Неустойчивость, когерентные структуры и коллапс с приложением к нелинейной оптике, гидродинамике и биофизическим системам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Лушников, Павел Михайлович

• Лушников, Павел Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лушников, Павел Михайлович

Введение

1 Поперечная неустойчивость, спонтанное образование нелинейных когерентных структур и коллапс

1.1 Поперечная неустойчивость в квадратичных оптических средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости.

1.2 Гексагональные световые структуры в фоторефрактивных кристаллах с зеркалом обратной связи.

1.2.1 Основные уравнения

1.2.2 Линейная теория неустойчивости.

1.2.3 Трехволновое взаимодействие боковых волн.

1.2.4 Четырехволновое взаимодействие боковых волн.

1.2.5 Динамика формирования гексагонов и их устойчивость

1.2.6 Численный эксперимент

1.3 Спонтанное формирование гексагональных световых структур в фоторефрактивном кристалле при отсутствии встречной волны накачки.

1.4 Коллапс в нелинейном уравнении Шредингера с внешней силой

1.5 Коллапс в конденсате Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольным взаимодействием

2 Неустойчивость, диффузия и коллапс частично некогерентного лазерного пучка в высокотемпературной плазме

2.1 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме в пренебрежении тепловыми эффектами.

2.1.1 Основные уравнения

2.1.2 Вероятность возникновения коллапсов.

2.1.3 Коллективная неустойчивость.

2.1.4 Нелинейная диффузия лазерного пучка.

2.2 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме с учетом флуктуаций электронной температуры

Нелинейные когерентные структуры в оптических коммуникациях

3.1 Нелинейные оптические линии.

3.2 Солитон с управляемой дисперсией

3.2.1 Ширина и амплитуда солитона с управляемой дисперсией

3.2.2 Осциллирующие хвосты солитона с управляемой дисперсией

3.2.3 Граница области существования солитона при отрицательной средней дисперсии.

3.3 Параллельный алгоритм для моделирования многоканальных оптических линий.

3.4 Точечная компенсация нелинейности в оптических волоконных линиях

3.5 Бисолитоны в системе с управляемой дисперсией

3.6 Влияние случайных флуктуаций параметров системы с управляемой дисперсией на распространение оптических импульсов

3.6.1 Случайная дисперсия.

3.6.2 Диффузия оптического импульса при наличии случайной анизотропии и дисперсии в дисперсионно-смещенном оптическом волокне.

Динамика сингулярностей и регулярность уравнений гидродинамики жидкости со свободной поверхностью и границы раздела жидкостей

4.1 Точно интегрируемая динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью

4.2 Оптимальные канонические переменные для динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью.

4.2.1 Основные уравнения и гамильтонов формализм.

4.2.2 Приближение слабой нелинейности.

4.2.3 Анализ коротковолновой устойчивости в гамильтониане четвертого порядка.

4.2.4 Некорректность гамильтониана четвертого порядка

4.2.5 Каноническое преобразование.

4.2.6 От комплексного к действительному уравнению Хопфа

4.2.7 Устранение неустойчивости из членов четвертого порядка

Макроскопическая динамика и коллапс бактериальных колоний и биологических клеток

5.1 Коллапс бактериальных колоний.

5.2 Макроскопические уравнения для движения бактерий за счет случайных флуктуаций их формы.

5.3 Макроскопическое описание динамики клеток с учетом контактных взаимодействий.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неустойчивость, когерентные структуры и коллапс с приложением к нелинейной оптике, гидродинамике и биофизическим системам»

Нелинейные когерентные структуры - это структуры, в которых когерентность, к примеру, согласованность фаз волновых процессов, обусловлена нелинейными взаимодействиями в системе. Нелинейные когерентные структуры имеют большое значение практически во всех областях физики. Их исследования в настоящее время активно развиваются [1-5]. В то же время, при всем разнообразии физических систем и эффектов, лежащих в основе образования нелинейных когерентных структур, они имеют много сходных свойств, позволяющих рассматривать нелинейные когерентные структуры с единых позиций нелинейной физики. Нелинейные когерентные структуры могут возникать на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости или вследствие наличия внешнего воздействия на систему. К примеру, развитие модуляционной неустойчивости в нелинейной оптической среде или гидродинамическая неустойчивость могут приводить к образованию уединенных волн - солитонов. Примером образования солитонов за счет внешнего воздействия является их формирование в нелинейной оптической среде иод воздействием лазерной накачки с формой импульсов, близкой к солитонной, что является распространенным экспериментальным приемом в нелинейной волоконной оптике. Если образовавшиеся когерентные структуры устойчивы, то они зачастую определяют динамику системы на больших временах. Однако, нелинейные когерентные структуры могут и не существовать или быть неустойчивыми. В этом случае возможно образование сингулярности за конечное время, называемое коллапсом.

В диссертации анализируется широкий класс систем, где нелинейные когерентные структуры играют важную роль. Нелинейная оптика представляет собой широчайшую область изучения поведения нелинейных когерентных структур. Так, в квадратичных нелинейных средах большую актуальность в последние годы приобрело изучение свойств сред с искусственно наведенной периодической модуляцией коэффициента нелинейности на длине, близкой к четверти длины волны первой световой гармоники [6, 7], что позволяет добиться условия фазового синхронизма между первой и второй гармониками света при их распространении навстречу друг к другу. Важное значение в этом случае приобретает изучение абсолютной неустойчивости по отношению к излучению волн под малыми углами - т.е. поперечной неустойчивости, что рассмотрено в диссертации. В то же время абсолютная неустойчивость для встречного распространения волн в средах с кубической нелинейностью не требует модуляции коэффициента нелинейности и поэтому была исследована намного раньше [8, 9]. Другим классом материалов, где поперечные неустойчивости между встречными волнами играют важную роль, являются фоторефрактивные среды [10, 11]. В данном случае нелинейность в первом порядке малости приводит к ускорению развития линейной неустойчивости - взрывной неустойчивости, характеризуемой образованием сингулярностей за конечное время, что является одним из основных явлений в нелинейной физике. Стабилизация взрывной неустойчивости происходит за счет следующих порядков нелинейности и приводит к формированию нелинейных когерентных структур гексагонального типа [12]. Активные исследования посвящены образованию сингулярности за счет волновых коллапсов, т.е. обращения амплитуды волны в бесконечность за конечное время, сопровождаемое драматическим уменьшением ширины волнового пакета. Термин "волновой коллапс"был введен В.Е.Захаровым в 1972 г. [13]. В диссертации изучается возникновение волнового коллапса в нелинейных резонаторах с накачкой [11] и в конденсате Бозе-Эйшптейна с диноль-дипольными взаимодействиями [15-17].

Коллапсы играют большую роль и в задаче по достижению управляемого термоядерного синтеза за счет инерционного сжатия мишени с помощью лазерного излучения [18, 19]. Распространение света в плазме, окружающей термоядерную мишень, сопровождается столь сильным нелинейным оптическим взаимодействием, что может приводить к множественному образованию коллапсов. В настоящее время в США в Национальной Лаборатории Лоурепс Ливер-мор ведется строительство National Ignition Facility (NIF) - крупнейшей в мире установки по лазерному термоядерному синтезу с пиковой мощностью лазеров в 400 тераватт [19], что означает возможность одновременного формирования более 105 коллапсов. Коллапс в данном случае является крайне нежелательным эффектом, поскольку он приводит к потере контроля над лазерными пучками и их рассеянию. В результате может упасть степень обжатия мишени и не произойти зажигания самоподдерживающейся термоядерной реакции. Поэтому, существенные усилия предпринимаются для подавления коллапсов путем обеспечения частичной некогерентности лазерных пучков. Актуальным вопросом является определение максимально допустимой интенсивности лазерного пучка, позволяющей сохранить контроль над его распространением при увеличении частичной некогерентности. В этом случае возможна как медленная диффузия угловой ширины пучка, так и возникновение неустойчивости за счет вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) вперед, приводящей к коллапсу, а также могущей вызвать существенное рассеяние лазерного пучка в обратном направлении.

Другой нелинейной оптической системой, в которой нелинейные когерентные структуры играют важную роль, являются оптические волокна. Нелинейное распространение света в оптических волокнах описывается нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) с периодической пространственной вариацией дисперсии групповой скорости вдоль волокна [7]. Роль времени в этом случае играет дистанция вдоль волокна, а время, наоборот, играет роль пространственной координаты. Динамика уединенных импульсов, каждый из которых несет один бит информации, на коротких расстояниях (порядка нескольких десятков километров) практически линейна и сводится к периодической вариации амплитуды и ширины импульсов. На больших расстояниях учет нелинейности необходим. Для типичных трапсокеанических расстояний в несколько тысяч километров нелинейность является основным ограничивающим фактором скорости передачи информации по оптическим кабелям. В этом случае возможны две стратегии для увеличения пропускной способности оптических волокон. Первая стратегия заключается в максимальном подавлении нелинейных эффектов. Однако, эта стратегия практически достигла своих пределов, поскольку, в силу квантовых шумов в оптических усилителях, мощность оптических импульсов должна оставаться достаточно большой для поддержания ошибок от шумов на приемлемом уровне. Вторая стратегия заключается в том, чтобы не пытаться бороться с нелинейностью, а использовать нелинейные когерентные структуры как носитель информации для увеличения пропускной способности оптических волокон. В качестве носителя информации может выступать как солитон с управляемой дисперсией (dispersion-managed soliton), так и его различные обобщения. В последние годы эта вторая стратегия привлекает большое внимание. В компании Люсент была достигнута рекордная скорость передачи информации на основе этой стратегии [20].

В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью исследования неустойчивостей и нелинейных когерентных структур имеют большую историю [1, 21, 22] и остаются областью активных исследований [23-25]. Существенным вызовом для теории и численного моделирования служит формирование особенностей на поверхности жидкости. Одним из важных и активно развиваемых теоретических подходов является описание этого процесса через движение син-гулярностей в пространстве вне жидкости [26-28]. Образование особенности на поверхности жидкости соответствует моменту времени, когда сингулярность касается поверхности жидкости. Численное моделирование динамики свободной поверхности представляет большие трудности. Актуальной задачей является вывод редуцированных уравнений, более удобных для численного моделирования. Недостатком существующих редуцированных моделей является их некорректность - они имеют неустойчивость на малых масштабах вследствии нарушения условия применимости теории возмущений, используемых для вывода этих редуцированных моделей. Поэтому задача построения корректных моделей является чрезвычайно актуальной.

Биофизические исследования динамики бактерий и биологических клеток привлекают в настоящее время огромный интерес [29-33] и имеют большое прикладное значение для биологии и медицины. Нелинейные когерентные структуры возникают в этом случае при усредненном макроскопическом описании, когда динамика бактериальных колоний или клеток моделируется через распределение плотности клеток в пространстве и времени. Одним из наиболее распространенных механизмов взаимодействия бактерий является хемотаксис, когда каждая бактерия реагирует на присутствие градиента химического вещества. Это вещество называется хемоаттрактантом (хемореиеллентом) - если бактерия стремится двигаться в направлении градиента (против градиента). Бактерии выделяют это химическое вещество в окружающее пространство, где оно испытывает диффузию, что обеспечивает нелокальное взаимодействие между бактериями. Малая концентрация бактерий часто приводит к образованию нелинейных когерентных структур в виде спиралей и их медленной эволюции, в то время, как большая концентрация приводит к быстрой агрегации бактерий. В рамках макроскопического описания агрегация соответствует коллапсу плотности бактерий. Асимптотическое поведение решений вблизи коллапса имеет общие черты с коллапсом в нелинейном уравнении Шредингера, хотя уравнения являются негамильтоиовыми. Большой интерес представляет задача о выводе макроскопических уравнений, учитывающих размеры и форму клеток, и регуляризации коллапса за счет контактных взаимодействий между бактериями или клетками.

Целью диссертации является исследование образования нелинейных когерентных структур на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости, анализ устойчивости нелинейных когерентных структур, их динамики на больших временах, а также их разрушения с образованием сингулярностей и коллапсов в применении к ряду нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем.

Все результаты, выносимые на защиту, являются оригинальными. Достоверность полученных результатов обосновывается надежностью использованных аналитических и численных методов. Результаты диссертации согласуются с данными экспериментов и численного моделирования, полученных другими авторами.

Результаты диссертации могут применяться в целом ряде оптических устройств, включая генерацию сверхкоротких импульсов за счет коллапсов в нелинейных оптических резонаторах, увеличение пропускной способности оптических систем путем использования предложенного устройства для компенсации нелинейности, использования бисолитонов, а также путем периодической компенсации случайной компоненты дисперсии в оптических волокнах.

Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют большое практическое значение для NIF. Предсказано, что дальнейшее уменьшение времени корреляции лазерных пучков NIF (что является дорогой и технически сложной задачей) не является целесообразным, поскольку не сможет увеличить максимально допустимую интенсивность лазерных пучков. Это предсказание было подтверждено экспериментально. Результаты диссертации по максимальной допустимой интенсивности лазерного излучения в условиях плазмы инерционного лазерного термоядерного синтеза в настоящее время включены в программное обеспечение, используемое в Национальной Лаборатории Лос-Аламоса (США) для расчета и дизайна NIF. Предсказано, что изменение максимально допустимой интенсивности может быть достигнуто путем изменения композиции плазмы, что также позволит контролировать ВРМБ назад, являющейся серьезной проблемой для NIF.

Подходы, развитые в диссертации, могут и уже активно применяются для анализа нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем. Общие принципы формирования гексагональных структур в фоторефрактив-ных кристаллах позволяют объяснить существующие и предсказать новые эксперименты. Доказательство возможности образования коллапса в конденсате Бозе-Эйнштейна за счет одних диполь-дипольных взаимодействий предлагает возможность формирования коллапса в других системах с нелокальной нелинейностью и сингулярным взаимодействием на коротких расстояниях. Исследование коллективных неустойчивостей в плазме при наличии частичной некогерентности лазерного излучения открывает возможности новых направлений исследования коллективных неустойчивостей. 13 гидродинамике со свободной поверхностью анализ движения сингулярностей предлагает путь к поиску новых точных решений и точно интегрируемых моделей, включая динамику сверхтекучих жидкостей. В биофизике предложенный подход предлагает возможность вывода макроскопических моделей динамики клеток, исходя из микроскопической динамики отдельных клеток.

Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют важное значение для численного моделирования. Так, предложенный алгоритм эффективного распараллеливания для многоканальных оптических систем, позволяет осуществлять суперкомпьютерное моделирование оптических линий на трансокеанических расстояниях. Предложенный переход к оптимальным каноническим переменным для гидродинамики жидкости со свободной поверхностью позволяет избавиться от численных неустойчивостей, вызванных некорректностью стандартных переменных, а также осуществлять моделирование при большем уровне нелинейности (угле наклона поверхности) поверхностных волн. Выведенная система макроскопических уравнений для динамики бактерий и клеток, с учетом контактных взаимодействий между ними, позволяет выполнять численное моделирование больших колоний ~ 106 — 107 клеток, что является чрезвычайно трудной задачей при моделировании на уровне микроскопического описания динамики флуктуации формы каждой клетки.

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы. В Главе 1 исследована взаимосвязь между поперечной неустойчивостью, образованием нелинейных когерентных структур и коллапсом. В Разделе 1.1 рассмотрена поперечная неустойчивость при распространении навстречу друг к другу первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости. В Разделе 1.2 рассмотрена нелинейная стадия развития поперечной абсолютной неустойчивости в фото-рефрактивных материалах. В Разделе 1.3 рассмотрено спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторефрактпвном кристалле

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Лушников, Павел Михайлович

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Найдена поперечная абсолютная неустойчивость при встречном распространении первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости.

2. Представлена нелинейная теория формирования гексагональных световых структур в фоторефрактивных средах в схеме с зеркалом обратной связи. Гек-сагоны формируются в результате конкуренции между взрывной трехволно-вой неустойчивостью и старшими волновыми процессами, стабилизирующими неустойчивость.

3. Показано аналитически и экспериментально, что спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторефрактивном кристалле возможно при отсутствии встречной волны накачки, если учесть рассеяние света на дефектах кристалла.

4. Исследован коллапс в НУШ с внешней возбуждающей силой. Найдены достаточные условия возникновения коллапса.

5. Найдено достаточное условие коллапса в НУШ с нелокальной нелинейностью, описывающего конденсат Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольным взаимодействием. Проведено сравнение с результатами вариационного анализа.

С. Исследованы неустойчивость, диффузия и коллапс частично некогерентного лазерного пучка при его нелинейном распространении в условиях высокотемпературной плазмы, соответствующей экспериментам по лазерному термоядерному синтезу. Найдена коллективная неустойчивость относительно ВРМБ вперед в пределе малого времени корреляции. Неустойчивость зависит только от одного безразмерного параметра, который включает интенсивность света, затухание Ландау и корреляционный масштаб лазерного излучения, но не зависит от времени корреляции. При больших значениях безразмерного параметра неустойчивость приводит к развитию коллапсов и дезинтеграции лазерного пучка на .множество мелких пучков. При малых значениях безразмерного параметра неустойчивость несущественна и динамика пучка определяется его нелинейной диффузией. Нелинейная диффузия способствует подавлению ВРМБ путем уменьшения корреляционного масштаба лазерного пучка. Добавление веществ с высокой степенью ионизации, таких как ксенон, приводит к необходимости учета флуктуаций температуры. В результате, коллективная неустойчивость приобретает зависимость от композиции плазмы. Предложено использовать изменение композиции для оптимизации прохождения лазерного пучка через плазму. Результаты подтверждены численно и путем сравнения с экспериментом.

7. Найдены ширина и амплитуда солитона в оптической системе с управляемой дисперсией, как функция параметров системы. Получена экспоненциальная асимптотика огибающей солитонного решения с квадратичной фазой. Построен эффективный численный алгоритм для суперкомпьютерного моделирования многоканальных оптических систем.

8. Разработана конструкция нового оптического прибора - интерферометриче-ского компенсатора нелинейного сдвига фазы. Предложено использование этого прибора для увеличения пропускной способности оптического капала.

9. Исследован новый тип решений в системах с управляемой дисперсией - би-солитоны. Предложено использовать это решение для увеличения пропускной способности оптических каналов.

10. Рассмотрено влияние случайности в коэффициенте дисперсии на распространение импульса в оптическом волокне. Периодическая компенсация случайной компоненты дисперсии приводит к существенному уменьшению уиш-рения оптического импульса с расстоянием. Исследованы эффекты случайной анизотропии, нелинейности и случайной вариации дисперсии вдоль оптического волокна на распространение оптических импульсов в оптическом волокне со средней нулевой дисперсией.

11. Показано, что двумерная динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью является точно интегрируемой в приближении малых углов и сводится к решению двух комплексных уравнений Бюргерса. Исследована динамика решений в виде полюсов. На границе раздела формируется особенность, когда полюс впервые достигает ее. Все эти результаты применимы для динамики сверхтекучей жидкости со свободной поверхностью, у которой масса нормальной компоненты намного меньше массы сверхтекучей компоненты.

12. Найдено, что стандартные редуцированные уравнения, описывающие трехмерные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью, являются некорректными в силу наличия коротковолновой неустойчивости. Построена производящая функция, позволяющая совершить переход к новым каноническим переменным, в которых редуцированные уравнения являются корректными. Предложен выбор оптимальных канонических переменных, при которых уравнения являются корректными при максимально большом уровне нелинейности.

13. Исследованы коллапсирующие решения уравнения Келлера-Сегела для макроскопически усредненной динамики бактерий и биологических клеток. Автомодельное решение вблизи коллапса имеет вид стационарного решения с зависящим от времени масштабом. Произведен анализ возмущений на фоне автомодельного решения путем разложения по собственным функциям самосопряженного оператора, который имеет форму сферически симметричного оператора Шредингера в четырехмерном пространстве с потенциалом. Найдена временная зависимость автомодельного решения.

14. Выведено макроскопическое уравнение для динамики плотности бактерий и клеток за счет хемотаксиса и контактных взаимодействий между бактериями из микроскопической модели, которая учитывает случайные флуктуации формы клеток. При отсутствии контактных взаимодействий уравнение сводится к уравнению Келлера-Сегела. Контактные взаимодействия приводят к регуляризации бактериального коллапса. Проведено сравнение численных решений макроскопической модели с прямым расчетом микроскопической модели методом Монте-Карло.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность И.Р. Габитову, В.Е. Захарову, К.П. Зыбину, H.A. Иногамову, Е.А. Кузнецову, A.B. Мамаеву, Б.И. Стурману, Г.М. Фрайману, М. Черткову, а также членам Ученого совета ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН за полезные обсуждения и ценные замечания.

Публикации по теме диссертации

1. P.M. Lushnikov, P. Lodahl, and M. Saffman. Transverse modulational instability of counterpropagating quasi-phase-matched beams in a quadratically nonlinear medium. Optics Letters 23, 1650-1652 (1998).

2. П.М. Лушников. Гексагональные световые структуры в фоторефрак-тивных кристаллах с зеркалом обратной связи. ЖЭТФ 113, 1122-1146

1998).

3. P.M. Lushnikov, and A.V. Mamaev. Spontaneous hexagon formation in photorefractive crystal with a single pump wave. Optics Letters 24, 1511-1513

1999).

4. P.M. Lushnikov, and M. Saffman. Collapse in a forced three dimensional nonlinear Schrodinger equation. Phys. Rev. E, 62, 5793 (2000).

5. П.М. Лушников. On the boundary of the dispersion-managed soliton existence. Письма в ЖЭТФ 72 , 163-167 (2000).

6. P.M. Lushnikov. Dispersion-managed soliton in optical fibers with zero average dispersion. Optics Letters 25, 1144 (2000).

7. P.M. Lushnikov. Dispersion-managed soliton in a strong dispersion map limit. Optics Letters 26 , 1535 (2001).

8. I.R. Gabitov, and P.M. Lushnikov. Nonlinearity management in dispersion managed system. Optics Letters 27, 113 (2002).

9. P.M. Lushnikov. Fully parallel algorithm for simulating wavelength-division-multiplexed optical fiber systems. Optics Letters 27, 939 (2002).

10. P.M. Lushnikov. Collapse of Bose-Einstein condensate with dipole-dipole interactions. Physical Review A 66, 051601(R) (2002).

11. M. Chertkov, I. Gabitov, P.M. Lushnikov, J. Moeser, and Z. Toroczkai. Pinning method of pulse confinement in optical fiber with random dispersion. J. of the Optical Society of America В 19, 2538 (2002).

12. P.M. Lushnikov. Oscillating tails of a dispersion-managed soliton. J. of the Optical Society of America B 21, 1913-1918 (2004).

13. P.M. Lushnikov. Exactly Integrable Dynamics of Interface between Ideal Fluid and Light Viscous Fluid. Physics Letters A 329, 49 (2004).

14. P.M. Lushnikov, and H.A. Rose. Instability versus equilibrium propagation of laser beam in plasma. Phys. Rev. Lett. 92, 255003 (2004).

15. P.M. Lushnikov. Diffusion of optical pulses in dispersion-shifted randomly birefringent optical fibers. Optics Communications 245, 187 (2005).

16. P.M. Lushnikov, and V.E. Zakharov. On optimal Canonical Variables in the Theory of Ideal Fluid with Free Surface. Physica D 203, 9 (2005).

17. M. Alber, N. Chen, T. Glimm ,and P.M. Lushnikov. Multiscale dynamics of biological cells with chemotactic interactions: from a discrete stochastic model to a continuous description. Phys. Rev. E 73, 051901 (2006).

18. P.M. Lushnikov, and H.A. Rose. How much laser power can propagate through fusion plasma? Plasma Physics and Controlled Fusion 48, 1501-1513 (2006).

19. M. Alber, N. Chen, P.M. Lushnikov, and S.A. Newman. Continuous macroscopic limit of a discrete stochastic model for interaction of living cells. Physical Review Letters 99, 168102 (2007).

20. I. Gabitov, R. Indik, P.M. Lushnikov, L. Mollenauer, and M. Shkarayev. Twin Families of Bisolitons in Dispersion Managed Systems. Optics Letters 32, 605607 (2007).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лушников, Павел Михайлович, 2008 год

1. V.E. Zakharov, V.S. Lvov, and G. Falkovich. Kolmogorov Spectra of Turbulence 1. Wave turbulence (Springer-Verlag, New York, 1992).

2. C. Sulem, and P.L. Sulem. Nonlinear Schrodinger Equations: Self-Focusing and Wave Collapse (World Scientific, 1999).

3. A. Scott. Nonlinear Science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures (Oxford University Press, 2003).

4. J.V. Moloney, and A.C. Newell. Nonlinear Optics (Westview Press, 2004).

5. E.A. Kuznetsov, and V.E. Zakharov (Eds.) Wave Collapse (World Scientific Publishing Company, 2007).

6. G. D'Alessandro, P. St. J. Russell, and A. A. Wheeler. Phys. Rev. A 55 3211 (1997).

7. G.P. Agrawal. Fiber-Optic Communication Systems (Wiley-Interscience, 2002).

8. C.H. Власов, E.B. Шейнина. Известия Вузов. Радиофизика 26, 20 (1983).

9. W. J. Firth and C. Pare. Opt. Lett. 13, 1096 (1988).

10. Б.И.Стурман, В.М.Фридкин. Фотогальванический эффект в средах без центра симметрии и родственные явления (М. Наука, 1992).

11. P.Giinter, and Л.-P.Huignard (Eds.) Photorefractive Materials and Their Applications 1: Basic Effects (Springer, 2005).

12. T.Honda, and P.Banerjee. Opt.Lett. 21, 779 (1996).

13. В.Е.Захаров. ЖЭТФ 62, 1745 (1972).

14. M. Tlidi, M. Haelterman, and P. Mandel. Europhys. Lett. 42, 505 (1998).

15. F. Dalfovo, S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, and S. Stringari. Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).

16. J.D. Weinstein et al. Nature (London) 395, 148 (1998).17 18 [19 [20 [21 [22 [23 [24 [25

17. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. Lett. 92, 134501 (2004).

18. E.A. Kuznetsov, M.D. Spector, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. E 49, 1283 (1994).27 2829 30 [3132 33 [34 [35 [36 [37

19. J. Cummings, S.D. Howison, and J.R. King. Phys. Fuids 9, 477 (1997).

20. M. Mineev-Weinstein, P.B.Wiegmann, and A. Zabrodin. Phys. Rev. Lett. 84, 5106 (2000).

21. E.F. Keller, and L.A. Segel. J. Theor. Biol. 26, 399 (1970).

22. M.P. Brenner, L. Levitov, and E.O. Budrene. Biophys. J. 74, 1677 (1998).

23. M.P. Brenner, P. Constantin, L.P. Kadanoff, A. Schenkel, and S.C. Venkataramani. Nonlinearity 12 1071 (1999).

24. J.J.L. Velazquez. SIAM J. Appl. Math. 62, 1581 (2002).

25. C.J. Weijer. Science 300, 96 (2003).

26. В.Е. Захаров, A.M Рубенчик. ЖЭТФ 65, 997 (1973).

27. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Физическая кинетика (M. Наука, 1979).

28. G. Grynberg. Opt. Commun. 66, 321 (1988).

29. R. Chang, W. J. Firth, R. Indik, J. V. Moloney, and E. M. Wright. Opt. Commun. 88, 167 (1992).

30. G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J.R.R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, and M. Ducloy. Opt. Commun. 67, 363 (1988).

31. D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, and A. C. Newell. Phys. Rev. Lett. 54, 681 (1985).

32. L.A. Lugiato, and R. Lefever. Phys. Rev. Lett. 58, 2209 (1987).

33. A.J. Scroggie, W.J. Firth, G.S. McDonald, M. Tlidi, R. Lefever, and L.A. Lugiato. Chaos, Solitons & Fractals 4, 1323 (1994).

34. G.-L. Oppo, M. Brambilla, and L. A. Lugiato. Phys. Rev. A 49, 2028 (1994).

35. K. Staliunas. J. Mod. Optics 42, 1261 (1995).

36. S. Longhi, J. Mod. Opt. 43, 1089 (1996).

37. C. Etrich, U. Peschel, and F. Lederer. Phys. Rev. Lett. 79, 2454 (1997).

38. R. A. Fuerst, D.-M. Baboiu, B. Lawrence, W. E. Torruellas, G. I. Stegeman, S. Trillo, and S. Wabnitz, Phys. Rev. Lett. 78, 2756 (1997).

39. S. E. Harris, Appl. Phys. Lett. 9, 114 (1966).

40. A.Petrossian, M.Pinard, A.Maître, J.-Y.Courtois and G.Grynberg, Europhys. Lett. 18, 689 (1992).

41. R.Macdonald and H.J.Eichler, Opt.Comm. 89, 289 (1992).

42. M.Tamburrini, M.Bonavita, S.Wabnitz and E.Santamato, Opt.Lett. 18, 855 (1993).

43. J.V.Moloney and A.C.Newell. Nonlinear Optics (Addison Wesley, Reading, MA, 1992).

44. T.Honda, Opt.Lett. 18, 598 (1993).

45. P.P.Banerjee, H.-L.Yu, D.A.Gregory, N.Kukhtarev and H.J.Caulfield, Opt. Lett. 20, 10 (1995).

46. T.Honda, and H.Matsumoto, Opt.Lett. 20, 1755 (1995).

47. N.V.Kukhtarev, T.Kukhtareva, H.J.Caulfield, P.P.Banerjee, H.-L.Yu, and L.Hesselink, Opt.Eng. 34, 2261 (1995).

48. М.П.Петров, С.И.Степанов, А.В.Хоменко. Фотпорефрактивиые кристаллы в когерентных оптических системах (С.-П., Наука, 1992).

49. Б.И.Стурман, А.И.Черных, ЖЭТФ 111, 1611 (1997).

50. B.I.Sturman, S.G.Odulov and M.Yu.Goulkov, Phys.Rep. 275, 197 (1996).

51. M.Saffman, A.A.Zozulya and D.Z.Anderson, J. Opt. Soc. Am. В 11,1409 (1994).

52. Е.А.Кузнецов, М.Д.Спектор. ЖЭТФ 71, 262 (1976).

53. Е.А.Кузнецов, М.Д.Спектор, ПМТФ 2, 76 (1980).

54. С.Н.Власов, В.А.Петрищев, В.И.Таланов, Изв.ВУЗ. Радиофизика 12, 1353 (1970).

55. Е. A. Kuznetsov, Chaos 6, 381 (1996).

56. Е. A. Kuznetsov, А. М. Rubenchik, and V. Е. Zakharov, Phys. Rep. 142, 103 (1986).

57. E. A. Kuznetsov, J. J. Rasmussen, K. Rypdal, and S. K. Turitsyn, Physica D 87, 273 (1995).

58. K. Stewartson and J. T. Stuart, J. Fluid Mech. 48, 529 (1971).

59. G. J. Morales and Y. C. Lee, Phys. Rev. Lett. 33, 1016 (1974).

60. N. R. Pereira, and L. Stenflo, Phys. Fluids 20, 1733 (1977).

61. D. J. Каир, and A. C. Newell. Phys. Rev. В 18, 5162 (1978).

62. H. T. Moon, and M. V. Goldman, Phys. Rev. Lett. 53, 1821 (1984).

63. K. J. Blow, and N. J. Doran, Phys. Rev. Lett. 52, 526 (1984).

64. K. Nozaki, and N. Bekki, Phys. Lett. A 102, 383 (1984).

65. G. Terrones, D. W. McLaughlin, E. A. Overman, and A. J. Pearlstein, SIAM J. Appl. Math 50, 791 (1990).

66. I. V. Barashenkov, and Yu. S. Smirnov, Phys. Rev. E 54, 5707 (1996).

67. В некоторых случаях E соответствует параметрическому возбуждению: Е ->• ф*Е. См. например К. Staliunas, Phys. Rev. Lett. 81, 81 (1998).

68. W. J. Firth, A. Lord, and A. J. Scroggie, Phys. Scripta T67, 12 (1996).

69. П.М.Душников. Письма в ЖЭТФ 62, 447-452 (1995).

70. М.Н. Anderson et al. Science 269, 198 (1995).

71. K.B. Davis et al. Phys Rev. Lett. 75, 3969 (1995).

72. C.C. Bradley et al., Phys. Rev. Lett. 78, 985 (1997).

73. A. Griesmaier ct al. Phys. Rev. Lett.94, 160401 (2005).

74. J. Stuhler et al. Phys. Rev. Lett. 95, 150406 (2005).

75. J. Werner et al. Phys. Rev. Lett. 96, 183201 (2005).

76. A. Griesmaier ct al. Phys. Rev. Lett. 97, 250402 (2006).

77. T. Lahaye et al. Nature (London) 448, 672 (2007).

78. T. Koch et al. Nature Physics 5, 218 (2008).

79. S. Yi and L. You, Phys. Rev. A 61, 041604 (2000).

80. K. Góral, К. Rz^zewski, and T. Pfau, Phys. Rev. A 61, 051601 (2000).

81. L. Santos et al. Phys. Rev. Lett. 85, 1791 (2000).

82. S. Yi and L. You, Phys. Rev. A 63, 053607 (2001).

83. S. Yi and L. You. Phys. Rev. A 66, 013607 (2002).

84. J.-P. Martikainen, M. Mackie, and K.-A. Suominen, Phys. Rev. A 64, 037601 (2001).

85. H. Pu, W. Zhang, and P. Meystre. Phys. Rev. Lett. 87, 140405 (2001).

86. W. Zhang et al. Phys. Rev. Lett. 88, 060401 (2002).

87. S. Giovanazzi, D.O'Dell, and G. Kurizki. Phys. Rev. Lett. 88, 130402 (2002).

88. E.A. Donley et al. Nature 412, 295 (2001).

89. C.K. Турицын, ТМФ 64, 797 (1985).

90. V.M. Pérez-García, V.V. Konotop, and J.J. Garcia-Ripoll, Phys. Rev. E 62, 4300 (2000).

91. В.Е.Захаров, Е.А.Кузнсцов, ЖЭТФ 91, 1310 (1986).

92. L. Santos et al. Phys. Rev. Lett. 88, 139904(E) (2002).

93. M.I. Weinstein, Commun. Math. Phys. 87, 567 (1983).

94. C.H. Still et al. Physics of Plasmas 7, 2023 (2000).

95. R. H. Lehmberg and S. P. Obenschain. Opt. Commun. 46, 27 (1983).

96. J. Garnier. Phys. Plasmas. 6, 1601, (1999).

97. H.A. Rose, and D. DuBois. Phys. Fluids В 5, 3337 (1993).

98. H. A. Rose, D. F. DuBois, and D. Russell, Sov. J. Plasma Phys. 16, 537 (1990).

99. A.A. Веденов, Л.И. Рудаков. ДАН СССР 159, 767 (1964).

100. A.M. Rurenchik. Radiophys. Quant. Electron. 17, 1249 (1976).

101. V.E. Zakharov, S.L. Musher, and A.M. Rubenchik. Phys. Rep. 129, 285-366 (1985).

102. C. Niemann et al. Phys. Rev. Lett. 94 085005 (2005).

103. A. J. Schmitt, and В. В. Afeyan, Phys. Plasmas 5, 503 (1998).

104. С. H. Still et al. Phys. Plasmas 7, 2023 (2000).

105. G. Bai, G. Papanicolaou and L. Ryzhik. Nonlinearity 15, 513 (2002).

106. H. A. Rose, and D. F. DuBois. Phys. Rev. Lett. 72, 2883 (1994).

107. E.M. Epperlein, and R.W. Short, Phys. Plasmas 1, 3003 (1994).

108. W.L. Kruer. The physics of laser plasma interactions Addison-Wesley, New York, 1990).

109. E.M. Epperlein, and R.W. Short. Phys. Fluids В 4, 2211 (1992).

110. A.V, Brantov et al. Phys. Rev. Lett. 93, 125002 (2004).

111. R.L. Berger, E.J. Valeo, and S. Brunner. Phys. Plasmas 12, 062508 (2005).

112. R.L. Berger, and E.J. Valeo. Phys. Plasmas 12, 032104 (2005).

113. G.M Fraiman, V.A. Mironov, and A.A. Balakin. Phys. Rev. Lett. 82, 319 (1999).

114. G.M Fraiman, A.A. Balakin, and N.J. Fisch. Письма в ЖЭТФ 81, 3 (2005).

115. L.Jr. Spitzer, and R. Harm. Phys. Rev., 89, 977 (1953).

116. E.M. Epperlein. Phys. Rev. Lett. 65, 2145 (1990).

117. A.B. Максимов, В.П. Силин. ЖЭТФ 103, 73 (1993).

118. D.S. Montgomery, R.P. Johnson, H.A. Rose, J.A. Cobble, and J.C. Fernandez. Phys. Rev. Lett. 84, 678 (2000).

119. D. Pesme, W. Rozmus, V.T. Tikhonchuk, A. Maximov, I. Ourdev, and C.H. Still. Phys. Rev. Lett. 84, 278 (2000).

120. Determined by simulation, results provided by N.B. Meezan, private comm. (2005).

121. L.J. Suter et al. Phys. Plasmas, 11, 2738 (2004); R.M. Stevenson et al. Phys. Plasmas 11, 2709 (2004).

122. H.A. Rose, and D.F. DuBois. Phys. Rev. Lett. 72, 2883 (1994).

123. J.C. Fernandez et al. Phys. Rev. E 53, 2747 (1996).

124. Ph. Mounaix. Phys. Plasmas 2, 1804 (1995).

125. C. Lin, H. Kogelnik and L.G. Cohen. Opt. Lett. 5, 476-478 (1980).

126. C. Kurtzke. IEEE Phot. Tech. Lett. 5, 1250-1253 (1993).

127. A.R. Chraplyvy, A.H. Gnauck, R.W. Tkach, and R.M. Derosier, IEEE Phot. Tech. Lett. 5, 1233-1235 (1993).

128. N.J. Smith, F.M.Knox, N.J. Doran, K.J. Blow and I. Bennion, Electron. Lett. 32, 54-55 (1996).

129. I. Gabitov and S.K. Tnritsyn. Opt. Lett. 21, 327-329 (1996).

130. И. Габитов, C.K. Турицын. Письма в ЖЭТФ 63, 814-819 (1996).

131. S. Kumar, and A. Hasegawa. Opt. Lett. 22, 372-374 (1997).

132. T. Lakoba and D.J. Каир. Electron. Lett. 34, 1124-1125 (1998).

133. P.V. Mamyshev and N.A. Mamysheva. Opt. Lett. 24, 1454-1456 (1999).

134. L.F. Mollenauer, P.V. Mamyshev, J. Gripp, M.J. Neubelt, N. Mamysheva, L. Grüner-Nielsen, and T. Veng. Opt. Lett. 25, 704-706 (1999).

135. S.K. Turitsyn, T. Schäfer, N.J. Doran, K.H. Spatschek, and V.K. Mezentsev. Opt. Comm. 163, 122-158 (1999).

136. B.E. Захаров, C.B. Манаков. Письма в ЖЭТФ 70, 573 (1999).

137. A.B. Михайлов, В.Ю. Новокшенов. Письма в ЖЭТФ 73, 287 (2001).

138. S.B. Medvedev, O.V. Shtyrina, S.L. Musher, and M.P. Fedoruk. Phys. Rev. E 66, 066607 (2002).

139. A.B. Михайлов, В.Ю. Новокшенов. ТМФ 137, 433 (2003).

140. X. Wei, X. Liu, С. Xie, L.F. Mollenauer. Opt. Lett. 28, 983 (2003).

141. M.J. Ablowitz and G. Biondini. Opt. Lett. 23, 1668-1670 (1998).

142. B.E. Захаров, A.B. Шабат. ЖЭТФ 61, 118 (1971).

143. D.E. Pelinovsky. Phys. Rev. E 62, 4283-4293 (2000).

144. V.I. Petviashvili, and O.A. Pokhotelov, Solitary Waves in Plasmas and in the Atmosphere (Gordon and Breach, Philadelphia, 1992).

145. V. Zharnitsky, E. Grenier, S.K. Turitsyn, C.K.R.T. Jones, and J.S. Hesthaven. Phys. Rev. E 62, 7358 (2000).

146. V. Zharnitsky, E. Grenier, C.K.R.T. Jones, and S.K. Turitsyn. Physica D 152, 794-817 (2001).

147. S.K. Turitsyn, J.H.B. Nijhof, V.K. Mezentsev, and N.J. Doran. Opt. Lett. 24, 1871 (1999).

148. A. Hasegawa, and Y, Kodama. Solitons in optical communications (Oxford. Univ. Press, New York, 1995).

149. Yu.L. Lvov, and I.R. Gabitov, chao-dyn/9907007 (1999).

150. S.B. Medvedev, and S.K. Turitsyn. JETP Lett. 69, 499 (1999).

151. C. Paré, A. Villeneuve, P.-A. Bélanger and N.J. Doran. Opt. Lett. 21, 459-461 (1996).

152. C. Quemard, F. Smektala, V. Couderc, A. Barthélémy, and J. Lucas. J. of Phys. and Chemistry of Solids 62, 1435 (2001).

153. N. Kashima. Passive Optical Components for Optical Fiber Transmission (Artech House, Boston, 1995).

154. A. Maruta, T. Inoue, Y. Nonaka, and Y. Yoshika, IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 8, 640 (2002).

155. M. Stratmann, T. Pagel, and F. Mitschke. Phys. Rev. Lett. 95, 143902 (2005).

156. L.N. Trefethen, and D. Bau. Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997).

157. L.F. Mollenauer, P.V. Mamyshev, and M.J. Neubelt. Opt.Lett.21,1724 (1996).

158. L.F. Mollenauer, P.V. Mamyshev, J. Gripp, M.J. Neubelt, N. Mamysheva, L. Gruner-Nielsen, and T. Veng. Optics Letters 25, 704 (2000).

159. W. Feller. An introduction to probability theory and its applications (New York, Wiley, 1957).

160. C.D. Poole. Opt.Lett. 13, 687 (1988).

161. L.F. Mollenauer, К. Smith, J.P. Gordon, and C.R. Menyuk, Opt. Lett. 14, 1219 (1989).

162. C.R. Menyuk. IEEE J. of Quantum Electronics QE25, 2674 (1989).

163. C.D. Poole, J.H. Winters, and J.A. Nagel. Opt.Lett. 16, 372 (1991).

164. N. Gisin, and J.P. Pellax, Opt. Comm. 89, 316 (1992)).

165. P.K.A. Wai, and C.R. Menyuk. IEEE J. of Lightwave Technology 14, 148 (1996).

166. J. Yang, W.I. Kath, and C.R. Menyuk. Opt.Lett.26, 1472 (2001).

167. T.I. Lakoba, and D.J. Каир. Phys. Rev. E 56, 6147 (1997).

168. M. Matsuinoto, Y. Akagi, and A. Hasegawa. IEEE J. of Lightwave Technology, 15, 584 (1997).

169. M. Chertkov, I. Gabitov, I. Kolokolov, and V. Lebedev, Письма в ЖЭТФ 74, 608 (2001).

170. M. Chertkov, I. Gabitov, I. Kolokolov, and T. Schafer, J. of the Optical Society of America B, 21, 486 (2004).

171. A.JI. Берхоер, B.E. Захаров. ЖЭТФ 58, 903 (1970).

172. C.J. Xie, M. Karlsson, H. Sunnerud, and P.A. Andrekson. Opt. Lett. 26, 672 (2001).

173. H. Sunnerud, C.J. Xie, M. Karlsson, R. Samuelsson, and P.A. Andrekson. IEEE J. of Lightwave Technology 20, 368 (2002).

174. A.I. Dyachenko, V.E. Zakharov, and E.A. Kuznetsov. Plasma Physics Reports 22, 829 (1996).

175. E.A. Kuznetsov, M.D. Spector, and V.E. Zakharov. Phys.Lett. 182A, 387, (1993).

176. P.G. Saffman, and G.I. Taylor. Proc. R. Soc. London A 245, 312 (1958) .

177. M. Mineev-Weinstein. Phys. Rev. Lett. 80, 2113 (1998).

178. Е.А.Кузнецов, П.М.Лушников. ЖЭТФ 108, 614-630 (1995).

179. V.E. Zakharov. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2, 190 (1968).

180. E. Hopf, Comm. Pure Appl. Math. 3, 201 (1950); J.D. Cole, Q. Appl. Math. 9, 225 (1951).

181. D. Senouf, SIAM J. Math. Anal. 28, 1457 (1997); D. Scnouf, ibid., 28, 1490 (1997).

182. D.V. Choodnovsky, and G.V. Choodnovsky, Nuovo Cimento, 40, 339 (1977).

183. U. Frisch, and R. Morf. Phys. Rev. A 23, 2673 (1981).

184. F. Calogero. Classical Many-Body Problems Amenable to Exact Treatments, (Springer-Verlag, Berlin, 2001).

185. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V.E. Zakharov. Письма в ЖЭТФ 77, 572 (2003).

186. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. Lett. 92, 134501 (2004).

187. A.N. Pushkarev. Eur. J. Mech. B/Fluids 18, 345-352 (1999).

188. A.N. Pushkarev, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. Lett. 76, 3320-3323 (1996).

189. A.N. Pushkarev, and V.E. Zakharov. Physica D 135, 98-116 (2000).

190. M. Tanaka, J. Fluid Mechanics 444, 199-221 (2001).

191. V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko, and O.A. Vasilyev, Eur. J. Mech. B/Fluids 21, 283-291 (2002).

192. В.П. Красицкий. ЖЭТФ 98, 1644 (1990).

193. M.A. Herrero, and J.J.L Velazquez. Math. Ann. 306, 583 (1996).

194. P. Bilear, and W.A. Woyczinski. SIAM J. Appl. Math. 59, 845 (1998).

195. E. Ben-Jacob, I. Cohen, and H. Levine. Adv. Phys. 49 4, 395 (2000).

196. M.D. Betterton, and M.P. Brenner. Phys. Rev. E 64, 061904 (2001).

197. R. Erban, and H.G.Othmer. SIAM J. Appl. Math. 65, 361 (2004).

198. T. J. Newman, and R. Grima. Phys. Rev. E 70, 051916 (2004).

199. Г.М. Фрайман. ЖЭТФ 88, 390 (1985).

200. B.J. LeMesurier, G. Papanicolaou, C. Sulem, and P.L. Sulem. Physica D, 31, 78 (1988).

201. M. Landman, G. Papanicolaou, C. Sulem, P.L. Sulem. Phys. Rev. A 38, 38373843 (1988).

202. S. Dyachenko, A.C. Newell, A.Pushkarev, and V.E. Zakharov. Physica D 57, 96 (1992).

203. G. Fibich, and G. Papanicolaou. SIAM J. Appl. Math. 60 , 183 (1999).

204. F. Merle, and P. Raphael. J. Amer. Math Soc. 19, 37 (2006).213. http://www.personal.dundee.ac.uk/~cjweij er/dictyweb/proj ects.htm

205. F. Graner, and J.A. Glazier. Phys. Rev. Lett. 69, 2013 (1992).

206. J.P. Rieu et al. Biophys. J. 79, 1903 (2000).

207. A.B. Bortz et al. J. Comp. Physics 17, 10 (1975).

208. C.W. Gardiner. Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natural sciences (Springer-Verlag, 2004).

209. M. Alber, N. Chen, T. Glimm, and P. Lushnikov. Phys. Rev. E. 73, 051901 (2006).

210. R.A. Kanaan and L.A. Kanaan. Med. Sei. Monit. 12, RA164 (2006).