Движение частиц вблизи черных дыр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Расулова, Анна Мурадовна

• Расулова, Анна Мурадовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Расулова, Анна Мурадовна

Содержание

Введение

Глава 1. Движение и взаимодействие частиц в искривлённом пространстве-времени

§1.1 Уравнение геодезических линий

§ 1.2 Уравнение девиации геодезических

§1.3 Метрики пространства вблизи черных дыр

1.3.1 Метрика Шварцшильда

1.3.2 Метрика Рейснера-Нордстрёма

1.3.3 Метрика Керра

Глава 2. Время движения частиц в искривлённых пространствах

§2.1 Свободное падение массивных частиц и фотонов на шварц-

шильдовскую черную дыру

§ 2.2 Свободное падение на заряженную черную дыру электронейтральной частицы

§ 2.3 Падение заряженной частицы в метрике

Рейсснера-Нордстрёма

§ 2.4 Экваториальные геодезические в метрике Керра

§ 2.5 Расчет времени прихода космических лучей от активных ядер

галактик

§ 2.6 Наблюдение прошлого в окрестности черной дыры

Глава 3. Приливные силы в поле черных дыр

§3.1 Приливные ускорения в метрике Шварцшильда

3.1.1 Радиальное падение

3.1.2 Движение частиц на круговых и спиральных орбитах 100 § 3.2 Приливные ускорения в метрике Керра

3.2.1 Движение частиц с радиальной скоростью

3.2.2 Движение частиц на сферических и спиральных орбитах

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение частиц вблизи черных дыр»

Введение

Современные экспериментальные открытия в области астрофизики возобновили интерес к Общей теории относительности (далее ОТО). В 2016 году обсерваторией LIGO (Laser Interferometer Gravitatinal-Wave Observatory) было объявлено об открытии гравитационных волн. Наблюдения гравитационных волн открывают широкий диапазон получения экспериментальных данных из непосредственной близости к горизонту. Несмотря на большое количество работ, посвященных теории черных дыр (далее ЧД), появляются все новые экспериментальные данные, которые требуют как доработок уже существующих моделей, так и создания новых. Незадолго до открытия гравитационных волн в июне 2012 на радиотелескопе CSIRO (Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation, Австралия) были открыты ЧД средних масс ( M ~ 101 - 103Mq ). Механизмы возникновения ЧД средних масс пока не известны, но именно после их слияния была зарегистрирована первая гравитационная волна.

Актуальность исследования движения и гравитационного взаимодействия частиц в искривленном пространстве-времени связана как с теоретическим интересом к разработке методов расчета в ОТО, так и с интересом к объяснению астрофизических экспериментальных данных при наблюдении ядер галактик (далее ЯГ), космических лучей сверхвысоких энергий, генерацией гамма-всплесков и некоторых видов рентгеновского и радиоизлучения.

В частности, актуальность работы призвана опровергнуть заблуждения, попадающиеся в научной и научно-популярной литературе, где встречается фраза, что при падении на горизонт событий ЧД можно увидеть бесконечное будущее Вселенной. Рассматриваемое в диссертационной работе время движения тестовых частиц к горизонту событий доказывает, что это не так. Полученные формулы также применимы при исследовании космических лучей сверхвысоких энергий, регистрируемых лабораторией имени Пьера Оже (Аргентина), приходящих от активных ядер галактик (далее АЯГ) [1]. Однако до сир пор остается открытым вопрос определения

точного направления, от которого приходят космические лучи [2], в связи с чем важно изучение траекторий движения пробных частиц в сверхсильных гравитационных полях ЧД.

Помимо этого, изучение геодезических линий в сферически симметричных метриках играет существенную роль для уточнения методов поиска ЧД. Поскольку ЧД наблюдают только по косвенным проявлениям, таким как наблюдение рентгеновского излучения от аккреционного диска или по движению индивидуальных звезд и газо-пылевых структур, то необходимы точные определения скорости и траектории движения тел в центральных областях галактик.

Интересным явлением в АЯГ и некоторых компактных объектах звездных масс являются джеты - коллимированные струи релятивистских частиц, вырывающиеся вдоль оси вращения объекта. На сегодняшний день не существует общепринятой модели формирования и коллимации дже-тов. Наиболее часто возникновение джетов ассоциируют с взаимодействием частиц с магнитным полем аккреционного диска. Однако существуют и другие гипотезы, связанные с самой структурой пространства-времени без привлечения магнитного поля [3]. Поэтому изучение падения тестовых частиц в полярной плоскости вращающейся ЧД является актуальным.

Объектом исследования являются пробные массивные и безмассовые частицы в Общей теории относительности. Предметом исследования - динамика и кинематика пробных частиц в сферически симметричных стационарных метриках и осесимметричной метрике вращающегося источника, а также эффекты, возникающие при движении и взаимодействии частиц.

Целью данной работы является исследование структуры пространства-времени вблизи черных дыр и процессов, происходящих в их окрестности, для чего необходимо:

1. провести анализ уравнений геодезических и геодезического отклонения в различных метриках, описывающих ЧД;

2. найти и проанализировать выражения для координатного и собственного времени падения массивной частицы и времени падения фотона на ЧД

разных типов;

3. исследовать зависимость количества оборотов тестовых частиц на круговых орбитах от параметров ЧД и геодезической;

4. получить точные уравнения для приливных ускорений двух частиц в поле ЧД; проанализировать зависимости приливного ускорения от расстояния до горизонта при разных энергиях частиц; провести оценки работы приливных сил.

Теоретическая значимость работы заключается в использовании уравнений геодезических и их девиации для сферически-симметричных метрик и метрики вращающегося источника, что позволило получить новые результаты для динамики и кинематики частиц вблизи ЧД.

Практическая значимость

Результаты данной работы можно использовать для астрофизических исследований, таких как моделирования вида джетов, аккреционных дисков, деформации звезд в ядрах галактик и в тесных двойных системах типа Вольфа-Райе. Расчеты времени запаздывания могут использоваться при регистрации частиц космических лучей, приходящих от ЯГ, и других видов излучения от компактных объектов звездных масс.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Выражения для времени падения массивных частиц и фотонов в метриках Шварцшильда, Рейсснера-Нордстрёма и Керра. Конечность предела разности этих времен при стремлении к горизонту событий приведено как опровержение утверждения, что при свободном падении на ЧД можно увидеть бесконечное будущее внешней, по отношению к падающему наблюдателю, Вселенной.

2. Применение формул для времен падения тестовых частиц на горизонт событий для расчета времени прихода на Землю космических лучей и гамма вспышек от АЯГ, а также их зависимость от параметров ЧД.

3. Выражения для количества оборотов, которые должен совершить фотон, чтобы наблюдатель вблизи ЧД мог увидеть свое прошлое; приводятся зависимости количества оборотов фотона от его прицельного параметра, углового момента и массы ЧД.

4. Аналитические формулы для второй производной вектора девиации геодезических в метриках Шварцшильда и Керра при наличии у частицы:

- только радиальной компоненты 4-скорости;

- только круговой или сферической;

- всех компонент вектора 4-скорости.

Численные расчеты зависимости приливного ускорения от расстояния (вплоть до горизонта) при различных энергиях массивной частицы.

5. В рамках задачи о девиации частиц в метрике Керра на сферических орбитах представлено аналитическое выражение для предельной сферической фотонной орбиты; численные расчеты предельных радиусов связанной и устойчивой сферических орбит, а также их зависимости от параметров ЧД и геодезической.

Связь темы с планом научных работ. Диссертационная работа является частью научных исследований кафедры теоретической физики и астрономии РГПУ им. А.И. Герцена и выполнялась при поддержке гранта РФФИ 2014-2017 гг. №15-02-06818-а «Суперколлайдеры элементарных частиц во Вселенной» (исполнитель).

Апробация работы. Материалы диссертации апробированы на следующих конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция Фридмановские чтения, 24 июня - 28 июня 2013 г., Пермь. Участие с устным докладом: «О возможности наблюдения прошлого Вселенной при падении во вращающуюся черную дыру»

2. 5 Пулковская молодежная астрономическая конференция, 9-11 июня 2014 г., Санкт-Петербург, Пулково. Участие с устным докладом: «Свойства геодезических в метрике Керра и их сопоставление с физическими процессами вблизи черных дыр»

3. 15-ая Российская гравитационная конференция - Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Ки8СНЛУ-15) и Международная школа по гравитации и космологии «СКЛС08-2014». 30 июня - 5 июля 2014 г., Казань. Участие с устным докладом: «Некоторые свойства геодезических в пространстве-времени Керра»

4. XIV Школа молодых ученых «Актуальные проблемы физики» 16-20 ноября 2014 г., ФИАН (Москва), участие с устным докладом: «Деформация падающей оболочки пробных частиц в метрике Керра»

5. The Ninth Alexander Friedmann International Seminar on Gravitation and Cosmology and Third Satellite Symposium on the Casimir Effect, June 21-27, 2015, Saint Petersburg, Russia. Участие с устным докладом: «The equations of geodesic deviation and properties of tidal forces in the Kerr metric»

6. Xllth International Conference on Gravitation, Astrophysics and Cosmology Dedicated to the centenary of Einstein's General Relativity theory. June 28-July 5, 2015, PFUR, Moscow, Russia. Участие с устным докладом: «The dependence of tidal forces on the polar angle in the Kerr metric»

7. ФизикА.СПб/2015 Международная конференция. 26-29 октября 2015 г., Санкт-Петербург. Участие со стендовым докладом: «Работа приливных сил в окрестности вращающихся черных дыр для ультрарелятивистских частиц»

8. 6-Пулковская молодежная астрономическая конференция, 6-8 июня 2016 г., Санкт-Петербург, Пулково, участие с устным докладом: «Девиация геодезических и приливные силы в метрике Керра для релятивистских частиц»

Достоверность и научная обоснованность

Достоверность и научная обоснованность результатов и выводов исследования обеспечивается принципом соответствия, возможностью сравнения численных расчетов общих случаев уравнений с частными случаями аналитических решений и частными результатами, получеными другими авторами.

Достоверность результатов исследования подтверждается в ходе научных конференций и семинаров, а также отражена в публикациях.

Научная новизна

1. По сравнению с работами [4] и [5] впервые получены аналитические выражения координатного времени движения массивной частицы на несвязанных (E2 > 1) и связанных (E2 < 1) орбитах в метрике Шварцшильда;

2. В отличие от [5] для ЧД Рейсснера-Нордстрема и Керра получены

аналитические выражения для всех времен падения нейтральных и заряженных частиц; численно построены зависимости времен падения от расстояния при движении частиц в плоскостях разных широт; на основе аналитических выражений доказана конечность промежутка будущего, который увидит свободно падающий на горизонт событий наблюдатель;

3. Для ряда ядер галактик произведен расчет времени отставания частиц космических лучей от гамма-вспышек;

4. Впервые приведена модель на основе которой наблюдатель вблизи ЧД может увидеть свое прошлое до вылета с Земли, вычислены ее основные параметры, такие как количество оборотов, которые должен совершить фотон, чтобы астронавт увидел события прошлого; проведен анализ количества оборотов фотонов «прошлого» от прицельного параметра и характеристик ЧД;

5. По сравнению с расчетами точных выражений вектора отклонения (девиации геодезических) при радиальном движении частицы, которые обычно приводятся в статьях, в диссертации получены выражения для второй производной компонент вектора девиации геодезических, имеющей физический смысл приливного ускорения, и проведена их проверка на знако-постоянство. Это важно в связи с тем, что в некоторой литературе [6] утверждается возможность изменения знака для приливных сил вблизи горизонта. Расчеты выполнены при наличии у частицы радиальной, азимутальной компонент, так и всех составляющих вектора 4-скорости; построены численные зависимости компонент вектора приливного ускорения от расстояния при разных значениях энергии частиц;

6. Дана оценка работы приливных сил для двух частиц на расстоянии комптоновской длины волны.

Личный вклад автора

Совместно с научным руководителем автор участвовал в постановке задач исследования, разработке плана выполнения диссертационного исследования.

Автором лично:

- проведен анализ данных по классификациям геодезических и имею-

щимся расчетам девиации геодезических;

- получены аналитические выражения времени отставания массивных частиц от фотонов в метриках Керра и Рейсснера-Нордстрёма;

- численно построены зависимости времен падения от расстояния с учетом движения частиц в плоскостях разных широт

- выполнены численные расчеты времени отставания космических лучей от гамма-вспышек для различных ядер галактик;

- получены уравнения девиации геодезических для метрик Шварцшиль-да и Керра в случаях радиального, кругового и общего случая движения частиц вплоть до горизонта событий; произведено моделирование и анализ уравнений;

- выполнены численные расчеты приливного ускорения частиц в зависимости от расстояния, параметров геодезической и черной дыры; оценена работа приливных сил для частиц вблизи горизонта

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 128 страницах машинописного текста, содержит 25 рисунков. Библиография содержит 103 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении представлено обоснование актуальности исследования, сформулированы цели и задачи диссертационного исследования, раскрыта научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, кратко описаны структура и логическая схема диссертации, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Движение и взаимодействие частиц в искривленном пространстве-времени» содержит обзор основных понятий и публикаций, посвященных тематики исследования. В первом и втором параграфах рассматриваются уравнения движения и гравитационное взаимодействие пробных частиц в искривленном пространстве-времени. Первым уравнением является уравнение геодезических линий (далее просто «геодезических»):

ах +г ахах =о, (1л)

Оз2 к ОзОз к у

где Ггк1 - символы Кристоффеля, которые связаны с метрикой пространства-времени д%к и в - аффинный параметр. Таким образом - 4-ускорение пробной частицы.

Второе уравнение, на основе которого получается описание явлений вблизи ЧД - уравнение девиации геодезических. Оно описывает относительное 4-ускорение двух тестовых частиц на бесконечно близких геодезических. В процессе движения одной тестовой частицы относительно другой,

величина вектора отклонения п% меняется по закону:

-2п%

-ф + ЩкгУ пкит = 0 , (1.2)

где Щкт = д%1 Яцкт - тензор Римана, и% - 4-скорость одной части-

п2_!

цы относительно другой. Величина -¿¿г отвечает за приливное ускорение между частицами.

Третий параграф посвящен математическому описанию конкретных решений уравнений Эйнштейна: Шварцшильда, Рейсснера-Нордстрема и Кер-ра. На основе конкретных метрик и уравнений геодезических вычисляются интегралы движения пробных частиц; производится классификация орбит по энергиям. Для сферически-симметричной метрики Шварцшильда, полученной в 1916 г., существует много работ, где подробно описываются и классифицируются уравнения геодезических, в частности, классическими книгами считаются [7], [8].

Метрика Рейсснера-Нордстрема - это решение связанной системы уравнений Эйнштейна-Максвелла и так же, как метрика Шварцшильда, является сферически симметричной, но в отличие от нее такая ЧД имеет электрический заряд Q. При сравнении метрик Шварцшильда и Рейсснера-Нордстрема видно, что они отличаются только видом функции горизонта А. Следовательно, основные уравнения геодезических определяются аналогичным образом, но с другим определением функции А. Отличия в уравнениях будут проявляться только для орбит, которые пересекают горизонт

событий, т.е. для геодезических, которые в метрике Шварцшильда обрываются в сингулярности. Это различие в основном относится к описанию пространства-времени внутренних областей ЧД. С подробным анализом радиального движения нейтральных и заряженных пробных частиц и их классификацией можно ознакомиться в [8], [9].

Метрика Керра описывает пространство вокруг вращающихся ЧД. Само решение уравнений Эйнштейна для стационарного аксиально-симметричного асимптотически плоского пространства-времени можно найти в [8], подробный анализ метрики Керра был опубликован Брэнденом Картером в [10], [11] в 1965 году.

Во второй главе «Время движения частиц в искривлённых пространствах» описаны некоторые эффекты, следующие из уравнений геодезических. В первой части главы рассмотрен вопрос о возможности наблюдения бесконечного будущего внешней, по отношению к свободно падающему наблюдателю, Вселенной при падении на горизонт событий. В научной и научно-популярной литературе, например в [12] и переводах к [13], [14], часто встречается заблуждение, приводящее к неверному выводу. При стремлении к горизонту координатное время массивной частицы и время движения фотона асимптотически стремятся к бесконечности. Таким образом, можно предположить, что с точки зрения удаленного наблюдателя разница времени падения массивной частицы и фотона стремится к бесконечности, т.е. падающий космонавт увидит бесконечное будущее Вселенной. Однако это не так. В [4] впервые получено аналитическое выражение в метрике Шварцшильда для предела разности времени падения массивной частицы и фотона, на основе чего доказывается, что промежуток увиденного падающим наблюдателем будущего будет конечным. В исследовании для метрики Шварцшильда получены схожие формулы времен, но с учетом, что выражения для координатного времени будут отличаться для ограниченных и неограниченных орбит. Впервые в данной работе получены такие результаты для метрики Рейсснера-Нордстрема, включая случай как нейтральной, так и заряженной тестовой частицы. В метрике Керра аналитическое доказательство приведено для частных случаев.

В диссертационном исследовании показано астрофизическое приложение данной модели. При изменении знаков на противоположные у времени падения массивной частицы и фотона на ЧД, получается время отставания частиц космических лучей от гамма-вспышек, которые приходят к нам от АЯГ. В диссертации приведены некоторые численные расчеты с оценкой разницы времени, прошедшего от регистрации гамма-вспышки до регистрации космических лучей сверхвысоких энергий. Расчеты показывают, что для ядер глактик на расстоянии 105 — 107 пк, время запаздывания составляет 104 — 105 лет.

Во второй части данной главы рассматривается теоретическая задача о возможности наблюдения событий прошлого астронавта, произошедших до момента его вылета к ЧД. Модель задачи заключается в следующем. Пусть в момент времени Ьф из точки г0 испущен световой импульс, который описывает событие, произошедшее в момент времени . Предположим, что световой луч летит по направлению к ЧД, в окрестности которой фотоны попадают на круговую или близкую к круговой (например, спиральную) геодезическую.

Спустя некоторое время, в момент 1т (причем < £то), некий наблюдатель решил увидеть событие, произошедшее в его прошлом в момент времени . Для этого он должен, вслед за фотонами, стартовать в путешествие к ЧД. В модели считается, что место, в котором произошло событие прошлого, совпадает с местом старта астронавта. Когда космонавт прилетит к ЧД, ему нужно будет найти орбиту г, на которой вращаются фотоны «прошлого» и снять с них информацию, т.е. увидеть момент прошлого. Из описания модели возникает вопрос — сколько оборотов должен совершить фотон, прежде чем астронавт их зарегистрирует.

На основе уравнений геодезических найдено выражение для количества оборотов светового луча вокруг керровской ЧД, необходимое для наблюдения конкретного события прошлого. Проведен анализ выражения для количества оборотов в зависимости от углового момента ЧД, энергии массивной частицы и прицельного параметра фотона. Так с увеличением углового момента число оборотов увеличивается для прямых орбит и уменьшается

для обратных. При а = 0 количество оборотов для прямых и обратных орбит совпадает и является конечной величиной, отличной от нуля.

Также можно показать, как изменяется количество оборотов в зависимости от характеристик фотона (прицельного параметра Ь).

Расчеты показывают, что за полвека фотоны должны совершить порядка 103 — 106 оборотов для сверхмассивных дыр и 1012 оборотов дял черных дыр звездных масс.

В третьей главе «Приливные силы в поле черных дыр» на основе уравнения девиации геодезических найдены точные выражения для компонент второй производной вектора отклонения, которые имеют физический смысл приливных ускорений для двух тестовых частиц вдоль различных направлений в метриках Шварцшильда и Керра. В отличие от ряда авторов (см., например, в [6]), где вычисления производятся в координатах Ферми и ограничены только полярной и экваториальной плоскостью, в данной работе вычисления сделаны в координатах Шварцшильда и Бойера-Линдквиста вне зависимости от плоскости движения. В отличие от выше приведенных авторов, в данном исследовании 4-скорость частицы не ограничена только радиальной составляющей, и расчеты сделаны для следующих компонент 4-скорости:

- (и0, и1, 0,0) - радиальное движение, которое возможно только до предельной неустойчивой круговой или сферической орбиты

- (и0, 0,0,и3) - движение по круговой или сферической орбите;

- (и0, и1, и2, и3) - общий случай движения.

Построение зависимостей второй производной показывает, что с увеличением Лоренц-фактора релятивистской частицы приливное ускорение увеличивается. Причем наблюдается координатный эффект возрастания приливного ускорения при приближении к горизонту. Пространственные компоненты второй производной вектора девиации описывают расхождение (если > 0) или сближение (если < 0) одной геодезической относительно другой. Сам вектор отклонения геодезических прямо пропорционален приливным силам, а знак вектора девиации указывает на характер приливной силы - растяжение (если больше нуля) или сжатие (если

меньше нуля).

Анализ уравнений девиации геодезических показывает, что знаки компонент приливного ускорения, и, соответственно, приливных сил, не меняются в зависимости от скорости частицы, как упоминается в работе [6], параметров геодезической или ЧД - вдоль радиального и азимутального направлений всегда наблюдается приливное растяжение, а вдоль полярного - сжатие.

На основе полученных уравнений для второй производной вектора отклонения, сделаны оценки работы приливных сил для двух протонов на расстоянии комптоновской длины волны друг от друга в непосредственной близости от горизонта ЧД. Эти расчеты важны для оценки расстояния от горизонта, на котором возможно рождение частиц.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в настоящей работе.

Публикации: по теме диссертации опубликовано 13 работ, из них 4 статьи - в рецензируемых научных журналах:

1. Rasulova A.M. Can one see the infinite future of the Universe when falling on Kerr and Reissner-Nordstrom black hole? / A.A. Grib, A.M. Rasulova // Gravitation and cosmology. 2012. Vol. 18. No 3. P. 168-174.

2. Rasulova A.M. On Possible Observation of One's Past in the Neighborhood of a Black Hole // Gravitation and cosmology. 2014. Vol. 20. No 1. P. 42-46.

3. Rasulova A.M. The properties of tidal forces in the Kerr metric // Odessa Astronomical Publications. 2015. Vol. 28, № 2. P.147-150.

4. Расулова А.М. Анализ уравнений девиации геодезических в метрике Шварцшильда // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. 2016. № 4. С. 106-113.

5. Расулова А.М. Свойства пространства-времени вблизи керровской черной дыры // Вестник студенческого научного общества РГПУ им. А.И. Герцена: Сборник лучших научных работ студентов. СПб: РГПУ им. А.И. Герцена. 2010. Вып. 11. Книга 3: естественные и точные науки. С. 39-42.

6. Расулова А.М. О возможности наблюдения прошлого вселенной при падении во вращающуюся черную дыру // Фридмановские чтения: материалы конференции докладов международной научной конференции. Пермь: Перм. гос. нац. исслед. ун-т. 2013. С. 39-40.

7. Расулова А.М. Свойства геодезических в метрике Керра и их сопоставление с физическими процессами вблизи черных дыр // Сборник тезисов V Пулковской молодежной астрономической конференции. СПб, Пулково. 2014. С. 33-34.

8. Rasulova A.M. Falling the spherically symmetrical shell in the Kerr metric // 14-th Odessa International Astronomical Gamow Conference-School "Astronomy and beyond: Astrophysics, Cosmology and Gravitation, Cosmomicrophysics, Radio-astronomy and Astrobiology".Ukraine, Odessa, Chernomorka. 17-24 August, 2014. - P.26.

9. Расулова А.М. Деформация падающей оболочки пробных частиц в метрике Керра // XV Школа молодых ученых "Актуальные проблемы физики ". Сборник трудов. М.: ФИАН. 2014. С. 39-40.

10. Расулова А.М. Свойства геодезических в метрике Керра и их сопоставление с физическими процессами вблизи черных дыр // Известия Главной астрономической обсерватории в Пулкове №222. Труды 5 Пулковской молодежной астрономической конференции. 2015. С.90-98.

11. Rasulova A.M. The dependence of tidal forces on the polar angle in the Kerr metri // Gravitation, astrophysics, and cosmology. Proceedings of the Twelfth Asia-Pacific International Conference. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Printed in Singapore.2016. P.293-294.

12. Расулова А.М. Девиация геодезических и приливные силы в метрике Керра для релятивистских частиц [Электронный ресурс] //6 Пулковская молодежная астрономическая конференция. [Электронный ресурс]. Режим доступа:

http://younggao.ru/theses .- 6-8 июня 2016, свободный.

13. Rasulova A.M. Tidal acceleration of particles with radial and angular velocities in the Kerr metric // 5-ая Ульяновская международная школа-семинар "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии ". Сбор-

ник тезисов докладов международной научной школы-семинара / Под общей ред. Проф. С.В. Червона. Ульяновск: ФГБОУВО "УлГПУ им. И.Н. Ульянова", 2016. С.36

Глава 1. Движение и взаимодействие частиц в искривлённом пространстве-времени

§ 1.1 Уравнение геодезических линий

Геодезические линии изначально являются чисто геометрическим понятием, которое встречается сначала в евклидовой геометрии, а позднее обобщены на пространства общего вида. Их изучение началось еще в 18 веке, и упоминания о них встречаются в исследованиях Якоба и Иоганна Бер-нулли, в частности, в работах последнего впервые поставлена классическая задача о геодезических линиях, а позднее выведено их дифференциальное уравнение. Общее уравнение геодезических линий получено учеником И. Бернулли, Леонардом Эйлером.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Расулова, Анна Мурадовна, 2017 год

Список литературы

1. Aab A et al. The Pierre Auger Collaboration. Measurement of radiation energy in radio signal of extensive air showers as a universal estimator of cosmic-ray energy / A. Aab et al. // Phis. Rev. Lett. - 2016. - Vol.116. - 241101.

2. Moskalenko I.V., Stawarz L. On the possible association of ultra high energy cosmic rays with active galaxies / I.V. Moskalenko, L. Stawarz // The Astrophysical Journal. - 2009. - Vol.693. - P.1261-1274.

3. Marcilhacy G. Kerr geodesics, the Penrose process and jet collimation by a black hole [Элекронный ресурс] / G. Marcilhacy, N. O. Santos, J. Gariel, M. A. H. MacCallum // arXiv:gr-qc /0702123 - 2012. - Режим доступа: свободный.

4. Гриб А. А. Возможно ли увидеть бесконечное будущее Вселенной при падении в черную дыру? / А.А. Гриб, Ю.В. Павлов // Успехи физических наук. - 2009. - T.179 №3. - С.279-283.

5. Pavlov Yuri V. On the possibility of observation of the future for movement in the field of black holes of different types / Yuri V. Pavlov // Gen. Relativ Gravit. - 2013. - Vol.45. - P.17-25.

6. Mashhoon B. Tidal dynamics in Kerr spacetime / B. Mashhoon C. Chicone // Classical and Quantum Gravity. - 2006. - Vol.23 - P.4021-4033.

7. Уилер Дж. Гравитация Т1-3 / Дж. Уилер, Ч. Мизнер, К. Торн. - М.: Мир, 1977.- Т1-474 с., Т2 - 525 с., Т3- 510 с.

8. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр Т1-2. / С. Чанд-расекар. - М.: Мир, 1986.- Т1-276 с. Т2-350 с.

9. Галаджий М.В. Радиальные движения нейтральных и заряженных пробных частиц в поле заряженного сферически- симметричного объекта в ОТО /М.В. Галаджий, В.Д. Гладуш // Кинематика и физика небесных тел. - 2009. - Т.25, №2. - С.115-127.

10. Carter B. Complete analytic extension of the symmetry axis of Kerr's solution of einstein's equations / B. Carter // Phys. Rev. - 1965. - Vol.141. -P.1242-1247.

11. Carter B. Global structure of the kerr family of gravitational fields / B. Carter // Phys.Rev. - 1968. - Vol.175, №5.- P.1559-1571.

12. Черепащук А.М. Черные дыры во Вселенной / А.М. Черепащук. -Фрязино: Век2, 2005. - 64 с.

13. Хокинг С. Мир в ореховой скорлупке / С. Хокинг. - СПб.: Амфора, 2008. - 218 с.

14. Редже Т. Этюды о Вселенной / Т. Редже. - М.: Мир, 1985. - 192 с.

15. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. -М.: Наука, 1974. - 176 с.

16. Математика, ее содержание, методы и значения. Том 2 / под.ред. А.Д. Александрова. - М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. - 397 с.

17. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.Т. Фоменко А. С. Мищенко. - М.: МГУ, 1980. - 439 с.

18. Паули В. Теория относительности / В. Паули. - М.: Наука, 1991. -328 с.

19. Ландау Л.Д. Теоретическая физика в 10 томах. Том 2. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Физматилит, 2006. - 534 с.

20. Levi-Civita T. The absolute differential calculus / T. Levi-Civita. -Glasgow: Blackie and Son, 1926. - 450 p.

21. Synge J.L. On the deviation of geodesies and null-geodesics, particularly in relation to the properties of spaces of constant curvature and indefinite lineelement / J.L. Synge // Ann. Math. - 1934. - Vol.35, №4. - P.705-713.

22. Synge J.L. Relativity: The General Theory / J.L. Synge. - Amsterdam: North-Holland Publishing company, 1960 - 432 p.

23. Schild A. Tensor Calculus / A. Schild, J. L. Synge. - New-York: Dover Publications, Inc., 1978. - 336 p.

24. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории отностительности / Н.В. Мицкевич. - М.: Наука, 1969. - 328 с.

25. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефанн, М. Мак-Каллум, Э. Херльт; под ред. Э. Шмутцера. - М.: Энергоиздат, 1982. - 416 с.

26. Luminet J.-P. Black holes: a general introduction. Black Holes: Theory and Observation / J.-P. Luminet // Springer. - 514 of the seriees Lecture Notes

in Physics. - 2003. - P.3-34.

27. Schwarzschild K. Über das gravitationsfeld eines massenpunktes nach der einstein'schen theorie / K. Schwarzschild // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. - 1916. - Vol.7. - P.189—196.

28. Schwarzschild K. (translation, foreword by S.Antoci, and A.Loinger). On the gravitational field of a mass point according to einstein's theory [Эле-кронный ресурс] / K. Schwarzschild // arXiv:physics/9905030v1. - 1999. -Режим доступа: свободный.

29. Bel L. Über das gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstenschen Theorie [Элекронный ресурс] / L. Bel // arXiv:0709.2257v2 [gr-qc]. - 2007. -Режим доступа: свободный.

30. Владимиров Ю.С. Классическая теория гравитации / Ю.С. Владимиров. - М.: Книжный дом Либроком, 2009. - 264 c.

31. Schwarzschild K. Über das gravitationsfeld einer kugel aus inkompressible flussigkeit / K. Schwarzschild // Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften. - 1916. - Vol.1. - P.424.

32. Hagihara Y. Theory of the relativistic trajeetories in a gravitational field of schwarzschild / Y. Hagihara // Japanese Journal of Astronomy and Geophysics. - 1930. - Vol.8. - P.67-175.

33. Darwin C. The Gravity Field of a Particle / C. Darwin // Proceedings of the Royal Society of London, Scries A, Mathematical and Physical Sciences. - 1959. - Vol.249 (1257). - P.180.

34. Sharp N. A. Geodesics in black hole space-times / N.A. Sharp // General Relativity and Gravitation. - 1979. - Vol.10. - P.659-670.

35. Тьюколски С. Чёрные дыры, белые карлики и нейтронные звёзды. Ч1-2 / С. Тьюколски, С. Шапиро. - М.: Мир, 1985. - 656 с.

36. Зельдович Я.Б. Теория тяготения и эволюция звезд / И.Д. Новиков, Я.Б. Зельдович. - М.: Наука, 1971. - 484 c.

37. Dokuchaev V.I. Is there life inside black holes? / V.I. Dokuchaev // Class. Quantum Grav. - 2011.- Vol.28. - P.235015.

38. Рябушко А.П. Движение тел в общей теории относительности / А.П. Рябушко. - Минск: Вышэйшая школа, 1979. - 240 c.

39. Бескин В.С. Гравитация и астрофизика / В.С. Бескин. - М.: Физ-матлит, 2009. - 160 c.

40. Фролов В.П. Введение в физику черных дыр / В.П. Фролов. - М.: Знание, 1983. - 64 c.

41. Новиков И.Д. Физика черных дыр / И.Д. Новиков, В.П. Фролов. -М.: Наука, 1986. - 328 c.

42. Reissner H. Uber die eigengravitation des electrischen feldes nach der einsteinschen theorie / H. Reissner // Annalen der Physik (Leipzig). - 1916. -Vol.50. - P.106-120.

43. Nordstr?m G. On the energy of the gravitational field in einstein's theory / G. Nordstr?m // Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. - 1918. - Vol.20 (2). - P.1238-1245.

44. Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени / Дж. Эллис, С. Хокинг. - М.: Мир, 1977. - 432 c.

45. Penrose R. Internal instability in a reissner-nordstrom black hole / R. Penrose M. Simpson // Int.J.Theor.Phys. - 1973. - Vol.7. - P.183-197.

46. Zakharov A.F. Particle capture cross section for a reissner-nordstrom black hole / A.F. Zakharov // Classical and Quantum Gravity. - 1994. - Vol.11. - P.1027.

47. Gladysh V.D. On the stable spherically-symmetric charged dust configurations in general / V.D. Gladysh // Odessa Astron.Pub. - 2007. -Vol.20. - P.47-50.

48. Kurnz J. Motion of test particles in a regular black hole space-time / J. Kurnz, C. Lammerzahl, A. Macias, A. Garcia, E. Hackmann // Journal of Mathematical Physics. - 2015. - Vol.56. - P.032501.

49. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics / R.P. Kerr // Physical Review Letters. - 1963. -Vol.11. - P.237-238.

50. Альберт Эйнштейн и теория гравитации /под ред. Е. Куранского. -М.: Мир, 1979. - 592 c.

51. Kerr R.P. Some algebraically degenerate solutions of eistein's gravitational field equations / A. Shild, R.P. Kerr // Proc.Sym in Appl.Math. - 1965. -Vol.17. - P.199-209.

52. Janis A.I. Note on the kerr spinning particle metric / A.I. Janis, E.T. Newman // J.Math.Phis. - 1965. - Vol.6. - P.915-917.

53. O'Neill B. The geometry of Kerr black holes / B. O'Neill. - A K Peters, Ltd. 289 Linden Street Wellesley, 1995. - 381 p.

54. Kerr R.P. Discovering the kerr and kerr-schild metrics [Элекронный ресурс] / R.P. Kerr // arXiv:0706.1109 [gr-qc]. - 2008. - Режим доступа: свободный.

55. Janis A.I. Maximal analytic extension of the kerr metric / A.I. Janis, E.T. Newman // J.Math.Phis. - 1967. - Vol.8. - P.265.

56. Thirring H. Über den einfluss der eigenrotation der zentralkorper auf die bewegung der planeten und monde nach der einsteinschen gravitationstheorie / H. Thirring, J. Lense // Physikalische Zeitschrift. - 1918. - Vol.19. - P.156-163.

57. Pavlis E.C. A confirmation of the general relativistic prediction of the lense-thirring effect / E.C. Pavlis, I. Ciufolini // Nature. - 2004. - Vol.431 -P.958.

58. Hehl F.W. Schwarzschild and kerr solutions of einstein's field equation [Элекронный ресурс] / F.W.Hehl, C. Heinicke // arXiv:1503.02172v1. - 2015.

- Режим доступа: свободный.

59. Dymnikova I.G. Motion of particles and photons in the gravitational fieldm of a rotating body (in memory of vladimir afanas'evich ruban) / I.G. Dymnikova // Soviet Physics Uspekhi. - 1986. - Vol.29, №3. - P.215.

60. Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр / Д.В. Гальцов. - М.: МГУ. - 1986. - 288 c.

61. Helliwell T.M. Null geodesics in the extended kerr manifold / T.M. Helliwell A.J. Mallinckrodt // Physical Review D. - 1975. - Vol.12, №10. -P.2993.

62. Stuchlik Z. The radial motion of photons in kerr metric / Z. Stuchlik // Bulletin of the Astronomical Institutes of Czechoslovakia. -1981. - Vol.32.

- P.40-52.

63. Calvani M. Vortical null orbits, repulsive barriers, energy confinement in kerr metric / M. Calvani F. de Felice // General Relativity and Gravitation.

- 1978. - Vol.9, №10. - P.889-902.

64. Расулова А.М. Свойства геодезических в метрике Керра и их сопоставление с физическими процессами вблизи черных дыр / А.М. Расулова // Известия Главной астрономической обсерватории в Пулкове. - 2015. -Т.222. - С.90-98.

65. Bardeen J.M. Kerr metric black holes / J.M. Bardeen // Nature. - 1970.

- 226. - P.64-65.

66. Teukolsky S.A. Rotating black holes: Locally nonrotating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation / S.A. Teukolsky, J.M. Bardeen, W.H. Press // Astrophys. J. - 1972. - Vol.178. - P.347-370.

67. Carroll S.M. Lecture Notes on General Relativity [Элекронный ресурс] / S.M. Carroll // Santa Barbara: Institute for Theoretical Physics University of California. - 1997. - arXiv:gr-qc/9712019. - 238 c. - Режим доступа: свободный.

68. Woodhouse N.M.J. General Relativity (Springer Undergraduate Mathematics Series) / N.M.J. Woodhouse. - London: Springer. - 2007. - 217 c.

69. Вагнер У.Г. Фейнмановские лекции по гравитации / У.Г. Вагнер, Р.Ф. Фейнман, Ф.Б. Мориниго. - М.: Янус-К. - 2000. - 296 c.

70. Nandan H. Geodesic motion in schwarzschild spacetime surrounded by quintessence / H. Nandan, R. Uniyal, N.C. Devi et al. // General Relativity and Gravitation. - 2015. - Vol.47. - P.16.

71. Cannata R. Integrating the geodesic equations in the schwarzschild and kerr space-times using beltrami's «geometrical» method / R. Cannata, D. Boccaletti, F.Catoni et al. // General Relativity and Gravitation. - 2005. -Vol.37, №12. - P.2261-2273.

72. Kosowsky A. Geodesics in the generalized schwarzschild solution / Matthew R. Francis, A. Kosowsky // American Journal of Physics. -2004. - Vol.72, №9.

- P.1204-1209.

73. Прудников А.П. Таблицы неопределенных интегралов / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. - М.: Физматлит. - 2003. - 200 c.

74. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов / М.Л. Смо-лянский. - М.: Физматлит. - 1963. - 112 c.

75. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений /

И.М. Рыжик, И.С. Градштейн. - М.: Наука. - 1971. - 1100 c.

76. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. - М.: Наука. - 1983. - 172 c.

77. Бурланков Д.Е. Время, пространство, тяготение. / Д.Е. Бурланков.

- М-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований. - 2006. - 420 c.

78. Kagramanova V. Geodesics of electrically and magnetically charged test particles in the reissner-nordstrom space-time: Analytical solutions. / V. Kagramanova, S. Grunau // Phys. Rev. D. - 2011. - Vol.83. - P.044009.

79. Parthapratim P. Circular orbits in extremal reissner-nordstrom spacetime / P. Parthapratim, M. Parthasarathi // Physics Letters A. -2011. - Vol.375, №3. - P.474-479.

80. Pugliese D. Motion of charged test particles in reissner-nordstrom spacetime / D. Pugliese, H. Quevedo, R. Ruffini // Phys. Rev. D.- 2011. - Vol.83. -P.104052.

81. Grib A.A. Can one see the infinite future of the Universe when falling on Kerr and Reissner-Nordstrom black hole? / A.A. Grib, A.M. Rasulova //Gravitation and cosmology. - 2012. - Vol.18. - P.168-174.

82. Penrose R. Naked singularities / R. Penrose // Annals of The New York Academy of Sciences. - 1973. - Vol.224. - P.125-134.

83. Teukolsky S.A. Black holes, naked singularities and the violation of cosmic censorship / S.A. Teukolsky, L. Stuart, S.L. Shapiro // American Scientist. -1991.-Vol.79.-P.330-343.

84. Хокинг С. Краткая история времени / С. Хокинг. - СПб.: Амфора.

- 2006. - 180 c.

85. Gariel J. Kerr geodesics, the penrose process and jet collimation by a black hole [Элекронный ресурс] / G. Marcilhacy, N. O. Santos, J. Gariel, M. A. H. MacCallum // arXiv:gr-qc/0702123v3. - 2010. - Режим доступа: свободный.

86. Oancea M.A. Characterization of null geodesics on kerr spacetimes [Элекронный ресурс] / M.A. Oancea, C.F. Paganini, B. Ruba // arXiv:1611.06927 [gr-qc]. -2016. - Режим доступа: свободный.

87. Hod S. Spherical null geodesics of rotating kerr black holes / S. Hod // Physics Letters B. - 2013. - Vol.718, №4-5. - P.1552-1556.

88. Ulbricht S. A note on circular geodesics in the equatorial plane of an extreme Kerr-Newman black hole / S. Ülbricht R. Meinel // Classical and Quantum Gravity. - 2015. - Vol.32(14). - P.147001.

89. Fujita R. Analytical solutions of bound timelike geodesic orbits in kerr spacetime / R. Fujita, W. Hikida // Classical and Quantum Gravity. - 2009. -Vol.26. - P.135002.

90. Grib A.A. On particle collisions in the gravitational field of the kerr black hole / A.A. Grib, Yu.V. Pavlov // Astropaticle Phys. -2011. - Vol.34. -P.581-586.

91. Fritz T. A gas cloud on its way toward the super-massive black hole in the galactic centre / T.Fritz, S.Gillessen, R.Genzel. et.al. // Nature. - 2012. -481(51). - P.581-586.

92. Gad R.M. Geodesics and geodesic deviation in static charged black holes / R.M. Gad // Astrophysics and Space Science. - 2010. - Vol.330. - P.107-114.

93. Oliveira L.A. Tidal forces in reissner-nordstrom spacetimes / L.A. Oliveira, E.S. de Oliveira, L.C.B. Crispino, A. Higuchi // The European Physical Journal C. - 2016. - Vol.86. - P.168

94. Chicone C. Explicit fermi coordinates and tidal dynamics in de sitter and godel spacetimes /C. Chicone, B. Mashhoon // Phys. Rev. D.- 2006. -Vol.74. - P.064019.

95. Kojima Y. Tidal effects on magnetic gyration of a charged particle in fermi coordinates / Y. Kojima, K. Takami // Classical and Quantum Gravity.

- 2006.-Vol.23(3).-P.609.

96. Fuchs H. Solutions of the equations of geodesic deviation for static spherical symmetric space-times / H. Fuchs // Annalen der Physik.- 1983.

- Vol.7(159). - P.231-233.

97. Lammerzahl C. On geodesic deviation in schwarzschild spacetime [Элекронный ресурс] / C. Lammerzahl, K. Deshpande, D. Philipp, V. Perlick // arXiv:1508.06457. - 2015. - Режим доступа: свободный.

98. Puetzfeld D. On the applicability of the geodesic deviation equation in

general relativity [Элекронный ресурс] / D. Puetzfeld, D. Philipp // arXiv:1604.07173. - 2016. - Режим доступа: свободный.

99. Brassart M. Relativistic tidal compressions of a star by a massive black hole / J.-P. Luminet, M. Brassart // Astronomy and Astrophysics. - 2010. -Vol.511(A80). -P.8.

100. Расулова А.М. Анализ уравнений девиации геодезических в метрике Шварцшильда / А.М. Расулова // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия. - 2016. - Т.4. - С.106-113.

101. Прайс Р. Сборник задач по теории относительности и гравитации / Р. Прайс, С.А. Тьюколски, А. Лайтман, В. Пресс. - М.: Мир. - 1979.-536 c.

102. Fishbone L.G. The relativistic roche problem / L.G. Fishbone // Astrophysical Journal. - 1972. - Vol.175. - P.L155.

103. Ivanov P.B. A new model of a tidally disrupted star / P.B. Ivanov, I.D. Novikov // The Astrophysical Journal. - 2001. - Vol.549(1). -P.467.