Математическое моделирование проволочных антенн и расчет входного сопротивления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ненашев, Анатолий Сергеевич

• Ненашев, Анатолий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ненашев, Анатолий Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ.

1.1 Гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке.

1.2 Гиперсингулярное интегральное уравнение с сингулярной правой частью.

1.3 Численное решение гиперсингулярного интегрального уравнения методом дискретных особенностей.

Выводы по разделу 1.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОВОЛОЧНОЙ АНТЕННЫ.

2.1 Постановка задачи математического моделирования проволочной антенны. Анализ методов расчёта проволочных антенн.

2.1.1 Постановка задачи математического моделирования проволочной антенны.

2.1.2 Методы расчёта проволочных антенн.

2.2 Решение задачи об излучении проволочной антенны.

2.2.1 Вывод интегрального уравнения проволочной антенны.

2.2.2 Особенность ядра интегрального уравнения.

2.2.3 Модели источников питания.

2.2.4 Уравнение проволочной антенны при запитке источником тока.

2.3 Расчёт характеристик проволочной антенны.

2.3.1 Входное сопротивление антенны.

2.3.2 Диаграмма направленности антенны.

2.3.3 Сопротивление излучения антенны.

Выводы по разделу 2.

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОВОЛОЧНОЙ АНТЕННЫ.

3.1 Квадратурные формулы для вычисления матрицы системы.

3.2 Расчёт диаграммы направленности и сопротивления излучения.

3.3 Квадратурные формулы для вычисления входного сопротивления.

3.4 Особенности вычисления некоторых интегралов.

Выводы по разделу 3.

4. РАСЧЁТ ИЗЛУЧАТЕЛЯ СОВМЕЩЁННОЙ АНТЕННОЙ РЕШЁТКИ.

Выводы по разделу 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование проволочных антенн и расчет входного сопротивления»

Разработка математических моделей проволочных антенн представляет одну из важных и актуальных проблем антенной техники. Вибраторная антенна, являющаяся частным случаем проволочной антенны, появилась в радиотехнике с момента её возникновения, когда A.C. Попов впервые использовал радиоволны для передачи сигнала в 1895 году и начал эпоху радио. В настоящее время системы вибраторных излучателей широко применяются для разработки антенн KB и УКВ диапазонов. Задача о расчёте характеристик проволочных антенн имеет давнюю и интересную историю.

Задача о распределении тока вдоль вибратора впервые была рассмотрена в статьях С.Poklingtona [2.18] и M.Abraham [2.14]. Они показали, что основному колебанию тока в вибраторе соответствует синусоидальное распределение тока вдоль провода антенны. Было установлено, что резонансная длина волны основного колебания близка к удвоенной длине вибратора. В работе [2.15] M.Abraham рассмотрел излучение вертикального заземлённого провода. Он считал Землю хорошо проводящей средой и показал, что её влияние можно учесть, вводя зеркальное изображение антенны. Достаточно подробно результаты излучения антенны, как линии открытой на конце, рассмотрены в работе И.Г. Клячкина [1.4].

Наибольшее распространение при расчёте распределения тока по проволочной антенне получил метод интегральных уравнений. При таком подходе задача о возбуждении антенны сводится к интегральному уравнению относительно функции распределения тока. Само интегральное уравнение выводится из уравнений Максвелла с учётом определённых граничных условий, а также дополнительных ограничений. Обычно в качестве дополнительных ограничений используется малость радиуса провода по сравнению с длиной волны и габаритами антенны, условие идеальной проводимости поверхности провода, а также предположение о равномерности распределения поверхностной плотности тока в сечении провода.

Отдельное внимание следует уделить граничным условиям, на базе которых выводится интегральное уравнение. Здесь можно выделить два основных подхода: равенство нулю продольной компоненты вектора электрического поля на поверхности провода [1.3] или на его оси [1.1]. В зависимости от выбора типа граничного условия получается интегральное уравнение первого рода [1.3; 1.1] с особенностью или без особенности в ядре. Несмотря на различия в ядрах, оба эти уравнения называются уравнениями Поклингтона,

В связи с тем, что интегральные уравнения первого рода с интегрируемым ядром относятся к классу некорректных задач, численное решение такого рода уравнений проводится методами регуляризации [1.13]. В качестве регуляризирующего метода обычно используется метод моментов, который позволяет получить хорошее приближение ряда интегральных характеристик антенны, однако сам ток может быть найден только с определённой погрешностью. С учётом этого, целесообразнее рассматривать уравнение с особенностью в ядре, которое получается при выборе граничных условий на поверхности провода. Однако при таком подходе получается интегральное уравнение Поклингтона с особенностью в ядре типа (г-20) 2 при г->г0, которое до недавнего времени не имело эффективных методов аналитического и численного решения [1.7]. Поэтому первыми исследователями уравнение Поклингтона решалось методом частичного обращения, который требует априорного задания стороннего поля, то есть модели источника питания антенны.

Одной из основных моделей источников питания проволочных антенн является источник ЭДС, впервые предложенный в работе Галлена [2.16]. Такая модель предполагает, что провод в точке питания не имеет разрыва, а стороннее электрическое поле сосредоточено в узком кольцевом зазоре у поверхности провода. При решении уравнения Поклингтона методом частичного обращения с учётом модели источника ЭДС получается известное уравнение Галлена [2.16].

Математическая модель, на основе которой получено уравнение Галлена, не учитывает согласования токов в линиях, питающих антенну и токов в излучателях. В данной модели эти процессы не зависят друг от друга. Это приводит к определённым противоречиям в постановке задачи. Как показано в работе Л. А. Вайнштейна [2.4], возбуждение вибратора бесконечно малым зазором, что описывается заданием Ест = и8{г), приводит к сингулярному распределению тока. В точке питания распределение тока имеет слабую особенность. Это приводит ко многим трудностям при применении результатов, поскольку одной из основных целей моделирования является определение условий согласования фидерных линий и излучателя.

Оригинальный метод исследования интегрального уравнения Галлена был разработан М.А. Леонтовичем и М.Л. Левиным [2.8]. В данной работе интегральное уравнение Галлена было сведено к неоднородному дифференциальному уравнению относительно полного тока, текущего вдоль вибратора. Полученное дифференциальное уравнение решалось методом возмущений относительно малого параметра %, который стремится к нулю при устремлении радиуса провода к нулю. На базе такого подхода авторами было получено распределение тока по бесконечно тонкому вибратору, а также выведена формула для входного сопротивления такого вибратора. В частности, для полуволнового вибратора было получено значение

Z¿5/l =73.2+ /42.5 О, которое является наиболее цитируемым в литературе по антеннам.

Самосогласованная модель возбуждения вибратора описана в работе [2.13]. В ней рассмотрено возбуждение вибратора двухпроводной линией, при этом волны тока отражаются от излома двухпроводной линии, что позволяет строго определить входное сопротивление вибратора. В работе [2.7] на основе прямого решения системы интегральных уравнений относительно токов как непосредственно в вибраторе, так и в проводящей двухпроводной линии получены поправки к входному сопротивлению, учитывающие взаимную связь излучателя и фидера.

Несмотря на весьма значительные полученные результаты, все указанные выше методы позволяют рассчитывать распределение тока только по одиночному вибратору. Для успешного применения модели интегрального уравнения к расчёту вибраторных антенн важной была работа А.Н. Тихонова и В.И. Дмитриева [2.12], где был предложен общий метод решения системы интегральных уравнений, описывающих распределение тока в системе параллельных линейных вибраторов. В этой работе получена система интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядрах и разработан метод их решения. Обобщение уравнения Галлена на случай антенн с произвольной геометрией было получено в работе Мея [2.17].

Подводя итог приведённого выше обзора существующих методов расчёта проволочных антенн, можно сделать вывод, что на данный момент есть несколько нерешённых задач, а именно:

- расчёт распределения токов по проволочной антенне произвольной геометрии с любой наперёд заданной точностью,

- универсальный учёт различных способов возбуждения антенн и расчёт входного сопротивления.

Решение перечисленных выше задач определяет актуальность проводимых в работе исследований.

Цель данной диссертационной работы состоит в разработке и реализации на ЭВМ метода математического моделирования процесса излучения электромагнитных волн проволочными антеннами произвольной формы и расчёт вторичных характеристик таких антенн, в частности, входного сопротивления.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Выведено интегральное уравнение проволочной антенны с достаточно гладкой образующей, построены квадратурные формулы для его численного решения.

2. Предложена новая математическая модель источника питания проволочной антенны - источник тока.

3. Получено решение гиперсингулярного интегрального уравнения с сингулярной правой частью в классе обобщённых функций. На базе данного решения показано, что модель источника тока позволяет рассчитывать входное сопротивление антенны.

4. Разработана методика расчёта входного сопротивления, диаграммы направленности и сопротивления излучения проволочной антенны на базе полученного распределения тока по антенне.

Практическая ценность разработанной математической модели для расчёта характеристик проволочных антенн сложной формы определяется тем, что решение перечисленных выше задач на основе одних экспериментальных исследований, связанных с измерениями входного сопротивления антенны и её диаграммы направленности, сопряжены с затратой больших материальных и временных ресурсов. Использование математических методов моделирования проволочных антенн позволяет сократить объём материальных и временных ресурсов при разработке антенны с заданными требованиями. Естественно, что любая математическая модель даёт только приближённое представление о реальной физической картине явления, однако она позволяет сузить область экспериментальных исследований. Для практической реализации модели на ЭВМ разработан комплекс программ общим объемом более 9000 строк на языке программирования Си++.

Апробация работы и публикации:

1. Научно-исследовательские семинары кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (руководители профессор Захаров Е. В., профессор Лифанов И. К.) и кафедры высшей математики ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского (руководитель профессор Лифанов И. К.).

2. Научно-исследовательские семинары кафедры радиотехнических и квантовых устройств ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского (руководитель Анфиногенов А. Ю.).

3. VIII Международный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-99", (г. Феодосия, 1-5 июня 1999г.)

4. IX Международный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2000" (г. Орел, 29 мая - 2 июня 2000 г.).

5. X Международный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики МДОЗМФ-2001" (г. Херсон, 29 мая - 5 июня 2001 г.).

6. Международный авиационно-космический научно-гуманитарный семинар (руководитель профессор Ништ М. И.).

Результаты работы опубликованы в 4 печатных трудах [2.1;2.2;2.10;2.11].

Рассмотрим структуру и краткое содержание работы, состоящей из введения, четырёх разделов, заключения и списка литературы, содержащего 35 наименований.

В разделе 1 изложены основные результаты исследований, проведённых автором в области аналитического и численного решения интегральных уравнений. Необходимость таких исследований возникла при рассмотрении математической модели проволочной антенны и источников питания антенны.

В первом подразделе представлены основные соотношения для гиперсингулярного интегрального уравнения вида

1)-гЩ = /Ы> 0) п -1 (хо ~ х)

Записана формула для решения интегрального уравнения (1) g(x) = - fin-К I f(x0)dx0, хе[-1,1].

Для интегрального оператора

А(ф),Х= х0 е(-1,1),

К-*) сформулировано спектральное свойство

Л(£/Дх),х0) = -(и + 1)^(х0), (2) sin ((и+ l) arccosx) где JJ (х) = —-—---—- - многочлен Чебышева второго рода. sin (arceos х)

Во втором подразделе на базе спектрального соотношения (2) автором построено решение гиперсингулярного интегрального уравнения с сингулярной правой частью следующего вида

- Lg/(x)^=—~>G ИЛ] • (3) яЦх-х0) *о-Ч Полученное решение имеет вид к - arccosx, -1 <х < а

S,(*H J* (4)

I-arccosx, q<x<í

В третьем подразделе представлены результаты исследований о сходимости численного решения уравнения (3), полученного с помощью метода дискретных особенностей, к точному решению (4). Необходимость таких исследований была обусловлена тем, что сходимость численного решения уравнения (1), получаемого с помощью метода дискретных особенностей, была доказана только в классе гёльдеровских функций [1.7], которому не принадлежит функция Результаты исследований приведены на рисунках 1 и 2. Сплошная линия на графике соответствует точному решению, а пунктирная - приближённому, п - количество отсчётов.

0.5л

-0.5л

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5я

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рисунок = 0,п = 50 )

Рисунок 2 - = 1,п = 200)

Также рассмотрены особенности вычисления интегрального выражения от функции gI(x) следующего вида и(х0)=—(5)

Выражения типа (5), как будет показано ниже, возникают при расчёте входного сопротивления проволочной антенны, запитываемой генератором тока. Для функции и(х0) на базе формул (4) и (5) получено точное значение и(х0) = -1п4 да-1.386.

Как показали численные исследования, для приближённого вычисления функции и(хй) в точке сингулярности д с хорошей точностью, необходимо воспользоваться квадратурными формулами типа дискретных вихрей применительно к преобразованному выражению (5) г/(х0) = — Г ^^ ^7(д-0)1п|д;0 +1|-—+ 0)1п[х0 —1|, ж ^х0-х ж ж где qф±\,

Тф;) = Х<Я>

В случае, когда # = ±1, та же методика применяется к выражению следующего вида и(х0) = — Г сЬс ±—1п|х0 +1|, ж^х0-х ж где знак "+" соответствует ц-1, а знак "-" соответствует д =

Результаты расчётов представлены на рисунках 3 и 4. Пунктирная линия обозначает точное значение функции и(х0), а сплошная - результат численных расчётов. Представленные графики подтверждают эффективность предложенного метода.

Раздел 2 работы посвящен построению математической модели проволочной антенны. В данном разделе автор придерживался следующей схемы исследований:

- исходя из математической модели, записывается интегральное уравнение проволочной антенны;

- выбирается математическая модель источника возбуждения антенны;

- с учётом поля источника решается интегральное уравнение, и находятся наведённые токи;

- по найденным токам рассчитывается поле излучения антенны и вторичные характеристики.

В первом подразделе дан краткий обзор существующих на данный момент методов и подходов к математическому моделированию проволочных антенн и расчёту их характеристик. Проведённый анализ подтвердил необходимость создания новой математической модели проволочной антенны.

Во втором подразделе выводится интегральное уравнение проволочной антенны, и анализируются две модели источников питания антенны.

Рассмотрим задачу рассеяния электромагнитной волны на идеально проводящей поверхности провода 5 с окружностью в основании радиуса р и гладкой образующей Ь (рисунок 5), не имеющей точек самопересечений, заданной параметрически в декартовой системе координат: х = х{1), у = у{1), 2 = 2{1),х{1\у{1\х(1)еС\ 1е[а,Ь]. Кроме того, для упрощения преобразований положим, что

Пусть теперь на поверхность провода падает электромагнитная волна с напряжённостью электрического поля Ё°(М0). Для нахождения рассеянного поля Ё5(М0) требуется решить уравнение Гельмгольца

Ч2Ё8(Мй) + к2Ё8{Мъ) = О, М0 (6) с граничным условием на поверхности 5 п°МохЁ8(М0) = -п°МохЁ\М0), Ai.eS (7) и условием излучения на бесконечности

ПтЯ а Ё8+1кЁ3 дК 0.

8)

Как показано в [2.5] решение уравнения Гельмгольца (6) с граничными условиями (7) и (8) можно искать в виде интегрального уравнения относительно поверхностной плотности токов 1 п

Мп

1кИММ() к1!-—]<&+ М)УИ

5 ПММп £ о я

-Ж

ММп

ВВИА им. Н. Е. Жуковского

Автором данной работы было доказано, что при следующих предположениях и ограничениях

10,<р0) = Е%)1%), р«Л, рк{1)»р, рт(1)>> р, рт(1)» тах |/-/0|, У1<=[а,Ь], и01=[а,Ьу двумерное векторное интегральное уравнение (9) сводится к одномерному скалярному интегральному уравнению относительно полного тока где

2ж

1(1) = р | Л1,ф)с1(р - амплитуда полного тока, 2 я ^-'Ммщ у о К

Км^Ш = гмм0 + V (1 -соз^),

I °(/) - орт касательной к кривой £, рк(1),рт(1) - радиусы кривизны и кручения кривой Ь соответственно. Доказано, что ядро уравнения (10) имеет гиперсингулярную особенность (/-/0)2 при / —> /0, поэтому само уравнение является корректным по Адамару [1.13].

Далее в данном подразделе проанализированы две модели источников питания антенн - источник ЭДС и источник тока, представленные на рисунках 6 и 7 соответственно.

Рисунок 6 - Источник ЭДС

1о Р ж

Рисунок 7 - Источник тока

Получены соответствующие выражения для стороннего поля, создаваемого этими источниками: для источника ЭДС г°(/0)=-ад/0),

И) для источника тока 2 к2 \к(и0)ш-—к 81 л г й

5 4 а

О V

81 К о V 2

12)

Как показали аналитические исследования, проведённые в разделе 1, решение интегрального уравнения (10) с правой частью, соответствующей полю источника ЭДС (11), имеет логарифмическую особенность в точке питания, что не позволяет рассчитать входное сопротивление антенны. В то же время показано, что решение, соответствующее запитке источником тока

12), в точке 1 = имеет разрыв первого рода величиной (-/0), а в точке = — - разрыв величиной /0. Этот результат с точки зрения физики соответствует первому закону Кирхгофа, так как в точках приложения питания имеется сторонний ток величиной /0. Поэтому уравнение, полученное при использовании модели источника тока, соответствует реальной физической картине.

В третьем подразделе выводятся формулы для расчёта вторичных характеристик проволочной антенны, на базе известного распределения тока по антенне.

Для расчёта входного сопротивления проволочной антенны в качестве источника питания используется модель источника тока (12). Касательная компонента суммарного электрического поля равна нулю вблизи г с1 <1^. поверхности провода, за исключением зазора [—] между клеммами питания. Так как й«X, то поле между зажимами можно считать псевдопотенциальным [1.15], тогда входное напряжение вычисляется следующим образом 2 и0= /едк.

С учётом выражения (12) формула для входного напряжения преобразуется к виду и0=Ф ^ ф ил к 2) ч2> о к2 рад/(/у/,

13) где

Ф(/0) = | 1(1)^к(и0)Ш+1{)щЛ) - '

81 т=

А 2

1(1), йГ й?

Л. 2]'

Автором было показано, что входное напряжение, вычисленное по формуле (13), имеет конечное значение, что позволяет вычислять входное сопротивление антенны по простой формуле

Также были получены выражения для расчёта диаграммы направленности и сопротивления излучения проволочной антенны

Сопротивление излучения антенны тесно связано с входным сопротивлением [1.1]: поэтому, вычислив входное сопротивление, можно было бы сразу находить сопротивление излучения. Однако в случаях, когда исследователя не интересуют вопросы согласования антенны с питающим фидером, можно использовать формулу (15), которая основана на интегральной характеристике антенны, поэтому при приближённом вычислении показывает более высокую скорость сходимости, чем формула для вычисления входного сопротивления (14),

В разделе 3 речь идёт о численном решении уравнения проволочной антенны, полученного ранее. Для решения этого уравнения используется метод дискретных особенностей, который хорошо себя показал при рассмотрении других задач математической физики, приводящих к уравнениям с сильной особенностью в ядре [1.7]. На основе модели источника тока автором построены квадратурные формулы для вычисления входного сопротивления антенны.

14) еНм)= ёКщх ¡ек^'К\1)Р(1)Ш , М еЬ, ь

15)

В первом подразделе получены следующие квадратурные формулы для численного решения уравнения проволочной антенны (10): I (16)

1СО£ ксн1 Я

А.к=-—Кдк,1^), В]к=(Т\10к)-Т\10/)) ¡К(1,1^с11,где {/4,/0у} 4 образуют каноническое разбиение кривой Ь (рисунок 8):

Ме^: \1м-1к\ = К 10к

1 + К АТ > массив значений к таких, что

Разрешимость системы (16) доказана в [1.7].

Если в качестве возбуждающего поля используется поле источника тока, то в правой части (16) будет стоять следующее выражение

ЕН10У) = 10 I г к2 г д д1 К с1 . о V

В качестве тестового примера для расчёта использовался симметричный вибратор, изображённый на рисунке 9. В работе [2.8] получен следующий закон распределения тока по бесконечно тонкому диполю, длина которого равна нечётному числу полуволн Я

1{г) = 1<)о,оъЪ, Ь = (2п + \)~(17)

На рисунке 10 изображено распределение тока по полуволновому вибратору (£ = 0.5/1, с1 = 10/? = 0.01£ ), полученное в результате численного решения уравнения проволочной антенны (N = 400), и распределение тока по закону (17).

1-

- 0 , Я

1т {.1} со5(кг)

1.5 1.25 1

0.75 0.5 0.25 0

-0,25 -0.5

У?*

У

У

-0 5-0.4-0.3-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 г

Рисунок 9 - Симметричный вибратор

Рисунок 10-(£ = 0.5/1)

Распределение действительной части тока близко к косинусоидальному закону, а мнимая часть тока на порядок меньше действительной.

Во втором подразделе получены формулы для приближённого вычисления диаграммы направленности и сопротивления излучения проволочной антенны мо ' еп х фи -^0* к&Ы,

ВВИА им. Н. Е. Жуковского 3027Г ^'((со3£Д£0 - соз(к + 1)Д 0О) X

Я'' Т"-2 А 10 к=О х £ + 0.5)Д$>0,(А: + О.5)Д0о)!'

И!=0 где

А90, А<р() — дискретные шаги разбиения углов сферической системы координат, изображённой на рисунке 11, N - число отсчётов по углам 0() и (р{) соответственно.

На рисунках 12 и 13 приведены примеры расчёта диаграмм направленности симметричного полуволнового и волнового вибратора в плоскости вектора Е.

ВВИА им. Н. Е. Жуковского

Ш100»0 80 70 120 1 О0 130 / os \ 50 т ( 08 \ 40 150 ¡' 06 j 30 160 \ 0.4 / 20 170 \ 0.2 /' 10 180 >♦< 0 190 / \ 350 200 / \ 340 ! 1 210 ^ ! 330 220 \ / 320 230 Ч У 310 240 300 260 270 280 uo100 90 80 70 120 1 60 130 / \ 50 140 / 08 \ 40 150 | 0.6 | зо 160 \ 0.4 20 170 \ 0.2 /' 10 \ / ISO Ж,. 0 190 / \ 350 200 / \ 340 210 ! 330 220 /' 320 230 \ / 310 240 ^ 300 250 260 270 280290

Рисунок 12-(1 = 0.52) Рисунок 13 ~(L = Á)

Полученные графики хорошо совпадают с результатами экспериментальных исследований [1.12].

В третьем подразделе получена квадратурная формула для расчёта скалярного потенциала проволочной антенны, на базе которой вычисляется входное сопротивление

Ф('о)* I + ЦЩМ- (18) еЛ', VI

10е{1к}\{а,Ь}

На рисунке 14 изображён график действительной и мнимой части входного сопротивления симметричного вибратора с размерами с1 = 4р = 0.04Ь в диапазоне — = 0.2.3, рассчитанного при общем количестве Л отсчётов N = 400, а также для сравнения приведён график сопротивления излучения.

Полученная зависимость входного сопротивления от длины волны качественно совпадает с результатами, представленными в работе [1.1].

В четвёртом подразделе приведены формулы для вычисления интегралов, фигурирующих в квадратурных формулах для приближённого решения уравнения проволочной антенны и расчёта входного сопротивления. Необходимость особого подхода к вычислению этих интегралов была осознана автором в период написания программы на ЭВМ, когда в процессе численного счёта вычисление элементов матрицы системы обычными приближёнными метода типа Симпсона занимало большее время, чем процесс обращения матрицы методом Гаусса. Полученные формулы позволили на порядок увеличить скорость выполнения расчётной программы.

Раздел 4 диссертационной работы посвящен решению конкретной прикладной задачи, связанной с созданием излучающего элемента для совмещённой фазированной антенной решётки (рисунок 15).

Рассматриваемая задача является частью более общей задачи о построении на одном раскрыве антенны двух фазированных антенных решёток X и Ь диапазонов. При этом в результате совмещения апертур должны максимально сохраняться высокие характеристики излучения радиолокатора (X - диапазон) и обеспечить требуемые характеристики запросчика государственного опознавания (Ь - диапазон).

В работе [1.17] наряду с другими выделяется проблема взаимовлияния излучателей двух диапазонов, которая сводится, по существу, к затенению раскрыва фазированной антенной решётки радиолокатора излучателями запросчика государственного опознавания. Классические полуволновые вибраторы обеспечивают неплохие характеристики, однако, их затенение достаточно велико, составляя примерно 5-6% проходящей энергии [1.17]. Уменьшение эффекта затенения примерно пропорционально коэффициенту укорочения апертуры излучателя, однако сделать это не так просто, так как при этом необходимо сохранить ряд характеристик неизменными, а именно - для заданной рабочей частоты излучатель должен быть резонансным, а его входное сопротивление должно находиться в пределах от 50 до 100 для согласования с цепью питания и обеспечения высокой мощности излучения,

- ширина диаграммы направленности излучателя должна быть не меньше ширины диаграммы направленности полуволнового вибратора, что

Простым укорочением симметричного вибратора можно уменьшить апертуру излучателя, однако, при этом резко падает сопротивление излучения вибратора, и, кроме того, реактивная часть входного сопротивления приобретает ёмкостной характер. В связи с этим, возникает задача создания излучателя искривлённой формы, удовлетворяющего предъявленным выше требованиям и имеющим меньшую апертуру по сравнению с аналогичным полуволновым вибратором.

Описанный в разделах 2 и 3 настоящей работы метод расчёта характеристик проволочных антенн представляет инструмент анализа при разработке антенн различной формы, то есть сформулированную выше задачу можно решить методом перебора геометрии антенн и анализа соответствия их характеристик предъявляемым требованиям. Следуя данной методике, автором был проведён анализ различных форм излучателей, результатом которого явился излучатель, представленный на рисунке 16. составляет около 80° на уровне половинной мощности.

Рисунок 16

Излучатель представляет собой изогнутый в виде половины дуги окружности провод с разрывом по середине, в который подключаются клеммы генератора. В дальнейшем будем именовать этот излучатель как "дуговой вибратор". При расчёте характеристик дугового вибратор предполагалось, что толщина провода равна расстоянию между клеммами питания и составляет 0.021, где Ь — апертура антенны. Проведённый анализ показал, что первый резонанс для данной антенны наступает при ширине апертуры ¿ = 0.3/1. Сопротивление излучения равно Яг-50 0. Диаграмма направленности в Е - плоскости представлена на рисунке 17.

90

Рисунок 17

Как видно из представленного графика, ширина диаграммы направленности на уровне половинной мощности составляет около 90°, то есть больше чем у полуволнового вибратора. В Н-плоскости диаграмма направленности дугового вибратора является круговой. Таким образом, дуговой вибратор удовлетворяет требованиям поставленной задачи.

Однако следует отметить тот факт, что расчёт характеристик предлагаемой антенны производился при условии того, что она помещена в свободное пространство. Если же вернуться к исходной задаче, а именно задаче разработки элементарного излучателя для решётки Ь- диапазона, размещённой над решёткой X - диапазона, то анализ характеристик дугового вибратора следовало бы проводить при условии наличия соседних излучателей и полотна решётки X - диапазона.

В работе проведён анализ влияния полотна решётки Х-диапазона, представленной в виде бесконечной идеально проводящей плоскости, на характеристики дугового вибратора. Расчёт характеристик дугового вибратора, размещённого над идеально проводящей плоскостью, проводился методом зеркальных отображений. В результате было получена оптимальная высота размещения дугового вибратора над полотном решётки X -диапазона равная 0.3 5Л (рисунок 18), при которой входное сопротивление антенны имеет только активную составляющую равную 70 01.

Также было оценено влияние соседних элементов на входное сопротивление дугового вибратора, которое оказалось довольно большим на расстоянии не превышающим длину волны. Для устранения этого недостатка

27

--ВВИА им. Н. Е. Жуковского обычно применяются различные методы размещения элементов решётки и их фазирования, которые в данной работе не рассматриваются.

В заключение хотелось бы отметить, что предложенный выше численный метод хоть и показывает хорошую сходимость результатов счёта, однако, в самой математической модели сделан ряд допущений, в частности об идеальной проводимости поверхности провода, которые идеализируют реальную физическую картину явления. Поэтому конечным этапом при проектировке любой антенны являются экспериментальные исследования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ненашев, Анатолий Сергеевич

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В ходе выполненных исследований, целью которых была разработка и реализация на ЭВМ метода математического моделирования процесса излучения электромагнитных волн проволочными антеннами произвольной формы, были получены следующие результаты:

1. Разработан и реализован на ЭВМ метод математического моделирования излучения проволочной антенны сложной формы, возбуждаемой произвольным источником стороннего поля с любой частотой колебаний. В работе использованы квадратурные формулы типа дискретных вихревых пар.

2. Предложена модель источника тока для питания проволочной антенны, на базе которой была разработана методика расчёта входного сопротивления проволочной антенны. При вычислениях использовались квадратурные формулы типа дискретных вихрей.

3. Проведён сравнительный анализ предложенной методики расчёта характеристик проволочных антенн с известными из литературы результатами на основе симметричного вибратора, который показал адекватность применяемой математической модели.

4. На основе разработанной методики было предложено решение задачи о выборе элемента совмещённой антенной решётки Х- и Ь-диапазонов, который обеспечивает меньший эффект затенения поля решётки Х-диапазона, по сравнению с полуволновым вибратором.

К числу нереализованных на данный момент возможностей модели является учёт реальной проводимости поверхности провода, анализ электрического контакта между разнесёнными излучателями посредством пассивных и активных элементов, использование блочных алгоритмов линейной алгебры для повышения скорости вычислений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ненашев, Анатолий Сергеевич, 2003 год

1. АЙЗЕНБЕРГ Г.З., БЕЛОУСОВ С.П., ЖУРБЕНКО Э.М. и др. Коротковолновые антенны. -М.: Радио и связь, 1985.

2. БЛЯШКЕ В. Введение в дифференциальную геометрию. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.

3. Вычислительные методы в электродинамике. Пер. с англ. / Под ред. Р. МИТРЫ. М.: Мир, 1977.

4. КЛЯЧКИН И.Г. Основы теории линейных антенн. Л.: ЛЭТИ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 1966.

5. КОРБАНСКИЙ И.Н. Антенны. М.: Энергия, 1973.

6. КОРН Г., КОРН Т. Справочник по математике. М.: "Наука", 1974.

7. ЛИФАНОВ И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО "Янус", 1995.

8. МУСХЕЛИШВИЛИ Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

9. ОЛВЕР Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: "Наука", 1978 г.

10. ПОЛЯНИН А.Д., МАНЖИРОВ А.В. Справочник по интегральным уравнениям. Точные решения. М.: "Факториал", 1998.

11. ПРУДНИКОВ А.П., БРЫЧКОВ Ю.А., МАРИЧЕВ О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. -М.: "Наука", 1983.

12. РОТХАММЕЛБ К. Антенны. М.: "Энергия", 1967.

13. ТИХОНОВ А.Н., АРСЕНИН В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

14. ТОЛСТОВ Е.Ф., ФИЛОНЧИКОВ В.Д., ШКОЛЬНЫЙ Л.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Теория сигналов, линейных цепей и систем. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1993.

15. ФЁДОРОВ H.H. Основы электродинамики. М.: "Высшая школа", 1980.

16. ФИХТЕНГОЛЬЦ Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -М.: Физматгиз, 1959.

17. Электронное управление лучом в бортовых радиолокационных комплексах. Результаты научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок. / Под ред. А. И. СИНАНИ -Санкт-Петербург, 2000.2. Статьи

18. АНФИНОГЕНОВ А.Ю., ЛИФАНОВ И.К., НЕНАШЕВ A.C. и др. Численное решение некоторых двумерных задач прикладной электродинамики. Электромагнитные волны и электронные системы, 2001, т.6, №2-3, с. 22-33.

19. ВАЙНИККО Т.Н., ЛИФАНОВ И.К. Моделирование задач аэродинамики и дифракции волн и расширение интегральных операторов типа Коши на замкнутых и разомкнутых кривых. Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, №9.

20. ВАЙНШТЕЙН Л.А. Симметричные электрические колебания идеально проводящего полого цилиндра конечной длины. ЖТФ, 1967, Т.37, №7, с. 1181-1195.

21. ДАВЫДОВ А.Г., ЗАХАРОВ Е.В., ПИМЕНОВ Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы. ДАН, 1984, т. 276, №1, с. 96-100.

22. ИЛЬИНСКИЙ A.C. Математические модели вибраторных антенн. В кн.: Прикладная математика и информатика №9. М.: МАКС Пресс, 2001, с. 60-79.

23. ИЛЬИНСКИЙ A.C., СЕЛИН В.И. Влияние фидера на электрические характеристики вибраторных антенн. Радиотехника, 1981, Т.36, №4, с. 62-66.

24. ЛЕОНТОВИЧ М.А., ЛЕВИН М.Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн. ЖТФ, 1944, Т.14, №9, с. 481-506.

25. НЕГАНОВ В.А., КОРНЕВ М.Г., МАТВЕЕВ И.В. Новое интегральное уравнение для расчёта тонкого электрического вибратора. Письма в ЖТФ, 2001, том 27, вып. 4.

26. ШАМЕЕВА H.A. Электродинамический расчёт симметричного вибратора, возбуждаемого в разрез двухпроводной линией. — ДАН, 1971, Т.201, №2, с. 328-330.

27. Abraham М. Annalen der Physik (Wied. Ann.), 1988, №66, p. 435.

28. Abraham M. Phisikalische Zeitschrift, 1901, №2,p. 329.

29. Hallen E. Theoretical investigation into transmitting and receiving antenna. -Nova Acta Regide Soc. Sei. Upsaliensis, 1938, Ser. 4.11, p. 1.

30. Mei K.K. IEEE Trans, on Ant. and Prop., AP-13, 1965.

31. Pocklington H.C. Proc. Cambridge Philosophical Society, 1897, №9, p. 324.