Интегральные преобразования и обобщенные функции в задачах сопряжения стационарных тепловых полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 04.00.22, кандидат физико-математических наук Ладовский, Игорь Викторович

• Ладовский, Игорь Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ладовский, Игорь Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ

В КУСОЧНО - ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

1.1. Общие замечания об уравнении теплопроводности----- ы

1.2. Граничные условия для геотермических моделей

1.3 Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Логарифмический потенциал

1.4. Задача без граничных условий для горизонтально -слоистых сред. Метод сквозного..¿¡таха,

ГЛАВА и. РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ ОТ ЛОКАЛЬНЫХ

ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ОбЪЕКТОВ

2.1. Задача сопряжения для погруженного цилиндра с конт-

растной теплопроводностью

2.2. Метод зеркальных изображении в задаче для погруженного цилиндра

2.3. Влияние граничных условий в "нейтральном слое" на

термоаномалии от погруженных тел

2.4. Аномалии от тел глубокого залегания. Формула удвоения

2.5. Аномалии от тел приповерхностного залегания. Граничный режим, как фактор усиления аномального поля----159

2.6. йсточниковые аномалии

2.7. Поисковая информативность геотермосъемки

ГЛАВА III. ГЕОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛОИСТЫХ СРЕД. ОДНОПАРАМЕТРИ -

ЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО ГРАНИЦ РАЗДЕЛА

3.1. Задача сопряжения для семейства границ раздела

3.2. Метод изображений для эллиптических границ

3.3. Структурно - морфологический фактор слоистого разреза

3.4. Пласт переменной мощности

3.5. Послойное распределение тепловых источников и кажущаяся основность геотермического разреза

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные преобразования и обобщенные функции в задачах сопряжения стационарных тепловых полей»

ВВЕДЕНИЕ

Развитие экспериментальной базы и совершенствование методов геотермических исследований открывают дополнительные перспективы для решения геологических задач. Прецизионные определения плотности теплового потока и детальное геотермическое картирование основных геологических провинций, массовые измерения теплопроводности и сопутствующий спектрометрический анализ радиоактивных элементов урана, тория и калия по стволу скважин - вот необходимые составляющие информационной базы при формировании геотермических концепций о глубинном строении и вещественном составе структурно - геологических комплексов земной коры.

Не многие из геофизических методов обладают такой глубинностью, как геотермия. Отсюда и масштаб решаемых с ее помощью геологических задач: от чисто практических вопросов геотермического мониторинга земной поверхности и поиска месторождений полезных ископаемых до проблемных эволюционных теорий о термическом состоянии внутренних оболочек Земли и всей планеты в целом.

Применение геотермии в комплексе с другими методами исследования земных глубин снижает степень неоднозначности геофизических моделей и повышает уровень достоверности наших непосредственных геологических знаний. Особый интерес представляет круг взаимоподобных прикладных задач, когда различные по своей природе и информативности геофизические поля могут интерпретироваться по единому математическому сценарию. Для этого вполне достаточно, чтобы искомые функции поля удовлетворяли однотипным операторам линейной краевой задачи (уравнению, начальным и граничным условиям), конечно, если имеются реальные предпосылки для связи входящих в эти уравнения физических параметров среды [22, 141].

В теории геотермических исследований стационарное уравнение

кондуктивной Сили молекулярной) теплопроводности, как правило, применяют для моделирования температур и тепловых потоков в верхней части земной коры. В такой модели задействованы только два теплофизических параметра, характеризующие вещественный состав горных пород - теплогенерация и теплопроводность. Теплопроводность X Ссама функция и ее градиент) являются коэффициентами в левой, операторной части уравнения теплопроводности; теплогенерация Q, как истокообразная функция сторонних сил, входит в его свободную правую часть. Если теплопроводность постоянна, то неоднородное распределение источников Q не создает принципиальных затруднений при решении тепловых задач, поскольку алгоритмически они просто совпадают с известными задачами гравитационного потенциала для массовой плотности о /X [37, 67, 115, 164, 176, 183]. Напротив, скачкообразное изменение теплопроводности X в моделях кусочно-однородных сред сопровождается разрывом коэффициентов дифференциального оператора в уравнении теплопроводности. В окрестности таких разрывов не сохраняются дифференциальные соотношения между функциями теплового поля - их заменяют более сглаженные контактные условия сопряжения. Условия теплового сопряжения или граничные условия iv рода - это интеграл от операторной части уравнения теплопроводности по границам разрыва его коэффициентов, т.е. по границам раздела разнотеплопроводных сред [82, 142].

Сходные проблемы, связанные с постановкой граничных условий iv рода для моделей кусочно - однородных сред, возникают и при изучении полей родственного типа, например, таких как в задачах электро - и магнитостатики, стационарных задачах электроразведки для токов растекания в проводящих средах или в задачах магниторазведки с учетом размагничивающего эффекта [22, 39, 41, 43, 50, 66, 89, 92, 101, 124, 156, 157]. Подобные задачи, независимо от их физического содержания, математически эквивалентны и принадле-

жат единому классу потенциальных краевых задач линейного сопряжения [29, 104, 158].

Решение задач с граничными условиями iv рода связано с определенными трудностями. Дело в том, что в эти условия не входят явные значения граничных функций; указана лишь степень гладкости сопрягаемых на границах полей/ Ветви кусочно - гладкого решения удовлетворяют системе частных уравнений, каждое из которых задано в своем пространственном базисе, но не замкнуто граничными условиями. В результате утрачивается существенная часть классического формализма решения краевых задач. Как в методе разделения переменных, так и в идейно близком ему методе интегральных преобразований возникает принципиальный вопрос о "сшивании"' частных решений, построенных по различным системам собственных функций задачи Штурма - Лиувилля [39, 40, 84]. Как правило, интегральные преобразования в конечных пределах не применяют по тем пространственным переменным, в направлении которых свойства среды меняются скачкообразно [40, 138, 140].

Традиционная схема решения задач линейного сопряжения опирается на интегральные формулы Грина [65, 105, 136]. Система дифференциальных уравнений относительно функций поля сводится к интегральному уравнению для плотности эквивалентного простого или двойного слоя источников, распределенных по границам кусочно-однородных сред [27, 39, 41, 124]. Плотность наведенных источников является искомой функцией, для определения которой используются свойства поверхностных потенциалов. Решить такое уравнение и

термических задачах на границах разнотеплопроводного контакта условия IV рода задают непрерывность температур и конечный скачок нормальной составляющей температурного градиента.

записать явное аналитическое выражение для функций поля удается в исключительных случаях простейшей геометрии среды [33, 39, 40, 50, 84, 136]. В более сложно построенных моделях, даже в вариантах моделей с идеализированными формами границ раздела, аналитическое решение интегрального уравнения становится весьма проблематичным [41, 101, 157, 158].

Алгоритмическая реализация в моделях с разрывным распределением параметров - проблема не только аналитических, но и численных схем расчета. Разработан и широко применяется сеточный метод "сквозного" счета для численного решения уравнения теплопроводности как с непрерывными, так и с разрывными коэффициентами [118, 135, 136]. Контактные границы разнотеплопроводных сред заменяют пространственным континиумом резко градиентных зон. Устойчивые разностные схемы, сходящиеся к точному решению исходной краевой задачи, можно получить из условия интегрального баланса тепла для элементарной ячейки сеточного разбиения. В классе задач с разрывными коэффициентами устойчивость и сходимость разностных схем будет зависеть от выбора локальной аппроксимации коэффициентов теплопроводности вблизи точек разрыва [118, 135].

Как видим, разрывный характер изменения физических свойств среды и вытекающая из него необходимость постановки условий сопряжения на границах кусочно - однородных сред - вот сдерживающий фактор развития методов классического анализа. Идеи альтернативной постановки задачи сопряжения, с некоторой разницей в их исполнении, выдвигались неоднократно [39, 45, 119]. Разрыв коэффициентов в дифференциальном уравнении не обязательно сводить к граничным условиям; можно, не меняя уравнение, доопределить особенности коэффициентов на границах раздела при помощи разрывных дифференцируемых функций, типа функции Хевисайда [76, 78]. В основе такого подхода лежат эвристические построения, заимствован-

ные из теории обобщенных функций. Их методическая направленность предельно ясно обозначена в работе Б.С.Светова: "если рассматривать уравнение краевой задачи на пространстве обобщенных функций, то в этом случае нет необходимости вводить на каких-либо особых поверхностях специальные граничные условия, достаточно понимать ...дифференциальные операторы в обобщенном смысле" [119, стр.21]. Принципы, которые заложены в альтернативной постановке задач без граничных условий для моделей кусочно - однородных сред и способы решения соответствующих уравнений с сингулярными коэффициентами, составляют предмет исследования диссертационной работы. Определение кусочно - гладких решений уравнения теплопроводности на пространстве обобщенных функций требует лишь незначительной корректировки математического формализма, чтобы адаптировать существующие методы классического анализа к задачам линейного сопряжения и построить универсальную схему их решения. Физические приложения найденных решений - стационарные тепловые поля в геотермических моделях кусочно - однородных сред с идеализированными формами границ раздела. Подбор задач проведен с тем расчетом, чтобы на конкретных примерах продемонстрировать аналитические возможности предлагаемого метода и, вместе с тем, сохранить разумную адекватность теоретических моделей реальным условиям геотермического эксперимента. Применяемый математический аппарат опирается на метод интегральных преобразований, при помощи которого в наиболее распространенных системах ортогональных криволинейных координат удается записать явное выражение для функций Грина в слоистой среде, границы которой принадлежат любому однопараметрическому семейству изокоординатных поверхностей.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на основе функционального определения разрывного коэффициента теплопроводности, обобщить метод конечных интегральных преобразований на случай

скачкообразного изменения свойств среды и построить аналитическое решение двумерных задач теплового сопряжения в системах криволинейных координат, допускающих разделение переменных в уравнении Лапласа.

Научная новизна.

Предложен нетрадиционный способ постановки и аналитического решения задач линейного сопряжения стационарных тепловых полей в кусочно - однородных средах. Применение обобщенных функций позволяет переформулировать условия теплового сопряжения на границах контакта разнотеплопроводных сред и построить конструктивную схему аналитического алгоритма по принципу "сквозного счета"2.

При помощи комбинации ступенчатых функций Хевисайда выписана явная зависимость кусочно - однородного распределения теплопроводности от координат и определено прямое значение разрывного коэффициента теплопроводности на границах раздела. По обобщенным производным этого коэффициента построено граничное распределение источников эквивалентного простого слоя так, что условия сопряжения тепловых полей (равенство температур и нормальных составляющих плотности теплового потока ) выполняются тождественно.

Развит общий подход к постановке и решению граничных задач с условиями I, и и IV рода. Однородные граничные задачи Дирихле или Неймана внутри замкнутой Сили полуоткрытой) области можно рассматривать, как частные случаи постановки задач теплового сопряжения в расширенном пространстве изменения переменных при бесконечно - большой или нулевой величине коэффициента теплопроводности внешних сопредельных областей.

'Название соответствует сеточному методу "сквозного счета" в задачах численного моделирования тепловых полей [136].

Дано обобщение и расширена область применения интегральных преобразований в конечных пределах на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование.

Получено явное аналитическое выражение для функции Грина в слоистой среде, границы которой принадлежат однопараметрическому семейству изокоординатных поверхностей ортогональных криволинейных координат. В задаче для погруженного цилиндра предложен нетрадиционный способ интерпретации решения по методу "зеркальных изображений". Построена схема размещения фиктивных особенностей поля при отражении источника от плоских кривых семейства конических сечений.

На основе понятий обобщенных функций формализовано определение объемной плотности тепловых источников, отвечающее тому или иному типу их распределения. Приведено ассимптотическое выражение для объемной плотности "источников внешнего однородного поля". Построены интегральные свертки функции Грина и плотности распределения тепловых источников для тех моделей, которые встречаются в геотермических приложениях.

Дано решение термической задачи для горизонтального кругового цилиндра, расположенного под плоскостью разнотеплопроводного контакта. Проанализировано влияние границы раздела на аномальное поле температур и тепловых потоков в окрестности изолированных тел. По схеме метода изображений построен ряд последовательных приближений решения задачи для погруженного эллиптического цилиндра. Предложен физический критерий оценки точности полученных решений.

Промоделировано распределение тепловых полей в слоистой среде, границы которой в вертикальном сечении принадлежат семейству конфокальных полуэллипсов. Показана роль структурно - морфологи-

ческого фактора блочного строения разреза и его проявление в региональных аномалиях глубинной и эндогенной составляющих теплового потока.

Основные задачи исследования.

1. Обоснование эвристических предложений, позволяющих применить аппарат теории обобщенных функций для решения уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами.

2. Разработка аналитического метода "сквозного интегрального преобразования" для решения контактных задач теплового сопряжения в моделях кусочно - однородных сред, границы которых принадлежат однопараметрическому семейству плоских кривых.

3. Определение круга прикладных задач, решение которых в наиболее общей постановке для "естественной" системы криволинейных координат можно получить в замкнутом аналитическом виде.

4. Подбор фрагментарных моделей, на примере которых отчетливо видны основные тенденции в характере перераспределения теплового поля в геотермическом разрезе кусочно - однородных сред.

Основные защищаемые положения.

1. Обосновано применение аппарата теории обобщенных функций и разработан метод решения граничных задач теплового сопряжения в геотермических моделях кусочно - однородных сред. Определение функциональной зависимости разрывного коэффициента теплопроводности и обобщение интегральных преобразований на случай скачкообразного изменения свойств среды позволяет расширить круг прикладных задач, решение которых записывается в замкнутом аналитическом виде.

2. Используя понятие изоморфных отображений сформулирован общий принцип и предложен единый подход к решению стационарных задач теплового сопряжения для моделей слоистых сред, границы которых принадлежат однопараметрическому семейству плоских кривых

ортогональной системы криволинейных координат. Для конфокальных границ раздела биполярной геометрии и границ конических сечений приведен явный вид аналитического решения задачи при произвольном законе распределения источников внешнего и внутреннего поля.

3. Исходя из решения термической задачи для горизонтального кругового Си эллиптического) цилиндра под плоскостью разнотелло-проводного контакта промоделировано распределение теплового поля в окрестности изолированных тел, выделяемых в геотермическом разрезе по контрасту теплопроводности и теплогенерации. Проанализирована иерархия признаков термической аномальности природных геологических объектов и, с этих позиций, дана оценка информативности геотермического метода разведки при поиске слепых рудных тел.

4. Рассмотрены особенности проявления двойственной природы аномалий теплового потока над геологическими структурами различной морфологии. Для пологозалегающих структур более представительны источниковые аномалии внутренней, эндогенной природы; для субвертикальных - аномалии теплопроводного контраста, связанные с перераспределением внешнего теплового поля. По величине измеряемого теплового потока можно судить не только о вещественном составе горных пород гетермического разреза. В нем заключена информация об особенностях строения структурно - геологических комплексов земной коры.

Практическая значимость результатов выполненной работы.

Усовершенствована и доведена до практической реализации методика решения краевых задач линейного сопряжения для кусочно -однородных сред. Это расширяет возможность и унифицирует способы получения явных аналитических решений классических задач математической физики с граничными условиями I, и и IV рода.

Разработана конструктивная схема численной реализации некоторых фрагментарных понятий теории обобщенных функций. Алгоритмы

использованы в пакетах прикладных программ для совместной интерпретации гравимагнитных и тепловых аномалий однотипной источнико-вой природы Смассовой плотности, намагниченности и теплогенера-ции). Программы внедрены для производства изыскательских работ в НПО "Рудгеофизика" Москва, "Поваровка 37".

Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих совещаниях и конференциях: школе - семинаре конкурсных проектов молодых геофизиков Института физики Земли '2-е призовое место), Москва, 1974; XVI Генеральной ассамблее МГГС, Гренобль, 1975; Всесоюзном геотермическом совещании" Применение геотермии в региональных и поисково - разведочных исследованиях" Свердловск 1979; Республиканской научно - технической конференции молодых геофизиков, Ленинакан, 1980; VII научно - технической конференция молодых геофизиков, Киев, 1982; региональной конференция "Геотермия и ее применение в региональных и поисково -разведочных исследованиях" Свердловск 1989; VI Уральской научно -практической конференции "Применение математических методов и ЭВМ при обработке информации на геологоразведочных работах", Челябинск, 1989; информационном совещании "Достижения науки - производству", Свердловск, 1989; 18 сессии Всесоюзного семинара им. Д.Г. Успенского "Вопросы геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий", Киев, 1989; Всесоюзном семинаре им. Д.Г. Успенского "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий", Днепропетровск, 1991; межреспубликанском совещании "Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон", республика Кыргызстан, 1991; международном семинаре "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей", Москва, 1993; хх1 Генеральной ассамблее международного геофизического союза, Колорадо, США, 1995.

По теме диссертации лично и в соавторстве опубликовано 23

работы.

Работа, физическую проблематику которой в свое время сформулировал член-корреспондент АН СССР Ю.П.Булашевич, выполнена в лаборатории ядерной геофизики ИГ РАН (зав. лабораторией профессор В.И. Уткин). Интерес к проблеме аналитического решения краевых задач линейного сопряжения сформировался благодаря общению с доктором физ.-мат. наук A.B. Цирульским, которому автор сохраняет глубокую благодарность. Большое внимание и постоянную помощь в работе оказывал автору Д.Г. Рывкин: им была высказана идея применения обобщенных функций к решению граничных задач теплового сопряжения, а целый ряд эвристических предложений теории обобщенных функций были рассмотрены с ним совместно. Автор имел возможность вести плодотворную дискуссию с Ю.В. Хачаем, в процессе которой определилось направление и уточнился круг задач прикладных геотермических исследований. Вопросы применения аналитических методов в геофизике и их возможности неоднократно обсуждались с ICop-мильцевым В.В., Гуревичем Ю.М., Никоновой Ф.И. Автор благодарит всех за ценные советы и сделанные замечания. Отдельные результаты были получены совместно с Хачаем Ю.В., Никоновой Ф.И., Бахтеревым Д.В., которым автор искренне признателен за сотрудничество. Пользуясь случаем, автор выражает особую признательность и благодарность заведующему лабораторией ядерной геофизики профессору Владимиру Ивановичу Уткину, усилиями и под руководством которого настоящая работа завершена.

1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

1.1. Общие замечания об уравнении теплопроводности.

Процессы теплообмена, т.е. процессы распространения и передачи тепла в сплошной среде, описываются уравнением теплопроводности [55, 56, 93]

с(Т

ср — + с!1у а = О. (1.1)

где <=р - удельная теплоемкость на единицу объема; т - температура

среды; * - время; а - вектор плотности теплового потока; о -

объемная плотность (энергетическая мощность) сторонних тепловых а

источников; — - полная (субстанциональная) производная

температуры как функции координат точек среды [94, 145].

Как вариант математической формы записи закона сохранения энергии при диссипативных процессах, уравнение (1.1) является по сути уравнением непрерывности для плотности потока теплоты [82]. Подобное соотношение, записанное для каждой части элементарного физического объема непрерывной сплошной среды, устанавливает количественную связь между пространственно-временными вариациями температуры и теплового потока с теплофизическими параметрами среды и заданным полем сторонних сил точнее, с их тепловым эквивалентом. Сторонние силы рассматриваются двух видов: объемные, действующие внутри выделяемого объема, и поверхностные, действующие на элемент ограничивающей объем поверхности. Как правило, объемные силы задаются в виде сторонних тепловых источников, распределенных в среде с плотностью о; поверхностные силы - посредством краевых условий, заданных на реальных физических поверхностях раздела сред и границе временного интервала.

Уравнение неразрывности (1.1) для потока теплоты позволяет лишь качественно судить о характере изменения температуры в процессе теплообмена, но не дает возможности количественно определить саму функцию т. Чтобы это стало возможным, необходимо конкретизировать механизм теплопереноса в сплошной среде и сформулировать дополнительное предположение о связи между величиной плотности теплового потока а и изменением температуры т. Если температура непостоянна, то даже в состоянии полного механического равновесия будет наблюдаться переток энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой. Причем этот переток не связан с макроскопическим движением вещества, а происходит посредством молекулярного переноса энергии, так называемого процесса кондуктивного теплообмена. В твердом теле, когда перепад температуры между составляющими его частями не слишком велик, плотность теплового потока и изменение температуры подчиняются феноменологическому соотношению Фурье [56, 82, 125, 136, 142, 145]

я = (1.2)

Здесь X называется коэффициентом теплопроводности среды и он всегда положителен; знак "минус" указывает, что тепло распространяется от более горячих к более холодным участкам, т.е. вектор теплового потока я и вектор градиента температуры имеют противоположные направления. Поскольку в неподвижной среде, а именно этот случай и реализуется для твердых тел в состоянии механического равновесия, полная производная от температуры по времени совпадает с ее частной производной

с!Т _ дТ

то уравнение (1.1) с учетом феноменологической гипотезы Фурье (1.2) трансформируется к классическому виду - уравнению кондук-тивной, или молекулярной, теплопроводности

ар §1 = (\<?Т) + О (1.3)

Для того, чтобы пренебречь температурными изменениями теплофизи-ческих характеристик X и ср среды, необходимо считать имеющиеся в ней абсолютные значения разностей температур не слишком большими [82]. Хотя зависимость данных параметров от координат точек тела, как, например, в случае неоднородных сред, может и сохраняться. Если же коэффициенты X и ср постоянны в пределах рассматриваемой объема, то уравнение (1.3) сводится к дифференциальному уравнению параболического типа - уравнению Фурье [65, 136]

Ш - « + ■ С1.4)

где к = ^ - коэффициент температуропроводности однородной среды. Температуропроводность к является по сути коэффициентом диффузии теплоты в неравномерно нагретом теле и характеризует скорость релаксации теплового возмущения (выравнивания температур) при нестационарном процессе кондуктивного теплообмена [56, 93, 94]. Так если в начальный момент времени перепад температуры в однородной среде на расстоянии ь был Дт, то спустя время

•Ь = Т V = —-ф X

перепад температуры на том же расстоянии уменьшится в е = 2.78 раз; Тф здесь рассматривается как характерное время выравнивания температур при нестационарном процессе молекулярного теплообмена. Соответствующий безразмерный параметр

ро = 21 (1.5)

ь

называется критерием Фурье. От его величины зависит время выхода системы на стационарный тепловой режим [56, 94, 136, 145].

Перепад температуры в неравномерно нагретой неподвижной среде поддерживается за счет действия тепловых источников. Термин "тепловые источники" будем рассматривать в более широком обобщенном смысловом значении, включающим в себя понятие как "внутренних источников", распределенных с плотностью о в пределах некоторого рассматриваемого объема, так и "внешних", действующих через его

поверхность. Функции, задающие энергетическую мощность внутренних тепловых источников, входят в дифференциальное уравнение теплопроводности, а функции внешних источников - в краевые условия [И, 25, 52]. Если задача формулируется таким образом, что все функции источников не зависят от времени, а зависят только от координат точек среды, то при любом начальном состоянии системы Сначальном условии) она неизменно перейдет в новое устойчивое состояние - стационарный тепловой режим. Безусловно, что новый тепловой режим не будет термодинамически равновесным, ибо постоянно действующие источники тепла обеспечивают стационарный подогрев и поддерживают установившееся поле температурных градиентов в заданном объеме. Но этот режим будет стационарным и устойчивым тепловым режимом в том смысле, что в каждой точке среды температура будет неизменна и сохранит свое устойчивое значение в течение любого промежутка времени.

Обычно, время перехода системы в стационарное состояние связывают с критерием Фурье С1.5) и при ро > х вводят время релаксации Тф начального теплового импульса системы. Если н - характерный размер тела, а « - его коэффициент температуропроводности, то при 2

* » = чг ф к

распределение температуры в теле можно считать практически стационарным. Формально, данное условие соответствует тому, что в уравнении теплопроводности (1.4) пренебрегают его левой нестационарной частью

«о

и для установившейся температуры в однородной по теплопроводности среде получают уравнение Пуассона

^т + ° = о С1-6)

В более общем случае, когда коэффициент теплопроводности X нельзя

считать постоянными, вместо (1.6) имеем уравнение

div (V7T) + Q = О (1.7)

Оно также следует из нестационарного уравнения теплопроводности (1.3), но при выполнении более жесткого критериального условия

, „ max t » Т v .

Ф

где Тф®"- максимальное время (время Фурье) релаксации тепловых возмущений в среде с переменной теплопроводностью. Это принципиальное требование для перехода к задачам с установившейся температурой в неоднородных средах. Время выхода на стационарный тепловой режим теперь уже будет определяться характерным размером той области (конечно, если этот размер не исчезающе мал), теплопроводность которой минимальна.

Задача о восстановлении картины теплового поля, т.е. картины распределения температур и тепловых потоков в среде с известной геометрией и с заданными теплофизическими свойствами, относятся к классу прямых задач математической физики [29, 136]. Для однозначного решения прямой задачи теплопроводности необходимо при ее постановке предусмотреть и корректную формулировку краевых условий. В стационарных геотермических моделях однородных сред наиболее часто используются краевые условия i и " рода. Краевые условия г рода предполагают известным распределение температуры на границах исследуемой области, условия и рода - распределение тепловых потоков. Условия ш рода, характеризующие теплообмен на поверхности термостатированного контакта встречаются значительно реже [29, 44, 88, 90, 91, 128, 131, 184].

Остановимся на исключительно важной математической проблеме постановки краевых задач в неоднородных средах с достаточно резким, практически скачкообразным изменением теплопроводности. Если среду с переменной теплопроводностью удается разбить на конечное число сравнительно однородных областей, в каждой из которых коэф-

фициент теплопроводности X остается постоянным, меняясь лишь в узких переходных зонах между этими областями, то мы приходим к модели кусочно-однородных сред. Для каждой части такой среды, где теплопроводность постоянна, уравнение (1.7) превращается в обычное уравнение Пуассона

о

А + =

где - номер "¿-ой" части кусочно-однородной среды.

Уравнение (1.7) остается справедливым и в переходных, градиентных по теплопроводности зонах между однородными областями. Однако, когда поперечный размер (толщина) градиентных зон много меньше характерного масштаба задачи, то вместо конечного физического объема переходной зоны рассматривают гипотетическую границу раздела - бесконечно тонкий слой, математическая толщина которого равна нулю. При таком предельном переходе операторная часть уравнения (1.7) трансформируется в "поверхностную дивергенцию" [119], Гауссов интеграл которой имеет вид [55, 56, 82, 142]

эт

кдт

дп

ъ

6

Ь. г.

1.-0

= О

(1.9)

• Х.-0 1 и+О

Здесь

я. - поверхность, разделяющая соседние однородные области; - плотность сторонних источников тепла на единице площади

I

поверхности Б.;

а1 = ^ ~ нормальная к поверхности составляющая плот-

1-0 * ъ+О

ности теплового потока; левая и правая сторона поверхности ориенти-

рованная по направлению внешней нормали г\. Если поверхностная плотность сторонних тепловых источников 03= о, то из (1.9) следует хорошо известное условие теплового сопряжения. По принятой классификации - это краевое условие ™ ро-

да [29, 65, 94, 104, 105]. Оно означает непрерывность температуры и нормальной составляющей плотности теплового потока при переходе через границу раздела сред с различной теплопроводностью [55, 56, 136].

Условие IV рода Синогда его еще называют условием идеального теплового контакта) - это двустороннее краевое условие, которое задается на внутренних границах кусочно-однородных сред. Его постановка обязательно предполагает кондуктивный механизм передачи тепла по разные стороны от поверхности контакта. Другими словами, постановка краевого условия (1.9) требует, чтобы функции температуры и нормальной составляющей плотности теплового потока, "сшиваемые" в точках разрыва коэффициента теплопроводности, удовлетворяли дифференциальному уравнению (1.8) для любой части непрерывной сплошной среды, где теплопроводность постоянна. Этим условие IV рода принципиально отличается от краевых условий I, и или 111 рода, которые задаются только на внешней границе рассматриваемой области и за пределами которой математическая постановка задачи теплообмена вовсе не обязательна [93, 94].

1.2. Граничные условия для геотермических моделей

Геотермические задачи планетарного масштаба о тепловом состоянии Земли относятся к нестационарным задачам теплопроводности [44, 88, 98, 128, 131, 132, 143]. Если принять, что усредненный коэффициент температуропроводности горных пород составляет « * 0.01 см2/сек [88], то при радиусе Земли * 6.3 10е см время перехода к стационарному тепловому состоянию для всей планеты в це-

лом оценивается величиной

т

к

Это время намного превышает время существования Земли ^

2

т = * 4-ю1Р сек = ю12 лет.

4.5-10р [88, 128, 184] даже при абсолютной устойчивости ее недр на стадии формирования и последующего эволюционного развития планеты [44, 128, 149].

В задачах меньшего масштаба стационарное состояние в принципе достижимо, если процессы теплопроводной релаксации не будут нарушаться нестационарными возмущениями теплового поля, сопутствующими глубинным процессам геодинамической активности [99, 116, 134, 147, 149]. В геофизических приложениях стационарное уравнение теплопроводности (уравнение Пуассона) используется при расчете температуры в региональных моделях земной коры с заданным распределением постоянно действующих тепловых источников [34, 46, 88, 90, 91, 67, 70, 115, 132, 151, 153]. К последним относятся естественные источники радиогенной теплогенерации, теплотворный эффект которых обусловлен распадом радиоактивных элементов и230, Th235, с периодом полураспада ЮМо10 лет [26, 87, 98, 128, 184]. С учетом того, что мощность н континентальной земной коры в среднем составляет 40-50 км (мощность океанической коры значительно меньше) [42, 90, 128, 131], получаем характерное время теплопроводной релаксации до глубины н

н2

т = * (1.5 -=- 2.5)-ю*5 сек * 10е лет. Очевидно, что в течение указанного промежутка времени теплотворная способность основных долгоживущих радиоактивных элементов практически не изменится и, если это время не превышает время окончания последнего цикла тектонической активности, то оно и будет временем установления стационарной температуры на всю мощность земной коры [98, 131, 143, 175, 180].

При локальных геотермических исследованиях, особенно в задачах терморазведки, связанных с поисками скрытых на глубине природных тел, вопрос о тепловой стационарности перспективной зоны ставится несколько иначе. На глубинах до h % 1+2 км любое наруше-

ние стационарного теплового режима будет релаксировать за время

.2

Т = % ю12 сек * ю4-ю5 лет.

«V

Это незначительный временной масштаб для геологических процессов, однако им не следует пренебрегать, если необходим количественный учет влияния как естественных, так и техногенных временных факторов на формирование поля геотермических аномалий в окрестности месторождений. На этапе разведки, а тем более эксплуатации продуктивных горизонтов, стационарную модель термозоны вероятнее всего можно использовать для оценки прогнозных температур и искажений теплового поля, связанных либо с контрастом теплофизических свойств природных объектов, либо с аномально высокой концентрацией локализованных в них естественных теплогенерирузощих элементов. Во всяком случае, здесь мы получим эффект максимального влияния природных факторов.

В дальнейшем мы ограничимся кругом задач, решаемых на основе стационарного уравнения теплопроводности (1.7), считая, что условия к переходу в состояние с установившейся температурой заведомо выполнены 190, 91]

(ХУТ) + О = О.

Это линейное уравнение, если теплофизические свойства среды не являются функциями температуры. Мы не рассматриваем здесь задач, касающихся химических или фазовых превращений, когда зависимость параметров среды от температуры нарушает линейность уравнения теплопроводности [34, 46, 82, 94]. Нас будут интересовать только линейные геотермические модели, которые в зависимости от их характерного размера условно подразделяются на модели локального или регионального масштаба. В первом случае мы имеет дело с задачами поисково-разведочного направления, глубинность которых ограничена первыми километрами, во втором - с задачами на всю мощность земной коры. Но цель настоящих исследований одна: на прос-

тейших аналитических моделях выявить основные закономерности распределения тепловых полей в условиях структурно-неоднородного геологического разреза с тем, чтобы впоследствии, по мере накопления палеточного материала, перейти к решению обратной задачи -восстановлению теплофизических параметров разреза по данным геотермических измерений. Нетрудно видеть, что в уравнении (1.7) только два теплофизических параметра - коэффициент теплопроводности \ и объемная плотность источников теплогенерации Q - характеризуют свойства среды с установившейся температурой. Обе эти вещественные характеристики являются достаточно сложными функциями координат точек разреза и записать для них общую функциональную зависимость вряд ли возможно. Да в этом и нет прямой необходимости с учетом того, с какой погрешностью поступают данные геотермических измерений [16, 17, 35, 36, 46, 68, 69, 71, 88, 91, 115, 116]. Обычно, используя сопутствующие геофизические данные (как правило, это сейсмические данные или данные плотностных моделей), усредняют теплофизические параметры реального разреза по генерализованным геологическим структурам в соответствии с той или иной геологической гипотезой [13, 23, 24, 34, 42, 67, 70]. Затем моделируют усредненный геотермический разрез телами идеализированной формы с границами, разделяющими сплошную среду на отдельные слои и блоки с постоянными теплофизическими характеристиками [7, 67, 70, 71, 90, 91, 115, 151, 152, 153, 154, 163, 176, 180]. По каждому из выделенных фрагментов строится распределение стационарной температуры с условиями теплового сопряжения на внутренних, межфрагментарных границах контактов разнотеплопровод-ных сред. Для того, чтобы замкнуть весь получившийся набор частных решений и составить общее представление о картине теплового поля в пределах изучаемого разреза, необходимо знать поведение искомых функций поля на самых внешних границах расчетной области.

В геотермических задачах, как правило, используют два разнесенных по глубине внешних граничных условия. Верхнее связывают с условной поверхностью постоянных значений среднегодовых температур, так называемой поверхностью "нейтрального слоя"; нижнее - с распределением температур или тепловых потоков на некоторой фиксированной глубине. В отличие от условий теплового сопряжения на внутренних границах разнотеплопроводных сред, внешние краевые условия жестко контролируют структуру теплового поля, а от принятых значений граничных функций, в основном и будет зависеть величина моделируемого термического эффекта. Это требует тщательного физического анализа поведения функций поля на внешних границах выбранной геотермической модели и строгости математической постановки соответствующих краевых задач.

1.2.1. Условие нейтрального слоя.

К земной поверхности направлены два тепловых потока: солнечный и из недр Земли. Солнечная постоянная, т.е. плотность потока излучения на верхней границе атмосферы, составляет около 1400 Вт/м2 и определяет все метеорологические процессы в атмосфере, нагревая приповерхностные слои океана и суши. Доля отраженной обратно лучистой энергии Спланетарное альбедо) меняется в диапазоне от 0.3 до 0.4 от указанной выше величины [1263. Количество тепла, расходуемое непосредственно на прогревание поверхностных слоев Земли можно оценить по ночному излучению планеты. В ясную погоду оно составляет 70-140 Вт/м2 [102]. Восходящий из глубины тепловой поток примерно равен 50-Ю"3 Вт/м2, что на три порядка меньше переизлученной солнечной энергии. По этой причине считается, что температура дневной поверхности формируется только за счет баланса солнечно-земного излучения и практически не зависит от глубинной составляющей теплового потока [44, 98, 106]. Конечно, могут иметь место отдельные случаи аномально высокого или низкого теп-

лового потока, воздействующего на температуру приповерхностных горизонтов. К первым, например, относятся нагретые жерла вулканов, места разгрузки глубинных термальных вод. Подобные аномалии при величине вариации теплового потока ±20 Вт/м создают на земной поверхности перепад температуры в несколько градусов [14, 95, 103, 109, 165]. Однако эти локальные проявления глубинной термической активности на поверхности Земли носят случайный характер и практически не встречаются в тектонически устойчивых регионах со спокойной гидро- и геологической обстановкой. Поэтому в "усредненных" геотермических моделях земной коры подобные пограничные эффекты не рассматриваются.

Баланс тепловой энергии, а следовательно и тепловой режим верхней части геотермического разреза определяется многофакторным и достаточно сложным механизмом нестационарного теплообмена [126]. Помимо превалирующего влияния переменного солнечного потока, сильное воздействие на температуру поверхности оказывает оптическая прозрачность атмосферы и характер перемещения там воздушных масс, уровень грунтовых вод и его колебания [14,98,146]. Большой вклад вносят также процессы испарения и конденсации влаги, интенсивность которых зависит от близости морей и океанов, от погодных условий и влагонасыщенности почв, структуры и характера растительного покрова, хозяйственной деятельности человека и т.п. [161]. Устойчивое влияние метеорологических факторов, изменение климата, рельеф местности - эти, да и многие другие природные явления сопровождаются не только значительным перераспределением, но и поглощением или выделением тепловой энергии. Воздействуя на обширные участки земной поверхности, они контролируют тепловой режим приповерхностной зоны. Подобные обстоятельства делают весьма неопределенным большинство энергетических составляющих в уравнении теплового баланса и лишают практической целесообразности

строгую постановку радиационной термической задачи [88].

Идея выделения постоянной составляющей температуры земной поверхности и ее последующее использование в качестве стационарного граничного условия для глубинных температур принадлежит Джефрису [44, 98]. Идея очень проста, а сама методика расчета основана на эффекте пограничного скин-слоя. Пусть под воздействием всех факторов нестационарного теплообмена температура дневной поверхности Земли принимает некоторое эффективное значение тЭфф-Это достаточно сложная функция времени, а в общем-то и координат точек земной поверхности. Но любую функцию времени, заданную на конечном промежутке, можно представить в виде эквивалентного ей ряда Фурье [137]. По этой причине переменные процессы прогревания приповерхностного слоя можно рассматривать как циклические с набором дискретных спектров от суточных до годовых периодов включительно. Можно и расширить спектральный диапазон как в сторону больших, так и меньших периодов [35, 36]. Однако такие вариации температуры обычно исключаются из анализа ввиду малости их амплитуды [88, 96, 98, 161]. Из-за низкой температуропроводности горных пород амплитуды периодических процессов прогревания довольно быстро затухают с глубиной и чем выше частота колебаний, тем на меньшую глубину проникает их температурный фронт. Глубже всех проникают низкочастотные колебания годового периода и на уровне нулевых значений амплитуды колебаний годового цикла образуется так называемый нейтральный слой с постоянной температурой. Безусловно, величина последней будет зависеть от среднегодовых значений поверхностной температуры и может меняться от положительных до минусовых значений в пределах различных климатических зон [146]. Ориентировочно, температуру нейтрального слоя и его глубину определяют на базе данных Гидрометеослужбы по многолетней термометрии почв. Более точные значения требуют постановки система-

тических измерений в скважинах за несколько сезонных циклов. На Среднем Урале температура нейтрального слоя 5.5 °с при глубине залегания 15-20 метров [16]. В океанах, в различных точках, температура нейтрального слоя, по-видимому, более постоянна. По крайней мере, на глубине порядка 2 км придонная температура в Северном ледовитом океане и экваториальной части Тихого океана примерно одинакова и составляет 1 °с [42, 126, 170, 179, 181].

Обычно исследования температур и тепловых потоков производятся ниже нейтрального слоя, температура подошвы которого является верхним по глубине граничным условием для геотермических моделей земной коры [13* 17, 24, 46, 71, 90, 91, 106, 115, 131, 161, 180]. Причем, как в региональных исследованиях, так и при прогнозных оценках локальных термоаномалий, полностью пренебрегают изменением параметров нейтрального слоя, считая его идеальной математической плоскостью с постоянной температурой [34, 62, 63, 67, 70, 80, 89, 90, 92, 96, 117, 143, 149, 150, 163]. Физически -это грубое допущение, но его можно принять, ибо оно приводит к несущественному искажению математической структуры (но не результата !) расчетных формул. Здесь важно другое. Температура в нейтральном слое задается и поддерживается внешними источниками тепла, т.е. источниками, расположенными вне пределов геотермического разреза. Формально, это полностью соответствует постановке краевой задачи Дирихле с граничными условиями по температуре г рода [29, 65, 136]. Если граничная температура постоянна, то принимая ее за начало отсчета геотемпературного поля, мы имеем дело с однородной задачей Дирихле. Если же - нет, а сама граничная поверхность нейтрального слоя отличается от горизонтальной плоскости, придется решать неоднородную задачу Дирихле с криволинейной границей. Во всяком случае, при таком подходе принципиальных математических затруднений не предвидится [3, 65, 70, 84, 104, 136].

Поэтому, следуя общепринятому подходу, ограничимся постановкой однородных краевых условий в плоскости нейтрального слоя, имея в виду, что в случае необходимости, всегда можно учесть зависимость поверхностной температуры от координат и внести в решение соответствующие поправки как за переменную температуру, так и за топографию верхней границы [70].

1.2.2 Глубинное граничное условие

Изотермическая граничная поверхность в нейтральном слое является своеобразным стоком, на который замыкаются все силовые линии глубинного теплового поля. "Именно на это граничное условие работает восходящий тепловой поток, задавая те или иные градиенты температуры на литологически и теплофизически неоднородных слоях и блоках земной коры" [106]. Плотность теплового потока, равно как и перепад температур на различных участках разреза поддерживается распределенными по глубине тепловыми источниками. Их интегральная мощность пропорциональна количеству тепла, пронизывающему разрез г 131.

Ясно, что средняя напряженность теплового поля в толще пород неоднородного разреза, т.е. усредненный по всем литологическим разностям геотермический градиент будет зависеть от постановки граничных условий на глубине. Обычно задают температуру или тепловой поток на самой нижней кромке моделируемой области, заранее предполагая известными их граничные распределения. Варьируя значения граничных функций, мы можем менять теплоотвод с нижних горизонтов, что отразится на величине расчетных параметров теплового поля. Математически - это корректная процедура, и ее применение было бы вполне оправдано и с физической точки зрения, если бы при расчетах в интересующей нас части геотермического разреза удалось реализовать слабую зависимость параметров теплового поля от их граничных значений.

Довольно просто решается проблема постановки глубинных граничных условий для локальных геотермический моделей. Так, если считать, что характерный размер изолированного геологического тела много меньше характерного размера толщи вмещающих пород, то тогда участок моделируемого разреза можно заменить полуограниченной средой с удаленной на бесконечную глубину условной нижней границей. В полуограниченной среде задается нормальное, т.е. не возмущенное локальным телом температурное поле глубинного теплового потока, что соответствует постановке вырожденной задачи Неймана с граничными условиями " рода в бесконечно-удаленной точке [65]. В окрестности аномалеобразующего объекта ставится задача теплового сопряжения, т.е. формулируются граничные условия ™ рода; на бесконечности задается условие регулярности, т.е. указывается степень затухания аномалий температуры или ее градиентов по мере удаления от объекта. Условия, которые определяют только порядок затухания поля на бесконечности, носят название ассимптоти-ческих краевых условий [3, 22, 29, 43, 50, 65, 136, 145].

Если постановка ассимптотических краевых условий для локального объекта в нормальном поле вполне корректна и не нуждается в какой-либо дополнительной аргументации, то расчет самого нормального поля и выбор сопутствующих ему граничных условий на глубине требует тщательного обоснования. Эта задача уже регионального плана и ее математическая постановка тесно связана с выбором конкретной геолого-геофизической модели глубинного строения земной коры. Прежде всего следует определить форму и характерный размер моделируемого разреза в приближении "нормального поля". В региональных задачах геотермии разрез "нулевого" приближения - это, как правило, горизонтальный пласт бесконечного простирания, ограниченный снизу сейсмической поверхностью "М" - границей Мохорови-чича, отделяющей кору от мантии [7, 24, 34, 67, 90, 91, 115, 116,

132, 143]. Учитывая тот факт, что на границе "М" происходит резкое изменение теплофизических свойств среды [24, 42, 44, 99, 128, 131, 151, 152], предлагается независимо рассматривать кору и мантию как отдельные тепловые модели, все взаимодействие между которыми осуществляется через контактную поверхность сейсмической границы "М" [67, 90, 115, 131]. Только в таком смысле границу "М" можно наделить свойствами глубинной граничной поверхности для геотермических моделей земной коры и, задавая на ней граничные значения температуры или плотности теплового потока, мы уже не интересуемся их распределением в мантии.

Следующий, не менее важный вопрос, касается выбора типа краевых условий и значения граничных функций на сейсмической поверхности "М". Температуру нижних горизонтов, в том числе и на границе Мохо, произвольно задавать нельзя, она сама является искомой функцией региональных геотермических моделей [7, 13, 17, 23, 24, 47, 90, 151, 152, 153, 174, 175]. Неизвестно также и распределение теплового потока на глубине. Единственно, чем мы располагаем, так это сведениями об интегральных теплопотерях в пределах рассматриваемой области, которые доставляет нам теорема Гаусса. Теорема устанавливает количественную связь между суммарной теплоге-нерацией источников внутри замкнутого объема и тепловым потоком, вытекающим через его поверхность [3, 65, 105, 108, 136, 150]

JJJ G(v)dv = JJ a <s)ds.

V S

где

qN0) - составляющая плотности теплового потока в направлении внешней нормали к поверхности s;

G(v) - объемная плотность тепловых источников внутри объема v.

Если участок разреза земной коры аппроксимируется плоским слоем мощностью н, то можно формально проинтегрировать Гауссово соотношение по горизонтальным координатам * и у в плоскости слоя

н

q(О) = J 5" (z )dz + qf H) .

о

где функции a(z> и 5iz> означают усредненные на плоскости s значения плотности восходящего теплового потока и функции плотности тепловых источников; * - глубина, отсчитываемая от верхней кромки к основанию пласта. Для одномерного распределения, когда указанные функции поля зависят только от глубины и сохраняют постоянные значения на любой горизонтальной плоскости - = const, только тогда эти постоянные можно взять в качестве средних значений

qfz) = q ( z >: ЕГ( z ) = Gfz)

Полагая ч<н> = Ям - плотность восходящего теплового потока на плоской границе кора-мантия, получаем стационарное уравнение теплового баланса для одномерной модели земной коры [13, 17]

н

q(О) - q = Г Qiz)dz ■ м •»

о

Разность между тепловым потоком на поверхности Земли и потоком из мантии равняется суммарной теплогенерации на столбик единичного сечения всей толщи пород разреза. Таким образом, если на глубине необходимо сформулировать краевое условие по тепловому потоку, не зная точно законов его распределения, то на любой граничной плоскости Св том числе и на границе Мохо) плотность глубинного потока следует считать постоянной, а ее конкретное значение брать из адекватно-усредненной одномерной модели реального геологического разреза. Во всяком случае, использовать одномерные соотношения по различным вертикальным сечениям для расчета латерально-неоднородных граничных условий по тепловому потоку на поверхности "М" нет достаточных оснований.

Итак, если на этапе постановки задачи о термическом состоянии земной коры мы не располагаем вполне определенной количественной информацией о распределении теплового поля на глубине, представляется целесообразным вообще отказаться от формулировки

жестких дайШШс условий и до температуре, и по тепловому потоку на любом глубинном горизонте Св том числе на сейсмической границе "м") и заменить их на более слабые ассимптотические условия регулярности. Последние определяют лишь общий характер изменения функций поля вдали от интересующей нас части разреза и их всегда можно задать, исходя из общефизических соображений [142]. Конечно, постановка ассимптотических краевых условий для региональных геотермических моделей приводит к увеличению объема расчетной области [89, 92, 147, 149], но эти трудности сопутствуют численным (сеточным) алгоритмам, но не аналитическим методам расчета.

1.2.3 Тепловая модель однородной земной коры.

В геотермии задача с ассимптотическими краевыми условиями по глубине была использована Тихоновым для расчета стационарного теплового состояния Земной коры [132]. Исходя из некоторой усредненной сферической модели, решалась нестационарная задача теплопроводности для всей планеты в целом при условии, что температура земной поверхности постоянна, а в центре Земли температура не может быть бесконечной величиной. При этом. предполагалось, что коровые источники тепла радиогенной природы распределены равномерно в тонком сферическом слое до глубины н от поверхности Земли; ниже мощность тепловых источников принималась равной нулю. Прежде всего автором было определено время установления стационарной температуры в слое земной коры, вертикальная мощность которого много меньше радиуса Земли

£ .

4 ф 4х

что при н = 50 км и к = 0,01 см2/сек составляет t = г * 107лет. Далее рассчитывалась поправка в стационарное тепловое поле земной коры за влияние сферичности Земли. Было показано, что для участка земной коры, размер которого по латерали не превышает нескольких

первых долей земного радиуса справедлива одномерная постановка стационарной задачи теплопроводности, как частный случай более общей нестационарной тепловой задачи планетарного масштаба [88, 90, 98, 132]

^ (х 0(2> = о С1-10Э

где

X - некоторый эффективный коэффициент теплопроводности земной коры;

о(2> -усредненная плотность тепловых источников

О = соп^^^ г < Н

х > И

>

При этом отпадает необходимость в обязательной формулировке краевых условий на нижней границе * = н одномерного разреза. Достаточно указать лишь порядок роста температурного поля с глубиной. И если температура ограничена на бесконечности, то ассимптотика ее градиента будет равна нулю [90]. Таким образом, для температуры т(2) имеем ассимптотическую постановку одномерной краевой задачи

■с

Заключение диссертации по теме «Геофизика», Ладовский, Игорь Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи сопряжения стационарных тепловых полей в кусочно -однородных средах предусматривают постановку граничных условий IV рода: температура и нормальная составляющая теплового потока должны сохранять непрерывность на границе разнотеплопроводного контакта; скачок коэффициента теплопроводности определяет приграничный скачок разрывного градиента температуры.

Аппроксимация разрывного коэффициента теплопроводности среды при помощи обобщенных импульсных функций позволяет отказаться от контактных условий теплового сопряжения; скачкообразное изменение температурных градиентов поддерживают источники простого слоя, распределенные по границам разрыва теплопроводности кусочно однородных сред.

Стационарная краевая задача с условиями IV рода, сохраняя корректность классической постановки, сводится к решению "редуцированного" уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами. Интегральные преобразования, расширенные на пространство обобщенных функций, составляют алгоритмическую основу его решения по принципу "сквозного счета": новые кусочно - гладкие аналитические решения двумерного уравнения теплопроводности в явном виде получены в общей ортогональной системе разделяющихся криволинейных координат.

Основной результат диссертационной работы состоит в разработке и обосновании нового нетрадиционного подхода к проблемам постановки и аналитического решения задач линейного сопряжения стационарных тепловых полей в кусочно - однородных средах. Простота аналитических решений, найденных для сравнительно широкого класса граничных поверхностей, создает предпосылки для развития нового этапа прикладных исследований и совершенства методов интерпретадии тепловых полей в условиях структурно - неоднородного геотермического разреза.

1. Усовершенствована и доведена до практической реализации схема решения граничных задач стационарной теплопроводности для двумерных моделей кусочно - однородных сред, границы которых принадлежат любому однопараметрическому семейству изокоординатных поверхностей ортогональных криволинейных координат.

2. При помощи комбинации ступенчатых функций Хевисайда выписана явная зависимость кусочно - однородного распределения теплопроводности от координат и определено прямое значение разрывного коэффициента теплопроводности на границах раздела. По обобщенным производным этого коэффициента построено граничное распределение источников эквивалентного простого слоя так, что условия сопряжения тепловых полей (равенство температур и нормальных составляющих плотности теплового потока ) выполняются тождественно.

3. Расширена область применения интегральных преобразований на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование. Построены интегральные трансформанты обобщенного преобразования Фурье для функций степенного роста. В задачах с неограниченной ассимптоти-кой функций поля сформулирована корректная постановка условий регулярности решения на открытых граничных поверхностях в том числе и в бесконечно - удаленной точке.

4. Получено явное аналитическое выражение функции Грина в слоистой среде для однопараметрического семейства границ раздела. На основе функционалов определены обобщенные функции плотности тепловых источников, отвечающие тому или иному виду их распределения: объемные и сосредоточенные поверхностные или линейные источники. Приведено ассимптотическое выражение для объемной плотности "источников внешнего однородного поля". Построены интегральные свертки функции Грина и плотности распределения тепловых источников для тех моделей, которые встречаются в геотермических приложениях.

4. Указан принцип построения и дана схема размешения фиктивных особенностей поля сингулярного источника при его отражении от изокоординатных границ раздела сред с различной теплопроводностью. Все источники - изображения лежат на одной из линий ортогонального семейства, проходящей через действительный источник поля. Для полупространства с цилиндрической включением предложен новый способ интерпретации решения задачи по методу "зеркальных изображений"; ряды последовательных отражений источника не требуют последовательного вычисления координат его зеркальных изображений.

5. На модельных примерах изучено перераспределения теплового поля в окрестности изолированных тел, выделяемых в геотермическом разрезе по контрасту теплопроводности и теплогенерации. Проанализирована иерархия признаков термической аномальности природных геологических объектов и, с этих позиций, дана оценка информативности геотермического метода разведки при поиске слепых рудных тел.

6. Дан расчет и построено распределение тепловых потоков в окрестности слоисто - неоднородных палеозойских впадин. Понижение теплового потока внутри приповерхностных впадин можно объяснить экранирующим воздействием чередующихся по теплопроводности слоев обрамления и выносом тепла в периферийные области вогнутых слоистых структур.

7. Промоделировано распределение температур и тепловых потоков в разрезе выклинивающегося пласта переменной мощности. Показано, что под наклонным контактом разнотеплопроводных сред изменение градиента с глубиной и кривизна термограмм может быть объяснена влиянием структурно - морфологического фактора. Для Восточного склона Урала построено распределение температур и тепловых потоков в геотермическом разрезе мезокайнозойских и выклинивающихся палеозойских структур. В пределах покровных образований мезокайнозоя существует только вертикальная составляющая теплового потока, равная своему невозмущенному глубинному значению. В погребенной части палеозойского фундамента температура нарастает пропорционально мощности низкотеплопроводного платформенного чехла; тепловой поток, обтекая низкотеплопроводные структуры мезокайнозоя, имеет горизонтальную составляющую, направленную от границы раздела в сторону более теплопроводных палеозойских пород. При угле падения границы платформенного чехла, не превышающем в среднем 10° - 15°, измененем теплового потока в породах фундамента можно пренебречь.

8. Рассмотрены особенности проявления двойственной природы аномалий теплового потока над геологическими структурами различной морфологии. Для пологозалегающих структур более представительны источниковые аномалии внутренней, эндогенной природы; для субвертикальных - аномалии теплопроводного контраста, связанные с перераспределением внешнего теплового поля. По величине измеряемого теплового потока можно судить не только о вещественном составе горных пород геотермического разреза. В нем заключена информация об особенностях строения структурно - геологических комплексов земной коры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ладовский, Игорь Викторович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. Москва, "Мир", 1976, зи стр.

2. Амирханов Х.И., Ровнин Л.И. и др. Опыт применения нефтегазовой терморазведки. ДАГФАН СССР, Махачкала, 1975, 221 стр.

3. Арфкен Г. Математические методы в физике. Москва,"Атомиздат", 1970, 712 стр-

4. Ашмар П.А. Катализ и ингибирование химических реакций. Москва, "Мир", 1966. 240 СТР-

5. Баклаев Я-П. Контактово - метасоматические месторождения железа и меди на Урале- Москва. "Наука". 1973, 211 стр.

6. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. Москва, "Наука", 1970, 505 стр.

7. Боганик Н.С. Распределение температур на поверхности мантии в пределах континентальной части территории СССР. // Сов. геология, 1980, n 5, стр- 114 - 123.

8. Боев Н.И., Гордиенко В.В., Кутас Р.И- Об аномалиях теплового потока на месторождениях сульфидов - // Геофизический сборник,

1977, т-79, стр- 73 - 78.

9. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. Москва, Мир, 1968, 276 стр.

ю. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. Москва, Наука, 1977, 282 стр.

11. Булашевич Ю.П. К теории интерпретации радиоактивных аномалий. // Изв.АН СССР, сер-геогр. и геофиз. 1946, т-9, n 5, стр. 469 - 481.

12. Булашевич Ю.П. Тепловой поток в условиях вертикальной фильтрации. // Докл. АН СССР, 1980, т.255, n 6, СТр. 1447 - 1449.

13. Булашевич ЮЛ- Информативность геотермии при изучении земной коры Уральской эвгеосинклинали. // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1983, n 8, стр- 76 - 83.

14. Булашевич Ю.П., Ладовский И.В. Геотермические аномалии от геологических объектов с контрастной теплопроводностью. // Изв. АН СССР, Физика Земли, n з, 1986, стр. 71 - 76.

15. Булашевич Ю-П-, Щапов В.А. Геотермические особенности Уральской эвгеосинклинали. //Докл. АН СССР, 1978, т.243, N з, стр. 715 - 718.

16. Булашевич Ю.П., Щапов В.А. Геотермическая характеристика некоторых структур Урала- В кн. Исследование гелиевых и тепловых полей Урала. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1980, стр.

17 - 23.

17. Булашевич Ю.П., Щапов В.А. Геотермическая характеристика Урала. В кн. Применение геотермии в региональных и поисково -разведочных исследованиях. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР,

1983, стр- 3-17.

18. Булашевич Ю.П., Щапов В-А. Геотермические особенности рудных месторождений Урала. // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1984, n б, стр. 103 - 107.

19. Булашевич Ю.П., Щапов В.А. Геотермическая характеристика рудных месторождений Урала. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования в рудной и региональной геофизике. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1985, стр. з - и.

20. Булашевич Ю.П., Щапов В.А. Об аномально низком тепловом потоке в Тагильском синклинории. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР,

1987, СТр. 4 - 12.

21. Булашевич Ю.П., Юрков А.К. Полигенность рудных месторождений Урала и ее проявление в полях гелия. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1987, стр. 50 - 52.

22. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. Ленинград, '"Недра", 1972, 367 стр.

23. Бурьянов В.Б., Гордиенко В.В., Завгородняя O.A. и др. Геофизическая модель тектоносферы Европы. Киев, "Наукова Думка",

1987, 184 стр-

24. Бурьянов В.Б., Гордиенко В.В., Кулик С-Н-, Логвинов И-М. Комплексное геофизическое изучение тектоносферы континентов. Киев, "Наукова Думка", 1983, 175 стр.

25. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. Москва, "Наука", 1982, 224 стр.

26. Виноградов А.П., Ярошевский A.A. О физических условиях зонного плавления в оболочках Земли. // Геохимия, 1965, n 7, стр.

779 - 790.

27. Воскобойников Г.М- 0 вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно - однородных средах. // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1973, n 9, стр. 63 - 76.

28. Гаирбеков Х.А. и др. Некоторые особенности тепловых аномалий при поисках месторождений радиоактивных элементов. // Изв. ВУЗ-ов. Геология и разведка, 1977, N и, стр. 149 - 152.

29. Галицын A.C., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев, "Наукова ДуМКа", 1976, 282 стр-

30. Гельфенд И.М., Шилов Г.Е- Обобщенные функции и действия над ними. Москва, изд-во "ФМ", 1959, 465 стр.

31. Геология СССР, т.12, ч.2. Москва, "Недра", 1969, 304 стр.

32. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. Москва, "Наука", 1972, 392 стр.

33. Гинзбург И.И- и др. Экспериментальные исследования по окислению сульфидных месторождений. // Труды института рудных месторождений, петрографии, минералогии и геохимии. Вып. 53, Москва, АН СССР, 1961, 47 стр.

34. Гордиенко В.В. Тепловые аномалии геосинклиналей. Киев, "Нау-кова думка", 1975, 133 стр.

35. Гордиенко В .В., Завгородняя О-В. Определение теплового потока Земли по измерениям температуры у поверхности. В кн. Применение геотермии в региональных и поисково - разведочных исследованиях. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1983, стр. 69 - 75.

36. Гордиенко В.В., Завгородняя О-В. Измерения теплового потока Земли у поверхности. Киев, "Наукова Думка", 1980, 102 стр.

37. Гравиразведка. Справочник геофизика- Москва, "Недра", 1990,

607 стр.

38. Градштейн И.С., Рыжик И-М- Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (издание 4-е). Москва, изд-во "ФИЗМАТГИЗ",

1962, 1100 стр-

39. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. Москва, изд-во АН СССР, 1948,

727 стр-

40. Гринберг Г.А. О решении уравнений математической физики с частично или полностью разделяющимися переменными. В кн. Сборник, посвященный 70 - летию академика А.Ф.Иоффе. Москва, изд-во АН СССР, 1950, стр- 50-60.

41. Гуревич Ю-М. Методы расчета магнитных полей токов растекания в объемных проводниках- Свердловск, 1983, ез стр.

42. Гуттенберг Б. Физика земных недр. Москва, изд-во "ИЛ", 1963,

264 стр-

43. Джексон Дж- Классическая электродинамика. Москва, "Мир", 1965, 702 СТР-

44. Джефрис Г. Земля, ее происхождение, история и строение. Москва, ИЗД-ВО "ИЛ", i960, 485 СТР -

45. Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. Москва, Изд-во МГУ, 1969, 131 стр.

46. Дучков А.Д., Соколова Л.С. Геотермические исследования в Сибири. Новосибирск, "Наука", 1977, 280 стр.

47. Дучков А. Д., Соколова Л-С. Температура у нижней границы земной коры Сибири по геотермическим данным. В кн. Геофизические методы в региональной геологии. Новосибирск, ИГиГ СО АН СССР,

1982, вып. 543, стр- 118 - 126.

48. Дьяконов Д.Й., Яковлев Б.А. Определение и использование тепловых свойств горных пород и пластовых жидкостей нефтяных месторождений. Москва, "Недра", 1969, in стр.

49. Егоркин A.B. Структура земной коры по сейсмическим разрезам. Глубинное строение территорий СССР- Москва, "Наука", 1991, стр. 118 - 134.

50. Жданов М.С. Электроразведка, Москва, "Недра", 1986, 315 стр.

51. Земанян А .Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. Москва, "Наука", 1974, 399 стр.

52. Иваненко Д.Д., Соколов A.A. Дельта функция и ее применение к решению некоторых задач геофизики. // ДАН СССР, 1940, т. 26, n 1 - 4, стр. 36 - 37.

53. Калашников Ю-А. Скважинная геотермия - метод поиска сульфидных РУД. //ИЗВ-АН КаЗ-ССР, Сер-ГеОЛ., 1975, n 1, стр.57 - 59.

54. Карпенко Ю.А. Региональные особенности теплового поля северного ПрИКаСПИЯ- // ДАН СССР, 1981, Т-6, n 1, СТр. 146 - 148.

55. Карслоу Г.С. Теория теплопроводности. Москва, "ГИИТЛ", 1947,

288 стр-

56. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел- Москва, "Наука", 1964, 487 стр.

57. Клемин В.П., Чернова И.И. Проявление рудоконтролирующих структур Южного Урала в физических полях. // Разведка и охрана недр- 1975, n 10, стр. 23 - 27.

58. Кормильцев В-В., Семенов В-Д., Федоров И.М., Шепелева И.М- О методе заряда с измерением магнитного поля сЗМ > и его применение на медноколчеданных месторождениях. В кн. Элетроразвед-ка в области скважин на колчеданных месторождениях Урала -Свердловск- УНЦ АН СССР, 1975, стр. 31-59.

59. Кормильцев В-В., Медведев А.Н. Возможности метода магнитного профилирования с элементами зондирования при поисках локальных проводников. В кн. Метод заряда на переменном токе. Свердловск- УНЦ АН СССР, 1985, стр. 31 - зэ_

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Москва, "Наука",

1970, 720 стр-

61. Корунова А-Ф- Поле точечного источника тока, помещенного на глубине в присутствии идеально проводящей сферы. // Геофизический Сборник, 1962, вып.2, n 3, СТр. 235 - 242.

62. Корытникова H.H. Влияние теплопроводности горных пород на геоизотермы. // Геофизика, 1937, т.7, n 1, стр. 62 - 89.

63. Корытникова H.H. О связи глубинных температур с термическими коэффициентами и формой глубинных структур. // Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 1943, n з, стр. и5 - 133.

64. Котляр В-Н- Геология месторождений урана. Москва, "Госгеол-техиздат", 1961, 246 стр.

65. Кош л яков Н-С.,Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. Москва, "Высшая школа",

1970, 710 стр-

66. Краев А.П. Основы геоэлектрики- т-i, Москва - Ленинград, ТИТТЛ", 1951, 445 стр.

67. Кутас Р.И. Поле тепловых потоков и термическая модель земной коры. Киев, "Наукова Думка", 1978, 140 стр.

68. Кутас Р.И., Бевзюк М.И., Михайлюк С.Ф. Методика определения тепловых потоков и теплопроводностей горных пород в скважине на основе теплометрических датчиков (тепломеров). В кн. Применение геотермии в региональных и поисково - разведочных исследованиях. УНЦ АН СССР, 1983, стр. 61 - 68.

69. Кутас Р.И., Бевзюк М.И., Геращенко O.A., Грищенко Т.Г. Непосредственное измерение тепловых потоков из недр Земли в скважинах. // Геофизический сборник, Киев, 1977, вып. 76, стр.

79 - 81.

70. Кутас Р. И., Гордиенко В.В. Тепловое поле Украины. Киев, "Наукова Думка", 1971, 140 стр.

71. Кутас Р.И., Цвященко В.А., Корчагин И-Н- Моделирование теплового поля континентальной литосферы. Киев, "Наукова Думка",

1989, 190 стр-

72. Ладовский И.В. Опыт применения геотермического метода на одном из глубокозалегающих месторождений колчеданных руд. В кн. Применение геотермии в региональных и поисково - разведочных исследованиях. УНЦ АН СССР, 1983, стр. 81 - 84.

73. Ладовский И.В. Температурное поле в полуограниченной среде с цилиндрической неоднородностью. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования в рудной и региональной геофизике. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1985, стр. зз - 44.

74. Ладовский И.В. Применение метода изображений для расчета геотермических аномалий от погруженных тел. В кн. Ядерно - геофизические и геотермические исследования. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1987, стр. 73 - 80.

75. Ладовский И.В. Влияние чехла мезозойско - кайнозойских образований на температуру палеозойского фундамента в Зауралье -

В кн. Глубинное строение Урала и сопредельных территорий. Свердловск, 1988, стр. 124 - 137.

76. Ладовский И.В. Применение обобщенных функций в расчетах стационарных тепловых полей в неоднородных средах. В кн. Методы интерпретации и моделирования геофизических полей. Свердловск, УрО АН СССР, 1988, стр. 95 - 107.

77. Ладовский И-В. К расчету геотермических аномалий над слоистыми структурами простой формы. В кн. Геотермия и ее применение в региональных и поисково - разведочных исследованиях. Свердловск, 1989, стр. 14.

78. Ладовский И.В. Об аналитическом решении потенциальных краевых задач в кусочно - однородных средах. // Известия АН СССР, Физика Земли, n 5, 1990, стр. 35 - 46.

79. Ладовский И-В. Прогнозные термоаномалии от скрытых на глубине природных геологических объектов. В кн. Инженерная геофизика в Уральском регионе, Екатеринбург, 1995, стр. 47.

во. Ладовский И.В., Щапов В.А. Опыт применения геотермичесого метода на одном из глубокозалегающих месторождений колчеданных руд. В кн. Современное состояние методики и аппаратуры для геотермических исследований. Свердловск, 1980, стр. 26.

81. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Москва, "Наука", 1982, 624 стр.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, "Наука",

1986, 735 стр-

83. Лахтионов М.О, Тархов А.Г. Геотермические исследования на рудных месторождениях. // Советская геология, 1970, N з, стр. 121 - 126.

84. Лебедев H.H., Скальская И.П., Уфлянд Я.С- Сборник задач по математической физике. Москва, "ГИИТЛ", 1955, 420 стр.

85. Липская Н.В. О возмущении электрических полей сферическими неоднородностями (метод биполярных координат). // Изв. АН СССР, сер. геогр.и геофиз., t.xiii, n 4, 1949, стр. 335 - 347.

86. Липская Н.В. Поле точечного электрода, наблюдаемое на поверхности Земли вблизи погруженной проводящей сферы. // Изв. АН СССР, сер. геогр.и геофиз., t.xiii, n 5, 1949, стр. 409 - 427.

87. Лутц Б.Г. Химический состав земной коры и верхней мантии Земли. Москва, "Наука", 1975, 167 стр.

88. Любимова Е-А- Термика Земли и Луны. Москва, "Наука", 1968,

280 стр.

89. Любимова Е.А., Любошиц В.М. Влияние термических неоднороднос-тей коры на тепловой поток. В кн. Исследование тепловых и электромагнитных полей в СССР. Москва, "Наука", 1975, стр. 49 - 55.

90. Любимова Е-А., Любошиц В.М., Парфенюк О-И- Численные модели тепловых полей Земли. Москва, "Наука" 1983, 125 стр.

91. Любимова Е-А-, Никитина В-Н-, Томара Г.А. Тепловые поля внутренних и окраинных морей СССР. Москва, "Наука", 1976, 224 стр.

92. Любошиц В.М- Численное решение прямой задачи геотермии. // Изв. АН СССР, Физика Земли, N 9, стр. И5 - 119.

93. Лыков A.B. Теория теплопроводности. Москва, "Высшая школа",

1967, 599 стр-

94. Лыков А-В- Тепломассообмен (справочник). Москва, "Энергия",

1978, 480 стр-

95. Лялько В.И., Митник М.М- Дистанционные геотермические поиски полезных ископаемых. // Геологический журнал, т.35, вып.6,

1975, стр- 27 - 45.

96. Лялько В-И-, Митник М»М.. Вульфсон А.Д., Шпортюк З.М. Геотермические поиски полезных ископаемых. Киев, "Наукова Думка".

1979, 146 стр-

97. Магакьян И-Г. Рудные месторождения. Москва, Тосгеолтехиздат",

1955, 335 стр-

98. Магницкий В.А. Основы Физики Земли. Москва, "Геодезиздат",

1953, 290 стр-

99. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. Москва, "Недра", 1965, 380 стр.

юо. Малашенко Ю-Р-, Романовская В.А., Лялько В.И. Участие микроорганизмов, окисляющих газообразные углеводороды в круговороте углерода в биосфере. // Изв.АН СССР, сер. биолог., 1975,

n 5, стр- 682-693

101. Метод заряда с измерением магнитного поля при поиске и разведке рудных месторождений (методическое пособие). Ленинград, "Недра", 1983, 200 стр. юг. Михайлов A.A. Земля и ее вращение. Москва, "Наука", 1984, 78 стр.

юз. Михайлюк С.Ф., Коболев В.П., Кутас Р.И. Применение наземного варианта ИК - геотермии при решении поисково - разведочных задач- В кн. Региональные геотермические исследования. Свердловск, ИГ УрО РАН, 1992, стр. 8 - 14. 104. Морс Ф.М., Фешбах Г.М. Методы теоретической физики, т.и,

Москва, изд-во "ИЛ", i960, 886 стр. ios. Мэтьюз Дж., Уокер Р- Математические методы физики. Москва,

"Атомиздат", 1972, 398 стр. 106. Непримеров H.H., Ходырева 3-Я-, Елисеева H.H. Геотермия областей нефтегазонакопления. Казань, изд-во Казанского университета, 1983, 136 стр.

107. Никонова Ф-И-, Бахтерев Д.В., Ладовский И-В. Построение региональных разрезов земной коры на основе комплекса гравиметрических и сейсмических данных- // Физика Земли, ы 8, 1997, стр. 50 - 56.

108. Овчинников И-К- Теория поля. Москва, "Недра", 1971, 312 стр.

109. Огильви H.A. Вопросы теории геотемпературных полей в приложении к геотермическим методам разведки подземных вод. В кн. Проблемы геотермии и практического использования тепла Земли. Москва, изд-во АН СССР, 1959, т-i, стр. 53 - 85.

но. Олвер Ф. Введение в ассимптотические методы и специальные

функции. Москва. "Наука", 1978, 373 стр. т. Попов Ю.А., Коростелев В-М-, Березин В-В., Ромушкевич P.A. Теплофизические исследования горных пород и руд. // Сов. геология, 1991, N 6, СТР- 43 - 48. 112. Прокин В.А. Закономерности размещения колчеданных месторождений на Южном Урале. Москва. "Недра", 1977, 176 стр. из. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды (элементарные функции). Москва, "Наука", isei, 797 стр.

114. Родионов Г.Ф., Софронов Н-И. К вопросу о возможности применения термометрии к поискам сульфидных залежей.

// Проблемы СОВеТСКОЙ ГеОЛОГИИ, 1935, N 8, СТр. 717 - 733.

115. Сальников В.Е. Геотермический режим Южного Урала. Москва, "Наука", 1984, 88 стр.

116. Сальников В.Е., Сергиенко С.И., Смирнов Я.Б. Методика и результаты определения теплового потока в зоне сочленения до-кембрийской Восточно - Европейской и палеозойской Западно -Сибирской платформы. В кн. Применение геотермии в региональных и поисково - разведочных исследованиях- Свердловск, 1983,

стр. 27 - 33.

117. Сальников В.Е., Хуторской М.Д. Использование теплового потока для поисков слепых рудных тел. // Изв. АН СССР, сер. геологическая, 1982, n2, стр- 91 - 97.

118. Самарский A.A. Теория разностных схем. Москва, "Наука", 1977,

656 стр.

119. Светов B.C., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач- Москва, "Наука", 1988, 342 стр.

120. Сейсмические модели литосферы основных геоструктур территории СССР. Москва, "Наука", 1980, 184 стр.

123. Семенов A.C. Электроразведка методом естественного электрического поля. Ленинград, "Недра", 1980, 446 стр.

124. Смайт В. Электростатика и электродинамика. Москва, изд-во

"ИЛ", 1954, 604 стр.

125. Снеддон И- Преобразования Фурье. Москва, изд-во "ИЛ", 1955,

667 стр.

126. Справочник по геофизике. Москва, "Наука", 1965, 571 стр.

127. Сологуб В-Б., Чеку нов A.B. Глубинное строение и эволюция земной коры. В кн. Проблемы физики Земли на Украине. Киев, "Нау-кова Думка", 1975, стр. не - 142.

128. Стейси Ф. Физика Земли. Москва, "Мир", 1972, 342 стр.

129. Страхов В-Н- 0 проблеме решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии для материального стержня с полиномиальной плотностью. // Геофизический журнал, 1985, т.7, n 1, стр. 3-9.

130. Сурьянинов Е.Ю., Вишневский Н.В., Вассерман В.А. Исследование характера геотермических аномалий над геологическими объектами с контрастной теплопроводностью. // Изв. АН СССР, Физика Земли. n 12, 1983, стр. 96 - 102.

131. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика. Геологические приложения физики сплошных сред. Москва, "Мир", 1985, т.1, 730 стр.

132. Тихонов А-Н- 0 влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры. // Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 1937, N 3, СТр. 431 - 459.

133. Тихонов А.Н. К вопросу о влиянии неоднородности земной коры на поле теллурических токов. // Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз. 1942, N 5, СТр. 207 - 218.

134. Тихонов А.Н., Любимова Е.А., Власов В.К. Об эволюции зон плавления в термической истории Земли. // Докл. АН СССР, 1969,

Т. 188, N 2, СТР- 338 - 341.

135. Тихонов А.Н., Самарский А. А- Об однородных разностных схемах-// Журнал вычислительной математики и математической физики,

1961, Т.1, N 1, СТР- 5 - 63.

136. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. Москва, "Наука", 1972, 735 стр.

137. Толстов Г.П. Ряды Фурье. Москва - Ленинград, изд-во "ГИТТЛ",

1951, 396 СТР-

138. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. Москва, изд-во "ГИТТЛ", 1956, 202 стр.

139. Умова Л.А., Цаур Г.И., Шатров В.П. Палеография Восточного склона Урала и Зауралья в меловое и палеоценовое время. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1980, 82 стр.

140. Уфлянд A.C. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Ленинград, "Наука", 1977, 219 стр.

141. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М- Фейнмановские лекции по физике (Т-5). Москва, "Мир", 1977, 300 стр.

142. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М- Фейнмановские лекции по физике (T -7). Москва, "Мир", 1977, 287 СТр .

143. Ферхуген Дж., Тернер Ф-, Вейс П. Земля. Введение в общую геологию. Москва, "Мир", 1974, КН-2, 845 СТР -

144. Физические свойства горных пород и полезных ископаемых. Москва, "Недра", 1976, 527 стр.

145. Франк Ф-, Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Москва - Ленинград, изд-во "ОНТИ",

1937, 1027 стр.

146. Фролов Н-М- Гидрогеология. Москва, "Недра" 1976, 278 стр.

147. Хачай Ю.В. Термическая эволюция дифференцируемой верхней мантии Земли. // Геология и геофизика, 1979, N 1, стр. 83 - 92.

148. Хачай Ю.В. Влияние нелинейных характеристик среды на восстановление температурного поля по малоглубинной съемке. // Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1984, N з, стр. 89 - 92.

149. Хачай Ю-В. Математическое моделирование термической эволюции и конвекции в мантии Земли. Диссертация ... доктора физ - мат наук. Свердловск, УрО РАН, 1991, 265 стр.

150. Хачай Ю.В. Прямые задачи геотермии. Методическое пособие. Уральский гос. университет, Екатеринбург 1994, зо стр.

151. Хачай Ю-В-, Дружинин B.C. Тепловой режим и глубинная структура Среднего Урала. В кн. Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон. Москва, "Наука", 1993, стр. 41 - 47.

152. Хачай Ю.В., Дружинин В-С- Возможности применения геотермии для восстановления динамики переходной зоны мантии Урала. В кн. Глубинное строение и развитие Урала. Екатеринбург, "Наука", 1996, стр. 298 - 306.

153. Хачай D.B., Дружинин В.С- Геотермический разрез литосферы Урала вдоль широтных профилей ГСЗ. // Физика Земли, 1998,

n 1, стр- 67 - 70.

154. Хачай Ю.В., Ладовский И.В. О восстановлении теплофизических характеристик геотермического разреза. В кн. Геотермия сейсмичных и асейсмичных зон. Москва, "Наука", 1993, стр. 337 -

342.

155. Хуторской М-Д- Тепловой поток в области структурно - геологических неоднородностей. Москва, "Наука", 1982, 75 стр-

156. Цирульский A.B. К теории метода искусственного подмагничива-ния. // Изв. АН СССР, Физика Земли, 1972, N э, стр. 70-77.

157. Цирульский A.B. К вопросу о решении прямой задачи электроразведки. В кн. Электроразведка в области скважин на колчеданных месторождениях Урала. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1975, стр. 89 - 95.

158. Цирульский А-В. Функции комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей. Свердловск, изд-во УрО АН СССР, 1990, 135 стр.

159. Цирульский A.B., Ладовский И.В., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий в интерактивном режиме на базе ibm - совместимых персональных компьютеров. В кн. Применение математических методов и ЭВМ при об. работке информации на геологоразведочных работах. Челябинск,

1989, стр. 84.

160. Цирульский A.B., Никонова Ф.И. К вопросу о теоретическом решении обратной задачи логарифмического потенциала. В кн. Теория и практика применения аналитических методов интерпретации и математического моделирования геофизических полей. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1977, стр. 31 - 39.

161. Чекалюк Э.Б., Федорцев И.М., Осадчий В.Г. Полевая геотермо-съемка. Киев, "Наукова Думка", 1974, юг стр.

162. Чекунов A.B., Сологуб В.Б. Земная кора - вопросы структуры и эволюции. // Геофизический журнал, 1979, т-i, стр.159 - 167.

163. Череменский Г.А. Прикладная геотермия. Ленинград, "Недра",

1977, 224 стр-

164. Шванк O.A., Люстих E.H. Интерпретация гравитационных наблюдений. Москва, "Гостоптехиздат", 1947, 400 стр.

165. Шилин Б.В., Горный В.И-, Кариженский В-Е- 0 регистрации геотермальных потоков тепловой аэросъемкой- // ДАН СССР, т. 252,

N 2, 1980, СТр. 321 - 323.

166. Шилов Г-Е. Введение в теорию линейных пространств. Москва, Тостехиздат", 1956, зоз стр.

167. Шлафштейн Е-Е- и др. Основы метода разделения и идентификации магматических пород по петрофизическим и петрохимическим характеристикам. // Физика Земли, 1ээз, n ю, стр. 60 - si.

168. Щапов В.А., Юрков А.К. Распределение температуры и концента-ции гелия в скважинах на некоторых структурах Урала. В кн. Исследование гелиевых и тепловых полей Урала. Свердловск, изд-во УНЦ АН СССР, 1980, стр. з - 16.

169. Эльсгольц Л-Э- Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва, "Наука", 1969, 424 стр.

170. Davies G.F. Review of oceanic and global heat flow estimates. // Rev. Geophys. Space Phys. 1980, v.18, P. 718 - 722.

171. Haim H Bau. Temperature distribution in and around a buried heat generating sphere. // Int. Jorn. Heat Mass Transfered, 1982, v.25, N 11, P. 1701 - 1707.

172. Hvozdara M. Electromagnetic induction within a half space with a eemicylindrical inhomogeneity. // Contributions of the Geophysical Institute of the Slovak Academy of Sciences, 1969, v.1, P. 40-49.

173. Hvozdara M., Made in D. Calculation ob a heat - flow anomaly cenerated a cylindrical inhomogeneity. // Contributions of the Geophysical Institute of the Slovak Academy of Sciences, 1985, v.15, P. 51 - 58.

174. Lachenbruch A.N. Crustal temperature and heat production. Implication of the linear heat flow relation. // Jorn. Geopys. Res., v.75, N 17, P. 3291 - 3300.

175. Magnitsky V.A. Geothermal gradients and temperatures in the mantle and the problem of fusion. // Jorn. Gephys. Res. 1971, v.76, N 5, P. 1391 - 1396.

176. Mc Kenzy D. Summary on thermal heat flow and gravity anomaly-es. // Jorn. Geophys. Res., 1967, v.72, P. 61 - 67.

177. Mogro - Campero A., Fleischer R.L. On the utility of radiogenic heat measurements for uranium exploration. //Geophys. Res. Lett., 1976, v.3, N 8, P. 459 - 462.

179. Parsons B., Sclater J.G. An analysis of the variation of ocean floor bathymetry and heat flow with age. // Jorn. Geophys. Res., 1977, v.82, P. 803 - 827.

180. Pollack H.N. , Chapman D.S. On the regional variation of heat flow, geotherm, and lithospheric thickness. // Tectonophys-ics, 1977, v.38, N 3/4, P. 279 - 296.

181. Sclater J.G. , Janpart C., Galson D. The heat flow through oceanic and continental crust and the heat loss of the Earth. // Rev. Geophys. Space Phys., 1980, v.18, N 1, P. 269 - 311.

182. Shri Krishna Singh, Juan Manuel Espindola. Apparent resistivity of a perfectly conducting sphere buried in a half space. // Geophysics, v.41, N 4, 1976, P. 742 - 751.

183. Simmons G. Interpretation of heat flow anomalies. I. Contrast in heat production. // Rev.Geophys. 1967, v.5, N 1, P.31 - 48.

184. Staccy F. Thermal model of the Earth. // Phys. Earth and Planet Inter. 1977, v.15, P. 341 - 348.

185. Weihs D., Smoll R.D. The temperature field in the visinity of spherical inclusion. Ann. Geophys., v.18, 1984, P. 285 - 290.

186. Khachay Yu.V_, Ladovskij I.V. Boundary problems for a heat conduction equation in non - uniform environment with reference to regional geotermy. Ann. Geophys. Suppl. v.14, part 1, P. 21.