Математическое моделирование квантовых волноводов с локальными возмущениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Гаврилов, Максим Иванович

• Гаврилов, Максим Иванович
• кандидат технических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гаврилов, Максим Иванович

Введение

Глава I. Обзор литературы.

1. Основы квантовых вычислений.

2. Транспортные свойства электрона в наноструктурах.

3. Теория рассеяиия.

4. Метод согласования асимптотических разложений

5. Метод конечных элементов.

6. Метод Хартри для многочастичных квантовых задач.

Глава II. Асимптотика резонанса и задача рассеяния плоских волноводов, связанных через отверстия.

1. Теорема о существовании резонанса.

2. Асимптотическое разложение резонанса для случая конечного числа отверстий.

3. Обоснование асимптотических разложений.

4. Периодическая система соединяющих отверстий.

5. Задача рассеяния в системе с п соединяющими отверстиями

Глава III. Одночастичная задача в системе связанных волноводов.

1. Расчет связанных состояний.

2. Математическая модель задачи рассеяния.

3. Задача рассеяния без внешнего электрического поля.

4. Задача рассеяния при внешнем электрическом поле.

Глава IV. Задача об искривленном волноводе

1. Математическая модель искривленного волновода.

2. Одночастичная задача для искривленного волновода.

3. Двухчастичная задача для искривленного волновода.

Глава V. Схемы квантовых вентилей.

1. Интерпретации кубитов.

2. «Волноводная» интерпретация кубита

3. «Спиновая-» интерпретация кубита.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование квантовых волноводов с локальными возмущениями»

Актуальность темы работы. Современные компьютеры основаны на одинаковых принципах и представляют собой набор битов и последовательность оперирующих ими операций. При использовании классических физических моделей возможно получить только линейный выигрыш в скорости, так как объем вычислений в таких задачах пропорционален размерам физической системы. Принципиально новые возможности открывает квантовая механика, так как сложность квантовой системы возрастает экспоненциально относительно ее размера. Первые идеи о возможности создания квантовых вычислительных устройств были высказаны достаточно давно, но только в последнее время, в связи с бурным развитием нанотехнологий, появились реальные возможности для того, чтобы воплотить их в жизнь. Перспективным представляется реализация квантовых операций на базе квантовых волноводов. Практическое создание подобных устройств невозможно без разработки математических моделей, описывающих поведение подобных систем. Важным представляется выяснение особенностей их поведения в зависимости от физических параметров. В свете этого актуальны как абстрактные математические задачи (анализ дискретного спектра и резонансов оператора Шредингера), так и прикладные (создание эффективных математических моделей, позволяющих получать результаты для конкретных физических систем).

Целью исследования является доказательство возможности реализации квантовых вычислений на базе связанных квантовых волноводов и разработка методов математического моделирования соответствующих физических систем, теоретическая разработка схем квантовых вентилей.

Основные задачи исследования:

1. Исследование резонансных состояний электрона в системе слабосвязанных квантовых волноводов.

2. Построение математической модели квантового транспорта в системе квантовых волноводов, связанных через отверстие.

3. Построение математической модели двухчастичной задачи в искривленном квантовом волноводе.

4. Теоретическая разработка схем квантовых вентилей.

Методы исследования: аналитические методы поиска одночастичного резонанса, спектральный анализ дифференциальных операторов, численные методы решения задачи рассеяния, метод конечных элементов, метод Хартри-Фока для многочастичных квантовых задач.

Научная новизна исследования. На защиту выносятся результаты, обладающие научной новизной.

1. Доказано существование одночастичных резонапсов и получены их асимптотики для системы связанных волноводов. Ранее имелись лишь двухсторонние оценки.

2. Численными методами проведено исследование квантовой задачи рассеяния в системе волноводов, связанных через малое отверстие. Ранее подобных результатов не было получено.

3. Методом конечных элементов получены оценки спектра двухчастичной задачи в искривленных квантовых волноводах в приближении Хартри. Ранее многочастичные задачи для данной системы не изучались.

4. Впервые предложены теоретические схемы квантовых вентилей на базе слабосвязанных квантовых волноводов.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство существования одночастичных резонансов и их асимптотики для системы связанных волноводов.

2. Математическая модель резонансного рассеяния в системе связанных волноводов. Зависимости коэффициентов прохождения и отражения от параметров задачи.

3. Математическая модель двухчастичной задачи в искривленных квантовых волноводах в приближении Хартри и оценки спектра.

4. Теоретические схемы квантовых вентилей на базе слабосвязанных квантовых волноводов.

Практическая значимость. Разработанные методы использовались при выполнении работ по проекту 2.1.1/4215 в рамках программы «Развитие научного потенциала высшей школы России», а также проектов П689 НК-526П и 14.740.11.0879 в рамках программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».

Апробация результатов работы.

Результаты работы прошли апробацию на конференциях:

1. QPC2005, Dubna, Russia, 30 June - 3 July, 2005.

2. ICO Topical Meeting on Optoinformatics Information Photonics 2006, Saint-Petersburg, Russia, September 4-7, 2006.

3. 35 научная и учебно-методическая конференция СПбГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 31 января - 3 февраля 2006 г.

4. V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 15-18 апрель 2008.

5. VI Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 14 - 17 апреля 2009.

Публикации. Основные научные результаты изложены в 6 печатных работах, в том числе в 3 статьях, опубликованных в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 133 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений. Список литературы содержагцит 105 наименований. Работа иллюстрирована 20 рисунками.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гаврилов, Максим Иванович

Заключение

В работе проведено исследование систем квантовых волноводов с локальными возмущениями (наличие отверстий связи и искажение границы). Для системы связанных волноводов с граничными условиями Неймана доказано существование одночастичных резонансов и получены их асимптотики, близкие ко второму порогу непрерывного спектра. Рассмотрены случаи как одного соединительного отверстия, так и системы из п отверстий. Исследование проведено методом согласования асимптотических разложений по малому параметру - размеру отверстий связи.

Методом конечных элементов построена численная модель связанных волноводов с граничными условиями Дирихле на границе и получена зависимость собственных значений от ширины отверстия. Рассмотрена вычислительная модель резонансного рассеяния в подобной системе и получены связи коэффициентов прохождения и отражения в зависимости от параметров задачи.

Рассмотрен волновод с искажением границы, методом конечных элементов получены зависимости энергии связанного состояния от величины искривления. Методом Хартри произведен численный анализ двухчастичной задачи в такой системе и получены оценки спектра.

Предложены теоретические схемы двух возможных реализаций квантовых вентилей на базе связанных волноводов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гаврилов, Максим Иванович, 2011 год

1. Baranger H. U. Multiprobe electron waveguides: Filtering and bend resistances // Phys. Rev. B. 1990.-Dec. Vol. 42, no. 18. Pp. 11479-11495.

2. Barenco A., Bennett C. H., Cleve R. et al. Elementary gates for quantum computation // Phys. Rev. A. 1995.-Nov. Vol. 52, no. 5. Pp. 3457-3467.

3. Barnas J., Bruynseraede Y. Correlation between quantum-size effects in the giant magnetoresistance and interlayer coupling in magnetic multilayers // Phys. Rev. B. 1996.-Feb. Vol. 53, no. 6. Pp. R2956-R2958.

4. Beenakker C., Van Houten H. Quantum transport in semiconductor nanostructures, in Solid State Physics // Advances in Research and Applications, edited by H. Ehrenreich and D. Turnbull. 1991. Vol. 44. Pp. 1-228.

5. Benioff P. Quantum Mechanical Models of Turing Machines That Dissipate No Energy // Phys. Rev. Lett. 1982,-Jun. Vol. 48, no. 23. Pp. 1581-1585.

6. Bennett C. H. Logical Reversibility of Computation // Ibm Journal of Research and Development. 1973. Vol. 17. Pp. 525-532.

7. Conference on New Phenomena in Mesoscopic Structures and 4th International Conference on Surfaces and Interfaces of Mesoscopic Devices. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/ B6WXB-4CPVM5S-2/2/5d8910f2331d4dc88e22c91c7b8aeb70.

8. Bertoni A., Bordone P., Brunetti R. et al. Quantum logic gates based on coherent electron transport in quantum wires // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84, no. 25. Pp. 5912 5915.

9. Bertoni A., Reggiani S. Quantum Computation and Proposal for Solid-state Quantum Gates // Proc. of the 32nd European Solid-State Device Research Conference. 2002. Pp. 297 298.

10. Bishop J., Licini J., Dolan G. Lithium quench-condensed microstructures and the Aharonov-Bohm effect // Appl.Phys.Lett. 1985. Vol. 46. Pp. 1000 1002.

11. Bloch I., Dalibard J., Zwerger W. Many-body physics with ultracold gases // Rev. Mod. Phys. 2008.-Jul. Vol. 80, no. 3. Pp. 885-964.

12. Borisov P., Exner P., Gadilshin R. Geometric coupling thresholds in a two-dimensional strip // J. Math. Phys. 2002. Vol. 43. Pp. 6265 6278.

13. Bruno P. Theory of interlayer magnetic coupling // Phys. R,ev. B. 1995.— Jul. Vol. 52, no. 1. Pp. 411-439.

14. Cirac J. I., Zoller P. Quantum Computations with Cold Trapped Ions // Phys. Rev. Lett. 1995.-May. Vol. 74, no. 20. Pp. 4091-4094.

15. Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. Introduction to algorithms. Cambridge, Mass: MIT Press, 2001. ISBN: 9780262032933.

16. Datta S., Bandyopadhyay S. Aharonov-Bohm effect in semiconductor microstructures // Phys. Rev. Lett. 1987. — Feb. Vol. 58, no. 7. Pp. 717-720.

17. Datta S., Melloch M. R., Bandyopadhyay S. et al. Novel Interference Effects between Parallel Quantum Wells // Phys. Rev. Lett. 1985.— Nov. Vol. 55, no. 21. Pp. 2344-2347.

18. Deutsch D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer // Proc. Roy. Soc, Lond. A. 1985. Vol. 400, no. 1818. Pp. 97-117.

19. Exner P., Seba P. A new type of quantum interference transistors // Phys.Lett. A. 1988. Vol. 129. Pp. 477-480.

20. Exner P., Vugalter S. Bound state asymptotic estimates for window-coupled Dirichlet strips and layers //J. Phys. A: Math. Gen. 1997. no. 30. Pp. 7863-7878.

21. Exner P., Vugalter S. Bound States in a Locally Deformed Waveguide: The Critical Case // Letters in Mathematical Physics. 1997. Vol. 39. Pp. 59-68. 10.1023/A: 1007373212722. URL: http://dx.doi.org/10. 1023/A:1007373212722.

22. Exner P., Vugalter S. A. On the number of particles that a curved quantum waveguide can bind // Journal of Mathematical Physics. 1999. Vol. 40, no. 10. Pp. 4630-4638. URL: http://link.aip.org/link/7JMP/40/4630/ 1.

23. Feynman R. Simulating Physics with Computers // Inter. Jour. Theor. Phys. 1982. Vol. 21, no. 6/7. Pp. 467-488.

24. Frolov S. V., Popov I. Y. Resonances for laterally coupled quantum waveguides // Journal of Mathematical Physics. 2000. Vol. 41, no. 7. Pp. 4391-4405. URL: http://link.aip.org/link/7JMP/41/4391/!.

25. Gavrilov M., Gortinskaya L., Pestov А. и др. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer // Письма в Физика ЭЧАЯ. 2007. Т. 4, № 2(138). С. 237-243. URL: http://wwwl.jinr.ru/Pepan letters/panl22007/08gav.pdf.

26. Gershenfeld N. A., Chuang I. L. Bulk spinresonance quantum computation // Science. 1997. no. 275. Pp. 350-356.

27. Goldstein C. Scattering theory in waveguides // Scattering Theory in Mathematical Physics, D.Reide. 1974. Pp. 35-51.

28. Gortinskaya L., Popov I., Tesovskaya E., Uzdin V. Electronic transport in the multilayers with very thin magnetic layers // Physica E. 2007. no. 36. Pp. 12-16.

29. Grunberg P. Layered magnetic structures: facts, figures, future // Journal of Physics: Condensed Matter. 2001. Vol. 13, no. 34. P. 7691. URL: http://stacks.iop.org/0953-8984/13/i=34/a=314.

30. Harwit A., J. S. Harris J. Observation of Stark shifts in quantum well intersubband transitions // Applied Physics Letters. 1987. Vol. 50, no. 11. Pp. 685-687. URL: http://link.aip.Org/link/7APL/50/685/l.

31. Ionicioiu R., Amaratunga G., Udrea F. Quantum Computation with Ballistic Electrons // Int. J. Mod. Phys. 2001. Vol. B 15. Pp. 125-130.

32. Kazansky A., Uzdin V. Thermodynamic properties of itinerant electrons in magnetic super lattices : magnetic coupling and magnetoresistance // J. Magn. Magn. Mater. 1994. no. 138. P. 287.

33. Kirilenko A., Rudj L., Shestopalov V. Wave scattering on a waveguide bend // Sov. J. Radiotechnics and Electronics. 1974. no. 19. Pp. 687 -696.

34. Klaus M. On the bound state of Schru,dinger operators in one dimension // Annals of Physics. 1977. Vol. 108, no. 2. Pp. 288 300. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/ B6WBl-4DD34WB-6T/2/fl8015b7cdf88fda9c5a4e227cc63892.

35. Kouwenhoven L. Quantum Adiabatic Electron Transport in Ballistic Conductors// Physics of low-dimensional semiconductor structures. New York: Plenum Press, 1993.

36. Laflamme R., Knill E., Zurek W. et al. NMR GHZ // Phil.Trans.Roy.Soc.Lond. 1998. Vol. A356. Pp. 1941-1948.

37. Likharev K. K. Single-electron devices and their applications // Proceedings of The IEEE. 1999.-April. Vol. 87. Pp. 606-632,

38. Loss D., DiVincenzo D. P. Quantum computation with quantum dots // Phys. Rev. A. 1998.-Jan. Vol. 57, no. 1. Pp. 120-126.

39. Marigliano Ramaglia V., Cataudella V., De Filippis G. et al. Electron Double Refraction in Hybrid Systems with Rashba Spin-Orbit Coupling. 2002. 16 pp. cond-mat/0203569.

40. Newton R. Bounds for the number of bound states for Schrodinger equation in one and two dimensions //J. Operator Theory. 1983. Vol. 10. Pp. 119-125.

41. Nogues J., Schuller I. Exchange Bias // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1999. no. 192. Pp. 203-232.

42. Okopinska A. Correlation and entanglement measures in trapped few-particle systems // Journal of Physics: Conference Series. 2010. Vol. 213, no. 1. P. 012004. URL: http://stacks, iop.org/1742-6596/213/i= l/a=012004.

43. Pavlov B. Dilation theory and spectral analysis of nonselfadjoint differential operators // Amer. Math. Soc. Transl. 1990. Vol. 115, no. 2.

44. Popescu A. E., Ionicioiu R. All-electrical quantum computation with mobile spin qubits // Phys. Rev. B. 2004. -Jun. Vol. 69, no. 24. P. 245422.

45. Popov I. Asymptotics of bound states and bands for laterally coupled waveguides and layers //J. Math. Phys. 2002. Vol. 43, no. 1. Pp. 215 -234.

46. Popov I. Y. Asymptotics of bound state for laterally coupled waveguides // Reports on Mathematical Physics. 1999. Vol. 43, no. 3. Pp. 427- 437. URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/ B6VN0-3YRNRD8-5/2/cef8e0b638cl0elee82480beca4ee6dl.

47. Potter C., Shad R., Belien P. et al. Two-monolayer-periodicity oscillations in the magnetoresistance of Fe/Cr/Fe trilayers // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, no. 22. Pp. 16055 16057.

48. Recher P., Sukhorukov E. V., Loss D. Quantum Dot as Spin Filter and Spin Memory // Phys. Rev. Lett. 2000.—Aug. Vol. 85, no. 9. Pp. 1962-1965.

49. Saaki H. Advanced in microfabrication and microstructure physics, in Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology // Physical Society of Japan. 1984. Pp. 94 110.

50. Saffarzadeh A. Chemical and magnetic impurity effects on electronic properties of semiconductor quantum wires // Phys. Rev. B. 2007. — Dec. Vol. 76, no. 21. P. 214201.

51. Schulman L., Vazirani U. Scalable NMR quantum computation // Proc. 31''st ACM STOC (Symp. Theory of Computing). 1999. Pp. 322 329.

52. Schumacher B. Quantum coding // Phys. Rev. A. 1995.—Apr. Vol. 51, no. 4. Pp. 2738-2747.

53. Seto N. Bargmann's inequalities in spaces of arbitrary dimension // Publ. RIMS. 1974. Vol. 9. Pp. 429-461.

54. Shor P. W. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer // SIAM Review. 1999. Vol. 41, no. 2. Pp. 303-332. URL: http://link.aip.org/link/7SIR/ 41/303/1.

55. Sols F., Macucci F., Ravaioli U., Hess K. On the possibility of transistor action based on quantum interference phenomena // Appl.Phys.Lett. 1989. no. 54. Pp. 350 352.

56. Steane A. M. The Ion Trap Quantum Information Processor // APPL.PHYS.B. 1997. Vol. 64. P. 623. URL: http://www.citebase. org/abstract?id=oai:arXiv.org:quant-ph/9608011.

57. Taddei F., Sanvito S., Lambert C. J. Material-specific spin filtering in ferromagnet/superconductor ballistic nanojunctions. 2000. cond-mat/0012352. URL: http: //www. citebase. org/abstract?id=oai: arXiv.org:cond-mat/0012352.

58. Temkin H., Dolan G. J., Panish M. B., Chu S. N. G. Low-temperature photoluminescence from InGaAs/InP quantum wires and boxes // Applied Physics Letters. 1987. Vol. 50, no. 7. Pp. 413-415. URL: http: //link.aip.org/link/?APL/50/413/l.

59. Timp G., Baranger H. U., de Vegvar P. et al. Propagation around a Bend in a Multichannel Electron Waveguide // Phys. Rev. Lett. 1988. —May. Vol. 60, no. 20. Pp. 2081-2084.

60. Umbach C. P., Van Haesendonck C., Laibowitz R. B. et al. Direct observation of ensemble averaging of the Aharonov-Bohm effect in normal-metal loops // Phys. Rev. Lett. 1986.-Jan. Vol. 56, no. 4. Pp. 386-389.

61. Vandersypen L. M., Vandersypen K., Yannoni C. et al. Realization of effective pure states for bulk quantum computation // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 3085.

62. Vandersypen L. M. K., Lieven M. K. V., Costantino S. Y., Isaac L. C. Liquid state NMR Quantum Computing // Encyclopedia of Nuclear Magnetic Resonance, Volume 9: Advances in NMR. Wiley, 2000. Pp. 687-697.

63. Watkins D. Fundamentals of matrix computations. New York: Wiley-Interscience, 2002. ISBN: 0471213942.

64. Yao A. Quantum Circuit Complexity // Proceedings of the 34th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science. 1993. Pp. 352-360.

65. Арсеньев А. А. Резонансное рассеяние в квантовых волноводах // Матем. сб. 2003. Т. 194, № 1. С. 3 22.

66. Базь А., Зельдович Я., Переломов А. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М., 1971. 544 с.

67. Беляев А. В., Гаврилов М. И., Ситников А. Н. Расчет коэффициентов прохождения и отражения в системе связанных квантовых волноводов // Сборник трудов конференции молодых ученых. 2009. Т. 4. С. 9-14. URL: http://tinyurl.com/akmu09.

68. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

69. Валиев К., Кокип А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2002. 352 с.

70. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., 1971. 512 с.

71. Гаврилов М. И., Гортинская JI. В., Пестов А. А. и др. Возможная реализация операций в элементах квантового компьютера на квантовых волноводах // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2006. № 30. С. 71-75. URL: http://elibrary.ru/item.asp?id=11691955.

72. Гаврилов M. П., Попов И. Ю. Расчет коэффициентов прохождения и отражения в системе связанных квантовых волноводов / / Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2010. Т. 69, № 5. С. 43-48. URL: http : //elibrary. ru/item. asp?id=15274432.

73. Гаврилов M. П., Попов И. Ю., Попов С. И. Многочастичные состояния в искривленных слоистых наноструктурах // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. Т. 71, № 1. С. 45-48.

74. Гадылыдин Р. Р. О системах акустических резонаторов в квазистационарном режиме // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, № 3. С. 104 112.

75. Гадылыдин Р. Р. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца // УМН. 1997. Т. 52, Ns 1. С. 3 76.

76. Гортинская JI. В., Тесовская Е., Попов И. Асимптотики резонансов для двумерных волноводов, соединенных малыми отверстиями, при граничном условии Неймана // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО(ТУ). 2003. Т. 9. С. 22 28.

77. Де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. Перев. с англ. М.: ПЛ., 1961. 244 с.

78. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: К^£аука 1979. 320 с.

79. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: ЖЛер с англ. М.: Мир, 1986. 318 с.

80. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений ре^цений краевых задач. М., 1989. 334 с.

81. Качаев И. А. Квантовые вычисления. Протвино: ИФВЭ, 2001. 2^с.

82. Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вь1ЧИ(^.тгения М.:МЦНМО: ЧеРо, 1999. 192 с.

83. Кокин А. А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных Москва-Ижевск: ИКИ, 2004. 204 с.

84. Курасов А. Е., Попов И. Ю. Входное устройство для кваь^Тового компьютера на электронах в связанных волноводах // Известия ЗЕЗузов Приборостроение. 2010. Т. 53, № 5. С. 53-56.

85. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. Пер. с англ. М.: Мир, 197Х. 312 с

86. Ландкоф Н. Основы современной теории потенциала. М.: Наук^ц 1966 516 с.

87. Лобанов И., Лоторейчик В. Ю., Попов И. Ю. Оценка снизу спектра двумерного оператора Шредингера с ¿-потенциалом на кривой /у ТМФ 2010. Т. 162, № 3. С. 397- 407.

88. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. Радио, 1980. 128 с

89. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. 1у1.: Мир 1974. 324 с.

90. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 376 с.

91. Савельев И. В. «Основы теоретической физики», том. 2. Квантовая механика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 352 с.

92. Стин А. Квантовые вычисления. Ижевск: НИЦ, 2000. 112 с.

93. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Либроком, 2010. 368 с.

94. Яфаев Д. Р. Математическая теория рассеяния. СПб: издательство Санкт-Петербургского университета, 1994. 424 с.