Математическое моделирование пространственно-временной эволюции трёхмерных волн в стекающих слоях вязкой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шелистов, Владимир Сергеевич

• Шелистов, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шелистов, Владимир Сергеевич

Введение.

1 Математическая формулировка проблемы и её современное состояние.

1.1 Постановка задачи и основные уравнения, описывающие течение слоя жидкости

1.2 Обзор предшествующих теоретических и экспериментальных результатов.

1.3 Цель и задачи работы.

2 Численные методы решения.

2.1 Обзор решаемых задач и методов

2.2 Особенности применения методов Галёркина для описания волновых структур.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование пространственно-временной эволюции трёхмерных волн в стекающих слоях вязкой жидкости»

Волны в жидкости весьма разнообразны. Огромные океанские волны, волны, возникающие при движении морских судов, гидравлические прыжки, бора — вот лишь некоторые из широко известных практически видов волновых движений. Отдельный интерес представляют волны в плёночных течениях. Динамика и устойчивость тонких плёнок жидкости привлекали внимание учёных многие десятилетия. Наблюдения за регулярными волновыми структурами в плёночных течениях по поверхности оконного стекла или по жёлобу, группирование капель на несмачиваемой поверхности и "языкообразование" в вязких струях по наклонной поверхности — всё это встречается в повседневной жизни. Плёночные течения возникают в самых разных масштабах и являются ключевыми в многочисленных областях индустрии, геофизики и биофизики. Сюда же следует отнести нано-и микроплёночные течения, нанесение покрытий, потоки лавы, динамику континентальных ледников, высыхание плёнки слезы в глазах и специальный метод замены тканей в медицине с применением ПАВ. Известно широкое применение плёнок жидкости в таких массообменных аппаратах, как абсорберы, ректификационные колонны, кристаллизаторы, электролизёры. В холодильной технике плёночные теплообменники используются в качестве конденсаторов хладоагентов. Плёнки жидкости используются в биореакторах для осуществления биохимических реакций. Скрубберы с орошаемыми стенками применяются для получения растворов газов (например, абсорбция паров хлороводорода водой), разделения газовых смесей (абсорбция бензола при производстве кокса), очистки газов от вредных примесей, улавливания компонентов газовой смеси. Описание многих практических применений проблемы приведён, в частности, в монографии

Воронцова и Тананайко [5] и недавней работе Крастера и Матара [103]. В новых статьях [108,122,131] также продолжается исследование некоторых аспектов трёхмерных течений плёнок жидкости.

С теоретической точки зрения исследование волновых движений стимулировало развитие новых отраслей математики, механики и теоретической физики. В частности, исследование волновых течений тонких слоёв вязкой жидкости с поверхностью раздела является одним из важнейших направлений гидромеханики. Основу развития этого направления заложили в своих фундаментальных работах П. Л. Капица [25,26], В. Г. Левич [35], В. Е. Накоряков [1,36-38,57,80] и В. Я. Шкадов [73,74,76,78]. Фундаментальные исследования данной проблемы в России проведены С. В. Алексе-енко, Е. А. Демёхиным, А. А. Непомнящим, Б. Г. Покусаевым, В. В. Пухна-чёвым, Ю. Я. Трифоновым, О. Ю. Цвелодубом [9-17,40-45,50-53,56,59,64], а за рубежом — такими исследователями, как Т. Бенджамин, Дж. Винни, В. Бонтозугло, Дж. Голлуб, А. Даклер, С. Портальски, Х.-Ч. Чан [88-93,101,102,115-117,126,127,133,138,139]. Обзор экспериментальных и теоретических работ и методов можно найти в монографиях [2,75,94].

Сложность исследования вязких слоёв жидкости связана с наличием на поверхности раздела системы волн, которые меняют свою структуру и форму в зависимости от расхода жидкости, её физических свойств (поверхностное натяжение, вязкость и т. п.), геометрии канала, спектра внешних возмущений и т. д. По типу задача течения вязкого слоя относится к открытым течениям типа течения Пуазейля или пограничного слоя. В таких течениях вниз по потоку, по мере развития возмущений, реализуется каскад неустойчивостей, соответствующих бифуркаций и нелинейных переходов. При малых и умеренных числах Рейнольдса эволюция заканчивается режимами двумерных волн, периодических или независимых локализованных образований солитонного типа. При увеличении числа Рейнольдса двумерные режимы теряют устойчивость и сменяются трёхмерным волновым режимом, в основе которого лежат трёхмерные когерентные локализованные структуры — трёхмерные уединённые волны или так называемые Л-солитоны. Хаотическое взаимодействие этих детерминированных структур приводит к режиму, известному как режим поверхностной турбулентности [94,108,122,131].

В настоящее время закончился этап исследования двумерных волн, длившийся более шестидесяти лет, начиная с экспериментальных работ П. Л. Капицы, и более сорока — с работ В. Я. Шкадова. Двумерные волны можно считать понятыми теоретически. Иначе ситуация обстоит с трёхмерными волнами. Эти волны наиболее интересны с практической точки зрения, т. к. в интервал чисел Рейнольдса, где они реализуются, попадает большая часть плёночных режимов в индустрии (см., например, [5]). В настоящее время выяснено, что ключевую роль в динамике трёхмерных волновых режимов играют Л-солитоны [46,47,140,141], они зафиксированы в экспериментах [21-23,56,142], где также измерены их характеристики, такие как амплитуда, скорость и профиль. С теоретической точки зрения трёхмерные волновые режимы явно недостаточно изучены, хотя и выведена упрощённая система уравнений для их исследования — система Капицы - Шкадова [25,26,73-75]. Для восполнения этого теоретического пробела в настоящей работе исследуется проблема неединственности одногорбых Л-солитонов и их устойчивости. Трёхмерный режим течения является типичным примером детерминированного хаоса: поверхность плёнки покрыта когерентными структурами (Л-солитонами), которые, однако, хаотическим образом распределены по поверхности плёнки, давая процессу случайную составляющую. Хотя число Рейнольдса при таком режиме далеко от критического для неустойчивости Толлмина - Шлихтинга и обычной турбулентности, поверхность плёнки выглядит очень нерегулярно и этот режим часто называется режимом поверхностной турбулентности.

В настоящей работе впервые создан численный алгоритм для моделирования пространственно-временнбго развития трёхмерных волновых структур в стекающей плёнке жидкости. С помощью этого алгоритма исследованы различные волновые режимы и переходы к ним, включая режим поверхностной турбулентности. Помимо разработки специальных численных методов расчёта пространственно-временнбго развития, исследование потребовало также применения математического аппарата теории бифуркаций и теории гидродинамической неустойчивости. В работе теоретически объяснён и описан экспериментальный факт существования трёхмерных двугорбых уединённых волн.

Настоящая диссертация состоит из введения, четырёх глав, обоснованного заключения, списков литературы и используемых обозначений и двух приложений.