Математическое моделирование процессов массо-тепло переноса в мелководных водоемах на криволинейных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Колгунова, Олеся Владимировна

• Колгунова, Олеся Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колгунова, Олеся Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ С УЧЕТОМ СТОКА РЕК, ОСАДКОВ, ИСПАРЕНИЯ.

1.1. Особенности решения гидродинамических задач с учетом протекания жидкости через поверхность раздела вода - воздух.

1.1.1 .Уравнения тепловго и водного балансов поверхности моря.

1.1.2.Уравнение состояния морской среды и обощенное уравнение для плотности.

1.2. Полуэмпирические мождели начальных и граничных условий.

1.2.1. Модели ветра и его тангенциального напряжения.

1.2.2. Модели горизонтальной составляющей скорости течения.

1.2.3. Модели вертикальной составляющей скорости течения.

1.2.4.Модели глубины верхнего квазиоднородного слоя.

1.3. Краткий обзор сведений из теори и теплопроводности.

1.4. Основные компоненты теплового баланса.

1.4.1. Конвективный теплообмен.

1.4.2. Теплообмен с дном водоема.

1.4.3. Турбулентная теплопроводность.

1.4.4. Влияние радиации на теплообмен в водоеме.

1.4.5. Теплота фазового перехода.

1.4.6. Молекулярная теплопроводность.

1.4.7. Диссипация кинетической энеогии.

1.4.8. Соленость.

1.5.0бзор литературы по тепловому режиму в водоемах.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКИ.

2.1. Общие определения и теоремы.

2.1.1. Триангуляция и ее элементы.

2.1.2. Простые участки границ.

2.2. Алгоритм построения сетки.

2.2.1. Построение сетки на границе области.

2.2.2. Улучшение (оптимизация) сетки.

2.3. Результаты построения сеток для акватории Азовского моря и Таганрогского залива.

ГЛАВА 3. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ ВОДОЕМОВ В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТИ ВОДНОЙ СРЕДЫ.

3.1. Трехмерная система уравнений гидродинамики.

3.2. Получение и исследование двумерной модели.

3.2.1. Интегрирование двумерной модели по вертикали.

3.2.2. Уравнение баланса аналога полной механической энергии.

3.2.3. Вычисление управляющих коэффициентов. Трение о дно и воздух.

3.3. Дискретизация гидродинамической модели по времени.

3.3.1. Явная схема.

3.3.2. Неявная схема.

3.3.3. Получение схемы на основе алгоритма метода поправки к давлению.

3.4. Конечно-элементная аппроксимация слагаемых схемы.

3.4.1. Конечно-элементная аппроксимация уравнений для потоков.

3.4.2. Модели источников и стоков.

3.4.3. Конечно-элементная аппроксимация уравнения для функции возвышения уровня.

3.4.4. Решение полученных СЛАУ.

Результаты моделирования.

ГЛАВА 4. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОФИЗИКИ ВОДОЕМОВ В СЛУЧАЕ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ПЛОТНОСТИ ВОДНОЙ СРЕДЫ.

4.1. Трехмерная система уравнений гидрофизики водоемов.

4.2. Получение и исследование двумерной модели.

4.2.1. Интегрирование двумерной модели по вертикали.

4.2.2. Вычисление управляющих коэффициентов. Трение о дно и воздух.

4.3. Определение распределения температуры Азовского моря на основе вычислительного эксперимента.

4.4. Итерационно - разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды.

4.5.параллельный алгоритм решения модельной задачи гидрофизики водоемов на кластере распределенных вычислений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов массо-тепло переноса в мелководных водоемах на криволинейных сетках»

Математическое моделирование природных систем, в том числе мелководных водоемов - дополняет, а во многих случаях позволяет исключить дорогостоящие и опасные натурные эксперименты с реальной экосистемой. Если мы можем рассчитать уровень воды в водоеме при различном ветре, то мы можем предсказать зоны возможного затопления прибрежных областей. Использование математических моделей позволяет предсказать возможные последствия искусственного изменения рельефа дна или другого вмешательства в экосистему водоема.

Актуальность

Для задач математического моделирования гидрофизических процессов в водоемах актуальной является проблема построения и практического использования вычислительно-эффективных методов, базирующихся на применении оптимальных криволинейных сеток, в том числе нерегулярных и построение сходящихся итерационных алгоритмов решения задач массо-тепло переноса для существенно изменяющейся плотности водной среды. Переход в методах дискретизации задач математической физики, связанный с использованием вместо прямоугольных, сеток криволинейных, в том числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество расчетных ячеек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном количестве ячеек. Применение криволинейных сеток при ограничениях на оперативную память вычислительных систем позволяет значительно лучше аппроксимировать сложную форму береговой линии и повысить реальную точность расчетов в случае существенно изменяющихся температур и соленостей, что определяет и подтверждает актуальность данной работы. В случае сеток высокого разрешения, а также при проведении расчетов в реальном времени актуальной является рассмотренная в работе параллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений. Проведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали достаточно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров.

Целями диссертационной работы являются:

1. Разработка и исследование алгоритмов построения нерегулярных треугольных сеток, являющихся более экономичными по сравнению с регулярными сетками для реальных водоемов со сложной границей расчетной области.

2. Построение итерационно-разностных алгоритмов эффективного решения задач гидродинамики транспорта тепла и соли для мелководных водоемов, в том числе с существенно изменяющейся плотностью.

Для достижения поставленных целей в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1) построение нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации гидродинамической модели;

2) построение, исследование и численная реализация двумерной гидродинамической модели методом осреднения по вертикальным направлениям в случае не существенно изменяющейся плотности водной среды;

3) построение, исследование и численная реализация двумерной модели распределения скоростей, температур и солености в случае существенно изменяющейся плотности водной среды;

4) численное моделирование распределения скоростей и температур в Азовском море и Таганрогском заливе применительно к реальным погодным условиям.

Научная новизна результатов исследования отражается в следующих исследованиях и разработках:

1) разработаны алгоритмы построения нерегулярных треугольных расчетных сеток для численной реализации гидродинамической модели, которые в отличие от регулярных сеток гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области;

2) разработан итерационный алгоритм сглаживания нерегулярных треугольных расчетных сеток, позволяющий получить сетку более высокого качества;

3) построены и исследованы конечно-элементные модели гидрофизики водоемов, использующие нерегулярные треугольные сетки и базирующиеся на методе расщепления по физическим процессам;

4) построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды и получены достаточные условия его сходимости;

5) на основе разработанных алгоритмов, которые требуют меньших вычислительных затрат за счет использования экономичных (нерегулярных) сеток по сравнению с регулярными сетками, и программ, выполнено численное моделирование распределения течений и температур в Азовском море, результаты которого имеют практическую ценность и удовлетворительно согласуются с результатами моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магз2В, РОМ.

Достоверность научных результатов подтверждается корректным применением математического аппарата теории разностных схем, методов решения сеточных уравнений, принципов параллельного программирования, а также выполненным численным моделированием распределения течений и температур в Азовском море, результаты которого согласуются с результатами моделирования на основе использования употребительных комплексов программ, таких как Магз20, РОМ.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке алгоритмов и создании программ для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, которые в отличие от регулярных сеток просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области, а также посвящена моделированию течений в Азовском море и Таганрогском заливе (двумерная модель).

Использование криволинейных сеток вместо прямоугольных, в том числе нерегулярных треугольных сеток, позволяет существенно сократить количество ячеек при заданной точности или значительно повысить точность моделирования при данном количестве ячеек. Треугольные сетки были получены для акватории Азовского моря и Таганрогского залива. Алгоритмы позволяют строить нерегулярные треугольные сетки с-малым числом нерегулярностей для областей сложной формы. Для построения сеток используются данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сетки могут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников. Имеется возможность задавать требуемую плотность узлов в различных местах сетки.

Теоретические и практические результаты диссертационной работы внедрены в Научно-образовательном центре комплексных исследований и' математического моделирования техногенных и экологических систем Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге.

Апробация результатов работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на XII Международной конференции «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005); XI Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2005); 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007); IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008); 55-ой научно-технической конференции ТТИ ЮФУ (Таганрог, 2008 г).

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колгунова, Олеся Владимировна

Заключение

В данной работе для численной реализации гидродинамической модели были разработаны алгоритмы и программы для построения нерегулярных треугольных расчетных сеток, которые в отличие от регулярных сеток, гораздо более просты в построении и легко адаптируются к сложной геометрии области. Треугольные сетки были получены для акватории Азовского моря и Таганрогского залива. Разработанные алгоритмы позволяют строить нерегулярные треугольные сетки с малым числом нерегулярностей для областей сложной формы. Для построения сеток использовались данные о форме береговой линии и рельефе дна. Сетки могут быть построены с любым заранее заданным числом треугольников. Имеется возможность задавать требуемую плотность узлов в различных местах сетки.

Была получена двумерная модель гидродинамики водоемов в случае постоянной плотности водной среды из трехмерной интегрированием по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, а так же был учтен профиль коэффициента турбулентного обмена по вертикали, характерный для мелководных водоемов. Преимущества модели заключаются в том, что модель учитывает испарение и выпадение осадков не только в уравнении баланса массы, но и в уравнениях движения, что важно для уравнений мелкой воды в жарком климате. В модели не изменялся порядок следования операций дифференцирования по горизонтальному направлению и операций интегрирования по вертикальному направлению, что позволило избежать получения фиктивных источников энергии и импульса. Модель учитывает стоки рек, зависящий от координат уровень воды в водоёме, сложный рельеф дна, вертикальный и горизонтальный турбулентный обмен, силу Кориолиса, атмосферное давление, испарение и осадки, трение о дно и воздух (ветер).

На основе данной модели были рассчитаны течения в Азовском море и функция возвышения уровня для типичных направлений ветра. Эти данные могут быть использованы для предсказания наводнений и расчета последствий выброса загрязняющих веществ в море.

Кроме того, выполнено моделирование на сетках различной подробности. Показано, что все три метода на различных сетках дают практически одинаковые результаты. Программы, реализующие данную модель, являются универсальными и могут быть применены для любого другого мелководного водоема.

Также была построена двумерная модель гидрофизики водоемов в случае изменяющейся плотности водной среды из трехмерной интегрированием по вертикальной координате, в предположении, что компоненты вектора скорости зависят от глубины по квадратичному закону, а так же учитывается профиль коэффициента турбулентного обмена по вертикали, характерный для мелководных водоемов. На основе вычислительного эксперимента было определено распределение температуры Азовского моря на сентябрь месяц для одних суток, с временным интервалом в один час.

В работе построена и исследована двумерная модель гидрофизики водоемов в случае существенно изменяющейся плотности водной среды транспорта тепла и соли для водоема прямоугольной формы и разностный метод ее решения, который базируется на схемах расщепления и методе поправки к давлению (варианте MAC - метода). Построен итерационно-разностный алгоритм решения задачи гидрофизики водоемов, в случае существенно изменяющейся плотности водной среды и определены достаточные условия его сходимости. Система условий, полученная на основе сеточного принципа максимума и следствий из него, накладывает одновременно ограничения сверху на шаг по времени, а снизу - на величину нормы шага по пространству. Изложена параллельная реализация численного алгоритма на кластере распределенных вычислений. Проведенные численные эксперименты на реальном кластере под управлением MPI показали достаточно высокую эффективность параллельного алгоритма на умеренном числе процессоров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колгунова, Олеся Владимировна, 2009 год

1. Азовское море // Гидрометеорология и гидрохимия морей СССР. С - П.:

2. Гидрометеоиздат. 1991. - С. 6-73.

3. Альтман Э. Ю., Безбородов А. А. Практическая экология морских регионов.

4. Черное море. Киев: Наук, думка, 1990. - 10 с.

5. Барков А. С. Словарь справочник по физической географии. М.:1. Учпедгиз. 1954. 110 с.

6. Беляев В. И. О построении математической модели морской экосистемы на основе развития гидротермодинамической модели моря // Биология мира. 1977. -Вып.40. С.5 - 9.

7. Беляев В. И. Моделирование морских систем. Киев: Наук, думка, 1987. — 3 с.

8. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. М.:1. Высшая школа, 1982. 7с.

9. Богомолов В. Г. Жизнь моря. М.: Молодая гвардия, 1954. С. 284 - 287.

10. Богуславский С. Г. Годовой ход коэффициента турбулентной температуропроводности по вертикали / Тр. МГИ АН СССР. М., 1958.-Т.13. С. 3 - 13.

11. Браславский А. П., Вакулина 3. А. Нормы испарения с поверхности водохранилищ. Л.: Гидрометеоиздат, 1954. - 212с.

12. Бубнов М. А. О разрешимости задачи динамики приливов в стратифицированном океане. Новосибирск, Препринт ВЦ Сиб. отд. АН СССР, №70. 1977.-25 с.

13. Будыко М. И. Тепловой баланс земной поверхности. Л.: Гидрометеоиздат, 1956.-255 с.

14. Варзи А. Консервативная форма уравнений Навье-Стокса в произвольной нестационарной системе координат // Ракетная техника и космонавтика, 1981.-Т. 19, №3. С. 135 137.

15. Васильев A.C. Основы морских гидробиофизических прогнозов: В 4 т. Т.1 Теоретические основы мониторинга основных физических и биохимических полей морского региона. М., 1988. Деп. в ВИНИТИ, № 910-В88. 174 с.

16. Васильев A.C. Основы прикладной экологии океана. Владивосток: ДВО АН СССР, 1992.-282 с.

17. Васильев A.C. Адаптивно-обучающаяся система прогнозирования классов природных процессов. Ч. 1. Создание и введение региональных специализированных банков океанографической информации: Руководящие указания. СПб.: Гидрометеоиздат, 2001. 136 с.

18. Винников С. Д., Проскуряков Б. В. Гидрофизика. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. С. 67- 191.

19. Гидрометеорологический справочник Азовского моря. / Ленинград, 1962. С. 19 - 723.

20. Дмитриев Н. В., Сухоруков В. А. Сравнительный анализ моделей вертикального турбулентного обмена в океане. Сб. Мат. модели в исследовании динамики океана. Новосибирск, 1988. С. 18 - 30.

21. Дрогайцев Д.А. Построение поля ветра над морем //Тр. ИО АН СССР. 1954. Т. 9. С 23 53.

22. Зилитинкевич С. С., Лайхтман Д.Л., Монин A.C. Динамика пограничного слоя атмосферы //Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1967. Т.З, №3.

23. Зубов H.H. Океанологические таблицы. Л.: Гидрометеоиздат, 1956. 406 с.

24. Котовщиков Б. Б. Особенности годовых температурных волн деятельного слоя Черного моря / Сб. Теоретические исследования волновых процессов в океане. Севастополь, 1983. С. 57 62.

25. Кочергин В. П., Сухоруков В. А., Цветова Е. А. Моделирование процессов вертикальной турбулентной диффузии в океане // Численные методы расчета океанических течений. — Новосибирск. 1974. С. 129 152.

26. Кочергин В. П., Климок В. И., Сухоруков В. А. Однородный слой океана в рамках дифференциальных моделей. // Численные методы механики сплошной среды, 1977. Т.8, - С. 102 - 114.

27. Курбаткин Г. П. и др. Спектральная модель среднесрочного прогноза // Докл. АН СССР.- 1987.-Т. 294. С. 321 329.

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.У1.Гидродинамика. -М.: Наука, 1988. С. 137-330.

29. Линейкин П.С. Основные вопросы динамической теории бароклинного слоя моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1970. -139 с.

30. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. С. 522 -527.

31. Лыков А. В. Тепломассообмен / Справочник. М.: Энергия, 1972. - 239 с.

32. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Гостехиздат, 1967. - 392 с.

33. Любимова Е. А., Александров А. Л., Дучков А. Д. Методы изучения тепловых потоков через дно океанов. М.: Наука, 1973, 18с.

34. Мамаев О.И. Упрощенная зависимость между плотностью, температурой и соленостью морской воды // Изв. АН СССР. Сер. Геофиз., 1964. № 2. С. 309 -311.

35. Мамаев О.И. Т, 8 анализ вод Мирового океана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1970.-364 с.

36. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. С. 131 138.

37. Марчук Г. И., Кочергин В. А. Математические модели циркуляции в океане. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1980. - 285с.

38. Марчук Г.И., Саркисян А. С. Математическое моделирование циркуляции океана // Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Наука. 1988.

39. Матишов Г. Г, Макаревич П. Р и др. Комплексные экологические исследования Азовского моря (препринт) Кольский научный центр, Мурманск, 1997. С. 9 - 17.

40. Мишон В. М. Практическая гидрофизика. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. С. 8 -295.

41. Монин А. С. О взаимодействии между вертикальной и горизонтальной диффузией примеси в море. // Океанология. 1969. №1. С. 76-81.

42. Монин А. С. Основные особенности морской турбулентности // Океанология, 1970. Т. 10, № 9.

43. Монин А. С., Красицкий В. П. Явления на поверхности океана.- Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 243 с.

44. Монин А. С., Каменкович В. М., Корт В. Г. Изменчивость Мирового океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. - 261 с.

45. Музыченко А. Г. Анализ структуры сезонной изменчивости потоков явного и скрытого тепла в Северной части Тихого океана: Сб. Математические модели в исследовании динамики океана. Новосибирск, 1988. С. 60-81.

46. Праудмэн Дж. Динамическая океанография. М.: Изд-во. иностр. лит., 1957.-418 с.

47. Приходько М. Г., Смирнов В. С., Эйдельман Ю. 3. Общая и синоптическая метеорология. М.: Воен. издат. МО СССР, 1959. С. 5 - 385.

48. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Наука, 1980. - 298 с.

49. Рхи С. М., Чоу У. Л. Численный расчет обтекания профиля с отрывом у задней кромки // Аэрокосмическая техника, 1984. — Т.2, №7. С. 33 — 43.

50. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 197 с.

51. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-344 с.

52. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. — 294 с.

53. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. 2-е изд. М.: Научный мир, 2003. — 316 с.

54. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

55. Самойленко В. С. Современная теория океанического испарения и ее практическое применение. // Тр. ГОИН. 152. Вып. 21 (33).

56. Самойленко В. С. Формирование температурного режима моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1959. С. 5-57, 144.

57. Саркисян A.C. Об одном обобщении теории Экмана. // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1956. № 6. С. 669 672.

58. Соскин И. Н. Эмпирические зависимости для расчета ветровых течений // Тр. ГОИН. 1962. Вып. 70. С. 3 27.

59. Сухинов А. И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

60. Сухоруков В. А., Дмитриев Н.В., Лихачев С.М. Моделирование перемешанного слоя океана. Новосибирск, 1986. - 23с. - (Препринт //АН СССР. Сиб. отд-ние, ВЦ; № 675).

61. Сычев В. В. О течении вязкой жидкости около вращающегося эллиптического цилиндра // Ж. Вычислительная математика и математическая физика, 1995. Т. 35, № 6. С 1001 - 1008.

62. Теплотехнический справочник / ред. Юренева В.Н., Лебедева П.Д., М.: Энергия, 1976. -23 с.

63. Тимофеев Н. А. Радиационный режим океанов. Киев.: Наук, думка, 1983. С. 6-213, 248.

64. Указания по расчету испарения с поверхности водоемов. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. - 83 с.

65. Угрюмов А. И. Тепловой режим океана и долгосрочные прогнозы.- Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 4 с.

66. Федоров К. Н. Мезомасштабная изменчивость поля температуры в океане. -М.: Наука, 1977. 13 с.

67. Фельзенбаум А. И. Динамика морских течений // Гидродинамика. М., 1970. С. 97-338.

68. Физика океана / Под ред. Ю.А. Доронина. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. С. 35 -90.

69. Физический энциклопедический словарь / Под ред. В.М. Прохорова. М.: Изд. Большая Российская Энциклопедия, 1995. - 58с.

70. Чеботарев А. И. Общая гидрология.- Л.: Гидрометеоиздат, 1975. С. 57 -143.

71. Чеботарев А. И. Гидрологический словарь. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. С. 3-273.

72. Шулейкин В. В. Физика моря. М.: Наука, 1968. - 108 с.