Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Абдрахманова, Алия Айдаровна

• Абдрахманова, Алия Айдаровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абдрахманова, Алия Айдаровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВОПРОСЫ, ТРЕБУЮЩИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ ВЫСОКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ. и

1.1. Общая характеристика проблемы и постановка задачи.

1.2. Актуальные задачи науки и техники, требующие решений с учетом геометрической нелинейности конструкции и физической нелинейности ее материала.

1.2.1. Тепловая защита космических спускаемых аппаратов.

1.2.2. Тонкие упругие детали при больших перемещениях.

1.3. Краткая характеристика публикаций по вопросу анализа деформированного и напряженного состояния элементов конструкций при больших перемещениях и неоднородных температурных полях.

1.4. Физико-механические свойства стеклопластика КТ-11 -К-Ф.

1.4.1. Общая характеристика стеклопластика КТ-11-К-Ф и условий его эксплуатации

1.4.2. Тепловая деформация стеклопластика КТ-11 -К-Ф.

1.4.3. Характеристики прочностных и упругих свойств стеклопластика КТ-11 -К-Ф при высоких температурах.

1.5. Основные результаты главы 1.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ СИЛОВОМ И ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Деформация базовой линии стержня.

2.3. Орты касательной и нормали к деформированной базовой линии

2.4. Деформация произвольного волокна, параллельного базовой линии стержня.

2.5. Напряжения и внутренние силовые факторы в стержне.

2.5.1. Определение внутренних силовых факторов при нелинейной зависимости напряжения от деформаций.

2.5.2. Определение внутренних силовых факторов для материала, подчиненного закону Гука.

2.5.3. Учет тепловой деформации при определении внутренних силовых факторов.

2.6. Уравнения равновесия.

2.7. Линеаризация расчетных уравнений для описания деформирования стержня при больших перемещениях.

2.7.1. Линеаризация уравнений равновесия.

2.7.2. Линеаризация формул для определения деформации волокна стержня в произвольный момент времени.

2.7.3. Разложение параметров деформированной базовой линии по параметрам функций перемещений.

2.7.4. Разложение параметров деформации произвольного волокна стержня по параметрам функций перемещений.

2.7.5. Разложение коэффициентов дифференциального уравнения равновесия прямого стержня по параметрам функций перемещения.

2.7.6. Линеаризация уравнений равновесия с учетом тепловой деформации.

2.8. Основные результаты главы 2.

Глава 3. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЯ И ОЦЕНКА ЕГО ТОЧНОСТИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод сплайнов пятой степени.

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Основные положения метода.

3.2.3. Дискретный аналог уравнения равновесия.

3.2.4. Модельная задача, имеющая точное решение.

3.2.5. Методика оценки точности результатов численных расчетов

3.2.6. Обсуждение результатов решения модельной задачи методом сплайнов.

3.3. Решение нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного защемленного на одном конце стержня изгибающим моментом, приложенным на другом конце стержня.

3.4. Применение методов фильтрации и экстраполяции для повышения точности расчетов и оценки погрешности численных результатов.

3.4.1. Фильтрация и экстраполяция численных результатов.

3.4.2. Результаты фильтрации и экстраполяции нелинейной эталонной задачи об изгибе консольного стержня I qq

3.5. Основные результаты главы 3.

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕКЛОПЛАСТИКОВОГО СТЕРЖНЯ В УСЛОВИЯХ ОДНОСТОРОННЕГО НАГРЕВА ПРИ

РАЗЛИЧНЫХ ЖЕСТКОСТЯХ ОПОР.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Стержень с упругой опорой заданной жесткости при одностороннем нагреве.

4.2.1 .Силовая нагрузка.

4.2.2. Температурное поле.

4.2.3. Результаты расчетов и экспериментов для стержня, защемленного по концам.

4.3. Анализ напряженного состояния стеклопластикового стержня при различных жесткостях опор стержня.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Построение расчетной схемы для анализа напряженно-деформированного состояния стержневой модели тепловой защиты

4.3.3. Реакции консольного стержня при перемещении торцевого поперечного сечения его свободного конца.

4.3.4. Результаты расчетов.

4.6. Основные результаты главы 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности»

Актуальность проблемы. В условиях современного развития науки и техники необходимо математическое моделирование описания поведения реальных конструкций. В частности, это связано с появлением композиционных материалов (КМ), обладающих рядом уникальных свойств: малым удельным весом, высокой удельной прочностью, малой теплопроводностью, высокой удельной теплоемкостью и др. Из КМ изготавливают детали самолетов и космических аппаратов. Многие из них работают при переменных во времени высоких температурах. Так, при посадке на Землю в момент входа в плотные слои атмосферы скорость космического спускаемого аппарата (КСА) равна 7,9-г 10 км/с, и гашение этой скорости осуществляется за счет аэродинамического торможения в атмосфере. При этом наружная теплозащищающая обшивка КСА, изготовляемая из КМ, при торможении снаружи нагревается до температуры достигающей в ряде случаев 1000 °С и выше. Из-за действия температуры и внешнего аэродинамического давления теплозащищающие элементы конструкции деформируются, в них возникают напряжения, которые приводят к силовым воздействиям на узлы их крепления к корпусу КСА. В связи с этим, для проектирования надежно работающей теплозащищающей обшивки КСА возникает актуальная задача построения математической модели деформирования элементов конструкций из КМ в условиях одностороннего высокотемпературного нагрева, соответствующего условиям реальной эксплуатации, в форме системы дифференциальных уравнений с последующей разработкой численных методов и комплексов программ для решения поставленной задачи.

К настоящему времени построен ряд математических моделей физико-механических свойств КМ при высоких температурах и разработан ряд численных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ в линейной постановке. Большой вклад в изучение этой проблемы внесли отечественные ученые: Н. А. Алфутов, Б. Д. Аннин, Е. К. Ашкенази, В. В. Болотин, Г. И. Брызгалин, В. А. Буна-ков, С. В. Бухаров, Г. А. Ванин, В. В. Васильев, Г. Е. Вишневский, Г. С. Головкин, Ю. И. Димитриенко, Н. П. Ершов, А. А. Ильюшин, Г. В.

Исаханов, В. И. Королев, С. А. Лурье, А. К. Малмейстер, Г. X. Мурзаха-нов, Ю. В. Немировский, Ю. Н. Новичков, И. Ф. Образцов, Ю. А. Ножниц-кий, В. Н. Паймушин, Ю. С. Первушин, Г. С. Писаренко, Б. Е. Победря, В. Д. Протасов, Ю. Н. Работнов, А. А. Рыжов, Ю. В. Соколкин, В. С. Стре-ляев, В. П. Тамуж, Ю. М. Тарнапольский, А. А. Ташкинов, Г. Н. Третья-ченко, Ю. С. Уржумцев, О. Ф. Шленский и др.

Для более точного моделирования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций из КМ необходимо учитывать нелинейные зависимости напряжения от деформации при высоких температурах и влияние деформации конструкции на уравнения равновесия, что приводит к необходимости решения нелинейных дифференциальных уравнений. Это позволяет считать разработку численных методик расчета деформировано-напряженного состояния элементов конструкций из КМ с учетом физической и геометрической нелинейностей актуальной задачей, обладающей существенной научной новизной и имеющей важное практическое значение.

Целью работы является разработка методики математического моделирования стержневых элементов конструкций в условиях неоднородного температурного поля с учетом нелинейности.

Задачи исследования. Для достижения цели работы поставлены следующие задачи:

1) разработать алгоритм построения в рамках гипотезы плоских нормальных сечений нелинейных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня;

2) свести решение системы нелинейных дифференциальных уравнений к решению системы линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени;

3) определить эффективный вариант решения линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка методом сплайнов пятой степени;

4) создать и реализовать на ЭВМ методику расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• разработан новый алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня с учетом больших перемещений и деформаций, нелинейных зависимостей напряжений от деформации и дифференциальной модели, описывающей тепловую деформацию материала с учетом всей истории его нагрева;

• предложена методика сведения системы неявно заданных нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, к системе линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня в последовательные моменты времени;

• построен более точный, по сравнению с существующими, вариант метода сплайнов пятой степени, базирующийся на принципе Пуансо, и предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней;

• на основе созданного и реализованного на ЭВМ алгоритма расчета напряженно-деформированного состояния стержня впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве. Выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано, какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния.

Методы исследований основаны на использовании: соотношений теории упругости и гипотез теории стержней; численного метода решения дифференциальных уравнений механики деформируемого твердого тела на основе метода сплайн-функций пятого порядка; экспериментальных данных о тепловой деформации и диаграмм деформирования стеклопластика при высоких температурах. Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на фундаментальных положениях, современных экспериментальных и численных методах механики деформируемого твердого тела и подтверждается: сравнением численных решений с точными аналитическими решениями тестовых задач; сопоставлением численных решений с результатами соответствующих экспериментальных исследований.

Практическое значение и реализация результатов работы. Данная работа выполнялась в период с 2004 по 2007 год в лаборатории композиционных материалов кафедры сопротивления материалов и на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета. Результаты работы внедрены в учебный процесс на кафедрах сопротивления материалов и математики УГАТУ. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях напряженно-деформированного состояния элементов конструкции авиационно-космической техники из композиционных материалов, а также при прогнозировании поведения трубопроводов из стеклопластиков в химической и нефтеперерабатывающей промышленности, строительных стеклопласти-ковых конструкций в чрезвычайных ситуациях (при пожарах и т.п.). Автор выносит на защиту:

• методику построения, в рамках гипотезы плоских нормальных сечений, системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия стержня, не имеющих ограничений: на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид физической зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня;

• схему сведения зависящих от времени систем нелинейных дифференциальных уравнений к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени;

• вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для численного решения систем линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающих деформирование стержней;

• методику расчета напряженно-деформированного состояния стекло-пластикового стержня с учетом больших перемещений, тепловых деформаций и нелинейных зависимостей напряжений от деформаций.

Личный вклад автора. Все основные результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Всеросс. науч. конф. «Математика, механика, информатика» (г.Челябинск, 2006г.); Всеросс. научно-практ. конф. «Интеграционные евразийские процессы в науке, образовании и производстве» (Башкирия, г.Кумертау, 2006г.); III Междунар. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г.Нальчик, 2006г.); X Междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2006г.); Всеросс. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г.Самара, 2007г.); XI Междунар. научно-техн. конф. «Проблемы строительного комплекса России» (Уфа, 2007г.); семинаре Института механики РАН (г.Уфа, 2007г.); семинаре отдела Вычислительной математики ИМВЦ УНЦ РАН (г.Уфа, 2007г.); семинаре Института компьютерных исследований при УГАТУ (г.Уфа, 2007г.).

Публикации. По результатам выполненных исследований и разработок опубликовано 12 работ, в том числе три из них в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка литературы. Содержит 127 страниц машинописного текста, включающего 40 рисунков и библиографический список из 74 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Абдрахманова, Алия Айдаровна

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан в рамках гипотезы плоских нормальных сечений алгоритм построения нелинейных уравнений равновесия стержня, отличающийся тем, что он не имеет ограничений на величину перемещений, на характер изменения по времени и объему детали температурного поля и зависящей от него тепловой деформации, на вид зависимости между деформациями и напряжениями, возникающими внутри стержня.

2. Предложена схема линеаризации систем нелинейных дифференциальных уравнений, изменяющихся во времени, и сведения их к системе линейных дифференциальных уравнений в последовательные моменты времени, отличающаяся тем, что система решаемых нелинейных дифференциальных уравнений формируются в неявном виде.

3. Разработан новый вариант метода сплайнов пятой степени, предназначенный для решения системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих деформирование стержня, отличающийся тем, что для повышения точности численного решения при формировании дискретного аналога дифференциального уравнения равновесия использовался фундаментальным принцип теоретической механики -принцип Пуансо о способах приведения систем сил к заданному центру.

4. Разработана и реализована на ЭВМ методика расчета напряженно-деформированного состояния стеклопластиковых стержней в условиях неоднородного температурного поля, отличающаяся тем, что она не имеет ограничений на величину деформаций стержня, на характер тепловых деформаций материала стержня и на вид зависимостей между напряжениями и деформациями.

5. Впервые проведено математическое моделирование влияния способов закрепления стеклопластикового стержня на возникающие в нем деформации и напряжения при одностороннем высокотемпературном нагреве. На основе расчетов при разнообразных краевых условиях выявлено существенное влияние способов крепления элементов теплозащитной конструкции на внутренние напряжения и показано какие из способов крепления позволяют снижать коэффициенты опасности напряженного состояния.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абдрахманова, Алия Айдаровна, 2007 год

1.А. Метод расчета деформированного состояния стержня при больших перемещениях // Сборник статей 2-ой регион.зимней школы аспирантов и молод, ученых. Уфа: Изд-во «Технология» 2007. Т.2. С. 10-17.

2. Абдрахманова А.А. Вариант метода сплайна для расчета изгиба балок //Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. Самара, 2007. - № 2(52). - С.5-15 .

3. Абдрахманова А.А. Вариант применения сплайнов для расчета стержней // Материалы XI Международной научно-технической конференции «Проблемы строительного комплекса России» Уфа: 2007. Т.2. С.140-141.

4. Абдрахманова А.А. Моделирование деформирования конструкций из стеклопластиков при тепловом воздействии // Труды X междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной среды". -Ростов-на-Дону: изд-во «ЦВВР», 2006. С. 19-22 .

5. Абдрахманова А.А. Павлов В.П. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния стержня при большихдеформациях //Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. Самара, 2007. - № 2(52). - С.82-90 .

6. Абдрахманова А.А. Построение математической модели деформирования стержней при больших перемещениях // Материалы XI Международной научно-технической конференции «Проблемы строительного комплекса России» Уфа. 2007. Т.2. С. 138-139.

7. Абдрахманова А.А., Павлов В.П. Метод математического моделирования напряженно- деформированного состояния стержня при больших деформациях //тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2007. - С. 11 -16.

8. Абдрахманова А.А., Павлов В.П. Расчет изгиба балок методом сплайнов //Мат. заметки ЛГУ. Якутск, 2006. - т. 13, вып. 1. - С. 98104.

9. Абдрахманова А.А. Метод расчета изгиба балок сплайнами пятой степени //Материалы Уфимской Международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф.Леонтьева Уфа: 2007. Т.1. С.10-12.

10. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-448 с.

11. Амбар цумян С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Наука, 1987. - 360 с.

12. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -М.: Наука, 1987, 600 с.

13. Безухов Н. И., Лужин О. В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высш. шк., 1974, 200 с.

14. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986, 560 с.

15. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980.-375 с.

16. Бунаков В. А., Головкин Г. С., Машинская Г. П. и др. Армированные пластики. М.: Изд-во МАИ, 1997. - 404 с.

17. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. 4.1. М.: Наука, 1972,468 с.

18. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1976.

19. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. - 256 с.

20. Вольмир А. С. Гибкие пластины и панели, М.: Наука, 1968.

21. Гафаров Р.Х., Жернаков B.C. Что нужно знать о сопротивлении материалов / Под ред. В.С.Жернакова. М.: Машиностроение, 2001. -276 с.

22. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы: Введение в теорию. М.: Наука, 1977. 440 с.

23. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.-512 с.

24. Гребенников A.M. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

25. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.

26. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Беспалова Е. И., Панкратова Н. Д., Полищук Т. Н., Лацинник И. Ф. Численное решение задач статики ортотропных оболочек с переменными параметрами. К.: Наукова думка, 1975. - 184 с.

27. Демидович Б. П. , Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368 с.

28. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки, -М.: Наука, 1982. 568 с.

29. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Учебное пособие.-Уфа:УГАТУ,2002.- 91с.

30. Житников В.П., Зиннатуллина О.Р., Михтанюк А.А. Программная реализация численных методов и анализ результатов численного эксперимента: методические указания. Уфа: УГАТУ, 2007. - 34с.

31. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Федорова Г.И., Зиннатуллина О.Р. Основы многокомпонентного анализа численных результатов. Учебное пособие Уфа: УГАТУ, 2007. - 117с.

32. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Метод сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

33. Завьялов Ю. С., Леус В. А., Скороспелов В. А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985.-224 с.

34. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

35. Исаханов Г. В. Прочность неметаллических материалов при неравномерном нагреве. Киев: Наукова Думка, 1971.-180 с.

36. Исаханов Г. В., Журавель А. Е. Прочность армированных пластиков и ситаллов. М.: Машиностроение, 1981. - 234 с.

37. Калиткин Н. Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978. -512 с.

38. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. -352 с.

39. Корнишин М. С., Исанбаева Ф. С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968.-260 с.

40. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976. -304 с.

41. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1976. -304 с.

42. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.-536 с.

43. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 208 с.

44. Новожилов В. В. Теория оболочек. JL: Судостроение, 1962.

45. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1981.-304 с.

46. Образцов И. Ф., Савельев JI. М., Хазанов X. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

47. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел/. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2003. 197 с.

48. Павлов В. П. Ползучесть полимерных композиционных материалов при переменных повышенных температурах. Экспериментальные исследования и математическое моделирование/ Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2004.154 с.

49. Павлов В. П. Тепловая деформация, прочность и термовязкоупругость стеклопластиков при высокой переменной во времени температуре в условиях термодеструкции.

50. Экспериментальные исследования и математическое моделирование/ Уфимск. гос. авиац. ун-т.-Уфа: УГАТУ, 2004. 218 с.

51. Павлов В.П. Методика расчета и результаты экспериментального исследования стержня из стеклопластика при одностороннем высокотемпературном нагреве / В.П. Павлов // Вестник УГАТУ. 2005. Т.6. №1 (12). С. 162-167.

52. Панкратов Б. М. Основы теплового проектирования транспортных космических систем. М.: Машиностроение, 1988.-304 с.

53. Панкратов Б. М. Тепловое проектирование агрегатов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1981. - 175 с.

54. Панкратов Б. М., Полежаев Ю. В., Рудько А. К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М.: Машиностроение, 1975. - 224 с.

55. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. -М.: Наука, 1986.-232 с.

56. Полежаев Ю. В., Юрьевич Ф. Б. Тепловая защита. М.: Наука, 1976. - 392 с.

57. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. JI.; М.: Гостехиздат, 1948. 170 с.

58. Попов Е. П. Теория и расчет гибких стержней. М.: Наука, 1986. -296 с.

59. Протасов В. Д. Механика в машиноведении композитных конструкций // Механика композитных материалов. 1987. - № 3. -С. 490 - 492.

60. Протасов В. Д., Страхов В. JI, Кульков А. А. Проблемы внедрения композитных материалов в конструкции авиационно-космической техники // Механика композитных материалов. 1990. - № 6. - С. 1057- 1063.

61. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. - 744 с.

62. Самарский А. А, Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

63. Самарский А. А, Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: 1978.-592 с.

64. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

65. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

66. Сахаров А. С., Кислоокий В. Н., Киричевский В. В., и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вища шк., 1982.-480 с.

67. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.-392 с.

68. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов М.: Наука, 1979—560с.

69. Филин А. П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1975. -256 с.

70. Шленский О. Ф. Тепловые свойства стеклопластиков. М.: - Химия, 1973.-219 с.

71. Шленский О. Ф., Шашков А. Г., Аксенов Л. Н. Теплофизика разлагающихся материалов. М.: Энергоиздат, 1985. - 144 с.