Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа поля в ближней зоне электрических вибраторных антенн и решеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Лемжин, Михаил Игоревич

• Лемжин, Михаил Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лемжин, Михаил Игоревич

Введение.

Глава 1. Электродинамический анализ электромагнитного поля в ближней зоне полуволнового трубчатого электрического вибратора и диполя герца.

1.1. Физическая и математическая модели электрического вибратора.

1.2 Сингулярные интегральные представления поля для электрического вибратора.

1.3 Сингулярное интегральное уравнение для нахождения поверхностного тока электрического вибратора.

1.4. Анализ трансформации электромагнитного поля излучения полуволнового электрического вибратора с поверхности антенны до дальней зоны.

1.5. Анализ трансформации электромагнитного поля излучения диполя Герца с поверхности антенны до дальней зоны.

1.6. Выводы по главе 1.

Глава 2. Обобщение метода сингулярных интегральных уравнений для связанных вибраторов.

2.1 Физическая и математическая модели системы из двух трубчатых электрических вибраторов.

2.2 Анализ системы двух одинаковых трубчатых электрических вибраторов

2.3 Сравнение метода СИУ и метода наведенных ЭДС для расчета входных собственных и взаимных сопротивлений системы двух одинаковых трубчатых электрических вибраторов.

2.4 Электродинамический анализ антенной решетки, состоящей из одинаковых полуволновых вибраторных антенн.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. Электродинамический анализ электромагнитного поля турникетной антенны.

3.1. Физическая и математическая модели турникетной антенны.

3.2. Анализ электромагнитного поля излучения турникетной антенны.

3.3. Выводы по главе 3.

Глава 4. Электродинамический анализ электромагнитного поля криволинейного вибратора и антенной решетки на его основе.

4.1 Физическая и математическая модели криволинейного вибратора (S-элемента).

4.2 Сингулярное интегральное уравнение для S-элемента.

4.3 Решение гиперсингулярного интегрального уравнения (ГСИУ) S-элемента.

4.4 Интегральные представления для Ех,Еу, Ez составляющих поля Sэлемента.

4.5 Анализ электромагнитного поля излучения S-элемента.

4.6 Физическая и математическая модели системы двух S-элементов.

4.7 Электродинамический анализ системы двух S-элементов.

4.8 Электродинамический анализ решетки S-элементов.

4.9. Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение сингулярных интегральных уравнений для анализа поля в ближней зоне электрических вибраторных антенн и решеток»

В настоящее время в России, как и во всем мире, наблюдается бурное развитие радиотехнических систем (РТС). Новые качественные характеристики радиотехнических систем в значительной мере определяются антенными устройствами. Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показателя РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др.

Вибраторные антенны (ВА) являются одним из самых распространенных типов излучателей. Они применяются как самостоятельные антенны и часто используются в качестве составных элементов сложных антенных систем и решеток. Например, турникетные антенны, представляющие собой два скрещенных вибратора, широко используются для передачи телевизионного сигнала. В сотовой связи электрические и щелевые вибраторы повсеместно устанавливаются на базовых станциях в качестве передающих и приемных антенн. В диапазонах KB и СВ в качестве ВА обычно применяют многожильные гибкие провода (антенные канатики), в диапазоне СВЧ - стержни или полые трубки. Вибраторы большого поперечного сечения иногда выполняют из нескольких параллельных проводов малого сечения, соединенных перемычками на концах и в нескольких сечениях по длине. В последнее время часто применяются полосковые и мик-рополосковые вибраторы, позволяющие уменьшить габариты антенного устройства.

Электрический вибратор, так называемый вибратор Герца, впервые был создан в 1888 году Генрихом Герцом для применения в опытах подтвердивших существование электромагнитных волн. Это был медный стержень с металлическими шарами (или полосами) на концах, в разрыв которого (искровой промежуток), включалась катушка Румкорфа. Наименьший из применявшихся 4

Герцем вибраторов имел длину 26 см, в нём возбуждались колебания с частотой порядка 5 ■ 108Гц, что соответствует X = 60 см.

Обычно анализ ВА проводится в тонкопроволочном приближении, когда антенна заменяется бесконечно-тонкой нитью тока, расположенной в центре вибратора [9]; поэтому результаты анализа таких антенн в ближней зоне являются некорректными.

Решение задачи анализа вибраторной антенны в ближней зоне в теории антенн в строгой математической и электродинамической постановке представляется крайне важным. Особенно важна эта задача для проблем электромагнитной экологии и электромагнитной совместимости.

В.Х. Элементарный электрический вибратор. Диполь Герца представляет собой тонкий проводник длиной I с шарами на концах. Шары создают емкость, которая позволяет получить постоянную амплитуду тока вдоль проводника.

Объемное распределение тока в диполю представляется в виде у', z') = Гг1 Б(х'Пу'Жг'), fx = fy = 0, (B.l) где Iezl - момент тока диполя, 5(a) - дельта-функция Дирака.

Составляющие векторного электродинамического потенциала в декартовой системе координат записываются следующим образом

ТЧ e~ikr

-» Al = Kj - °> (В.2) где г = у]х2 + у2 + z2 .

Соответственно, составляющие электрического и магнитного полей в сферической системе координат будут записываться следующим образом

VI

H =^sine р 4тс

-ikr

-ikr ik

E,

Ed

VI z-cos 0

2izme0ek

-ikr

-ikr ik

VI z—sin e

47T2COS0Sfc

-ikr Г

-ikr

B.3) ikк

2 e

-ikr

Hr=H0=E^ 0.

Диаграмма направленности (ДН) диполя Герца изображена на рис. В.1.

F(0) Ф = const тг/2

Рис. В.1. ДН диполя Герца

В.2. Элементарный магнитный излучатель. Физическую модель магнитного вибратора можно получить, если взять стержень из материала с магнитной проницаемостью значительно больше магнитной проницаемости окружающей среды, например, из феррита. В качестве возбуждающего устройства можно использовать петлю, обтекаемую током проводимости. Постоянство вектора магнитной индукции вдоль стержня обеспечивается с помощью шаров на его концах, выполненных из магнитного материала (ц ^ 1).

Объемное распределение плотности магнитного тока представляется в виде j:(x',y',z') = 1?Щх'Щу'П2>), £ = j™ = 0,

В.4) где I - длина магнитного излучателя, I™ - амплитуда магнитного тока, представляющая собой произведение модуля тангенциальной составляющей напряженности электрического поля на поверхности вибратора Е на периметр его поперечного сечения.

Воспользовавшись принципом двойственности с учетом (В.З) получаем выражения для составляющих электромагнитного поля элементарного магнитного излучателя

1т1

Еа = sin 0 ф 4%

Нг =

Н0 =

1™1

2%i(OE0Ek

1™1

47TZCO808fc e~ikr cos G sin 6

-ikr ik

-ikr

-ikr Г

-ikr ik

B.5)

-ikr ik

-k

2 e

-ikr

Er=EQ = H(p= 0.

Свойства элементарного магнитного вибратора так же реализуются в элементарной электрической рамке (петле тока) рис. В.2,а. Элементарная рамка создает электромагнитное поле, линии магнитной составляющей которого расположены перпендикулярно плоскости рамки, а линии электрического поля лежат в указанной плоскости или параллельны ей. а) б)

Рис. В.2. Элементарная электрическая рамка и магнитный диполь

Замкнутому контуру (рис. В.2,а), по которому протекает высокочастотный электрический ток с амплитудой Ц, на больших расстояниях г0 можно сопоставить эквивалентный магнитный диполь (рис. В.2,б) с магнитным моментом

1т1 т = qmlz0 = -i-*—z0, (В.6) ю где 1™1 = шц0цк1о£, S - площадь рамки, qm — магнитные заряды на концах эквивалентного магнитного диполя.

Таким образом, вместо формул (В.5) для электромагнитного поля элементарного магнитного излучателя для рамки с током в дальней зоне имеем

O^fflfe -ttr ф 4 тег

Тс CL.2 - -Я—L sin Qe~ikr, 4u г где Ц - амплитуда высокочастотного тока в рамке.

Соотношениями для элементарного магнитного излучателя так же хорошо описывается поведение поля элементарной излучающей щели. Щелевой вибратор представляет собой бесконечно тонкую металлическую пластину неограниченных размеров, в которой прорезана щель длиной I и шириной А, причем А Z X.

Электромагнитное поле элементарного щелевого вибратора по своей структуре аналогично полю элементарного магнитного вибратора, с тем отличием, что линии электрического поля с одной стороны пластины направлены навстречу линиям электрического поля с другой стороны пластины, но это различие несущественно, так как оба полупространства независимы.

Актуальность работы

При решении проблем электромагнитной совместимости особый интерес представляет структура поля в ближней зоне антенны, ее характеристика направленности, уровни бокового излучения, а также определение значений электрического и магнитного полей.

При проектировании антенн, в качестве одного из путей достижения этой цели разрабатывают строгую математическую модель излучения антенны в свободном пространстве, которая позволяет в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.

Данная работа посвящена решению внутренней и внешней задач электродинамики для вибраторных и криволинейно-вибраторных (KB) киральных структур.

Пристальный интерес исследователей и разработчиков к ВА связан с широким распространением данного класса антенн, а так же относительной простотой изготовления, как одиночных вибраторов, так и вибраторных решеток, возможностью применения современных технологий при серийном производстве, как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения.

ВА часто используют в системах мобильной связи, охранной сигнализации, телевидении и т.п. Исследованиям данного класса антенн посвящено большое количество научных работ. Задачи о тонких проволочных антеннах часто сводят к решению интегральных уравнений. В настоящее время многими авторами такой подход считается достаточно общим и строгим. Данный подход предполагает переход от интегродифференциальных уравнений к интегральным, с последующим их решением. В задачах нахождения токораспределения в тонких проволочных антеннах используют, по меньшей мере, два вида интегральных уравнений - Халлена и Поклингтона. По-видимому, первой работой в этой области следует считать [7], в которой уравнение Поклингтона использовалось для доказательства того, что распределение тока в тонком проводе близко к синусоидальному, а скорость волны тока равна скорости света. В [8] также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчету распределения тока по проводнику можно считать труды Халлена Е. [9], Леонтовича М.А. и Левина М.Л. [10]. В них рассмотрен трубчатый диполь, расположенный в свободном пространстве. Интегральное уравнение, полученное в работах [9,10] и названное уравнением Халлена, позволяло вычислять распределение тока по вибратору, расположенному в свободном пространстве, и его входное сопротивление.

При решении электродинамических задач расчета антенн широко используется тонкопроволочное приближение [11, 12, 13-18], сущность которого состоит в следующем: рассматривается антенна, состоящая из цилиндрического проводника с диаметром, значительно меньшим длины волны. Относительно данной антенны ставится задача в виде интегрального уравнения, имеющего смысл граничного условия на поверхности идеального проводника для электрического поля, с учетом только продольных (параллельных оси провода) составляющих тангенциального поля и тока. При этом поверхностному току, умноженному на 2па (а - диаметр проводника), сопоставляется линейный ток, текущий по оси провода. Такой подход позволяет существенно упростить вид искомой токовой функции (векторная функция поверхностной плотности тока заменяется скалярной) и вид граничных условий (в качестве стороннего поля рассматривается лишь составляющая, вектор которой параллелен оси проводников).

В [16] показано, что максимальный электрический радиус полуволнового вибратора, допускающий тонкопроволочное приближение, составляет 0.125% длины волны. При радиусах, превышающих указанную величину, не удается получить устойчивое решение. По-видимому, это ограничение справедливо не только для полуволнового вибратора, но и для любого линейного проводника.

В последнее время появилось много новых работ, в которых также использовалось тонкопроволочное приближение [19-23].

Как правило, расчет тонких электрических излучателей основан на решении интегродифференциальных уравнений Поклингтона и Харрингтона, а также

10 интегрального уравнения Халлена методом моментов [12, 24-28]. По существу он сводится к преобразованию указанных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти неизвестные постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций [13-25], существует достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Некоторые методы решения подобных уравнений рассмотрены в работах Неганова В.А. и Нефедова Е.И. (см., например, [29,30]).

При решении интегральных уравнений Поклингтона и Халлена методом моментов ключевым является вопрос о сходимости численных результатов. Зачастую у авторов в литературе возникают различные противоречивые рекомендации по выбору базисных функций. Например, многие исследователи отдают предпочтение кусочно-синусоидальным функциям, ссылаясь на то, что их использование дает наивысшую точность [12]. Однако, сходимость решений при этом [19], имеет немонотонный характер и достигается лишь при большом числе разбиений (больше 100), независимо от выбора базисных функций.

До середины 90-х годов, на практике, при анализе антенных решеток и вообще проволочных антенн, в основном, применялись методы, основанные на тонкопроволочном приближении [20, 21, 22, 31, 32], при котором ток в проводнике описывается как линейный (нитевидный), текущий вдоль оси провода, а тангенциальная составляющая поля определяется на поверхности проводника. В [33] Эминовым С.И. был предложен новый класс базисных функций для решения таких уравнений, называемых собственными функциями интегродиффе-ренциального оператора. Однако, в результате использования этих функций, алгоритм численного решения оказывается сильно усложненным.

В [34-37] Негановым В.А. и Матвеевым И.В. был развит новый метод, с помощью которого на основе математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений (СИУ) [38-40]: было получено СИУ относительно про

11 изводной по продольной координате от плотности поверхностного тока на вибраторе. Такая постановка задачи является корректной по Адамару [41], благодаря чему обеспечивается наличие устойчивых решений даже при больших электрических радиусах проводников. Ранее этот подход с успехом применялся Негановым В.А. и Нефедовым Е.И. для построения математических моделей полосково-щелевых волноведущих и резонансных структур сверх- и крайневы-соких частот [42-49]. Близкие подходы для излучающих систем, состоящих из ленточных проводников, были развиты в [51,52]. Метод СИУ был обобщен для электрического вибратора с учетом азимутальной зависимости тока и для плоского полоскового вибратора в работе [6, 53, 54]. Численные методы решения СИУ описаны в монографиях [38,39].

Нахождение электромагнитного поля (ЭМП) вне антенны по общепринятой терминологии теории антенн называется внешней задачей анализа. Эта задача обычно решается с помощью интегральных представлений ЭМП, в которые, как правило, входят регулярные функции Грина экспоненциального типа. Однако регулярные функции Грина не позволяют осуществить непрерывный переход от ЭМП на поверхности антенны к полю вблизи нее и обратно. Непрерывный переход можно осуществить только с помощью функций Грина, содержащих обобщенные функции (типа дельта функций) и сингулярностей типа Коши. Такие интегральные представления называют сингулярными интегральными представлениями (СИП) ЭМП для самосогласованной физической модели антенны. Этот метод впервые был предложен профессором В.А. Негановым [55]. Таким образом, под самосогласованным подходом понимается применение СИП ЭМП к анализу антенны, из которого, при его рассмотрении на ее самосогласованной физической модели поверхности, следуют сингулярные (или гиперсингулярные) интегральные уравнения (СИУ), из которых определяется распределение поверхностной плотности тока на антенне, т.е. решается внутренняя задача анализа [55].

Поскольку причины (физическая модель, некорректные математические выкладки, отсутствие предельного перехода) приводящие к некорректным зада

12 чам электродинамики прежде всего связаны с физическими особенностями задачи, процедура регуляризации таких задач по терминологии В.А. Неганова названа методом физической регуляризации (МФР) [55]. В отличие от него метод регуляризации Тихонова А.Н. интегральных уравнений Фредгольма первого рода [41] назван методом математической регуляризации.

Основные моменты МФР: СИП ЭМП, определяющие ЭМП в любой точке пространства через тангенциальное электрическое (или магнитное) поле на некотором контуре (или поверхности) и СИУ следующее из СИП при его рассмотрении на контуре (или поверхности). Метод МФР назван самосогласованным, поскольку МФР учитывает основные физические закономерности задачи и позволяет непрерывно перейти от тангенциального поля на поверхности антенны к ЭМП вблизи нее и обратно. Иногда СИП ЭМП не записывается, а интегральное уравнение (обязательно содержащее сингулярности) получается непосредственно из граничных условий задачи.

Таким образом, в рамках самосогласованной физической модели задачи для любой точки пространства составляется СИП ЭМП, определенное через тангенциальное ЭМП на некоторой базовой поверхности антенны, описывающей наиболее характерные свойства электродинамической задачи. При рассмотрении СИП ЭМП на базовой поверхности антенны получается векторное СИУ относительно тангенциального электрического или магнитного поля на этой поверхности. После решения СИУ с помощью СИП ЭМП находят ЭМП в любой точке пространства. При таком подходе некорректностей, приводящих к разрывам ЭМП и неустойчивым вычислительным алгоритмам, в задачах практически не возникает. Особенно ценен данный алгоритм для вычисления ЭМП в ближних зонах электродинамических структур. В отличие от МФР, традиционный подход предполагает нахождение ЭМП с помощью двух этапов [26]. На первом этапе (внутренняя задача анализа) составляется и решается интегральное уравнение (чаще всего первого рода) относительно тангенциального поля на базовой поверхности антенны. На втором этапе (внешняя задача анализа) применяется интегральное представление ЭМП с регулярными экспоненциаль

13 ными функциями Грина для определения поля в любой точке пространства через тангенциальное ЭМП на базовой поверхности. Здесь подчеркнем, что интегральное уравнение обычно не следует из интегрального представления ЭМП, поэтому и возникает разрыв поля при переходе с антенны в пространство вблизи нее и обратно.

Второй очень важной проблемой, возникающей при проектировании решеток, составленных из вибраторных антенн, является корректный учет взаимодействия соседних вибраторов. В настоящее время существует единственный способ позволяющий учесть это взаимодействие — метод наводимых ЭДС, предложенный независимо друг от друга в 1922 году советским ученым Д.А. Рожанским и французом Бриллюэном. При этом в формулы подставляются простые выражения для плотности тока из модели Поклингтона или Халлена. На наш взгляд, в настоящее время, просто не существует способа оценки метода наводимых ЭДС, поэтому мы провели анализ взаимодействия двух вибраторов методом СИУ. В процессе оценки системы вибраторов с помощью метода СИУ оказалось, что результаты по входному собственному и взаимному сопротивлению даваемые методами СИУ и наводимых ЭДС значительно отличаются.

Подводя итог анализу состояния вопроса, можно сделать следующие основные выводы:

1. Наиболее распространенные методы решения задачи анализа В А имеют ряд недостатков. Как правило, они основаны на предположении синусоидального распределения тока на поверхности антенны. Расчет антенн разделяют на две части: внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренняя задача анализа состоит в определении токов на поверхности антенны по заданному возбуждающему полю, причем ток по всей антенне предполагается непрерывным, включая зазор (некий эквивалентный электрический ток). Внешняя задача заключается в том, что по известному распределению поверхностного тока по антенне с помощью функции Грина определяется поле излучения антенны в свободном пространстве. Такой подход является несамосогласованным, т.е. отсутствует непрерывный переход от поля в ближней зоне к полю (току) на поверхности излучения антенны и он не позволяет решить такую важную проблему как электромагнитная совместимость РТС.

2. Внутреннюю краевую задачу многие из известных методов анализа В А сводят к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Их решение представляет собой некорректно поставленную задачу [41]. В [6,53,54] предложен метод, позволяющий интегро-дифференциальное уравнение Поклингтона свести к системе СИУ, относительно неизвестных гармоник производной (по продольной координате) от плотности поверхностного тока для плоского по-лоскового вибратора и рамочной антенны. Нахождение решений СИУ есть уже математически корректная задача, и проблема достоверности в этом случае не возникает.

Цель работы

Целью диссертационной работы является получение и анализ самосогласованных решений внутренней и внешней задач для ВА и криволинейно-вибраторных (KB) антенн с помощью сингулярных интегральных уравнений; сравнение классического метода наведенных ЭДС с самосогласованным методом СИУ для расчета входных собственных и взаимных сопротивлений элементов связанных антенных систем на примере системы двух трубчатых электрических вибраторов; самосогласованный анализ систем состоящих из нескольких KB излучателей.

Основные задачи работы

- электродинамический анализ трансформации ЭМП самосогласованных физических моделей трубчатого электрического вибратора и диполя Герца непосредственно с поверхности антенны до дальней зоны;

- проведение, на примере расчета системы двух электрических вибраторов, сравнения классического метода наведенных ЭДС и метода перемножения ДН с самосогласованным методом СИУ;

- электродинамический анализ ЭМП в ближней и дальней зоне самосогласованной модели турникетной антенны, представляющей собой два скрещенных под углом 90° полуволновых трубчатых электрических вибратора;

- самосогласованное решение внутренней и внешней задачи анализа криволинейного полоскового вибратора в виде идеально-проводящего S-элемента;

- самосогласованное решение внутренней и внешней задачи анализа системы двух полосковых S-элементов, двумерной и трехмерной решетки идеально-проводящих S-элементов.

Методы исследования

Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ. Так же для контроля некоторых результатов использовалась система CST Microwave Studio.

Научная новизна диссертации

- введены самосогласованные физическая и математическая модели диполя Герца в виде трубчатого электрического вибратора с геометрическими размерами много меньше длины волны, позволяющие проследить непрерывную трансформацию ЭМ поля с поверхности антенны до дальней зоны.

- показано, что амплитуды продольного и поперечного электрического поля в ближней и промежуточной зонах ВА соизмеримы друг с другом. Установлены границы дальней зоны для полуволнового вибратора - 2А, и диполя Герца -3.2А,;

- введены самосогласованная физическая и математическая модели системы связанных трубчатых электрических вибраторов. На примере системы двух связанных полуволновых трубчатых электрических вибраторов показано, что самосогласованный метод (в отличие от метода наведенных ЭДС) позволяет рассчитывать входные собственные и взаимные сопротивления вибраторов для параллельного резонанса, а так же позволяет получить достоверные результаты в случае большой толщины вибраторов. На примере ДН линейной антенной решетки показано, что общепринятая формула перемножения ДН, по сравнению с самосогласованным методом, дает существенную ошибку в случае, когда излучатели имеют размеры, соизмеримые с длиной волны;

- введена самосогласованная модель турникетной антенны в виде двух скрещенных трубчатых электрических вибраторов. Показано, что диаграмма излучения турникетной антенны при квадратурном возбуждении вибраторов не является чистым эллипсоидом [26], а имеет более сложную структуру;

- введены самосогласованные модели одиночного идеально-проводящего S-элемента и системы связанных S-элементов в виде тонких полосковых, изогнутых по форме синусоиды вибраторов. Разработаны алгоритмы решения внутренней и внешней задач анализа для одиночного S-элемента и для системы произвольного числа S-элементов. Показано, что киральная решетка из S-элементов, при падении на нее плоской ЭМВ, распространяющейся по нормали к плоскости решетки, по сравнению с аналогичной вибраторной решеткой, обладает свойством создавать поверхностную волну и таким образом, лучше удерживать ЭМ энергию внутри себя.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением для некоторых излучающих структур полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений, невязкой граничных условий.

Практическая ценность работы

В работе рассмотрены внутренние и внешние задачи электродинамического анализа для физических моделей ВА: одиночного вибратора, системы связанных вибраторов, турникетной антенны, кирального S-элемента и системы связанных S-элементов. Проведено сравнение классических методов расчета антенных систем (метод наведенных ЭДС, метод перемножения ДН) с методом СИУ и показаны преимущества метода СИУ. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для возбуждения и приема электромагнитных волн. В частности, показаны преимущества решетки состоящей из киральных S-элементов по сравнению с аналогичной вибраторной решеткой, по удержанию энергии падающей на нее ЭМВ произвольной поляризации.

Разработанный в диссертации метод расчета антенн может быть обобщен на случай более сложных антенных систем: криволинейных вибраторов с произвольно заданной кривизной плеч (напр. синусоидальные (зигзагообразные) антенны); различных систем ВА произвольной сложности и т.д. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

С помощью модели идеально-проводящих S-элементов можно построить строгую самосогласованную теорию киральных структур, опираясь на уравнения Максвелла, а не на феноменологические уравнения [78], оперирующие параметром киральности.

Положения, выносимые на защиту

1. Электродинамический анализ ближних и промежуточных зон некоторых ВА (диполя Герца, трубчатого электрического вибратора), позволивший по характеру распределения ЭМП определить размеры открытого колебательного контура.

2. Преимущество метода СИУ для расчета взаимного влияния вибраторов по сравнению с классическим методом наведенных ЭДС.

3. Алгоритмы решения внутренней и внешней задач системы двух связанных трубчатых электрических вибраторов и вибраторной решетки, основанные на самосогласованном подходе.

4. Алгоритмы решения внутренней и внешней задач для кирального S-элемента и системы S-элементов, основанные на самосогласованном подходе.

5. Самосогласованные физические и математические модели диполя Герца, турникетной антенны, S-элемента и системы S-элементов, разработанные на основе математического аппарата теории СИУ.

6. Свойства решетки, состоящей из S-элементов, связанные с поглощением и удержанием внутри себя энергии падающей на нее ЭМВ произвольной поляризации.

7. Результаты анализа ВА (одиночного трубчатого электрического вибратора, диполя Герца, системы двух связанных электрических вибраторов, турникетной антенны, S-элемента, системы S-элементов): комплексные распределения поверхностной плотности тока по структурам (для вибратора и S-элемента); поляризационные диаграммы и диаграммы излучения в ближней и дальней зонах.

Личный вклад автора

В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задач и определение направлений, в которых нужно вести исследования. Подробное проведение рассуждений, доказательств и расчетов принадлежит диссертанту.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на XIII, XIV, XV, XVI научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГУТИ (ПГАТИ) (Самара, Февраль 2006, 2007, 2008, 2009); на V, VI, VII, VIII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2006, Казань, сентябрь 2007; Самара, сентябрь 2008, Санкт-Петербург, сентябрь 2009).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 5 статей в журналах, включенных в перечень ВАК.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе введены самосогласованные физическая и математическая модели электрической ВА и диполя Герца в виде трубчатого электрического вибратора с геометрическими размерами много меньше длины волны, позволяющие проследить непрерывную трансформацию ЭМ поля с поверхности антенны до дальней зоны. Проведен электродинамический анализ электромагнитного поля электрического вибратора и диполя Герца в ближней и дальней зонах. Показано, что амплитуды продольного и поперечного ЭМП в ближней и

20 промежуточной зонах антенны соизмеримы друг с другом. Показана несостоятельность критики уравнений Максвелла приведенной в книге Харченко К.П. [57].

Во второй главе введены самосогласованная физическая и математическая модели системы трубчатых электрических вибраторов позволяющие проследить непрерывную трансформацию ЭМ поля с поверхности элементов системы до дальней зоны, а так же учесть их взаимное влияние. Проведено сравнение полученного алгоритма для нахождения входного и взаимного сопротивлений системы двух трубчатых электрических вибраторов с методом наведенных ЭДС. Показано, что самосогласованный метод в отличие от метода наведенных ЭДС позволяет рассчитывать входные собственные и взаимные сопротивления вибраторов для параллельного резонанса, а так же позволяет получить достоверные результаты в случае большой толщины вибраторов. На примере ДН линейной эквидистантной антенной решетки показано, что общепринятая формула теоремы перемножения дает существенную ошибку для случая, когда излучатели имеют размеры, соизмеримые с длиной волны.

В третьей главе введены самосогласованная физическая модель турникетной антенны в виде двух скрещенных трубчатых электрических вибраторов. Проведен электродинамический анализ ЭМП, включая его поляризацию, в ближней и дальней зонах. Показано, что в ближней и промежуточной зоне амплитуды продольной и поперечной составляющих электрического поля соизмеримы между собой. Показано, что диаграмма излучения турникетной антенны при квадратурном возбуждении вибраторов не является чистым эллипсоидом [26], а имеет более сложную структуру.

В четвертой главе введены самосогласованные модели одиночного идеально-проводящего S-элемента и системы S-элементов в виде тонких полосковых изогнутых по форме синусоиды вибраторов. Разработан алгоритм решения внутренней задачи для одиночного S-элемента и для системы произвольного числа S-элементов, основанный на ее сведении к системе гиперсингулярных интегральных уравнений относительно поверхностных токов по продольным криволинейным координатам. Построены комплексные распределения тока для задач возбуждения и дифракции полуволнового S-элемента, а так же распределения продольного и поперечного электрических полей и поляризационные диаграммы S-элемента в ближней и дальней зоне. Показано, что диаграммы излучения поперечной составляющей электрического поля S-элемента в дальней зоне схожи с диаграммой излучения цилиндрического вибратора. Показано, что диаграммы излучения S-элемента в случае возбуждения и в случае дифракции на нем плоской ЭМВ произвольной поляризации распространяющейся по нормали к плоскости элемента схожи между собой. Построены диаграммы поля рассеяния плоской ЭМВ на системе двух взаимодействующих S-элементов, на двумерной решетке, состоящей из 9 S-элементов и на двухслойной решетке, состоящей из 18 S-элементов. Проведен анализ полученных диаграмм и показано, что киральная решетка из S-элементов, по сравнению с аналогичной вибраторной решеткой, обладает свойством создавать поверхностную волну и таким образом, удерживать ЭМ энергию внутри себя.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Автор глубоко признателен научному руководителю проф. В.А. Неганову за постановку интересных задач, постоянную помощь в проведении научных исследований и моральную поддержку. Автор также признателен А.А. Вороному, Д.С. Клюеву, О.В. Осипову, А.А. Сарычеву и особенно Д.П. Табакову за внимание и дружескую поддержку.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Лемжин, Михаил Игоревич

4.9. Выводы по главе 4

1. Введена самосогласованная модель S-элемента в виде тонкого идеально-проводящего, полоскового, изогнутого по форме синусоиды вибратора.

2. Разработан алгоритм решения внутренней задачи анализа для S-элемента, основанный на ее сведении к гиперсингулярному интегральному уравнению относительно поверхностной плотности тока по продольной криволинейной координате.

3. Построены распределения тока для случая возбуждения полуволнового S-элемента генератором высокой частоты и в случае падения на S-элемент плоской ЭМВ Еу поляризации распространяющейся по нормали к плоскости элемента. Построены распределения продольного и поперечного электрических полей, а так же поляризационные диаграммы S-элемента в ближней и дальней зоне. Показано, что диаграммы излучения S-элемента в случае возбуждения генератором и в случае дифракции на нем плоской ЭМВ произвольной поляризации распространяющейся по нормали к плоскости элемента схожи с диаграммой излучения цилиндрического вибратора.

4. Введена самосогласованная модель системы произвольного числа S-элементов и разработан алгоритм решения внутренней задачи этой системы, основанный на ее сведении к системе гиперсингулярных интегральных уравнений относительно поверхностной плотности токов элементов системы по продольным криволинейным координатам.

5. Построены диаграммы поля дифракции плоской ЭМВ на системе двух взаимодействующих S-элементов, на двумерной решетке, состоящей из 9 S

107 элементов и на двухслойной решетке, состоящей из 18 S-элементов. Показано, что киральная решетка S-элементов, по сравнению с аналогичной вибраторной решеткой, обладает свойством создавать поверхностную волну, таким образом, лучше удерживать ЭМ энергию внутри себя.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам и выводам диссертации можно отнести следующие:

1. Введены самосогласованные физическая и математическая модели электрической ВА и диполя Герца в виде трубчатого электрического вибратора, позволяющие проследить непрерывную трансформацию ЭМ поля с поверхности антенны до дальней зоны. Проведен электродинамический анализ электромагнитного поля электрического вибратора и диполя Герца в ближней и промежуточной зонах. Показано, что амплитуды продольного и поперечного ЭМП в ближней и промежуточной зоне антенны соизмеримы друг с другом. Показана несостоятельность критики уравнений Максвелла, приведенной в книге Харченко К.П. [57].

2. Введены самосогласованные физическая и математическая модели системы трубчатых электрических вибраторов. Проведено сравнение предложенного алгоритма для нахождения входного собственного и взаимного сопротивлений системы двух трубчатых электрических вибраторов с методом наведенных ЭДС [26, 27]. Показано, что самосогласованный метод, в отличие от метода наведенных ЭДС, позволяет рассчитывать входные собственные и взаимные сопротивления вибраторов в случае параллельного резонанса, а так же, он может быть применен для анализа вибраторов большей толщины. На примере ДН линейной эквидистантной антенной решетки показано, что общепринятая формула перемножения ДН дает существенную ошибку для случая, когда излучатели имеют размеры, соизмеримые с длиной волны.

3. Для самосогласованной модели турникетной антенны в виде двух скрещенных трубчатых электрических вибраторов проведен электродинамический анализ ЭМП, включая его поляризацию, в ближней и дальней зонах. Показано, что в ближней и промежуточной зонах амплитуды продольной и поперечной составляющих электрического поля соизмеримы между собой. Показано, что диаграмма излучения турникетной антенны при квадратурном возбуждении вибраторов не является чистым эллипсоидом [26], а имеет более сложную структуру.

4. Введены самосогласованные модели одиночного идеально-проводящего Sэлемента и системы связанных S-элементов в виде тонких полосковых изогнутых

109 по форме синусоиды вибраторов. Разработан алгоритм решения внутренней задачи для одиночного S-элемента и для системы произвольного числа S-элементов, основанный на ее сведении к системе гиперсингулярных интегральных уравнений относительно поверхностных токов по продольным криволинейным координатам каждого элемента. Построены комплексные распределения тока для задач возбуждения и дифракции полуволнового S-элемента, а так же распределения продольного и поперечного электрических полей и поляризационные диаграммы направленности S-элемента в ближней и дальней зонах. Показано, что распределения поперечной составляющей ЭМП излучения полуволнового S-элемента в дальней зоне в случае его возбуждения с помощью генератора и в случае дифракции на нем плоской ЭМВ схожи между собой. Построены диаграммы направленности поля рассеяния плоской ЭМВ на системе двух взаимодействующих S-элементов, на двумерной эквидистантной решетке, состоящей из 9 S-элементов и на двухслойной решетке, состоящей из 18 S-элементов. Проведен анализ полученных диаграмм и показано, что киральная решетка из S-элементов, по сравнению с аналогичной вибраторной решеткой, обладает свойством создавать поверхностную волну и таким образом, удерживать ЭМ энергию внутри себя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лемжин, Михаил Игоревич, 2009 год

1. Лавров, А.С. Антенно-фидерные устройства: учебное пособие для вузов Текст. / А.С. Лавров, Г.Б. Резников. М.: "Сов. Радио", 1974. - 368 с.

2. Wang, T.N.C. Текст. / T.N.C. Wang, T.F. Bell // IEEE Trans. Antennas and Propagat. 1972. - Vol. AP-20. -№ 3. - P. 394.

3. Андронов, А.А. Текст. / А.А. Андронов, Ю.В. Чугунов // УФН. 1975. -Т. 116.-Ж l.-C. 79.

4. Мареев, Е.А. Антенны в плазме Текст. / Е.А. Мареев, Ю.В. Чугунов -Н.Новгород: ИПД АН СССР, 1991.-231 с.

5. Ohnuki, S. Текст. / S. Ohnuki, К. Sawaya, S. Adachi // IEEE Trans. Antennas and Propagat. 1986. - Vol. AP-34. - № 8. - P. 1024.

6. Корнев, М.Г. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения внутренних задач анализа рамочной и вибраторных антенн Текст.: авто-реф. канд. физ.-мат. наук. / М.Г. Корнев. Самара, 2003. - 15 с.

7. Pocklington, Н.С. Текст. / Н.С. Pocklington // Camb.: Phil. Soc. Proc. № 9 -P. 324(1897).

8. Pichmond, J.H. Текст. / J.H. Pichmond, // Proc. IEEE. -№ 53. P. 796 (1965).

9. Hallen, E. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas Текст. / E. Hallen // Nova Acta (Uppsala). 1938. - № 11. - p. 1-44.

10. Леонтович, M.A. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах Текст. / М.А. Леонтович, М.Л. Левин // ЖТФ. 1994. - Т. 14. - Вып. 9. - С. 481.

11. Кинг, Р. Антенны в материальных средах: в 2-х кн., пер. с англ. под. ред. Б.В. Штейншлейгера. Текст. / Р. Кинг, Г. Смит М.: Мир, 1984. - 824 с.

12. Вычислительные методы в электродинамике Текст. / под ред. Р. Митры; пер. с англ. под ред. Э.Л. Бурштейна. М.: Мир, 1977. - 485 с.

13. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн Текст. / М.В. Корнилов [и др.] // Радиотехника. 1989. - № 7. - С. 82-83.

14. Назаров, В.Е. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн Текст. / В.Е. Назаров, А.В. Рунов, В.Е.111

15. Подиногин // Радиотехника и электроника. — Минск: Вышейшая школа, 1976. -Вып. 6.-С. 153-157.

16. Стрижков, В.А. Математическое моделирование электрических процессов в проволочных антенных системах Текст. / В.А. Стрижков // Математическое моделирование.- 1989.-Т. 1. № 38. - С. 127-138.

17. Радциг, Ю.Ю. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами Текст. / Ю.Ю. Радциг, А.В. Сочилин, С.И. Эминов // Радиотехника. 1995. - № 3. - С. 55-57.

18. Эминов, С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора Текст. / С.И. Эминов // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38. - Вып. 12. - С. 2160-2168.

19. Эминов, С.И. Теория интегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток Текст. / С.И. Эминов // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. - Т. 5.-Вып. 2(18). - С. 48-58.

20. Лиштаев, О.Б. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии Текст. / О.Б. Лиштаев [и др.] // Радиотехника. 1992. - № 1-2. - С. 87-88.

21. Лешеев, А.А. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов Текст. / Лешеев А.А. // Радиотехника. 1995. - № 1-2. - С. 22-25.

22. Журбенко, Э.М. О строгой теории элементарного электрического вибратора Текст. / Э.М. Журбенко // Электросвязь. 1995. - № 3. - С. 34-36.

23. Бородулин, И.В. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решёток из проволочных излучателей Текст. / И.В. Бородулин, В.А. Стрижков // Электросвязь. 1995. - № 3. - С. 33-34.

24. Harrington, R.F. Field computation by moment methods Текст. / R.F. Harrington. MacMillan, New York, 1968.

25. Mishra S.R. Three-term exponential product solution for the current on dipole antennas in homogeneous isotropic media Текст. / S.R. Mishra // Tech. Rept. № 636. Division of engineering and applied physics, Harvard University, Cambridge, Mass., 1972.

26. Сазонов, Д.М. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов Текст. / Д.М. Сазонов. — М.: Высшая школа, 1988. -432 с.

27. Ерохин, Г.А. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн Текст. / Г.А. Ерохин, О.В. Чернышев, Н.Д. Козырев, В.Г. Кочержевский. М.: "Радио и связь". - 1996. - 352 с.

28. Канторович, JT.B. Приближённые методы высшего анализа Текст. / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. М.-Л.: ГИФНЛ, 1962. - 708 с.

29. Неганов, В.А. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линий передачи для объемных интегральных схем СВЧ Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефедов // ДАН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5. - С. 1124-1129.

30. Неганов, В.А. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефёдов, Г.П. Яровой. М.: Наука. Физматлит, 1996.-304 с.

31. Коротковолновые антенны Текст. / Г.З. Айзенберг [и др.]; под ред. Г.З. Айзенберга. М.: Радио и связь, 1985 - 536 с.

32. Плотников, В.Н. Численно-аналитический метод расчёта вибраторных антенн Текст. / В.Н. Плотников, А.В. Сочилин, С.И. Эминов // Радиотехника. -1996.-№7.

33. Эминов, С.И. Метод собственных функций сингулярных операторов в теории дифракции применительно к электродинамическому анализу вибраторных и щелевых антенн Текст.: автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук / С.И. Эминов. — Новгород, 1995.-43 с.

34. Неганов, В.А. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. — Т. 2. - № 2. — С. 27-33.

35. Неганов, В.А. Новый метод расчёта тонкого электрического вибратора Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев // Известия вузов. Радиофизика. 2000. -Т. 43. - № 3. - С. 335-344.

36. Неганов, В.А. Применение сингулярного интегрального уравнения для расчета тонкого электрического вибратора Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев // ДАН.-2000.-Т. 371. — № 1. — С. 36-38.

37. Неганов, В.А. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению Текст. / В.А. Неганов, И.В. Матвеев, С.В. Медведев // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 36. - Вып. 12. - С. 86-94.

38. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи Текст. / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

39. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения Текст. / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1986. - 512 с.

40. Гахов, Ф.Д. Уравнения типа свёртки Текст. / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. -М.: Наука, 1978.-296 с.

41. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В .Я. Арсенин. -М.: Наука, 1986. -288с.

42. Гвоздев, В.И. Применение преобразований Швингера для расчёта дисперсии симметричной щелевой линии Текст. / В.И. Гвоздев, В.А. Неганов // Известия вузов. Радиофизика. 1984 - Т. 27. - № 2. - С. 266-268.

43. Неганов, В.А. Метод ортогонализующей подстановки для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур Текст. / В.А. Неганов // Известия вузов. Радиофизика. 1985 - Т. 28. - № 2. - С. 222-228.

44. Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта собственных волн экранированной щелевой линии Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1985. - Т. 30. - № 7. - С. 1296-1299.

45. Неганов, В.А. Метод ортогонализующей подстановки в теории экранированных интегральных структур СВЧ Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефёдов // ДАН СССР. 1985. - Т. 284. - № 5. - С. 1127-1131.

46. Неганов, В.А. Метод сингулярных интегральных уравнений для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1986. - Т. 31. - № 11. - С. 479-484.

47. Неганов, В.А. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объёмных интегральных схем СВЧ Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефёдов // ДАН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5. - С. 1124-1129.

48. Неганов, В.А. Метод интегральных представлений полей собственных волн в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1989. - Т. 34. - № 11. - С. 22512260.

49. Неганов, В.А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений Текст. / В.А. Неганов // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33.-№5.-С. 1076-1077.

50. Bulter, С.М. Текст. / С.М. Bulter, D.R. Wilton // IEEE Trans. Antennas Propo-gat.- 1980.-Vol. AP-28.-№ l.-P. 42.

51. Bulter С.М. Текст. / С.М. Bulter // IEEE Trans. Antennas Propogat. 1984. -Vol. AP-32. -№ 3. - P. 226.

52. Неганов, В.А. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тока на поверхности узкого полоскового вибратора Текст. / В.А. Неганов, М.Г. Корнев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2002. - Т. 5. — № 4. -С. 34-36.

53. Неганов, В.А. К электродинамической теории узкого полоскового вибратора Текст. / В.А. Неганов, М.Г. Корнев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. - Т. 6. - № 1. — С. 36-40.

54. Неганов, В.А. Физическая регуляризация некорректных задач электродинамики Текст. / В. А. Неганов. М.: Сайнс-Пресс, 2008 - 450 с.

55. Неганов, В.А. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля в ближней зоне электрического вибратора Текст. / В.А. Неганов, Д.С. Клюев, А.А. Ефремова // Антенны. 2005. - Вып. 95. - С. 22-27.

56. Харченко, К.П. "Электромагнитная волна", энергия — поток реальных фотонов Текст. / К.П. Харченко, В.Н. Сухарев М.: КомКнига, 2005. - 128 с.

57. Неганов, В.А. Линейная макроскопическая электродинамика. Т.1 Текст. / В.А. Неганов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой; под. ред. В.А. Неганова. М.: Радио и связь, 2000. - 509 с.

58. Электродинамика и распространение радиоволн Текст.: учебник для ра-диотехнич. специальностей вузов / В.А. Неганов [и др.]; под ред. В.А. Неганова и С.Б. Раевского; изд 3-е, доп. и перераб. / - М.: Радиотехника, 2007. - 744 с.

59. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст. / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108с.

60. Бейтмен, Г. Высшие трансцедентные функции. Т. 2 Текст. / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М.: Наука, 1974. - 296 с.

61. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн Текст. / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. М.-Л.: Энергия, 1976. - 376с.

62. Митра, Р. Аналитические методы теории волноводов: пер. с англ. Текст. / Р. Митра, С. Ли; под ред. Г.В. Воскресенского. М.: Мир, 1974. - 323 с.

63. Драбкин, А.Л. Антенно-фидерные устройства Текст. / А.Л. Драбкин, В.Л. Зузенко, А.Г. Кислов. изд. 2-ое, доп. и перераб. - М.: "Сов. Радио", 1974. -536 с.

64. Манжиров, А.В. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения Текст. / А.В. Манжиров, А.Д. Полянин. М.: Факториал Пресс, 2000. - 385 с.

65. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции Текст. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, гл. ред. физ-мат. лит. 1983.-752 с.

66. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн Текст. / В.В. Никольский, Т.Н. Никольская. М.: Наука. - 1989. - 544 с.

67. Неганов, В.А. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн Текст. / В.А. Неганов, Е.И. Нефедов, Г.П. Яровой. -М.: "Радио и связь" 2002.-415 с.

68. Лифанов, И.К. Особые интегральные уравнения и методы их численного решения: учебное пособие по курсу лекций Текст. / И.К. Лифанов. М.: "Макс Пресс".-2006.-68 с.

69. Абрамович, М. Справочник по специальным функциям: пер. с англ. под. ред. В.А. Диткина и Л.Н. Карамзиной Текст. / М. Абрамовиц, И. Стиган. М.: "Наука".- 1979.-832 с.

70. Кочержевский, Г.Н. Антенно-фидерные устройства Текст. / Г.Н. Кочержев-ский. М.: "Связь" 1968. -484 с.

71. Лемжин, М.И. Электродинамический анализ турникетной антенны Текст. /М.И. Лемжин// Физика и техн. Приложения волновых процессов: тез. докладов VII МНТК, 14-19 сент., 2009 г., г. Санкт-Петербург Санкт-Петербург, 2009.

72. Неганов В.А., Соколова Ю.В. Применение сингулярных интегральных уравнений к решению задач о распределнии поверхностной плотности тока по микрополосковой антенне // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2007. Т. 10. -№2.-С. 128-135.

73. Воскресенский, Д.И. Устройства СВЧ и антенны Текст.: учебник для вузов / Д.И. Воскресенский [и др.]; под ред. Д.И. Воскресенского; изд. 2-е, доп. и перераб. / - М.: Радиотехника, 2006. - 376 с.

74. Неганов, В.А. Современная теория и практические применения антенн Текст.: учебное пособие / В.А. Неганов, Д.П. Табаков, Г.П. Яровой; под ред. В.А. Неганова/- М.: Радиотехника, М.: Радиотехника, 2009. - 716 с.

75. Неганов, В.А. Отражающие, волноведущие и излучающие структуры с ки-ральными элементами Текст. / В.А. Неганов, О.В. Осипов М.: Радио и связь, 2006.-280 с.

76. Лемжин, М.И. Электромагнитное поле в ближней зоне электрического вибратора Текст. / М.И. Лемжин, В.А. Неганов, Н.М. Святкин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. Т. 9. — №4. - С. 27-37

77. В дипломных проектах, выполняемых на кафедре ОКиТ РТС.

78. Декан факультета ФТР, д.т.н, проф.д.ф.-м.н., проф. к.ф.-м.н., доц.1. Карташевский В.Г.1. Неганов В.А. Клюев Д.С.1. Начальник УОУП ПГУТИ1. Кустова М.Н.