Математическое моделирование нестационарного режима миграции загрязнений в средах с фрактальной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Вендина, Алла Анатольевна

• Вендина, Алла Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вендина, Алла Анатольевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Анализ методов математического моделирования нестационарной миграции загрязнений в однородных пористых средах

§1.1. Построение обобщенной математической модели динамики взаимодействия подземных вод со сточными загрязненными водами в

природных средах

§1.2. Модульный метод анализа пространственно-временных

свойств динамики загрязнения подземных вод

§1.3. Исследование математической модели режима загрязнения подземных вод при наличии источника загрязнения постоянной интенсивности

§ 1.4. Исследование математической модели режима загрязнения подземных вод при наличии источника загрязнения изменяющейся

интенсивности

Глава 2. Методы математического моделирования нелинейной миграции загрязнений в пористых средах с фрактальной структурой

§2.1. Построение математической модели нелинейной миграции

загрязнения подземных вод в средах с фрактальной структурой

§2.2. Исследование вопроса корректной постановки модельной задачи медленно и быстро протекающих режимов миграции загрязнения подземных вод

§2.3. Построение конечно-разностного аналога для модельного

дробного уравнения миграции загрязнений подземных вод

§2.4. Построение вычислительного алгоритма реализации модельной задачи нелинейной миграции загрязнений

§2.5. Численно-аналитический алгоритм расчета распределения

концентрации загрязнения грунтовых подземных вод вблизи источника загрязнения

§2.6. Математическая модель распределения концентрации загрязнения подземных вод в средах с фрактальной структурой

Глава 3. Расчетные методы и вычислительный эксперимент нелинейной миграции загрязнений в природных средах

§3.1. Неявный метод оценки фрактальной размерности по известным характеристикам загрязнения подземных вод

§3.2. Численная реализация алгоритма расчета концентрации загрязнений фрактального процесса миграции

§3.3. Расчетно-экспериментальный анализ нелинейных эффектов

миграции загрязнения

§3.4. Расчетно-экспериментальный анализ асимптотического

распределения концентрации загрязнения подземных вод

Заключение

Литература

Приложение

Приложение 1. Расчет концентрации загрязнений в пористых

средах с фрактальной структурой

Приложение 2. Расчет концентрации загрязнений медленно протекающего режима фрактальной миграции

Приложение 3. Расчет асимптотического распределения концентрации загрязнений в неоднородных пористых средах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нестационарного режима миграции загрязнений в средах с фрактальной структурой»

Введение

Актуальность темы. Центральное место в современных проблемах защиты подземных вод от загрязнения, опасность которого возникает в связи с возможной фильтрацией в водоносные пласты неочищенных стоков и жидких отходов, приобретает проблема исследования процессов взаимодействия чистых природных вод и загрязненных сточных жидкостей под влиянием различных гидродинамических и физико-химических факторов. Реальный режим и характер загрязнения подземных вод определяется сложностью реологии движущихся жидкостей и морфологическим строением пористой среды, а также многообразием процессов взаимодействия между жидкостью и пористой средой, которая представляет сложную динамическую систему, характеризующуюся сложной иерархией неоднородностей различных размеров.

Сложность анализа множества факторов, влияющих на оценку условий и возможных последствий загрязнения подземных вод, с учетом фактора времени привели к широкому применению методов математического моделирования, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных. Значительные успехи изучения пространственно-временных закономерностей процесса загрязнения тесно связаны с использованием численно-аналитических методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как основных, так и смешанного типов.

Вопросы исследования загрязнения подземных вод являются классической проблемой, которые с той или иной полнотой рассматривались многими авторами, как у нас в стране, так и зарубежом. В проведенных ранее исследованиях Ф.М. Бочевера [15], H.H. Веригина [30, 31], В.М. Шестакова [91], П.Я. Полубариновой-Кочиной [68], А.Э. Шейдегера [90], Я.А. Папченского [65, 66], Ю.М. Шехтмана [92] и др. задачи нелинейной миграции традиционно решаются на основе линейных представлений о гидрогеологических про-

цессах с упрощающими допущениями, в которых сложная пористая среда моделируется простыми фигурами евклидовой геометрии.

В теоретических исследованиях A.M. Нахушева [57 - 59], Л.И. Серби-ной [73, 74], В.А. Нахушевой [60, 61], P.P. Нигматулина [62, 63], М.Х. Шха-нукова [93], Р.П. Мейланова [55, 56] особое внимание обращено на то, что нелинейные процессы переноса в реологически сложных средах часто обнаруживают инвариантность (фрактальность) пространственных и временных свойств и их математическое описание требует расширения диапазона измерения гидрофизических характеристик и разработки новых, более эффективных, математических моделей, адекватно отражающих нелинейные свойства фрактальных процессов. Одно из перспективных направлений изучения нелинейных явлений фрактальной миграции связано с успешными попытками применения математического аппарата дробного интегро-дифференцирования.

Дифференциальные уравнения дробного порядка представляют собой принципиально новый качественный метод описания, который, обобщая ранее известные результаты, открывает вместе с тем новые возможности изучения механизма нелинейных эффектов, возникающих при асимптотических режимах загрязнения. В связи с этим, работа, выполненная в этом направлении, является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей нелинейной миграции загрязненных подземных вод; учитывающих влияние сложной структуры порового пространства реологических сред; постановка и решение начально-краевых задач для наиболее важных частных случаев; выбор и модификация численно-аналитических методов решения поставленных задач; разработка соответствующего комплекса программ.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка и исследование математических моделей, описывающих пространственно-временные особенности взаимодействия потока загрязнен-

ных подземных вод со сложной структурой порового пространства реологических сред.

2. Исследование вопроса разрешимости модельных начально-краевых задач распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающих различное расположение и интенсивность источников загрязнения.

3. Разработка модифицированного метода численно-аналитического решения задач динамики загрязнения подземных вод.

4. Разработка комплекса программ реализации численных алгоритмов решения задач нелинейной миграции и исследование полученных результатов.

5. Исследование влияния размерности геометрии порового пространства реологических сред на характер режима миграции загрязнения подземных вод.

Методы исследования. Для решения поставленных в работе задач использованы методы математического моделирования динамических систем; элементы классического и дробного анализа; методы теории дифференциальных и интегральных уравнений; методы вычислительной математики, а также специализированные программные среды: Maple, Mathcad, Matlab.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа нелинейных динамических природных систем; использованием методов теории дифференциальных уравнений и аппарата дробного интегро-дифференцирования; хорошей согласованностью аналитических результатов и результатов численного эксперимента и воспроизведением на их основе известных результатов полученными другими методами.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

1. Математическая модель динамики загрязнения подземных вод в пористых природных средах, в основе которой лежит уравнение с дробной производной по времени, учитывающее влияние сложной структуры порового пространства.

2. Численно-аналитические методы анализа пространственно-временных свойств процесса загрязнения подземных вод в реологических средах под действием источников загрязнения различной интенсивности.

3. Алгоритмы математического моделирования процессов загрязнения подземных вод на основе нелокального уравнения, учитывающего влияние геометрии порового пространства реологических сред.

4. Математическая модель распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающая фрактальную размерность порового пространства реологических сред.

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные в ней результаты могут быть использованы для исследования динамики нелинейных процессов переноса в средах со сложной топологией порового пространства. Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и математического моделирования режима загрязнения подземных вод могут найти применение при решении практических задач мониторинга, экологической безопасности и рационального использования земель и водных ресурсов, а также в учебном процессе при выполнении магистерских диссертационных работ.

Положения, выносимые на защиту.

1. Постановка и решение начально-краевых задач динамики распространения загрязнения подземных вод, описываемой математической моделью на основе дифференциального уравнения с дробной производной по времени, учитывающей влияние сложной структуры порового пространства на процесс миграции.

2. Аналитические методы анализа пространственно-временных свойств нелинейного процесса загрязнения подземных вод в реологических средах, в основе которых лежат модифицированные способы решения корректно поставленных начально-краевых задач, учитывающих действие источников загрязнения различной интенсивности и расположения.

3. Результаты численного анализа влияния сложной геометрической

структуры порового пространства на нелинейный характер загрязнения подземных вод в реологических средах.

4. Асимптотические методы оценки нелинейных эффектов нестационарного режима загрязнения подземных вод, позволяющих определять время и область стабилизации процесса.

Апробация работы. Результаты докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава СевероКавказского технического университета (2006 - 2010 гг., г. Ставрополь); на заседаниях Научно-исследовательского семинара НИИ ПМА КБНЦ РАН по современному анализу, информатике и физике (2010, 2011 гг., г. Нальчик); на III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (2006 г., г. Нальчик); на VII Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине, экономике» (2007 г., г. Новочеркасск); на V, VI, VIII Школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (2008 - 2010 гг., г. Нальчик); на I Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (2010 г., п. Терскол); на II Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики» (2011 г., г. Нальчик).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 16 научных работах [16 - 30, 75], 3 из которых [17, 21, 75] опубликованы в журналах из перечня ВАК РФ, рекомендованных для опубликования основных результатов кандидатских диссертаций, 13 - в сборниках всероссийских и международных конференций.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично соискателем либо при его равноправном участии.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 105 наименований. Объем работы - 118 страниц, включая 18 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, сформулированы цель и задачи работы, определена новизна и обоснованна достоверность полученных результатов, изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В главе 1 рассматриваются, используя традиционные методы теории массопереноса, особенности математического моделирования нестационарного процесса взаимодействия естественных подземных вод с загрязненными (сточными) водами в реологических средах.

Параграф 1.1 посвящен построению и исследованию качественных и структурных свойств базовой математической модели неустановившегося процесса миграции загрязненных подземных вод в почвах и почвогрунтах. Здесь сформулированы основные теоретические положения, указаны важнейшие параметры, описывающие внутреннюю структуру потока и описан характер его взаимодействия с пористой средой. Особое внимание обращено на то, что основной характеристикой, определяющей нелинейный характер миграции, является сложная геометрия порового пространства.

Вывод обобщенного дифференциального уравнения миграции загрязненных подземных вод основан на использовании принципа локальности, который предполагает, что основные законы механики сплошных сред справедливы не только для всей системы в целом, но и для любой ее части, какой бы она малой не была. Это позволяет в интегральных законах сохранения, совершая предельный переход, при стремлении области интегрирования к нулю, получить эквивалентные законы сохранения локальных процессов миграции в форме следующих дифференциальных уравнений в частных производных:

х дх' у ду дх ду дt

_ * дс 5с Эс дих диу дМ

~ = (0-2)

ОТ

Здесь и = и(х;у;{) - скорость фильтрационного потока; к - коэффициент фильтрации; к = к{х;у;{) - напор потока подземных вод в момент времени t и в точке (л7_у); р = р{х;у;{) - плотность потока; их, иу - компоненты массовой скорости движения загрязнений; с - с(х;у; /) - концентрация загрязнений подземных вод; т - пористость; £>* = Э*{х;у;{) - дисперсия; N - сорб-ционная емкость пористой среды; у1 - коэффициенты скорости кинетики взаимодействия и сорбционного равновесия.

Для анализа пространственно-временных закономерностей нестационарного процесса миграции загрязнений подземными водами, в силу уравнений (0.1), (0.2), предлагается обобщенное уравнение

дс

т — = сИу дt

* г 1 дЫ

И gra.dc -сИу[ис\--. (0.3)

(Я

Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа (0.3) является базовым уравнением для решения многих прикладных задач. Оно, в рамках справедливости эмпирических законов Дарси и Фурье - Фика, описывает процесс изменения во времени концентрации загрязнений в какой-либо точке в результате разности переноса загрязнений фильтрационным потоком и гидродинамической дисперсии при наличии растворения и поступления в раствор солей и примесей, содержащихся в почвогрунтах.

В параграфе 1.2 предлагается альтернативный модульный подход качественного исследования математической модели нелинейной миграции (0.3). Он, опираясь на общность математической постановки задачи, предпо-

лагает предварительное, последовательное изучение упрощенных модельных задач миграции, которые строятся в соответствии с принципами целевой направленности, иерархичности и системности. Модульная интерпретация обобщенного уравнения (0.3) сводит его к аддитивной схеме, включающей следующие модельные уравнения:

- конвективного переноса

дс 7. г 1 дИ .ч т— = -ащис]--; (0.4)

- диффузии

т — = сИу й* 2_гас1с -Ы Ы

' * дЫ

О gra.dc--; (0-5)

конвективно-диффузионного переноса

D*gradc - div\uc\; (0.6)

дс 7. т— = шу

Эг

- одномерного потока загрязненных подземных вод

2

дс ъ* д с дс о( \ _ _ч

— = £> — -и— + /3(ст-с), (0.7)

дх дх

где ст - предельная концентрация загрязненного потока подземных вод.

Модульный анализ на основе расчетной схемы (0.4) - (0.7), обладающей суммарной аппроксимацией, базируется на различных классах гипотетических моделях сравнения, которые решаются с помощью стандартных, экономичных алгоритмов и в большинстве случаев они служат тестами для более сложных численных расчетов нелинейной миграции загрязнения подземных вод. Алгоритмическая идея модульного анализа обобщенного уравнения миграции (0.3) позволяет с единых позиций получить информацию о характере каждого решения и о свойствах всей изучаемой системы в целом.

В параграфе 1.3 показано, что в случае, когда концентрация загрязнения подземных вод меняется по экспоненциальному закону

с(х^) = и(х^)еоа~г1 +ст, одномерный процесс загрязнения подземных вод, описывается дифференциальным уравнением

^ = (0.8)

дх2

Исследование одномерного режима загрязнения подземных при наличии постоянно действующих на границе области источников загрязнения сводится к постановке и исследованию вопроса разрешимости задачи для уравнения (0.8), удовлетворяющего в слое 0 < х < / для всех моментов времени / е (0/Г), начально-краевым условиям:

и(0ц)={с2-стУ, и(х;0)=(с1-ст)е~ах, «(/;/)= (с3-ст)е~а1^. (0.9)

Основным результатом проведенных исследований является развитие фундаментального метода Фурье решения начально-краевой задачи (0.8), (0.9), в соответствии с которым ее обобщенное решение существует и пред-ставимо в виде

. жкх

sin--

/

о СО —к1! il

u(x;t) = -Цст - с, m^ï 1 - (- lf

--(ст-с2)Z V F-Yx-е sm—-, (0.10)

л- к=] к1+г] I

2 * ^ г Cil 71 D Vl" Ст — Ст. где £ = , т = ——t, р = -

Я Г 7Г D ст~с2

В параграфе 1.4 рассмотрен режим загрязнения подземных вод в области fil = {(x/t): 0<х</, 0<t<ooj в случае, когда на ее границе расположены источники загрязнения, интенсивность которых изменяется с течением времени. Математическое описание данной схемы миграции загрязнений в реологических средах сводится к исследованию вопроса разрешимости дифференциального уравнения (0.7), удовлетворяющего начальным и краевым условиям:

c(x;0)=ç?(x), c(0;i) = ^1(i), c{l;t) = i//2(t). (0.11)

Аналитическое решение задачи (0.7), (0.11) распространения загрязненных подземных вод в полубесконечной области, получено, используя метод преобразования Лапласа, в виде

I

с(£;в)= (¥l(e-p) + cmywdp-

o

2 * 2 2 их „ и t п В ■ D vl ж п п 1

где £ = — , 6 = —^, р] =—у-, /] = —, m = —j~ + P\ + -.

D D т v1 D If 4

Глава 2 посвящена изучению пространственно-временных закономерностей формирования нелинейных явлений и эффектов, возникающих при асимптотических режимах загрязнения подземных вод в реологических средах со сложной топологией порового пространства, интерпретируемых как фрактальные множества. Фундаментальной основной для выявления качественных особенностей и количественных характеристик нелинейных явлений служат дифференциальные уравнения дробного порядка и связанные с ними нелокальные начально-краевые условия. При построении физически обоснованных модельных уравнений, адекватно учитывающих влияние пористой среды на нелинейный характер движения, существенно используется регуля-

ризованный оператор Римана - Лиувиля д^ (или оператор дробного порядка а в смысле Капуто) по временной переменной /, определяемый формулой

где Dqi - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана - Лиувиля порядка а с началом в начальный момент времени t = 0, а с концом в текущий момент времени t > О, который действует на функцию ^(Оеф/Г] по формуле:

яи

dS^Do*,-"—п-\<а<п,п = \,2,.

^МТ ) :

1 г <р{т)с1т

Г(-г) ¿[аУ 1

\а+1

д

а < О,

а> О.

Здесь Г(х) - гамма-функция Эйлера; [а\ - целая часть числа а.

В параграфе 2.1 на основе модификации классической схемы, в основе которой лежат фундаментальные законы сохранения, с помощью введенного понятия фрактальной скорости изменения концентрации загрязнения

с\ « 0^с(х;т) подземных вод, построено модельное уравнение нелинейной миграции, учитывающее различные взаимодействия между жидкостью и пористой средой, обусловленные масштабной инвариантностью процесса. Для исследования фрактального процесса загрязнения подземных вод реологических пористых средах предлагается дифференциальное уравнение дробного порядка

,дс~\ с{у(х;1)с] | ^

тГ>шс = 1Г дх

дх

дх

"т

О

(0.12)

с сопутствующими ему локальными и нелокальными условиями:

Итй^ ]с = с0(х), Оа

/->0

дс дх

= с

х=0

дс дх

= 0, (0.13)

Х=1

где - коэффициент фрактальной диффузии; и(х,я) - фрактальная скорость.

Вопрос исследования медленно изменяющегося во времени режима миграции загрязнения подземных вод, учитывающего влияние фрактальной структуры порового пространства, сводится к исследованию вопроса разрешимости модельной нелокальной начально-краевой задачи (0.12), (0.13).

В параграфе 2.2 методом энергетических неравенств получена априорная оценка

1Ыо^МЙ2А +М*'°)1о)' (°Л4)

где с* = 1с(х;т), а М > 0 - число, которое зависит от размеров области и

коэффициентов уравнения (0.12).

Из априорной оценки (0.14) следует единственность и непрерывная зависимость решения нелокальной задачи (0.12), (0.13) от начальных данных.

В параграфе 2.3 разработан, следуя общей теории разностных схем, модифицированный интегро-интерполяционный метод построения разностных аналогов для дифференциальных операторов произвольного порядка. На пространственной сетке ¿ум = х у'т), / = ОД,2,у = ОД,2,...,5} задаче (0.12), (0.13) поставлено в соответствии семейство разностных схем:

тк%{с = А.(с>д + {\-сг)с) + (5ст + тс(х;6)/таГ(\ - а), (0.15)

(ксх)Х1 (ис)х=т[и1с1-и1-1с1-\1 (0Л6)

ха ^ /г

где разностный аналог производной Капуто порядка а определяется формулой

\СС 1 ^ (л-ос Л-а У я 5-Л

= тТ(2-а)' ~ К* " г' ''

а Лс = (кс-)х-(ис)х-0с.

В этом параграфе также получено достаточное условие сходимости разностной схемы (0.15), (0.16), которое имеет вид

2м,5Г(2-а){1-стУ

где 0 < <Ва(х;и(х;/3(х;= тах^}.

I

В параграфе 2.4 рассмотрен вопрос аппроксимации начально-краевых условий, в соответствии с которым нелокальная начально-краевая задача (0.13) для дробного уравнения (0.12) эквивалентно редуцированна к задаче определения в области соик функции с{ = c(xi;tj+x), удовлетворяющей разностному алгебраическому уравнению (0.15) и разностным начально-краевым условиям:

~ _ , ^0Г(2 - + h±cl(ty_as+2 -

---(0Л7)

Основным результатом проведенных исследований является решение дискретной задачи (0.15) - (0.17) модифицированным методом прогонки. Анализ графической иллюстрации этого решения при различных значениях а е (0;l) позволяет сделать вывод о том, что учет нелокальности во времени приводит к возникновению скачкообразных возмущений концентрации в потоке загрязненных подземных вод.

В параграфе 2.5. вопрос распределения концентрации загрязнения подземных вод вблизи от источника загрязнения сводится к исследованию нелокальной начально-краевой задачи для дробного уравнения миграции

Dgtc=a^-b^ + /3(cm-c), (0.18)

дх1 дх

удовлетворяющего условиям:

c(0;t)=(p(t), c'x(0;t) = i//(t),0<t<T. (0.19)

Основным результатом проведенных исследований является приближенное решение начально-краевой задачи (0.19) для уравнения (0.18) реализованное в классе ограниченных при t -> 0 функций в виде эффективного аналитического алгоритма высокой точности.

В параграфе 2.6 получен алгоритм асимптотического распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающего дробную размерность порового пространства, который представим степенным рядом

,Гт,л f. *„(*>a("+l)-' , ФУа-] , «¡гМг*"-' , тш

[ , Г(а + па) ~ Г(а) Т(2а) + Г(3а) +""(а20>

коэффициенты ап{х) которого определяются формулами:

1 п ( л\2п-к тлп-к,к f ¡Л ^2п~к ( \

й„(*)=г(«Ы*), «,(*)=-L£(-'>. »

m к=0 Цех + па) \п) дх2п~к

В главе 3 с помощью специализированных программных сред (Maple, Mathcad, MatLab) проводится вычислительный эксперимент основных коли-

чественных характеристик процесса миграции загрязнения подземных вод в реологических средах.

В параграфе 3.1 пользуясь общими методами решения обратных задач, на основе аналитического решения (0.10) расчета концентрации загрязнения подземных вод при наличии источника загрязнения, интенсивность которого постоянна, получена неявная оценка дробной размерности б/у поро-

вого пространства реологической среды

2с2е*/[2с*/ 8к[(1 - 4)/2с1/ ]+ съе^1~и)/:2й?/ / 2с1/)

ъщгыр} '

Здесь с(/*) - известная концентрация загрязненных подземных вод в точке

X — .

В параграфе 3.2 проведен вычислительный эксперимент качественного исследования нелинейного распределения концентрации загрязнения подземных вод на основе численного алгоритма решения дробного уравнения фрактальной миграции с дробной производной по времени

( \ гл 52с дс п( ч тс(х; 0)

дх2 дх J таГ(2-аУ

удовлетворяющего начальным и краевым условиям:

сМИоМ, £ =0.

ОХ х—1

Графические результаты численного расчета, реализованные в системе Maple для различных значений параметра ae(0;l), позволяют сделать вывод, что распределение концентрации загрязнений с уменьшением параметра а носит нелинейный затухающий во времени характер.

В параграфе 3.3 на основе модельных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени:

D$tN = j3(c-rN), Dq(N = (5с, D&N = ае( ОД)

Г

проводится качественный анализ влияния сложной структуры порового про-

странства на процессы кинетики сорбции, десорбции, растворения и др., которые возникают в процессе движения загрязненных подземных вод в пористых средах с фрактальной структурой.

В параграфе 3.4 приводятся графические результаты численного алгоритма решения (0.20) задачи асимптотического распределения концентрации загрязнения подземных вод, которые находятся в хорошем согласии с существующей гипотезой о степенном характере режима миграции в средах с фрактальной структурой.

Графическая интерпретация функциональной зависимости концентрации загрязнений при медленных режимах миграции показывает, что фрактальный параметр а является «управляющим» параметром, определяющим характер распределения концентрации загрязнения в потоке подземных вод в реологически сложных средах.

В приложении приведен листинг разработанного программного продукта в среде Maple и экранные формы выходных данных.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Вендина, Алла Анатольевна

Заключение

Проведенные исследования математического моделирования нестационарных процессов загрязнения подземных вод в реологических средах с фрактальной структурой позволяют сделать следующие выводы:

1. Разработанный класс математических моделей загрязнения подземных вод в реологических средах, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных с дробной производной по времени, обобщая ранее известные модельные представления нелинейного процесса миграции, расширяет возможности изучения особенностей процесса миграции загрязнения.

2. Предложенный метод модульного анализа пространственно-временных свойств нелинейного процесса загрязнения, развивая ранее известные качественные методы исследования математических моделей, дает возможность комплексной оценки изучаемого процесса минимальным числом неизвестных характеристик и функциональных зависимостей.

3. Разработанные численно-аналитические методы исследования математических моделей, в основе которых лежат начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, дают эффективный способ оценки времени и области стабилизации распространения загрязнения подземных вод в реологических средах.

4. Расчетно-экспериментальный анализ на основе разработанных эффективных алгоритмов расчета концентрации загрязнения подземных вод позволяет с высокой степенью точности строить прогнозные оценки режима миграции в реальном времени.

103

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вендина, Алла Анатольевна, 2012 год

Литература

1. Аверьянов С.А. Борьба с засолением орошаемых земель. М.: Колос, 1978. 288 с.

2. Айдаров И.П. Прогноз водного и солевого режимов орошаемых земель // Борьба с засолением земель. М.: Колос, 1981. С. 85-91.

3. Андерсон А. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. Т. 2. 384 с.

4. Араманович И. Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969.287 с.

5. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.

6. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Методы расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: Химия, 1986. 144 с.

7. Барон В.А. К вопросу прогноза солевого режима почвогрунтов // Проблемы почвоведения. М.: Наука, 1978. С. 105-131.

8. Бейбалаев В.Д. Численный метод решения математической модели теплопереноса в средах с фрактальной структурой // Фундаментальные исследования. 2007. №12. С. 249-251.

9. Бейбалаев В.Д. Математическая модель кинетики сорбции в средах с фрактальной структурой // Современные проблемы науки и образования. 2008. №6. С. 5.

Ю.Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982. 304 с.

П.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966 Т. 1.632 с.

12.Берковский Б.И., Ноготов Е.Ф. Разностные методы в исследовании задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 144 с.

13.Берс JL, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

14.Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

336 с.

15.Бочевер Ф.М., Лапшин H.H., Орадовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения. М.: Недра, 1979. 254 с.

16.Вендина A.A. Математическое моделирование массопереноса в пористых средах // Научная жизнь. 2008. № 3. С. 21-24.

17.Вендина A.A. Математическое моделирование нестационарного процесса конвективно-диффузионного переноса в почвогрунтах // Вестник Северо-Кавказского технического университета. Науки о Земле. 2008. № 3. С. 39-45.

18.Вендина A.A. Математическое моделирование процесса миграции в сильно пористых средах // Материалы Первой Всероссийской конференции молодых ученых. Терскол: Изд-во КБНЦ РАН, 2010. С. 68-70.

19.Вендина A.A. Метод априорной оценки решения нелокальной задачи нелинейной миграции // Материалы Второго Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. С. 52-54.

20.Вендина A.A. Моделирование процесса распределения вещества в пористых средах, сопровождающегося растворением // XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам и VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Сочи - Адлер, 2007. С.112-113.

21.Вендина A.A. О математическом моделировании процесса фрактальной миграции загрязнений в природных пористых средах // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2011. Вып. 3(24). С. 199-201.

22.Вендина A.A. О математическом моделировании процессов влаго-солепереноса в пористых средах // Материалы международного Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VI Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики».

Нальчик-Эльбрус: Изд-во КБНЦРАН, 2008. С. 198-199.

23.Вендина A.A. Определение параметров переноса вещества в пористых средах // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы V Школы молодых ученых. Нальчик-Эльбрус: Изд-во КБНЦ РАН, 2007. С. 37-39.

24.Вендина A.A. Решение модельного уравнения солепереноса, учитывающего динамику растворения солей // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине, экономике: материалы VII Междунар. на-уч.-практ. конф. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. Ч. 2. С. 77-78.

25.Вендина A.A. Решение одной задачи распределения солей в одномерной однородной системе без учета влияния растворения и реакций обмена // Материалы X региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северокавказскому региону». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. С. 4.

26.Вендина A.A. Решение одной начально-краевой задачи солепереноса, учитывающей кинетику растворения солей // Материалы XXXVI научно-технической конференции по итогам работы профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ за 2006 год. Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2007. С. 7.

27.Вендина A.A. Решение одной одномерной задачи распределения солей без учета процессов растворения // Тезисы докладов III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2006. С. 74-75.

28.Вендина A.A. Численный метод алгоритм решения начально-краевой задачи для уравнения переноса в пористых средах // Материалы II Международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчества - будущему России». Том первый. Общественные науки. Став-

рополь: СевКавГТУ, 2008. С. 5-6.

29.Вендина A.A. Численно-аналитическая реализация модели водно-солевого режима в сильно-пористых средах // Материалы VIII школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Хабез: Изд-во КБНЦ РАН, 2010. С. 31-32.

30.Вендина A.A., Сербина Л.И. Качественный анализ основных моделей процессов массо- солепереноса в почвогрунтах // Материалы международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчеству - будущему России». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2007. С. 5-6.

31.Веригин H.H., Азизов К.З., Микайылов Ф.Д. О влиянии граничных условий при моделировании переноса солей в почвогрунтах при промывке // Почвоведение. 1986. № 3. С. 67-73.

32.Веригин H.H. О кинетике растворения и выноса солей при фильтрации воды в грунтах // Растворение и выщелачивание горных пород. М.: Гос-стройиздат, 1957. С. 17-27.

33.Гавич И.К. Гидрогеодинамика. М.: Недра, 1988. 349 с.

34.Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Доклады АМАН. 2000. Т. 5. № 1. С. 1718.

35.Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1108 с.

36.Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Физматгиз, 1960. 207 с.

37.Дигурова A.M., Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для дифференциального уравнения на фракталах // Сб. научн. тр. IV Всерос. симп. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск, 2000. Т. 2. С. 14-15.

38.Динариев О.Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин // Механ. Жидкости и газа. 1990. № 5. С. 66-70.

39.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 542 с.

40.3апивалов Н.П. Фрактальная геофлюидодинамика нефтенасыщен-ных систем // Труды Всерос. науч. конф. «Фундаментальные проблемы нефти и газа». М: Изд. РАЕН, 1996. Т. 4. С. 21-30.

41.3апивалов Н.П., Смирнов Г.И. О фрактальной структуре нефтегазовых месторождений // ДАН. 1995. Т. 341, № 1. С. 110-112.

42.Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика// Успехи физ. наук. 1985. Т. 146. Вып. 3. С. 493-506.

43.Кольцова Э.М., Василенко В.А., Тарасов В.В. Численные методы решения уравнений переноса во фрактальных средах // Журнал физической химии. 2000. Т. 74. № 5. С. 954-956.

44.Котляр A.M. Методы математической физики и задач гидроаэродинамики. М.: Высшая школа, 1991. 208 с.

45.Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 4. С. 660-670.

46.Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: По-стамаркет, 2000. 352 с.

47.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. M.-JL: ГИТТИ, 1951. Т. II. 310 с.

48.Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

49.Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

50.Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.- Л.: ОГИЗ-ГОСТЕХИЗДАТ, 1947. 244 с.

51.Лялько В.И. Исследование процессов переноса тепла и вещества в земной коре. Киев: Наук, думк., 1978. 152 с.

52.Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

600 с.

53.Магомедов К.М. Сеточно-характериетические численные методы. М.: Наука, 1988. 290 с.

54.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Наука, 2002.

654 с.

55.Мейланов Р.П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой // Письма ЖТФ. 1996. Т. 22. № 23. С. 40-43.

56.Мейланов Р.П. Обобщенные уравнения одномерной фильтрации с дифференцированиями дробной степени // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. №2. С. 34-37.

57.Нахушев A.M. О базовых уравнениях математических моделей процессов переноса в системах с фрактальной структурой // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. акад. наук. 2008. Т. 10. № 1. С. 85-92.

58.Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

59.Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: издательство КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

60.Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 176 с.

61.Нахушева В.А. Об одной математической модели переноса тепла в почве // Материалы международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик: издательство КБНЦ РАН, 2006. С. 208-209.

62.Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. 1992. Т. 90. № 3. С. 354-368.

63.Нигматулин P.P. Особенности релаксации системы с остаточной памятью // Физ. твёрдого тела. 1985. Т. 27. № 5. С. 1583-1585.

64.Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

65.Папченский Я.А. Математические модели процессов переноса в мелиорируемых почвах. М.: Изд-во МГУ, 1992. 85 с.

66.Папченский Я.А. Математические модели физико-химических процессов в почвах. М.: Наука, 1990. 188 с.

67.Положий Т.Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964. 560 с.

68.Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

69.Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.

70.Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. С. 368.

71.Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.552 с.

72.Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.415 с.

73.Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.

74.Сербина Л.И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. Нальчик: Изд-во КНЦ РАН, 2002. 146 с.

75.Сербина Л.И., ВендинаА.А. Асимптотический метод решения дробного уравнения миграции загрязнения подземных вод // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. № 5. С. 104-108.

76.Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991.

136 с.

77.Соболев С.Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // Успехи физических наук. 1997. Т. 167. № Ю. С. 1095-1106.

78.Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Физмагиз, 1966. 444 с.

79. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // Успехи физ. наук. 1986. Т. 150. № 2. С. 221-256.

80.Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.

81. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности //Матем. сборник. 1935. Т. 42. № 2. С. 199-216.

82.Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. ML: Наука, 1972. 735 с.

83.Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008. 512 с.

84.Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. 254 с.

85.Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Наука, 1951. 224 с.

86.Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // Журнал экспериментальной и технической физики. 1995. Т. 108. Вып. 5(11). С. 1875-1884.

87.Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 296 с.

88.Шабетник В.Д. Фрактальная физика. Наука о мироздании. М.: Тибр, 2000. 416 с.

89.Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред. - М.: Наука, 1985.288с.

90.Шейдегер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Наука, 1960. 255 с.

91.Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М.: Изд-во МГУ, 1973

551 с.

92.Шехтман Ю.М. Фильтрация малоконцентрированных суспензий. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 212 с.

93.Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференци-

альных уравнений с дробной производной // Доклады академии наук. 1996. Т. 348. № 6. С. 746-748.

94.Compte A. Stochastic foundations of fractional dynamics // Physical Review E. 1996. V. 53. P. 4191.

95.Dyskin A.V. Continuum fractal mechanics of the Earht's crust // Pure appl. geophys. No 161, 2004. P. 1979-1989.

96.Hilfer R. Fractional Diffusion Based on Riemasnn-Liuville Fractional Derivatives // J.Phys. Chem. B. 2000. V. 104. P. 3914-3917.

97.Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: ELSEVIER, 2006. 541 p.

98.Mainardi, F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity. London: Imperial College Press. 2010.

99.Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos, Solutions and Fractals. 1996. V. 7. P. 1461-1477.

100. Metzler R., Glockle W.G., Nonnenmacher T.F. Fractional model equation for anomalous diffusion // Physica A. 1994. V. 211. P. 13-24.

101. Oldham K.B. and Spanier, J. The Fractional Calculus. London: Academic Press, 1974. 425 p.

102. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Academic Press, 1999. 368 p.

103. Podlubny I. Geometric and Physical Interpretation of Fractional Integration and Fractional Differentiation // Frac. Calculus and Appl. Anal. No. 4, 2002. V. 5. P. 367-386.

104. Saichev A.I. Fractional kinetic equations: solutions and applications // Chaos. 1997. V. 7. P. 753-764.

105. West B.J., Grigolini P., Metzler R. Fractional diffusion and levy stable processes // Physical Review E. 1997. V. 55. P. 99.