Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Елисеева, Татьяна Владимировна

• Елисеева, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елисеева, Татьяна Владимировна

Введение.

Глава 1. Прямые и обратные задачи о структуре стационарного температурного и потенциального полей в кусочно-однородной полуплоскости

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Задачи о структуре стационарного температурного поля на кусочно-однородной плоскости.

2.1. Случай плоскости с одной линией сопряжения.

2.2. Случай плоскости с двумя линиями сопряжения.

2.3. Сепаратная система интегральных уравнений типа свертки в задаче о пересчете гравитационного поля.

§ 3. Задачи о структуре стационарного температурного поля на однородной и кусочно-однородной полуплоскости.

3.1. Общая краевая задача для однородной полуплоскости.

3.2. Применение операторов преобразования к решению задач математической физики.

3.3. Случай полуплоскости с одной линией сопряжения.

3.4. Применение операторов преобразования к решению задач о структуре стационарного и нестационарного температурных полей, о структуре распределения колебаний.

3.5. Краевая задача Штурма-Лиувилля для кусочно-однородной полупрямой.

3.6. Общая краевая задача сопряжения для уравнения эллиптического типа.

3.7. Смешанная краевая задача для кусочно-однородного полупространства для уравнения Лапласа.

3.8. Метод Винера - Хопфа в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур.

Глава 2. Прямые и обратные задачи о структуре нестационарного температурного и волнового полей в кусочно-однородных средах

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Задачи о структуре нестационарного температурного поля на кусочно-однородной прямой.

2.1. Случай прямой с одной точкой сопряжения.

2.2. Случай прямой с двумя точками сопряжения.

2.3. Сепаратная система интегральных уравнений типа свертки.

§ 3. Задачи о структуре нестационарного температурного поля на однородной и кусочно-однородной полупрямой.

3.1. Случай однородной полупрямой.

3.2. Случай кусочно-однородной полупрямой.

§ 4. Задачи о структуре волнового поля на кусочно-однородной прямой.

4.1. Случай прямой с одной точкой сопряжения.

4.2. Случай прямой с двумя точками сопряжения.

§ 5. Задачи о структуре волнового поля на однородной и кусочно-однородной полупрямой.

5.1. Случай однородной полупрямой.

5.2. Случай кусочно-однородной полупрямой.

Глава 3. Обратные граничные краевые задачи.

§ 1. Граничные операторы преобразования для однородных полуограниченных сред.

1.1. Обратная граничная задача о структуре стационарного температурного поля.

1.2. Обратная граничная задача о структуре нестационарного температурного поля.

1.3. Обратная граничная задача о структуре волнового поля.

§ 2. Граничные операторы преобразования для кусочно-однородных полуограниченных сред.

2.1. Обратная граничная задача о структуре стационарного температурного поля.

2.2. Обратная граничная задача о структуре нестационарного температурного поля.

2.3. Обратная граничная задача о структуре волнового поля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах»

В последние годы в России принят ряд директивных документов, которые значительно ужесточают нормативные требования к теплопотерям в зданиях различного назначения как вновь проектируемых и строящихся, так и реконструируемых.

Для создания более совершенных строительных конструкций с повышенными теплозащитными свойствами необходимо всестороннее изучение механизма теплопереноса в многослойных стенах зданий и сооружений при переменной во времени температуре наружного воздуха. В большинстве инженерных расчетов процессов теплообмена в составных конструкциях тепловой контакт в месте соприкосновения / - го и (/ +1) - го слоев принимается идеальным (равенство температур и тепловых потоков). На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач моделирования физических процессов в неоднородных структурах. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов.

Кроме того, создание новейших нанотехнологий в области экологического очищения и разделения жидкости и газа, создание экологически чистых веществ и продуктов ставит целый ряд задач исследования механизмов кинетики неизотермического массопереноса в адсорбционных средах нанопористой структуры, требует развития новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в однородных и неоднородных пористых средах.

Таким образом, задачи математического моделирования процессов массо- и теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес.

Рассмотрим изотропную упругую неограниченную трехслойную пластинку /2 = {х| х е (- оо,0)и(0,/)и(/,+оо)}, через боковые поверхности г = ±д которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Требуется по известному закону распределения температурного поля в трехслойном неограниченном стержне в момент / = определить распределение температуры в начальный момент времени. Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки вида и,.{Р,х) = ^-"\л<р1 (х,Л)е-^0[ )<р](#,Х)/,ш + -СО \-<ю

I +00 N

О / у относительно /)•(£), у = 1,2,3.

Ранее рассматривались задачи пересчета гравитационного поля в однородном слое осадочных пород (Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П.). Моделирование процесса пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли, также приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.

Возникает вопрос о численном решении подобных задач. В нашей работе метод итерации и метод регуляризации применены для разработки численных алгоритмов решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в задачах интерпретации результатов косвенных наблюдений в кусочно-однородных средах. С целью применения указанных численных методов в работе развит метод операторов преобразования для решения прямых и обратных задач математической физики неоднородных структур.

Актуальность метода операторов преобразования в том, что он позволяет упростить вычислительные схемы при применении методов итерации и регуляризации для решения задач кусочно-однородных сред. С помощью операторного метода задачу для неоднородной среды можно свести к задаче для однородной области. Операторный подход дает возможность получить решение в удобном виде, допускающем простую физическую интерпретацию: последовательные приближения с помощью отражения от экранов. Аналитическая форма получаемого таким методом решения удобна для изучения его асимптотических свойств.

Цель работы: разработать алгоритмы численного решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений типа свертки теории интерпретации результатов косвенных наблюдений, представляющих обобщение уравнений в свертках. Построить операторы преобразования, позволяющие по известным решениям классических модельных задач математической физики получить решения краевых задач в кусочно-однородных пространстве и полупространстве.

По мнению автора, новыми являются следующие результаты:

- построены операторы преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах: прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля;

- найдены граничные операторы преобразования, позволяющие по ди известному граничному условию ки + дх /(у), Л<0, найти значение х=0 функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе (например, температуру);

- получены новые выражения для интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения; для двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения; построены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки;

- на основе методов итераций и регуляризации и метода операторов преобразования разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений для кусочно-однородных сред, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;

- программно реализованы схемы численного решения следующих задач: а) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном бесконечном стержне; б) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластине; в) векторной кусочно-однородной обратной задачи теплопроводности; г) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в трехслойном бесконечном стержне; д) ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержне; е) задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.

Дадим характеристику основных результатов диссертационной работы, состоящей из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Главы 1 - 3 посвящены теории операторов преобразования, в главе 4 разработаны схемы численного решения обратных задач теплопроводности в неоднородных средах.

В главе 1 рассмотрена задача пересчета гравитационного поля, когда в слое осадков существует граница раздела сред, направленная по нормали к поверхности Земли. Моделирование данного процесса приводит к следующей математической постановке.

Пусть функция и(х,у) = в(- х)щ (х,у)+в(х)и2 (х,у) - ограниченная в области = х е (-со,0)и(0,+оо),у € (0,+оо)}, где в(х) - единичная функция

Хевисайда.

Пусть в слое у>к, у - глубина под поверхностью Земли, расположены источники аномального гравитационного поля, а при 0<у<И их нет. х - горизонтальная координата. и{х, у) - вертикальная компонента напряженности гравитационного поля, порожденного этими источниками. Тогда функция и(х, у) - решение уравнения Лапласа д2и, д2и,

1 + —¿ = о / = 1? Эх2 Зу2 ' ; ' ' регулярное в полуплоскости у < к. При этом на прямой х = 0 выполняются идеальные условия сопряжения щ(0,у) = и2(0,у), к^(0,у) = ^(0,у), к> 0. ох ох

На поверхности Земли {у = 0) величина и(х,0) = £(:*:), = может быть измерена гравиметром. Требуется найти значения функции и](х,к) = / = 1,2. Решение поставленной задачи приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки

21 М = л

10 к-\ х-^У+к1 к +1 (х + %)2+к х<0, 7

82М = к ж

00

2к °г к + \1(х-^У+к1 1 к — \ I 1 х> 0.

С целью подготовить поставленную задачу к численному решению итерационным методом и методом регуляризации построена теория операторов преобразования для решения смешанных краевых задач для уравнения эллиптического типа в кусочно-однородных средах.

В качестве модельной задачи рассмотрена первая краевая задача для уравнения Лапласа: найти решение дифференциального уравнения д2й д2й 0 ас2 ду2 в полуплоскости О - е (0;+оо);у е (- оо,+оо)| по граничным условиям и(М=/М Ии=0

Оператором преобразования будем называть правило, которое ставит в соответствие функции и = й(х,у) из однородной области В определенную функцию и = и(х,у) из кусочно-однородной области £)*. Область £)* будет уточнена для каждой задачи.

В работе построены операторы преобразования для следующих краевых задач:

1) Общая краевая задача для уравнения Лапласа.

Найти решение уравнения Лапласа = 0 в области £> по граничному условию где Г - действительный перестановочный с оператором — граничный к линейный оператор.

Рассмотрены частные случаи поставленной задачи: а) Третья краевая задача для уравнения Лапласа с граничным оператором

Г = к +—, Н<0. (к

Оператор преобразования по переменной х Рх: й{х, у) -» и(х, у)

00 имеет вид и(х, у) = Рх [й](д:, у) = - \екЕ й{х + £, у)йе. о

Кроме того, был получен оператор преобразования по переменной у.

00 и(х,у) = Ру[й\х,у) = ¡У(т1)й(х,у-?1)с1т],

-00 где л/2 ж

У ел-, где С ¡(у) = -1-ёа, 57(у) = |-с1а. у а о ос б) Задача со спектральным параметром для уравнения Лапласа с граничным 2 оператором вида Г = к + — + /г, —-, где коэффициенты к < 0, к\ > 0. с1х (к

Для этой задачи получен оператор преобразования

00 еРг£ еР\е и(х, у) = /ВДх, у) = ¡-Т-—-т й(х + £, у^е, \-J\-4kk „ 1 + л/1-4 кк где -$2 = ' •

2 кх 2 кх в) Задача Дирихле со сдвигом для уравнения Лапласа с граничным оператором вида Г = Е + кТ1, 0 < к < 1, где Е - тождественный оператор, Т1 -оператор сдвига 7} \и(х, у) ] = и{х + /, у).

Получен оператор преобразования, решающий поставленную задачу и(х, у) = р[й\х, >>)=!(-1)" ккй(х + 1к, у).

4=0

2) Первая краевая задача для уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости: найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочнооднородной полуплоскости Д+, удовлетворяющее граничному условию и(0,.у) = м(0,>>) ды Зы и условиям сопряжения и (/, у) = и+ дх дх

Оператор преобразования по переменной х приведен выше; оператор преобразования по переменной у имеет вид й(х,у-7])--—й(21-х,у-т])ш, 1 + к I

0 < х < /,

2* АП-*у-г 41; ^ ь

21 Г"Г 1 ,,2,2 . „2 *Фиу-щЛц, х>1

1 + к^\\ + к) 4/2/2 + 7]г

Решены следующие задачи с неоднородными условиями сопряжения. 3) Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости удовлетворяющее граничному условию и(0,у)=0 и условиям сопряжения и(1,у)-и+(1,у)=й(0,у), к>0, кФ\. дх ох

Оператор преобразования, решающий задачу, имеет вид й(х-1 + 2у,у)~ и(х,у) = Ь[й\х,у) =

1 ч х 1 *(\-к У к

1-кн

VI + к;

-—— м(/ — х + 2//, у) 1 + к v ' 0 < х < /, к . + к й(х-1,у)~

2к д, й(х-1 + 2У,у),х>1.

4) Найти ограниченное решение уравнение Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости £>!+, удовлетворяющее граничному условию м(0,у) = 0 и условиям сопряжения и{1,у) = и+(1,у), к>0, к* 1. дх ох ох

Получен оператор преобразования 1 и(х,у) = Ци\х,у) =

1 + к г V и{21-х,у)+-—

1 -км

1 + к

1 — к и(х + 2у,у)--и(21-х + 21/,у) , 0<х<1,

1 + к

1 „ й(х,у)+

2к

1 + к) й(х + 2Ц,у), х>1.

1 + к"у'" 1 -к2р1, 5) Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в полуплоскости £>,+ , удовлетворяющее граничному условию и(0,у)+аи(1,у) = и(0,у), 0<а<\, и условиям сопряжения

Ьи(1,у) = и+(1,у), дх дх дх где Ь, с, с1> О, причем с + ас/< тт(д,Л + ас).

Получен оператор преобразования, позволяющий решить задачу:

Я:и(х,у)->и(х,у). и(х,у)= + ] + \)\( 2(с + ас1)ХХ(Ь-(1-ас у=о Л у! сй(х + /(/ + 1)+2/у,д/)+

Ь + а+ас) \Ь + а + ас; + (Ь + ^й(х + Н + 21},у)+сй(1-х + И + 21% у)+ (с1-Ь)й(21 -х + Н + 21},у)), 0<х<1, + ;Ч1)!Г 2(с + аЛ)Ч+[(Ь-с1-ас у=о Л у!

Ь + с1 + ас;

Ь + с1 +ас

Ьсй(х + /(/ +1)+2 /;', .у)+ 2Ъс1 й(х + Н + 21%у)-Ьсй(х-1 + И + 21],.у)), х>1.

6) Решена обобщенная задача Дирихле для кусочно-однородной полуплоскости.

Найти ограниченное решение уравнения Лапласа в кусочно-однородной полуплоскости £),+, удовлетворяющее граничному условию и(0,у)+ки(11,у) = й(0,у), и условиям сопряжения и(1,у)=и+(1,у\ к>О, дх дх где О < к < гшп г п Рассмотрены два случая, когда 0 </| </ и /¡>/. ч к)

Для случая 0 < /| < / оператор преобразования К :й(х,у)->и(х,у) имеет вид и(х,у) =

I УГ^У. ш=0 fif.pl Х л\ + к){ \ + к)

1 — к й(х + /,/ + 21} + (21 -1х)р,у)--и(21 -х + 1]г + 2 у + (21 - /, )р, у)

1 + к

0<х <1,

2к - (¡ + ] + р + 2)\, 1 + *и!н> И р\ \\ + к){\ + к,

•£(* + /,/+ 2//+ (2/у), х>1.

Если /] >/, то и(х,у) = я[й] = + ./ + 1)!(1-*ЛУ 2кк у=о /.'у! у

1 +

1-А: 1 + £ й(х + 2И + 1^\у)~ й(21 -х + 2Н + 1}],у) 0 <х<1,

1 + 4,,>о ЛУ! и + ^Л 1 + к)

Получены операторы преобразований для частных случаев: =/ и 1\=21, где х = I - линия сопряжения.

7) Решена общая краевая задача сопряжения для уравнения эллиптического типа.

Требовалось определить конструкцию ограниченного на кусочно-однородной полуплоскости д; = х е1+п;уе(- оо,+оо)}, где /я+ = у=о нетривиального решения сепаратной системы дифференциальных уравнений д2и: ■уд2и1 , -^-6,4=0, У = 1,.,« + 1, по краевым условиям х=<ю

00, и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

Г12["у ] = Г22["у+11 Х = 7=1,.,«, где Г°, Т/к,1,к -1,2, у = 1,.,«, - действительные перестановочные с Л оператором — линеиные операторы. с1х

Оператор преобразования, связывающий поставленную задачу с модельной, получен в виде:

2 00 (!"> ^ Иу (х,у) = — 3т (х, XI /81п Ц у№ Щ, ) -1,., п +1, л о чо ) где символ Зт обозначает мнимую часть комплексного числа, Vу (х, А) спектральная функция задачи Штурма - Лиувилля о конструкции ограниченного на кусочно-однородной полупрямой I* нетривиального решения сепаратной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с12у х,Л)+{а]Л2 +Ь2\]{х,Л) = О, хеГп,] = \,.,п + \, ах по краевым условиям

1 '1Л=/0 1 й+11*=СО и условиям контакта в точках сопряжения интервалов

Ру ] = Г22 [^-И1 Х = 1,' / = «, с1 где Г°, Г^ - перестановочные с оператором — граничные линейные сЬс операторы, для которых выполняется го ¿/ = гр ск с!х т^/ <1 <* • , 1 Л -1

47 = 74, /Д = 1,2; 7 = 1,.,", ах ах при условиях неограниченной разрешимости задачи [32].

Построены операторы преобразования для следующих задач на кусочно-однородной плоскости:

8) Уравнения Лапласа на плоскости с одной линией сопряжения.

Найти решение дифференциального уравнения Ам(дг,1у) = 0 в области

А = е (- оо;0)и (0;+со);у е (- оо,+оо)}, удовлетворяющее условиям сопряжения иЛо,у)-«Ао,у)=М дх дх

Оператор преобразования и(х,у) = П[й\х,у) =

-й(-х,у), жО, к +1 к й(х,у), х>0, к +1 решает поставленную задачу.

9) Уравнения Лапласа на плоскости с двумя линиями сопряжения. Требуется найти решение уравнения Лапласа в области

А = К*»^ * е и (0;/)и (/;+оо);у е (-оо,+оо)}, удовлетворяющее условиям сопряжения к^{0,у) = ^(0,у), кх > О, ох ох и{1,у) = и+(1,у), к2^(1,у) = ^(1,у), к2> 0. дх дх

Получен оператор преобразования П :и(х,у)-+ и(х, у). и(х,у) = гг2(-«У л , Ул 1 У/

1 + к{ у=о

1 -кх 1 +

1 -к? Ч1 + ки

-к. й(- х + 21), .у)+-- й(21 -х + 2 I], у) К

1 + у'=0

-1Г 1 — А:,У(\-к

1 +

1 + *.

1 -к х<0, й(х + 2Ц, у)--- й(21 - х + 2Ц, у)

1 + к п2

1НУ

1-к^ й(х + 2 Ц, у),

0 <х<1, х>1.

В выражениях операторов преобразования по переменной х, полученных в работе, слагаемые рядов быстро убывают. Вид решения позволяет изучать асимптотические свойства по х на бесконечности и в любой фиксированной точке х.

Операторы преобразования по у позволяют изучить решение при фиксированном значении х.

В качестве примера применения метода операторов преобразования рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в правой полуплоскости с линией сопряжения {(*> у)| * € (0,/)и(/,+оо),з/ е (- оо,+оо)} удовлетворяющего граничным условиям: и(0,у) = е~ау (а > 0) при >> >0,

-{0,у) = СеЬу (Ь>0) при >> < 0, дх

ПРИ л: —> оо, и условиям сопряжения и(1,у) = и+(1,у), = к> О, ох ох где и(1,у), и+ (/,у), —-(/,у), —~{1,у) - предельные значения функции дх дх и = и(х,у) и ее производных при х = 1 слева и справа соответственно. В работе теоретически обоснованы свойства операторов преобразования. Определение 1. Определим пространство Щ2 (п) как замыкание множества

С2 (О) по норме =

Ф>у)|2+К|2 +

2 I № |2 «у\ +К\ + и

УУ dydx

Определение 2. Определим пространство ^Г22(/)я+) как замыкание множества

Ф:)

II ||(2) по норме ЦиЦ*

Л*

Шх,у]2+\и'х\2 + и.

К\ + и

УУ dydx

Теорема 1. Операторы преобразования осуществляют непрерывное отображение пространства Ж? (О) в пространство №2[р+п\

Вид, в котором получены точные формулы для решения прямых краевых и смешанных краевых задач, удобен для разработки вычислительных схем.

Для обратных краевых задач разработан алгоритм численного решения, основанный на применении метода операторов преобразования, методов итераций и регуляризации.

В главе 2 рассмотрено моделирование процесса теплопереноса в изотропной упругой неограниченной трехслойной пластинке (задача 1)

2 = {х| х е (-со,0)и(0,/)и(/,+оо)}, через боковые поверхности z = ±S которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. В точках сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Математическая постановка данной модели приводит к сепаратной системе уравнений теплопроводности d2u¡ где функция u(t,x) = x)ux(t,x)+в(х)в(1 -x)u2(t,x)+e(x)u2(t,x) ограниченная в области Q2 = {(/,х)| t е (0,+сс);х е /2), в(х) - единичная функция Хевисайда, с идеальными условиями сопряжения

IM) = u2(í,0), 0) = %(í,0), кх > 0, ох дх u2(t,l) = u3(t,l), k2—±(t,l) = -2-(t,l), к2>0, дх дх начальными условиями «Д0,х) = fj(x), j = 1,2,3, х е/2, где aj г ai коэффициент температуропроводности, %) - — > &¡ - коэффициент

Я jó теплоотдачи с боковых поверхностей пластинки (z = ±S), Я. - коэффициент теплопроводности изотропного тела. Если поверхности z = ±8 пластинки теплоизолированы, то = 0.

Рассмотрим задачу: найти закон распределения температуры f(x) = в{- х) /¡ (х) + в{х)в{1 - x)f2 (х)+в(х) /3 (х) в начальный момент по известному закону распределения температуры «(/?, х) в момент времени t = /3.

Поставленная задача приводит к сепаратной системе интегральных уравнений типа свертки.

Для получения численного решения поставленной задачи итерационным методом и методом регуляризации, построена теория операторов преобразования. В этой главе построены операторы преобразования для решения смешанных краевых задач для уравнений теплопроводности и уравнений колебаний в кусочно-однородных средах. В первом случае в качестве модельной задачи выбрана первая краевая задача для уравнения теплопроводности — = в области О = е (0;+оо),х е (0;+оо)} по дх граничным условиям u(t,0)=f{t), |й| ^ =0, и по начальному условию и(0,*) = 0.

Все операторы преобразования по переменной х, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными ди д2и условиями для уравнения теплопроводности — = —в кусочно-однородных dt дх средах.

Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной t, решающие следующие задачи.

1) Третья краевая задача для уравнения теплопроводности в области Q по граничному условию hu(t,0)+—(t,0) = f(t), h< 0, и по начальному условию дх ы{0,*) = 0.

Получен оператор преобразования u(t,x) = Lt[u\t,x) = -\ -jL= + eh2ThErfc(-h4r^\u(t-T,x)dT,

2 °°r ^ где Erfc(u) = —j= \е v dv. Vtf „

2) Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в кусочно-однородной области Qf = {(í,x)(rG(0;+oo),jce(0;/)u(/;+co)} по граничному условию u{t,О) = ü(í,О) и условиям сопряжения u(t,l) = u+(t,l), кд-^(!,1)=Ы,,1\ к>0. дх ох

Оператор преобразования по переменной jc определен в главе 1, а оператор по переменной t П(: ü(t, х) -» u{t, х). имеет вид u(t,x) =

- 1 -kY' И -—( 1 -к ГТ \~Гше 7 Щ-т,х)- — ü(t-T,2l-x) dx,0<x<l,

2к ~ f 1 —>tY 'f lj х , rl :—г u(t-Ttx)dv, х>1 l + kj=o\l + k) оутгт '

Иг ли \

Выражения для операторов преобразования по переменной / содержат конечные суммы и собственные интегралы. Решения получены в виде, позволяющем изучить изменение величины во времени при фиксированном значении х.

Возвращаясь к ретроспективной задаче теплопереноса для трехслойной неограниченной пластинки, отметим, что с помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки -оо v -оо оо \ dX, о / относительно / = 1,2,3. Выражения для функций (р^, ср* получены в работе. Схема численное решение полученной системы рассматривается в главе 4.

Для случая уравнения колебаний в качестве модельной задачи рассмотрена „ д2й д2й - „ первая краевая задача для уравнения колебании —- = —г- в области £2 по дг дх граничным условиям = /(?), \й\ =0, и по начальным условиям и(0,х) = 0, ^(0,х) = 0.

Все операторы преобразования по переменной х, приведенные в главе 1, позволяют также решать краевые задачи с соответствующими граничными условиями для уравнения колебаний д2и д2и в кусочно-однородных средах.

Кроме этого, получены операторы преобразования по переменной решающие следующие задачи.

1) Третья краевая задача для уравнения колебаний = в области О дх по граничному условию дх и по начальным условиям м(0,*) = 0, —(0,;с)=0. Зг

Оператор преобразования по переменной х определен в главе 1, оператор преобразования по переменной t задан равенством и^,х) = Ц[й]^,х) = -\еНг й^-т,х)с!т. о

2) Первая краевая задача для уравнения колебаний в кусочно-однородной области П}" = б(0;+оо),д:е(0;/)и(/;+оо)} по граничному условию = м(?,0) и условиям сопряжения = и+ (?,/), А: —(г,/) = —-^,1), А: > 0. дх дх

Оператор преобразования по переменной х получен в главе 1, оператор преобразования по переменной / имеет вид ^ ^ и^-21;',х)~-—- й^-2^,21-х) , 0<х<1,

1 + к ) 1

2к

1 + А: Д1 + к где суммирование по всем целым у = О,., Г

27

3) Третья краевая задача для уравнения колебаний в области О^ по граничному условию ди ох условиям сопряжения

П(и1)=Ы+(и1\ = ¿>0, йх ох: и по начальным условиям и(0,*) = 0, ^(0,х) = 0.

Получены оператор преобразования по переменной х

Пх: и (/,*)-» д:). и

М =

00 / ч ■ /1 -£У+С0

К-»Пттт о и + к)

00 /

- 2/1£>)еАе , X + Е + 2Ц)

2к Д/

1 + к 1 г &

К-1 г

Ч1 + *,

- 2ке)е1>е ы(/, х + е + 21^6, х>1, где Ь:(х) = —ех—г{х]е~х) - полиномы Чебышева - Лагерра [15], и оператор у! (Ь} преобразования по переменной I

П, м(/,х) =

1-^У '-2/> .1 + к ¿у(-2/гг)еАг й(^-г-2/у,х)

-к 1 + к й^-т-2Ц,21-х) с1т, 0<х<1,

1 + л ) 1

-к V '~2/у о где суммирование по всем целым у = 0,.,

2/

4) Получен оператор преобразования по переменной /

П, :м(/,л:)-» и(/,х) для задачи нахождения решения уравнения колебаний на прямой с двумя точками сопряжения

П2 = 6 (0;+оо),х е (-оо;0)и(0;/)и(/;+оо)} по условиям сопряжения кх>О, ах: ох и(М)=(г,/), > о, ох ох который имеет вид и(/,х) =

1 + к. ,

1ИУ л 7 Ул / УУ 1

1-*

- 2!/,-х)+—± - 21],21 - х) ,

2 ; х<0,

1 + *, У к'

К-1У М

Л I. УЛ УУ

1 — Лг, у1 + ки

12 к-г

Л /, УУ

1—&

- 2/;, х)--1 к(/ - 2/у,21 - х)

1 + к, 1 V й(/-2/у',х),

О < х < /, х>/, где суммирование по всем целым у = 0,.,

В главе 3 построены граничные операторы преобразования, позволяющие ди по известному граничному условию пи + — дх /{у\ И < 0, найти значение х=0 функции и на границе области при х = 0. Применяя полученные операторы, можно восстановить характеристики материала (например, температуру) на границе, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой. Подобные задачи решены для моделей стационарных и нестационарных температурных полей, для модели волнового поля в однородной и кусочно-однородной полуплоскости.

1) Уравнение Лапласа на однородной полуплоскости.

Пусть функция и = и(х,у) - гармоническая в однородной полуплоскости

И = е (0,оо);у е (- оо,оо)} и удовлетворяет граничному условию

Ии{0,у)^{0,у) = /(у\ И<0, дх где / = /(у) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной оси функция. Требуется найти значение функции и = и(х,у) на границе области £): и(0,у). Получен граничный оператор преобразования

00 и(0,у) = фЬ)= РШЬ-Ж??, где

У(г}) = [2соб(к?])а(-И\т]|)+ Бт(кг])(л: sign(r])+ 25г'(/1^))], л/2 ж а(у) = -1-йа, = I-йа [15]. у а ¿а

2) Уравнение теплопроводности на однородной полупрямой. Пусть функция и = и^,х) - ограниченная в однородной области О = € (0,оо),х е (0, со)} и удовлетворяет уравнению теплопроводности ди д2и граничному условию

Ц/,0)+|Цг, 0) = /(>), /г < О, дх и начальному условию м(0, х) = 0.

Граничный оператор преобразования, позволяющий записать решение поставленной задачи, имеет вид:

3) Уравнение колебаний на однородной полупрямой.

Пусть функция и = и(г,х) - ограниченная в однородной области О = е (0,со),хе (0,оо)| и удовлетворяет уравнению колебаний

14 А д и д и граничному условию йс и начальным условиям и(0, х) = 0, ~ (0, х) = 0.

Требуется найти значение функции и = на границе области О: и(/,0). Получен граничный оператор преобразования в виде: о

4) Уравнение Лапласа на кусочно-однородной полуплоскости.

Пусть функция и(х,у)=^в(х~ 1ИМО ~х)и](*>у)+~КК+1 (Х>>0 И ограниченная на кусочно-однородной полуплоскости К = {(^ °о,+оо)}, где =|х|х€и(/7,/.+1);/0>0,/я+1 =оо,/у+1 -/. < /у+2 - /7+1, У = о,., и -11, и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений д2и, д2и,

Г + —г = 0> У = 1.я + 1, ах2 V краевому условию

Ищ(0,у)^(0,у) = /(у), ¿<0, дх и условиям контакта в точках сопряжения интервалов где / = /(у) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной оси функция. Требуется найти значение функции и = и(х,у) на границе области £>*: и(0,у) = и{(0,у).

Получен граничный оператор преобразования, позволяющий по известной функции / = /(у) найти значение функции и = и(х,у) на границе области: и(0,у)=Ь„[/Ь)=4=17/(у-п¥кц / Гл^/ , <*1> где йГ,(0,|Л|)+Г/,(0,|Л|)*0, ^(о,^), ¥{х(о,Щ) - значения собственной функции задачи Штурма - Лиувилля на границе х = 0.

5) Уравнение теплопроводности на кусочно-однородной полуоси.

Пусть функция ~ Х)и] ~ К )ип+1 (*> *) н ограниченная в кусочно-однородной области 0.+п = {(/,*)( Г е (0,+со),х е I*} и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений ди,- д2и, краевому условию кщ(и0)+^,0) = /(г), ¿<0, дх условиям контакта в точках сопряжения интервалов и начальному условию и.(0,х) = 0, где / = /(?) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной полуоси функция. Требуется найти значение функции и = и^, х) на границе области С1+п: м(/,0) = и, (/,0). Получен оператор преобразования, позволяющий найти решение задачи: о где ф(г) = —ТЯе р > а > О, у{(4р, о) . при условии, что —/ л— Ч —V ,— \ является функциеи-оригиналом.

6) Уравнение колебаний на кусочно-однородной полупрямой.

Пусть функция х)= £ #(х - )#(/. - х)му. х)+в(х - 1п )ип+] (г, х)

7=1 ограниченная в кусочно-однородной области = х)| ^ е (0,+оо),х € } и удовлетворяет сепаратной системе дифференциальных уравнений

О О д и- 3 и, дГ дх2 краевому условию ох условиям контакта в точках сопряжения интервалов

ГпкЬГикЛ ri2k]=ri[«y+ll X = lj> J = l>->n> и начальным условиям иу(0,*) = 0, dt где / = f{t) - заданная непрерывная, абсолютно интегрируемая на действительной полуоси функция. Требуется найти значение функции и = u(t,х) на границе области Q*: u(t,О) = щ (i,0). Получен граничный оператор преобразования в виде: Lh [/КО = )f(t ~ т)Ф(т)&, о где ф(г) = —Те'г /][Р'°\ чф, Re /? > а > О, , при условии, что-т———г является функциеи-оригиналом.

В качестве примера рассмотрена задача о распространении колебаний на кусочно-однородной полупрямой: найти решение дифференциального уравнения —- = —i на граниЦе области Q, х = 0 по граничному условию dt дх hu(t,0)+^{t,0) = f(t), h< 0, ах; условиям сопряжения u(t,l) = u+(i,l), k—=-(t,l) = —±-(t,l), к>0, дх дх и по начальным условиям и(0, х) = 0, — (0, х) = 0. dt

Решение поставленной задачи имеет вид: о и+*У о

- I (-«Пгтт /«-«■ -а(/+1)>1г. у=0 1 г ^

1 и / \ где I. (х) = — —г (д^е-* ] - полиномы Чебышева - Лагерра. у! ¿¿с7

Полученные граничные операторы применяются и к решению обратных задач. Рассмотрим задачу о структуре стационарного температурного поля в полуограниченной двухслойной пластине £>,+. Требуется на границе х = 0 по известному значению температуры и{$,у) пластины найти температурное поле окружающей среды /ш, (0, у)+—- (0, у) = /(у), И <0, при условии идеального дх теплового контакта на линии сопряжения слоев х = I.

Применяя граничные операторы преобразования, полученные в работе, приходим к интегральному уравнению I рода

0,у) = 7/(У"л)еап , , дМйц, щ где + -—-е численное решение которого может быть получено методами итераций и регуляризации.

В главе 4 рассматривается применение операторов преобразования к решению ретроспективных задач теплопроводности. На основе метода операторов преобразования, итерационного метода и метода регуляризации разработаны алгоритмы численного решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений I рода, к которым приводят задачи интерпретации результатов косвенных наблюдений.

Рассмотрим уравнение вида

4=]*(*-(1) у ¿я

Применив к нему преобразование Фурье, имеем К(Л)/(Л) = и(Л). Введем кА сетку узлов Лк = -Л + —, к = 0,1,., 2Ы, где А - достаточно большое число. Пусть К(Лк) * 0, А: = 0,1,., 2 ЛГ. Рассмотрим итерационный процесс

Л+, (Л )=Ш)~ п (к(лк )1 (Л) - и(лк)), к = 0,1,.,« = 0,1,., где % подбирается из требования, чтобы дк=\\-укК(Лк]<~, к-0,1,., При налагаемых на функцию условиях это всегда возможно.

Видно, что при каждом к(к = 0,\,.,2М) итерации сходятся со скоростью

Ад^. Затем по квадратурным формулам преобразования Фурье находим функцию /(*). Обоснование итерационного процесса и исследование погрешности реализации этой вычислительной схемы приведено в работах И. В. Бойкова [10].

Приближенное решение уравнения (1) методом регуляризации изучено в работах А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [48].

Если уклонение правой части уравнения (1) оценивать в метрике Ь2(- оо,оо), а уклонение решения /(х) - в метрике С, и полагать, что /(Л)е £,(-оо,оо), то справедлива

Теорема 2. Если функция г(Л,а) является стабилизирующим множителем, то определенный с ее помощью оператор 11(и,а)=—?= | / , и(Л)е1Ах с1Л л/2л'00 К\Л) является регуляризирующим оператором для уравнения (1).

Таким образом, функция /(х) = Я(и,а) является регуляризованным решением уравнения (1).

Указанные методы решения уравнения в свертке (1) распространены на случай сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки. Разработанные схемы численного решения применены к решению ретроспективных задач теплопереноса и задачи пересчета потенциального поля. Были найдены новые выражения для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье на действительной оси с одной и двумя точками сопряжения, для двумерных прямого и обратного преобразований Фурье на плоскости с одной линией сопряжения.

Покажем схему численного решения на примере ретроспективной задачи теплопереноса в трехслойной неограниченной пластинке (задача 1). С помощью операторов преобразования решение этой задачи сводится к решению сепаратной системы интегральных уравнений типа свертки 1 I 2 2\ { 0 -оо \—оо оо Л

Щ^АШ)^ ¿а, о I )

3) относительно /Д^), у = 1,2,3.

Схема численного решения:

1) Действуем на систему (3) интегральным преобразованием Фурье на оси с двумя точками сопряжения I

42Ж +00 о /

В образах Фурье получим и(РЛ) = е-^7{1). (4)

2) Итерационный метод. Так как К(Л) = е~^л +сто К(Я)-> 0 при Д -> ±оо и К(Л)^ О при конечных значениях Я. Значит, к уравнению (4) применимы последовательные приближения (2). Находим приближенное решение

7(я).

Метод регуляризации. Для рассматриваемой задачи выбран стабилизирующий множитель г (Я,а) =

1, ю4 (<х = к\ О, |Д|>-; где к - величина шага сетки, на которой ищется решение системы (3). Образ Фурье регуляризованного решения имеет вид

3) Действуем обратным преобразованием Фурье

Г 1 1 +<ю

Л (х) = ^ 1Л*) =-ПГ ¡9»(*» Я)/М<И> * < О' г -1 } г(х) = Ру1х) = -к= \(рг{хЛ)1(Л)<1Л, 0 <х<1,

СО +00 зМ = [/](*) = -/== \(ръ(х,Л)/{Л)(1Л, х>1.

Интегралы в преобразованиях Фурье аппроксимированы по формуле прямоугольников. Получено приближенное решение поставленной задачи 1.

Подобные схемы разработаны для следующих математических моделей.

1) Ретроспективная задача теплопереноса в двухслойном неограниченном стержне и в двухслойной неограниченной пластине.

2) Векторная кусочно-однородная обратная задача теплопроводности.

3) Ретроспективная задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойном ограниченном стержне.

4) Задача пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.

Все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, написаны в программной среде BORLAND DELPHI 7.

Различные результаты и разделы диссертации докладывались на Международной конференции по геометрии и анализу (г. Пенза, 2003 г.), на Международных научных конференциях молодых ученых "Ломоносов" в МГУ (г. Москва, 2002, 2005 гг.), на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2003, 2004, 2006 гг.), на XIV Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (Международный математический институт имени Эйлера, г. Санкт-Петербург, 2005 г.), на VII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 2006 г.), на семинарах кафедры математического анализа Пензенского государственного педагогического университета, кафедры высшей и прикладной математики Пензенского государственного университета, на объединенных научных семинарах кафедры прикладной математики МГУ им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (г. Саранск, 2006, 2007 гг.).

Основные результаты диссертации изложены в работах [50] - [72].

На защиту выносятся следующие положения:

1) предложен метод операторов преобразования для решения широкого круга задач математического моделирования физических процессов в неоднородных средах: прямых и обратных задач моделирования процесса теплопереноса, моделирования стационарного температурного поля, волнового поля;

2) предложен метод граничных операторов преобразования, позволяющие по ди известному граничному условию пил- — дх

- f{y\ h<0, найти значение о функции и на границе области при х = 0, что позволяет, зная характер взаимодействия материала с окружающей средой, восстановить характеристики материала на границе;

3) с целью применения метода регуляризации А. Н. Тихонова и метода итераций И. В. Бойкова к численному решению сепаратных систем интегральных уравнений, возникающих при решении обратных задач кусочно-однородных сред, разработан метод интегрального преобразования Фурье на оси с одной и двумя точками сопряжения, двумерного интегрального преобразования Фурье на плоскости с одной линией сопряжения; установлена связь предложенного метода с методом операторов преобразования; построены регуляризирующие операторы для сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки;

4) разработаны и обоснованы схемы численного решения ряда задач интерпретации результатов косвенных наблюдений для кусочно-однородных сред, приводящих к сепаратным системам интегральных уравнений типа свертки;

5) программно реализованы схемы численного решения ретроспективных задач о структуре нестационарного температурного поля в различных кусочно-однородных средах и задачи пересчета гравитационного поля в слое осадков с границей раздела сред, направленной по нормали к поверхности Земли.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Елисеева, Татьяна Владимировна

Заключение

Задачи математического моделирования процессов массо- и теплопереноса представляют большой теоретический и практический интерес. На современном этапе в связи с широким применением композиционных материалов возникла острая потребность в решении достаточно широкого класса задач моделирования физических процессов в неоднородных структурах. Последнее обстоятельство требует с одной стороны усовершенствования и модифицирования существующего математического аппарата, а с другой стороны создания новых методов математического моделирования, которые описывают сложные механизмы внутренней кинетики, условия динамического равновесия и режимы массопереноса в слоистых средах.

Ряд вопросов математического моделирования процессов теплопереноса и моделирования потенциальных полей представляют неисследованные проблемы, особенно - численное решение обратных задач в многослойных средах. В работе рассмотрены математические модели нестационарного теплопереноса, модели распределения стационарного температурного поля и волн в неограниченных и полуограниченных неоднородных средах. Построена модель потенциального поля в многослойной области. Впервые получены аналитические решения таких моделей в виде, связывающем решение задач для неоднородных сред с решением соответствующих задач для однородных структур. Разработаны, обоснованы и программно реализованы алгоритмы численного решения сепаратных систем интегральных уравнений типа свертки, возникающих в обратных ретроспективных задачах теплопереноса и в задаче пересчета гравитационного поля в неоднородных структурах.

Основным математическим аппаратом в работе является метод операторов преобразования, который может быть применен не только в случае двух- или трехслойных сред, но и в общем случае; не только в случае условий идеального контакта, но и в случае условий сопряжения общего вида. В этом заключается особенность и эффективность результатов, полученных для исследования широкого класса реальных процессов, протекающих в кусочно-однородных средах. Результаты, полученные в работе, позволяют реализовать эффективные процедуры проверки на адекватность параметров моделирования и физического эксперимента, что является перспективным направлением исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елисеева, Татьяна Владимировна, 2007 год

1. Автеньев Г. К. Интерпретация гравимагнитных аномалий на основе трансформаций. Томск: Изд-во ТПИ, 1991. - 100 с.

2. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М: Мир, 1988. -279 с.

3. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экспериментальные методы решения некорректных задач. М: Наука, 1988. - 274 с.

4. Андреев Б. А., Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. М: Недра, 1965. - 495 с.

5. Арсенин В. Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода типа сверток. Труды МИАН СССР, 1973,133.

6. Арсенин В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач. -М.: МИФИ, 1977. Курс лекций, ротапринт.

7. Арсенин В. Я., Иванов В. В. Об оптимальной регуляризации. -ДАН СССР, 1968,182, №1.

8. Ашурков Е. А., Бураков В. А., Козлов А. Г. и др. Математическое моделирование нестационарных теплофизических процессов в отсеках бортовой аппаратуры космических аппаратов // Известия Вузов, Серия Физика, 1993, 36,№4.-С. 119-128.

9. Баврин И.И., Матросов В.Л., Яремко О.Э. Интегральные преобразования и представления функций в действительной и комплексной областях и их приложения. М.: Прометей, 2000. - 414 с.

10. Бойков И. В. Итерационные методы решения уравнений в свертках // Известия ВУЗов. Математика 1998. - №2. - С. 8-15.

11. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. -М: Изд-во МГУ, 1989. 160 с.

12. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988,- 512 с.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1977. - 640 с.

14. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978.-296 с.

15. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -М.: Изд-во иностр. литературы, 1948. 476 с.

16. Задирака В. К. Теория вычисления преобразования Фурье. Киев: Наукова думка, 1983. - 213 с.

17. Иванов В. В., Видин Ю. В., Колесник В. А. Процессы прогрева многослойных тел лучисто-конвективным теплом. Ростов-на-Дону: Изд. Рост, ун-та, 1990.-159 с.

18. Иванов В. В., Карасева JL В., Тихомиров С. А. Влияние термического контактного сопротивления на процесс теплопереноса. // Жилищное строительство, 2001. № 8. - С. 16-17.

19. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 276 с.

20. Калиткин Н. Н. Численные методы. М: Наука, 1978. - 512 с.

21. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1989. - 624 с.

22. Котенко Н. В., Ленюк М. П. О динамической задаче термоупругости // Прикладная математика, 1974. -10. вып. 3. - С. 43-51.

23. Котляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.

24. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

25. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.-498 с.

26. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988.-Т. 1.-712 с.

27. Кузнецов Г. В., Санду С. Ф. Численное моделирование теплофизических процессов в приборных отсеках современных искусственных спутников Земли // Теплофизика и аэромеханика, 1998, 5, № 3. С. 469 - 477.

28. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. - 432 с.

29. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. СПб.: Лань, 2002. - 688 с.

30. Лаврентьев M. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 315 с.

31. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973.-408 с.

32. Ленюк М. П. Интегральные преобразования Фурье для кусочно-однородных неограниченных и полуограниченных сред / Препринт 85.29. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. 60 с.

33. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. -М.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.

34. Малозенов В. В. Тепловой режим космических аппаратов. -М.: Машиностроение, 1980.-232 с.

35. Маргулис А. С. О единственности решения обратной задачи гравиразведки для структурных моделей// Докл. АН СССР, 1984, 275, №2. -С. 342-346.

36. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1950. - т. 72, № 3. - с. 457- 460.

37. Мышкис А. Д. Математика для ВТУЗов. Специальные курсы. -М.: Наука, 1971.-632 с.

38. Нобл Б. Применение метода Винера Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.: Изд-во иностр. литературы, 1962. - 280 с.

39. Панкратов Б. М. Тепловое проектирование агрегатов. -М.: Машиностроение, 1984. 176 с.

40. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Обобщенная термомеханика. Киев: Наукова думка, 1976. - 310 с.

41. Романов В. Г. Обратная задача математической физики. М: Наука, 1984.-263 с.

42. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М: Едиториал УРСС, 2004. - 480 с.

43. Свешников А. Г, Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М: Физматлит, 2001. - 336 с.

44. Сергиенко И. В., Скопецький В. В., Дейнека В. С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. -Киев: Наукова думка, 1991. 432 с.

45. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.-468 с.

46. Страхов В. Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1967. - №4. - С. 36-54.

47. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-288 с.

48. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977.

49. Елисеева Т. В. Преобразование Фурье на декартовой полуоси со спектральным параметром в граничных условиях / Гуманитарные науки в системе высшего образования: Материалы студ. межвуз. науч. конф. СГУ. -Пенза, 2000.- С. 311.

50. Елисеева Т. В. Операторный метод в теории интегральных преобразований для кусочно-однородных сред / Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ, 2001.-С. 17-21.

51. Елисеева Т. В. Операторный метод в теории краевых задач для кусочно-однородных сред / Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр. Пенза: Изд-во ПГПУ, 2002. - С. 75-81.

52. Елисеева Т. В. Операторный метод решения краевых задач для кусочно-однородной полуплоскости / Сборник тезисов Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2002", ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 2002. - С. 352.

53. Елисеева Т. В. Преобразование Фурье на действительной полуоси // Вестник молодых ученых ПГПУ им. В. Г. Белинского. Пенза: Изд-во ПГПУ,2002. -№1.~ С. 62-65.

54. Елисеева Т. В. Операторный метод решения обобщенных задач сопряжения для уравнения Лапласа // Вестник молодых ученых ПГПУ им. В. Г. Белинского. Пенза: Изд-во ПГПУ, 2003. - № 2. - С. 49-51.

55. Елисеева Т. В. Дробные степени оператора h + — II Сб. трудовdx

56. Международной конференции по геометрии и анализу. Пенза: Изд-во ПГПУ,2003. С. 26-29.

57. Елисеева Т. В. Операторы преобразований для решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения колебаний в кусочно-однородном полупространстве // Инженерно-физические проблемы новой техники:

58. Материалы 7-го Всероссийского научно-технического Совещания-семинара. -М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. С. 115-116.

59. Елисеева Т. В. Общая краевая задача сопряжения для кусочно-однородного полупространства // Сборник тезисов Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2004", т. 1. М.: Изд-во МГУ, 2004. - С. 270-271.

60. Елисеева Т. В. Задача сопряжения для уравнения Пуассона // Молодежь и наука XXI века: По материалам V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. -Красноярск: РИО КГПУ, 2004. С. 8-9.

61. Елисеева Т. В. Метод операторов преобразования для решения общей краевой задачи сопряжения // Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, т. 1. -М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 90-92.

62. Елисеева Т. В. О некоторых обобщениях преобразования Хартли // Сборник тезисов XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", т. 1. М.: Изд-во МГУ, 2005. - С. 354-355.

63. Яремко О. Э., Елисеева Т. В. Операторы преобразования в теории смешанных краевых задач кусочно-однородных структур // Труды Средневолжского математического общества, Том 7, № 1,2005. С. 223 - 231.

64. Елисеева Т. В. Граничные операторы преобразования в краевых задачах // IV Всесибирский конгресс женщин математиков: Материалы конференции, 15-19 января 2006 г. / Под ред. к. ф.-м. н. Г. М. Рудаковой. -Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. - С. 55 - 56.

65. Елисеева Т. В. О некоторых приложениях теории операторов преобразования к решению краевых задач кусочно-однородных структур // Труды Средневолжского математического общества, Том 8, № 1, 2006. -С. 212-217.

66. Яремко О. Э., Елисеева Т. В. Операторный метод решения задач гравиметрии // Труды Средневолжского математического общества, Том 8, № 2, 2006.-С. 222-224.

67. Елисеева Т. В. Операторы преобразований и их применение для решения задач о структуре волнового и температурного полей в кусочно-однородном полупространстве // Известия ВУЗов. Математика 2006. - №9. -С. 79-82.

68. Елисеева Т. В. О некоторых обобщениях формулы Рейнбоу для кусочно-однородной полуплоскости // Дифференциальные уравнения и их приложения. Международная конференция / Тезисы докладов. Черновцы: Рута, 2006. - С. 46.

69. Елисеева Т. В. Математическое моделирование температурных и потенциальных полей в кусочно-однородных средах / Препринт № 98. -Саранск, СВМО, 2007. 32 с.

70. Свидетельство о государственной регистрации комплекта программ для ЭВМ № 50200601996. Выдано отраслевым фондом алгоритмов и программ Государственного координационного центра информационных технологий 16 ноября 2006 года.