матричный метод для моделирования туннельного переноса // Математическое моделирование. — 2010.

— Т. 22, № 5. — С. 3-14.

63. Nottingham effect in field and T-F emission: heating and cooling domains, and inversion temperature / F. M. Charbonnier, R. W. Strayer, L. W. Swanson, E. E. Martin // Physical Review Letters. — 1964. — Vol. 13, no. 13. — Pp. 397401.

64. Fleming G. M., Henderson J. E. The energy losses attending field current and thermoionic emission of electrons from metals // Physical Review. — 1940. — Vol. 58. — Pp. 887-894.

65. Energy exchange processes in electron emission at high fields and temperature / M. S. Chung, P. H. Cutler, N. M. Miskovscky, T. E. Sullivan // Journal of Vacuum Science and Technology B. — 1994. — Vol. 12, no. 2. — Pp. 727-736.

66. Energy exchange in field emission from semiconductors / M. S. Chung, Y. J. Jang, A. Mayer et al. // Journal of Vacuum Science and Technology B. — 2008. — Vol. 26. — Pp. 800-805.

67. Chung M. S., Hyun S. S. Derivation of the average energy of the field electrons emitted from semiconductors // Journal of Korean Physical Society. — 2001.

— Vol. 38, no. 6. — Pp. 758-761.

68. Theoretical analysis of the energy exchange and cooling in field emission from the conduction band of the n-type semiconductor / M. S. Chung, Y. J. Jang, A. Mayer et al. // Journal of Vacuum Science and Technology B. — 2009. — Vol. 27. — Pp. 692-697.

69. Levine P. H. Thermoelectric phenomena associated with electron-field emission // Journal of Applied Physics. — 1962. — Vol. 33, no. 2. — Pp. 582-587.

70. Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. И. К. Кикоин. — М.: Атомиздат, 1976. — 1008 с.

71. Шешин Е. П. Автоэлектронная эмиссия. — М.: МФТИ, 2016. — 153 с.

72. Gibbs J. W. The collected works. — New Haven: Yale University Press, 1948.

73. Visintin A. Models of Phase Transitions. — Birkhauser, 1996. — 323 pp.

74. Alexiades V. Mathematical Modeling Of Melting And Freezing Processes. — CRC Press, 1992. — 336 pp.

75. Chalmers B. Principles of solidification. Wiley Series on the Science and Technology of Materials (Book 28). — Wiley, 1964. — 319 pp.

76. Amini M, Laird B. B. Kinetic Coefficient for Hard-Sphere Crystal Growth from the Melt // Physical Review Letters. — 2006. — Nov. — Vol. 97. — P. 216102. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.97.216102.

77. Elliott C. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for free and moving boundary problems. — Boston: Pitman Publishing, 1982. — 213 pp.

78. Caginalp G. Surface tension and supercooling in solidification theory // Applications of Field Theory to Statistical Mechanics / Ed. by L. Garrido. — Springer Berlin Heidelberg, 1985. — Vol. 216 of Lecture Notes in Physics. — Pp. 216-226.

79. Радкевич Е. В. Об условиях существования классического решения модифицированной задачи Стефана (закон Гиббса-Томсона) // Математический сборник. — 1992. — Т. 183, № 2. — С. 77-101.

80. Karma A., Rappel W.-J. Phase-field method for computationally efficient modeling of solidification with arbitrary interface kinetics // Physical Review E. — 1996. — Vol. 53, no. 4. — Pp. R3017-R3020.

81. Chen X. Spectrum for the allen-chan, chan-hillard, and phase-field equations for generic interfaces // Communications in Partial Differential Equations. — 1994. — Vol. 19. — Pp. 1371-1395.

82. Данилов В. Г., Омельянов Г. А., Радкевич Е. В. Обоснование асимптотики решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана // Матем. сб. — 1995. — Т. 186, № 12. — С. 63-80.

83. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Физматлит, 1959.

84. Tang Y. W., Wang J., Zeng X. C. Molecular simulations of solid-liquid interfacial tension of silicon // The Journal of Chemical Physics. — 2006. — Vol. 124.

85. Самарский А. А. Теория разностных схем. — 2-е изд. — М.: Наука, 1983. — 616 с.

86. Кретов В. И. Вычисление напряженности электрического поля в кремниевом автоэмиссионном катоде // Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. — 2017. — Т. 16. — С. 59-68.

87. Modelling of Liquid Nuclei Generation for Field-Emission Silicon Nanocathode / V. Danilov, R. Gaydukov, V. Kretov, V. Rudnev // IEEE Transactions on Electron Devices. — 2014. — Vol. 61, no. 12. — Pp. 4232-4239.

88. Danilov V. G., Rudnev V. Y., Kretov V. I. Simulation of the heat transfer in the nanocathode // Open Journal of Applied Sciences. — 2012. — Vol. 2. — Pp. 78-81.

89. Vinogradova E. M., Egorov E. N., Televnyy D. S. Mathematical modeling of field emitter array // Vacuum. — 2016. — Vol. 133. — Pp. 45-50.

90. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином. Лаборатория знаний, 2008. — 640 с.

91. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.

92. Самарский А. А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1982. — 269 с.

93. Omel'yanov G. A., Rudnev V. Yu. Interaction of free boundaries in the modified Stefan problem // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. — 2004. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 227-237.

94. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971. — 552 с.

95. Колмогоров А. Н. К статистической теории кристаллизации металлов // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1937. — Т. 1, № 3. — С. 355-359.

96. Ward M. J., Reyna L. G. Resolving weak internal layer interactions for the Ginzburg-Landau equation // European Journal of Applied Mathematics. — 1994. — Vol. 5. — Pp. 495-523.