Самосогласованный метод расчета электромагнитных полей в ближних зонах излучающих структур, геометрия которых описывается в цилиндрической системе координат тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Святкин, Николай Михайлович

• Святкин, Николай Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Святкин, Николай Михайлович

Введение.

Глава 1. Сингулярные интегральные представления электромагнитного поля в ближней зоне источников, расположенных на кольцевой полосковой поверхности 1.1 .Постановка задачи. Интегральное представление электромагнитного поля.

1.2.Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля.

1.3.Сингулярное интегральное уравнение. Электрический вибратор.

1.4.Выводы по главе 1.

Глава 2. Самосогласованная теория элементарного электрического вибратора (диполя Герца)

2.1 .Диполь Герца. Несамосогласованная классическая теория.

2.2.Критика теории электромагнитного поля диполя Герца Харченко К.П. [7].

2.3.Физическая модель трубчатого элементарного электрического вибратора (диполя Герца).

2.4.Анализ электромагнитного поля диполя Герца.

2.5.Выводы по главе 2.

Глава 3. Электродинамический анализ электромагнитного поля электрического вибратора

3.1.Физическая модель трубчатого электрического вибратора. Несамосогласованный метод расчёта.

3.2.Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля.

3.3.Сингулярное интегральное уравнение.

3.4.Выражения для составляющих ЭМП электрического вибратора, полученных «классическим» методом.

3.5.Сравнение метода СИП с «классическим» методом.

3.6.Электродинамический анализ электромагнитного поля полуволнового электрического вибратора.

3.7.Выводы по главе 3.

Глава 4. Электромагнитное поле в ближней зоне кольцевой полосковой антенны

4.1.Постановка задачи. Физическая и математическая модели антенны.

4.2.Сингулярное интегральное представление ЭМП.

4.3.Определение поверхностной плотности тока на металлической полоске.

4.4.Входное сопротивление антенны.

4.5.Численный расчёт ЭМП в ближней зоне антенны.

4.6.Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самосогласованный метод расчета электромагнитных полей в ближних зонах излучающих структур, геометрия которых описывается в цилиндрической системе координат»

Антенны являются важнейшей составляющей частью любой радиотехнической системы (РТС), в значительной степени определяющей как её качественные показатели, так и стоимость. Одним из самых распространённых типов излучателей являются рамочные и вибраторные антенны.

Тонкие электрические вибраторы получили самое широкое распространение как в виде самостоятельных антенн, так и в сложных системах - антенных решётках. При расчёте любой антенны, в том числе и электрического вибратора, предполагается, что задана её геометрия и известны электрические параметры образующих её проводников и диэлектриков. Задача расчёта (анализа) заключается в нахождении электрических характеристик антенны. Эта задача сводится к определению электромагнитного поля во всех точках пространства, окружающего электрический вибратор. Знание поля позволяет определить диаграмму направленности, коэффициент направленного действия (КНД), входное сопротивление, и т.д. Задача решается на основе уравнений Максвелла, граничных условий на поверхностях раздела и условия излучения в поглощающей среде: поля должны стремиться к нулю на бесконечности. Это очень сложная внешняя электродинамическая задача. Поэтому анализ поля антенны разделяют на две части: внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренняя задача заключается в определении некоторого эквивалентного тока в тонком электрическом вибраторе (предполагается наличие тока и в зазоре антенны). Внешняя задача состоит в определении поля излучения в любой точке окружающего пространства по известному распределению тока по электрическому вибратору.

Рамочные и вибраторные антенны применяются как самостоятельные антенны, так и часто используются в качестве составных элементов ряда сложных антенных систем. Вибраторные излучатели широко используются как элементы фазированных антенных решёток (ФАР) в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Вибраторные излучатели как элементы ФАР при соответствующем выборе конструкции позволяют обеспечить работу в широкой полосе частот или в многочастотном режиме совмещённых вибраторных ФАР, которые обеспечивают электрическое сканирование лучом в достаточно широком секторе углов до ±50° от нормали. В последнее время резко возрос интерес исследователей и разработчиков к микрополосковым и полосковым антеннам. Это связано прежде всего с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения. Поэтому важной задачей является анализ базовых типов антенн: рамочной и вибраторной антенн в полосковом исполнении.

Повышение эффективности антенны при одновременном снижении её стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показатели РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встаёт задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др. Также представляет определённый интерес знание структуры поля в ближней зоне антенны, её характеристик направленности, уровней бокового излучения. Точное определение значений электрического и магнитного полей может быть использовано при решении проблем электромагнитной совместимости и экологии.

С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчётов, повысить их точность и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объёма работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.

Задачи анализа рамочной антенны, одиночного электрического вибратора являются базовыми в теории антенн, и решения их в строгой математической и электродинамической постановке является крайне важными.

Актуальность работы

В научной и учебной литературе электромагнитное поле (ЭМП) излучения антенн вычисляется с помощью векторных электродинамических потенциалов для электрического и магнитного токов Ае ,Ат, определённых через поверхностные плотности электрического тока rje на металлической части поверхности антенны Si и магнитного тока х\" на неметаллической части антенны (апертуре) S2 [1,2]:

В.1)

G{r',r) = -±-e-'kR. (B.2)

4я R

В (B.2) R - расстояние между точкой источника г' и точкой наблюдения г; к = (£>-Jeii/c; е, ц - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, в которой находится антенна; с - скорость света.

Составляющие ЭМП излучения антенны определяются путём обычного дифференцирования по координатам точки наблюдения г [3]. В результате из (В.1) получаются интегральные представления для ЭМП в любой точке наблюдения [4]:

Si S2

В.З)

H(r)= ft(r)G?(r',?)dr'+ l гС{г')6н2{г',?)сГг', s, s2 где Gf(r',r), G"(r',r) - известные достаточно громоздкие тензорные функции Грина.

На поверхностях S\ и S2 соотношения (В.З) переходят в ИУ для определения поверхностных плотностей токов г\е, г\т:

J= при г eSt,

В.4)

Jfj™(F')G"(r',rSi)dr' = f2(rSi) при r e S2, s, 2 где fvf2- известные векторные функции, описывающие источник возбуждения.

Использование функции Грина (В.2) при расчёте ближнего ЭМП антенны приводит к несамосогласованной задаче, т.е. к отсутствию предельного перехода поверхностных плотностей токов fjc,fjm к ЭМП вблизи антенны [4]. Кроме того, функция Грина (В.2) - причина появлений интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма 1-го рода (интегральных уравнений типа Поклингтона или Халлена [2,5]), нахождение решения которых есть математически некорректно поставленная по Адамару задача [6]. Как следствие, появление в последнее время теорий, отрицающих существование электрических и магнитных полей, т.е. справедливость уравнений Максвелла [7].

Один из наиболее распространённых способов устранения неинтегрируемых особенностей в (В.2) - разнесение точек наблюдения (?) и точек источника (г') за счёт введения дополнительных приближений (ограничений) на физическую модель излучающей структуры. Например, при расчёте проволочных электрических вибраторов, как правило, вводят приближение тонкого вибратора [2,5]: поверхностная плотность электрического тока г\е (тангенциальное магнитное поле Ят(5|) к поверхности S\) на вибраторе в цилиндрической системе координат заменяется расположенной на оси вибратора бесконечной тонкой нитью продольного электрического тока (р = 0). При этом задача нахождения H[s,) в виде ИУ формируется на поверхности р = а, где а - радиус вибратора, и R#0.

В [4] показано, что причиной появления некорректных электродинамических задач является несамосогласованные физическая и математическая модели излучающих структур. Естественно, возникает идея устранения некорректности в задаче физическим способом. При этом автоматически решается проблема расчёта ЭМП в ближней зоне антенны. Очевидно, для существования при г -> rs (S =Sj+ S2- поверхность излучения, на которой задаются fje и rjm) предельного перехода в интегральных соотношениях (В.З) необходимо, чтобы тензорные функции Gf(r',r), G"(r',r) (/ = 1,2) содержали и обобщённые функции (типа дельта-функции). С помощью гладких аналитических функций предельный переход г —»rs осуществить невозможно. Таким образом, мы приходим к идее необходимости получения сингулярных интегральных представлений (СИП) ЭМП, которые при г -» rs естественным образом переходили бы в сингулярные интегральные уравнения (СИУ) первого рода. Метод регуляризации некорректных электродинамических задач с помощью построения на основе математического аппарата СИУ самосогласованных физической и математической моделей антенны в [4] назван методом физической регуляризации (МФР), в отличие от метода регуляризации [6], который мы будем называть методом математической регуляризации.

Необходимо отметить, что существует ряд областей науки и техники, где необходимо знание полей не только в дальней, но и в ближней зоне - в непосредственной близости от излучателей. Примерами могут служить области электромагнитной совместимости, электромагнитной экологии и область антенных измерений.

Очевидно, что расчёт электромагнитного поля (ЭМП) в ближней зоне необходимо делать, опираясь на адекватный математический аппарат, иначе неверные результаты могут привести к неправильным конструкторским решениям, что в итоге может сказаться на работоспособности устройств и непосредственно на нашем здоровье. К сожалению, существующие и описанные в различных учебниках и справочниках методики расчёта ЭМП в ближней зоне являются некорректными. Ситуация усугубляется тем, что измерить поля в ближней зоне невозможно, т.к. внесение туда любого измерительного зонда вызывает изменение этих самых полей.

В радиотехнике и связи в последнее время выделился большой класс задач, нахождение решений которых представляет собой некорректно поставленные математические задачи [6]. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Можно привести следующие примеры некорректных задач: задача определения истинного спектра сигнала по измеренному в некоторой полосе частот спектру; задачи о собственных волнах полосково-щелевых волноведущих структур; расчёт ближних полей излучающих систем, синтез антенн, восстановление пространственной структуры по их двумерным проекциям, редукция измерений за диаграмму направленной антенны, и т.д. Общим для всех вышеуказанных задач является то, что они формулируются в виде интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма первого рода. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Особенно часто формулировки задач в виде ИУ Фредгольма первого рода встречаются при решении различного рода электродинамических задач в технике СВЧ и КВЧ диапазонов. В зависимости от характера исходной информации при решении задач возможен как детерминированный подход, так и вероятностный. Ниже мы ограничимся детерминированным подходом.

Пристальный интерес исследователей и разработчиков к микрополосковым и полосковым антеннам связан с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения. Полосковые рамочная и вибраторная антенны также относятся к этому классу антенн.

Методы расчёта характеристик антенн можно условно разбить па две большие группы. Методы, относящиеся к первой группе, основаны на эвристических предположениях и не позволяют определить все необходимые характеристики антенны. Так, например, в [11,12] анализ антенн проводился с помощью эквивалентных магнитных токов на проводящих поверхностях по контуру пластины. Вторая группа методов, основанная на общих численных методах и уравнениях Максвелла, имеет широкую область применимости, определяемую вычислительными ресурсами современных ЭВМ. В частности, в [13] описана программа расчёта микрополосковых антенн с произвольной формой излучающих проводников. В основе алгоритма лежат известные функции Грина для элементарных металлических форм, на которые разбиваются полосковые излучатели произвольной формы. Однако в силу громадных затрат вычислительных ресурсов, оценка погрешности расчётов с помощью этих методов затруднительна. Более того, алгоритмы, построенные на основе этих методов, зачастую могут быть неустойчивыми. Оценка погрешности и вопрос об устойчивости алгоритмов при таких подходах, как правило, остаются в стороне, т.к. в основном усилия тратятся на проведение вычислительных процедур на ЭВМ и минимум усилий на разработку математических моделей антенн, связанную с определением корректности поставленной электродинамической задачи.

В последнее время наметилась тенденция к использованию рамочных антенн в системах сотовой связи, охранной сигнализации, телевидении и т.п. Теоретическому исследованию рамочных антенн посвящено большое количество научных работ. Однако расчёты характеристик антенн как правило основывались на различных приближениях и допущениях. Например, в [14] анализ рамочной антенны проводился с учётом равномерного распределения тока. В [15,16] использовалось квазистатическое приближение для проводника малого поперечного сечения. В [17] применялась теория длинных линий. Характерной особенностью большинства работ является использование заданных распределений тока как вдоль антенного провода, так и по его поперечному сечению, т.е. решалась несамосогласованпая задача. Такой подход может быть оправданным при выполнении ряда условий лишь для излучателей малых электрических размеров. В общем случае необходимо найти распределение тока на антенне при заданном стороннем ЭДС. В самосогласованной постановке в [18] рассмотрена задача о распределении тока в рамочной антенне, находящейся в анизотропной плазме и представляющей собой бесконечно тонкую идеально проводящую узкую ленту, свёрнутую в кольцо. Исходя из уравнений Максвелла, задача сведена к системе интегральных уравнений относительно азимутальной составляющей поверхностной плотности тока по проводнику. В приближении отсутствия «поперечного» резонанса электростатических волн во внутренней области кольцевой антенны (радиус рамки гораздо больше поперечного размера ленты) интегральные уравнения преобразованы к приближённым СИУ с логарифмическими и сингулярными ядрами. Получены приближённые выражения для распределения тока и импеданса антенны. К сожалению, в [18] отсутствуют численные результаты. В [19,20], исходя из электродинамических потенциалов, описан электродинамический подход к задаче о распределении тока в полосковой антенне в виде рамки. Распределение тока по кольцевому проводнику ищется в виде ряда Фурье по азимутальным гармоникам, коэффициенты которого, зависящие от поперечной координаты, определяются из СИУ с особенностью типа Коши. Показано, что предложенный метод обладает хорошей внутренней сходимостью. В работе приведены комплексные распределения тока по кольцевому проводнику и зависимости входного сопротивления антенны от нормированного радиуса рамки.

Задачи о тонких проволочных (вибраторных) антеннах, как правило, сводят к решению интегральных уравнений. В настоящее время многими авторами такой подход считается достаточно общим и строгим. Данный подход предполагает переход от интегродифферепциальных уравнений к интегральным, с последующим их решением. В задачах нахождения токораспределепия в тонких проволочных вибраторных антеннах используют, по меньшей мере, два вида интегральных уравнений - Халлена и Поклингтона. По-видимому, первой работой в этой области следует считать [21], в которой уравнение Поклингтона использовалось для доказательства того, что распределение тока в тонком проводе близко к синусоидальному, а скорость волны тока равна скорости света. В [22] также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчёту распределения тока по вибратору можно считать труды Халлена Е. [23], Леонтовича М.А. и Левина М.Л. [24]. В них рассмотрен трубчатый диполь, расположенный в свободном пространстве. Интегральное уравнение, полученное в работах [23,24] и названное уравнением Халлена, позволяло вычислять распределение тока по вибратору, расположенному в свободном пространстве, и его входное сопротивление.

Задача расчёта тонкого электрического вибратора получила дальнейшее развитие в работах Кинга Р. в 60-е годы [25-28]. Следует также отметить работы Кляцкипа И.Г. [29,30], Неймана М.С. [31], Конторовича М.И. и Соколова И.О. [32]. В них систематизированы и последовательно изложены многие аспекты проблемы, а также предложены различные подходы к решению интегрального уравнения Халлена.

При решении электродинамических задач расчёта вибраторных антенн широко используется тонкопроволочное приближение [28, 34-39], сущность которого состоит в следующем. Рассматривается антенна, состоящая из цилиндрического проводника с диаметром поперечного сечения, значительно меньшим длины волны. Относительно данной антенны ставится задача в виде интегрального уравнения, имеющего смысл граничного условия на поверхности идеального проводника для электрического поля, с учётом только продольных (параллельных оси провода) составляющих тангенциального поля и тока. При этом поверхностному току, умноженному на 2па (а - диаметр проводника), сопоставляется линейный ток, текущий по оси провода. Такой подход позволяет существенно упростить вид искомой токовой функции, (векторная функция поверхностной плотности тока заменяется скалярной) и вид граничных условий (в качестве стороннего поля рассматривается лишь составляющая, вектор которой параллелен оси проводников). В [37] показано, что максимальный электрический радиус полуволнового вибратора, допускающий тонкопроволочное приближение, составляет

0.125% длины волны. При радиусах, превышающих указанную величину, не удаётся получить устойчивое решение. По-видимому, это ограничение справедливо не только для полуволнового вибратора, но и для любого линейного проводника.

Приведённые выше работы касались вибраторных антенн, расположенных в свободном пространстве. Однако, для решения многих практических задач, требуется знание параметров антенн, расположенных вблизи поверхности земли. Обычно поверхность земли представляют в виде бесконечной идеально проводящей плоскости. Используя метод зеркального отображения, можно перейти от модели с границей раздела к системе связанных вибраторов. В этом случае параметры вибраторов можно определить приближённо методом наведённых ЭДС [41,42]. В работах Зоммерфельда JI. [42] и Гершельмена X. [33] впервые получены интегральные представления потенциальных функций вертикального и горизонтального диполей, расположенных над полупроводящей поверхностью. Анализом решения Зоммерфельда долгое время занимался Тармаковский JI.C. [44]. В [45] решалась задача определения распределения тока по вертикальной вибраторной антенне над проводящим полупространством. Авторы решали эту задачу методом моментов, используя интегральное уравнение Халлена. В работе приведены результаты только для полуволнового вибратора и двух видов подстилающей поверхности. Влияние реальной поверхности земли на параметры элементарных излучателей и их ближнее поле исследовалось в работах Губанова B.C. [46] и Анкудинова В.Е. [47]. В работах Рашковского C.JI. [48,49] было найдено распределение тока по вибратору с использованием уравнения Поклингтона и метода регуляризации распределения тока, основанном на кусочно-квадратичном его сглаживании. Получены результаты для вертикального и горизонтального вибраторов для одного вида подстилающей поверхности.

В последнее время появилось много новых работ, в которых также использовалось тонкопроволочное приближение [50-54].

Построение математических моделей вибраторов с учётом азимутальной составляющей поверхностного тока может быть осуществлено с учётом результатов работы [55].

Как правило, расчёт тонких электрических вибраторов основан на решении интегродифференциальных уравнений Поклингтона и Харрингтона, а также интегрального уравнения Халлена методом моментов [33, 56-58]. По существу он сводится к преобразованию указанных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти неизвестные постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций [33,60], существуют достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Методы решения подобных уравнений рассмотрены в работах Неганова В.А. и Нефёдова Е.И. (см., например, [61,62]).

При решении интегральных уравнений Поклингтопа и Халлена методом моментов ключевым является вопрос о сходимости численных результатов. Зачастую у авторов в литературе возникают различные противоречивые рекомендации по выбору базисных функций. Например, многие исследователи отдают предпочтение кусочио-синусоидальным функциям, ссылаясь на то, что их использование дает наивысшую точность [33]. Однако, сходимость решений при этом [50] имеет немонотонный характер, и сходимость достигается при большом числе разбиений (больше 100), независимо от выбора базисных функций.

До середины 90-х годов на практике при анализе антенных решёток и вообще проволочных антенн в основном применялись методы, основанные на тонкопроволочном приближении [51, 52, 54, 63, 64], при котором ток в проводнике описывается как линейный (нитевидный), текущий вдоль оси провода, а тангенциальная составляющая поля определяется на поверхности проводника. Основным недостатком постановки задач расчета тонкопроволочных антенн в виде интегральных уравнений следует считать, на наш взгляд, то, что при их решении исходные сингулярные интегральные ядра, записанные большинством авторов в неявном виде, заменяются на регулярные. Сформулированная таким образом задача математически приводит к уравнению Фредгольма первого рода [65,66], нахождение решений которых является некорректно поставленной задачей [6]. Также остается открытым вопрос проверки истинности решения и установления его адекватности рассматриваемой физической задаче. Для плоского полоскового вибратора интегральное уравнение Фредгольма первого рода получено в работах [68,69]. В [70] Эминовым С.И. был предложен новый класс базисных функций для решения таких уравнений, называемых собственными функциями интегродифференциалыюго оператора. Однако, в результате использования этих функций, алгоритм численного решения оказывается сильно усложнённым.

В [71-74] Негановым В.А. и Матвеевым И.В. был развит новый метод, с помощью которого на основе математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений (СИУ) [75-77], было получено СИУ относительно производной по продольной координате от плотности поверхностного тока на вибраторе. Такая постановка задачи является корректной по Адамару [6], благодаря чему обеспечивается наличие устойчивых решений даже при больших электрических радиусах проводников. Ранее этот подход с успехом применялся Негаповым В.А. и Нефёдовым Е.И. для построения математических моделей полосково-щелевых волноведущих и резонансных структур сверх- и крайневысоких частот [78-86]. Близкие подходы для излучающих систем, состоящих из ленточных проводников, были развиты в [87,88]. Метод СИУ был обобщён для электрического вибратора с учётом азимутальной зависимости тока и для плоского полоскового вибратора в работах [19, 89, 90]. Численные методы решения СИУ описаны в монографиях [91,22]. СИУ с ядром Гильберта для рамочных антенн были рассмотрены в [93-96]. В работах [10,97] В.А. Негаповым предложен корректный метод определения ЭМП в ближней зоне излучающих структур, основанный на сингулярных интегральных представлениях (СИП) ЭМП.

Подводя итог анализу состояния вопроса, можно сделать следующие основные выводы:

1. Методы определения ЭМП в ближней зоне излучающих структур развиты слабо. Расчёт антенн, геометрия которых описывается цилиндрическими координатами, разделяют на две части: внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренняя задача анализа состоит в определении токов на поверхности антенны по заданному возбуждающему полю, причём ток по всей антенне предполагается непрерывным, включая зазоры, вводя некие эквивалентные токи. Внешняя задача заключается в том, что по известному распределению поверхностного тока по антенне с помощью функции Грина (В .2) определяется поле излучения антенны в свободном пространстве. Такой подход является несамосогласованным, т.е. отсутствует непрерывный переход от поля в ближней зоне к полю (току) на поверхности излучения антенны.

2. В работах [4,9,10,97] предложен самосогласованный метод расчёта ЭМП в ближних зонах излучающих структур, основанный на СИП ЭМП и СИУ для определения поверхностной плотности тока на поверхности излучения антенны. Метод является «перевёрнутым» по отношению к традиционному подходу: вначале записываются СИП ЭМП пространства, окружающего антенну. Применяя граничные условия для СИП, получаются СИУ для определения поверхностной плотности тока на поверхности излучения антенны. К сожалению, метод применялся в основном для расчёта ЭМП электрического вибратора. Кроме того, в научной литературе отсутствует детальный механизм трансформации ЭМП электрического вибратора от ближней зоны к зоне излучения. Поэтому в работе ставится задача дальнейшего развития самосогласованного метода на примере кольцевой цилиндрической антенны и детальный анализ трансформации ЭМП электрического вибратора от ближней зоны к дальней зоне.

Цель работы

Целью диссертационной работы является применение самосогласованного метода для расчёта ЭМП в ближних зонах диполя Герца, электрического вибратора и кольцевой полосковой антенны. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- получено СИП ЭМП в ближней зоне источников излучения, расположенных на кольцевой полосковой поверхности;

- разработана физическая модель диполя Герца в виде тонкого и короткого идеально-проводящего трубчатого электрического вибратора:

- СИП ЭМП в ближней зоне источников, расположенных на кольцевой полосковой поверхности, применены для электродинамического анализа диполя Герца, электрического вибратора и кольцевой полосковой антенны.

Методы исследования

Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат обобщённых функций, математический аппарат теории СИУ, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде MathCad 2001.

Научная новизна диссертации:

- впервые получено СИП ЭМП в ближней зоне источников, расположенных на кольцевой полосковой поверхности;

- впервые разработана самосогласованная физическая модель диполя Герца в виде топкого и короткого идеально-проводящего трубчатого электрического вибратора;

- на примере электродинамического анализа полуволнового электрического вибратора проведено сравнение самосогласованного метода, основанного па СИП ЭМП и СИУ, определённого на кольцевой полосковой поверхности, где расположены источники, с «классическим» подходом;

- впервые получено векторное СИУ для кольцевой полосковой антенны, учитывающее продольную и поперечную составляющие поверхностной плотности электрического тока на полоске;

- в рамках самосогласованных физической и математической моделей дано объяснение трансформации структуры ЭМП в ближней зоне диполя Герца (несипфазность Е - и Н

14 полей, три составляющие ЭМП) в поперечное с синфазными Е- и Я-полями ЭМП в дальней зоне.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты исследований получены па основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближённые методы решения СИУ корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: совпадением некоторых математических и численных результатов, полученных другими авторами; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений. Кроме того, полученное векторное СИУ относительно векторной поверхностной плотности тока кольцевой полосковой антенны в предельном случае отсутствия поперечной составляющей тока на полоске переходит в известное скалярное СИУ [20].

Практическая ценность работы

В работе описан корректный, с физической и математической точек зрения, алгоритм расчёта ЭМП в ближних зонах излучающих структур, геометрия которых описывается в цилиндрической системе координат. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к практическому определению ЭМП в ближних зонах антенн. Эти вопросы связаны с электромагнитной совместимостью устройств, с электромагнитной экологией, с воздействием ЭМП на биологические объекты. Отсутствие в настоящее время самосогласованного подхода к определению ЭМП в ближних зонах антенн приводит к появлению теорий, отрицающих справедливость уравнений Максвелла [7]. Работа вносит свой вклад в критику подобных теорий.

Разработанный в диссертации самосогласованный метод определения ЭМП в ближних зонах антенн, геометрия которых описывается в цилиндрической системе координат, достаточно несложно может быть обобщён на случай произвольной их геометрии.

Положения, выносимые на защиту:

1. СИП ЭМП в ближней зоне источников, расположенных на кольцевой полосковой поверхности, позволяющее осуществлять переход от ЭМП в ближней зоне антенны к поверхностной плотности электрического и магнитных токов (напряжённостям £,иЯ,) на поверхности антенны.

2. Новая самосогласованная физическая модель диполя Герца в виде тонкого и короткого идеально-проводящего трубчатого электрического вибратора, позволяющая устранить бесконечность ЭМП в точке расположения диполя.

3. Механизм трансформации структуры ЭМП диполя Герца в ближней зоне (несинфазность Е - и Я-полей, три составляющие ЭМП) в поперечное с синфазными Ё-и Н -полями в дальней зоне.

4. Результаты сравнения самосогласованного метода, основанного на СИП ЭМП и СИУ, определённого на кольцевой полосковой поверхности, где расположены источники, с «классическим» подходом с функцией Грина (2) по результатам электродинамического анализа полуволнового электрического вибратора.

5. Векторное СИУ для определения векторной поверхностной плотности электрического тока (тангенциального магнитного поля) па полоске кольцевой полосковой антенны, учитывающее продольную и поперечную составляющие этой плотности тока.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на XII, XIII научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, февраль 2005, 2006); на IV и V Международных научно-технических конференциях «Физика и техническое приложение волновых процессов» (Нижний Новгород, октябрь 2005; Самара, сентябрь 2006).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 4 статьи в журнале «Физика волновых процессов и радиотехнические системы», включенным ВАК в число изданий, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертационных работ на соискание ученой степени доктора наук и 5 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертациоиной работы, показана её актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных

16 результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе в рамках самосогласованной электродинамической задачи в цилиндрической системе координат получено сингулярное интегральное представление (СИП) электромагнитного поля в любой точке пространства через тангенциальное магнитное поле в области S па поверхности р = рд, где определены источники. В области

S сингулярное интегральное представление переходит в сингулярное интегральное уравнение для определения тангенциального магнитного поля. Сингулярное интегральное представление позволяет математически корректно рассчитать электромагнитное поле в ближних зонах антенн. Для дальней и промежуточной зон сингулярное интегральное представление даёт традиционные результаты.

В главе получены СИП, позволяющие корректно вычислять электромагнитное поле (ЭМП) в ближних зонах антенн, поверхность которых описывается цилиндрическими координатами. Показано, что в случае отсутствия зависимости от ф СИП на поверхности излучения переходит в скалярное СИУ для определения производной продольной составляющей поверхностной плотности тока на данной поверхности. Также показано, что функция Грина СИП в дальней зоне переходит в «классическую». Развитая в данной главе теория позволяет определять ЭМП любой антенны, геометрия которой представляет часть цилиндрической поверхности, в любой точке пространства.

Во второй главе полученные в первой главе СИП используются для построения новой самосогласованной электродинамической модели диполя Герца, поскольку в последнее время появились работы [7], ставящие под сомнения уравнения Максвелла. В главе предложена новая физическая модель диполя Герца в виде тонкого и короткого идеально-проводящего трубчатого электрического вибратора. На основе этой модели проведён электродинамический анализ ЭМП диполя Герца и показан механизм перехода ЭМП из колебательного состояния в той части пространства, где магнитные и электрические поля разнесены, в ЭМП с синфазными электрическим и магнитным полями в дальней зоне, когда наблюдается перенос электромагнитной энергии.

В третьей главе подробно описан самосогласованный алгоритм расчёт ЭМП электрического вибратора, основанный на СИП ЭМП и СИУ относительно продольной составляющей поверхностной плотности тока на вибраторе. Проведено сравнение метода СИП с «классическим» подходом на примере электродинамического анализа полуволнового вибратора. Показано, что в «классическом» методе не выполняются граничные условия для тангенциальной составляющей электрического поля на металле и поведение ЭМП вблизи рёбер вибратора (условие на ребре). Проведён

17 электродинамический анализ ЭМП полуволнового вибратора: показан механизм трансформации структуры ЭМП из колебательного состояния в синфазное состояние для электрического и магнитного полей электромагнитной волны в дальней зоне, когда наблюдается перенос мощности ЭМП.

В четвёртой главе рассмотрена кольцевая полосковая антенна. Метод СИП позволил получить распределения продольной составляющей поверхностной плотности тока по антенне при различных радиусах кольца. Рассчитаны частотные зависимости входного сопротивления антенны и проведён электродинамический анализ ЭМП в ближней зоне антенны. Показано, что дальнейшее развитие теории кольцевой полосковой антенны сводится к учёту поперечной составляющей поверхностной плотности тока на антенне и оптимизации аппроксимации стороннего поля в зазоре.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Автор глубоко признателен научному руководителю проф. В.А. Неганову за постановку интересных задач, постоянную помощь в проведении научных исследований и моральную поддержку. Автор также признателен М.И. Лемжину и Д.П. Табакову за помощь в проведении численных расчётов.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Святкин, Николай Михайлович

4.6. Выводы по главе 4

В данной главе описан самосогласованный метод расчёта электромагнитного поля в ближней зоне кольцевой полосковой антенны и приведены распределения составляющих ЭМП в этой зоне. Метод, основанный на СИП (4.2.1) и (4.2.5) ЭМП, устраняет принципиальную некорректность общепринятого подхода к расчёту ближних полей: присутствие разрыва между плотностью тока на поверхности антенны и ЭМП вблизи этой поверхности. Тем не менее, в принятой в работе физической модели кольцевой полосковой антенны присутствуют два допущения, приводящие к несколько неверным физическим результатам. Во-первых, учёт только азимутальной составляющей плотности поверхностного тока на антенне приводит к игнорированию граничного условия Ez = 0 на поверхности токопроводящей полоски. Поэтому в рамках принятой физической модели это условие выполняется только для t - 0, и можно сделать вывод, что рассмотренная в данной главе модель справедлива только для бесконечно тонкой проволочной кольцевой антенны. Второе допущение связано с аппроксимацией (4.3.3) стороннего поля в зазоре, которая имеет разрывы первого рода на концах зазора, это приводит к хорошо известному

107 явлению Гиббса в теории рядов Фурье. Этим объясняется наличие осцилляций на рис. 4.6. Устранить эти осцилляции можно путём гладкой аппроксимации стороннего поля, как это сделано для электрического вибратора [98].

Описанный в главе самосогласованный метод расчёта ЭМП в ближней зоне кольцевой полосковой антенны может быть применён для любой излучающей структуры, описываемой координатными цилиндрическими поверхностями.

-5000

-1.5 104

Рис. 4.9. Поведение Ez вблизи ребра антенны (t = z/l = 1) (непрерывная кривая - Re{£z}; пунктирная кривая - Im{£z}) л** 4 1 / t

1 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005 1.006 1.007 1.008 1.009 1

2000

1000

-1000

-2000

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200

-200

М1.Ф, Л), В/м

Л ) % i % \ 1 \ 1 \ ъ 1 t / / i J t f 1 / f / 9 J * F i \ « \ « 1 i \ * \ s \ i 1 i \ % \ Ф ь \ ь V % \ % \ 1 V t \ ч \ \ / » J 1 J / / / J f Г % f 4 J t / ! i V % \ » \ ь \ i kA

-3-2-10 1 2 3 а)

MP ,•> Я/2,1.1 ),В/м

J 4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 б)

Рис. 4.10. Распределения ez : а) по координате <р, б) по нормированной координате Pi = р/а (непрерывные кривые - Re{£z}; пунктирные кривые - 1т{£г}) а) б)

Рис. 4.11. Распределения Ер: а) распределение по нормированной координате р, = р/а, б) по нормированной координате t = zll (непрерывные кривые - Re{£p}; пунктирные кривые - 1ш{£р}) а) б)

Hv (\,0,t),A/M

1 1 \ч \| f \ Л V

Л Л Л ъ ft St г t в)

Рис. 4.12. Распределения // : а) распределение по нормированной координате р. = р/а, б) по координате <р, в) по нормированной координате t = z/l (непрерывные кривые в) г)

Рис. 4.13. Распределения нр- а) распределение по нормированной координате = р!а, б) по координате <р, в) по нормированной координате t = z/l,f) вблизи ребра (непрерывные кривые - Rе{Яр}; пунктирные кривые - 1ш{Яр}) а) б) яг0'Ф> 0),а/м / \ /4 r\ \ i « / 1 / / \ 4 i 1 • 4 l / 1 1 \ t 1 1 a 1 . 1 \ 1 Г \ / 1 / \ ( 1 / 1 \/ф

Л 1 1 / * 1 4 4 1 1 t l i Л 4 I 4 \ 1 / % / i / 1 f 4 » 1 I # • « % « j i V 4 \ 1 \ # 1 tee

-3-2-10 1 2 3

В)

Рис. 4.14. Распределение нг: а) по ширине полоски, б) по нормированной координате р1 =р/а, в) по координате <р (непрерывные кривые - Re{//Z}; пунктирные кривые - 1ш{Яг})

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам и выводам диссертации можно отнести следующее:

1. Получено СИП ЭМП в ближней зоне источников, расположенных на кольцевой полосковой поверхности, которое на поверхности излучения, где заданы источники, переходят в СИУ для определения тангенциального магнитного поля на этой поверхности. В дальней зоне СИП переходят в известные соотношения для ЭМП.

2. Полученные СИП ЭМП являются обобщением СИП в работе [97] для цилиндрических излучающих структур на случай зависимости ЭМП от координаты ф.

3. Предложена новая физическая модель диполя Герца в виде тонкого и короткого идеально-проводящего трубчатого электрического вибратора.

4. Получено СИП для ЭМП диполя Герца в виде трубчатого вибратора, которое на поверхности диполя Герца переходит в продольную составляющую поверхностной плотности тока r\z, тем самым устраняя особенность в общепринятой модели диполя Герца.

5. Проведён электродинамический анализ ЭМП диполя Герца и показан механизм перехода ЭМП из колебательного состояния, когда магнитное и электрическое поля разнесены в пространстве (в ближней зоне диполя Герца), в ЭМП с синфазными электрическим и магнитным полями в дальней зоне, когда наблюдается перенос мощности ЭМП от диполя Герца.

6. Предложенная новая физическая модель диполя Герца совместно с СИП ЭМП позволяют сделать вывод, что основные понятия излучения ЭМП (уравнения Максвелла, напряжённости электрического и магнитного полей, вектор Умова-Пойнтинга и др.) не противоречат разработанной нами теории диполя Герца в отличие от общепринятой теории.

7. Описан самосогласованный алгоритм расчёта ЭМП электрического вибратора, основанный на СИП ЭМП и СИУ относительно продольной поверхностной плотности тока на вибраторе.

8. Проведено сравнение самосогласованного метода СИП с «классическим» подходом на примере электродинамического анализа полуволнового вибратора. Показано, что в «классическом» методе не выполняются граничное условие для тангенциальной составляющей электрического поля на металле и поведение ЭМП вблизи рёбер вибратора (условие на ребре). При небольшом удалении от вибратора (р/я >1,5) составляющие ЭМП, рассчитанные по методу СИП и по «классическому» методу, совпадают по величине.

9. Проведён электродинамический анализ ЭМП полуволнового вибратора и показан механизм трансформации структуры ЭМП из колебательного состояния при г/Х0< 0,35 в синфазное состояние для Eq и Яф при г/Х0 >3 (волновой процесс).

10. Описан самосогласованный метод расчёта электромагнитного поля в ближней зоне кольцевой полосковой антенны и приведены распределения составляющих ЭМП в этой зоне. Метод, основанный на СИП ЭМП, устраняет принципиальную некорректность общепринятого подхода к расчёту ближних полей: присутствие разрыва между плотностью тока на поверхности антенны и ЭМП вблизи этой поверхности.

11. Описанный самосогласованный метод расчёта ЭМП в ближней зоне кольцевой полосковой антенны может быть применён для любой излучающей структуры, описываемой координатными цилиндрическими поверхностями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Святкин, Николай Михайлович, 2006 год

1. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1988. - 432 с.

2. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры. Пер. с англ. / Под ред. Э.Л. Бурштейпа. -М: Мир, 1977.-485 с.

3. Неганов В.А., Осипов О.В., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн / Под ред. В.А. Негапова и С.Б. Раевского. М.: Радио и связь, 2005.-648 с.

4. Неганов В.А. Сингулярные интегральные уравнения как метод физической регуляризации некорректных электродинамических задач радиотехники и связи. В трудах IV МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов». - Нижний Новгород,2005.-С. 7-18.

5. Юдин В.В. Кольцевые антенные решётки: схемно-прострапственная мультиплексия и направленное излучение. М.: Радио и связь, 2001. - 189 с.

6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979, -288 с.

7. Харченко К.П., Сухарев В.Н. «Электромагнитная волна», энергия поток реальных фотонов. - М.: Комкнига, 2005. - 128 с.

8. Марков ГЛ., Чаплин В.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М. Л.: Энергия, 1976. -376 с.

9. Неганов В.А. Современная теория антенн: сингулярные интегральные представления электромагнитного поля, сингулярные интегральные уравнения. В трудах V МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов». - Самара, 2006. - С. 38-43.

10. Неганов В.А. Самосогласованный метод расчёта электромагнитных полей в ближних зонах излучающих структур, описываемых координатными цилиндрическими поверхностями // ДАН. 2006. - Т.408 - №5 - С.234-237.

11. Derneryd A.G. A theoretical investigation of the rectangular microstrip antenna element // IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1978. — Vol. AP-26. — № 4. — P.532-535.

12. Derneryd A.G. A network model of the rectangular microstrip antenna // AP-S Int. Symp. — San-Francisco, Calif., 1977. — P. 93-95.

13. ADS — Advanced Design System. Manuals., Hewlett-Parcard, 2000.

14. Wang T.N.C., Bell T.F. И IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1972. — Vol. AP-20. — №3. — P. 394.

15. Андронов A.A., Чугунов Ю.В. IIУФН. — 1975. — Т. 116. —№. 1. —С. 79.

16. Мареев Е.А., Чугунов Ю.В. Антенны в плазме. — Н.Новгород: ИПД АН СССР, 1991. — 231 с.

17. Ohnuki S., Saw ay а К, Adachi S. II IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1986. — Vol. AP-34. — № 8. — P. 1024.

18. Заборонкова T.M., Кудрин A.B., Петров Е.Ю. К теории рамочной антенны в анизотропной плазме // Известия вузов. Радиофизика. — 1998. — Т. 41. — № 3. — С. 358373.

19. Корнев М.Г. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения внутренних задач анализа рамочной и вибраторных антенн: Автореф. канд. физ.-мат. наук.1. Самара, 2003.—15 с.

20. Неганов В.А., Корнев М.Г. Применение метода сингулярного интегрального уравнения к анализу рамочной антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.2003. —Т. 6. —№ 1. — С. 41-45.

21. Pocklington НС., Camb.: Phil. Soc. Proc. — № 9 — P. 324 (1897).

22. PichmondJ.H., Proc. IEEE. — № 53. — P. 796 (1965).

23. Hallen E. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta (Uppsala). — 1938. — № 11. — P. 1-44.

24. Леонтович M.A., Левин М.Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах // ЖТФ. — 1994. — Т. 14. — Вып. 9. — С. 481.

25. King R. W.P., Wu Т. Т. И Radio Science. J. Res. N.B.S. — 1965. — 69D.

26. King R. W.P., Aronson E.A., Harrison C. W. II Radio Science. — 1966. — № 1.

27. King R. W.P., Sandler В. И IEEE Trans. Antennas Propagat. — 1973. — Vol. AP-21.

28. Кинг P., Смит Г. Антенны в материальных средах: В 2-х кн. / Пер. с англ. под. ред. Б.В. Штейншлейгера. — М.: Мир, 1984. — 824 с.

29. Кпяцкин КГ. Интегральное уравнение антенны и метод наведённых ЭДС // Радиотехника. — 1964. — Т. 19. — № 4.

30. Кляцкин И.Г. Об излучении антенн // Радиотехника. — 1965. — Т. 20. — №12.

31. Нейман М.С. Метод наведённых ЭДС и интегральное уравнение антенн // Радиотехника.1965. —Т. 20. —№12.

32. Конторович М.И., Соколов НО. Об интегральном уравнении, описывающем распределение тока в прямолинейной антенне // Радиотехника. — 1965. — Т. 20. — № 12.

33. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. / Под ред. Г.В. Воскресенского. М.: Мир, 1974. - 323 с.

34. Корнилов М.В., Калашников Н.В., Рунов А.В. и др. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн // Радиотехника. — 1989. — № 7. — С. 82-83.

35. Назаров В.Е., Рунов А.В., Подиногин В.Е. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн // Радиотехника и электроника. — Минск: Вышейшая школа, 1976. — Вып. 6. — С. 153-157.

36. Стрижков В.А. Математическое моделирование электрических процессов в проволочных антенных системах // Математическое моделирование. — 1989. — Т. 1. — № 38. —С. 127-138.

37. Радциг Ю.Ю., Сочилин А.В., Эминов С.И. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами // Радиотехника. —1995. —№3. —С. 55-57.

38. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. — 1993. — Т. 38. — Вып. 12. — С. 2160-2168.

39. Эминов С.И. Теория иптегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. — 1997. — Т. 5. — Вып. 2(18). —С. 48-58.

40. Рожанский Д.А. Об излучении антенн // ТиТбП. — 1922. — № 14.

41. Пистолъкорс А.А. Расчёт сопротивления излучения направленных коротковолновых антенн // ТиТбП. — 1928. — № 48.

42. Sommerfield L. Uber die Ausbereitung electromagnetisher Wellen in der Drahtlosen Telegraphie // Annalen der Physic. — 1919. — B. 28. — S. 665.

43. Horschelmann H. Uber die Wirkungweise der gebogenem Antennen von Marconi bei derb drahtlosen Telegraphie Y.d.d. // T u T. Bd5. HI. — 1911. — S. 14-34.

44. Тармаковский JI.С. Излучение диполя над плоской однородной землей // Радиотехника. — 1959. — Т. 14. — № 8.

45. Chang D. and Wait J. Theory of a vertical tubular antenna located above a conducting half-spase // IEEE Trans. Antennas Propogat. — 1970. — Vol. AP-18. — P. 182188.

46. Губанов B.C. Входное сопротивление и сопротивление излучения элементарных вибраторов, расположенных над полупроводящей почвой // Антенны. — 1972. — № 17.

47. Анкудинов В.Е. Горизонтальный электрический диполь на границе раздела двух сред // Антенны. — 1974. — № 19.

48. Рашковский C.JI. Исследование антенн, размещённых вблизи границы раздела двух сред, методом интегрального уравнения // Известия вузов. Радиофизика. — 1980. — Т. 13. — №7.

49. Рашковский C.JI. Характеристики линейных вибраторов, размещенных вблизи границы раздела двух сред // Известия вузов. Радиофизика. — 1981. — Т. 14. — № 4.

50. Лиштаев О.Б., Лучанинов А.И., Толстова С.В., Шокало В.М. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии // Радиотехника. — 1992. — № 1-2. — С. 87-88.

51. Лешеев А.А. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов // Радиотехника. — 1995. —№ 1-2. —С. 22-25.

52. Журбенко Э.М. О строгой теории элементарного электрического вибратора // Электросвязь. — 1995. — № 3. — С. 34-36.

53. Бородулин КВ., Стрижков В.А. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решёток из проволочных излучателей // Электросвязь. — 1995. — № 3. — С. 3334.

54. Васильев Е.Н., Малушков Г.Д. Распределение тока на цилиндре средней толщины // Известия вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 10. — № 4. — С. 530-538.

55. Harrington R.F. Field computation by moment methods. — MacMillan, New York, 1968.

56. Mishra S.R. Three-term exponential product solution for the current on dipole antennas in homogeneous isotropic media // Tech. Rept. № 636. Division of engineering and applied physics, Harvard University, Cambridge, Mass., 1972.

57. Ерохин Г.А., Чернышев O.B., Козырев Н.Д., Кочержевский В.Г. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн: Учебник для вузов / Под ред. Г.А. Ерохина. — М.: Радио и связь, 1996. — 352с.

58. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. — M.-J1.: ГИФНЛ, 1962. —708 с.

59. King R. W.P. The linear antenna-eighty years of progress // Proc. Inst. Elec. Electron. Eng. — 1967. — Vol. 55. — № 6. — P. 2-16.

60. Неганов B.A., Нефёдов Е.И. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линий передачи для объемных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. — 1988. — Т. 299. — № 5. — С. 1124-1129.

61. Неганов В.А., Нефёдов Е.И, Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. — М.: Наука. Физматлит, 1996. — 304 с.

62. Айзенберг Г.З., Белоусов СЛ., Журбенко Э.М. и др. Коротковолновые антенны / Под ред. Г.З. Айзенберга. — М.: Радио и связь, 1985 — 536 с.

63. Плотников В.Н., Сочилин А.В, Эминов С.И. Численно-аналитический метод расчёта вибраторных антенн // Радиотехника. — 1996. — № 7.

64. Айзенберг Г.З., Ямпольский В.Г., Терешин О.Н. Антенны УКВ. Т.1. — М.: Связь, 1977. —384 с.

65. Рунов А.В. О специализации интегрального уравнения тонкой проволочной антенны произвольной геометрии к некоторым частным случаям // Радиотехника и электроника. — Минск: Вышейшая школа. — 1976. — Вып. 6. — С. 161-167.

66. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1990.

67. Чебышев В.В. Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для тока узкого полоскового вибратора и численный метод его решения // Машинное проектирование устройств и систем СВЧ. — М., 1979. — С. 204-215.

68. Панченко Б.А., Князев С.Т., Нечаев Ю.Б. и др. Электродинамический расчёт характеристик полосковых антенн. — М.: Радио и связь, 2002. — 256 с.

69. Эминов С. И. Метод собственных функций сингулярных операторов' в теории дифракции применительно к электродинамическому анализу вибраторных и щелевых антенн: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. — Новгород, 1995. — 43 с.

70. Неганов В.А., Матвеев И.В. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 1999. — Т. 2. — №2. —С. 27-33.

71. Неганов В.А., Матвеев И.В. Новый метод расчёта тонкого электрического вибратора // Известия вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 3. — С. 335-344.

72. Неганов В.А., Матвеев И.В. Применение сингулярного интегрального уравнения для расчёта топкого электрического вибратора // ДАН. — 2000. — Т. 371. — № 1. — С. 36-38.

73. Неганов В.А., Матвеев ИВ., Медведев С.В. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению // Письма в ЖТФ. — 2000. — Т. 36. — Вып. 12. — С. 86-94.

74. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

75. Мусхелишвили НИ. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1986. — 512 с.

76. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свёртки. — М.: Наука, 1978. — 296 с.

77. Гвоздев В.И., Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта дисперсии симметричной щелевой линии // Известия вузов. Радиофизика. — 1984 — Т. 27, —№2, —С. 266-268.

78. Неганов В.А. Метод ортогонализующей подстановки для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур // Известия вузов. Радиофизика. — 1985 — Т. 28. — № 2. —С. 222-228.

79. Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта собственных волн экранированной щелевой линии // Радиотехника и электроника. — 1985. — Т. 30. — № 7.1. С. 1296-1299.

80. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Метод ортогонализующей подстановки в теории экранированных интегральных структур СВЧ // ДАН СССР. — 1985. — Т. 284.5, —С. 1127-1131.

81. Неганов В.А. Метод сингулярных интегральных уравнений для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур // Радиотехника и электроника. — 1986. — Т. 31.1. П. — С. 479-484.

82. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объёмных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. — 1988. — Т. 299. — № 5. — С. 1124-1129.

83. Неганов В.А. Метод интегральных представлений полей собственных волн в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур // Радиотехника и электроника. — 1989. — Т. 34. — № 11. — С. 2251-2260.

84. Неганов В.А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений // Радиотехника и электроника. — 1988. — Т. 33. — № 5. — С. 1076-1077.

85. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Оценка точности приближённых решений сингулярных уравнений в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур // Журнал вычислительной математики и математическая физика. — 1988. — № 11. — С. 1431-1436.

86. Bulter С.М., Wilton D.R. // IEEE Trans. Antennas Propogat. — 1980. — Vol. AP-28. — № 1. —P. 42.

87. Bulter C.M. II IEEE Trans. Antennas Propogat. — 1984. — Vol. AP-32. — № 3. — P. 226.

88. Неганов B.A., Корнев М.Г. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тока на поверхности узкого полоскового вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2002. — Т. 5. — № 4. — С. 34-36.

89. Неганов В.А., Корпев М.Г. К электродинамической теории узкого полоскового вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2003. — Т. 6. — №1. — С. 36-40.

90. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука. Физматлит, 1985. — 256 с.

91. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наукова думка, 1984. — 344 с.

92. Катин С.В., Клюев Д.С., Неганов В.А. Применение сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта к расчету круговой полосковой антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2004. — Т. 7. — № 4. — С. 12-18.

93. Клюев Д.С., Неганов В.А. Решение задачи о распределении тока в планарной полосковой кольцевой антенне методом сингулярного интегрального уравнения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. — Т. 8. — № 3. — С. 34-38.

94. Неганов В.А., Клюев Д.С. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта в теории узкой круговой полосковой антенны // ДАН, 2006. Т. 407. - № 3. - С. 329-331.

95. Неганов В.А. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля электрического вибратора в его ближней зоне // ДАН, 2004. Т. 399. - № 5. - С. 617-619.

96. Неганов В.А, Нефёдов Е.И., Яровой Г.П. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.А. Неганова. М.: Радио и связь, 2002. - 416 с.

97. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1981. — 798 с.

98. Неганов В.А., Павловская Э.А., Яровой Г.П. Излучение и дифракция электромагнитных волн / Под ред. В.А. Неганова. — М.: Радио и связь, 2004. — 264 с.

99. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби) / Под ред. Л.А. ЛюстерниканА.Р. Янпольского. —М.: Физматлит, 1961.

100. Крылов В.К, Бобков В.В., Монастырский ИИ. Вычислительные методы. Т. 2. — М.: Наука, 1977. —400 с.

101. Г. Торн, Т Торн Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. —832 с.

102. Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров. — М.: Наука, 1964. — 772 с.

103. Градштейн И.С., Рыжик КМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971.— 1108 с.

104. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1974. — 296 с.

105. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математитческие формулы / Пер. с англ. Н.В. Леей. — М.: Наука, 1983. — 176 с.

106. Неганов В.А., Клюев Д.С. Новый метод расчёта полосковых вибраторных излучателей // Известия вузов. Электроника. — 2002. — № 5. — С. 73-79.

107. Неганов В.А., Святкин Н.М. Метод сингулярного интегрального уравнения в задачах о распределении тока в кольцевой полосковой антенне // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2005. Т.8. - №2. - С. 61-67.

108. Неганов В.А., Лемжин М.И., Святкин Н.М. Электромагнитное поле в ближней зоне электрического вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2006. Т.9. - №4. - С. 25-35.

109. Неганов В.А., Святкин Н.М., Табаков Д.П. Электродинамический анализ электромагнитного поля в ближней зоне кольцевой полосковой антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2006. Т.9. - №4. - С. 37-48.