Математическое моделирование течений неоднородной несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Худобина, Юлия Петровна

• Худобина, Юлия Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Худобина, Юлия Петровна

Введение

1. Установившееся течение неоднородной несжимаемой жидкости

1Л. Общие положения гидродинамики неоднородной жидкости

1.2. Функция тока для стационарного течения

1.3. Приведение к безразмерному виду

1.4. Исключение члена с квадратом скорости

1.5. Экспоненциальное распределение плотности

1.6. Одномерное течение неоднородной жидкости

1.7. Решение однородной задачи

1.8. Результаты вычислений—

1.8.1. Конечные формулы и алгоритм

1.8.2. Диполь в потоке неоднородной жидкости

1.8.3. Источник в непрерывно стратифицированной жидкости

1.8.4. Кусочно-экспоненциальное распределение плотности.—

2. Вихревая модель движения границы раздела

2.1. Обсуждение литературы и постановка задачи

2.2. Закон изменения циркуляции скорости вдоль границы раздела—

2.3. Алгоритм численного моделирования

2.4. Примеры типичных вычислений

2.5. Непрерывное распределение вихрей вдоль линии раздела

2.6. Осесимметричные термики—

2.7. Волны вблизи наклонного берега

2.8. Движение линии раздела плотностей жидкости в неоднородном поле ускорений

2.9. Термики в пористой среде-------------------------—

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование течений неоднородной несжимаемой жидкости»

Гидродинамика несжимаемой и невязкой жидкости в настоящее время представляет собой сильно развитый раздел науки, в котором изучается движение и равновесие жидкостей, и их взаимодействие с твердыми телами. В ней разработаны эффективные теоретические и, главным образом, математические методы исследования. Наиболее развитые методы решения относятся к безвихревым течениям, когда отсутствует вращение частиц, т. е. когда имеет место потенциальное течение, и скорость V = grad Ф, где Ф - потенциал скорости. Для потенциальных течений найдены решения многих частных задач: о безотрывном обтекании плоских контуров, о струйных течениях, о волновых движениях жидкости, об источниках, стоках и вихрях, о потенциале простого и двойного слоя, и других. Успешно решены задачи о вихревых нитях и слоях, о вихревых цепочках и системах вихрей. Все эти успехи теоретической гидродинамики относятся к случаю, когда считается, что плотность жидкости всюду постоянна. Для описания движения несжимаемой {р = const) жидкости используется уравнение неразрывности и уравнение движения. Для решения этих уравнений необходимо задавать еще начальные и граничные условия. Граничные условия зависят от вида границ. В идеальной жидкости, не обладающей вязкостью, на твердой границе применяется условие 'непротекания': в нуль обращается только нормальная к стенке составляющая скорости. На свободной поверхности, граничащей с пустотой или с воздухом (газом), должно выполняться условие постоянства давления.Поверхность, удовлетворяющая такому условию, в ряде случаев моделирует поверхность раздела жидкости с газом или паром. Задачи со свободной поверхностью обычно ассоциируются с волнами на поверхности воды.Теоретическая гидродинамика неоднородной жидкости развита в значительно меньшей степени. Она имеет дело с принципиально вихревыми течениями, которые с большим трудом поддаются математическому анализу.Вихри в неоднородной несжимаемой жидкости возникают из-за нарушения баротропии, когда не совпадают нормали к поверхностям постоянного давления и плотности. Уравнение неразрывности и условие несжимаемости для неоднородной жидкости не совпадают друг с другом и записываются как независимые уравнения. Поэтому в поведении течений однородной и неоднородной жидкости имеются существенные различия. Природным примером неоднородных жидкостей является атмосфера и океан, а также и грунтовые воды. Эти среды никогда не находятся в состоянии покоя, так как малейшее нарушение локальной плотности приводит к тому, что одни участки жидкости всплывают под действием архимедовой силы, а другие опускаются. Это сопровождается образованием кольцевых вихрей, как, например, при подъеме нагретых масс воздуха — 'термиков'. Таким образом, сила тяжести в гидродинамике неоднородной жидкости играет основную роль, и такие течения по своей природе являются нестационарными. Теоретическое изучение подобных течений наталкивается на большие математические трудности, и поэтому примеров точных решений не встречается в литературных источниках.Этим и объясняется актуальность всяких исследований в области гидродинамики неоднородной жидкости, направленных на изучение ее свойств.Существует достаточно много публикаций, относящихся к гидродинамике неоднородной жидкости. В подавляющем большинстве из них показывается, что эффективным способом нахождения приближенных решений является линеаризация уравнений и соответственно граничных условий (метод малых возмущений). Получающиеся при этом линейные уравнения в частных производных являются уравнениями типа Соболева. Они описывают сложную структуру внутренних волн в неоднородной жидкости. Эти внутренние волны сильно отличаются от упругих и акустических волн, и, по своим свойствам, больше похожи на волны, движущиеся на поверхности тяжелой жидкости. Для них характерна анизотропность и сильная дисперсия.Численные методы решения общих, не линеаризованных уравнений неоднородной жидкости применялись только к случаю установившихся движений. Эти публикации относятся к 50-60 годам 20-столетия. Из них следует, что при обтекании эллипса потоком неоднородной жидкости линии тока получаются волнистыми. В более поздних публикациях, направленных на изучение конкретных задач, например, на расчет терминов в атмосфере, система дифференциальных уравнений сильно усложняется. В нее добавляется уравнение энергии, уравнение состояния, теплопроводности, переноса излучения, химической кинетики. Решение большинства таких усложненных конкретных задач осуществлялось, главным образом, с применением численных методов.В разработке современных численных методов для решения задач со свободной границей впечатляющие достижения получены Кемеровской школой гидромеханики, возглавляемой К. Е. Афанасьевым [62].Сферой практических приложений гидродинамики неоднородной жидкости является, в первую очередь, физика атмосферы, океанография, геофизика, а также известное в теории теплопереноса явление естественной конвекции [71, 72, 73]. Ввиду того, что крупные вихри в значительной мере определяют перенос на значительные расстояния примесей в атмосфере и в океане, гидродинамика неоднородной жидкости оказывается полезной также и в экологических науках.Целью диссертационной работы является разработка новой математической модели, позволяющей достаточно простыми средствами осуществлять расчет различных плавучих эффектов, проявляющихся в неоднородной жидкости, таких как: всплывание плоских и осесимметричных термиков, явление тейлоровской неустойчивости, распространение волн вдоль границы раздела двух жидкостей с разной плотностью, и другие. Предлагаемая математическая модель позволяет приближенно исследовать также и поведение волн на свободной поверхности тяжелой жидкости.Научная новизна работы. В первой главе, посвященной установившемуся течению неоднородной жидкости, впервые было получено аналитическое решение, определяющее функцию тока, для частного случая, когда плотность жидкости р(Ч*) распределена по экспоненциальному закону.Во второй главе диссертации впервые получена формула, представляющая собой закон генерации вихрей на линии, разделяющей несмешивающиеся жидкости с разной плотностью. На основе этого соотношения построена новая вихревая математическая модель движения границы раздела двух сред.Несмотря на такое упрощение, состоящее в рассмотрении только двухкомпонентной жидкости, предлагаемая математическая модель оказалась достаточно содержательной, чтобы с ее помощью можно было вычислять различные физические эффекты, рассмотренные в диссертации.Впервые было выяснено, что приближенное решение нестационарных задач со свободной границей осуществляется на много легче, если рассматривать ее как границу, разделяющую две жидкости с разной плотностью.Практическая значимость. Создан комплекс компьютерных программ, позволяющих проводить вычисление движения границ разделяющих разнородные жидкости. На примере решения задачи о нефтяной скважине показано, что разработанная математическая модель применима и к случаю нестационарного движения неоднородных грунтовых вод. При дальнейшем естественном обобщении предлагаемого метода круг решаемых им задач может быть существенно расширен.Степень достоверности результатов проведенных исследований.Для проверки непротиворечивости предлагаемого метода в диссертации приводится много примеров численного решения частных задач. Там, где только возможно, приводятся экспериментальные фотографии, подтверждающие качественное совпадение теоретического материала с реальным физическим явлением. Достоверность результатов, полученных с помощью вихревой модели, подтверждается их сопоставлением с экспериментальными данными и численными исследованиями других авторов [3].Автор защищает: 1. Новую математическую вихревую модель, позволяющую вычислять движение границы между двумя жидкостями с различной плотностью.2. Численный метод, в основе которого лежит простой закон изменения циркуляции вихрей возникающих вдоль границы раздела.3. Аналитическое решение задачи об установившемся течении неоднородной жидкости, описанное в первой главе диссертации.4. Распространение полученных результатов на случай движения жидкости в пористой среде.Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Всероссийской научно-технической конференции под редакцией Шрагера Э. Р. (Томск, 2005); на V Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики" (Томск, 2006); на III Всероссийской конференции молодых ученых "Физика и химия высокоэнергетических систем" (Томск, 2007); на VI Всероссийской научной конференции " Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики ", посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ ПММ ТГУ (Томск, 2009) Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журнале: "Известия Вузов. Физика" [97, 98].Содержание работы.Первая глава освещает современное состояние теории установившегося течения неоднородной жидкости. Такие течения можно описать с помощью единственной функции тока Ч*(х,у). Показано, что если течение не зависит от времени, то плотность жидкости должна зависеть только от значений функции тока, т. e.:p = pQ¥). Следовательно, линии тока в установившемся течении всегда являются также и линиями постоянной плотности. Сама функция тока, при этом, удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка. После ряда преобразований это нелинейное уравнение сводится к виду, который допускает получение аналитического решения. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости, при обтекании различных тел, получаются волни7 стыми. Этот факт показывает, насколько расслоенная по плотности жидкость отличается по своему поведению от однородной жидкости.Первые численные эксперименты с применением указанной вихревой модели показали ее пригодность для решения многих задач, недоступных при использовании других методов. Всплывание или опускание термиков сопровождается образованием 'грибовидного облака', как при сильном взрыве, которое со временем закручивается в два параллельных вихревых шнура.Всплывание слоя более легкой жидкости из-под жидкости более тяжелой (неустойчивая граница раздела по Тейлору) также происходит в виде спиральных вихревых образований. Если же проводить расчет для устойчиво стратифицированной жидкости, когда более тяжелая жидкость находится ниже чем легкая, то расчет по вихревой модели не приводит к образованию спиралей. Граница раздела в таких случаях ведет себя как обычная нелинейная бегущая волна, сопровождаемая шлейфом из-за влияния дисперсии.В подразделе 2.5 второй главы описывается вспомогательная программа, позволяющая эффективно вычислять значения мгновенной функции тока и поля скоростей. Здесь, вместо последовательности изолированных вихревых точек, вихревой слой представляется непрерывно завихренными отрезками ломаной линии. С помощью этой программы осуществлялся расчет линий тока в поле течения.Подраздел 2.6 посвящен осесимметричной задаче о термиках и о тейлоровской неустойчивости границы раздела. Здесь вместо бесконечных вихревых шнуров применяются вихревые кольца конечной толщины, и вычисление функции тока и скоростей производится с применение эллиптических интегралов. Основное уравнение генерации вихрей на линии раздела остается таким же, как и для плоско-параллельной задачи.В подразделе 2.7 исследуется поведение волн вблизи наклонного берега. Для объяснения разрушения волн вблизи берега и поглощения их энергии обычно применяют различные приближенные теории. Эта задача все еще является мало изученной в математическом отношении. С точки зрения линейной теории, комплексный потенциал должен иметь логарифмическую особенность в точке пересечения уровня воды и береговой линии. Вихревая модель объясняет большие всплески волн у берега влиянием зеркально отраженной от берега вихревой системы.В подразделе 2.8 показывается, что генерация вихрей на линии раздела может получаться не только под влиянием ускорения силы тяжести, но и изза неравномерности течения в основном потоке (конвективное ускорение).Конвективное ускорение появляется, например, в поле течения от источника, или при обтекании различных препятствий. Уравнение генерации вихрей здесь соответствующим образом обобщается. Рассматривается задача о поведении термиков, которые находятся в потоке, обтекающем эллиптическое препятствие. Данная задача позволяет оценить дальность распространения загрязнений в атмосфере под влиянием ветра. Очевидно, что таким же способом можно решать и другие задачи, например, задачу о подводном крыле.Такие задачи характеризуются необходимостью использования метода конформных отображений.В подразделе 2.9 показывается, что предлагаемая в диссертации вихревая модель движения границы разделяющей жидкости с разной плотностью, пригодна и для теории грунтовых вод. В этом случае уравнением движения является закон Дарси: У = -к — + i . Закон генерации вихрей на границе KPg J раздела плотностей грунтовых вод принимает вид ds р} + р2 Таким образом, здесь он получается более простым, чем для обычной жидкости. В него входит не производная по времени от циркуляции вихрей, а сама их циркуляция. Это отличие определяет специфику поведения термиков в пористой среде. Они могут также всплывать или опускаться, но уже без образования 'грибовидного облака' и спиральных структур. В пористой среде также проявляется явление неустойчивости границы раздела по Тейлору.Численное решение задачи о выравнивании бугра на поверхности грунтовых вод хорошо совпало с решением из книги П. Я. Полубариновой-Кочиной [86]. В этом же подразделе рассматривается и задача 'о нефтяной скважине'.В отличие от ее классической математической постановки, в вихревой модели могут учитываться две фракции жидкости, что в большей степени отвечает действительности.В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Худобина, Юлия Петровна

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Установившееся течение в неоднородной жидкости возможно только в случае, когда плотность зависит лишь от функции тока. Если, например, плотность зависит от декартовых координат (х,у), то такое течение может быть только неустановившимся. Это объясняет тот факт, что неоднородная атмосфера не может находиться в состоянии покоя.

2. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости получаются волнистыми, и внутренние волны распространяются на большие расстояния.

3. Моделирование неустановившихся течений заменой границы раздела плотности вихревым слоем позволяет решать многие задачи, недоступные при использовании других математических моделей. В частности,

124 естественным образом моделируется процесс закручивания границы раздела в спиральную линию.

4. Тот факт, что устойчиво стратифицированная жидкость в численных экспериментах не закручивалась в спираль, говорит о том, что вихревая модель правильно описывает рассматриваемое явление. Следовательно, ее можно применять и для изучения волн на поверхности воды.

5. Предлагаемая в диссертации вихревая модель оказывается пригодной и для течений жидкости в пористой среде, для которой справедлив закон Дарси.

6. Предполагается, что дальнейшее обобщение вихревой модели будет осуществляться с учетом вязкости жидкости, и пространственного случая завихренной поверхности раздела.

В завершении диссертации автор выражает признательность своему научному руководителю, ведущему научному сотруднику НИИПММ ТГУ Э.Е. Либину, коллегам по лаборатории: профессору И.Б. Богоряду, старшему научному сотруднику Н.П. Лавровой за их неизменную помощь в течение всего периода работы над диссертацией, а также за моральную поддержку и теплоту человеческих отношений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрено две задачи о течении неоднородной несжимаемой и невязкой жидкости. В первой задаче рассматривается случай установившихся (стационарных) течений, а во второй задаче предполагается, что течение жидкости носит нестационарный характер. В первой задаче вводится функция тока, дифференциальное уравнение для которой получается нелинейным и затруднительным для решения. Поэтому в диссертации рассмотрен только такой частный случай, когда плотность жидкости распределена по показательному закону в зависимости от значений функции тока. При таком предположении определяющее уравнение получается линейным, и это дает возможность довести решение задачи о течении неоднородной жидкости до аналитического решения.

Во второй задаче предполагается, что жидкость имеет кусочно,постоянную плотность и четкую границу раздела. Для ее решения в настоящей работе применяется достаточно простой численный метод, который основан на замене границы раздела плотностей вихревым слоем. Обе задачи имеют практическое значение в метеорологии или в океанологии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Худобина, Юлия Петровна, 2009 год

1. Кочин Н.Е, Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. -М.: Физматлит, 1963. -584 с.

2. Ламб Г. Гидродинамика. Том 1-2. — Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. -934 с.

3. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: МИР, 1977.— 432 с.

4. Плотников П.И. Некорректность нелинейной задачи о развитии неустойчивости Тейлора // Зап. Науч. семинаров ЛОМИ, Л.: Наука. — 1980. Т. 96. - С. 240 - 246.

5. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. - Т. 18, №1. - С. 3 - 50.

6. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1990. -344 с.

7. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. - 288 с.

8. Черкесов Л.В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. — Киев: Наук. Думка, 1976. 276 с.

9. Антонцев С.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. -Новосибирск: Наука, 1983. -319 с.

10. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985.-317 с.

11. Плотников П.И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980.-Т. 251, №3.-С. 591-594.

12. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.-815 с.

13. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. Москва- Ленинград: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1936.-303 с.

14. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики М.: Физматлит, 2005. - 254 с.

15. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики — М.: Физматлит, 2002. — 431 с.

16. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи: Пер. с англ. -М.: МИР, 1968. 183 с.

17. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных: Пер. с англ. М.: МИР, 1974. - 207 с.

18. Богоряд И.Б. Колебания вязкой жидкости в полости твердого тела. — Томск: Изд-во Томского университета, 1999. — 134 с.

19. Якимов А.Г. Аналитический метод решения краевых задач. Томск: Изд-во Томского университета, 2005. - 108 с.

20. M-me Dubriel-Jacotin L., Sur les ondes de type permanent dans les liquides heterogenes // Atti dei L., 1932. Vol. 212, № 6. - Pp. 814 - 819.

21. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la determination rigoureuse des ondes permanents periodiques dempleur finie // J. Math. Pures Appl., 1934. Vol. 13, № 9. -Pp. 713-736.

22. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la descussion des equations de ramification relatives a certains problemes d'ondes. Application aux ondes dues aux ine-galites du fond // Bull.Soc. Math.France, 1936. - Vol. 64. - Pp. 1-24.

23. Dubreil-Jacotin M.L. Sur les theoremes d'existence relatives aux ondes permanents periodiques a deux dimensions dans les liquides heterogenes // J. Math. Pures Appl., 1937. Vol. 16, № 9. - Pp. 43-67.

24. R.Gouyon, Contribution a la theorie des houles // Annales de la Faculte des Sciense de l'Universsite de Toulouse, 1958. Vol. 22, № 4. - Pp. 1-55.

25. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости // Собр. соч.: Физматгиз, 1961. Т. 1. - С. 358439.

26. Т. Levi-Civita. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'empleur finite//Math. Ann., 1925. Pp. 264-314.

27. Прандтль JI. Гидроаэромеханика: Пер. с нем. — М.: ИЛ, 1951. 576 с.

28. Queney P. The problem of airflow over mountains: a summary of theoretical studies // Bull. Amer. Meteor. Soc., 1948. Vol. 29. - Pp. 16-26.

29. Sawyer J. S. A numerical calculation of the displacements of a stratified air stream crossing a ridge of small height // Quart. J. Roy. Mat. Soc., 1960. -Vol. 86.-Pp. 326-345.

30. Hazel J. R Numerical studies of stability of inviscid stratified shear flows // J. Fluid Mech, 1972.-Vol. 51.-Pp. 36-61.

31. Hunt J.N. Interfacial waves of finite amplitude // La Houile Blanche, 1951,-Vol. 16.-Pp. 515-531.

32. Long R. R., Some aspects of the flow of stratified , II, Experiments with a two-fluid system // Tellus , 1954. Vol. 6. - Pp. 97-115.

33. Long P, R. The motion of fluids with density stratification // J. Geophis, Res., 1959. Vol. 64. - Pp. 2151-2163.

34. Hazel J.R. The effects of viscosity and heat conduction on internal gravity waves at a critical level // J. Fluid. Mech., 1967. Vol. 30, - Pp. 775 - 781.

35. Yih C.S. Exact solution for steady two-dimensional flow of a stratified fluid //J, Fluid Mech., 1960. Vol. 9-Pp. 161-174.

36. Йи Чиа Шун. Волновые движения в слоистых жидкостях // Сб. Нелинейные волны: Под ред. С. Лейбовича и А.Сибаса: Пер. с англ. М.: МИР, 1977.-С. 271-295.

37. Аксенов А. В., Городцов В. А., Стурова И.В. Моделирование обтекания цилиндра стратифицированной идеальной несжимаемой жидкости // Институт проблем механики АН СССР. 1986. - препринт № 282, -65 с.

38. Зайцев А. А. Функция тока и форма линии тока в плоском потоке равномерно стратифицированной жидкости, обтекающей горизонтально-ориентированный диполь // Волны и дифракция: Сб. т.1. Москва, 1981,-С. 159- 162.

39. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский JI. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 524 с.

40. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.- 172 с.

41. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. -М.: Мир, 1985,-470 с.

42. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.-832 с.

43. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965. - 287 с.

44. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1965. 467 с.

45. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1100 с.

46. Сычев К.А., Либин Э. Е. Примеры численной реализации конформных отображений // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1998. - Вып. 2, - С. 812.

47. Сычев К.А., Либин Э. Е. Конформное отображение произвольной од-носвязной области на прямоугольник // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. — Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2000. Вып. 3. - С. 209 - 210.

48. Сычев К.А., Либин Э. Е. Численной метод конформного отображения произвольной двусвязной области на круговое кольцо // Исследованияпо баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. — Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2001. Вып. 4. - С. 23 - 24.

49. Сычев К.А., Либин Э. Е. Задача о собственных колебаниях жидкости // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2002. - Вып. 5. - С. 299-300.

50. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. Москва - Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2005. — 503 с.

51. Вилля Г. Теория вихрей. М. - Л.: ОНТИ, НКТП, 1936. - 266 с.

52. Миндлин И.М. Интегро-дифференциальные уравнения в динамике тяжелой слоистой жидкости М.: Наука, 1996. - 298 с.

53. Миндлин И.М. Новый метод в нелинейных задачах о волнах в тяжелой слоистой жидкости, возбуждаемых вертикально движущимся твердым телом//Изв. АН СССР. МЖГ. 1991.- № 5.-С. 151 - 160.

54. Миндлин И. М. Метод обобщенного потенциала скорости в динамике слоистой жидкости, возмущаемой естественно всплывающим 'терми-ком' // Межвуз. сб.: Колебания и волны в сплошной среде. Нижний Новгород: изд. Нижегород. политехи, ин-та, 1992. - С. 73 - 81.

55. Миндлин И.М. Нелинейные волны в тяжелой двухслойной жидкости, порождаемые начальным возмущением горизонтальной границы раздела // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. - № 5. - С. 135 - 143.

56. Стокер Дж. Волны на воде. М.: Издательство иностранной литературы, 1959.-618 с.

57. Алешков Ю. 3. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1981, - 195 с.

58. Секерж-Зенькович Я. И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР Сер. геогр. и геофиз. 1951. - Т. 15, № 1,-С. 57-73.

59. Тер-Крикоров А. М. Существование периодических волн, вырождающихся в уединенную // Прикладная математика и механика. I960.— Т.24, вып. 4. - С. 622 - 636.

60. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. 622 с.

61. Хаскинд М. Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М. , 1973. — 328 с.

62. Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование // Материалы третьей международной летней научной школы: Под. ред. Афанасьева К. Е. — Кемерово: ИНТ, 2006. 506 с.

63. Lagally Sitzungsberichte der Math // Phis. Der К. B. Akademie der Wissens zu Munchen, 1915. № 19. - Pp. 79 - 95.

64. Rosenhead L. The Formation of Vortices from a Surface of Discontiniuty // P. R. S. L. (A), 1931.-Vol. 134, № 19. Pp. 170-192.

65. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн.- М.: Наука, 1984. — 430 с.

66. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М. - Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 704 с.

67. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1958. 544 с.

68. Милович А. Я. Теория динамического взаимодействия тел и жидкости.- М. Л.: Госэнергоиздат, 1940. - 240 с.

69. Биркгоф Г., Сарантонелло Б. Струи, следы и каверны: Пер. с англ. М.: Мир, 1964.-466 с.

70. Г. Биркгоф. Гидродинамика. Методы, факты, подобие: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1963.-245 с.

71. Гришин А. М. Влияние взаимодействия огненных смерчей друг с другом на их распространение // Докл. АН. Физика. 2007. - Т. 416, № 4. -С. 1-2.

72. Гришин А. М. Аналитическое решение задач о распространении двух огненных смерчей // Экологические системы и приборы. — 2008. №10. С. 47-48.

73. Гришин А. М., Матвиенко О. В., Руди Ю. А. Численные модели формирования тепловых смерчей // Инж.-физ. журнал. — 2008. Т. 81, №5. -С. 860-868.

74. Г. М. Махвиладзе, С. Б. Щербак. Расчет конвективного движения газа над поверхностью горящего вещества // Институт проблем механики АН СССР. 1979. - № 125. - 45 с.

75. Г. М. Махвиладзе, Г. Г. Копылов, В. И. Мелихов, О. И. Мелихов. Численное исследование формирования и распространения очагов горения в закрытых объемах в условиях естественной конвекции // Институт проблем механики АН СССР. 1984. - № 237. - 70 с.

76. Г. М. Махвиладзе, О. И. Мелихов, С. Е. Якуш. Турбулентный осесим-меричный термик в неоднородной сжимаемой атмосфере. Численное исследование // АН СССР. Институт проблем механики. 1987. - № 303.-67 с.

77. Ю. А. Гостинцев, JI. А. Суханов. Турбулентный концентрационно-тепловой термик при большой вязкости в нестратифицированной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. - № 6. - С. 153 - 163.

78. А. Д. Амиров. О развитии термиков и кучевых облаков в стратифицированной атмосфере //Изв. АН СССР. Сер. физ. атм. и океана. 1966. -Т. 2, № 5. - С. 184-191.

79. В. И. Полежаев. Численное исследование естественной конвекции жидкостей и газов // Некоторые применения метода сеток в газовой динамике: Сб. -М.: изд-во МГУ, 1971. Вып. IV.

80. Н. Levi. Water waves on sloping beaches // Bull. Amer. Math. Soc., 1946. — Vol. 52, № 9. Pp. 737 - 775.

81. J. J. Stoker, Water Surface waves in water of variable depth // Quart. Apple. Math., 1947.-Vol.1.-Pp. 1-54.

82. G. Brrillouet. Etude de quelqness problemes sur les ondes liquids de gravity // Publ. SAci. Du Ministere de Г Air., 1957 P. 329.

83. A. S. Petters, The effect of floating mat on water waves // Comm. Pure. Apple. Math., 1950 Vol. 4. - Pp. 319-354.

84. M. Weitz, J. Keller, Reflection of water waves from floating ice in water of finite depth // Comm. Pure. Apple. Math., 1950 Vol. 3. - Pp. 305-318.

85. П. Я. Полубаринова-Кочина. Теория движения грунтовых вод — М.: Наука, 1977.-664 с.

86. Ф. Форхгеймер. Гидравлика. Пер. с немецкого. М. — Д., ОНТИ, 1935.-615 с.

87. П. Я. Полубаринова-Кочина. К вопросу о перемещении контура нефтеносности // Докл. АН СССР. 1945. - № 4. - С. 254 - 257.

88. П. П. Куфарев. Задача о контуре нефтеносности для круга при любом числе скважин // Докл. АН СССР. 1950. - № 4. - С. 235-338.

89. Richardson S. //J. of Fluid Mech, 1981. Vol. 102. -Pp. 263-278.

90. A. H. Варченко, П. И. Этингофф. Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса. (Современная математика для студентов). — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 80 с.

91. Публикации автора диссертации.

92. Акимова Ю. П. Задача о волнах, набегающих на наклонный берег // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сб. статей: Под ред. И.Б. Богоряда. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 1999. - Вып. 3 -С.З.

93. Худобина Ю. П. Кинематика волн у наклонного берега. Физика и химия высокоэнергетических систем // Доклады XI всерос. научно-технич. конференции: Под ред. Шрагера Э.Р. Томск: Изд-во Том. Унта, 2005.-С. 67-68.

94. Худобина Ю. П. Диполь в потоке неоднородной несжимаемой жидкости // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Материалы конференции, 3-5 окт. 2006 г. Томск: Изд-во Том. Унта, 2006.-С. 181-182.

95. Худобина Ю. П. Всплывание легкого жидкого тела // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Материалы конференции, 3-5 окт. 2006 г. Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2006. — С. 183.

96. Худобина Ю.П. Моделирование плавучих эффектов в жидкости // Физика и химия высокоэнергетических систем: Сб. Материалов III Всероссийской конференции молодых ученых, 24-27 апреля 2007г., Томск. Томск: ТМЛ-Пресс, 2007. - С. 232 - 234.

97. Худобина Ю. П. Линии тока в установившихся течениях неоднородной тяжелой несжимаемой жидкости // Известия вузов. Физика 2007. — № 9/2 - С. 294-298.

98. Либин Э. Е., Худобина Ю. П. Эволюция границ раздела плотности в неоднородной несжимаемой жидкости // Известия вузов. Физика.— 2007.-№ 9/2-С. 291 -293.

99. Худобина Ю. П. Движение осесимметричного термика // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Сборник материалов конференции, 30 сент. 2 окт. 2008 г. - Томск: Томский государственный университет, 2008. - С. 500/501.