Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа кольцевой рамочной антенны и малоотражающего конформного покрытия объектов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Вороной, Андрей Андреевич

• Вороной, Андрей Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вороной, Андрей Андреевич

Введение.

Глава 1. Внутренняя задача для цилиндрической кольцевой антенны

1.1 .Функция Грина в цилиндрической системе координат.

1.2.Математическая модель цилиндрической кольцевой антенны.

1.3.Сингулярные интегральные уравнения для электродинамического анализа кольцевой антенны.

1.4.Метод решения системы сингулярных интегральных уравнений

1.5.Анализ распределений поверхностных плотностей токов по антенне.

1.6.Расчет входного сопротивления цилиндрической кольцевой антенны.

1.7.Выводы по главе 1.

Глава 2. Внешняя задача для различных физических моделей кольцевых (рамочных) антенн

2.1 .Внешняя задача для цилиндрической кольцевой антенны.

2.2.Внешняя задача для бесконечно тонкой проволочной кольцевой антенны.

2.3.Выводы по главе 2.

Глава 3. Малоотражающее конформное покрытие объектов

3.1.Дифракция плоской электромагнитной волны на металлическом кольце с разрывом.

3.2.Малоотражающее покрытие.

3.3.Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа кольцевой рамочной антенны и малоотражающего конформного покрытия объектов»

В настоящее время в России, как и во всем мире, наблюдается бурное развитие радиотехнических систем (РТС). Новые качественные характеристики радиотехнических систем в значительной мере определяются антенными устройствами. Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показателя РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др.

Кольцевые антенны являются одним из самых распространенных типов излучателей. Они применяются как самостоятельные антенны и часто используются в качестве составных элементов некоторых сложных антенных систем. Магнитные кольцевые антенны впервые были использованы армией США в качестве передающих в 1967 году во вьетнамской войне. После этого они прочно заняли свое место среди малогабаритных антенн других типов, используемых в радиотехнике. Магнитные кольцевые антенны часто являются единственным типом передающих антенн, которые могут быть установлены в ограниченном пространстве города. Во многих случаях магнитные рамки могут обеспечить более эффективную работу в эфире по сравнению с другими типами укороченных и суррогатных антенн.

Примером антенны такого рода является так называемая круглая антенна В.В. Татаринова в виде синфазного проволочного кольца или многоугольника с неизменной амплитудой на проводе. Часто замкнутые проволочные антенны называют рамочными антеннами.

Рамочная антенна может состоять из одного витка провода (одновитковая рамка) или нескольких последовательно включенных соосных витков провода (многовитковая рамка). Различают рамочные антенны, размеры которых малы в сравнении с длиной волны (электрически малые рамки), и рамочные антенны, размеры которых сравнимы с длиной волны. Для увеличения действующей длины электрически малых рамок они иногда снабжаются магнитным сердечником.

Применяются также экранированные рамки. Назначение экрана, в который помещается рамка, состоит в том, чтобы предохранить ее от влияния окружающих предметов, приводящего к нарушению электрической симметрии рамки.

Кольцевые излучатели получили широкое распространение также в качестве элементов фазированных антенных решеток (ФАР) в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Применение данного типа излучателей в ФАР и выбор необходимой конструкции позволяет обеспечить работу в более широкой полосе частот, а также электрическое сканирование лучом в достаточно широком секторе углов (до ±50° от нормали).

Обычно анализ кольцевой (рамочной) антенны проводится в приближении постоянной поверхностной плотности тока [1].

Решение задачи анализа кольцевой антенны в теории антенн в строгой математической и электродинамической постановке представляется крайне важным.

В.1. Электрические параметры в дальней зоне электрически малой рамочной антенны. Электрически малые рамки применяются на практике преимущественно в качестве приемных антенн. Поэтому рассмотрим работу рамочной антенны в режиме приема. н

Ln . а) б)

Рис. В.1. К определению электрических параметров электрически малой рамки

Пусть на плоскую одновитковую рамку произвольной формы (на рис. В.1,а для простоты изображена круглая рамка) падает плоская электромагнитная волна, вектор Умова-Пойнтинга которой образует угол 0 с нормалью к плоскости рамки (рис. В. 1,6). Полагая, что размеры рамки малы в сравнении с длиной волны, можно определить комплексную амплитуду электродвижущей силы (ЭДС) е, индуцированную в рамке в соответствии с законом индукции е = -шФ, где Ф = рЯ£ sin 9 - комплексная амплитуда магнитного потока, пересекающего рамку. Здесь S - площадь рамки; ц - магнитная проницаемость среды; Я - комплексная амплитуда напряженности магнитного поля. Учитывая, что Я = Е / 120л , получаем цсо е = -г

120тг

SE sin6.

CB.i)

Для свободного пространства ц = = 4л • 10 7 Г/м . Кроме того, со = кс , где к = 2%/Х и с = 3 • 108 м/с . Подставляя значения ц и со в формулу (В.1), будем иметь e = -ikSE sin6. (В.2) Если рамка состоит из п витков, то ЭДС будет в п раз больше: е = -iknSE sin 0. (В.З)

Амплитудное значение ЭДС равно е = knSE sin 9. (В .4)

Наибольшая величина ЭДС соответствует условию 9 = 90°: emax = knSE. (В.5)

Таким образом, диаграмма направленности (ДН) рамки имеет вид «восьмерки» F(9) = sin 9 в плоскости, перпендикулярной рамке и содержащей ее ось (рис. В.2), и вид окружности в плоскости, содержащей рамку;

ЭДС, индуцированная в рамке волной, приходящей с левого (0 < 6 < 180°) полупространства, отличается по фазе на п от ЭДС, индуцированной в рамке волной, приходящей с правого (180° < 9 < 360°) полупространства. ЭДС сдвинута по фазе на угол ±я / 2 по отношению к фазе электрического (и магнитного) поля падающей волны в центре рамки.

Направленные свойства рамки позволяют использовать ее для определения направления на радиостанцию. Например, если перпендикуляр к плоскости рамки совпадает с направлением распространения радиоволны, то ЭДС в рамке равна нулю (пеленгация по минимуму сигнала).

Действующая длина рамки по определению равна lg = emax / Е. Подставляя значение етах из (В.5), получаем ld = knS. (В.6)

Обычно рамка вместе с конденсатором настройки С (см. рис. В.1,а) образует входной контур приемника. Максимальное напряжение, снимаемое с контура (в точках аа'), равно

Umax = Qemax = knSQE, где Q - добротность контура, образованного рамкой и конденсатором. Эффективную действующую длину рамки определяют как k30=Umax/e = knSQ. (В.7)

Сравнивая (В.б) и (В.7), получаем

Ьзф - Qh

Для увеличения 1дэф нужно, чтобы произведение SQ было максимальным. Это значит, что рамка заданной площади должна иметь максимальную добротность, т.е. минимальное омическое сопротивление. Этим свойством обладает круглая рамка, имеющая наименьший периметр при заданной площади.

Сопротивление излучения рамки можно определить по формуле:

Rf=80n2(ll/X)\ подставляя вместо Zx значение 1д из (В.6):

RZp - 320%i{nS / X2)2, (В.8)

Так как у электрически малой рамки отношение S / X2 1, то ее сопротивление излучения ничтожно мало. Мал поэтому и коэффициент полезного действия (КПД) рамки, ввиду чего на длинных и средних волнах рамки применяются преимущественно в качестве приемных антенн. Как известно, на указанных волнах качество приема зависит не от КПД антенны, а от отношения сигнал/помеха. Направив ось рамки (9 = 0° и

0 = 180°) на мешающую станцию, можно существенно улучшить качество приема. Следует отмстить, что увеличение числа витков рамки ограничено из-за роста ее индуктивности, которая для настройки контура рамки в резонанс не должна быть больше вполне определенной величины. Эта величина зависит от начальной емкости контура (рис.В.1,а).

В.2. Рамки с магнитным сердечником. Значительного увеличения действующей длины рамочной антенны можно достигнуть, применяя рамки с магнитными сердечниками. Для изготовления сердечника используется материал, имеющий свойства диэлектрика (ничтожно мала проводимость), но обладающий большим значением относительной магнитной проницаемости (а. Широко применяются для этой цели ферриты, у которых величина ц составляет несколько сотен и даже тысяч. Если в рамку вставить магнитный сердечник (рис. В.З), то магнитный поток сквозь нее возрастет.

Рис. В.З. Рамка с магнитным сердечником

Способность сердечника концентрировать магнитный поток характеризуют магнитной проницаемостью сердечника, которую можно определить по формуле цс =ц/[1 + (ц-1 )N],

В.9) где N - коэффициент размагничивания, учитывающий размагничивающее действие концов сердечника и зависящий от его формы.

Аналитические выражения для коэффициентов размагничивания имеются только для некоторых сердечников правильной геометрической формы. Наибольший интерес представляет выражение для вытянутого сфероида, так как широко применяемые на практике сердечники в виде призмы и цилиндра в первом приближении могут быть аппроксимированы вытянутым сфероидом. Расчет коэффициента размагничивания в этом случае можно вести по следующей формуле:

N =

1 — 8 2 1-е

- е

В. 10) где s = л/(£2 - d2)/l2 - эксцентриситет сфероида; I и d - большая и малая оси сфероида.

На рис. В.4 приведены рассчитанные по формулам (В.9) и (В. 10) графики зависимости магнитной проницаемости вытянуто сфероида от отношения его осей при различной относительной магнитной проницаемости сердечника.

Не 120 100 80 60 40 20

4 8 12 16 20 24 28 1/d Рис. В.4. Зависимость магнитной проницаемости сердечника от отношения I/d [1]

При применении магнитного сердечника ЭДС в рамке возрастает, следовательно, увеличивается и ее действующая длина, которую можно определить по формуле ld=kSnlnAt (B.l 1) где - магнитная проницаемость антенны; щ - число витков рамки с магнитным сердечником.

Магнитная проницаемость антенны связана с магнитной проницаемостью сердечника соотношением цА=тлцс, (В. 12) где тА - коэффициент, который зависит от отношения длины рамки 1р к длине сердечника 1С (см. рис. В.З) и может быть определен по формуле тл «1-0,3lp/lc. (В.13)

Различие между величинами тА и объясняется тем, что величина магнитного потока в сердечнике убывает от его середины к краям. Формула (В.13) справедлива, если рамка намотана с постоянным шагом и расположена симметрично относительно сердечника. Смещение рамки к концу сердечника ведет к уменьшению тА .

Применение магнитного сердечника приводит также к росту индуктивности рамки L. Если витки намотаны вплотную, то можно считать, что индуктивность пропорциональна квадрату числа витков

L = fc1npn12- (В. 14) где коэффициент пропорциональности, цр - магнитная проницаемость рамки как катушки индуктивности, определяемая соотношением

1р = шРМ-с (В. 15)

Коэффициент тр зависит от отношения длины рамки к длине сердечника и растет при увеличении этого соотношения [1]. Если 1р =1С, то тр = 1. Обычно индуктивность рамки задана из условия согласования антенны со входом приемника, тогда можно записать

L = к^п2 = Zqja рп\. где п - число витков рамки без сердечника, обеспечивающее такую же индуктивность, что и рамка с сердечником, при одинаковом размере обеих рамок. Тогда имеем

В. 16)

Подставляя (В. 16) в (В.11), получаем l^kSn^/^. (В. 17)

Таким образом, действующая длина рамочной антенны с магнитным сердечником возрастает в / раз в сравнении с действующей длиной рамочной антенны без сердечника.

Во многих случаях можно считать, что » \хА. Тогда ld=kSnJ^. (В. 18)

Следовательно, применение магнитного сердечника дает возможность при неизменной площади витка рамки увеличить ее действующую длину в раз или при неизменной действующей длине уменьшить площадь витка в раз, что в ряде практических случаев (например, на летательных аппаратах), является важным.

В.З. Экранированные рамки [1]. Выше было сказано, что диаграмма направленности рамки имеет вид симметричной восьмерки, а направление нулевого приема перпендикулярно плоскости рамки. Однако ДН может быть искажена из-за нарушения электрической симметрии рамки. Это явление называется антенным эффектом рамки. Он может иметь место, например, тогда, когда рамка установлена несимметрично, так что половины, симметричные по конструкции, имеют различную емкость по отношению к корпусу радиоприемника и другим окружающим предметам. Из-за этого токи 7j и 12, протекающие по обеим половинам рамки (рис.В.5,а), будут разными по величине и фазе. М а) б) в)

Рис. В.5. К пояснению антенного эффекта рамки

Это можно интерпретировать как наличие в рамке синфазного 1С и противофазного токов (рис.В.5,б). Значения этих токов определяются из соотношений [1]: откуда h — hi + Iс ' 12 ~ Ai h>

In=(I1+Iz)/2,Ic=(I1-I2)/2.

В. 19)

Для простоты рассуждений влияние различия токов 1г и 12 поясним, полагая, что рамка работает в режиме передачи и возбуждается тремя генераторами (рис. В.5,в). Генераторы с ЭДС, равной Е1, вызывают в плечах рамки 1 и 2 противофазные токи 1п .

ДН рамки, обтекаемой этими токами, имеет в горизонтальной плоскости вид восьмерки.

Генератор с ЭДС, равной Е2, вызывает в плечах рамки синфазные токи 1С. Так как расстояние между плечами Ъ X, то оба плеча излучают как один вертикальный несимметричный вибратор, и ДН рамки, обтекаемой синфазными токами, имеет в горизонтальной плоскости вид окружности.

Результирующая ДН зависит от амплитудных и фазовых соотношений токов 1С и

1п . Наличие токов 1С приводит к искажению ДН, которое может проявиться в изменении направления нулевого излучения (приема), или в том, что в ДН вообще не будет провалов до нуля. При использовании такой рамочной антенны в режиме приема для пеленгации радиостанций угловая точность измерений ухудшается. Таким образом, различие токов в плечах рамки можно трактовать как результат наличия синфазных токов. Чтобы устранить антенный эффект рамки, нужно устранить эти токи.

Для этой цели рамку помещают в металлическую трубку-экран (рис.В.6), который в верхней части имеет зазор. Электромагнитная волна наводит на внешней поверхности экрана противофазные и синфазные токи. Однако на зазоре (в точках аа') разность потенциалов возникает только за счет противофазных токов. Благодаря этой разности потенциалов появляются противофазные токи на внутренней поверхности экрана, а также и в самой рамке за счет электромагнитной связи. Таким образом, рамка с экраном представляет собой высокочастотный трансформатор.

Рис. В.6. Экранированная рамка

Иногда экран изготовляют в виде незамкнутой заземленной обмотки, уменьшающей емкостную связь между рамкой и окружающими ее предметами.

В.4. Питание рамочных антенн [1]. Рис. В.7 иллюстрирует два способа питания рамочных антенн. Первый из них состоит в том, что несколько (на рис. В.7,а три) симметричных изогнутых трубчатых вибраторов располагаются по периметру круглого кольца. Питание от общего коаксиального фидера 1 к каждому симметричному вибратору подается проводом, проложенным вначале внутри радиальной трубки, а затем внутри одного плеча вибратора. Длина каждого симметричного вибратора обычно равна или меньше половины длины волны. При этом направление тока по периметру кольца не меняется. Некоторое изменение величины тока вдоль кольца на ДН влияет незначительно. а) б)

Рис. В.7. Способы питания рамочных антенн: а - коаксиальным фидером; б -двухпроводным симметричным фидером

При втором способе питания (рис. В. 7,б) применяют симметричный двухпроводный фидер. Перекрещивая провода фидера в центре антенны и выбирая периметр рамки равным или меньше 2А,, обеспечивают одинаковое направление тока по всем вибраторам, образующим рамку. При этом максимум ДН лежит в плоскости рамки.

В.5. Радиодевиация рамочных антенн летательных аппаратов [1]. Электрически малые рамки с магнитными сердечниками применяются на летательных аппаратах для радиокомпасов. Рамочная антенна помещается заподлицо с обшивкой аппарата в специальном углублении - ванне, обычно цилиндрической формы (рис.В.8). Напряженность электромагнитного поля убывает от раскрыва ванны к ее дну и тем сильнее, чем глубже ванна. Поэтому обычно применяют неглубокие ванны, а сердечнику придают форму параллелепипеда малой высоты. Раскрыв ванны закрывают плоским диэлектрическим обтекателем.

Под влиянием приходящей волны на поверхности летательного аппарата возбуждаются токи, которые являются источником вторичных волн. Эти волны

Рис. В.8. Вращающаяся рамочная антенна в цилиндрической ванне: 1 - рамка; 2 -механизм вращения рамки; 3 — ванна. интерферируют с приходящей волной, что приводит к изменению структуры поля вблизи летательного аппарата. Вследствие этого ДН рамки несколько искажается. Это явление называется радиодевиацией. Величина радиодевиации зависит от типа летательного аппарата и места размещения на нем рамки [I].

Актуальность работы

При решении проблем электромагнитной совместимости особый интерес представляет структура поля в ближней зоне антенны, ее характеристика направленности, уровни бокового излучения, а также определение значений электрического и магнитного полей.

При проектировании антенн, в качестве одного из путей достижения этой цели разрабатывают строгую математическую модель излучения антенны в свободном пространстве, которая позволяет в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.

Данная работа посвящена решению внутренней и внешней задач электродинамики для кольцевых антенных (рамочных) структур.

Пристальный интерес исследователей и разработчиков к кольцевым антеннам (КА) связан с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения.

КА часто используют в системах мобильной связи, охранной сигнализации, телевидении и т.п. Научным исследованиям данного класса антенн посвящено большое количество научных работ. Однако расчёты характеристик, как правило, основывались на различных приближениях и допущениях. Например, в [2] анализ рамочной антенны проводился с учётом равномерного распределения тока. В [3,4] использовалось квазистатическое приближение для проводника малого поперечного сечения. В [5] применялась теория длинных линий. Характерной особенностью большинства работ является использование заданных распределений тока как вдоль антенного провода, так и по его поперечному сечению, т.е. решалась несамосогласованная задача. Такой подход может быть оправданным при выполнении ряда условий лишь для излучателей малых электрических размеров. В общем случае необходимо найти распределение тока на антенне при заданном стороннем ЭДС. В самосогласованной постановке в [6] рассмотрена задача о распределении тока в рамочной антенне, находящейся в анизотропной плазме и представляющей собой бесконечно тонкую идеально проводящую узкую ленту, свёрнутую в кольцо. Исходя из уравнений Максвелла задача сведена к системе интегральных уравнений относительно азимутальной составляющей поверхностной плотности тока по проводнику. В приближении отсутствия «поперечного» резонанса электростатических волн во внутренней области кольцевой антенны (радиус рамки гораздо больше поперечного размера ленты) интегральные уравнения преобразованы к приближённым сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) с логарифмическими и сингулярными ядрами. Получены приближённые выражения для распределения тока и импеданса антенны. Однако, в [6] отсутствуют численные результаты. В [7,8], исходя из электродинамических потенциалов, описан электродинамический подход к задаче о распределении тока в полосковой антенне в виде рамки. Распределение тока по кольцевому проводнику ищется в виде ряда Фурье по азимутальным гармоникам, коэффициенты которого, зависящие от поперечной координаты, определяются из СИУ с особенностью типа Коши. Показано, что предложенный метод обладает хорошей внутренней сходимостью. В работе приведены комплексные распределения тока по кольцевому проводнику и зависимости входного сопротивления антенны от нормированного радиуса рамки.

Задачи о тонких проволочных антеннах, часто сводят к решению интегральных уравнений. В настоящее время многими авторами такой подход считается достаточно общим и строгим. Данный подход предполагает переход от интегродифференциальных уравнений к интегральным, с последующим их решением. В задачах нахождения токораспределения в тонких проволочных антеннах используют, по меньшей мере, два вида интегральных уравнений - Халлена и Поклингтона. По-видимому, первой работой в этой области следует считать [9], в которой уравнение Поклингтона использовалось для доказательства того, что распределение тока в тонком проводе близко к синусоидальному, а скорость волны тока равна скорости света. В [10] также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчету распределения тока по проводнику можно считать труды Халлена Е. [11], Леонтовича М.А. и Левина М.Л. [12]. В них рассмотрен трубчатый диполь, расположенный в свободном пространстве. Интегральное уравнение, полученное в работах [11,12] и названное уравнением Халлена, позволяло вычислять распределение тока по вибратору, расположенному в свободном пространстве, и его входное сопротивление.

При решении электродинамических задач расчета антенн широко используется тонкопроволочное приближение [13, 14, 15-20], сущность которого состоит в следующем. Рассматривается антенна, состоящая из цилиндрического проводника с диаметром, значительно меньшим длины волны. Относительно данной антенны ставится задача в виде интегрального уравнения, имеющего смысл граничного условия на поверхности идеального проводника для электрического поля, с учетом только продольных (параллельных оси провода) составляющих тангенциального поля и тока. При этом поверхностному току, умноженному на 2жа (а - диаметр проводника), сопоставляется линейный ток, текущий по оси провода. Такой подход позволяет существенно упростить вид искомой токовой функции, (векторная функция поверхностной плотности тока заменяется скалярной) и вид граничных условий (в качестве стороннего поля рассматривается лишь составляющая, вектор которой параллелен оси проводников).

В [18] показано, что максимальный электрический радиус полуволнового вибратора, допускающий 'юнкопроволочное приближение, составляет 0.125% длины волны. При радиусах, превышающих указанную величину, не удается получить устойчивое решение. По-видимому, это ограничение справедливо не только для полуволнового вибратора, но и для любого линейного проводника.

В последнее время появилось много новых работ, в которых также использовалось тонкопроволочное приближение [21-25].

Построение математических моделей элементарных излучателей с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока может быть осуществлено с учетом результатов работы [26].

Как правило, расчет тонких электрических излучателей основан на решении ингегродифференциальных уравнений Поклингтона и Харрингтона, а также интегрального уравнения Халлена методом моментов [14, 27-31]. По существу он сводится к преобразованию указанных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти неизвестные постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций [14-28], существуют достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Некоторые методы решения подобных уравнений рассмотрены в работах Неганова В.А. и Нефедова Е.И. (см., например, [32,33]).

При решении интегральных уравнений Покдингтона и Халлена методом моментов ключевым является вопрос о сходимости численных результатов. Зачастую у авторов в литературе возникают различные противоречивые рекомендации по выбору базисных функций. Например, многие исследователи отдают предпочтение кусочно-синусоидальным функциям, ссылаясь на то, что их использование дает наивысшую точность [14]. Однако, сходимость решений при этом [21] имеет немонотонный характер, и сходимость достигается при большом числе разбиений (больше 100), независимо от выбора базисных функций.

До середины 90-х годов на практике при анализе антенных решеток и вообще проволочных антенн, в основном, применялись методы, основанные на тонкопроволочном приближении [22, 23, 25, 34, 35], при котором ток в проводнике описывается как линейный (нитевидный), текущий вдоль оси провода, а тангенциальная составляющая поля определяется на поверхности проводника.

В [36] Эминовым С.И. был предложен новый класс базисных функций для решения таких уравнений, называемых собственными функциями интегродифференциального оператора. Однако, в результате использования этих функций, алгоритм численного решения оказывается сильно усложненным.

В [37-40] Негановым В.А. и Матвеевым И.В. был развит новый метод, с помощью которого на основе математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений СИУ [41-43], было получено СИУ относительно производной по продольной координате от плотности поверхностного тока на вибраторе. Такая постановка задачи является корректной по Адамару [44], благодаря чему обеспечивается наличие устойчивых решений даже при больших электрических радиусах проводников. Ранее этот подход с успехом применялся Негановым В.А. и Нефедовым Е.И. для построения математических моделей полосково-щелевых волноведущих и резонансных структур сверх- и крайневысоких частот [45-53]. Близкие подходы для излучающих систем, состоящих из ленточных проводников, были развиты в [54,55]. Метод СИУ был обобщен для электрического вибратора с учетом азимутальной зависимости тока и для плоского полоскового вибратора в работе [7, 56, 57]. Численные методы решения СИУ описаны в монографиях [41,42].

Нахождение электромагнитного поля (ЭМП) вне антенны по общепринятой терминологии теории антенн называется внешней задачей анализа. Эта задача обычно решается с помощью интегральных представлений ЭМП, в которые, как правило, входят регулярные функции Грина экспоненциального типа. Однако регулярные функции Грина не позволяют осуществить непрерывный переход от ЭМП на поверхности антенны к полю вблизи нее и обратно. Непрерывный переход можно осуществить только с помощью функций Грина, содержащих обобщенные функции (типа дельта функций) и сингулярностей типа Коши. Такие интегральные представления называют сингулярными интегральными представлениями (СИП) ЭМП для самосогласованной физической модели антенны. Этот метод впервые был предложен профессором В.А. Негановым [58]. Таким образом, под самосогласованным подходом понимается применение СИП ЭМП к анализу антенны, из которого при его рассмотрении на ее самосогласованной физической модели поверхности следуют сингулярные (или гиперсингулярные) интегральные уравнения (СИУ), из которых определяется распределение поверхностной плотности тока на антенне, т.е. решается внутренняя задача анализа [58]. Вопросам корректного решения внутренней задачи круглой цилиндрической рамки (т.е. применению к ней самосогласованного метода) посвящены работы [8, 59].

Здесь важно отметить, что СИП ЭМП является принципиально новой категорией в электродинамике, позволяющей устранить некоторые недоразумения, связанные с отсутствием предельного перехода ЭМП на поверхность антенны от ЭМП вне ее. В частности, СИП ЭМП и самосогласованная i рубчатая физическая модель позволили связать напряженности электрического и магнитного полей с током проводимости на диполе Герца [58], что является важным фактом критики некоторых теорий [60], утверждающих, что напряженности электрического и магнитного полей есть лишь удобный математический аппарат для анализа ЭМП в дальней зоне антенны.

Поскольку причины (физическая модель, некорректные математические выкладки, отсутствие предельного перехода) приводящие к некорректным задачам электродинамики прежде всего связаны с физическими особенностями задачи, процедуру регуляризации таких задач по терминологии В.А. Неганова представляет собой метод физической регуляризации (МФР) [58]. В отличие от него метод регуляризации Тихонова А.Н. интегральных уравнений Фредгольма первого рода [44] назван методом математической регуляризации.

Основные моменты МФР: СИП ЭМП, определяющие ЭМП в любой точке пространства через тангенциальное электрическое (или магнитное) поле на некотором контуре (или поверхности), и СИУ следующее из СИП при его рассмотрении на контуре (или поверхности). Метод МФР назван самосогласованным, поскольку МФР учитывает основные физические закономерности задачи и он позволяет непрерывно перейти от тангенциального поля на поверхности антенны к ЭМП вблизи нее и обратно. Иногда СИП ЭМП не записывается, а интегральное уравнение (обязательно содержащее сингулярности) получается непосредственно из граничных условий задачи.

Таким образом, в рамках самосогласованной физической модели задачи для любой точки пространства составляется СИП ЭМП, определенное через тангенциальное ЭМП на некоторой базовой поверхности антенны, описывающей наиболее характерные свойства электродинамической задачи. При рассмотрении СИП ЭМП на базовой поверхности антенны получается векторное СИУ относительно тангенциального электрического или магнитного поля на этой поверхности. После решения СИУ с помощью СИП ЭМП находят ЭМП в любой точке пространства. При таком подходе некорректностей, приводящих к разрывам ЭМП и неустойчивым вычислительным алгоритмам, в задачах практически не возникает. Особенно ценен данный алгоритм для вычисления ЭМП в ближних зонах электродинамических структур. В отличие от МФР, традиционный подход предполагает нахождение ЭМП с помощью двух этапов [29]. На первом этапе (внутренняя задача анализа) составляется и решается интегральное уравнение (чаще всего первого рода) относительно тангенциального поля на базовой поверхности антенны. На втором этапе (внешняя задача анализа) применяется интегральное представление ЭМП с регулярными экспоненциальными функциями Грина для определения поля в любой точке пространства через тангенциальное ЭМП на базовой поверхности. Здесь подчеркнем, что интегральное уравнение обычно не следует из интегрального представления ЭМП, поэтому и возникает разрыв поля при переходе с антенны в пространство вблизи нее и обратно.

МФР в данной работе применен к анализу излучающих цилиндрических кольцевых структур и малоотражающего конформного покрытия объектов.

Подводя итог анализу состояния вопроса, можно сделать следующие основные выводы:

1. Наиболее распространенные методы решения задачи анализа рамочных антенн имеют ряд недостатков. Как правило, они основаны на предположении синусоидального распределения тока на поверхности антенны. Расчет рамочных антенн разделяют на две части: внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренняя задача анализа состоит в определении токов на поверхности антенны по заданному возбуждающему полю, причем ток по всей антенне предполагается непрерывным, включая зазор (некий эквивалентный электрический ток). Внешняя задача заключается в том, что по известному распределению поверхностного тока по антенне с помощью функции Грина определяется поле излучения антенны в свободном пространстве. Такой подход является несамосогласованным, т.е. отсутствует непрерывный переход от поля в ближней зоне к полю (току) на поверхности излучения антенны и он не позволяет решить такую важную проблему как электромагнитная совместимость РТС.

2. Внутреннюю краевую задачу многие из известных методов анализа рамочных антенн сводят к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Их решение представляет собой некорректно поставленную задачу [44]. В [7,56,57] предложен метод, позволяющий интегро-дифференциальное уравнение Поклингтона свести к системе СИУ, относительно неизвестных гармоник производной (по продольной координате) от плотности поверхностного тока для плоского полоскового вибратора и рамочной антенны. Нахождение решений СИУ есть уже математически корректная задача, и проблема достоверности в этом случае не возникает.

Цель работы

Целью диссертационной работы является электродинамический анализ внутренних и внешних задач цилиндрической кольцевой (рамочной) антенны с помощью сингулярных интегральных уравнений и разработка конформного малоотражающего покрытия объектов на основе кольцевых структур с разрывом (киральных элементов).

Основные задачи работы:

- решение внутренней и внешней задач анализа цилиндрической кольцевой (рамочной) антенны в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо;

- решение внешней задачи анализа кольцевой (рамочной) антенны в виде бесконечно тонкого, идеально проводящего провода, свернутого в кольцо;

- теоретическая разработка конформного малоотражающего покрытия на основе кольцевых структур с разрывом (киральных элементов).

Методы исследования

Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде MathCAD 13.

Научная новизна диссертации:

- разработан алгоритм, представляющий собой решение внутренней задачи (определение распределения поверхностной плотности тока по антенне) для кольцевой (рамочной) антенны с помощью СИУ, и внешней задачи (расчет ЭМП), излучения антенны с использованием результатов решения внутренней задачи;

- показано, что кольцевая (рамочная) антенна при радиусе равном половине длины волны обладает однонаправленным излучением;

- теоретически предложено конформное покрытие на основе кольцевых структур с разрывом (киральных элементов), снижающее радиолокационную видимость;

- впервые проведен анализ дальней зоны излучения цилиндрической кольцевой (рамочной) антенны в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо;

- впервые проведен анализ дальней зоны излучения бесконечно тонкой идеально проводящей кольцевой (рамочной) антенны.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением для некоторых излучающих структур полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений.

Практическая ценность работы

В работе рассмотрены внутренние и внешние задачи электродинамического анализа для двух физических моделей кольцевой (рамочной) антенны: в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо и бесконечно тонкого идеально проводящего кольца. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренной антенны для возбуждения и приема электромагнитных волн. В частности, обнаружен эффект однонаправленного излучения, что в дальнейшем привело к решению весьма актуальной задачи создания малоотражающего радиолокационного покрытия на основе киральных элементов в виде кольцевых структур с разрывом. Разработанный в диссертации метод расчета антенн может быть обобщен на случай более сложных антенных систем: объемных спиральных антенн; плоских спиральных антенн; антенн, расположенных над границей раздела двух сред; фазированных антенных решеток и г.д.

Разработанные математически обоснованные электродинамические модели кольцевых структур могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы внутренней и внешней задач для кольцевой цилиндрической (рамочной) антенны, основанные на самосогласованном подходе.

2. Самосогласованные математические модели излучающих кольцевых структур (цилиндрическая и бесконечно тонкая проволочная), разработанные на основе математического аппарата теории СИУ.

3. Однонаправленное излучение кольцевой (рамочной) антенны при радиусе, равном половине длины волны.

4. Численные результаты анализа кольцевых структур (цилиндрических и бесконечно тонких проволочных): комплексные распределения поверхностной плотности тока по структурам; зависимости входных сопротивлений от их геометрических размеров; диаграммы направленности.

5. Малоотражающее конформное покрытие объекта на основе разомкнутых металлических плоских колец зазоры которых ориентированы в сторону объекта.

Личный вклад автора

В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задач и определение направлений, в которых нужно вести исследования. Подробное проведение рассуждений, доказательств и расчетов принадлежит диссертанту.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на XIII, XIV, XV, XVI научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (ПГУТИ) (Самара, Февраль 2006, 2007, 2008, 2009); на V, VI, VII, Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2006, Казань, сентябрь 2007; Самара, сентябрь 2008).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи в журналах, включенных в перечень ВАК и подана заявка на изобретение.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе рассмотрена цилиндрическая кольцевая антенна. Внутренние задачи анализа для такой антенны сведены к СИУ с логарифмическими особенностями относительно функций, определяющие распределения азимутальных составляющих поверхностной плотности тока.

В главе описан алгоритм решения СИУ с логарифмическими особенностями, основанный на методе ортогонализирующей подстановки. В результате чего процедура нахождения неизвестной функции сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов в разложении ее по полиномам Чебышева первого рода. Путем частичного обращения сингулярного интегрального уравнения первого рода внутренняя задача для анализа антенны была сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно вышеуказанной неизвестной функции. Известно, что нахождение численных решений уравнений Фредгольма второго рода является корректной математической задачей. Определены непосредственно функции распределения поверхностных плотностей токов, а также самих токов.

В главе приведены графики комплексных распределений поверхностной плотности тока при различных геометрических размерах антенны.

В главе получено простое выражение для нахождения входного сопротивления цилиндрической кольцевой антенны и приведены графики зависимости входного сопротивления от нормированного на длину волны радиуса цилиндрической кольцевой антенны при различных параметрах ее геометрической ширины.

Во второй главе получены математические выражения для построения диаграммы направленности двух физических моделей излучателя: цилиндрической кольцевой антенны и бесконечно тонкой проволочной кольцевой антенны.

В главе приведены диаграммы направленности при различных нормированных на длину волны радиусах кольцевых структур.

В третьей главе разработано конформное покрытие на основе кольцевых структур с разрывом, снижающее радиолокационную видимость.

В главе приведена и подробно описана структура конкретного конформного покрытия на основе кольцевых структур с разрывом, снижающего радиолокационную видимость.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Автор глубоко признателен научному руководителю проф. В.А. Неганову за постановку интересных задач, постоянную помощь в проведении научных исследований и моральную поддержку. Автор также признателен Д.П. Табакову, М.И. Лемжину, Д.С. Клюеву и А.А. Сарычеву за помощь в проведении численных расчётов.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Вороной, Андрей Андреевич

3.3. Выводы по главе 3

1. На основании результатов [70] теоретически разработана структура конформного малоотражающего покрытия на основе кольцевых структур с разрывом и проведен анализ его преимущества по сравнению с аналогами.

2. Теоретически разработан способ изготовления конформного малоотражающего покрытия на основе кольцевых структур с разрывом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам и выводам диссертации можно отнести следующее:

1. Разработан алгоритм расчета кольцевых (рамочных) антенн, основанный на решении сингулярных интегральных уравнений для нахождения поверхностной плотности тока на проводнике.

2. Проведен анализ диаграмм направленности кольцевых (рамочных) антенн в дальней зоне, на основе которого установлено, что при значении нормированной электрической длины кольца равной половине длины волны в свободном пространстве, антенна обладает однонаправленным излучением.

3. Предложено малоотражающее конформное покрытие объекта на основе киральных элементов в виде колец с разрывом, снижающее радиолокационную видимость в широком диапазоне частот.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вороной, Андрей Андреевич, 2009 год

1. Лавров, А.С. Антенно-фидерные устройства: учебное пособие для вузов Текст. / А.С. Лавров, Г.Б. Резников. М.: «Сов. радио», 1974. - 368 с.

2. Wang, T.N.С. Текст. / T.N.C. Wang, T.F. Bell // IEEE Trans. Antennas and Propagat. -1972. Vol. AP-20. -№ 3. - P. 394.

3. Андронов, А.А. Текст. / A.A. Андропов, Ю.В. Чугунов // УФН. 1975. - Т. 116. -№. l.-C. 79.

4. Мареев, E.A. Антенны в плазме Текст. / Е.А. Мареев, Ю.В. Чугунов Н.Новгород: ИПДАН СССР, 1991.-231 с.

5. Ohnuki, S. Текст. / S. Ohnuki, К. Sawaya, S. Adachi // IEEE Trans. Antennas and Propagat. 1986. - Vol. AP-34. - № 8. - P. 1024.

6. Заборонкова, T.M. К теории рамочной антенны в анизотропной плазме Текст. / Т.М. Заборонкова, А.В. Кудрин, Е.Ю. Петров // Известия вузов. Радиофизика. 1998. -Т. 41. -№ 3. - С. 358-373.

7. Корнев, М.Г. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения внутренних задач анализа рамочной и вибраторных антенн Текст.: автореф. канд. физ.-мат. наук. / М.Г. Корнев. Самара, 2003. - 15 с.

8. Неганов, В.А. Применение метода сингулярного интегрального уравнения к анализу рамочной антенны Текст. / В.А. Неганов, М.Г. Корнев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. — Т. 6. - № 1. — С. 41-45.

9. Pocklington, Н.С. Текст. / Н.С. Pocklington // Camb.: Phil. Soc. Proc. № 9 -P. 324 (1897).

10. Pichmond, J.H. Текст. / J.H. Pichmond, // Proc. IEEE. № 53. - P. 796 (1965).

11. Hallen, E. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas Текст. / E. Hallen // Nova Acta (Uppsala). 1938. - № 11. - P. 1-44.

12. Леонтович, M.A. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах Текст. / М.А. Леонтович, М.Л. Левин // ЖТФ. 1994. - Т. 14. - Вып. 9. - С. 481.

13. Кинг, Р. Антенны в материальных средах: в 2-х кн., пер. с англ. под. ред. Б.В. Штейншлейгера. Текст. / Р. Кинг, Г. Смит М.: Мир, 1984. - 824 с.

14. Вычислительные методы в электродинамике Текст. / под ред. Р. Митры; пер. с англ, под ред. Э.Л. Бурштейна. М.: Мир, 1977. - 485 с.

15. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн Текст. / М.В. Корнилов [и др.] // Радиотехника. 1989. - № 7. - С. 82-83.

16. Назаров, В.Е. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн Текст. / В.Е. Назаров, А.В. Рунов, В.Е. Подиногин // Радиотехника и электроника. Минск: Вышейшая школа, 1976. — Вып. 6. — С. 153-157.

17. Стрижков, В. А. Математическое моделирование электрических процессов в проволочных антенных системах Текст. / В.А. Стрижков // Математическое моделирование. 1989.-Т. 1. -№ 38. - С. 127-138.

18. Радциг, Ю.Ю. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами Текст. / Ю.Ю. Радциг, А.В. Сочилин, С.И. Эминов // Радиотехника. 1995. - № 3. - С. 55-57.

19. Эминов, С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора Текст. / С.И. Эминов // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38. - Вып. 12. - С. 2160-2168.

20. Эминов, С.И. Теория интегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток Текст. / С.И. Эминов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. -1997.-Т. 5.-Вып. 2(18).-С. 48-58.

21. Лиштаев, О.Б. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии Текст. / О.Б. Лиштаев [и др.] // Радиотехника. 1992. -№ 1-2. - С. 87-88.

22. Лешеев, А.А. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов Текст. / Лешеев А.А. // Радиотехника. 1995. -№ 1-2. - С. 22-25.

23. Журбенко, Э.М. О строгой теории элементарного электрического вибратора Текст. / Э.М. Журбенко // Электросвязь. 1995. -№ 3. - С. 34-36.

24. Бородулин, И.В. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решёток из проволочных излучателей Текст. / И.В. Бородулин, В.А. Стрижков // Электросвязь. 1995. -№ 3. - С. 33-34.

25. Васильев, Е.Н. Распределение тока на цилиндре средней толщины Текст. / Е.Н. Васильев, Г.Д. Малушков // Известия вузов. Радиофизика. 1975. - Т. 10. — № 4. — С. 530-538.

26. Harrington, R.F. Field computation by moment methods Текст. / R.F. Harrington. -MacMillan, New York, 1968.

27. Mishra S.R. Three-term exponential product solution for the current on dipole antennas in homogeneous isotropic media Текст. / S.R. Mishra // Tech. Rept. № 636. Division of engineering and applied physics, Harvard University, Cambridge, Mass., 1972.

28. Сазонов, Д.М. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов Текст. / Д.М. Сазонов. М.: Высшая школа, 1988. -432 с.

29. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн: учебник для вузов Текст. / Г.А. Ерохин, [и др.]; под ред. Г.А. Ерохина. М.: Радио и связь, 1996. - 352с. •

30. Канторович, JI.B. Приближённые методы высшего анализа Текст. / JT.B. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: ГИФНЛ, 1962. - 708 с.

31. Неганов, В.А. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линий передачи для объемных интегральных схем СВЧ Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефедов // ДАН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5. - С. 1124-1129.

32. Неганов, В.А. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефёдов, Г.П. Яровой. М.: Наука. Физматлит, 1996. - 304 с.

33. Коротковолновые антенны Текст. / Г.З. Айзенберг [и др.]; под ред. Г.З. Айзенберга. -М.: Радио и связь, 1985 536 с.

34. Плотников, В.Н. Численно-аналитический метод расчёта вибраторных антенн Текст. / В.Н. Плотников, А.В. Сочилин, С.И. Эминов //Радиотехника. 1996. -№ 7.

35. Эминов, С.И. Метод собственных функций сингулярных операторов в теории дифракции применительно к электродинамическому анализу вибраторных и щелевых антенн Текст.: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / С.И. Эминов. Новгород, 1995. - 43 с.

36. Неганов, В.А. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. - Т. 2. - № 2. - С. 27-33.

37. Неганов, В.А. Новый метод расчёта тонкого электрического вибратора Текст. /

38. B.А. Неганов, И.В. Матвеев // Известия вузов. Радиофизика. 2000. - Т. 43. - № 3.1. C. 335-344.

39. Неганов, В.А. Применение сингулярного интегрального уравнения для расчёта тонкого электрического вибратора Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев // ДАН. 2000. -Т. 371. -№ 1.- С. 36-38.

40. Неганов, В.А. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев, С.В. Медведев // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 36. - Вып. 12. - С. 86-94.

41. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи Текст. / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

42. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения Текст. / Н.И. Мусхелишвили. -М.: Наука, 1986. 512 с.

43. Гахов, Ф.Д. Уравнения типа свёртки Текст. / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. М.: Наука, 1978.-296 с.

44. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 288с.

45. Гвоздев, В.И. Применение преобразований Швингера для расчёта дисперсии симметричной щелевой линии Текст. / В.И. Гвоздев, В.А. Неганов // Известия вузов. Радиофизика. 1984 - Т. 27. - № 2. - С. 266-268.

46. Неганов, В.А. Метод ортогонализующей подстановки для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур Текст. / В.А. Неганов // Известия вузов. Радиофизика. 1985 - Т. 28. - № 2. - С. 222-228.

47. Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта собственных волн экранированной щелевой линии Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. -1985.-Т. 30.-№7.-С. 1296-1299.

48. Неганов, В.А. Метод ортогонализующей подстановки в теории экранированных интегральных структур СВЧ Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефёдов // ДАН СССР. 1985. -Т. 284.-№5.-С. 1127-1131.

49. Неганов, В.А. Метод сингулярных интегральных уравнений для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1986. - Т. 31. - № 11. - С. 479-484.

50. Неганов, В.А. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объёмных интегральных схем СВЧ Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефёдов // ДАН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5. -С.1124-1129.

51. Неганов, В.А. Метод интегральных представлений полей собственных волн в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1989. - Т. 34. -№ 11. - С. 2251-2260.

52. Неганов, В.А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33. - № 5. - С. 1076-1077.

53. Buiter, C.M. Текст. / С.М. Bulter, D.R. Wilton // IEEE Trans. Antennas Propogat. -1980. Vol. AP-28. - № 1. - P. 42.

54. Bulter C.M. Текст. / C.M. Bulter // IEEE Trans. Antennas Propogat. 1984. -Vol. AP-32. - № 3. - P. 226.

55. Неганов, В.А. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тока на поверхности узкого полоскового вибратора Текст. / В.А. Неганов, М.Г. Корнев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2002. - Т. 5. — № 4. - С. 34-36.

56. Неганов, В.А. К электродинамической теории узкого полоскового вибратора Текст. / В.А. Неганов, М.Г. Корнев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2003.-Т. 6. -№ 1. С. 36-40.

57. Неганов, В.А. Физическая регуляризация некорректных задач электродинамики Текст. / В. А. Неганов. М.: Сайнс-Пресс, 2008 - 450 с.

58. Неганов, В.А. Метод сингулярного интегрального уравнения в задаче о распределении тока в кольцевой полосковой антенне Текст. / В.А. Неганов, Н.М. Святкин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2005. - Т. 8. - № 2. - С. 61 - 67.

59. Харченко, К.П. «Электромагнитная волна», энергия поток реальных фотонов Текст. / К.П. Харченко, В.Н. Сухарев - М.: КомКнига, 2005. - 128 с.

60. Неганов, В.А. Линейная макроскопическая электродинамика. Т.1 Текст. /

61. B.А. Неганов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой; под. ред. В.А. Неганова. М.: Радио и связь, 2000.-509 с.

62. Электродинамика и распространение радиоволн Текст.: учебник для радиотехнич. специальностей вузов / В.А. Неганов [и др.]; под ред. В.А. Неганова и С.Б. Раевского; -изд 3-е, доп. и перераб. / М.: Радиотехника, 2007. - 744 с.

63. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст. / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108с.

64. Бейтмен, Г. Высшие трансцедентные функции. Т. 2 Текст. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1974.-296 с.

65. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн Текст. / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. M.-JL: Энергия, 1976. - 376с.

66. Митра, Р. Аналитические методы теории волноводов: пер. с англ. Текст. / Р. Митра,

67. C. Ли; под ред. Г.В. Воскресенского. -М.: Мир, 1974. 323 с.

68. Драбкин, А.Л. Антенно-фидерные устройства Текст. / А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко, А.Г. Кислов. изд. 2-ое, доп. и перераб. - М.: «Сов. радио», 1974. - 536 с.

69. Манжиров, А.В. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения Текст. / А.В. Манжиров, А.Д. Полянин. М.: Факториал Пресс, 2000. - 385 с.л

70. Неганов, В.А. Дифракция плоской электромагнитной волны Н поляризации на идеально проводящем разомкнутом кольце Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Пряников, Д.П. Табаков // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. - Т. 11. -№1-с. 22-29.

71. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн Текст. / В.В. Никольский, Т.И. Никольская. -М.: Наука. 1989. - 544 с.

72. Заявка на патент РФ, Неганов В.А., Вороной А.А., Табаков Д.П. конформное покрытие объектов, слабо отражающее электромагнитные волны и способ его создания Текст.: регистрационный №2008133917, дата поступления 18.08.2008.

73. Поглотитель электромагнитных волн и способ его изготовления Текст.: пат. RU 2119216 С1 Рос. Федерация. Борзенко Г.П., Ткачев Н.А. 9611654/09. Заяв. 1996.08.13. (РФ). Опубл. 1998.09.20. (статус: по данным на 17.09.2007 - прекратил действие).

74. Радиопоглощающее покрытие, способ получения и управления его свойствами и устройство для дистанционного измерения отражательных свойств покрытий на объектах в СВЧ диапазоне радиоволн Текст.: пат. 2155420 С1 Рос. Федерация: Шабанов С.Г. -2000.08.27.

75. Неганов, В.А. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефедов, Г.П. Яровой. -М. «Радио и связь» 2002. 415 с.