Эффективные комбинированные методы электромагнитного расчёта электромеханических устройств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Тихонов, Дмитрий Юрьевич

• Тихонов, Дмитрий Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тихонов, Дмитрий Юрьевич

Введение

1 Современное состояние и перспективы развития методов моделирования и проектирования электромеханических систем на базе программных комплексов

1.1 Обзор современных методов моделирования электромеханических устройств.

1.2 Обзор численно-программных комплексов для моделирования электромеханических устройств.

1.3 Выводы по разделу.

2 Моделирование плоскопараллельного электромагнитного поля электромеханических устройств комбинированным методом конечных и граничных элементов

2.1 Постановка задачи расчета плоскопараллельного электромагнитного поля в многосвязных областях.

2.2 Основные положения и общие схемы реализации КМКиГЭ

2.2.1 Основные положения КМКиГЭ.

2.2.2 Метод конечных элементов для решения нестационарных задач с учетом движения и вихревых токов

2.2.3 Метод граничных элементов

2.2.4 Сопряжение МКЭ и МГЭ: метод декомпозиции областей и метод эквивалентного конечного элемента

2.3 Численная реализация решения задач расчета нестационарных электромагнитных полей.

2.3.1 Общий алгоритм КМКиГЭ для решения задач расчета нестационарных электромагнитных полей.

2.3.2 Решение систем уравнений с матрицами, имеющими несимметричную, разряженную структуру.

2.4 Численная реализация решения задач расчета стационарного магнитного поля.

2.4.1 Общий алгоритм решения.

2.4.2 Решение систем уравнений с симметричной положительно определенной матрицей.

2.4.3 Двухфазная схема решения на итерациях МДО

2.5 Расчет электромагнитных сил и моментов по полуаналитическим соотношениям.

2.6 Анализ эффективности разработанных алгоритмов

2.7 Выводы.

3 Моделирование плоскомеридианных электромагнитных полей комбинированным методом конечных и граничных элементов

3.1 Постановка задачи расчета электромагнитного поля ЭМУ, обладающих осевой симметрией

3.2 КМКиГЭ для расчета плоскомеридианных нестационарных электромагнитных полей

3.2.1 Модифицированный метод конечных элементов

3.2.2 Модифицированный метод граничных элементов

3.2.3 Сопряжение модификаций МКЭ и МГЭ.

3.3 Алгоритм численной реализации КМКиГЭ в нестационарном случае.

3.4 Численное решение стационарных задач КМКиГЭ.

3.5 Анализ эффективности разработанных алгоритмов КМКиГЭ

3.6 Выводы.

4 Экспериментальные исследования и численное моделирование электромеханических устройств

4.1 Решение модельной задачи движения витка с током над проводящим рельсом.

4.2 Экспериментальные исследования и численное моделирование ОЛАД.

4.2.1 Постановка задачи моделирования ОЛАД.

4.2.2 Экспериментальное получение силовых характеристик ОЛАД . ИЗ

4.2.3 Моделирование ОЛАД с использованием разработанного программного комплекса.

4.3 Экспериментальные исследования и численное моделирование броневого электромагнита.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Результаты численного и экспериментального исследования броневого электромагнита.

4.4 Выводы.

5 Оптимальное проектирование электромеханических устройств

5.1 Классический и модельно-ориентированный подходы к проектированию ЭМУ.

5.2 Математическая формулировка задачи оптимального проектирования электромагнитных механизмов.

5.3 Стратегия проектирования в две фазы. Обоснование выбора. Детали реализации.

5.4 Фаза «грубого» проектирования.

5.4.1 Фаза «точного» проектирования.

5.4.2 Выбор метода оптимизации для фазы «точного» проектирования

5.4.3 Квазиньютоновские методы безусловной минимизации. Общий алгоритм и особенности реализации

5.5 Примеры применения предложенной методики двухфазного проектирования для решения задач проектирования ЭМУ оптимальной геометрической формы.

5.5.1 Модельная задача оптимального проектирования быстродействующего электромагнита.

5.5.2 Оптимальное проектирование линейного асинхронного двигателя

5.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффективные комбинированные методы электромагнитного расчёта электромеханических устройств»

Актуальность темы. Современный этап развития производства, внедрение новых технологий выдвигают повышенные требования к экономичности, надежности и уровню технических характеристик электромеханических устройств (ЭМУ). В связи с этим существует постоянная необходимость в проектировании ЭМУ с улучшенными технико-экономическими показателями, что в современных условиях невозможно без применения компьютерного инструментария поддержки конструкторского процесса, позволяющего эффективно решать возникающие на практике задачи, обеспечивая заданную точность расчетов при наименьших затратах вычислительных ресурсов. В настоящее время наиболее актуальными задачами, возникающими при проектировании ЭМУ, являются так называемые многовариантные задачи, предполагающие многократный расчет характеристик ЭМУ при вариации тех или иных его параметров. К ним относятся:

1) задачи моделирования нестационарных режимов ЭМУ, сводящиеся к расчетам электромагнитного поля (ЭМП) на большом числе временных слоев. Решение этих задач является в настоящее время наиболее актуальным, так как определяющими для подавляющего большинства ЭМУ являются именно нестационарные режимы работы, полный анализ которых невозможен в стационарном приближении;

2) параметрические задачи моделирования ЭМУ, сводящиеся к многовариантным расчетам с целью анализа влияния на характеристики ЭМУ изменений тех или иных его параметров;

3) многовариантные задачи автоматизированного оптимального проектирования ЭМУ с применением персональных ЭВМ на базе методов моделирования ЭМУ и численных методов параметрической оптимизации. В современных условиях, когда для обеспечения конкурентоспособности продукции приходится, как правило, создавать ЭМУ, работающие в предельных режимах и имеющие близкие к оптимальным характеристики, решение этих задач является одной и приоритетных проблем. Однако эта проблема остается пока малоизученной и в настоящее время ее решение не реализовано в виде специализированных программных продуктов из-за слабой проработанности методической базы.

Для эффективного решения указанных задач необходим инструментарий, в основе которого должны лежать эффективные методы расчета электромагнитных полей (ЭМП), где эффективность метода решения характеризуется величиной отношения «точность моделирования / затраты вычислительных ресурсов, необходимых для ее достижения». Вопросы моделирования ЭМП рассматривались в работах К.С. Демирчяна, Э.В. Колесникова, В.И. Астахова, Ю.А. Бахвалова, А.Н. Ткачева, О.В. Тозони, Г.К. Птаха, Г. Ленера и других ученых. Тем не менее, в настоящее время сохраняется необходимость дальнейшего развития и совершенствования методов расчета ЭМП в направлении повышения эффективности их применения для моделирования ЭМУ.

Высокую точность обеспечивают полевые методы расчета. Однако анализ реализующих такие методы известных численно-программных комплексов (ЧПК) (Maxwell, FEMM, Opera и др.) показывает, что они не обеспечивают высокую эффективность решения многовариантных задач первых двух типов из-за больших затрат вычислительных ресурсов на расчет одного варианта. Этим можно объяснить отсутствие в этих ЧПК функциональной возможности решения еще более ресурсоемких задач оптимального проектирования. В основе большинства таких ЧПК лежит метод конечных элементов (МКЭ), который обладает рядом недостатков (искусственное ограничение области расчета, дискретизация окружающего пространства, выполнение новой дискретизации при изменении положения элементов ЭМУ). Анализ литературных источников показывает, что к настоящему времени ресурсы совершенствования МКЭ практически исчерпаны. Это подчеркивает актуальность разработки новых, более эффективных, чем МКЭ, численных методов, а также реализующих их программных комплексов, позволяющих более экономично, чем известные ЧПК, использовать вычислительные ресурсы ЭВМ и гарантировать эффективное решение многовариантных задач анализа и проектирования ЭМУ.

Наиболее перспективным в этом отношении является комбинированный метод конечных и граничных элементов (КМКиГЭ), одновременно реализующий достоинства МКЭ и лишенный указанных его недостатков. Разработке КМКиГЭ способствовали работы зарубежных (Й. Фетзер, М. Хаас, С. Курц и др.) и отечественных (Н.Х Эркенов, Ю.А. Бахвалов, А.Г. Никитенко, А.В. Павленко, О.Ф. Ковалев и др.) ученых. Однако до настоящего времени этот метод в основном применялся только для расчета стационарного ЭМП и для решения некоторых частных задач моделирования нестационарного плоскопараллельного ЭМП. Обобщенная технология применения КМКиГЭ для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных нестационарных ЭМП с учетом вихревых токов и движения элементов ЭМУ пока не разработана, как не существует и известных ЧПК, реализующих КМКиГЭ для решения указанных типов многовариантных задач моделирования и проектирования ЭМУ.

Целью данной работы является разработка и компьютерная реализация эффективных вычислительных моделей плоскопараллельного и плоскомеридианного, стационарного и нестационарного ЭМП на основе модификаций КМКиГЭ, а также разработка методики автоматизированного проектирования ЭМУ с оптимальными геометрическими параметрами, предполагающей использование разработанных вычислительных моделей. Указанная цель предполагает решение следующих основных задач:

1. Разработка эффективных модификаций КМКиГЭ для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных, стационарных и нестационарных ЭМП с учетом движения элементов ЭМУ и вихревых токов в проводящих телах.

2. Разработка общей технологии построения на основе созданных модификаций КМКиГЭ эффективных вычислительных моделей стационарного и не-стационарного ЭМП минимальной размерности.

3. Разработка в соответствие с предложенной технологией высокоэффективных вычислительных алгоритмов расчета ЭМП путем рационального использования и совершенствования методов решения поставленных задач на всех фазах вычислительного процесса.

4. Разработка двухфазной методики оптимального проектирования на основе созданных вычислительных моделей и методов локальной оптимизации.

5. Реализация разработанных численных алгоритмов в виде универсальных программных модулей, позволяющих гибкое включение в программный комплекс для расчета и проектирования ЭМУ с оптимальными геометрическими параметрами.

Методы исследования и достоверность полученных результатов. Достоверность научных положений, выводов и результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается:

1. Применением фундаментальных методов теории электромагнитного поля, основанных на системе уравнений Максвелла, численных методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (МКЭ, МГЭ, КМКиГЭ), численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (неявный метод Эйлера), методов решения систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений (модифицированный метод Ньютона-Рафсона, LU-факторизация, предобусловленные методы сопряженных градиентов и квадратичных сопряженных градиентов), численных методов локальной оптимизации (квазиньютоновские методы, комбинированные методы полиномиальной оптимизации).

2. Использованием при моделировании, а также при проверке эффективности разработанных численных моделей и достоверности получаемых с их помощью результатов современных ЧПК: SESAM 2003, MatLab, Maxwell, FEMM.

3. Данными экспериментальных исследований, полученных автором и подтверждающих достоверность полученных результатов.

4. Критическим обсуждением результатов работы с ведущими специалистами кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ(НПИ), а также кафедры мехатроники Технического Университета г.Ильменау (Германия).

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель, реализующая комбинированный метод конечных и граничных элементов для расчета нестационарных плоскопараллельных электромагнитных полей с учетом вихревых токов и планарных перемещений элементов ЭМУ, включающая:

- эффективный алгоритм решения уравнений нестационарного электромагнитного поля на базе КМКиГЭ, неявных методов интегрирования и методов решения систем нелинейных уравнений;

- новую эффективную модификацию метода Ньютона-Рафсона решения систем нелинейных уравнений с релаксацией векторного магнитного потенциала при динамическом вычислении параметра релаксации по формуле, использующей информацию трех смежных итераций;

- адаптивный алгоритм решения систем уравнений КМКиГЭ в зависимости от вида матриц этих систем;

- свободную от операций численного дифференцирования процедуру нахождения интегральных характеристик ЭМУ (электромагнитные силы и моменты).

2. Модификация КМКиГЭ для расчета стационарных плоскопараллельных магнитных полей в нелинейных средах, в том числе:

- эффективный итерационный алгоритм КМКиГЭ с динамическим вычислением параметра релаксации;

- эффективная двухфазная схема решения систем уравнений на каждой итерации разработанной модификации КМКиГЭ.

3. Основанная на комбинированном методе конечных и граничных элементов процедура численного расчета нестационарных плоскомеридианных электромагнитных полей с учетом вихревых токов и планарных перемещений элементов ЭМУ, включающая:

- эффективный алгоритм решения уравнений нестационарного электромагнитного поля на базе КМКиГЭ, неявных методов интегрирования и разработанного метода решения систем нелинейных уравнений;

- адаптивный алгоритм решения систем уравнений КМКиГЭ в зависимости от вида матриц этих систем.

4. Модификация КМКиГЭ для расчета стационарных плоскомеридианных магнитных полей в нелинейных средах и эффективный итерационный алгоритм КМКиГЭ с динамическим вычислением параметра релаксации.

5. Методика двухфазного оптимального проектирования ЭМУ на базе разработанных модификаций КМКиГЭ и метода магнитных цепей (стационарный и нестационарный случай), а также ее реализация на основе разработанного ЧПК MAGiC.

6. Результаты практической реализации разработанных алгоритмов и методик:

- ЧПК MAGiC (MAGnetic Calculations) для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных, стационарных и нестационарных электромагнитных полей ЭМУ, и получения различных их характеристик;

- двухфазный алгоритм параметрической оптимизации ЭМУ в статическом и нестационарном случаях на базе разработанного программного комплекса и программного комплекса SESAM 2003, созданного в ТУ г.Ильменау.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

1. Разработана обобщенная методика построения эффективных вычислительных моделей стационарных и нестационарных, плоскопараллельных и плоскомеридианных ЭМП на основе КМКиГЭ, отличительной особенностью которой является учет сложной геометрии магнитных систем, движения элементов ЭМУ и вихревых токов в проводящих телах.

2. 2. В соответствии с предложенной методикой разработаны вычислительные алгоритмы, реализующие КМКиГЭ для расчета стационарных и нестационарных ЭМП, эффективность которых обеспечивается следующими оригинальными особенностями:

- применением для ускорения сходимости итерационного процесса при решении систем нелинейных алгебраических уравнений

СНАУ) предложенной модификации метода Ньютона-Рафсона;

- использованием адаптивного алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в нестационарных задачах с выбором метода решения в зависимости от вида матрицы системы;

- ускорением сходимости итерационного алгоритма метода декомпозиции области (МДО) за счет применения динамической релаксации с пересчетом параметра по предложенному алгоритму;

- использованием разработанной двухфазной схемы реализации решения СЛАУ в стационарном случае на основе блочного метода;

- применением предложенной модификации КМКиГЭ для расчета плоско-меридианных полей, заключающейся в формировании уравнений МКЭ и МГЭ относительной одной и той же скалярной функции потока;

- устранением традиционных вычислительных погрешностей при нахождении электромагнитных сил и моментов за счет аналитического дифференцирования интегрального представления поля вне намагничиваемых тел.

Эффективность предложенных подходов подтверждена проведенным сравнением решений конкретных задач расчета ЭМУ при помощи разработанного программного комплекса и известных ЧПК Maxwell и FEMM.

3. В рамках совместного проекта ЮРГТУ(НПИ) и ТУ г.Ильменау (Германия) на базе созданных вычислительных моделей разработана и реализована оригинальная методика двухфазного оптимального проектирования ЭМУ.

4. Разработаны программные модули, составляющие основу созданного на кафедре «Прикладная математика» ЮРГТУ(НПИ) ЧПК MAGiC, предназначен-ного для анализа и автоматизированного проектирования ЭМУ

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в разработке ЧПК MAGiC, предназначенного для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных, статических и нестационарных электромагнитных полей ЭМУ, обеспечивающего возможность нахождения различных их характеристик на основе полученных решений, являющегося более эффективным, чем основанные на МКЭ аналоги, при решении большинства возникающих на практике задач и позволяющего выполнять параметрическую оптимизацию конструкции рассчитываемых ЭМУ на второй фазе оптимизационного процесса согласно предложенной методике двухфазного проектирования.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на 47-ом Международном научном коллоквиуме IWK 2002, г. Ильме-нау, Германия, сентябрь 2002г.;

- на 4-ой Международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития электроподвижного состава», г. Новочеркасск, июнь 2003г.;

- на Международной научно-технической конференции «ЮМ 2003: International Conference on Magnetics», г. Рим, Италия, июль 2003г.;

- на Международном научном коллоквиуме «Проблемы мехатроники 2003», г. Новочеркасск, сентябрь 2003г.;

- на Международной научной конференции «Innovative Klein- und Mikroantriebstechnik 2004», г. Дармштадт, Германия, март 2004г.

Разработанный ЧПК MAGiC награжден дипломом 1-ой степени на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности студентов, аспирантов и молодых ученых ВУЗов Российской Федерации «ИННов 2003», проходившей 4-7 мая 2003г. в г.Новочеркасск.

Публикации. Основное содержание работы отражено в 10 публикациях [1-10].

Структура и объем диссертации. Материал диссертации распределен следующим образом.

В первом разделе сделан обзор методов моделирования электромагнитных процессов в ЭМУ, произведен сравнительный анализ рассматриваемых методов, указаны их основные достоинства и недостатки. Проанализирована современная ситуация на рынке программных комплексов для расчета электромагнитных полей. Рассмотрены наиболее известные и используемые программные комплексы, проанализированы их возможности, достоинства и недостатки в отношении рассматриваемого класса задач — многовариантных задач моделирования ЭМУ (нестационарные задачи, задачи параметрической оптимизации конструкций ЭМУ). Сделан вывод о недостаточной эффективности существующих программных комплексов для решения указанных задач, их недостаточных возможностях, обоснована актуальность разработки новых, более эффективных методов расчета электромагнитных полей и реализующих их ЧПК.

Во втором разделе рассмотрены вопросы разработки разделе рассмотрены вопросы разработки общей технологии применения КМКиГЭ для построения высокоэффективных вычислительных моделей плоскопараллельного ЭМП для решения задач в статической и в нестационарной постановке с учетом вихревых токов в проводящих телах и относительного движения элементов ЭМУ за счет совместного решения уравнений ЭМП и дифференциальных уравнений движения. Задача моделирования нестационарных режимов ЭМУ сформулирована как краевая для многосвязной кусочно-однородной области. В соответствие с общим алгоритмом КМКиГЭ выполнено преобразование исходных уравнений к системе интегро-дифференциальных уравнений, для решения которой разработан эффективный адаптивный алгоритм, основанный на применении методов неявного интегрирования, модификации метода Ньютона-Рафсона решения систем нелинейных уравнений с динамическим вычислением параметра релаксации по предложенной формуле, прямых и итерационных методов решения систем с разреженными матрицами. Рассмотрен частный случай решения задачи расчета стационарного магнитного поля. Для ее эффективного решения разработана модификация КМКиГЭ, предполагающая итерационное последовательное решение внешней и внутренних задач расчета магнитного поля с релаксацией векторного магнитного потенциала по предложенной формуле, обеспечивающей оптимальную скорость сходимости итерационного процесса. Для дальнейшего повышения эффективности предложенного алгоритма КМКиГЭ была разработана и реализована быстрая, двухфазная схема решения систем уравнений, возникающих на каждой итерации. В результате решения задачи расчета динамических характеристик линейного двигателя с постоянными магнитами при помощи программного комплекса Maxwell и созданного на основе разработанных алгоритмов программного комплекса MAGiC была проиллюстрирована более высокая эффективность последнего (меньшие затраты вычислительных ресурсов при обеспечении практически одной и той же точности расчетов).

В третьем разделе рассмотрены вопросы разработки модификации КМКиГЭ для расчета плоскомеридианного ЭМП и создания на ее основе технологии применения КМКиГЭ для построения эффективных вычислительных моделей стационарного и нестационарного ЭМП в плоскомеридианном случае с учетом вихревых токов и движения. Задача моделирования нестационарных режимов ЭМУ сформулирована как краевая для многосвязной кусочно-однородной области. Для ее решения разработан эффективный адаптивный алгоритм КМКиГЭ, основанный на применении методов неявного интегрирования, модификации метода Ньютона-Рафсона решения систем нелинейных уравнений с динамическим вычислением параметра релаксации, прямых и итерационных методов решения систем с разреженными матрицами. Рассмотрен частный случай решения задачи расчета стационарного магнитного поля, для решения которой разработана модификация КМКиГЭ, основывающаяся на итерационном последовательном решении внешней и внутренних задач расчета магнитного поля с релаксацией векторного магнитного потенциала. В результате решения конкретной задачи расчета зависимости силы притяжения якоря броневого электромагнита от времени при набросе синусоидального тока при помощи программного комплекса Maxwell и созданного на основе разработанных алгоритмов программного комплекса MAGiC показана более высокая эффективность последнего (меньшие затраты вычислительных ресурсов при сравнимых по точности результатах расчетов).

Четвертый раздел посвящен оценке достоверности результатов моделирования при помощи созданного на основе разработанных алгоритмов ЧПК MAGiC для расчета электромагнитных полей. Сравнение результатов расчета при помощи разработанного ЧПК зависимости силы, действующей на виток с током при движении последнего над проводящим рельсом, с данными аналитического решения показало, что разработанные алгоритмы позволяют получать высокоточные решения. Путем сравнения результатов расчета тяговых характеристик ОЛАД с экспериментальными данными, полученными автором, доказано, что разработанный ЧПК обеспечивает требуемый уровень погрешности в случае расчета плоскопараллельных электромагнитных полей. Сравнение результатов расчета характеристик броневого электромагнита с экспериментальными данными, показало, что разработанный ЧПК обеспечивает требуемый уровень погрешности при расчете плоскомеридианных электромагнитных полей.

В пятом разделе описана двухфазная методика оптимального проектирования ЭМУ, предполагающая использование на первой фазе метода магнитных цепей (ЧПК SESAM 2003) для решения задачи глобальной оптимизации. Найденное решение используется в качестве первого приближения оптимального набора параметров при решении задачи локальной оптимизации на второй фазе процесса автоматизированного оптимального проектирования с использованием разработанного ЧПК MAGiC. Построены и реализованы алгоритмы локальной оптимизации, основанные на модификации квазиньютоновского метода и применении для вычисления значения критерия оптимизации основанных на разработанных алгоритмах КМКиГЭ программных модулей. Предложенная методика проверена на модельной задаче разработки оптимальной конструкции быстродействующего электромагнита, обеспечивающей минимальное время срабатывания. После проверки разработанных на основе методов локальной оптимизации программных модулей на этой задаче была решена более сложная задача нахождения оптимальных геометрических параметров ОЛАД, разрабатываемого на кафедре мехатроники ТУ г. Ильменау, обеспечивающих максимальное среднее тяговое усилие на единицу длины индуктора при заданном токе в обмотках.

В приложения вынесены вспомогательные доказательства некоторых положений, используемых при разработке модификаций КМКиГЭ, характеристики используемых в экспериментах и расчетах материалов, данные экспериментальных и численных исследований ОЛАД, а также аналитическое решение модельной задачи методом интегральных преобразований Фурье.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Тихонов, Дмитрий Юрьевич

5.6. Выводы

В данном разделе рассмотрена двухфазная методика проектирования ЭМУ с оптимальными геометрическими параметрами. Результаты проведенных исследований позволяют сформулировать следующие основные выводы:

1. Разработана методика двухфазного проектирования, предполагающая использование на первой фазе проектирования основанного на ММЦ программного комплекса SESAM 2003 и применение на второй фазе разработанного ЧПК MAGiC. Использование предложенной двухфазной методики, а также высокоэффективных программных модулей, основанных на разработанных модификациях КМКиГЭ, позволяет ускорить процесс автоматизированного оптимального проектирования ЭМУ, повысить точность оптимизационных расчетов.

2. В результате анализ большого числа методов оптимизации выбран наиболее подходящий для рассматриваемого класса задач квазиньютоновский метод локальной оптимизации, модифицированный с учетом особенностей рассматриваемых задач.

3. С использованием разработанной методики и созданных программных модулей выполнено решение двух задач проектирования ЭМУ с оптимальными геометрическими параметрами. Результаты подтвердили работоспособность и эффективность предложенной методики двухфазного проектирования и разработанных программных модулей.

Заключение

Диссертационная работа посвящена разработке и численной реализации обобщенной технологии применения КМКиГЭ для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных, стационарных и нестационарных ЭМП. Основной особенностью разработанной технологии является возможность создания на ее основе высокоточных вычислительных моделей минимальной размерности, которые в силу высокой эффективности могут быть успешно использованы в качестве решателей в программных комплексах для моделирования электромагнитных процессов, применяемых для решения многовариантных задач анализа (моделирование нестационарных режимов, параметрические расчеты) и синтеза (задачи автоматизированного оптимального проектирования ЭМУ). Одним из основных результатов диссертационной работы является создание такого программного комплекса. Особое внимание при его разработке было уделено созданию эффективных вычислительных схем реализации разработанных модификаций КМКиГЭ с использованием широкого спектра методов вычислительной математики, разработке и реализации адаптивных алгоритмов выбора наилучших численных реализаций используемых методов. Созданный в результате программный комплекс имеет расширенные функциональные возможности по сравнению с известными аналогами (ЧПК Maxwell, PC Opera, FEMM и др.), обеспечивая возможность решения как задач расчета ЭМУ в стационарной постановке, так и многовариантных задач расчета нестационарных режимов, а также задач автоматизированного оптимального проектирования ЭМУ. Его отличительной особенностью является более высокий уровень экономии вычислительных ресурсов, чем у существующих ЧПК, основанных на МКЭ, что подтверждено результатами численных экспериментов. В диссертационной работе получены следующие основные научные результаты.

1. Обоснована необходимость разработки новых, основанных на комбинированных методах, высокоэффективных алгоритмов решения многовариантных задач моделирования ЭМУ (задачи расчета нестационарных режимов ЭМУ, параметрическая оптимизация конструкции ЭМУ) и создания на их основе программных комплексов, более экономичных, чем существующие аналоги, в смысле требуемых для решения задач вычислительных ресурсов при сохранении необходимого уровня точности расчетов.

2. Разработана обобщенная методика применения КМКиГЭ для расчета нестационарных плоскопараллельных и плоскомеридианных электромагнитных полей с учетом вихревых токов и движения элементов ЭМУ. На основе разработанных модификации КМКиГЭ, методов вычислительной математики, а также новых, оригинальных решений созданы высокоэффективные вычислительные алгоритмы, имеющие адаптивный характер. Разработанные алгоритмы реализованы в виде программных модулей, которые использованы в качестве решателей в созданном на кафедре «Прикладная математика» ЧПК MAGiC. Проведенное сравнение результатов расчетов при помощи созданного программного комплекса с одним из наиболее известных и применяемых на практике ЧПК Maxwell на примере решения нестационарных задач моделирования ЭМУ как в плоскопараллельной, так и в плоскомеридианной постановке показало, что разработанные решатели обеспечивают более высокий уровень экономии вычислительных ресурсов при обеспечении той же точности расчетов. При решении задачи моделирования движения линейного двигателя с постоянными магнитами (плоскопараллельный случай) преимущество ЧПК MAGiC во времени решения составило 28.9%, а в требуемом объеме оперативной памяти — 42%. При решении нестационарной задачи в плоскомеридианной постановке (моделирование процесса притяжения якоря броневого электромагнита) преимущество над ЧПК Maxwell во времени решения составило 31.8% при на 48% меньшем требуемом объеме оперативной памяти ЭВМ. Достигнутое преимущество во времени решения в среднем на 30% окажется особенно заметным в задачах, решение которых может потребовать десятков часов (многовариантные расчеты). скопараллельных и плоскомеридианных магнитных полей. Для их решения разработаны специальные модификации КМКиГЭ, имеющие итерационный характер. На их основе разработаны вычислительные схемы, в которых использован метод релаксации, обеспечивающий улучшение сходимости. В диссертационной работе исследована сходимость полученных вычислительных схем и выведена формула для динамического вычисления параметра релаксации, обеспечивающая оптимальную скорость сходимости вычислительного процесса. Созданные на основе разработанных вычислительных схем программные модули включены в качестве решателей в ЧПК MAGiC. В результате создан эффективный инструментарий для моделирования стационарных магнитных полей, обеспечивающий значительную экономию вычислительных ресурсов, что проиллюстрировано на примере сравнения ЧПК MAGiC с известными аналогами (ЧПК Maxwell, FEMM) при решении задач расчета стационарного магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами (плоскопараллельный случай) и броневого электромагнита (плоскомеридианный случай). В плоскопараллельном случае преимущество программного комплекса MAGiC во времени решения при сопоставимой точности расчетов над ЧПК FEMM составило 43.9%, а над ЧПК Maxwell — 25.7%. При расчете плоскомеридианного магнитного поля решение при помощи ЧПК MAGiC было получено на 40.8% быстрее, чем при использовании ЧПК FEMM, и на 19.7%, чем при применении ЧПК Maxwell. Более высокая эффективность ЧПК MAGiC в статических задачах говорит в пользу применения именно этого программного комплекса при многовариантных расчетах (например, задачи автоматизированного оптимального проектирования в стационарной постановке), когда время решения может быть сравнительно велико.

4. Достоверность и точность моделирования ЭМУ при помощи разработанного ЧПК MAGiC подтверждена сравнением результатов расчета с аналитическим решением модельной задачи, а также с данными экспериментальных исследований. Тестирование ЧПК MAGiC на нестационарных задачах, допускающих плоскопараллельную постановку, было проведено путем расчета ОЛАД, разрабатываемого на кафедре мехатроники ТУ Ильменау. Относительная погрешность численных расчетов по сравнению с экспериментом при вариации геометрических параметров (толщина проводящего слоя) и характеристик источников (плотность тока в обмотках) в основном лежала в окрестности 5%. Проверка достоверности результатов, получаемых с помощью ЧПК MAGiC для задач, допускающих плоскомеридианную постановку, была выполнена на примере исследования броневого электромагнита. Относительная погрешность численных расчетов по сравнению с экспериментом при различной силе тока в обмотке в большинстве случаев не превышала 5%. Проведенные исследования показали, что ЧПК MAGiC является не только экономичным в смысле требуемых для решения вычислительных ресурсов, но и обеспечивает высокую точность моделирования.

5. Обоснована необходимость использования двухфазных методик при автоматизированном оптимальном проектировании ЭМУ. Предложена методика двухфазного проектирования ЭМУ, предполагающая использование для первой фазы процесса оптимального проектирования метода магнитных цепей (ЧПК SESAM, кафедра мехатроники ТУ Ильменау) и для второй фазы — разработанного ЧПК MAGiC. На основе разработанных решателей (ЧПК MAGiC) и адаптированной к особенностям решаемых задач вычислительной схемы выбранного метода локальной оптимизации (модификация квазиньютоновского метода) создан программный модуль для проведения локальной оптимизации, эффективно реализующий решение задачи автоматизированного проектирования конструкции ЭМУ на второй фазе.

6. Разработанный программный комплекс MAGiC использован для решения практических задач проектирования ОЛАД в лаборатории мехатроники ТУ Ильменау, а также используется в учебном процессе и в исследовательских целях на кафедре «Прикладная математика» ЮРГТУ(НПИ).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тихонов, Дмитрий Юрьевич, 2005 год

1. Тихонов, Д. Ю. Комбинированный метод расчета нестационарных плоскопараллельных электромагнитных полей / Д. Ю. Тихонов, А. Н. Ткачев, Й. Центнер // Известия вузов. Электромеханика. — 2002. — № 4. С. 39-48.

2. Tikhonov, D. Algorithm for Simulation of Electro-magnetic Processes Using Combined Finite and Boundary Elements Method. // ICM: International Conference on Magnetics.— Rome, Italy: July 27 August 1, 2003.— Pp. 272-276.

3. Tikhonov, D. Algorithm for Simulation of Electro-magnetic Processes Using Combined Finite and Boundary Elements Method. / D. Tikhonov, A. Tkatschow, J. Zentner // МММ:Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2004. — Pp. 662-664.

4. Бинс, К. Анализ и расчет электрических и магнитных полей / К. Вине, П. Лауренсон. — М.: Энергия, 1970.— 376 с.

5. Никитенко, А. Г. Расчет электромагнитных механизмов на вычислительных машинах / А. Г. Никитенко, И. И. Пеккер. — М.: Энергоатом-издат, 1985.-216 с.

6. Никитенко, А. Г. Автоматизированное проектирование электрических аппаратов / А. Г. Никитенко. — М.: Высшая школа, 1983,— 192 с.

7. Щуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: практическое руководство. Пер. с англ. / Т. Щуп. — М.: Мир, 1982. — 238 с.

8. Демирчян, К. С. Машинные расчеты электромагнитных полей / К. С. Демирчян, В. JI. Чечурин. — М.: Высшая школа, 1986.— 240 с.

9. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — М.: Наука, 1977. — 557 с.

10. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. — М.: Наука, 1980. —536 с.

11. Сильвестр, П. Метод конечных элементов для радио-инженеров и инженеров-электриков: пер. с англ. / П. Сильвестр, Р. Феррари. — М.: Мир, 1986. 229 с.

12. Зенкевич, О. С. Метод конечных элементов в технике / О. С. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. — 255 с.

13. Бахвалов, Ю. А. Бесконеные и конечные элементы для расчета осесим-метричных электрических и магнитных полей «открытых» систем / Ю. А. Бахвалов, А. И. Бондаренко, И. И. Бондаренко // Изв. вузов. Электромеханика, — 1991.— № 6.— С. 29-32.

14. Гринберг, Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Г. А. Гринберг. — М.: Из-во АН СССР, 1948.-727 с.

15. Тозони, О. В. Расчет трехмерных электромагнитных полей / О. В. То-зони, И. Д. Маергойз. — К.: Техшка, 1974. — 352 с.

16. Тозони, О. В. Метод вторичных источников в электротехнике / О. В. Тозони. М.: Энергия, 1975. — 295 с.

17. Пеккер, И. И. Расчет магнитных систем путем интегрирования по источникам поля / И. И. Пеккер // Изв. вузов. Электромеханика.— 1969. — № 6.-С. 618-623.

18. Курбатов, П. А. Численный расчет электромагнитных полей / П. А. Курбатов, С. А. Аринчин. — М.: Энергоатомиздат, 1984.— 168 с.

19. Громадка, П. Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: пер. с англ. / П. Т. Громадка, . Лей. — М.: Мир, 1990. — 303 с.

20. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1973.— 736 с.

21. Клименко, В. В. Модифицированный комплексный метод граничных элементов для расчета квазистатических электрических и магнитных полей: Дис. канд. техн. наук / НГТУ. — Новочеркасск, 1998. — 203 с.

22. Бреббиа, К. Применение метода граничных элементов в технике / К. Бреббиа, С. Уокер. — М.: Мир, 1983. — 428 с.

23. Бреббиа, К. Методы граничных элементов / К. Бреббиа, Ж. Теллес, Л. Вроубелл. М.: Мир, 1987. — 527 с.

24. Тозони, О. В. Расчет трехмерных электромагнитных полей / О. В. То-зони, И. Д. Маергойз. — К.: Технша, 1974. — 352 с.

25. Kurz, S. Die numerische Behandlung elektromagnetischer Systeme mit Hilfe der Kopplung der Methode der finiten Elemente und der Randelementmethode / S. Kurz.— Diisseldorf: VDI Verlag Diisseldorf, 1998.-- 182 S.

26. Ковалев, О. Ф. Комбинированные методы моделирования магнитных полей в электромагнитных устройствах / О. Ф. Ковалев. — Ростов н/Д.: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. 220 с.

27. Электромагнитные механизмы: анализ и синтез / Ю. А. Никитенко, Ю. А. Бахвалов, Н. И. Горбатенко, А. Г. Никитенко. — М.: Высшая школа, 1998. — 330 с.

28. Hunter, P. FEM/BEM Notes / P. Hunter, A. Pullan. — The University of Auckland. New Zeland: Department of Engineering Science, 1997.— 168 S.

29. Ковалев, О. Ф. Комбинированные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах: Дис. докт. техн. наук: 05.13.18, 05.13.05 / ЮРГТУ(НПИ). Новочеркасск, 2001. -423 с.

30. Ткачев, А. Я. Комбинированные методы моделирования квазистационарного электромагнитного поля в нелинейных анизотропных ферромагнитных средах: Дис. докт. техн. наук. / НГТУ. — Новочеркасск, 1998.-491 с.

31. Paweletz, A. Oszillatorischer Betrieb eines direkt angetriebenen magnetoelektrischen Linearaktuators // Innovative Klein- und Mikroantriebstechnik.Vortrage der ETG-/GMM-Fachtagung am 3.-4. Marz 2004. Darmstadt: TU Darmstadt, 2004.- S. 83-89.

32. Шимони, К. Теоретическая электротехника / К. Шимони. — М.: Мир, 1964.-775 с.

33. Павленко, А. В. Компьютерное моделирование нестационарных режимов в электромагнитных механизмах: Дис. докт. техн. наук: 05.13.16 / ЮРГТУ(НПИ).- Новочеркасск, 1999.-380 с.

34. Абрамкин, Ю. В. Теория и расчет пондеромоторных и электродвижущих сил и преобразования энергии в электромагнитном поле / Ю. В. Абрамкин. М.: Изд-во МЭИ, 1997.-208 с.

35. Тамм, И. Е. Основы теории электричества / И. Е. Тамм. — М.: Наука, 1976.-616 с.

36. Колесников, Э. В. Квазистационарные электромагнитные поля в системах с однонаправленным полем тока / Э. В. Колесников // Известия вузов. Электромеханика. — 1970.— № 12.— С. 1294-1308.

37. Колесников, Э. В. Переходные режимы магнитопроводов / Э. В. Колесников // Известия вузов. Электромеханика. — 1967.— № 7. — С. 767783.

38. Колесников, Э. В. Квазистационарные магнитные поля в осесиммет-ричных системах с кольцевым полем тока / Э. В. Колесников // Известия вузов. Электромеханика. — 1971.— № 1.— С. 3-12.

39. Попов, П. Г. Анализ электромагнитных устройств с индуктивными связями методом конечных элементов / П. Г. Попов, Ю. А. Шумилов // Электричество. — 1978.— № 11. — С. 43-47.

40. Meeker, D. Finite Element Method Magnetics / D. Meeker.— Waltham: Foster-Miller, Inc., 2002.-- 77 p.

41. Матвеев, A. H. Электростатичество и магнетизм: учеб. пособие / А. Н. Матвеев. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.

42. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов: пер. с англ. к. физ.-мат. наук Г.В. Демидова / Д. Норри, Ж. де Фриз. — М.: Мир, 1981. — 304 с.

43. Thomee, V. Galerkin finite element methods for parabolic problems / V. Thomee. Berlin: Springer Verlag, 1997.-- 302 S.

44. Кислицин, А. А. Расчет магнитных полей электрических машин методом конечных элементов / А. А. Кислицин, А. М. Крицштейн, Н. И. Солнышкин. — Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1980.-576 с.

45. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — М.: Наука, 1970. — 576 с.

46. Kurz, S. An improved algorithm for the bem-fem-coupling method using domain decomposition / S. Kurz, J. Fetzer, G. Lehner // IEEE Transactions on magnetics. — 1995. —Vol. 31, no. 3.— Pp. 1737-1741.

47. Fetzer, J. Die Losung statischer und quasistationarer elektromagnetischer Feldprobleme mit Hilfe der Kopplung der Methode der finiten Elemente und der Randelemente Methode / J. Fetzer.— Diisseldorf: VDI Verlag, 1996.-- 196 S.

48. Bader, G. Domain decomposition methoden fiir gemischte ellptische randwertprobleme / G. Bader // Archiv fiir Elektrotechnik. — 1990.— Vol. 74.-Pp. 145-158.

49. Бахвалов, H. С. Численные методы / H. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — М.: Наука, 1987.-600 с.

50. Deuflhard, P. Numerische Mathematik / P. Deuflhard, A. Hohmann. — Berlin: de Gruyter, 1991.

51. Dhatt, G. The finite element method displayed / G. Dhatt, G. Touzot; Ed. by G. Cantin. — Chichester: John Wiley, 1984.-- 509 p.

52. Taylor, M. E. Partial differential equations / M. E. Taylor. — New York:- Springer, 1996.-- 608 p.

53. Shen, J. Preconditionediterative solvers for complex and unsymmetric systems of equations resulting from the hybrid FE-BE method / J. Shen, T. Hybler, A. Kost // IEEE Transactions on magnetics. — 1997. — Vol. 33, no. 2.-Pp. 1764-1767.

54. Sonneveld, P. Cgs: a fast lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems / P. Sonneveld // SI AM Journal on Scientific and Statistic Computing.- 1989. — Vol. 10. — Pp. 36-52.

55. Ортега, Д. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем: пер. с англ. / Д. Ортега, — М.: Мир, 1991. — 367 с.

56. MathWorks, Т. Partial Differential Equation Toolbox User^s Guide / T. MathWorks. — Natick: The MathWorks, Inc., 1996.-- 284 p.

57. William, H. Numerical recipes in С++ : the art of scientific computing / H. William. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002.-- 1002 p.

58. Morse, P. Methods of theoretical physics / P. Morse, H. Feshbach. — New York: McGraw Hill Publ. Co., 1996.-- 862 p.

59. Терзян, А. А. Автоматизированное проектирование электрических машин / А. А. Терзян. — М.: Энергоатомиздат, 1983.— 256 с.

60. Астахов, В. И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике / В. И. Астахов. — Новочеркасск: НГТУ, 1994. — 192 с.

61. Verein Deutscher Ingenieure: Entwicklungsmethodik fur mechatronische Systeme: Entwurf VDI 2206. Dusseldorf: VDI, 2003.-68 S.

62. Проектирование электрических машин / И. П. Копылов, Б. К. Клоков,

63. B. П. Морозкин, Б. Ф. Токарев; Под ред. И. П. Копылов. — М.: Высшая школа, 2002. 757 с.

64. Веселовский, О. Н. Линейные асинхронные двигатели / О. Н. Веселов-ский, А. Ю. Коняев, Ф. Н. Сарапулов.— М.: Энергоатомиздат, 1991. — 256 с.

65. Laithwaite, Е. Induction Machines for Special Purposes / E. Laithwaite. — New York: Chemical Publishing Co., 1966.

66. Vogt, K. Elektrische Maschinen: Berechnung rotierender elektrischer Maschinen / K. Vogt. — Berlin: Verlag Technik, 1991. — 506 S.

67. Жак, С. В. Оптимизация проектных решений в машиностроении /

68. C. В. Жак. — Ростов н/Д.: Изд-во Ростовского ун-та, 1985.— 129 с.

69. Software that Supports the Design Process of Electromagnetic Actuators / E. Kallenbach, O. Birli, K. Feindt, T. Strohla // Actuator 2002. — Bremen, 2002.

70. Strohla, T. Ein Beitrag zur Simulation und zum Entwurf von elektromagnetischen Systemen mit Hilfe der Netzwerkmethode: Dissertation / TU Umenau. — Ilmenau, 2002.

71. Schweer, J. Berechnung kleiner Wechselstrom-Ventilmagnete mit massivem Eisenkreis: Dissertation / Universitat Hannover. — Hannover, 1997.

72. Modellbasierte Optimierung mit mathematischen Methoden ein Vergleich von klassischen und evolutionaren Verfahren. // 7.GMM-WS Methoden und erkzeuge zum Entwurf von Mikrosystemen. — Paderborn: TU Paderborn, 21.-22. Jan. 1999.

73. Papageorgiou, M. Optimierung: statische, dynamische, stochastische Verfahren fur die Anwendung / M. Papageorgiou. — Miinchen: Oldenburg Verlag GmbH, 1996.-611 S.

74. Галл, Ф. Практическая оптимизация: Пер. с англ. / Ф. Гилл, У. Мюр-рей. — М.: Мир, 1985. — 509 с.

75. Гилл, Ф. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ. / Ф. Гилл, У. Мюррей. — М.: Мир, 1988.-440 с.

76. Evtushenko, Y. G. Numerical optimization techniques / Y. G. Evtushenko. — New York: Optimization Software Inc., Publication Division, 1985. — 600 p.

77. Feindt, K. Untersuchungen zum Entwurf von Elektromagneten unter Beriicksichtigung dynamischer Kenngrofien: Dissertation / TU Ilmenau. — Ilmenau, 2003.

78. ЧПК MAGiC для моделирования и проектирования ЭМУ

79. Решатель I плоскопараллельных задач Решатель осесимметричных задач Модуль оптимизации1. Препроцессор1.геометрическая модель ЭМУ I1. Менеджер проектов1. Модуль «Свойства»задание свойств материалов | и граничных условий1

80. Рис. 1. Общая структура ЧПК MAGiC

81. Рис. 2. Препроцессор ЧПК MAGiCt \M<M/K' M>ni \|ifil.*j|1. Fie Ed) node Unfct Шрlilfn-a*! -«- — Лям1. None delrtetf ' BlocM1. HMftlit1. RO fOPFE a ROTOFU1R II12no1. С LnMr1. Г M»*"

82. Рис. 3. Модуль задания свойств ЧПК MAGiC

83. Менеджер проектов анализирует геометрическую модель и передает в модуль задания свойств (рис. 3) имена элементов и граничных условий, для которых затем пользователь задает необходимые характеристики.

84. Рис. 4. Постпроцессор ЧПК MAGiC

85. Вычисление коэффициентов матриц при численной реализации1. КМКиГЭ

86. Расчет коэффициентов матриц систем уравнений, появляющихся при численной реализации МКЭ для расчета плоскопараллельных магнитных полей.

87. Аналогично, с использованием приведенных выше формул вычисляются интегралы для получения констант cp(tn-1), вкладов в элементы свободного члена от источников поля и от значений векторного потенциала Ап~1 на временном слое tn-1.

88. Pi(M) In-dFM = ~ 4>i(ri) In-dr. = ^ V Wkfim)rMNk 2 J rMNk 2 ^1. Г, — 1

89. Расчет коэффициентов матриц систем уравнений, появляющихся при численной реализации МКЭ для расчета плоскомеридианных магнитных полей.

90. Линеаризованная система уравнений МКЭ для области в общем виде на временном слое tn выглядит следующим образом:

91. Интегралы от функции 1/г в этом равенстве вычислены аналитически.

92. Ъ = 5> // Л4^*1=1> // Л Мч<« =nj * nj1. Ц & = mes(n'), k:i,je П*3 *1. Ц k ( 1/12, A; ф г

93. При вычислении коэффициентов Tf • приходим к интегралам следу1,3ющего вида:1т = ±-( —йТц. (3)1. J ГмП

94. Расчет коэффициентов матриц СЛАУ, появляющихся при численной реализации МГЭ для расчета плоскомеридианных магнитных полей.

95. Для численного вычисления интегралов была использована логарифмическая гауссова квадратура 10 порядка.

96. Исследование сходимости МДО

97. Введем следующие обозначения:т = WKtoi), L2 = 12(ГМКЭ) Ь2(Гмгэ) = L2(Г),где И^1^) — пространства Соболева, которым должно принадлежать решение исходной задачи; L2(Г) — пространство Лебега.

98. В стационарном случае задача для векторного потенциала в областях Qi, обобщенно может быть записана в операторной форме:где L — дифференциальный оператор эллиптического типа.

99. Пусть В,- : Wi —> L2 : В,-Д- = Д-|г. Тогда алгоритм МДО в общем виде может быть представлен, как показано на рис. 1.1. Рис. 1. Алгоритм МДО

100. Пусть А\ и Л2 — точные решения задач (1) и (2). Вычтем их из обеих частей равенства (3). Учитывая, что (pk+1 = Bi.aJ+1, где А{ = А\ — Д-,перепишем выражение (3) в следующем виде, справедливом в Г2:

101. BiA\+1 = ЩА\ и (BiА\ - В2А2) . Перейдем в этом равенстве к нормам (||/||^2 = (/, /)i2)-"—гк+1 2 ИТ» Л k1. Bi Ai l2 ~ Bi^j2l2- 2и (в^, ВЙ1 В2Л2) + ш2 BiAl - В2А2

102. Введем следующие обозначения:qb = (v2VAk2) . П2 = (ViV^f) . n2, qk = gk- g,где д соответствует точному решению задач (1) и (2).

103. Введем операторы Q, г = 1,2, которые преобразуют условия Неймана в условия Дирихле на границе Г и работают в областях и по правилам1. Cig = В1Л1 =>q = С^ВхЛх,1. В2Л2 = -С2д = -ОзС^ВхЛь

104. Тогда Сi — оператор, работающий по правилу В{А{ = QAj. Имеем следующую цепочку равенств:hAll2hA,к+12