Математическое моделирование равновесия плазмы в магнитных ловушках-галатеях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Гольдич, Алексей Сергеевич

• Гольдич, Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Гольдич, Алексей Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Задачи с плоской симметрией. Галатея-Пояс

1.1. Физическая постановка задачи

1.2. Математические модели

1.3. О численном решении задачи

1.4. О разрешимости краевых задач

Глава 2. Задачи с плоской симметрией. Результаты расчетов

2.1. Результаты расчетов задачи с краевым условием первого рода

О СГ

2.2. Расчеты собственных значений А и соответствующие им р0

2.3. Вторая краевая задача. Результаты

2.4. Сопоставление моделей «Пояс» и Токовый слой

Глава 3. Модели ловушки «Трилистник»

3.1. Результаты расчетов задачи с краевым условием первого рода

3.2. Результаты расчетов задачи с краевым условием второго рода

Глава 4. Задачи с винтовой симметрией. Стелларатор- галатея

4.1. Постановка задачи и результаты базовых расчетов. Преимущество

расположения плазмы на сепаратрисе

4.2. Результаты расчетов задачи с прозрачной для магнитного поля

границей

4.3. Результаты расчетов задачи с краевым условием второго рода

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование равновесия плазмы в магнитных ловушках-галатеях»

Введение

Диссертация обобщает работы в области математического моделирования равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в ловушках - «галатеях». Рассмотрены конфигурации в плазменных цилиндрах с погруженными в них двумя и тремя прямыми и винтовыми проводниками - распрямленных аналогах соответствующих тороидальных ловушек. Плазмостатические модели получены в результате численного решения краевых задач с уравнением Грэда-Шафрапова для функции магнитного потока при различных типах граничных условий.

Математическое моделирование обладает широкими возможностями в описании сложных физических процессов, установок и объектов исследования, с быстрым изменением параметров характерных для изучаемого объекта, экономя при этом финансовые средства, исключая из рассмотрения неэффективные, нерабочие или принципиально невозможные установки и протекающие в них процессы. Аппарат, предоставляемый математическим моделированием, позволяет рассматривать, как сложные задачи, полностью учитывающие все процессы и взаимодействия в системе для получения достаточно точных результатов, так и упрощенные, рассматривающие основные принципиальные моменты, необходимые для теоретических вопросов, касающихся возможности реализации, взаимодействия, реакции и др. В частности, для теоретического исследования физических процессов и обработки экспериментальных данных в области физики плазмы существенную роль играет использование возможностей, предоставляемых математическим моделированием.

Физика плазмы - область науки, занимающаяся изучением процессов и явлений, протекающих с участием заряженных частиц в ионизованных и проводящих средах, в природе, и в лабораторных или промышленных

установках. Значение решения задач физики плазмы для развития науки и техники состоит в расширении знаний о фундаментальных природных закономерностях, и, самое главное, в разработке проблемы управляемого термоядерного синтеза, создании новых технологий, приборов и устройств.

Известно, что обязательным условием наступления термоядерной реакции является высокая температура (десятки миллионов градусов и выше), которая переводит все известные вещества в состояние плазмы -четвёртое состояние после твердого, жидкого и газообразного состояния, при этом часть электронов отделены от атомов, а атомы с неполным набором электронов являются положительно заряженными ионами.

На протяжении уже более 60 лет ведутся активные исследования плазменных процессов, проводятся крупные научно-технические разработки, создаются плазменные установки - всё направлено на максимально глубокое изучение проблемы управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Одновременно с научно-техническими исследованиями, изучение проблем физики плазмы интересно в вопросах астрофизики, ведь там мы также имеем дело в основном с веществом в состоянии плазмы, или очень горячей - в материи Солнца и звезд или разреженной - в межзвездном пространстве и ионосферах планет.

Использование широких возможностей математического моделирования физических процессов, подкрепленных мощными современными многоядерными компьютерными системами, позволяет внести в исследование плазмы существенный вклад.

Значительную роль в исследованиях плазмы играют математическое моделирование физических процессов и расчеты с применением мощной

современной электронно-вычислительной техники. Они, с одной стороны, дополняют и облегчают чисто теоретические работы, с другой - позволяют сэкономить на экспериментах, громоздких, дорогостоящих, а иногда и принципиально невозможных, способствуют их физической интерпретации.

Плазма и ее поведение разнообразны, диапазон ее параметров, в частности, плотности и температуры, весьма велик, разнообразны и проблемы ее исследования.

Математические модели плазмы должны отслеживать это разнообразие. Различают два основных типа моделей. Один из них связан с относительно разреженной плазмой и вынужден иметь дело, если не с динамикой отдельных частиц, то с их статистическим распределением по пространству координат и скоростей. Модели этого типа оперируют в основном с разными вариантами кинетического уравнения для функции распределения частиц каждого сорта, образующих плазму. Модели другого типа, которые и используются в нашей работе, описывают процессы в относительно плотной плазме, которую вслед за жидкостью и газом можно рассматривать как сплошную среду. Математический аппарат моделей основан здесь на системе уравнений магнитной газодинамики (МГД) или ее модификациях.

Магнитная газодинамика, как область механики сплошных сред хорошо представлена в ряде книг. Основоположником магнитной гидродинамики и автором первой монографии на эту тему [1] является известный шведский физик лауреат Нобелевской премии X. Альфвен. Из первых отечественных источников следует назвать главы из «Электродинамики сплошных сред» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [2], обзорную статью С.И. Сыроватского [3], монографию А.Г. Куликовского и

Г.А. Любимова [4], из более поздних - книгу Р.В. Половина и В.П. Демуцкого [5].

Чтобы осуществить предполагаемую реакцию синтеза, плазму необходимо сжать, нагреть и удержать в течении длительного (в масштабах быстрых плазменных процессов) времени. Сосудом, удерживающим плотную и горячую плазму, может быть только магнитное поле. Такова причина широкого интереса к разработкам и исследованиям многочисленных магнитных ловушек для удержания плазмы. Широко известны тороидальные ловушки - токамак (с сильиым тороидальным током в плазме) и стелларатор (с электрическим током в основном во внешних проводниках). Большой интерес и перспективы представляют тороидальные конфигурации, в которых проводники с током погружены в плазму. Проводники не закреплены внутри конфигурации, при этом магнитное поле, образованное током в самих проводниках и плазме, ограждает их от контакта с последней. Это расширяет возможности геометрии поля и дает надежду повысить эффективность удержания. Этому классу ловушек посвящено обширное число работ, отечественных и зарубежных, начиная с А.Д. Сахарова [6], Д.В. Орлинского [7] и С. Иошикавы [8]. Специальное внимание к данному классу ловушек и их перспективам уделено в работах А.И. Морозова, в которых оии названы «галатеями»[9,10].

Данная работа относится к циклу исследований в области математического моделирования и расчетов плазменных конфигураций, находящихся в равновесии в магнитном поле, в трех различных вариантах ловушек-галатеи.

С учетом свойств рассматриваемой области, исследование равновесных конфигураций, играющих существенную роль, необходимо проводить численно [11]. Математические модели плотной и горячей

плазмы [12,13] основаны на идеологии механики сплошных сред и используют уравнения магнитной газодинамики [14-18]. Если не принимать во внимание процессы формирования конфигураций в ловушках и ограничиться их исследованиями в состоянии равновесия, то соответствующие модели относятся к математической и вычислительной плазмостатике, которая в течении десятков лет успешно зарекомендовала себя в расчетах, связанных с разработкой многих известных ловушек. Хорошо известны тороидальные ловушки (токамак, стелларатор) к которым следует отнести и рассматриваемые ниже галатеи. В ряде вопросов достаточно исследовать их упрощенные распрямленные аналоги- вместо тора имеем дело с цилиндром, однородным или периодическим в осевом направлении.

Поскольку стадия удержания плазмы должна быть относительно длительной, её во многих смыслах достаточно рассматривать, как равновесную. В исследованиях свойств равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока значительную роль, наряду с теоретическими и экспериментальными работами, играют численные модели и расчеты с использованием современной высокопроизводительной компьютерной техники. Параметры плазмы в обсуждаемых ловушках позволяют, как правило, считать её сплошной средой, т.е. строить модели в терминах магнитной газодинамики. В применении к равновесным конфигурациям эти модели составляют содержание математической и вычислительной плазмостатики.

Широко распространены исследования, в которых ловушки по своей конструкции обладают симметрией - плоской, осевой, винтовой, или после несущественных предположений позволяют считать себя симметричными. В этих случаях математический аппарат плазмостатики, вообще говоря, трехмерный, фактически сводится к двумерным краевым задачам с одним

скалярным диффереициальным уравнением эллиптического типа для функции магнитного потока - уравнением Грэда-Шафранова[ 19-21] -с нелинейным распределением электрического тока в младших членах.

Численное решение задач позволяет найти равновесное распределение магнитного поля, электрического тока и давления плазмы в объеме конкретной ловушки и оптимизировать его в нужную сторону за счет варьирования параметров. С этими задачами связаны нетривиальные вопросы существования, единственности и устойчивости решения, общие для полулинейных эллиптических и параболических уравнений, которые участвуют в широком классе моделей взаимодействия процессов реакции и диффузии, например в теории горения (см. [22-3 6] с подробной библиографией).

Краевые задачи с уравнением Грэда-Шафранова успешно используются при моделировании равновесных магнитоплазменных конфигураций [37-42].

Простейшим примером, наглядно иллюстрирующим особенности математического моделирования равновесных конфигураций в ловушках-галатеях, является плазменный цилиндр с погруженными в него двумя прямыми проводниками, параллельными его оси. Это распрямленный аналог тороидальной ловушки «Пояс», предложенной А.И. Морозовым и А.Г. Франк, идея и первоначальные теоретические исследования которых представлены в работах [43,44]. Они были ориентированы на экспериментальную установку, предназначенную для развития исследований нейтрального токового слоя [45,46], но в процессе работы видоизмененную, поскольку конфигурации в «Поясе» оказались принципиально иными и в настоящее время работы [47,48] посвящены дальнейшему изучению токовых слоев. Токовый слой предложен С.И.

Сыроватским в качестве нестационарной модели солнечных вспышек, а «Пояс» - равновесная конфигурация в ловушке [49-52]. Математические модели токового слоя и соответствующие расчеты изложены в работах [46,53,54].

Теоретические [43] и экспериментальные [55] исследования «Пояса» дополнены его математическими моделями: плазмостатическими [56,М1,М2], описывающими возможные равновесные конфигурации в нем, и плазмодипамическими [50,51,49,57,58], связанными с их формированием.

Численные исследования равновесных конфигураций в распрямленной модели «Пояса» изложены в работах [56,М1]. Они проведены в терминах решения первой краевой задачи с уравнением Грэда-Шафранова. Значение функции магнитного потока ¥ задано на внешней границе области. Полное значение магнитного потока в области определяется в процессе решения задачи с учетом дополнительных предположений. В расчетах конфигураций в пробкотроне, антипробкотроне и «Галатее-А» он приравнен известному потоку в вакууме [40,23,22]. Единственным количественным (при заданных фиксированном токе в проводниках и распределении давления в области) параметром задачи, имеющим очевидный физический смысл, является максимальное значение давления р0, а все остальные характеристики конфигурации, в частности, величина и распределение плазменного тока в области, зависят от р0 и могут быть найдены в результате численного решения задачи.

Упомянутые расчеты, так же как и аналогичные исследования равновесных конфигураций в других ловушках-галатеях, проведены в предположении, что граничное значение 4^ = 4^ первой краевой задачи постоянно вдоль границы. Это означает, что граница области совпадает с

силовой линией магнитного поля, т.е. является проводящим кожухом, непроницаемым для поля.

Одна из задач настоящей работы - рассмотреть другие варианты плазмостатических моделей с уравнением Грэда-Шафранова и тем самым расширить область их приложений к исследованиям магнитных ловушек. Расширение предполагает избавиться, во-первых, от ограничений, обязанных магнитной непроницаемости границ и, во-вторых, исследовать влияние электрического тока в плазме на свойства плазменных конфигураций. Первым этапом является исследование свойств при постановке задачи с первым краевым условием. В большинстве работ в качестве граничного условия использовалось постоянное Ч' = х¥г=сопя( значение, решение задачи с этим условием в дальнейшем будут называться базовыми, для расширения возможностей конфигурации это условие варьируется. Исследование проводилось с граничным условием, зависящим от угла, а именно Т = ($0), данное предположение позволяет сделать

оболочку камеры проницаемой для магнитного поля, но при этом не изменять величину тока в области. Величина тока, как и ранее получается в результате решения. Второй этап, относится к изменению тока в ловушке, но, стоит отметить, что ток в проводниках фиксирован во всех постановках, таким образом, изменение тока происходит только в плазме. Величину тока при этом желательно задавать. И то и другое удается сделать, варьируя граничные условия в краевых задачах. Серии расчетов проведены в геометрии цилиндрического аналога ловушки «Пояс», однако концептуальные вопросы и качественная сторона результатов могут быть отнесены к широкому классу магнитных ловушек-галатей.

В работе ставится и решается вторая краевая задача с уравнением Грэда-Шафранова. Граничное условие второго рода па внешней границе

области задает нормальную производную функции Ч*, которая равна значению касательной компоненты напряженности магнитного поля Пт. Её интеграл по границе - циркуляция магнитного поля представляет собой полный электрический ток в системе. Он является здесь основным заданным параметром задачи. Максимальное значение давления р0 зависит от него и определяется в расчетах с помощью интегрального соотношения, обобщающего известное необходимое условие существования решения задачи Неймана в теории линейного уравнения Пуассона: поток искомой величины через границу области должен быть равен мощности источника в правой части уравнения (см. например, [59,60]). Решение второй краевой задачи сопоставлено с решением первой на базовом варианте конфигурации. Совпадение решений послужило тестом для расчета дальнейших вариантов.

Примером современных разработок галатей может служить «Тримикс - ЗМ» [61]. Галатей предполагаются, как правило, традиционной для ловушек тороидальной формы, однако многие теоретические положения и даже некоторые экспериментальные исследования, связанные с ними, возможны и удобны в более простом распрямленном варианте - цилиндре, однородном или периодическом в осевом направлении. К обобщениям и развитию «Пояса» следует отнести «Трилистник» - цилиндр с тремя параллельными токами [М1] и его более интересную разновидность -«стелларатор-галатею» (СГ) [52], в которой эти три тока - винтовые, обвивающие ось цилиндра. Исследования их проведены пока только численно на языке плазмостагических моделей [62,63,М1,М2], результаты которых могут стать полезными в становлении будущей теории.

Постановка обоих типов задач и их реализация в расчетах осуществлена в работе [М2] в приложении к «Поясу» и в [МЗ] в приложении к СГ. Результаты расчетов демонстрируют деформацию

равновесных плазменных конфигураций и изменение их параметров в зависимости от магнитного потока сквозь границу и от величины полного электрического тока.

Целью диссертации являются построение, исследование, развитие нелинейных математических моделей равновесных магнитоплазменных конфигураций в указанных ловушках, включая составление программного комплекса, и реализация модели в численных исследованиях геометрии и количественных характеристик конфигурации. Особое внимание уделено условиям на внешней границе цилиндра, допускающим её проницаемость для магнитного поля.

Методы исследования. "Распрямление" тора в цилиндр бесконечной длинны очевидно упрощает модель, в случае прямых проводников конфигурация автоматически обладает симметрией, а в случае винтовых проводников позволяет предположить винтовую симметрию, т.е. сделать задачу двумерной. Решение нелинейных краевых задач с двумерным уравнением Грэда-Шафранова строится, используя численные методы. Разностный аналог краевой задачи решается итерационным методом установления, нелинейная часть берется с предыдущего слоя, а линейная со следующего. Для численного решения систем линейных уравнений на следующем слое использовались метод продольно-поперечной прогонки и метод Фурье. Для анализа появившихся в решении бифуркаций используются спектральные свойства линеаризованного аналога дифференциального оператора. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++. Обзор математических моделей в задачах плазмостатики содержится в [22,23,М1,М2,МЭ]

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• Уточнения и модернизации математических моделей равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в цилиндре с погруженными в него проводниками с током. Модели используют аппарат двумерных краевых задач с уравнением Грэда-Шафранова для функции магнитного потока.

• Модификации математических моделей с помощью различных граничных условий первого и второго рода в упомянутых краевых задачах с целыо допустить прозрачность границ для магнитного поля и исследовать зависимость свойств конфигурации от величины полного электрического тока в плазменном цилиндре. Создание программного комплекса для реализации модели в расчете.

• Исследования геометрии и количественных характеристик магнитоплазменных конфигураций в расчетах серии задач в расширенных с помощью указанных модификаций постановках, а именно: распределения электрического тока в плазме, условий существования и единственности решения задач о равновесии, деформаций, вызванных прозрачностью границ цилиндра для магнитного поля.

На защиту выносятся:

1. Математические модели равновесных магнитоплазменных конфигураций построенные в терминах краевых задач с уравнениями типа Грэда-Шафранова, выбор и реализация численных методов, создание программного комплекса для расчетов на современных компьютерах, а именно:

а. Уточненная модель ловушек, допускающая адекватные задаче безразмерные значения параметров и расчеты на достаточно подробных сетках, использующая современные средства визуализации результатов.

б. Модифицированная модель ловушек с прозрачными для магнитного поля границами на основе первой краевой задачи с заданными значениями максимального давления плазмы и неоднородной по угловой компоненте функцией магнитного потока на границе.

в. Модифицированная модель ловушек на основе второй краевой задачи с заданной азимутальной компонентой магнитного поля на границе, которая соответствует заданной величине полного электрического тока в цилиндре. Она также допускает прозрачные для магнитного поля границы. Максимальное значение давления плазмы при этом определяется в процессе расчетов.

2. Результаты серии расчетов равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в трех разновидностях плазменного цилиндра с погруженными в него двумя и тремя прямыми и винтовыми проводниками с током, а именно:

а. Во всех вариантах конфигураций и ловушек найдено распределение электрического тока в плазме, которое характеризует его тенденцию к скинированию: ток отсутствует в областях максимального давления и сосредоточен вблизи границ конфигураций.

б. Найдены критические безразмерные значения максимального давления р10г, зависящие от параметров задач, которые соответствуют бифуркациям решений от единственно существующих к неединственным или несуществующим.

в. В расчетах конфигураций с прозрачными для магнитного поля границами в терминах модифицированных моделей количественно исследованы деформации поля и плазмы под

влиянием указанных изменений граничных условий задач. Найдены условия, при которых плазменные конфигурации сжимаются или растягиваются в направлении своих осей симметрии, что может быть вызвано дополнительными проводниками с током, расположенными за пределами рассматриваемой цилиндрической области ловушки. Научная новизна работы:

Основные результаты работы являются новыми. Они дополняют и развивают теорию равновесных конфигураций плазмы, токов и магнитного поля в ловушках и их математических моделей, представленную цитируемыми в диссертации источниками.

Обоснованность и достоверность численных результатов подтверждается внутренней сходимостью метода расчетов, совпадением полученных результатов с тестовыми точными решениями, полученными аналитически и сопоставлением с результатами других авторов.

Теоретическая, методическая и практическая значимость работы

Результаты работы

• вносят вклад в теорию равновесных конфигураций плазмы, удерживаемой магнитным полем с электрическим током в термоядерных ловушках, и их математических моделей;

• демонстрируют возможности математических моделей и расчетов па современных компьютерных системах и их развитие в исследованиях сложных физических процессов в термоядерной тематике;

• имеет перспективу применения в разработке новых разновидностей магнитных ловушек-галатей для удержания плазмы, анализа и интерпретации экспериментов и оптимизации параметров.

Результаты диссертационной работы использованы в качестве материалов при выполнении федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»: "Математические и вычислительные вопросы моделирования процессов в научно-технических задачах физики плазмы"№ 16.740.11.0156, и гранта РФФИ №12-01-00071

Апробация работы Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Ежегодные Научные сессии НИЯУ МИФИ, Москва, 2009-2014

2. Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко. Дюрсо, 10-16 сентября, 2012.

3. Международная конференция «Забабахипские научные чтения» Снежинск, 16-20 апреля 2012.

4. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и информатики» С56 (MPAMCS'2012) Дубна, ОИЯИ, 2227 августа 2012г.

5. Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» (ММСР'2013) Дубна, ОИЯИ, 8-12 июля 2013г

Публикации Основные результаты диссертационной работы отражены в 11 публикациях, в том числе 3 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК.

Первая глава посвящена постановке двумерной МГД- задачи о равновесии в распрямленном в цилиндр аналоге тороидальных ловушек с двумя прямыми проводниками с током, погруженными в плазменный

объем. Токи, протекающие в проводниках, равные по величине и по направлению, создают магнитное поле, которое призвано удерживать плазму внутри ловушки и не допустить контакта с ними, а также окружающей её оболочкой. Данная конфигурация обладает плоской симметрией, в силу которой, как хорошо известно, модель существенно упрощается: вместо трех векторных уравнений плазмостатики достаточно иметь дело с одним скалярным уравнением типа Грэда-Шафранова (1) для функции магнитного потока ¥ [19,21].

Уравнение Грэда-Шафранова - двумерное эллиптическое уравнение второго порядка. Его младшие члены содержат две произвольные функции одной переменной pQ¥) и /(У), которые описывают распределение давления плазмы и электрического тока между «магнитными поверхностями» Ч7 = const. В рассмотренном варианте постановки задачи давление плазмы задано так, чтобы сосредоточить плазму в ловушке в окрестности одной из магнитных поверхностей, а именно (2).

Функция электрического тока в указанном варианте равна осевой координате магнитного поля и поэтому в задачах о «Поясе» и «Трилистнике» / ^ о. Функция /*, задающая ток в проводниках, предполагается непрерывно рассредоточенной в их окрестностях небольшого диаметра. Задача симметрична относительно осей х и у, т.е. вдоль лучей <р = О и <р = я/2, который позволяет ограничиться решением задачи только в первом квадранте. Поставленная краевая задача решается численно. Для численного решения поставленные задачи приводятся к

(О

(2)

безразмерной форме. Единицы измерения всех величин образованы из размерных параметров, участвующих в постановке задачи. Разностный аналог уравнения типа Грэда-Шафранова использует стандартный пятиточечный шаблон на ортогональной координатной сетке с постоянными шагами Дг и Аср. Задачи с разностными уравнениями решаются итерационным методом установления. Линейное разностное уравнение для Тп+1 на следующей итерации решается методом продольно-поперечной прогонки. В этой главе также рассказано про использованные численные методы и особенности их применения. Затем описывается особенность постановки второй краевой задачи и возникающие дополнительные условия. Обсуждается неустойчивость и неединственность решений с помощью анализа малых возмущений решения в линейном приближении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гольдич, Алексей Сергеевич, 2014 год

Литература автора

Ml. Брушлинский К.В., Гольдич A.C., Десятова A.C. Плазмостатические модели магнитных ловушек- галатей // Матем. моделирование. 2012. Т.24. №8. С.81-96.

М2. Брушлинский К.В., Гольдич A.C. Краевые задачи вычислительной плазмостатики // Вестник национального исследовательского ядерного университета "МИФИ", 2013, том 2, № 3, С. 292-304.

МЗ. Брушлинский К.В., Гольдич A.C. Плазмостатические модели ловушек-галатей с магнитопроницаемыми границами // Физика плазмы, 2014, том 40, №8. С.687-696.

М4. Гольдич A.C. Численная модель равновесия плазмы в магнитной ловушке //Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2009.С.129;

М5. Гольдич A.C. Математическое моделирование равновесных конфигураций плазмы в магнитных ловушках// Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2012. С.138;

Мб. Гольдич А.С.Влияние граничных условий в плазмостатитеской модели магнитной ловушки Галатей // Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2013. С. 127;

М7. Гольдич A.C. Математическое моделирование равновесия плазмы в ловушках с магнитопроницаемыми границами // Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2014. С.226;

М8. Гольдич A.C. Плазмостатические модели некоторых ловушек галатей // Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко Дюрсо, 2012.

М9. Брушлинский К. В., Гольдич A.C. Численные модели удержания плазмы в магнитных ловушках // Международная конференция «Забабахинские научные чтения»: сборник материалов XI Международной конференции Снежинск: 2012. С.127;

М10. Гольдич A.C. Роли граничных условий в плазмостатичных моделях магнитных ловушек//Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и информатики» С56 (МРАМС8'2012):Тезисы докладов международной молодежной конференции- школы Дубна, ОИЯИ 2012г. С.77.

МП. Гольдич A.C. Краевые задачи с уравнением Грэда-Шафранова в моделировании магнитных ловушек//Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» (ММСР'2013): Тезисы докладов международной конференции Дубна, ОИЯИ, 2013г.