Математическое моделирование трехмерных гидрофизических процессов в прибрежных районах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чистяков, Александр Евгеньевич

• Чистяков, Александр Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чистяков, Александр Евгеньевич

Введение.

Глава 1. Трехмерная математическая модель движения водной среды.

1.1. Непрерывная трехмерная модель движения водной среды.1 б

1.2. Построение дискретной модели.

1.3. Упрощенная гидростатическая модель для расчета движения водной среды применительно к мелководным водоемам.

1.4. Трехмерная модель движения водной среды с учетом транспорта солей и тепла.

Глава 2. Исследование трехмерной математической модели движения водной среды.

2.1. Погрешность аппроксимации разностной схемы.

2.2. Погрешность аппроксимации граничных условий.

2.3. Консервативность дискретной модели.

2.4. Устойчивость разностной схемы.

2.4.1. Исходная система уравнений.

2.4.2. Каноническая форма сеточных уравнений.

2.4.3. Принцип максимума.

2.4.4. Доказательство устойчивости.

2.4.5 Схемы против потока.

Глава 3. Методы решения сеточных уравнений.

3.1. Попеременно-треугольный метод.

3.1.1 Оптимизация ПТМ с использованием априорной информации.

3.1.2 Вариационная оптимизация ПТМ.

3.2.3 Адаптивная оптимизация ПТМ скорейшего спуска.

3.2.4 Сходимость ПТМ скорейшего спуска.

3.2. Попеременно-треугольный метод для несамосопряженной матрицы.

3.2.1 Вариационная оптимизация ПТМ.

3.2.2. Адаптивная оптимизация ПТМ минимальных поправок.

3.2.3. Сходимость ПТМ минимальных поправок.

3.3. Параллельная реализация аддитивного ПТМ скорейшего спуска.

Глава 4. Программная реализация математической модели движения водной среды и результаты численных экспериментов.

4.1. Алгоритм и программная реализация задачи.

4.1.1 Общие сведения о программе «Azov3d».

4.1.2. Функциональное назначение программы «Azov3d».

4.1.3 Описание логической структуры программы «Azov3d».

4.1.4 Используемые технические средства.

4.1.5 Вызов и загрузка программы «Azov3d».

4.1.6 Входные данные программы «Azov3d».

4.1.7 Выходные данные программы «Azov3d».

4.2. Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование трехмерных гидрофизических процессов в прибрежных районах»

Актуальность темы. Уникальной является экологическая система Таганрогского залива и Азовского моря в целом. Залив является одним из наиболее рыбопродуктивных естественных водоемов, что объясняется благоприятными природно-климатическими условиями, малосоленостью, обилием корма.

С другой стороны из внутреннего Азовское море превратилось в оживленный международный морской перекресток. Море, в особенности залив, начинает подвергаться «новым» видам антропогенного воздействия, обусловленным строительством портов, прокладкой судоходных каналов, интенсификацией судоходства и так далее. В то же время, осуществленные без предварительного математического моделирования проекты прокладки каналов могут привести в дальнейшем к интенсивному заносу и заиливанию и, как следствие, к большим материальным затратам на поддержание каналов в "штатном" режиме. Также в результате - непродуманного сооружения и углубления каналов в море могут образоваться застойные зоны. Весьма высока вероятность занесения новых, враждебных по отношению к азовским, видов средиземноморской флоры и фауны. Все это может привести к последствиям, сопоставимым с теми, что связаны со строительством Волго-Донского канала. Сказанное выше и обуславливает актуальность анализа и прогноза развития экологической системы Таганрогского залива и Азовского моря.

Экологическая система моря представляет собой сложную многопараметрическую систему, процессы, протекающие в ней, являются пространственно-трехмерными и нестационарными и имеют существенно нелинейный характер. Поэтому, даже относительно простые натурные эксперименты по анализу морской экосистемы являются чрезвычайно трудоемкими и дорогостоящими. В качестве примера следует назвать проведенный в относительно благополучные для финансирования научных исследований 80-ые годы эксперимент "Онего-89" на Северо-Западе России. В этом опыте в течение месяца были задействованы три научно-исследовательских судна, летающая самолет-лаборатория, а также искусственный спутник Земли, а результаты позволили лишь на короткое время предсказать развитие системы Онежского озера. ~ Не преуменьшая роли натурных экспериментов, следует все же отметить, что наиболее оптимальным в смысле затрат и достоверности полученных результатов представляется подход, основанный на сочетании относительно дешевых и простых натурных экспериментов и математического моделирования исследуемых процессов. В еще большей мере сказанное становится справедливым в отношении прогнозирования экосистемы моря. В этом случае математическое моделирование является, по сути дела, единственным надежным средством получения результатов. Правильность такого подхода к прогнозу развития водных экосистем была осознана научным сообществом достаточно давно. Однако, только в конце семидесятых годов были созданы реальные предпосылки внедрения методологии математического моделирования в экологии.

В настоящее время многие крупные внутренние водоемы, заливы и шельфовые системы Западной Европы и Северной Америки имеют программно реализованные математические модели, которые позволяют предсказывать гидродинамические, химические и биологические изменения в экосистемах. В этих странах давно считают чистую воду национальным достоянием, ресурсом «номер один». Компьютерные модели позволяют, в зависимости от направления ветра, предсказывать картину течений и распространения загрязнений для Великих озер Америки, для залива Сан-Франциско и Венецианской Лагуны, и т.д. Начало моделированию экосистемы Азовского моря положили работы донских ученых: академика РАН И.И. Воровича, член-корреспондента РАН Ю.А. Жданова, профессоров А.Б. Горстко, Ю.А. Домбровского, Ф. А. Суркову. Камерная система моделирования Азовского моря, ее ограниченность, ряд новых интересных результатов получен в Таганрогском радиотехническом университете. В частности, Сухиновым

Александром Ивановичем совместно с Васильевым Владиславом Сергеевичем построены математические модели, являющиеся во многих отношениях уникальными. Усовершенствована пространственно-двумерная модель мелкой воды. Она позволяет прогнозировать течения в Азовском море и подъем уровня воды с высокой степенью достоверности. Используя эту модель, можно предсказывать изменение уровня воды в Таганрогском заливе в зависимости от ветра и стока Дона. Другое преимущество данной модели состоит в том, что она точнее других моделей передает картину течений в случае сильно изрезанной береговой линии, в частности, там, где имеются далеко выступающие в открытое море косы. Известно, что эти участки моря являются своеобразными рыбными «яслями», именно здесь и осуществляется, в основном, подрастание рыбной молоди, однако, до сих пор не были систематически исследованы и применены трехмерные модели гидродинамики, включающие уравнение движения по трем координатным направлениям.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей, способных адекватно описывать гидродинамические процессы, а также построение эффективных параллельных алгоритмов для решения задач гидродинамики.

Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач:

1) разработка трехмерной математической модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам, учитывающая такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно;

2) аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам;

3) построение эффективного алгоритма для решения сеточных уравнений;

4) создание программной реализации трехмерной математической модели для расчета полей скоростей на языке высокого уровня С++ с поддержкой MPI и построение картин течений для различных направлений ветров.

Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики мелководных водоемов производилось на основе уравнений: движения (уравнение Навье - Стокса) и неразрывности для несжимаемой жидкости. Для решения задач гидродинамики использовался метод поправки к давлению, при этом отдано предпочтение схемам с весами. Аппроксимация по пространственным переменным производилась при помощи интегро -интерполяционного метода. Устойчивость исследовалась на основе принципа максимума. Сеточные уравнения решались адаптивным попеременно-треугольным итерационным методом. Параллельный алгоритм построен на основе метода декомпозиции области по двум пространственным направлениям.

Используемые численные методы реализованы на языке "С++" с поддержкой MPI. Визуализация и анализ решений, компьютерные эксперименты с индивидуум-ориентированной моделью проводились в среде разработки MATHCAD.

Научная новизна.

Разработана математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам. В отличие от известных данная модель имеет ряд преимуществ. Производится расчет трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения, а не на основе гидростатического приближения и уравнения возвышения поверхности. В большинстве гидродинамических моделей для мелкой воды третья (вертикальная) компонента вектора скорости определяется из уравнений неразрывности и возвышения уровня, что вносит существенные погрешности в определение вертикальной компоненты скорости. Вычисление трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения является трудоемким процессом, поэтому в качестве начального приближения для вычисления давления используется гидростатическое приближение. Данный подход значительно уменьшает временные затраты.

Предложен алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода. В случае самосопряженного оператора скорость сходимости данного алгоритма совпадает со скоростью сходимости попеременно-треугольного итерационного метода. В случае несамосопряженного оператора метод сходится быстрее, чем при использовании симметризации по Гауссу для исходной задачи с последующим решением ее попеременно-треугольным итерационным методом.

Предложен параллельный алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска на основе декомпозиции по двум пространственным направлениям. Получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма.

Достоверность научных положений и выводов обусловлена применением математически обоснованных методов. Выполнены исследования погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели. Модель имеет первый порядок погрешности аппроксимации по временной переменной и второй по пространству. Доказана устойчивость модели (в линейном смысле) при ограничениях на шаг по пространству. Аналитически доказано сохранение потока дискретной моделью. Получено совпадение численных расчетов с результатами натурных экспериментов для горизонтальных составляющих вектора скорости.

Научная и практическая значимость работы.

Возможное практическое применение полученной математической модели связано не только с экологическими проблемами, но и с заблаговременным предсказанием различных природных катаклизмов, связанных с подъемом воды в Таганрогском заливе и затоплением прибрежных районов. На основе математических моделей можно, используя точные данные о ветре, стоке Дона и располагая геоинформационной системой Таганрога, предсказать, какие конкретные строения и когда будут затоплены в случае ураганного ветра. Однако, не надо думать, что для этого достаточно иметь только модель и компьютер «под рукой». Компьютерные программы должны быть увязаны с геоинформационой базой данных прибрежных районов, нужна точная и оперативная информация о метеоусловиях в воздушной среде. Другое направление работы связано с построением трехмерных моделей, более точно описывающих поведение экосистем, когда нужно моделировать не только движение воды, но и гидрохимические и биологические процессы.

Апробация работы.

Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах:

1. Молодежь и современные информационные технологии. Сборник трудов VI Всероссийской нучно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 26-28 февраля 2008г.

2. Международной научно-технической конференции (8-12 сентября, 2008, Таганрог, Россия)// ТГПИ. Таганрог.

3. IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». ТТИ ЮФУ. Таганрог 2009г.

4. Научный семинар кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (2 февраля, 2009, Таганрог, Россия).

5. Научный семинар кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ (12 марта, 2010, Таганрог, Россия).

Публикации и личный вклад автора.

По теме диссертации опубликовано' 13 печатных работ, из них 4 статьи в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК:

1. Алексеенко Е.В., Сидоренко Б.В., Колгунова О.В., Чистяков А.Е. Сравнительный анализ классических и неклассичнских моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009, №8(97). С 6-18.

2. Лапин Д.В., Черчаго А.А.,, Чистяков А.Е. Совместные экспедиционные исследования гидрофизических параметров Азовского моря на многоцелевой яхте «Буревестник» и НИС т/х «Платов». Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009, №8(97). С 82-89.

3. Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009, №8(97). С 75-82.

4. Чистяков А.Е., Алексеенко Е.В., Колгунова О.В. Вычислительные эксперименты с математическими моделями турбулентного обмена в мелководных водоемах. Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Гуманитарные и информационные технологии в управлении экономическими и социальными системами». - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009, №10(87). С 171-175.

В других изданиях:

5. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Математическое моделирование движения водной среды в Миусском лимане. Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы VII Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 2 февраля 2007г.: В 2 ч. / Юж.-Рос. Гос. Техн. Ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. - 4.2. - С.81.

6. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Модель расчета зон анаэробного заражения в миусском лимане. Сборник трудов 4-ой научпо-практической конференции с международным участием. Экологические проблемы взгляд в будущее. 5-8 сентября 2007 года СОЛ «Лиманчик». Ростов-на-Дону 2007. С.325-329

7. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Двумерная модель турбулентного движения водной среды в Миусском лимане. Математическое моделирование и информационные технологии / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). г.Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2007. (Приложение к журналу). С.43-47.

8. Чистяков А.Е., Сухинов А.И. Модель движения водной среды в мелководных водоемах. Альманах современной науки и образования. -Тамбов: «Грамота», 2008. С.217-220.

9. Чистяков А.Е., Сухинов А.И. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море. Молодежь и современные информационные технологии. Сборник трудов VI Всероссийской нучно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 26-28 февраля 2008г.- 500с. С.484-485. '

10. Чистяков А.Е., Сухинов А.И. Пространственно трехмерная математическая модель расчета гидродинамики мелководных водоемов. Материалы Международного Росссийско - Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VI школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус. 2008. С 170-171.

11. Алексеенко Е.В., Чистяков А.Е., Сухинов А.И., Ру Б. 3D - model for hydrodynamical processes in shallow water basins with turbulent mixing parameterization and it's parallel realization. Материалы конференция ParCFD08. Франция. Лион. 2008.

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Колгунова О.В. Параллельная реализация адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода. Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов// Материалы Международной научно-технической конференции (8-12 сентября, 2008, Таганрог, Россия)// ТГПИ. Таганрог. Изд-во НП «ЦРЛ», 2008.С 352-355.

13. Чистяков А.Е. Модель транспорта солей и тепла в мелководных водоемах. IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления»: Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. С. 273.

Краткое содержание и структура работы.

Диссертация изложена на 153 страницах, включает в себя 34 иллюстрации, 4 таблицы; состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы из 96 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чистяков, Александр Евгеньевич

Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам, учитывающая такие физические параметры как: сила Кориолиса, турбулентный обмен, сложная геометрия дна и береговой линии, испарение, стоки рек, ветровые течения и трение о дно. В отличие от известных данная модель имеет ряд преимуществ. Производится расчет трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения, а не на основе гидростатического приближения и уравнения возвышения поверхности. В большинстве гидродинамических моделей для мелкой воды третья компонента вектора скорости определяется из уравнений неразрывности и возвышения уровня, что вносит существенные погрешности в определение вертикальной компоненты скорости. Вычисление трех компонент вектора скорости на основе уравнений движения является трудоемким процессом, поэтому в качестве начального приближения для вычисления давления используется гидростатическое приближение. Данный подход значительно уменьшает временные затраты;

2. Выполнена дискретизация математической модели для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам и сделаны аналитические исследования погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели;

3. Построена гидростатическая математическая модель для расчета полей скоростей применительно к мелководным водоемам и проведены сравнения двумерных, трехмерных гидростатических и динамических моделей движения водной среды;

4. Построен адаптивный попеременно-треугольным итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором и получены оценки сходимости для данного метода. В случае самосопряженного оператора скорость сходимости данного алгоритма совпадает со скоростью сходимости попеременно-треугольного итерационного метода. В случае несамосопряженного оператора алгоритм сходится быстрее, чем при использовании симметризации по Гауссу для исходной задачи с последующим решением ее попеременно-треугольным итерационным методом;

5. Построен параллельный алгоритм адаптивного попеременно-треугольного итерационного метода скорейшего спуска при помощи декомпозиции по двум пространственным направлениям. Параллельные вычисления с применением технологий MPI производились на кластере распределенных вычислений с использованием 128 процессоров. Проведенные численные эксперименты показали, что максимальное ускорение, для задачи размерностью 351x251x14 достигалось на 128 процессорах и было равно 43,6. Получены теоретические оценки ускорения и эффективности для данного алгоритма;

6. Выполнен ряд численных экспериментов, построены картины трехмерных течений для различных направлений ветров и выделены зоны замкнутого вихревого движения среды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена разработке математической модели для расчета полей скоростей применительно к Азовскому морю. Анализ результатов показывает, что на акватории Азовского моря имеются слабо вентилируемые зоны, в этих зонах при возникновении термической стратификации, типичной для второй половины лета, возможно появление участков анаэробного загрязнения. В зоне выхода водной среды из Таганрогского залива в Азовское море вода насыщена органическими примесями, при наличии замкнутого вихревого движения среды органика осаждается на дно и ее разложение приводит к явлениям гипоксии и аноксии. В случае возникновения аноксии дальнейшее разложение органики идет по анаэробному циклу с образованием сероводорода, что подтверждается практическими экспериментами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чистяков, Александр Евгеньевич, 2010 год

1. Марчук Г.И. Методы расщепления. М. Наука, 1989.

2. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутреннее течения газовых смесей. М.: Наука, 1989, 368 с.

3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч М.: Мир, 1980. - 612 с.

4. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1989.

5. Коновалов А.Н. К теории попеременно треугольного итерационного метода// Сибирский математический журнал, 2002, 43:3, с. 552-572.

6. Монин А.С. Турбулентность и микроструктура в океане// Успехи физических наук, том 109.

7. Белоцерковский О. М. Турбулентность: новые подходы М.: Наука, 2003

8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы расщепления для задач математической физики. М.: Наука, 1999. - 319с.

9. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

10. Четверушкин Б. Н. Кинематические схемы и квазигазодинамическая система уравнений . М.: МАКС Пресс, 2004. - 332 с.

11. Чистяков А.Е., Сухинов А.И. Модель движения водной среды в мелководных водоемах. Альманах современной науки и образования. — Тамбов: «Грамота», 2008. С.217-220.

12. Алексеенко Е.В., Чистяков А.Е., Сухинов А.И., Ру Б. 3D model for hydrodynamical processes in shallow water basins with turbulent mixing parameterization and it's parallel realization. Материалы конференция ParCFD08. Франция. Лион. 2008.

13. Чистяков А.Е. Модель транспорта солей и тепла в мелководных водоемах. IX Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления»: Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2008. С. 273.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 733 с.

15. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. 5-е изд. - М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 832 с.

16. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1989. -432 с.

17. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов по специальности "Прикладная математика" / А. А. Самарский -М.: Наука, 1987.-286 с.

18. Самарский А. А. Введение в численные методы : учебное пособие для вузов / А. А. Самарский; МГУ им. М. В. Ломоносова. 3-е изд., стереотип. - СПб: Лань, 2005. - 288 с.

19. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1989.432 с.

20. Самарский А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. 2-е изд. -М. : ЛКИ, 2007. - 480 с.

21. Самарский А.А., Разностные методы решения задач газовой динамики / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. М.: Наука. - 1980. - 352 с.

22. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

23. Бахвалов Н. С. Численные методы : учебное пособие / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков; МГУ им. М. В. Ломоносова. 3-е изд., доп. и перераб. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

24. Бахвалов Н. С. Численные методы : учебное пособие для студентов физико-математических специальностей вузов. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков; Московский государственный университет им.

25. М. В. Ломоносова. б-е изд. - М. :БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. -636 с.

26. Вержбицкий В.М. Основы численных методов : Учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. М. : Высш. шк., 2002. - 840 с.

27. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения : Учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. М. : Высш. шк., 2001. - 382 с

28. Воеводин А.Ф. Методы решения одномерных эволюционных систем / Отв. ред. Э.А. Бондарев; Рос. АН, Сиб. отд-ние, Ин-т гидродинамики им. М.А.Лаврентьева. Новосибирск : Наука, 1993. - 364с

29. Волков Е. А. Численные методы : учебное пособие / Е. А. Волков. Изд. 3-е, испр. - СПб. : Лань, 2004. - 248 с

30. Гусак А. А. Справочник по высшей математике. Минск : 1991. - 480с

31. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение = Numerical Methods and Software / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш; пер. с англ. под ред. X. Д. Икрамова. 2-е изд., стереотип. - М. : Мир, 2001. - 575 с

32. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

33. Тихонов А.Н. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.

34. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

35. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

36. Холл Д., Уатт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1970. 312 с.

37. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1987. 572 с.

38. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982. 583 с.

39. Химельблау Д., Прикладное нелинейное программирование. Мир, 1975. 534 с.

40. Андерсон Д., Вычислительная гидромеханика и теплообмен: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 1. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер; под ред. Г.Л. Подвидза. М.: Мир. - 1990. - 384 с;

41. Андерсон Д., Вычислительная гидромеханика и теплообмен: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 2. / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер; под ред. Г.Л. Подвидза. М.: Мир. - 1990. - 336 с.

42. Арсенин В.Я., Методы математической физики и специальные функции / В .Я. Арсенин. М.: Наука. - 1984. - 384 с.

43. Белоцерковский О.М., Метод «крупных частиц» в газовой динамике / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. М.: Наука. - 1982. - 391 с.

44. Белоцерковский О.М., Численное моделирование в механике сплошных сред / О.М. Белоцерковский. М.: Наука. - 1984. - 520 с.

45. Белоцерковский С.М., Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей / С.М. Белоцерковский, А.С. Гиневский. М.: Физико-математическая литература. - 1995. - 368 с.

46. Белоцерковский С.М., Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров // Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа. 1983.- № 4. - С. 138-147.

47. Белоцерковский С.М., Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров. М.: Наука.- 1988. - 232 с.

48. Белоцерковский С.М., Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью / С.М. Белоцерковский, М.И. Ништ. М.: Наука- 1978.- 352 с.

49. Войткунский Я.И., Гидромеханика / Я.И. Войткунский, Ю.И. Фаддеев, К.К. Федяевский; 2-е изд., перераб. и доп. JI: Судостроение. - 1982. - 456 с.

50. Гильманов А.Н., Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики / А.Н. Гильманов. М.: Наука, Физматлит. - 2000. - 248 с.

51. Годунов С.К., Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов. М.: Наука. - 1976.-400 с.

52. Годунов С.К., Уравнения математической физики / С.К. Годунов. М.: Наука. - 1971. -416 с.

53. Горелов Д.Н., Нелинейная задача о нестационарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью / Д.Н. Горелов, P.JI. Куляев // МЖГ. -1971.-№ 6.-С. 38-47.

54. Григорьев Ю.Н., Численные методы «частицы-в-ячейках» / Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН. - 2000. - 184 с.

55. Давыдов Ю.М., Использование дробных ячеек в методе «крупных частиц» / Ю.М. Давыдов // Отчет ВЦ АН СССР. М,- 1970. - № 195. - 34 с.

56. Давыдов Ю.М., Расчет обтекания тел произвольной формы методом «крупных частиц» / Ю.М. Давыдов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1971. т. 11,-№4.-с. 1056- 1063. '

57. Девнин С.И., Аэрогидромеханика плохообтекаемых конструкций: Справочник / С.И. Девнин. Л.: Судостроение, 1983 - 320 с.

58. Джеймсон А., Метод конечных объемов для интегрирования двумерных уравнений Эйлера на сетках с треугольными ячейками / А. Джеймсон, Д. Мэврешлис// Аэрокосмическая техника. 1987. - № 1.- С. 56- 65.

59. Дмитрук С.А., Расчет двумерного отрывного обтекания кругового цилиндра в нестационарном потоке идеальной жидкости / С.А. Дмитрук // Межвуз. сб. научн. трудов «Прикладная аэродинамика». КНИГА, Киев.- 1979.

60. Дуайер Х.А., Адаптация сеток для задач гидродинамики / Х.А. Дуайер // Аэрокосмическая техника, т. 3.- 1985. № 8. - С. 172-181.

61. Дынникова Г.Я., Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости / Г.Я. Дынникова // МЖГ. 2000. - № 1. - С. 31-41.

62. Дынникова Г.Я., Силы, действующие на тело, при нестационарном вихревом отрывном обтекании идеальной несжимаемой жидкостью / Г.Я. Дынникова//Изв. РАН МЖГ. 2001. - № 2.-е. 128-138.

63. Дынникова Г.Я., Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса / Г.Я. Дынникова // ДАН. т. 399. - 2004. - № 1. - С. 42-46.

64. Ильичев К.П., Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости / К.П. Ильичев, С.Н. Постоловский // МЖГ. -1972.-№ 2.

65. Кофи Д.А., Применение метода конечного объема для расчета трансзвукового обтекания комбинаций крыла с фюзеляжем / Д.А. Кофи,

66. А. Джеймсон // Ракетная техника и космонавтика. 1980. - № 11. — С. 312.

67. Кочин Н.Е., Теоретическая гидромеханика . В 2 ч. Ч. 1. / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз.- 1963. - 583 с.

68. Кузнецов Б.Г., О постановке задач гидродинамики в многосвязных областях. Вычислительные технологии / Б.Г. Кузнецов, В.П. Сироченко // Сб. науч. трудов, ИВТ СО РАН, Новосибирск. т. 4. - 1995.- №12. - С. 209-218.

69. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский,- 5-е изд. -М.: Наука. 1978.- 736 с.

70. Лэмб Г., Гидродинамика / Г. Лэмб. М.: Гостехиздат. - 1947. - 928 с. Майборода, А.Н. Математическая модель гидродинамики для тела, пересекающего свободную поверхность идеальной весомой жидкости /

71. A.Н. Майборода // Доклады АН Украинской ССР. 1991. - № 5. - С. 5053.

72. Моисеев Н.Н., Асимптотические методы нелинейной механики / Н.Н. Моисеев. М.: Наука. - 1981. - 400 cl

73. Пискунов Н.С., Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов : Учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч 3. / Н.С. Пискунов,- М.: Наука. 1985.-560 с.

74. Себиси Т., Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы : пер. с англ. / Т. Себиси, П. Брэдшоу. под ред. Пирумова У.Г. - М.: Мир. - 1987. - 590 с.

75. Сироченко В.П., Численное моделирование двумерных задач гидродинамики в многосвязных областях : дис. . канд. физ.-мат. наук/

76. B.П. Сироченко. Самара. - 1999. - 146 с.

77. Смирных Е.А., Численное моделирование плоской турбулентной струи методом вихревых частиц с учетом мелкомасштабной турбулентности / Е.А. Смирных. ЦАГИ. - 1991.

78. Справочник по прикладной статистике: в 2 т. / под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. М.: Финансы и статистика. - 1989. - 2 т.

79. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 1./К. Флетчер. М.: Мир. - 1991.- 504 с.

80. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 2. / К. Флетчер. М.: Мир. - 1991. - 552 с.

81. Хапаев М.М., Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний / М.М. Хапаев. М.: Высшая школа. - 1988. - 184 с.

82. Харлоу Ф., Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики Вычислительные методы в гидродинамике / Ф. Харлоу. М.: Мир. -1967.-С. 316-342.

83. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя : пер. с нем. / Г. Шлихтинг.-под. ред. Лойцянского Л.Г. М.: Наука. - 1974. - 712 с.

84. Дьяконов В.П. VisSim+Mathcad+Matlab. Визуальное математическое моделирование,- М.: СОЛОН-Прес, 2004. 384 с.

85. Керниган Б., Ритчи Д., Язык программирования Си: пер. с англ. СПб.: "Невский Диалект", 2001. 352 с.

86. Антонов А. С., Параллельное программирование с использованием технологии MPI. Учебное пособие: М.: Изд-во МГУ, 200 4. с 71.