Математическое моделирование спиновой динамики массивных нейтральных дираковских частиц в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Кумпяк, Дмитрий Евгеньевич

• Кумпяк, Дмитрий Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кумпяк, Дмитрий Евгеньевич

Введение.

Глава 1. Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени.

§1.1 Основные геометрические аспекты общей теории относительности.

1.1.1 Ковариантное дифференцирование и тензор кривизны

1.1.2 Метрическая связность без кручения.

1.1.3 Геометрическая формулировка основных постулатов ОТО.

1.1.4 Тетрадный формализм.

Коэффициенты вращения Риччи.

1.1.5 Метрика в форме Керра-Шилда.

1.1.6 Аксиально симметричная стационарная метрика Керра как пример мерики в форме Керра-Шилда.

§1.2 Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени.

1.2.1 Алгебры Клиффорда.

1.2.2 Спинорная группа.

1.2.3 Спиноры и оператор Дирака.

Уравнение Дирака в проекциях на произвольную тетраду.

§1.3 Волновые пакеты.

Глава 2. Общая теория спиновых явлений в искривленном пространстве-времени.

§2.1 Общая теория спина.

§2.2 Теория спина на основе уравнения Дирака.

Оператор киральности.

§2.3 Построение действительной ортогональной тетрады и вычисление коэффициентов Фока-Иваненко для метрики в форме Керра-Шилда.

2.3.1 Построение действительной ортогональной тетрады для метрики в форме Керра-Шилда.

2.3.2 Вычисление коэффициентов Фока-Иваненко для построенной в предыдущем пункте тетрады.

Глава 3. Теория мультипликативного интеграла.

§3.1 Мультипликативный интеграл. Ряд Пеано.

§3.2 Вычислительные схемы на основе разложения Пеано для приближенного построения мультипликативного интеграла.

3.2.1 Асимптотическое разложение мультипликативного интеграла на отрезке + Н] "малой" длины к.

3.2.2 Оценка глобальной погрешности.

3.2.3 Вычислительные схемы для построения мультипликативного интеграла в случае, когда члены ряда Пеано вычисляются приближенно.

3.2.4 Вычислительная схема, построенная без использования разложения Пеано.

Глава 4. Решение уравнения Дирака в форме волнового пакета в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.

§4.1 Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для точечной массы, движущейся в гравитационном поле Керра.

4.1.1 Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

4.1.2 Движение в экваториальной плоскости и радиальное движение.

§4.2 Решение уравнения Дирака в форме волнового пакета для случая метрики в форме Керра-Шилда.

Границы применимости изучаемой модели.

4.2.1 Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.

4.2.2 Построение волнового пакета.

4.2.3 Оценка скорости расплывания волнового пакета.

§4.3 Система уравнений, описывающая эволюцию спинорных амплитуд массивной нейтральной дираковской частицы, движущейся в пространстве-времени Керра-Шилда.

4.3.1 Итерационная процедура построения решения.

4.3.2 Система уравнений, описывающая спиновые переходы

§4.4 Результаты численных расчетов.

§4.5 Случай слабоискривленного пространства-времени с геометрией достаточно общего вида.

4.5.1 Выбор тетрады.

4.5.2 Решение в виде волнового пакета. Система уравнений, описывающая эволюцию спинорных амплитуд.

4.5.3 Итерационная процедура построения решения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование спиновой динамики массивных нейтральных дираковских частиц в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда»

Значение математического моделирования при изучении тех астрофизических процессов, получение экспериментальной информации о которых весьма затруднительно, чрезвычайно велико.

Особую роль в реальных астрофизических явлениях играют нейтринные процессы в сильных гравитационных полях. Вместе с тем, остается малоизученной спиновая динамика массивных нейтрино, движущихся в искривленном пространстве-времени. Существенной чертой подобных процессов является то обстоятельство, что проведение экспериментальных исследований крайне затруднено, либо в настоящее время технически невыполнимо. Следовательно, не вызывает сомнения необходимость применения математического моделирования для изучения поведения спиральности массивных нейтральных дираковских частиц с учетом заметной искривленности пространства-времени.

Настоящая диссертация посвящена разработке и исследованию математической модели, описывающей спиновую динамику массивного нейтрино, движущегося в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда.

Нейтрино — электрически нейтральная элементарная частица со спином 1/2 (в единицах постоянной Планка К). В настоящее время известно, что нейтрино не совпадает со своей античастицей и что существуют электронные и мюонные нейтрино (и антинейтрино). Нейтрино относятся к группе лёгких элементарных частиц — лептонов и участвуют в характерных для этой группы процессах слабого взаимодействия [1, 2]. Существует несколько типов нейтрино, каждый из которых соответствует определенному заряженному лептону и имеет с ним одинаковые, сохраняющиеся во взаимодействиях лептонные заряды: электронное нейтрино (ре) соответствует электрону (е~~) и имеет электронный лептонный заряд Ье = 1 и мюонный лептонный заряд Ь^ = 0; мюонное нейтрино (уу) соответствует мюону (//") и имеет Ье = 0, Ь^ — 1; предполагают существование нейтрино (Уг), соответствующего тяжелому лептону (т~). Каждый тип нейтрино имеет свою античастицу (антинейтрино) с противоположным по знаку лептонным зарядом и спиральностью.

Гипотеза о существовании нейтрино была высказана В. Паули в 1931 г., но только в середине 50-ых годов нейтрино удалось зарегистрировать вблизи ядерных реакторов. Экспериментальные данные подтверждают представление о нейтрино как о стабильной частице, имеющей определенную спиралъностъ (А) — проекцию спина на направление импульса [3, 4, 5, 6]. Вопрос о наличии у нейтрино массы покоя в настоящее время большинство исследователей решает в положительную сторону, экспериментальные данные указывают на наличие у нейтрино массы ти < 30 эВ [7, 8, 9, 10].

Нейтрино, как и всякая частица со спином 1/2 описывается релятивистским волновым уравнением Дирака [11, 12, 3, 13, 14, 15, 16], решением которого является четырехкомпонентая спинорная волновая функция [17, 18], и имеет четыре состояния, соответствующие четырем линейно независимым решениям: два со спиральностью Л — —1/2 — "левое" ("левовинтовое") нейтрино и "левое" антинейтрино VI и два с Л = +1/2 — "правое" ("право-винтовое") нейтрино и "правое" антинейтрино Т7ц. Экспериментально наблюдались только "левовинтовые" нейтрино. В 1957 году Л.Д. Ландау и независимо от него А. Салам [19, 20, 21] построили двухкомпонентную теорию спирального нейтрино, в которой нейтрино имеет только два состояния: либо г/£ и либо vr и vl, т.е. нейтрино и антинейтрино имеют противоположные значения спиральности. Для спирального двухкомпонент-ного нейтрино операция пространственной инверсии (изменение ориентации системы координат) и операция зарядового сопряжения (переход от частицы к античастице) каждая в отдельности не имеет физического смысла, т.к. переводит реальное нейтрино в нефизическое состояние с неправильной спиральностью. Физический смысл имеет только произведение этих операций — т.н. комбинированная инверсия, превращающая реальное нейтрино ui (vr) в реальное антинейтрино 77й (vl) с противоположной спиральностью. Еще в 1929 г. Г. Вейль предложил уравнение, описывающее двухкомпонентный безмассовый фермион с определенной спиральностью. Идея Вейля в то время была отвергнута из-за противоречия с требованием сохранения зеркальной симметрии (четности), а уравнение Вейля было забыто.

Согласно современным космологическим представлениям нейтрино — одна из самых распространенных частиц во Вселенной. Теория горячей Вселенной предсказывает [22, 23, 24] наличие в современной Вселенной фона реликтовых нейтрино со средней плотностью Nv = 150см-3, где Nv — число сортов нейтрино. По распространенности нейтрино лишь немного уступают фотонам, но их приблизительно в миллиард раз больше, чем протонов и электронов [25, 8].

Отличительное свойство нейтрино, определяющее их роль в природе, — крайне высокая проникающая способность. Звёзды и другие космические объекты прозрачны для нейтрино [26, 27]. Поэтому нейтрино, рождающиеся внутри звёзд даже в малом количестве по сравнению с фотонами, могут уносить наружу много энергии. При звёздных взрывах типа вспышек Сверхновых звёзд и космических взрывах ещё большего масштаба нейтрино могут уносить уже значительную долю выделившейся энергии. Выяснение условий, при которых звезда становится непрозрачной для нейтрино и вспыхивает как Сверхновая, принадлежит к важным задачам нейтринной астрономии [25].

В природе существуют нейтрино со значениями энергий (Ev) в огромном интервале [1, 2]: от реликтовых нейтрино с Ev ~ Ю-4 эВ, заполняющих, согласно модели горячей Вселенной, все космическое пространство, до нейтрино, рождаемых в соударениях космических лучей с ядрами межзвездной среды и имеющих энергию вплоть до Ю20 эВ. В лабораторных условиях интенсивными источниками нейтрино (точнее, антинейтрино) низких энергий являются ядерные реакторы; потоки нейтрино более высоких энергий — до сотен ГэВ генерируются с помощью ускорителей заряженных частиц.

Предположение о наличии у нейтрино массы покоя проливает новый свет на давно изучаемую проблему формирования космических тел из однородного вещества ранней Вселенной [28, 29, 8, 30]. Подавляющее большинство космических нейтрино — космологического происхождения [26, 23, 22, 31, 32]. Они не испущены звездами или другими телами, а возникли вместе с протонами, электронами, нейтронами и другими частицами 15-18 миллиардов лет назад. При той массе покоя, которую сообщают экспериментаторы, и ввиду огромного преобладания по числу, нейтрино оказываются преобладающими приблизительно в десять раз и по полной массе над всеми другими частицами Вселенной. Ими определяется общее поле тяготения космической среды, их собственное взаимное притяжение заставляет нейтрино собираться в огромные по размеру и массе сгущения, а все остальные частицы (за исключением фотонов) следуют за нейтрино, увлекаемые гравитационным полем этих сгущений. Нейтрино принадлежит, таким образом, очень важная роль в космогонии галактик и скоплений.

Согласно теории, разработанной группой Я.Б. Зельдовича [23, 28, 24], последовательность событий в эпоху формирования галактик такова. Сначала формируются нейтринные сгущения с массой самых крупных скоплений или сверхскоплений галактик. Газ других частиц, захваченный этими сгущениями, сжимается и разогревается, потом наступает его охлаждение, а вслед за тем фрагментация наиболее плотных слоев на протоскопления и про-тогалактики. Сами же сверхскопления (т.е. системы, содержащие много галактик и целых скоплений) при этом не исчезают, а продолжают существовать, хотя они могут и не быть столь связанными и стационарными, как галактики и скопления. В ходе общей фрагментации среды нейтрино тоже испытывают скучива-ние, образуя нейтринные короны массивных галактик. В этой картине не все пока что разработано одинаково подробно. Наиболее хорошо изучена сейчас начальная стадия процесса, когда исходные неоднородности, охватывающие массы сверхскоплений, представляли собой слабые возмущения, усиливаемые гравитационной неустойчивостью.

В соответствии с данными о реликтовом излучении и сведениями о массе покоя нейтрино теоретики выделяют [33, 34] три различные эпохи в эволюции первичных догалактических возмущений. В первую, самую раннюю из них, длившуюся не более долей секунды от начала космологического расширения, нейтрино испытывали столкновения между собой и с другими частицами, обмениваясь энергией и импульсом благодаря слабому взаимодействию, и все частицы составляли вместе единую среду, находившуюся в термодинамическом равновесии; температура среды была так велика, что тепловые скорости всех частиц приближались к скорости света. Во вторую эпоху, длившуюся приблизительно сто тысяч лет, слабое взаимодействие уже несущественно из-за существенного снижения плотности и температуры среды в ходе ее общего расширения, нейтрино перестают сталкиваться и взаимодействовать между собой и с другими частицами, но остаются еще релятивистскими в том смысле, что скорости их тепловых движений сравнимы со скоростью света. Космическая среда в эту эпоху состоит из двух компонент, взаимодействующих только гравитационно, — из несталкивающихся нейтрино и смеси вещества с фотонами. В третью эпоху, длящуюся до сих пор, нейтринная компонента является уже нерелятивистской.

Если нейтрино имеют массу покоя, то они не могут быть равномерно распределены по Вселенной, а подобно всем частицам с массой покоя, должны сгущаться в образования того или иного масштаба под влиянием их взаимного гравитационного притяжения. Такие нейтринные скопления способны создать вокруг галактики обширное облако — т.н. нейтринную корону. В конце 70-ых годов астрономы получили довольно убедительные наблюдательные указания на то, что наша Галактика и другие крупные галактики обладают обширными коронами (пока не ясно — являются ли эти короны нейтринными), простирающимися далеко за пределы видимой звездной системы. Короны не излучают света, но заключенная в них масса превосходит, как полагают, полную массу звезд. Природа этой т.н. скрытой массы представляет собой одну из самых трудных загадок астрономии. Кроме того, предполагают, что стационарность и связанность в гипергалактиках, в скоплениях галактик достигаются также благодаря наличию в них скрытой массы. Одно из возможных решений этой проблемы — галактические короны это именно нейтринные скопления [23]. Нейтрино является замечательным кандидатом на роль носителя скрытой массы Вселенной, поскольку реликтовые нейтрино весьма обильны во Вселенной.

Ядерные процессы, приводящие к образованию нейтрино, происходят в недрах Земли и ее атмосфере, внутри Солнца и в звездах. Предполагается, что мощные потоки нейтрино генерируются при гравитационном коллапсе звездного ядра [34, 27] — катастрофически быстром сжатии звезды под действием сил тяготения после прекращения в ее ядре термоядерных реакций, поддерживающих гидростатическое и тепловое равновесие звезды. При коллапсе большая часть энергии гравитационной связи 1053 эрг) выделяется в конечном итоге в виде потока мюонных и электронных нейтрино, образующихся во время коллапса в результате ней-тронизации и теплового излучения [35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 27, 49, 50, 51]. Расчёты по проверке гипотезы универсального слабого взаимодействия в приминении к теории вспышек Сверхновых показывают [44, 45, 46, 47, 48], что на определённом этапе после вспышки должен включаться процесс быстрого охлаждения звезды. Этим процессом мог бы быть унос энергии нейтрино, рождёнными при аннигиляции элекгронно-позитронных пар. Это связано с тем, что испускание нейтрино происходит из самых горячих, внутренних областей звезды, обладая большими свободными пробегами, нейтрино могли бы ускорить потерю энергии такими звёздами [52]. Расчёты показали, что достаточно сильный поток нейтрино может получаться даже за счёт сочетания обычных/^-процессов распада ядер (т.н. урка-процесс [34]). Плазменный процесс испускания нейтрино заключающийся в распаде квантов электромагнитного излучения на пары нейтрино-антинейтрино даёт заметный поток нейтрино уже при сравнительно умеренных температурах. Существует гипотеза [27], по которой плазменный процесс испускания нейтрино играет существенную роль в конечных стадиях эволюции звёзд малой массы при переходе от красного гиганта к белому карлику: из расчётов эволюции, следует, что достаточная скорость превращения центральной звезды в белого карлика может быть достигнута только за счёт плазменного процесса испускания нейтрино.

Трудности в получении подробной экспериментальной информации о нейтринных астрофизических процессах проходящих в экстремальных физических условиях требуют построения математических моделей адекватно описывающих эти процессы. Тогда даже скудная экспериментальная информация позволит сделать важные заключения о характере поведения материи в этих условиях.

Характерной чертой описанных процессов является то обстоятельство, что они происходят в сильных гравитационных полях. Поэтому, для адекватного описания в подобных ситуациях влияния гравитационного поля на нейтрино необходимо учитывать эффекты ОТО, т.е. учитывать заметную искривленность пространства-времени. Следовательно, возникает необходимость в построении и исследовании математических моделей описывающих нейтринные процессы в искривленном пространстве-времени.

Поскольку нейтрино — объекты квантовой природы, то их точное описание возможно лишь на основе квантового релятивистского волнового уравнения Дирака [13]. В дополнение к этому, необходимо учитывать влияние на нейтрино внешнего гравитационного поля.

Впервые, уравнение, описывающее влияние гравитационного поля на нейтрино было предложено Д.Д. Иваненко и В.А. Фоком в 1929 г. [53]. Данное уравнение представляет собой обобщение классического лоренц-ковариантного уравнения Дирака на случай искривленного простраиства-времени.

Построение моделей астрофизических процессов на основе общековариантного обобщения уравнения Дирака — давно разработанное направление математической физики [14, 59, 99]. Однако, малоизученным остается такое явление как спиновая динамика массивных нейтральных дираковских частиц, движущихся в сильных гравитационных полях. Впервые математические модели поведения спиральности массивных нейтрино в релятивистском гравитационном поле были построены и изучались в работах В.П. Цветкова [97, 98]. Дальнейшее изучение указанной проблематики отражено в данной работе.

Целью настоящего диссертационного исследования является изучение роли массового члена общековариантного уравнения Дирака в спиновой динамике нейтрино. Заметим, что при классическом (т.е. не квантовом) описании спина [14] масса частицы явно не входит в уравнения, описывающие динамику спина: + = О, где 5м — компоненты вектора спина, ии — компоненты 4-скорости частицы, — коэффициенты римановой связности.

В данной работе мы ограничиваемся изучением движения массивного нейтрино в искривленном пространстве-времени с метрикой в форме Керра-Шилда, поскольку структура релятивистского гравитационного поля вдали от источника поля наиболее просто описывается метрикой данного вида. Несмотря на специальный вид этой метрики, основные черты решения сохраняются и в достаточно общем случае [90, 91].

В диссертации используется система единиц, в которой с = Гг — 1. Нумерация формул — двойная, первая цифра указывает номер главы.